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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{Épreuve commune obligatoire}}
\rfoot{\small 19 mai 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 19 mai 2006~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\end{center}


Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~- 1[ \cup  ]1~;~+\infty[$ par

\[f(x) = \ln \left(\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right)\]

\bigskip

\textbf{Question 1 :} La dérivée de la fonction $f$ s'écrit :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(x) = \dfrac{4x}{x^4 + 1}$
\item $f'(x) = \dfrac{4x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$
\item $f'(x) = \dfrac{4x}{\left(x^2 - 1\right)^2}$
\item $f'(x) = \dfrac{4x}{x^4 - 1}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2 :} Quelle est l'affirmation juste ? 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(-2) > 0$.
\item $f'(x) > 0$ pour tout $x \in ]-\infty~;~- 1[$
\item $f$ est strictement croissante sur $]1~;~+\infty[$
\item $f$ est strictement croissante sur $]-\infty~;~- 1[ \cup  ]1~;~+\infty[$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3 :} L'équation $f(x) = 0$  admet:

\medskip

\begin{enumerate}
\item une solution positive
\item deux solutions
\item aucune solution
\item une solution négative
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4 :} Quand $x$ tend vers $+ \infty$, \, $f(x)$ tend vers :

\medskip

\begin{enumerate}
\item 1 
\item 0 
\item $-\infty$ 
\item $+\infty$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5 :} Quelle est l'affirmation fausse?

\medskip

\begin{enumerate}
\item la courbe représentative de $f$  admet une asymptote verticale
\item la courbe  représentative de $f$  admet une asymptote horizontale
\item la courbe représentative de $f$ n'a pas d'asymptote
\item la courbe représentative de $f$ est en-dessous de l'axe des abscisses
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 6 :} Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $\sqrt{3}$ est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x - \ln 2$
\item $y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x - \ln 2 - 3$ 
\item $y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x - \ln 2 - \dfrac{3}{2}$
\item $y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x - \ln 2 - 2$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}


\textbf{Question 7 :} Le polynôme $x^3 - x^2 - 9x+ 9$ est égal à : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $(x - 1)\left(x^2 + 9\right)$
\item $(x+1)\left(x^2 - 9\right)$
\item $(x + 1)\left(x^2 + 9\right)$
\item $(x - 1)(x - 3)(x + 3)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8 :} L'ensemble des solutions de l'inéquation $\text{e}^{3x} - \text{e}^{2x} - 9\text{e}^{x} + 9 \leqslant 0$ est égal à:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $]0~;~+\infty [$
\item $]0~;~\ln 3[$
\item $]\ln 3~;~+\infty[$ 
\item $[0~;~\ln 3]$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9 :} L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln (x - 1) + \ln \left(x^2 - 10\right) < \ln (1 - x)$ est égal à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $[1~;~10]$
\item $]1~;~10[$
\item l'ensemble vide 
\item $]10~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 10 :} Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = \dfrac{\ln (x) + x}{x^3}.\]

Sa dérivée $g'$ est définie par :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $g'(x) = \dfrac{1 + x^2}{x^4}$
\item $g'(x) = \dfrac{x + 1}{x^4}$
\item $g'(x) = \dfrac{1 - 2x - 3\ln x}{x^4}$
\item $g'(x) = \dfrac{1 - 2x - 3\ln x}{x^6}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 11 :} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 2}.\]

Une primitive de $f$ est la fonction $G$ définie par:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $G(x) = \ln \left(x^2 + 2 \right)$
\item $G(x) = \dfrac{\ln \left(x^2 + 2\right)}{2}$
\item $G(x) = \dfrac{1}{2}\ln x + 2$
\item $G(x) = \ln \left(\dfrac{x^2 + 2}{2}\right)$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}

Dans un groupe de \np{1200} personnes, $800$ parlent l'anglais, $200$ parlent l'espagnol, et $100$ parlent les deux langues.

