\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\Alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \setlength\headheight{14pt} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{Épreuve optionnelle}} \rfoot{\small 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2012~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \medskip \textbf{MATHÉMATIQUES} \bigskip \textbf{Question liées :\\[10pt] 3 à 8\\[10pt] 9 et 10\\[10pt] 11 à 15\\[10pt]} \end{center} \newpage \begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On considère le plan $(P)$ d'équation $x + 2y - z - 4 = 0$ et le plan $(Q)$ d'équation $2x + 3y - 2z - 5=0$. L'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est \medskip \begin{enumerate} \item~vide car ces deux plans sont parallèles \item une droite car ces deux plans ne sont pas parallèles puisque le vecteur de composantes $(1~;~2~;~-1)$, normal à $(P)$, et le vecteur de composantes $(2~;~3~;~-2)$, normal à $(Q)$, ne sont pas colinéaires \item le point de coordonnées (0~;~3~;~2) \item est la droite d'équation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& -2+t\\ y& =& \phantom{-2+} 3 \\ z &=& \phantom{-2+} t \end{array}\right.$ où $t$ appartient à l'ensemble des réels $\R$ \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center} \medskip \item Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude statistique établit que chaque fois qu'il rencontre un client, la probabilité qu'il vende son produit est égale à $p = 0,1$. Sachant qu'il rencontre cinq clients par matinée, en moyenne, chaque rencontre étant considérée comme une expérience identique et indépendante, on montre que \medskip \begin{enumerate} \item le nombre de produits vendus en une matinée définit une variable aléatoire discrète qui suit la loi binomiale de paramètres $5$ et $p$, \item le nombre de produits vendus en une matinée définit une variable aléatoire qui suit la loi uniforme de paramètre $p$, \item la probabilité qu'il vende exactement trois produits dans une matinée est égale à $p^3(1 - p)^2 = \np{0,00081}$, \item la probabilité qu'il vende exactement trois produits dans une matinée est égale à $10 p^3(1 - p)^2 = \np{0,0081}$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]-1~;~,+\infty[$ par \[f(x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{(1 + x)}\] ln désignant la fonction logarithme népérien. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ et $D$ celle représentant la droite d'équation $y = x$ dans un repère orthonormé. \bigskip \item La fonction $f$ \medskip \begin{enumerate} \item a pour dérivée $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(1+x)^2}$ pour tout $x$ appartenant à $I$ \item a pour dérivée $f'(x) = \dfrac{(1+x)^2 - 1 + \ln (1 + x)}{1+x}$ pour tout $x$ appartenant à $I$ \item est décroissante sur l'intervalle $]-1~;~1[$ et croissante sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ car la fonction $F(x) = (1+x)^2 - 1 + \ln (1 +x)$ est croissante sur $I$ et nulle au point $x=0$ \item est décroissante sur l'intervalle $]-1~;~0[$ et croissante sur l'inter vaIle $]O~;~+\infty[$ car la fonction $F(x) = (1+x)^2 - 1 + \ln (1 +x)$ est décroissante sur $I$ et nulle au point $x=0$ \end{enumerate} \item Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $D$ \medskip \begin{enumerate} \item ne se coupent en aucun point \item se coupent au moins en deux points \item se coupent en un seul point car l'équation $\ln (1 +x) = 0$ admet une solution unique \item se coupent à l'origine du repère \end{enumerate} \medskip \item Si $x$ appartient à l'intervalle [0~;~4] aIors \medskip \begin{enumerate} \item $f(x)$ appartient à l'intervalle $[-4~;~0]$ car la fonction $f$ est décroissante sur [0~;~4] \item $f(x)$ appartient à l'intervalle [0~;~4] car la fonction $f$ est croissante sur [0~;~4] \item $f(x)$ ne peut appartenir à l'intervalle [0~;~4] \item $f(x)$ appartient à l'intervalle $[4~;~+\infty[$ \end{enumerate} \bigskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0&=&4\\ \text{et}& &\\ u_{n+1} &=& f\left(u_n\right)\, \text{pour tout entier naturel}\, n \end{array}\right.