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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{Épreuve optionnelle}}
\rfoot{\small 2008}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2008~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\textbf{Question liées  :\\[10pt]
1 à 5\\[10pt]
6 à 15\\[10pt]
}

\end{center}

\newpage

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\medskip

Le plan affine (P) est rapporté à un repère orthonormé. $z$ est un élément de l'ensemble $\C$ des nombres complexes que l'on écrira sous la forme $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. On appelle $M$ le point de (P) d'affixe le complexe $z$.

On considère la transformation $F$ qui au nombre complexe $z$ associe, lorsqu'elle existe, le complexe $Z$ défini par 

\[Z = F(z) = \dfrac{z^2}{z + \text{i}}.\]

\medskip

\textbf{Question 1 :} F(z) est défini 

\medskip

\begin{enumerate}
\item pour tout $z$ réel
\item pour tout $z$ imaginaire pur
\item pour tout nombre complexe $z$ différent de i 
\item uniquement pour $z$ réel
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2 :} Les parties réelle $X$ et imaginaire $Y$ du nombre complexe $Z = F(z)$ s'écrivent 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $X = \dfrac{x\left(x^2+ y^2 +2x\right)}{x^2 + (y + 1)^2}$
\item $X = \dfrac{x\left(x^2+ y^2  +2y\right)}{(x^2 - (y + 1)^2}$
\item $Y = \dfrac{x\left(x^2+ y^2 + 2y\right)}{x^2 +(y + 1)^2}$
\item $Y =\dfrac{y\left(x^2 + y^2\right)+ y^2 - x^2}{x^2 - (y +1)^2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3 :} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z = F(z)$ soit imaginaire pur 

\medskip

\begin{enumerate}
\item ne contient aucun point
\item est constitué uniquement de la droite d'équation $x = 0$ privé du point i 
\item contient la droite d'équation $x = 0$
\item contient le cercle de centre le point $(0~;~-1)$ et de rayon 1
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4 :}

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z = F(z)$ soit réel 

\medskip

\begin{enumerate}
\item contient le cercle de centre le point $(0~;~-1)$ et de rayon 1
\item est l'ensemble des points qui vérifient l'équation $y\left(x^2 + y^2\right)+ y^2 - x^2 = 0$
\item contient la droite d'équation $x = 0$ privé du point $- \text{i}$ 
\item ne contient aucun point
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5 :} Les coordonnées polaires, module et argument, $(r~;~\theta)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z = F(z)$ soit réel vérifient

\medskip

\begin{enumerate}
\item $r = \dfrac{1}{\sin \theta} - 2 \sin \theta$ 
\item $r = 1$ et $\theta$ réel
\item $r = \dfrac{1}{\sin \theta} - \sin (2\theta)$
\item $r = \sin \theta - \sin(2\theta)$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\medskip

On considère la fonction $f$ qui à $x$ réel associe le réel 

\[y = f(x)= \dfrac{3x^2+ 6x -1}{x^2 + 2x - 3}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal.

\bigskip

\textbf{Question 6 :} La fonction polynôme $x^2 + 2x - 3$

\medskip

\begin{enumerate}
\item n'admet qu'une seule racine $x = -3$
\item admet deux racines de même signe
\item n'admet pas de racine réelle
\item admet une seule racine positive
\end{enumerate}

