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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{Épreuve obligatoire optionnelle}}
\rfoot{\small 30 avril 2005}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 30 avril 2005~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\textbf{Questions liées}

\medskip

\textbf{1 à 5\\[8pt]
6 à 12}

\end{center}

\newpage


\medskip

\textbf{Question 1 :}

Dans une urne, il ya $n$ boules rouges et $2n$ boules blanches.

On tire $p$ boules au hasard sans remise.

Si $n = 5$ et $p = 4$, la probabilité d'obtenir 2 boules rouges et 2 boules blanches est égale à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{2}{3}$ 
\item $0,8$
\item $\dfrac{30}{91}$
\item $\dfrac{14}{25}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2}

Toujours si $n = 5$ et $p = 4$, la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche est égale à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{272}{273}$ 
\item $\dfrac{1}{273}$
\item $0,4$
\item $\dfrac{1}{4}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3}

Si $n$ est un entier quelconque non nul et $p =2$, la probabilité $P_n$ d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P_n = \dfrac{4}{3(2n -1)}$
\item $P_n = \dfrac{4n}{3(3n-1)}$
\item $P_n = \dfrac{1}{3n+2}$
\item $P_n = \dfrac{3}{n+1}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4}

Quelle est l'affirmation exacte ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(P_n\right)$ est divergente
\item La suite $\left(P_n\right)$ est croissante
\item La suite $\left(P_n\right)$ est décroissante
\item La suite $\left(P_n\right)$ est minorée par 1
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5}

La limite de la suite $\left(P_n\right)$ est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $+ \infty$
\item $0$
\item $\dfrac{4}{3}$
\item $\dfrac{4}{9}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 6}

L'équation $Z^2 + 2Z\sqrt{3} + 4 = 0$ admet pour solutions dans l'ensemble des nombres complexes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $Z_1 = 2\sqrt{3} + \text{i}$ et $Z_2 = 2\sqrt{3} - \text{i}$
\item $Z_1 = - \sqrt{3} + \text{i}$ et $Z_2 = - \sqrt{3} - \text{i}$
\item $Z_1 = \sqrt{3} + 2\text{i}$ et $Z_2 = \sqrt{3} - 2\text{i}$
\item $Z_1 = \sqrt{3} - \text{i}$ et $Z_2 = \sqrt{3} + \text{i}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 7}

Z2=213 -i Z2=-J3 -i Z2=fl -2i Z2= J3+i

Quelles sont alors les affirmations exactes ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\left|Z_1\right|= 2$ et arg $Z_1 = - \dfrac{5\pi}{6} \quad (2\pi)$
\item $\left|Z_2\right|= 2$ et arg $Z_2 = - \dfrac{5\pi}{6} \quad (2\pi)$
\item $\left|Z_2\right|= 4$ et arg $Z_2 = \dfrac{5\pi}{6} \quad (2\pi)$
\item $\left|Z_1\right|= 2$ et arg $Z_1 = \dfrac{5\pi}{6} \quad (2\pi)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthogonal direct \Ouv.

Soit $T$ la transformation du plan qui, a tout point $M$ d'affixe $Z$ associé le point $M'$ d'affixe $Z'$ telle que : $Z' = \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} \times Z$.

La transformation ponctuelle $T$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item la rotation de centre A d'affixe $-\text{i}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$
\item la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$
\item la rotation de centre $M_1$ d'affixe $Z_1$ d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$
\item la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9}

Soit $M_1$, le point d'affixe $Z_1= - \sqrt{3} + \text{i}$.

L'affixes $Z_2$ du point $M_2$ tel que $M_2 = T\left(M_1\right)$ est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $Z_2 = \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$ 
\item $Z2 = 2\text{i}$
\item $Z2 = - 2\text{i}$
\item $Z2 = \text{e}^{\frac{-2\text{i}\pi}{3}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 10}

Soit $M_3$ le point d'affixe $Z_3$ tel que $M_3 = T\left(M_2\right)$. 

On a alors :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $Z3 = 2\text{i}$
\item $Z3 = \sqrt{3} + \text{i}$
\item $Z3 = - 2\text{i}$
\item $Z3 = - \sqrt{3} + \text{i}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 11}

$\dfrac{Z_2 - Z_3}{Z_1 - Z_3}$ est égal à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{3}\right)}$ 
\item $\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6}\right)}$  
\item $\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2}\right)}$  
\item $\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{12}\right)}$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 12}

On peut alors conclure que les points $M_1$, $M_2$, $M_3$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item sont alignés
\item constituent les sommets d'un triangle rectangle 
\item constituent les sommets d'un triangle équilatéral 
\item constituent les sommets d'un triangle isocèle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 13}

Soit l'intégrale $C$ définie par : $C = \displaystyle\int_{-1}^0 (x + 1)^2 \text{e}^{-x}\:\text{d}x$

$C$ est égale à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\text{e} - 2$
\item $2\text{e} + 3$
\item $4 + \text{e}$
\item $- 5 + 2\text{e}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 14}

L'intégrale $F = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}  \cos 2x\:\text{d}x$
est égale à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\item $\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}$
\item $\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}$
\item $\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 15}

Si $a < b$ et $f \geqslant 0$ alors :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x < 0$
\item $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x \geqslant 0$
\item $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x > 0$
\item $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x \leqslant 0$
\end{enumerate}
\end{document}