\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
%\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Épreuve commune obligatoire},
pdftitle = {30 avril 2005},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\thispagestyle{empty}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{Épreuve commune obligatoire}}
\rfoot{\small 30 avril 2005}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 30 avril 2005~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE}

\bigskip

\textbf{Questions liées :\\[10pt] 
de 1 à 6 \\[8pt] 
de 7 à 10\\[8pt] 
de  11 et 12\\[8pt] 
de 16 à 19\\[8pt] 
21 et 22 \\[8pt] 
23 à 25 \\[8pt]}
\end{center}
\newpage 


\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\medskip

Un véhicule a été affrété pour le transport de marchandises. Les caractéristiques du véhicule sont :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Volume utile: 18 m3
\item Charge utile : 6 tonnes
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On veut transporter :

$X$ colis A (75 cm $\times$ 50 cm $\times$ 40 cm) de 60 kg chacun
et $Y$ colis B (60 cm $\times$ 50 cm $\times$ 40 cm) de 30 kg chacun.

 Les colis A et B occupent l'intégralité du volume utile.

On pourra s'aider du graphique suivant en plaçant en abscisse le nombre de $X$ de colis A et en ordonnées le nombre de $Y$ de colis B.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(13,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1pt,subgriddiv=1](0,0)(12,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(13,10)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1}

Les contraintes de volume se traduisent par l'inéquation :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $15x + 12y \leqslant 18$
\item $50x + 40y \leqslant 180$
\item $5x + 4y \leqslant 600$
\item $60x + 30y \leqslant 6$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2}

Les contraintes de chargement se traduisent par l'inéquation:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $60x + 30y \leqslant 600$ 
\item $2x + y \leqslant 200$
\item $30x + 6y \leqslant 180$ 
\item $6x+3y \leqslant 60$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3}

Parmi les conditions de chargement suivantes, lesquelles sont possibles?

\medskip

\begin{enumerate}
\item 50 colis A et 80 colis B 
\item 80 colis A et 50 colis B 
\item 60 colis A et 80 colis B 
\item 80 colis A et 35 colis B
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{PARTIE II} \end{center}

La fonction numérique $g$ est définie sur $]0~;+ \infty[$ par: 

\[g(x) = 2x\sqrt{x}- 3\ln x + 6.\]

\medskip

\textbf{Question 4}

La dérivée $g'(x)$ de $g(x)$ est donnée pour tout $x$ réel strictement positif par:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $g'(x) = \dfrac{-3 \left(\sqrt{x}- 1\right)}{x}$
\item $g'(x)= \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}$
\item $g'(x) = \dfrac{3\left(x\sqrt{x} - 1\right)}{x}$
\item $g'(x)= \dfrac{2\left(\sqrt{x} - 1\right)}{x}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5}

Sur $]0~;~+\infty[$ le signe de $g'(x)$ est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $g'(x) > 0$
\item $g'(x) < 0$
\item $g'(x)< 0$ sur]0~;~1[et $g'(x) > 0$ sur $] 1~;~+\infty[$ 
\item $g'(x)< 0$ sur]0~;~3[et $g'(x) > 0$ sur $]3~;~-\infty[$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 6}

Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$, on peut déduire du signe de $g'(x)$ que: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $g(x) \geqslant 8$
\item $g(x) < 1$ 
\item $g(x) > 0$ 
\item $g(x) < 0$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 7}

La fonction numérique $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x)= \dfrac{3\ln x}{\sqrt{x}} + x - 1.\]

La limite de $f$ quand $x$ tend vers $0$ est : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $0$
\item $+\infty$
\item $1$
\item $- \infty$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8}

La dérivée $f'(x)$ de $f(x)$ est donnée pour tout $x$ réel strictement positif par:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{2x\sqrt{x}}$
\item $f'(x) = g(x) + 2x\sqrt{x}$
\item $f'(x) = \dfrac{3x}{2\sqrt{x}} + 1$
\item $f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x\sqrt{x}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9}

On peut déduire de l'étude du signe de $f'(x)$ que la fonction $f$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item admet un minimum
\item est du même signe que la fonction $g(x)$
\item est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$
\item est strictement décroissante sur $]0~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 10} 

On donne $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$
et on note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

On a :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $(\mathcal{C})$ possède une asymptote verticale
\item $(\mathcal{C})$ possède une asymptote oblique de coefficient directeur négatif 
\item $(\mathcal{C})$ ne possède pas d'asymptote
\item $(\mathcal{C})$ possède une asymptote oblique de coefficient directeur égal à 1
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}

Dans un lycée, une enquête concernant trois revues notées A, B, C, donne les résultats suivants :

Sur les 100 lycéens interrogés, 57 lisent A, 42 lisent B, 38 lisent C, 22 lisent A et B, 14 lisent B et C, 16 lisent A et C, 8 lisent A, B et C.