\bigskip 


\textbf{Question 7 :} La fonction $f$ est définie sur 

\medskip

\begin{enumerate}
\item l'intervalle $]0~;~+\infty[$
\item l'intervalle $]1~;~+\infty]$ uniquement
\item les intervalles $]-\infty~;~-3[$,\,  $]-3~;~1[$ et $]1~;~+\infty[$ 
\item l'intervalle $]-\infty~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8 :} La dérivée $f'$ de la fonction $f$, lorsqu'elle existe, est définie par 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(x) = \dfrac{3x + 3}{x +1}$
\item $f'(x) = \dfrac{-(6x +6)(2x +2)}{\left(x^2+ 2x -3\right)^2}$
\item $f'(x) = \dfrac{-16(x +1)}{(x^2 + 2x - 3)^2}$
\item $f'(x) = \dfrac{16(x +1)}{x^2+ 2x - 3}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9 :} La fonction $f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item est croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~1]$ et décroissante sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$
\item est décroissante sur l'intervalle $]-\infty, 1[$ et croissante sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$
\item est croissante sur les intervalles $]-\infty~;~-3[$ et $]-3~;~1[$ et décroissante sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$
\item est décroissante sur les intervalles $]-\infty~;~-3[$ et $]-3~;~1[$ et croissante sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 10 :} La fonction f a pour limite

\medskip

\begin{enumerate}
\item 3 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et vers $-\infty$ 
\item lorsque x tend vers $+\infty$ et vers $-\infty$
\item $-\infty$ lorsque $x$ tend vers 1 sur l'intervalle $]-3~;~1[$
\item $-\infty$ lorsque $x$ tend vers 1 sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 11 :}

La courbe représentative $\mathcal{C}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item est tangente à la droite d'équation $y = 3$ au point d'abscisse $x =-1$
\item coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisse $\dfrac{-3 + 2\sqrt{3}}{3}$ et $\dfrac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}$ 
\item coupe l'axe des ordonnées O$y$ au point d'ordonnée $y = 3$
\item est tangente à la droite d'équation $y = 1$ au point d'abscisse $x =-1$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 12 :} La courbe représentative $\mathcal{C}$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item n'admet pas d'asymptote
\item n'admet que des asymptotes verticales
\item admet la droite d'équation $y = 3$ comme asymptote horizontale et les droites
d'équation $x = 1$ et $x = - 3$ comme asymptotes verticales
\item admet la droite d'équation $y = 1$ comme asymptote horizontale
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 13 :} Le réel $y =f(x)$, lorsqu'il est défini, peut s'écrire

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{a}{x - 1} + \dfrac{b}{x + 3}$ où $a$ et $b$ sont des constantes
\item $\dfrac{a}{x - 1} + \dfrac{b}{x - 3}+ c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes
\item $\dfrac{a}{x - 1} + \dfrac{b}{x + 3} + c$ où les constantes $a$, $b$ et $c$ vérifient le système
$\left\{\begin{array}{l c l}
c&=&3,\\ a+b+c &=&6\\
3a - b - 3c&=&-1
\end{array}\right.$
\item $\dfrac{a}{x - 1} + \dfrac{b}{x - 3} + c$ où les constantes $a$, $b$ et $c$ vérifient le système
$\left\{\begin{array}{l c l}
c&=&3,\\ a+b+2c &=&6 \\
3a -b - 3c&=&-1
\end{array}\right.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 14 :} On note $F$une primitive de la fonction continue $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ et on note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire délimitée par la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ et son asymptote parallèle à l'axe des abscisses, si elle existe, et les droites d'équation $x = 2$ et $x = \lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement supérieur à 2. On a

\medskip

\begin{enumerate}
\item $F(x)= \ln \left[\dfrac{(x + 1)}{(x+3)}\right]^2 + 3x$ pour tout $x$ appartenant à 
$]1~;~+\infty[$ 
\item $F(x) = \ln (x - 1)(x + 3)^2$ pour tout $x$ appartenant à $]1~;~+\infty[$
\item $\mathcal{A}(\lambda) = F(\lambda) - F(2) = \ln \left[\dfrac{(\lambda - 1)}{(\lambda+3)}\right]^2 + \ln (25)$
\item $\mathcal{A}(\lambda) = \ln [(\lambda - 1)(\lambda + 3)]^2 - \ln (25)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 15 :} $\mathcal{A}(\lambda)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item tend vers $+\infty$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$
\item tend vers $\ln (25)$ lorsque $\lambda$, tend vers $+\infty$ 
\item tend vers $- \ln (25)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ 
\item est égale à $2(\ln 5 - \ln 2)$ lorsque $\lambda = 5$
\end{enumerate}
\end{document}