\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
%\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {},
pdftitle = {23 mai 2007},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\thispagestyle{empty}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 23 mai 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 23 mai 2007~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $]-3~;~3[$ par

\[f(x) = \ln \left(- x^2 + 10\right)\]

\medskip

\textbf{Question 1 :} La dérivée de la fonction $f$ s'écrit:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(x) = \dfrac{- 2x}{- x^2 + 10}$
\item $f'(x) = \dfrac{- 2x}{\left(- x^2 + 10\right)^2}$
\item $f'(x) = \dfrac{2x}{- x^2 + 10}$
\item $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 10}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2 :} Trouver toutes les affirmations justes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(x) > 0$ pour tout $x \in ]0~;~3[$
\item $f'(x) < 0$ pour tout $x \in ]-3~;~0[$ 
\item $f'(- 1) > 0$
\item $f'(0) = 0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3 :} L'équation $f(x) = 0$ admet : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item deux solutions positives
\item deux solutions: une positive et une autre négative 
\item aucune solution
\item une unique solution positive
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4 :} L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) > 0$
est: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $]-3~;~3[$
\item $]0~;~3[$
\item $]-3~;~0[$
\item $\emptyset$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5 :} La courbe représentative de $f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item admet une asymptote verticale et une asymptote horizontale
\item admet deux asymptotes verticales 
\item n'a pas d'asymptote
\item est au-dessus de l'axe des abscisses
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 6 :} Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de r'au point d'abscisse 1 est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item 0 
\item 3
\item $- \dfrac{2}{9}$
\item $\dfrac{2}{9}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\textbf{Question 7 :} Le polynôme $x^3 + x^2 - 9x - 9$ est égal à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $(x + 1)\left(x^2 - 9\right)$
\item $(x - 1)(\left(x^2 - 9 \right)$
\item $(x- 1)\left(x^2 -9\right)$
\item $(x - 1)(x - 3)^2$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8 :} L'ensemble des solutions de l'équation 

\[\text{e}^{3x} + \text{e}^{2x} - 9\text{e}^{x} - 9 = 0\]

est égal à: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\{\ln 3~;~- \ln 3\}$
\item $\{\ln 3\}$ 
\item $\emptyset$
\item $\{3\}$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9 :} L'ensemble des solutions de l'inéquation exp $\left(x^2 + 8x\right) > 0$ est égal à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $]1~;~+ \infty[$
\item $]0~;~8[ \cup ]8~;~+\infty[$ 
\item l'ensemble vide
\item $]- \infty~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 10 :} Soit $g$ la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{x - 1}{x + 1}$.

Sa dérivée $g'$, est définie par:

\medskip

\begin{enumerate} 
\item $g'(x) = \dfrac{1}{x + 1}$
\item $g'(x) = \dfrac{2}{(x + 1)^2}$.
\item $g'(x) = \dfrac{2}{(x - 1)^2}$.
\item $g'(x) = \dfrac{2}{x^2 - 1}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 11 :} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)= \dfrac{x + 1}{x^2 + 2x}$. Une primitive de $f$ est $F$ définie par:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $F(x) = \ln \left(x^2 +2x\right)$ 
\item $F(x) = \dfrac{\ln \left(x^2 +2x\right)}{2}$
\item $F(x) = \dfrac{1}{2}\ln x + 2$ 
\item $F(x) = \ln \left(\dfrac{x^2 +2x}{2}\right)$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}

Une entreprise souhaite confier la fabrication de chemises et de pantalons à deux couturières Claire et Tamara.

Les salaires et capacités de fabrication par jour sont données par le tableau ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&salaire en euros 	&nombre de chemises &nombre de pantalons\\ \hline
Claire 				&75 				&5 					&12 \\ \hline
Tamara 				&64 				&10 				&4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On souhaite faire fabriquer au moins $100$ chemises et $96$ pantalons dans un délai de $30$ jours.

Soit $x$ le nombre de jours mis par Claire et $y$ le nombre de jours mis par Tamara pour fabriquer ces chemises et pantalons.

\bigskip

\textbf{Question 12 :} Les contraintes de \og chemises \fg{}
se traduisent par :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x + y \geqslant 100$
\item $x + y \leqslant 100$ 
\item $x + 2y \leqslant 20$
\item $x + 2y \geqslant 20$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 13 :} Les contraintes de \og pantalons \fg{}
se traduisent par:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $3x + y \geqslant 24$ 
\item $x + 3y \geqslant 24$
\item $3x + y \leqslant 24$ 
\item $x + 3y \leqslant 24$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 14 :} Le coût salarial total en fonction de $x$ et de $y$ est : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $75x + 64y$
\item $139(x + y)$
\item $64(x + y)$ 
\item $75(x + y)$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}

On estime que la longueur d'un serpent augmente de 40\,\% chaque année pendant les douze premières années de sa vie, Il mesure $10$~cm à la naissance,

\bigskip

\textbf{Question 15 :} Sa longueur à $2$ ans est égale à : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 18 cm
\item 24 cm 
\item 19,6 cm 
\item 20 cm
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 16 :} Sa longueur à $12$ ans est \og presque \fg{} égale à : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 1,20 m
\item 5,67 m
\item 4,56 m 
\item 3,57 m
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 17 :} Il aura dépassé 1 m au bout de : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 3 ans
\item 7 ans
\item 6 ans 
\item 5 ans
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE V}\end{center}

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]2~;~+ \infty[$, par $f(x) = \ln (x - 2)$.

\bigskip

\textbf{Question 18 :} La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item 0
\item $+\infty$ 
\item $-\infty$ 
\item $- \ln 2$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 19 :} La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 2 est : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $-\infty$
\item $+\infty$
\item $0$ 
\item $1$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 20 :} Une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ est la droite d'équation:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $y = x - 2$ 
\item $x = 2$
\item $y= x + 2$ 
\item $y = 2$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 21 :} Le coefficient directeur de la tangente à
la courbe représentative de$f$ au point d'abscisse 3 est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item 1
\item $\dfrac{1}{3}$
\item 3
\item $\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE VI}\end{center}

\medskip

Un sac contient 5 jetons :

\setlength\parindent{2cm}
\begin{itemize}
\item un bleu,
\item deux rouges,
\item deux verts,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip

\textbf{Question 22 :} On tire un jeton au hasard, Quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item 0,5 
\item 0,2
\item 0,4 
\item 0,3
\end{enumerate}

\bigskip

Dans une colonie de vacances, deux activités sont proposées aux enfants : natation et pirogue, Parmi les $50$ enfants, $30$ pratiquent la natation, $18$ pratiquent la pirogue et 6 pratiquent les deux activités.

\bigskip


\textbf{Question 23 :} Le nombre d'enfants qui pratiquent l'un au moins des deux activités est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item 44 
\item 48 
\item 40 
\item 42
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 24 :} Le nombre d'enfants qui ne pratiquent aucune des activités est: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 7
\item 6
\item 8
\item 9
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 25 :} La probabilité pour qu'un enfant ne pratique aucune des deux activités est égale à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $0,4$
\item $0,13$
\item $0,2$
\item $0,16$
\end{enumerate}
\end{document}