DÉCOUVRIR OU REDÉCOUVRIR AVEC CABRI 3D

Jean-Jacques Dahan

IREM de Toulouse

Le document qui suit constitue un résumé de la présentation réalisé au congrès de l’APMEP à La Rochelle. Son but était de montrer à partir d’une multitude d’exemples comment l’approche et la pratique de la géométrie en 3D se trouve bouleversée par une utilisation experte du logiciel Cabri 3D (pour ceux qui ne connaissent pas ce logiciel, il a été conçu dans le même esprit que Cabri 2 Plus). Il ne s’agit pas de revisiter des problèmes que l’on sait déjà résoudre simplement en environnement papier crayon mais d’en aborder qui soient différents, plus attractifs et plus riches. La modélisation y joue souvent un rôle important, on le verra plus loin.

1. De Flatland à Spaceland, de l’environnement 2D à l’environnement 3D

1.1. Le petit Filou de 1998

Ce petit personnage que j’avais créé en 1998 dans un ouvrage consacré à une introduction ludique à la géométrie avec la TI-92 (calculatrice qui contenait pour la première fois une version adaptée de Cabri en même temps que du calcul formel), l’avait été à partir des figures élémentaire de la géométrie euclidienne plane. 01_Filou.cg3 ® |

Son nombril, redéfini sur un segment puis animé permettait de lui donner vie. Sa construction est utilisée en classe au collège comme premier contact avec Cabri en salle info. Les élèves sont intéressés et attirés par la possibilité qui leur est offerte de prolonger ce travail par un travail créatif personnel : animer ses bras, le faire jouer au yoyo, l’habiller différemment…

1.2. Filou se redresse en 2004

Dès la sortie de Cabri 3D, Filou a pu se redresser grâce à une simple rotation autour d’un axe dans cet environnement révolutionnaire. Mais sa platitude révélait hélas que je n’avais pas encore utilisé les énormes potentialités de modélisation de ce logiciel. 02_Filou.cg3 ® |

1.3. Filou prend de l’épaisseur en 2008

En 2008, après plusieurs présentations à divers congrès, Filou commence à prendre de l’épaisseur. Cela a été rendu possible grâce à l’utilisation les objets spécifiques de Cabri 3D (cônes par exemple) mais mieux il danse le pas de base du Cha Cha Cha avec sa partenaire Filette grâce aux outils de construction de cet environnement (« Perpendiculaire » à une droite ou à un plan, « Parallèle », intersections d’objets de cet environnement…) et aux transformations disponibles (translation, symétries axiales, centrales et par rapport à un plan, homothéties…).

03_Cha_Cha_Cha_demo.cg3

2. Quelques entrées pour le collège

2.1. Écrire son nom en empilant des cubes

On n’utilise pas ici la possibilité de créer un cube en trois clics (premier clic pour choir le plan de la première face, second clic pour positionner son centre et troisième clic pour positionner l’un des quatre sommets de cette face), à part pour la construction du premier cube (pied du F). On utilise la possibilité de créer un cube en l’accolant en un clic à toute face carrée dont on l’approche. Ce que l’on a fait ci-dessous.

04_Nom_Filou.cg3

Certains cubes sont transparents dans cette figure : ceux sont les cubes qui seront cachés pour obtenir l’écriture du nom de mon petit fils virtuel « Filou »

05_Nom_Filou.cg3

Ce travail n’est pas aussi simple qu’il y paraît. Il nécessite dextérité et surtout application. Il oblige les élèves ou les débutants à se servir de la possibilité de changer le point de vue à tous moments par un déplacement de la souris en maintenant le clic droit.

Autre intérêt : les élèves à qui on propose d’écrire ainsi leur nom découvrent que les cubes sont insuffisants pour arriver à modéliser des lettres moins « régulières ». Ils sont demandeurs de fonctionnalités qui permettraient, soit de couper les cubes, soit de les arrondir, soit de mettre des points ronds sur les I… Tout autant de demandes qui peuvent justifier l’utilisation des outils de découpes de polyèdres, les constructions de cylindres, sphères…

Remarque : cette technique d’empilement de cubes ou plutôt d’assemblage de cubes peut permettre d’illustrer en quelques clics le paradoxe du triangle impossible, à condition de présenter la construction faite sous un point de vue bien choisi.

