\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {},
pdftitle = {2013},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\thispagestyle{empty}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2013~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\bigskip

L'usage de calculatrices, de téléphones portables ou de documents personnels n'est pas autorisé

\bigskip

\textbf{\large QUESTIONS LIÉES}

\bigskip

\textbf{1 et 2\\[7pt]
3 à 5\\[7pt]
6 à 13\\[7pt]
14 et 15}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\bigskip

L'espace uni d'un repère orthonormal $\left(O,~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$. 

On note $(D)$ la droite passant par les points A$(1~;~-2, -1)$ et B$(3~;~-5~;~-2)$ et $\left(D'\right)$ la droite ayant pour représentation paramétrique
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2 - k\\y&=&1 + 2k\\
z&=&k
\end{array}\right., \,\text{avec}\, k \in \R\]

On considère le plan $P)$ d'équation : $4x + y + 5z + 3 = 0$

\bigskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

On montre que

\medskip

\begin{enumerate}
\item la droite $(D)$ a pour représentation paramétrique : 
$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 + 2t\\y&=&- 2 + 3t\\
z&=& 1 + t
\end{array}\right.$, avec $t \in \R$
\item la droite $(D)$ est dirigée par dirigée par le vecteur de coordonnées $(-1~;~2~;~1)$
\item les droites $(D)$ et $(D')$ sont parallèles car elles ne sont pas sécantes
\item les droites $(D)$ et $(D')$ ne sont pas coplanaires car elles ne sont pas parallèles et n'ont aucun point commun puisque le système $\left\{\begin{array}{l c r}
1 + 2t	&=&2 - k\\
- 2 - 3t&=&1 + 2k\\
- 1 - t	&=&k
\end{array}\right.$ n'a pas de solution
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Question 2 :}

\medskip

On montre que

\medskip

\begin{enumerate}
\item le plan $(P)$ contient la droite $(D)$
\item le plan $(P)$ contient la droite $(D')$
\item le plan $(P)$ et la droite $(D')$ se coupent en un seul point dont les coordonnées sont $(6~;~-7~;~-4)$
\item le plan $(P)$ et la droite $(D)$ se coupent en un seul point dont les coordonnées sont $(-7~;~10~;~3)$
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\medskip

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2 + \sqrt{3} + \text{i}$.

\bigskip

\textbf{Question 3 :}

\medskip 

Le complexe $z_{\text{A}}$ a  

\begin{enumerate}
\item pour module $\left|z_{\text{A}}\right| = 2$
\item pour module $\left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{1 + \text{i}^2} = 0$
\item pour argument arg$\left(z_{\text{A}}\right) = \pi/4$ 
\item pour argument arg$\left(z_{\text{A}}\right) = 7\pi/4$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4 :}

\medskip  La forme algébrique du complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ s'écrit 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i} \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}$
\item $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = -\left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i} \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}$
\item $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3}\right) + \text{i} \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$
\item $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3}\right) + \text{i} \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip 

On en déduit que le complexe $z_{\text{B}}$ a 

\medskip

\begin{enumerate}
\item pour module $\left|z_{\text{B}}\right| = 1 + \sqrt{3}$
\item pour module $\left|z_{\text{B}}\right| = \sqrt{6} + \sqrt{3}$
\item pour argument arg$\left(z_{\text{B}}\right) = - \pi/4 + \pi/3 = \pi/12$
\item pour argument arg$\left(z_{\text{B}}\right) = 7\pi/12$
\end{enumerate}


\medskip

\begin{center} \textbf{PARTIE III}\end{center}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On note $f_n$ la fonction définie sur l"ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f_n(x)= \dfrac{\text{e}^{-nx}}{\left(1 + \text{e}^{-x}\right)}\]

e désigne la  fonction exponentielle et ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormé.

\bigskip

\textbf{Question 6 :}

\medskip 

La fonction $f_0$

\begin{enumerate}
\item a pour dérivée $f'_0(x) = - \dfrac{1}{\text{e}^{-x}}$ pour tout $x$ réel
\item a pour dérivée $f'_0(x) = - \dfrac{\text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x}\right)^2}$ pour tout $x$ réel.
\item est décroissante sur $\R$
\item est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$ et croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 7 :}

\medskip 

On établit que

\medskip

\begin{enumerate}
\item la fonction $f_0$ a pour limite 0 lorsque $x$ tend vers $-\infty$ et 1 lorsque $x$ tend vers $+\infty$
\item la fonction $f_0$ a pour limite 1 lorsque $x$ tend vers $-\infty$ et 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$
\item la courbe $\mathcal{C}_0$ admet pour asymptotes les droites d'équation $y = 0$ et $y = 1$
\item la courbe $\mathcal{C}_0$ admet pour asymptotes horizontales les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8 :}