\bigskip

\textbf{Question 11 :} Le nombre de lycéens qui ne lisent que A et B est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item 15 
\item 18 
\item 14 
\item 17
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 12}

Le nombre de lycéens qui ne lisent que B et C est: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 6
\item 8 
\item 4 
\item 7
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 13 :} Le nombre de lycéens qui ne lisent que A est : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 57
\item 27 
\item 32 
\item 14
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 14 :} Le nombre de lycéens qui ne lisent que B est : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 18
\item 14 
\item 16 
\item 23
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 15 :} Le nombre de lycéens qui ne lisent aucune des trois revues est: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 0
\item 3 
\item 9 
\item 7
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = \ln \left(\text{e}^{2x} + 2\text{e}^{- x} \right).\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

\bigskip

\textbf{Question 16}

Pour tout réel $x$ positif, on peut écrire la fonction $f$ ainsi :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(x) = \ln \left(\text{e}^{2x}\right)  + 2\ln \left(\text{e}^{-x}\right)$
\item $f(x) = 2x- \ln \left(2\text{e}^{-x}\right)$
\item $f(x) = 2x + \ln \left(1 + 2\text{e}^{-3x}\right)$ 
\item $f(x) = \ln \left(\text{e}^{2x}\right) \times \ln \left(2\text{e}^{-x}\right)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 17}

La limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $0$
\item $2$ 
\item $- \infty$
\item $+ \infty$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 18}

Quelle est l'affirmation fausse ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item La droite d'équation $y = 2x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ quand x tend vers +00 
\item $(\mathcal{C})$ ne possède pas d'asymptote horizontale
\item La courbe $(\mathcal{C})$ est située en dessous de son asymptote oblique
\item $f(0) = \ln 3$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 19}

La dérivée $f'(x)$ de $f(x)$ est donnée pour tout $x$ réel strictement positif par: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(x) = \dfrac{2\left(1 - \text{e}^{-3x}\right)}{1 + 2 \text{e}^{-3x}}$
\item $f'(x) = \dfrac{2 - \text{e}^{-3x}}{1 + \text{e}^{-3x}}$
\item $f'(x) = \dfrac{2 + \text{e}^{-3x}}{1 + 2 \text{e}^{-2x}}$
\item $f'(x) = 2 + \dfrac{\text{e}^{-3x}}{1 + \text{e}^{-2x}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 20}

On a alors:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$ 
\item $f(x) = 0$, si et seulement si $x=0$
\item $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$ 
\item $f$ admet un maximum pour $x = 1$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE V}\end{center}

\medskip

\textbf{Question 21}

On considère la suite $\left(V_n\right)$ définie par : 

\[V_n = \dfrac{n (n + 2)}{(n + 1 )^2}\]

Alors $V_{n + 1}$ est égal à :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{(n +1)(n+2)}{(n +3)^2}$
\item $\dfrac{(n+1)(n+2)}{(n+2)^2}$
\item $\dfrac{(n+1)(n+3)}{4 + 4n + n^2}$
\item $(n + 1) (n + 3)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 22}

$\left(U_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme 4 et de raison 3. Alors la somme des 15 premiers termes de cette suite est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $248$
\item $375$
\item $570$
\item $907$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 23}

La somme des 6 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $8$ est de $15,75$.
La raison de cette suite est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{4}$
\item $0,75$
\item $\dfrac{1}{3}$
\item $0,5$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 24}

$\left(V_n\right)$  est une suite arithmétique de premier terme $264$ et de raison $-2$. Le rang $n$ pour lequel $V_n = 0$ est le rang:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $28$
\item $140$
\item $203$
\item $133$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 25}

En 1991, la population mondiale était de $5$ milliards d'habitants. Selon une estimation de l'ONU, la population croit de 1,19\,\% par an.

Si ces estimations devaient se révéler exactes, en l'an 3000 nous serions: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 5,5 milliards d'habitants
\item Plus de 7 milliards d'habitants
\item Un peu plus de 6 milliards d'habitants
\item Exactement 8 milliards d'habitants
\end{enumerate}
\end{document}