06_Tr_Imp.cg3

Ce paradoxe a été illustré par le peintre Escher dans un tableau modélisé ci dessous de manière dynamique (par Ryuhey Kato, étudiant japonais).

07_Escher_Kato.cg3

La première figure semble représenter un escalier tournant où les marches sont toujours descendantes, ce que nous savons impossible dans la réalité. Le changement de point de vue permet de réaliser la « supercherie ». L’auteur du fichier a accolé des pavés de hauteurs décroissantes (seconde figure), a changé le point de vue pour abuser l’observateur (première figure). Pour mieux tromper l’observateur, il a modélisé un ballon sphérique qui saute de marche en marche (avec de subtiles astuces de constructions mais néanmoins classiques dans la modélisation du mouvement avec Cabri 3D). Toutes les constructions de cette figure ne sont pas des constructions « à main levée » mais des constructions faisant appel à des connaissances de géométrie dans l’espace. Ces connaissances montrent leur utilité pratique immédiate et leur utilité dans la manipulation des notions fondamentales à maîtriser.

2.2. Construire une maison réaliste

08_Maison.cg3

La construction de cette maison permet d’entrer dans le monde des objets de l’espace, pavés mais aussi polygones représentés dans différents plans. Elle permet d’utiliser des translations pour monter la charpente, pour construire un store coulissant, d’utiliser des rotations autour d’axes pour faire ouvrir ou fermer des portes en faisant référence à nos connaissances de notre monde environnant. On utilise les rotations de l’espace dans la vie de tous les jours sans les connaître théoriquement (quand on ouvre une porte ou une fenêtre). C’est une bonne raison pour susciter l’intérêt de nos élèves en leur montrant les outils qui permettent de modéliser ce que nous observons ou nous pratiquons.

2.3. Construire un manège animé

Ma collègue Kate Mackrell qui a beaucoup travaillé comme moi sur Cabri 3D, a eu envie très vite de créer un petit personnage en 3D qui viendrait en écho à mon petit Filou, lui-même créé en 2D. C’est ainsi que Claude est né. Vous le voyez ci-dessous profiter d’un tour de manège d’où il nous fait bonjour avec le bras droit.

La construction de ce manège fait travailler dans l’espace des notions élémentaires du plan. On se sert par exemple du centre d’un rectangle comme centre de symétrie de deux objets consécutifs du manège pour les animer de manières opposées (l’un monte pendant que l’autre descend). Il fait aborder les directions de l’espace , en particulier la verticale comme direction privilégiée : les cylindres et les cônes sont aussi introduits de manière naturelle.

09_Manege.cg3

A chaque fois que j’ai eu l’occasion de réaliser une formation en me servant de cette modélisation, les participants ont été subjugués par l’originalité et la simplicité de l’approche de l’espace avec de tels outils. Leur plaisir lorsqu’ils réussissent à animer le manège montre à quel point il peuvent adhérer à cette démarche de construction faisant appel à des connaissances qui se justifient par leur utilité.

2.4. Vider une piscine conique

Le fichier présenté ci-dessous a été réalisé par moi-même pour déclencher l’intérêt de ceux à qui on propose le problème de la modélisation du vidage d’une piscine conique dans un réservoir ayant la forme d’un pavé. C’est une certaine « expertise » qui permet de réaliser un tel fichier.

Néanmoins, il est possible d’aborder ce problème en partant simplement de la construction d’un cône renversé et d’un pavé .

10_Piscine.cg3

La solution du problème est simple : elle consiste dans un premier temps à créer un cône (dont la hauteur est pilotable par un point) inclus dans le cône initial et représentant le volume d’eau restant, d’évaluer les volumes V et v de ces deux cônes ainsi que V-v. Dans un second temps, après avoir mesurer la surface de base S du pavé donné, on utilise la calculatrice incluse dans le logiciel pour évaluer le rapport (V-v)/S qu’on nomme h et qui représente la hauteur d’eau rejetée dans le réservoir pavé initial. On construit un pavé de même base que le pavé initial et de hauteur h (utiliser simplement un report de mesure) pour représenter l’eau rejetée.

