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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{Épreuve optionnelle}}
\rfoot{\small 19 mai 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 19 mai 2006~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\end{center}

\newpage


\medskip

\textbf{Question 1 :} Soient  $Z = \dfrac{\sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}}{2}$, \, $Z' = 1 - \text{i}$ et $Z'' = \dfrac{Z}{Z'}$.

Le nombre complexe $Z''$ est égal à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \text{i}\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
\item $\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
\item $\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \text{i}\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
\item $\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4}\text{i}\right)\sqrt{2} + \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\text{i}\right)\sqrt{6}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2 :} L'écriture exponentielle de $Z$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\item $\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\item $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\item $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3 :} La forme trigonométrique de $Z''$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{2}\left(\cos \frac{- \pi}{12} + \text{i}\sin \frac{- \pi}{12} \right)$
\item $\dfrac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{12} + \text{i}\sin \frac{\pi}{12} \right)$
\item $\dfrac{1}{2}\left(\cos \frac{5\pi}{12} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{12} \right)$
\item $\dfrac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{12} + \text{i}\sin \frac{\pi}{12} \right)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4 :} L'équation: $x^2 + x + 1 = 0$, admet dans $\C$, deux racines: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ et $-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
\item $\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ et $\dfrac{1}{2}- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
\item $\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ et $-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
\item $-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ et $-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4 :} Si $z = \cos \dfrac{\pi}{4} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{4}$ et $z' = 3\text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}$, alors $zz'$ est égal à : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 9
\item $-3$
\item 3
\item 10
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 6 :} $\cos x \sin^2 x$ est égal à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{4}\cos x + \dfrac{1}{4}\cos 3x$
\item $- \cos x+ \dfrac{1}{4}\cos3x$
\item $\dfrac{1}{4}\cos x - \cos 3x$
\item $\dfrac{1}{4}\cos x- \dfrac{1}{4}\cos 3x$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 7 :} Soit $f$ la fonction définie sur $\R-\{1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - x +2}{x - 1}$ et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

Alors quelle est l'affirmation juste ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = + \infty$
\item $f$ est croissante sur $]1~;~+\infty[$
\item La droite d'équation $y = x$ est une asymptote à $\mathcal{C}$
\item $\mathcal{C}$ n'a pas d'asymptote verticale
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8 :} Le polynôme $x3- 7x^2+ 15x- 9$ est égal à : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $(x - 1)(x-3)^2$
\item $(x - 1)\left(x^2 - 9\right)$
\item $(x + 1)\left(x^2 - 9\right)$
\item $(x - 1)(x + 3)^2$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9 :} L'ensemble des solutions de l'équation $(\ln x)^3 -7 (\ln x)^2 + 15\ln x - 9 = 0$ est égal à:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\{\text{e}~;~\text{e}^3\}$
\item $\{1~;~3\}$
\item $\{\text{e}^{-3}~;~\text{e}^3\}$
\item $\{\text{e}\}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 10 :} L'intégrale $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x + 1) \cos x \:\text{d}x$ est égale à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $1 - \pi$
\item $2\pi - 1$ 
\item $\pi - 1$ 
\item $\pi$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 11 :} Soit $g$ la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln \left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)$.

Sa dérivée $g'$, est définie par:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $g'(x) = \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}$
\item $g '(x)= \dfrac{2}{(x + 1)^2}$
\item $g '(x) = \dfrac{2}{(x - 1)^2}$
\item $g '(x) = \dfrac{2}{x^2 - 1}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 12 :} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 
\dfrac{x + 1}{x^2 + 2x + 3}$. 

Une primitive de f est $G$ définie par :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $G(x) = \ln \left(x^2+2x+3\right)$
\item $G(x) = \dfrac{\ln \left(x^2+2x+3\right)}{2}$
\item $G(x) = \dfrac{1}{2}\ln x + 2$
\item $G(x) = \ln \left(\dfrac{x^2+2x+3}{2}\right)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 13 :} Le quart d'une population est vacciné contre le choléra. On constate qu'il y a parmi les malades un vacciné pour quatre non vaccinés. On sait de plus qu'il y a un malade sur $12$ parmi les vaccinés.

La probabilité qu'un élément de la population pris au hasard soit malade est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{12}$
\item $\dfrac{9}{48}$
\item $\dfrac{5}{48}$
\item $\dfrac{1}{9}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 14 :} La probabilité de tomber malade pour un non vacciné est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{9}$
\item $\dfrac{2}{9}$
\item $\dfrac{5}{48}$
\item $\dfrac{9}{48}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 15 :} Le vaccin diminue le risque d'être malade de;

\medskip

\begin{enumerate}
\item 30\,\% 
\item 25\,\% 
\item 75\,\%
\item 95\,\%
\end{enumerate}
\end{document}