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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{Épreuve optionnelle}}
\rfoot{\small 2012}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2012~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\textbf{Question liées  :\\[10pt]
3 à 8\\[10pt]
9 et 10\\[10pt]
11 à 15\\[10pt]}

\end{center}

\newpage

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le plan $(P)$ d'équation $x + 2y - z - 4 = 0$ et le plan $(Q)$ d'équation 

$2x + 3y - 2z - 5=0$.

L'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item~vide car ces deux plans sont parallèles
		\item une droite car ces deux plans ne sont pas parallèles puisque le vecteur de composantes $(1~;~2~;~-1)$, normal à $(P)$, et le vecteur de composantes $(2~;~3~;~-2)$, normal à $(Q)$, ne sont pas colinéaires
		\item le point de coordonnées (0~;~3~;~2)
		\item est la droite d'équation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -2+t\\
y& =& \phantom{-2+} 3 \\
z &=& \phantom{-2+} t
\end{array}\right.$ où $t$ appartient à l'ensemble des réels $\R$
	\end{enumerate}

\bigskip
	
\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\medskip

\item Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude statistique établit que chaque fois qu'il rencontre un client, la probabilité qu'il vende son produit est égale à $p = 0,1$. Sachant qu'il rencontre cinq clients par matinée, en moyenne, chaque rencontre étant considérée comme une expérience identique et indépendante, on montre que

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item le nombre de produits vendus en une matinée définit une variable aléatoire
discrète qui suit la loi binomiale de paramètres $5$ et $p$,
		\item le nombre de produits vendus en une matinée définit une variable aléatoire qui suit la loi uniforme de paramètre $p$,
		\item la probabilité qu'il vende exactement trois produits dans une matinée est égale à $p^3(1 - p)^2 = \np{0,00081}$,
		\item la probabilité qu'il vende exactement trois produits dans une matinée est égale à $10 p^3(1 - p)^2 = \np{0,0081}$.
	\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]-1~;~,+\infty[$ par 

\[f(x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{(1 + x)}\]

ln désignant la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ et $D$ celle représentant la droite d'équation $y = x$ dans un repère orthonormé.

\bigskip

\item La fonction $f$

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item a pour dérivée $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(1+x)^2}$ pour tout $x$ appartenant à $I$
		\item a pour dérivée $f'(x) = \dfrac{(1+x)^2 - 1 + \ln (1 + x)}{1+x}$ pour tout $x$ appartenant à $I$
		\item est décroissante sur l'intervalle $]-1~;~1[$ et croissante sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ car la fonction $F(x) = (1+x)^2 - 1 + \ln (1 +x)$ est croissante sur $I$ et nulle au point $x=0$
		\item est décroissante sur l'intervalle $]-1~;~0[$ et croissante sur l'inter vaIle $]O~;~+\infty[$ car la fonction $F(x) = (1+x)^2 - 1 + \ln (1 +x)$ est décroissante sur $I$ et nulle au point $x=0$
	\end{enumerate}
\item Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $D$

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item ne se coupent en aucun point
		\item se coupent au moins en deux points
		\item se coupent en un seul point car l'équation $\ln (1 +x) = 0$ admet une solution unique 
		\item se coupent à l'origine du repère
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item Si $x$ appartient à l'intervalle [0~;~4] aIors

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item $f(x)$ appartient à l'intervalle $[-4~;~0]$ car la fonction $f$ est décroissante sur [0~;~4] 
		\item $f(x)$ appartient à l'intervalle [0~;~4] car la fonction $f$ est croissante sur [0~;~4] 
		\item $f(x)$ ne peut appartenir à l'intervalle [0~;~4]
		\item $f(x)$ appartient à l'intervalle $[4~;~+\infty[$
	\end{enumerate}

\bigskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&4\\
\text{et}& &\\
u_{n+1} &=& f\left(u_n\right)\,  \text{pour tout entier naturel}\,  n
\end{array}\right.\]

\medskip

\item On montre que

	\begin{enumerate}
		\item pour tout entier naturel $n$,\, $u_n$ appartient à l'intervalle $[0~;~+\infty[$
		\item pour tout entier naturel $n$,\, $u_n$ appartient à l'intervalle $[4~;~+\infty[$
		\item pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ appartient à l'intervalle $[-4~;~0]$ 
		\item $u_n$ ne peut appartenir à l'intervalle [0~;~4] pour tout entier naturel $n$
	\end{enumerate}

\medskip
	
\item La suite $\left(u_n\right)$

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item est décroissante et majorée par 0 
		\item est croissante et majorée par 4 
		\item est décroissante et minorée par 4 
		\item n'est ni croissante ni décroissante
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item La suite $\left(u_n\right)$

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item n'est pas convergente car elle est croissante non majorée
		\item est convergente car elle est décroissante et minorée et elle a pour limite 0 car 0 est solution de l'équation $f(x) = x$
		\item est convergente car elle est croissante et majorée et elle a pour limite 4 car 4 est solution de l'équation $f(x) = x$
		\item n'est pas convergente car elle est décroissante non minorée
	\end{enumerate}
	
\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}

\medskip

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies respectivement sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x) = \text{e}^x \sin x\quad \text{et}\quad  g(x) = \text{e}^x \cos x\]

où e désigne la fonction exponentielle.
 