3. Quelques entrées pour le lycée

3.1. Claude sur une balançoire

Kate Mackrell a créé une multitude de fichiers remarquables où elle montre comment l’environnement Cabri 3D permet de modéliser toutes sortes de mouvements. Ces fichiers ont très souvent comme personnage principal son petit Claude. L’un des premiers mouvements qu’elle ait modélisé est le balancement de Claude sur une balançoire. L’ombre de Claude et de sa balançoire ne sont arrivés que plus tard.

11_Swinging_Claude.cg3

La construction de ce fichier dans une version légèrement simplifiée a souvent servi de support à une première initiation à Cabri 3D dans le cadre de formations de professeurs français ou étrangers. Elle permet de démystifier la géométrie dans l’espace et d’aborder un problème de modélisation en mobilisant des outils de création et des outils de construction en même temps que les transformations. Il n’est pas nécessaire de connaître (de la théorie) pour faire (aborder la pratique). Pour ceux qui connaissent un peu de didactique, cela illustre la notion de dialectique outil-objet (de Régine Douady) plus simplement traduit en langage courant par, « utiliser pratiquement des concepts avant de les connaître théoriquement » (c’est le « Using before knowing » de Noss et Hoyles didacticiens anglais beaucoup plus pragmatiques dans leur terminologie).

3.2. Balayage laser d’une pyramide

Cet exemple est extrait d’un CD de 40 activités que j’ai écrit et qui est à paraître. Ces activités balaient les niveaux de seconde, première et terminale avec comme objectif de donner aux professeurs des supports clé en mains d’activités en laboratoire d’informatique (dans le cadre de TP utilisant l’informatique et en vue d’une pratique plus expérimentale des mathématiques avec Cabri 2 Plus et Cabri 3D).

Le problème proposé consiste à construire les parties du tétraèdre et du sol éclairées par le rayon laser issu de E et passant I, le mouvement de I etant limité au segment H3H4. A l’ouverture du fichier, le rayon laser balaie l’espace comme décrit mais la trace jaune représentée sur la figure ci-dessous n’est pas donnée.

12_Eclairage_Laser.cg3

3.3. Le théorème du 4014

Le résultat simple de ce théorème est le fruit d’une expérimentation que j’ai menée avec Cabri 3D et que j’ai présenté au congrès ATCM 2007 à Taipei (Taïwan) avec sa démonstration qui se situe au niveau du lycée même si on a utilisé le calcul formel de la Voyage-200 ou de la TI-92 de Texas Instruments.

Partant d’un cube de volume V dans Cabri 3D, on crée son patron déformable à partir duquel on construit son enveloppe convexe. Le polyèdre obtenu est de volume V’. Le problème que je me suis posé était de déterminer quand ce volume était maximum ou mieux quand V’/V était maximum en prenant comme paramètre l’angle en degrés du plan horizontal avec l’une des quatre faces du patron.

L’investigation menée avec Cabri 3D permet de conjecturer que ce maximum vaut environ 4 pour un angle en degrés d’environ 40°.

13_Th_4014.cg3

Afin d’aborder la détermination exacte de ce maximum, j’ai utilisé les possibilités du logiciel pour éclater l’enveloppe convexe en un certains nombre d’objets simples (première figure ci-dessous) dont on peut évaluer simplement les volumes en fonction du paramètre choisi (seconde figure ci-dessous).

14_Eclate_1.cg3 | 15_Eclate_2.cg3

On évalue donc le volume de l’enveloppe convexe par :

V(a) =

Si on utilise la Voyage 200, on peut obtenir une valeur approchée de la valeur de l’angle permettant de maximiser le volume de l’enveloppe convexe

La valeur obtenue est 40,141113°

La valeur du maximum du volume (ici V’ car nous sommes parties d’un cube de côté 1) :

4,014137

Nous nous contenterons de ces valeurs approchées car le calcul de V’(a) toujours avec la Voyage 200 donne :

V’(a) =

Il n’est pas évident de déterminer une formule simple donnant la valeur annulant cette dérivée.

