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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{Épreuve optionnelle}}
\rfoot{\small 23 mai 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 23 mai 2007~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\textbf{Question liées  :\\[10pt]
10 à 12
}

\end{center}

\newpage

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1 :} L'équation $z^3 = \text{i}$ admet dans $\C$ , trois racines:

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item $- \text{i}~;~ - \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$
\item $- \text{i}~;~\text{i}\sqrt{3}$ et $- \text{i}\sqrt{3}$
\item $- \text{i}~;~ \dfrac{- \sqrt{3} + \text{i}}{2}$ et $\dfrac{- \sqrt{3} - \text{i}}{2}$
\item $- \text{i}~;~ \dfrac{- \sqrt{3} + \text{i}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2 :} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - \text{i}| = |z|$ est:

\bigskip

\begin{enumerate}
\item une droite
\item un point
\item un cercle
\item l'ensemble vide
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3 :} $(\sin x)(\cos x)^2$ est égal à : 

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{4}\sin x + \dfrac{1}{4}\sin 3x$
\item $\sin x + \dfrac{1}{4}\sin 3x$ 
\item $\dfrac{1}{4}\sin x + \sin 3x$
\item $\dfrac{1}{4}\sin x - \dfrac{1}{4}\sin 3x$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4 :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\dfrac{\ln \left(2x^2 \right)}{- 3x^2 + x + 1}\right)$ est égale à : 

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item $+\infty$
\item $0$
\item $\dfrac{1}{3}$
\item $\dfrac{- \ln 2}{3}$
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Question 5 :} Soit $n$ un entier supérieur à 1, Alors $\displaystyle\sum_{k=1}^n (2k + 1)$ est égal à

\bigskip

\begin{enumerate}
\item $n + 2n^2$
\item $2n(n + 1)$
\item $\dfrac{n(n + 2)}{2}$
\item $n(n+2)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 6 :} Soit $f$ la fonction définie sur $I$ par 

\[f(x) = \left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{1}{x}\ln \left(\dfrac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)&\text{si }&x \ne 0\\
0&\text{si }&x = 0
\end{array}\right.\]

Trouver les affirmations justes: 

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item $I = [-1~;~1]$
\item $f$ est continue en $0$ 
\item $f$ est paire
\item $f$ est dérivable en $0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 7 :} $\displaystyle\int_1^5 |x - 2|\:\text{d}x$ est égale à :

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 4 
\item 5 
\item 2 
\item 10
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8 :} $\displaystyle\int_1^{\text{e}}\, x \ln x \: \text{d}x$ est égale à : ,

\bigskip

\begin{enumerate}
\item $\text{e}^2 + \dfrac{1}{4}$
\item $\dfrac{\text{e}^2}{4}+ 1$ 
\item $\dfrac{\text{e}^2 + 1}{4}$
\item $\dfrac{\text{e}^2}{2} + \dfrac{1}{4}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9 :} La valeur moyenne de la fonction $x\longmapsto x \in (2x)$ sur l'intervalle  $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~0\right]$ est égale à :

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\pi}{2}$
\item $\dfrac{\pi}{4}$
\item $\dfrac{1}{2}$
\item 1
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 10 :} On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle [3~;~5].

La probabilité pour que ce nombre soit compris entre $\dfrac{7}{2}$ et $\dfrac{13}{3}$ est égale à :

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{2}$
\item $\dfrac{7}{12}$
\item $\dfrac{5}{12}$
\item $\dfrac{1}{4}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 11 :} Une variable aléatoire $X$ a pour loi de probabilité : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 1& 2& 3\\ \hline
$p_i$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{4}$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

L'écart-type de $X$ vaut: 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 2
\item $\dfrac{3}{2}$
\item $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
\item 3
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 12 :} L'espace est muni d'un repère orthonormal. On donne un plan $(P)$ d'équation $x + y - 3z + 4 = 0$ et un point A de coordonnées $(1~;~- 2~;~0)$.

La distance du point A au plan $(P)$ est égale à :

\bigskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{9}{\sqrt{11}}$
\item $\dfrac{3}{\sqrt{11}}$
\item $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$
\item $\dfrac{9}{11}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 13 :} Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout $n \in \N$, par

\[u_n = \dfrac{n + (-1)^n}{2n - 1}.\]

Donner la bonne affirmation :

\bigskip

\begin{enumerate}
\item $\left(u_n\right)$ est divergente.
\item $\left(u_n\right)$ converge vers $\dfrac{1}{2}$.
\item $\left(u_n\right)$ est positive.
\item $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 14 :} La solution générale de l'équation différentielle $y' + 2y = 0$ est :

\bigskip

\begin{enumerate}
\item $y = C\text{e}^{-2x}$ où $C$ est une constante réelle
\item $y = C\text{e}^{-x}$ où $C$ est une constante réelle
\item $y = C\left(\text{e}^{-x} + \text{e}^{-2x}\right)$ où $C$ est une constante réelle
\item $y = C\left(2\text{e}^{-x} - \text{e}^{-2x}\right)$ où $C$ est une constante réelle
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 15 :} On considère l'équation différentielle :

\[2y' - y = - x^2 + 3x + 1.\]

Une solution de cette équation est :

\bigskip

\begin{enumerate}
\item $P : x \longmapsto x^2 - x + 1$
\item $Q : x \longmapsto x^2 + x - 1$
\item $R : x \longmapsto - x^2+ x + 1$
\item $S : x \longmapsto x^2 + x + 1$
\end{enumerate}
\end{document}