On note $L$ l'intégrale de la fonction $f$ sur le segment $[O~;~\pi]$ et $M$ l'intégrale de $g$ sur ce même segment $[O~;~\pi]$:

\[L = \displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\:\text{d}x\quad \text{et} \quad M = \displaystyle\int_0^{\pi} g(x)\:\text{d}x\]

\item On montre, en utilisant la formule d'intégration par parties, que 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item $M = L$ car $\cos x$ est la dérivée de $\sin x$
		\item $M = -L$ car $\cos x$ est une primitive de $\sin x$
		\item $-M = -L + 1 + \text{e}^{\pi}$ car $\cos x$ est une primitive de $sin x$
		\item $L = M + 1 + \text{e}^{\pi}$ car $\cos x$ est une primitive de $(- \sin x)$
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\item On obtient 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item $L = \dfrac{1+\text{e}^{\pi}}{2} = M$
		\item $L = \dfrac{1+\text{e}^{\pi}}{2} -M$ 
		\item $L = - \dfrac{1+\text{e}^{\pi}}{2} = - M $
		\item $L = - \dfrac{1+\text{e}^{\pi}}{2}= M$
	\end{enumerate}
	
\bigskip
	
On considère l'équation

\[(E) \quad P(z) = z^3 -  ( 4 + \text{i}) ~ + (13 + 4\text{i})z - 13\text{i} = 0\]

où $z$ est un nombre complexe.

\medskip

\item L'ensemble $S$ des solutions de l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes est

	\begin{enumerate}
		\item $S = \{\text{i}~;~2- 3\text{i}\}$ car i et $2 - 3\text{i}$ sont racines de $(z - \text{i})\left(z^2 - 4z+ 13\right)$
		\item $ = \{2 - 3\text{i}~;~2+3\text{i}\}$
		\item $S = \{\text{i}~;~2-3\text{i}~;~2 + 3\text{i}\}$ car $P(z)$ peut s'écrire sous la forme $(z - \text{i})\left(z^2 - 4z+ 13\right)$ 
		\item $S = \{\text{i}~;~-\text{i}~;~2 + 3\text{i}\}$
	\end{enumerate}
	
\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE V}\end{center}

\medskip

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A, B, C et D les points d'affixes respectives i, $2 + 3\text{i}, 2 - 3\text{i}$ et $-\text{i}$. On note $r$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.

\medskip

\item Soient $z$ l'affixe d'un point $M$ et $z'$ l'affixe du point $M'$, image du point $M$ par la rotation $r$, on a

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item $z' -2 - 3\text{i} = \text{e}^{ -\text{i}\frac{\pi}{4}}(z - 2- 3\text{i})$ 
		\item $z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}(z - 2- 3\text{i})$
		\item $z' -2 - 3\text{i} =\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z$
		\item $z'+ 2 + 3\text{i} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}(z - 2- 3\text{i})$
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item L'affixe $z'_{\text{A}}$ du point A', image du point A par la rotation r, est égaIe à \medskip

	\begin{enumerate}
		\item $z'_{\text{A}} = - 2 + \left(3 - 2\sqrt{2}\right)\text{i}$
		\item $z'_{\text{A}} = 2 + (3 + 2\sqrt{2})\text{i}$ 
		\item $z'_{\text{A}} = 2- (3 - 2\sqrt{2})\text{i}$
		\item $z'_{\text{A}} = 2+ (3 - 2\sqrt{2})\text{i}$
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item On montre que les points

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item A, B et D sont alignés
		\item A$'$, B et C sont alignés car leurs affixes ont même partie réelle égale à 2 
		\item A, B et C sont alignés
		\item A, B et D ne sont pas alignés
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item On établit alors que

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item A$'$ est l'image du point C par une homothétie de centre B et de rapport $k = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$
		\item A$'$ est l'image du point C par une homothétie de centre B et de rapport $k = - \dfrac{\sqrt{2}}{3}$
		\item A$'$ est l'image du point C par une rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$ 
		\item A$'$ est l'image du point C par une rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}