Nous nous contenterons de remarquer que les quatre premiers chiffres significatifs de ces deux nombres sont les mêmes : 4, 0, 1 et 4. L e cinquième est d’ailleurs aussi le même.

Théorème du 40/14 : le volume de l’enveloppe convexe du patron d’un cube de côté 1 est maximum pour un angle de 40,14° à 0,5.10-3 près. Ce maximum valant 4,014 à 0,5.10-3 près.

4. Angles extérieurs d’un polygone, d’un polyèdre

4.1. Cas de polygones convexes

Une petite animation simple avec Cabri 2 Plus permet de visualiser que les angles extérieurs d’un polygones (angles supplémentaires des angles aux sommets : figure de gauche ci-dessous) sont aussi les angles faits par deux perpendiculaires aux arêtes ayant un sommet commun (figure du centre ci-dessous) ; la démonstration en est aisée à tous niveaux.

16_Angl_Ext.fig

Dans la figure de droite ci-dessus on a représenté des rectangles de même largeur qui délimitent la seconde représentation des angles extérieurs.

Il est aisé de faire conjecturer que la somme des angles extérieurs est égale à 360°, tout simplement en mesurant ces angles et en additionnant leurs mesures.

Nous allons utiliser la dernière figure pour découvrir cette propriété par des considérations géométriques que nous généraliserons à l’espace.

Pour ce faire, on complète la figure de droite ci-dessus par des arcs de cercles et les secteurs correspondants (figure de gauche ci-dessous); on change la taille du polygone mais pas sa forme pour ne pas changer la somme des angles extérieurs (figure du centre ci-dessous) ; on agrandit la longueur commune de tous les rectangles, ce qui ne change pas les angles extérieurs (figure de droite ci-dessous).

17_Eclate_2.fig

Si on continue le processus entamé, diminuer la taille du polygone et augmenter la longueur commune des rectangles, on obtient la figure ci-contre qui permet de visualiser les secteurs angulaires représentant les angles extérieurs comme pratiquement un disque. Comme la somme est constante, à la limite nous obtenons donc clairement 360°. |

4.2. Cas des polyèdres convexes

La présentation qui va suivre est due à mon ami japonais Yoichi Maeda qui l’a montrée au congrès ATCM 2007 (Visualisation of Bonnet-Gauss theorem).

On commence par définir l’angle extérieur associé à un sommet C d’un polyèdre comme le supplémentaire des angles des faces du patron plat du polyèdre (figure ci-contre) pour l’angle extérieur en C au tétraèdre SABC). |

On rappelle ensuite la formule de Girard qui dit que tout angle extérieur en un sommet est égal à l’angle solide déterminé par les perpendiculaires aux faces attachées à ce sommet. Cet angle solide est illustré par la figure ci-contre. On n’a pas représenté la partie de sphère délimitée par les 3 arcs de cercle rouge et qui représente l’angle solide associé au sommet supérieur du tétraèdre. |

Par analogie avec le cas des polygones, on représente les angles solides en les délimitant par des prismes droits s’appuyant sur les faces du tétraèdre de départ (première figure ci-dessous). On construit des cylindres et des sphères qui permettent de délimiter en bleu des morceaux de sphères représentant les angles solides que l’on étudie (deuxième et troisième figure ci-dessous). On réduit la taille du tétraèdre sans changer sa forme (on utilise dans Cabri 3D l’outil « Homothétie »). On augmente les hauteurs des prismes droits. On constate que les portions de sphères représentant les angles solides précédents recouvrent à la limite une sphère entière, ce qui permet de prouver que la somme des angles extérieurs d’un polyèdre convexe est égale à 720° ou 4p (trois dernières figures ci-dessous).