\medskip 

On montre que

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f_0(x) = - f_1(- x)$ pour tout $x$ réel
\item $f_0(x) = f_1(-x)$ pour tout $x$ réel
\item la fonction $f_1$ est strictement croissante sur $\R$ car $f'_1(x) = f'_0(- x) > 0$ pour tout $x$ réel
\item la fonction $f_1$ est strictement décroissante sur $\R$ car $f'_1(x) = - f'_0(x) < 0$ pour tout x réel
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9 :}

\medskip 

On établit que

\medskip

\begin{enumerate}
\item les courbes $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ sont symétriques par rapport à 1 ordonnées car
$f_0(x) = f_1(- x)$ pour tout $x$ réel
\item les courbes $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées car

$f_0(x) = -f_1(- x)$ pour tout $x$ réel
\item les courbes $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ sont des droites parallèle
\item les courbes $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ ont un point commun de coordonnées $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 10 :}

\medskip 

Pour tout n entier supérieur ou égal 2, la fonction $f_n$

\medskip

\begin{enumerate}
\item n'admet pas de limite en $-\infty$
\item a pour limite 1 lorsque $x$ tend vers $-\infty$
\item a pour  limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers  $+\infty$ et $0$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$ 
\item a pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ et 0 lorsque $x$ tend vers $+ \infty$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 11 :}

\medskip 

Pour tout $n$ entier supérieur ou égal 2, la fonction $f_n$

\medskip

\begin{enumerate}
\item a pour dérivée $f'n(x) = \dfrac{n\text{e}^{-nx}}{\text{e}^{-x}}$ pour 
\item a pour dérivée $f'n(x) = - \dfrac{n\text{e}^{-nx} + (n - 1)\text{e}^{(n- 1)x}}{\left(\text{e}^{-nx} + \text{e}^{(n-1)x}\right)^2}$
\item est décroissante et minorée par $0$ sur $\R$
\item est croissante et minorée par $0$ sur $\R$


\bigskip

Pour tout entier naturel $n$, \,  $u_n$ représente l'aire, en unités d'aire, du domaine plan  délimité par la courbe $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 12 :}

\medskip 

La suite $\left(u_n\right)$ vérifie 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_1 = - \dfrac{\text{e}^{-1}}{1 + \text{e}^{-1}} + \dfrac{1}{2}$ et $u_0 = 1- u_1$
\item $u_1 = \ln (2) - \ln \left(1 + \text{e}^{-1}\right)$ et $u_0 = 1 - \ln (2) + \ln \left(1 + \text{e}^{-1}\right) )$
\item $0 \leqslant  u_n \leqslant \dfrac{1}{2}$ pour tout $n$ entier naturel
\item $0 \leqslant  u_n \leqslant \displaystyle\int_0^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$ pour tout $n$ entier naturel
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 13 :}

\medskip 

La suite $\left(u_n\right)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item n'est pas convergente car elle est croissante et non majorée
\item est convergente car elle est croissante et majorée
\item est convergente car elle est décroissante et minorée
\item a pour limite $0$ car, pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{PARTIE IV} \end{center}



La durée de vie d'un téléphone portable (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), mesurée en années, est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda$ réel strictement positif.

Pour tout $t$ réel positif, on note $p(X \leqslant t)$ la probabilité qu'un téléphone portable ait une durée de vie inférieur à $t$ années.

e désigne la fonction exponentielle et ln la fonction logarithme népérien.

\bigskip

\textbf{Question 14 :}

\medskip 

On suppose, dans cette question, que la probabilité qu'un téléphone portable portable ait une durée de vie strictement supérieure À deux années est égale à $\text{e}^{-2}$, on a 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_0^1 \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$ pour tout t réel positif
\item $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_0^1 \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x = \dfrac{1 - \text{e}^{-\lambda t} }{\lambda}$
\item $\lambda = \dfrac{\ln \text{e}^2}{2} = 1$ 
\item $\lambda = \dfrac{\ln \frac{\text{e}^2}{\text{e}^2 - 1}}{2}$

\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Question 15 :}

\medskip  

Reprenant la valeur du paramètre $\lambda $ de la question précédente, on note $p_{X>1}(X > 4)$ la probabilité qu'un téléphone portable ait une durée de vie supérieure à 4  années sachant qu'il n'a pas eu de panne au cours de la première année. On a

\begin{enumerate}
\item l'espérance de $X$ vaut $E(X) = \lambda = 1$
\item l'espérance de $X$ vaut $E(X) = \displaystyle\int_0^t \lambda x \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{\lambda} = 1$

\item $p_{X>1}(X > 4) = p(X > 4) = 1 -  p(X \leqslant 4) = \text{e}^{-4}$.
\item $p_{X>1}(X > 4) = \dfrac{P(X > 4)}{p(X > 1)} = \dfrac{(1- p(X \leqslant 4}{1- p \leqslant 1} = \dfrac{\text{e}^{-4}}{\text{e}^{-1}}$
\end{enumerate}
\end{document}