\bigskip

\textbf{Question 12 :} Le nombre de personnes parient au moins l'une des deux langues est égal à: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \np{1000}
\item 900
\item 700 
\item \np{1100}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 13 :} Le nombre de personnes qui ne parlent aucune des deux langues est égal à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item 200
\item 300 
\item 100 
\item 400
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 14 :} On choisit au hasard une personne de ce groupe. La probabilité qu'elle ne parle pas anglais et ni espagnol est égale à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{3}$ 
\item $\dfrac{1}{12}$
\item $\dfrac{1}{4}$
\item $\dfrac{1}{6}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}

\medskip


Une substance radioactive perd 8\,\% de masse chaque jour. On considère un échantillon de cette substance dont la masse est $u_0 = 100$~grammes.

\medskip

\textbf{Question 15 :} Sa masse en grammes au bout de 2 jours est égale à : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 84
\item 84,64
\item 92
\item 99,84
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 16 :} Sa masse en grammes au bout de $10$ jours est égale à:

\medskip

\begin{enumerate}
\item 43,439 
\item 99,2
\item 53,439 
\item 43,84
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 17 :} Sa masse en grammes au bout de $30$ jours est égale à : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 84,6
\item 97,6
\item 8
\item \np{8,1966}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE V}\end{center}

\medskip

Une machine fabrique des pièces métalliques de type A et de type B. Le nombre total de pièces fabriquées par jour (24 heures) est au plus $870$. La machine fabrique) $15$ pièces de type A ou $20$ pièces de type B toutes les $30$ minutes. Soient $x$ le nombre de pièces de type A et $y$ le nombre de pièces de type B fabriquées par la machine par jour.

\bigskip

\textbf{Question 18 :} Un jour la machine ne fabrique que les pièces de type A. Le nombre de pièces fabriquées est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item 360 
\item 720 
\item 180 
\item 870
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 19 :} Un jour la machine fabrique $870$ pièces. Pour déterminer $x$ et $y$,il faut résoudre le système:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x+ y &=& 870\\
 15x+20y &=& \np{1200}
 \end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x+ y &=& 870\\
15x + 20y &=& 480
 \end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x+y &=&870\\
2x + 1,5y &=& \np{1440}
 \end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x+y &=& 870\\
2x+1,5y&=&\np{2880}
 \end{array}\right.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 20 :} La production de ce jour est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item 270 pièces de type A et 600 pièces de type B 
\item 340 pièces de type A et 530 pièces de type B 
\item 240 pièces de type A et 630 pièces de type B 
\item 570 pièces de type A et 300 pièces de type B
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE VI}\end{center}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ , par $g(x) = \ln \left(x^2 + 1\right)$. 

\bigskip

\textbf{Question 21 :} Quelle est l'affirmation vraie ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item $g'(0) = 0$
\item $g$ est strictement décroissante sur $\R$
\item $g(x) \geqslant  0,5$ pour tout réel $x$
\item $g(1)= 1$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 22 :} Quand $x$ tend vers $-\infty$,\, $g(x)$ tend vers : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $-\infty$
\item 0
\item $+\infty$
\item $\ln 2$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 23 :} Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $y= x + \ln 2 - 1$
\item $y = x - 1$
\item $y = x + \ln 2$
\item $y = x + 1 + \ln 2$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 24 :} Dans $\R$ , l'équation $g(x) = \ln 3$ admet : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item une solution unique $\sqrt{2}$.
\item aucune solution
\item deux solutions
\item deux racines $\sqrt{2}$ et $- \sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 25 :} Quelle est l'affirmation fausse ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe représentative de $g$ coupe l'axe des abscisses en deux points
distincts
\item $g(-1) = 2$
\item La courbe représentative de $g$ admet une asymptote horizontale 
\item La courbe représentative de $g$ admet un axe de symétrie
\end{enumerate}
\end{document}