18_Eclate_2.cg3 | 19_Eclate_2.cg3 | 20_Eclate_2.cg3

5. Une approche nouvelle de la fonction carrée

5.1. C’est une conique au sens d’Apollonius

La première fois que nos élèves entendent le mot parabole, c’est à l’occasion des tracés des courbes des fonctions polynômes du second degré. Cabri 3D nous donne l’opportunité et la possibilité de montrer que les courbes de telles fonctions sont bien définies par une intersection d’un cône avec un plan spécial. C’est un juste retour à l’origine historique des coniques.

On peut, partant de la courbe de la fonction carrée représentée dans un plan symbolisant le plan du tableau, construire un cône variable dont une arête est verticale. On affiche la courbe intersection de ce cône avec le plan du tableau (figure de gauche ci-dessous) puis on ajuste les paramètres du cône pour faire superposer cette courbe avec la courbe de la fonction carrée (début de l’ajustement dans la figure de droite ci-dessous). Notons que Cabri 3D reconnaît bien cette conique comme une parabole. La courbe de la fonction carrée a, elle, été construite à partir de 5 de ses points particuliers (ceux d’abscisses respectives -2, -1, 0, 1 et 2).

21_Parab_Cone.cg3 ¯

5.2. Découverte de son foyer et de sa directrice

Plusieurs mois après avoir réalisé cette construction, j’ai eu le désir de localiser le foyer de la parabole intersection avec le plan du tableau en me servant du cône initialement construit, celui dont la base était le cercle rouge des figures précédentes. J’ai eu l’intuition que le foyer pouvait être la projection orthogonale du centre de ce cercle sur le plan du tableau, ce qui me donnait de facto la position de la directrice. J’ai vite validé cette conjecture en mesurant les distances MF et MH classiques, en calculant leur rapport et en constatant l’invariance de ce rapport avec la valeur 1 pour les points de la courbe intersection (figure ci-dessous).

22_Parab_Foyer_Dir.cg3

5.3. Visualisation de la preuve donnée par Dandelin

Une recherche faite par les membres de mon groupe IREM de géométrie dynamique de l’IREM de Toulouse et en particulier par Joël Moreau, a abouti à la mise en évidence de la démonstration de ce résultat particulier par Dandelin. Je me suis donc empressé de visualiser avec Cabri 3D cette preuve qui était initialement donnée avec comme support une seule figure papier.

Cette démonstration est illustrée par la figure ci dessous où la sphère bleue est centrée au centre du cercle de base du cône violet, Par construction, cette sphère est tangente au plan du tableau en F et par conséquent tangent au cône sur son génératrice verticale. La démonstration repose sur l’égalité des segments représentés en noir. En particulier, (MF) et (MK) sont des tangentes à cette sphère issues de M. (PN) est une autre tangente à cette sphère. Pour des raisons évidentes PN = MH ce qui permet de boucler la preuve (sachant que [PN] et [MK] sont des sous-tangentes portées par des génératrices du cône et délimitées par deux plans perpendiculaires à son axe).

23_Parab_Dand.cg3

5.4. Le cas des ellipses d’Apollonius

On sait que lorsqu’un plan coupe une seule des deux nappes d’un cône, la courbe intersection est une ellipse sauf le cas particulier du cercle. Dans ce cas là, on peut repérer les foyers de cette ellipse qui conduisent à sa caractérisation bifocale (MF + MF’ = constante)

5.4.1. Position des foyers

Les foyers sont les deux points de contact des sphères bitangentes intérieurement au cône et au plan de section. La validation se fait en mesurant d’abord MF et MF’, en calculant ensuite la somme de ces valeurs et enfin en constatant l’invariance de cette somme (figure ci-dessous).

5.4.2. Visualisation de la preuve donnée par Dandelin

La figure ci-dessous permet de visualiser la preuve de ce résultat, elle aussi due à Dandelin.