\] \medskip \item On montre que \begin{enumerate} \item pour tout entier naturel $n$,\, $u_n$ appartient à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ \item pour tout entier naturel $n$,\, $u_n$ appartient à l'intervalle $[4~;~+\infty[$ \item pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ appartient à l'intervalle $[-4~;~0]$ \item $u_n$ ne peut appartenir à l'intervalle [0~;~4] pour tout entier naturel $n$ \end{enumerate} \medskip \item La suite $\left(u_n\right)$ \medskip \begin{enumerate} \item est décroissante et majorée par 0 \item est croissante et majorée par 4 \item est décroissante et minorée par 4 \item n'est ni croissante ni décroissante \end{enumerate} \medskip \item La suite $\left(u_n\right)$ \medskip \begin{enumerate} \item n'est pas convergente car elle est croissante non majorée \item est convergente car elle est décroissante et minorée et elle a pour limite 0 car 0 est solution de l'équation $f(x) = x$ \item est convergente car elle est croissante et majorée et elle a pour limite 4 car 4 est solution de l'équation $f(x) = x$ \item n'est pas convergente car elle est décroissante non minorée \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center} \medskip On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies respectivement sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \text{e}^x \sin x\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^x \cos x\] où e désigne la fonction exponentielle. On note $L$ l'intégrale de la fonction $f$ sur le segment $[O~;~\pi]$ et $M$ l'intégrale de $g$ sur ce même segment $[O~;~\pi]$: \[L = \displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\:\text{d}x\quad \text{et} \quad M = \displaystyle\int_0^{\pi} g(x)\:\text{d}x\] \item On montre, en utilisant la formule d'intégration par parties, que \medskip \begin{enumerate} \item $M = L$ car $\cos x$ est la dérivée de $\sin x$ \item $M = -L$ car $\cos x$ est une primitive de $\sin x$ \item $-M = -L + 1 + \text{e}^{\pi}$ car $\cos x$ est une primitive de $sin x$ \item $L = M + 1 + \text{e}^{\pi}$ car $\cos x$ est une primitive de $(- \sin x)$ \end{enumerate} \medskip \item On obtient \medskip \begin{enumerate} \item $L = \dfrac{1+\text{e}^{\pi}}{2} = M$ \item $L = \dfrac{1+\text{e}^{\pi}}{2} -M$ \item $L = - \dfrac{1+\text{e}^{\pi}}{2} = - M $ \item $L = - \dfrac{1+\text{e}^{\pi}}{2}= M$ \end{enumerate} \bigskip On considère l'équation \[(E) \quad P(z) = z^3 - ( 4 + \text{i}) ~ + (13 + 4\text{i})z - 13\text{i} = 0\] où $z$ est un nombre complexe. \medskip \item L'ensemble $S$ des solutions de l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes est \begin{enumerate} \item $S = \{\text{i}~;~2- 3\text{i}\}$ car i et $2 - 3\text{i}$ sont racines de $(z - \text{i})\left(z^2 - 4z+ 13\right)$ \item $ = \{2 - 3\text{i}~;~2+3\text{i}\}$ \item $S = \{\text{i}~;~2-3\text{i}~;~2 + 3\text{i}\}$ car $P(z)$ peut s'écrire sous la forme $(z - \text{i})\left(z^2 - 4z+ 13\right)$ \item $S = \{\text{i}~;~-\text{i}~;~2 + 3\text{i}\}$ \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE V}\end{center} \medskip Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A, B, C et D les points d'affixes respectives i, $2 + 3\text{i}, 2 - 3\text{i}$ et $-\text{i}$. On note $r$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. \medskip \item Soient $z$ l'affixe d'un point $M$ et $z'$ l'affixe du point $M'$, image du point $M$ par la rotation $r$, on a \medskip \begin{enumerate} \item $z' -2 - 3\text{i} = \text{e}^{ -\text{i}\frac{\pi}{4}}(z - 2- 3\text{i})$ \item $z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}(z - 2- 3\text{i})$ \item $z' -2 - 3\text{i} =\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z$ \item $z'+ 2 + 3\text{i} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}(z - 2- 3\text{i})$ \end{enumerate} \medskip \item L'affixe $z'_{\text{A}}$ du point A', image du point A par la rotation r, est égaIe à \medskip \begin{enumerate} \item $z'_{\text{A}} = - 2 + \left(3 - 2\sqrt{2}\right)\text{i}$ \item $z'_{\text{A}} = 2 + (3 + 2\sqrt{2})\text{i}$ \item $z'_{\text{A}} = 2- (3 - 2\sqrt{2})\text{i}$ \item $z'_{\text{A}} = 2+ (3 - 2\sqrt{2})\text{i}$ \end{enumerate} \medskip \item On montre que les points \medskip \begin{enumerate} \item A, B et D sont alignés \item A$'$, B et C sont alignés car leurs affixes ont même partie réelle égale à 2 \item A, B et C sont alignés \item A, B et D ne sont pas alignés \end{enumerate} \medskip \item On établit alors que \medskip \begin{enumerate} \item A$'$ est l'image du point C par une homothétie de centre B et de rapport $k = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$ \item A$'$ est l'image du point C par une homothétie de centre B et de rapport $k = - \dfrac{\sqrt{2}}{3}$ \item A$'$ est l'image du point C par une rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$ \item A$'$ est l'image du point C par une rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}