On prouve que MF + MF’ est constant et égal à I1I2 où I1 et I2 sont respectivement les points de contact d’une génératrice du cône avec les sphères bitangentes. En effet, [MF] est une sous-tangente issue de M à la sphère supérieure et il en est de même pour [MI1] donc MF = MI1. On raisonne de la même façon pour prouver MF’ = MI2. D’où le résultat annoncé par addition. 24_Ellipse_Dand.cg3 ® |

6. Conclusion

La présentation faite a montré l’intérêt d’une utilisation du logiciel Cabri 3D à condition de puiser dans ses potentialités innovantes. Le rôle des experts est crucial pour fournir aux professeurs les techniques d’utilisation de la géométrie dynamique de l’espace qui doivent renouveler leur manière d’aborder et d’enseigner cette partie du programme mal aimée et si longtemps « rejetée ».

6.1. Constructions modélisantes

Modéliser le réel avec un logiciel qui permet de tenir entre ses doigts aussi bien les objets que l’on représente que les objets mathématiques qui les représentent est une de ces approches innovantes et motivantes.

6.2. Pour aller du concret vers l’abstrait

Cette approche par la modélisation, à l’inverse de ce qui était fait jusqu’à présent, permet de traiter les problèmes qui se posent en utilisant des outils longtemps avant de connaître la manière dont ils ont eux mêmes été conçus. Pas de théorie a priori mais de la pratique avant tout. La pratique fera émerger les concepts : connaître les noms donnés à certains concepts ne fait pas comprendre leur véritable sens. La démarche expérimentale (où les investigations qui sont naturelles, mènent à des conjectures ou viennent les valider en laissant toujours le doute écarter la certitude) est favorisée par cet environnement. Elle permet de faire comprendre le sens caché des problèmes pratiques proposés : expérimenter pour abstraire.

6.3. Les connaissances sont fortement sollicitées et enrichies

On aura pu constater tout au long des exemples proposés que, certes, des connaissances sont nécessaires, mais aussi que le besoin de modéliser des phénomènes réels nous conduit à utiliser des outils ou des techniques que l’observation de la nature nous aura inspiré. On met le doigt dans l’engrenage des connaissances et le professeur se doit d’être présent pour aider ses élèves à gérer avec succès ces étapes de leur apprentissage.

J’espère que cette présentation fera comprendre à tous que l’arrivée de la géométrie dynamique en 3D change beaucoup de paramètres dans l’enseignement de la géométrie de l’espace :

D’abord aux enseignants qui ont été peu nombreux à assister à ma présentation alors que partout ailleurs dans le monde, tout ce qui concerne l’enseignent de la 3D avec Cabri 3D suscite engouement et avidité d’informations.

Ensuite à l’Institution qui devrait comprendre que si elle veut aider ses professeurs de mathématiques à enseigner des mathématiques plus attractives, des mathématiques de notre temps, il faut qu’elle y mette le prix en terme de formation continue dès maintenant et le plus vite possible en formation initiale.

Je pense que ma présentation aura pu montré que l’apport d’un nouvel outil comme Cabri 3D ou d’un autre dans le domaine informatique a besoin d’être pensé, étudié avec soin et non laissé à une libre utilisation sans formation par les Professeurs utilisateurs. Sinon, on risque de voir une utilisation pauvre des outils modernes, une appropriation aussi pauvre par les enseignants que fut celle des calculatrices graphiques par les élèves qui les ont achetées et utilisées à leur début sans l’aide de leurs enseignants qui n’avaient pas reçu, eux, la formation indispensable.

Pour finir cette présentation, j’ai choisi encore une construction réalisée par Kate Mackrell qui y modélise un ruban de Moebius sur lequel son petit Filou glisse, montrant ainsi de manière dynamique que ce ruban ne possède qu’une face. On pourra imaginer les propriétés mathématiques utilisées alliant compétences dans le logiciel et connaissances minimum sur les transformations de l’espace. Comme le montrait Jean-Pierre Bourguignon dans sa conférence inaugurale, les problèmes posées par la technologie sont sources d’enrichissement des connaissances mathématiques.

25_Claude_on_Mobius.cg3

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http://www-diam.imag.fr/thesesequipe.htm

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