\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{subfig} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-circ,pst-eucl,pst-3d,pstricks-add} \usepackage{graphicx} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \thispagestyle{empty} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupe Opticien-lunetier}} \rfoot{\small{}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \begin{center} \begin{huge}\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR } \vspace{0,5cm} \textbf{SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES} \vspace{0,5cm} \textbf{Le GROUPEMENT OPTICIEN--LUNETIER de 2001 à 2010} \vspace{0,5cm} \end{huge} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{2001}{Métropole 2001} \dotfill 3 \medskip \Large \hyperlink{2002}{Métropole 2002} \dotfill 6 \medskip \Large \hyperlink{2003}{Métropole 2003} \dotfill 8 \medskip \Large \hyperlink{2004}{Métropole 2004} \dotfill 11 \medskip \Large \hyperlink{2005}{Métropole 2005} \dotfill 14 \medskip \Large \hyperlink{2006}{Métropole 2006} \dotfill 18 \medskip \Large \hyperlink{2007}{Métropole 2007} \dotfill 21 \medskip \Large \hyperlink{2008}{Métropole 2008} \dotfill 24 \medskip \Large \hyperlink{2009}{Métropole 2009} \dotfill 27 \medskip \Large \hyperlink{2010}{Métropole 2010} \dotfill 31 \medskip \Large \hyperlink{2011}{Métropole 2011} \dotfill 35 \medskip} \end{center} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2001 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2001}{} \lfoot{\small{Opticien lunetier}} \rfoot{\small{Session 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien lunetier session 2001} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendantes} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation différentielle (E) où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, dérivable sur $[0,~;~+ \infty[$ et $y'$ la dérivée de $y$ : \[y' + \dfrac{3}{4}y = \dfrac{9x+3}{16}.\] \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'intervalle $[0,~;~+ \infty[$ l'équation différentielle \og sans second membre \fg \[y' + \dfrac{3}{4}y = 0.\] \item Déterminer les constantes $a$ et $b$ telles que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0,~;~+ \infty[$ par $g(x) = ax + b$ soit solution de (E). \item En déduire l'ensemble des solutions de (E). \item Déterminer la solution particulière de $f$ de (E) qui prend la valeur $\dfrac{1}{4}$ pour $x = 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{4} + \text{e}^{- \frac{3}{4}x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère ormonormal d'unité graphique : 2~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Montrer que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation et préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette asymptote. \item Soit D la droite d'équation $y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{4}$, soit $M$ et $N$ des points respectifs de $\mathcal{C}$ et D de même abscisse $x$ positive on note $y_{M} - y_{N}$ la différence (les ordonnées de $M$ et de $N$. \begin{enumerate} \item Déterminer le plus petit $x$ pour lequel $y_{M} - y_{N} < 0,05$ ; en donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité. \item Représenter $\mathcal{C}$ et D en tenant compte des résultats précédents \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^3 \text{e}^{- \frac{3}{4}x}\:\text{d}x = \dfrac{4}{3}\left(1 - \text{e}^{- \frac{3}{4}}\right)$. \item En déduire, en cm$^2$, l'aire du plan ensemble des points $P$ de coordonnées $(x~;~y)$ vérifiant\\ $\left\{\begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 3\\ \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{4} \leqslant y \leqslant f(x)\\ \end{array}\right.$ Arrondir le résultat au mm. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendantes} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip Le gérant du célèbre magasin d'optique OPTIPRIX dépose 120~chèques à sa banque. Les montants de ces chèques, libellés en euros, ont été regroupés en cinq classes. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Classes& [50~;~60[& [60~;~110[& [110~;~140[& [140~;~200[ &[200~;~280[\\ \hline Effectifs& 12& 24& 60& 19 & 5\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On prélève un chèque au hasard parmi les 120. Tous les chèques ont la même probabilité d'être tirés. \begin{enumerate} \item Donner, sous forme de fraction irréductible, la probabilité $p_{1}$ que ce chèque ait un montant appartenant à [200~;~260[. \item Donner de même la probabilité $p_{2}$ que ce chèque ait un montant appartenant à [110~;~140[. \end{enumerate} \item On prélève, au hasard et avec remise, un échantillon de 36 chèques parmi les 120 déposés à la banque. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement d'un tel échantillon, associe le nombre de chèques dont le montant appartient la classe [200~;~280[. On définit de même la variable aléatoire $Y$ pour la classe [110~;~140[. \begin{enumerate} \item Indiquer sans justification la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Donner son espérance et son écart-type arrondi au dixième. \item Indiquer de même sans justification la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Y$. Donner son espérance et son écart-type. \end{enumerate} \item On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ peut-être approchée par la loi de Poisson de paramètre $1,5$. On note $X_{1}$ une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson. Calculer, avec cette approximation, la probabilité d'obtenir au moins trois chèques d'un montant appartenant à la classe [200~;~280[ (arrondir le résultat au centième). \item On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Y$ peut-être approthèe par la loi normale de moyenne $18$ et d'écart-type $3$. On note $Y_{1}$ une variable aléatoire qui suit cette loi normale. Calculer, avec cette approximation, la probabilité d'obtenir entre 15 et 21~chèques d'un montant appartenant à la classe [110~;~140[, c'est à dire $P(14,5 \leqslant Y_{1} \leqslant 21,5)$.(arrondir le résultat au centième), \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie on s'intéresse au stock des chèques déposés à la banque au cours du dernier mois. On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque chèque prélevé au hasard dans le stock, associe son montant en euros. On considère que cette variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $m$ et d'écart-type $30$. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire et avec remise de 100~chèques, associe le montant moyen de ces 100 chèques. On se propose de construire un test d'hypothèse pour accepter ou refuser l'affirmation du comptable \og Le montant moyen des chèques déposés au cours du dernier mois est de 120~euros. \fg L'hypothèse nulle H$_{0}$ est : $m = 120$. L'hypothèse alternative H$_{1}$ est $m = 120$. Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$. \begin{enumerate} \item Justifier que, sous hypothèse nulle H$_{0},~ \overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $120$ et d'écart-type 3. \item Sous l'hypothèse nulle H$_{0}$, déterminer, en la justifiant, la valeur du réel $h$ tel que \[P(120 - h \leqslant \overline{Z} < 120 + h) = 0,95.\] \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item Utilisation du test Pour un échantillon de 100~chèques, on obtient une moyenne $z = 125$. Peut-on accepter, au seuil de risque 5\:\%, l'affirmation du comptable ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2002}{} \lfoot{\small{Opticien lunetier}} \rfoot{\small{Session 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien lunetier session 2002} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = 1 - x^2\text{e}^{-x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique 2~cm). \medskip \textbf{Partie A - Étude de fonction} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ dont on donnera une équation. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution et une seule $\alpha$ sur l'intervalle $[-1~;~0]$. Donner, en la justifiant, la valeur de $\alpha$ arrondie au centième. \item Tracer la droite $D$ et la courbe $\mathcal{C}$ en précisant les tangentes horizontales de celle-ci. On rappelle l'unité graphique 2~cm. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $1 - f(x) \geqslant 0$ pour tout nombre réel $x$. \item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. Montrer que $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x^2\text{e}^{-x}\:\text{d}x = \text{e}^{- \lambda}\left(-\lambda^2 - 2\lambda - 2\right) + 2$ (on pourra effectuer deux intégrations par parties). \item En déduire l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite d'équation $y = 1$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \lambda$. \item Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $+\infty$ . \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \medskip Au cours de la fabrication d'un certain type de lentilles, chacune de ces lentilles doit subir deux traitements notés T$_{1}$ et T$_{2}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On prélève au hasard une lentille dans la production. On désigne par $A$ l'évènement : \og la lentille présente un défaut pour le traitement T$_{1}$ \fg. On désigne par $B$ l'évènement : \og la lentille présente un défaut pour le traitement T$_{2}$ \fg. On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires de $A$ et $B$. Une étude a montré que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item la probabilité qu'une lentille présente un défaut pour le traitement T$_{1}$ est \\$P(A) = 0,10$ ; \item la probabilité qu'une lentille présente un défaut pour le traitement T$_{2}$ est \\$P(B) = 0,20$ ; \item la probabilité qu'une lentille ne présente aucun des deux défauts est $0,75$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T$_{1}$ ou T$_{2}$. \item Calculer la probabilité qu'une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour les deux traitements T$_{1}$ et T$_{2}$. \item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements. \item Calculer la probabilité qu'une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T$_{2}$, sachant que cette lentille présente un défaut pour le traitement T$_{1}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On prélève, au hasard, un échantillon de $50$~lentilles dans la production. On considère ce prélèvement comme un prélèvement avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de lentilles qui présentent au moins un des deux défauts (pour le traitement T$_{1}$ ou pour le traitement T$_{2}$). On admet, dans cette partie, que la probabilité qu'une lentille présente au moins un des deux défauts est : $p = 0,25$. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. \item Déterminer l'espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire $X$. \item Calculer la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, 12 lentilles qui présentent au moins un des deux défauts. Arrondir le résultat à $10^{-4}$. \item On considère que la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $12,5$ et d'écart type $3,06$. On note $Y$ une variable aléatoire qui suit cette loi normale $\mathcal{N}(12,5~;~3,06)$. \begin{enumerate} \item Calculer, avec cette approximation, la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, 12 lentilles qui présentent au moins un des deux défauts, c'est à dire : $P(11,5 \leqslant Y \leqslant 12,5)$. Donner le résultat avec la précision permise par la table. \item Déterminer le nombre réel $h$ tel que : $P(12,5 - h \leqslant Y \leqslant 12,5 + h) = 0,673$. Arrondir le résultat à l'unité. \end{enumerate} \medskip \emph{Ce résultat peut s'énoncer de la façon suivante: avec une probabilité proche de $0,673$ le nombre de lentilles présentant au moins un des deux défauts dans un tel échantillon de $50$~lentilles, est compris entre $10$ et $15$.} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2003}{} \lfoot{\small{Opticien lunetier}} \rfoot{\small{Session 2003}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien lunetier session 2003} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (x-1)^2 \text{e}^{\frac{x}{2}}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 2~cm). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ de $\R ~, f'(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{2} \text{e}^{\frac{x}{2}}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans $\R$. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées seront arrondies à $10 ^{-2}$.\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$-6$ &$-4$ &$-3$ &$-2$ &$-1$ &0 &1 & 2\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la tangente T et la partie de la courbe $\mathcal{C}$ relative à l'intervalle $[-6~;~2]$. \end{enumerate} \item On appelle $\mathcal{A}$ l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. \begin{enumerate} \item On note I$ = \displaystyle\int_{0}^1 (x - 1)\text{e}^{\frac{x}{2}}\:\text{d}x$. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que I $ = 6 - 4\sqrt{\text{e}}$. \item On note J $= \displaystyle\int_{0}^1 (x - 1)^2\text{e}^{\frac{x}{2}}\:\text{d}x$. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que J $= - 26 + 16\sqrt{\text{e}}$. \item Déduire de ce qui précède la valeur exacte de $\mathcal{A}$. En donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \medskip Une entreprise fabrique des faces de lunettes en grande série. Dans chaque partie on étudie un modèle différent. \medskip \textbf{Dans cet exercice, sauf avis contraire, tous les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-3}$\unboldmath. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une face de lunettes de modèle A est conforme si sa longueur, en millimètres, est comprise entre $129$ et $131$. \begin{enumerate} \item On désigne par $L_{1}$ la variable aléatoire qui, à chaque face prélevée au hasard dans la production dune journée associe sa longueur. On suppose que $L_{1}$ suit la loi normale de moyenne $130$ et d'écart type $0,5$. Calculer la probabilité qu'une face produite ce jour-là soit conforme, \item On désigne par $L_{2}$ la variable aléatoire qui, à chaque face prélevée au hasard dans un stock associe sa longueur.\\ On suppose que $L_{2}$ suit la loi normale de moyenne $130$ et d'écart type $\sigma$ inconnu. On note $p$ la probabilité qu'une face de ce stock soit non conforme. Déterminer $\sigma$ pour que l'on ait $p = 0,03$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On note E l'évènement : \og une face prélevée au hasard dans un lot du modèle B est non conforme \fg. On suppose que la probabilité de l'évènement E est 0,04. On prélève au hasard 50 faces de lunettes de ce lot. Le lot est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~faces de lunettes. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 50~faces de lunettes, associe le nombre de faces non conformes. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins deux faces de lunettes soient non conformes. \item On admet que l'on peut approcher la loi de probabilité de la variable $X$ par une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Donner le paramètre de cette loi de Poisson. \item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson définie au a. Calculer avec la précision de la table, la probabilité que le prélèvement contienne au plus quatre faces non conformes. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Dans cette question on s'intéresse à la longueur des faces de lunettes de modèle C produites pendant une journée et on note $\mu$ la moyenne, inconnue, de ces longueurs. \medskip Soit $\overline{L}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 64~faces de lunettes prélevées au hasard et avec remise dans la production des faces de modèle C de la journée considérée, associe la moyenne des longueurs des faces de cet échantillon. On suppose que $\overline{L}$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{64}}$ avec $\sigma = 0,48$. On mesure la longueur, exprimée en millimètres, de chacune des 64~faces d'un échantillon prélevé au hasard et avec remise dans la production de la journée des faces de modèle C. On constate que la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de la moyenne $\overline{l}$ des longueurs des faces de cet échantillon est $\overline{l} = 130,088$. \begin{enumerate} \item À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$. \item Déterminer un intervalle de confiance centré en $\overline{l}$ de la moyenne $\mu$, avec le coefficient de confiance 95\:\%. \item On considère l'affirmation suivante : \og la moyenne $\mu$ est obligatoirement entre $129,970$ et $130,206$ \fg. Peut-on déduire de ce qui précède qu'elle est vraie ? On ne demande pas de justification. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2004}{} \lfoot{\small{Opticien lunetier}} \rfoot{\small{juin 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien lunetier session 2004} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip L'étude des fiches de 500~patients d'un cabinet d'ophtalmologie a permis d'établir le tableau suivant.\\ \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Tranche d'âge&\multicolumn{2}{c|}{moins de 25 ans}&\multicolumn{3}{c|}{de 25 ans à 45 ans}&\multicolumn{3}{c|}{plus de 45 ans}\\ \hline Nombre de visites annuelles&1&2&1&2&3&1&2&3\\ \hline Effectifs&25& 15& 90&80&40&132&86&32\\ \hline \end{tabularx} \medskip Par exemple, 86~personnes de plus de 45~ans sont venues au cabinet deux fois dans l'année. \begin{enumerate} \item On tire une fiche au hasard dans l'ensemble des fiches des 500~patients. On considère que tous les tirages sont équiprobables. On note $A$ l'évènement : \og le patient a moins de 25 ans \fg{} et $B$ l'évènement: \og le patient vient deux fois par an au cabinet \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de chacun des évènements $A,~ B$ et $A \cap B$. \item Déterminer la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. Arrondir cette probabilité à $10^{-2}$. \end{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque fiche tirée au hasard dans le fichier, associe le nombre de visites annuelles inscrites sur cette fiche. \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \item On prélève dix fiches au hasard et avec remise dans le fichier. On appelle Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 10~fiches, associe le nombre de fiches de patients de moins de 25~ans. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 2~fiches exactement correspondent à des patients de moins de 25~ans. Arrondir à $10^{-2}$. \end{enumerate} \item On prélève cent fiches au hasard et avec remise dans le fichier. On considère la variable aléatoire $Z$ qui, à chaque prélèvement de cent fiches, associe le nombre de fiches de patients de moins de 25~ans. On admet que $Z$ suit approximativement la loi de Poisson de paramètre $8$. \begin{enumerate} \item Déterminer, avec la précision permise par la table, la probabilité de l'évènement E : \og cinq fiches au plus correspondent à des patients de moins de 25~ans \fg. \item On considère un entier naturel $n$ et l'évènement $F$ : \og $n$ patients au plus ont moins de 25~ans \fg. Déterminer la valeur minimale $n_{0}$ de l'entier $n$ telle que la probabilité de $F$ soit supérieure à $0,5$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip Une étude statistique effectuée sur une pièce utilisée dans la fabrication des lunettes a donné les résultats suivants où : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $x$ désigne le prix unitaire en euros, \item[] $y$ désigne la demande (la quantité demandée par les consommateurs), en milliers d'unités, \item[] $z$ désigne l'offre (la quantité offerte sur le marché par les producteurs), en milliers d'unités. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0,5& 1& 1,9& 2,1& 2,4& 2,8& 3,2& 3,5\\ \hline $y$& 10,5&9&6,9& 6,5& 5,9& 5,3& 4,7& 4,3\\ \hline $z$& 2& 2,4& 2,8& 2,9& 3& 3,1& 3,2& 3,3\\ \hline \end{tabularx} \medskip \emph{A. Étude de fonctions $f$ et $g$, définies sur $[0~;~ 5]$ et tracé de leurs courbes représentatives}\\ \begin{enumerate} \item On appelle $f$ la fonction demande définie sur [0~;~5] par $f(x) = y$. La demande, en milliers d'unités, pour un prix de $x$ euros est donc $f(x)$. On admet que, \[ \text{pour tout}~ x~ \text{de}~ [0~;~ 5], ~f(x) = \text{e}^{-0,3x + 2,5}.\] Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} où l'unité graphique est 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ sur [0~;~ 5]. \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$. (On pourra utiliser le tableau de valeurs ci-dessus). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant dans lequel on fera figurer des valeurs approchées arrondies à $10^{-2}$.\\ \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c||*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0,5& 1& 1,9&2,1& 2,4& 2,8& 3,2 & 3,5\\ \hline $z$& 2& 2,4 & 2,8& 2,9& 3& 3,1& 3,2& 3,3\\ \hline $Z = \text{e}^z$& 7,39&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique de variables $x$ et $Z$. Arrondir à $10^{-3}$. \item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $Z$ en $x$ sous la forme $Z = ax + b$ où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-1}$. \item Déduire du c. une expression de $z$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \item On appelle $g$ la fonction offre définie sur [0~;~5]. L'offre, en milliers d'unités, pour un prix de $x$ euros est donc $g(x)$. On admet que, \[ \text{pour tout}~ x~ \text{de}~ [0~;~ 5],~ g(x) = \ln (6,4x + 4,4).\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $g$ sur [0~;~ 5]. \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_{f}$.\\ (On pourra utiliser le tableau de valeurs figurant au début de cet exercice, en remarquant que $z = g(x)$.) \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{B. Détermination du prix d'équilibre} \medskip Le prix d'équilibre est le prix de vente $x_{0}$ pour lequel l'offre est égale à la demande, c'est à dire $f\left(x_{0}\right) = g\left(x_{0}\right)$ ou $f\left(x_{0}\right) - g\left(x_{0}\right) =0$. On considère la fonction $h$ définie sur [0~;~5] par \[h(x) = \text{e}^{-0,3x + 2,5}- \ln (6,4x + 4,4).\] \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ de [0~;~ 5], $h'(x) = f'(x) - g'(x)$. \item Déduire du 1. a. et du 3. a. de la partie A que, pour tout $x$ de [0~;~ 5], $h'(x) < 0$. En déduire le sens de variation de $h$ sur [0~;~5]. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique, notée $x_{0}$, dans [4~;~4,5]. \item Déterminer un encadrement d'amplitude $0,1$ de $x_{0}$. \end{enumerate} \item Expliquer par une phrase comment on peut vérifier sur la figure de la partie A le résultat obtenu au 3. de la partie B. \item Dans cette question, pour simplifier, on prend pour prix d'équilibre $x_{0} = 4$. \begin{enumerate} \item Calculer $f\left(x_{0}\right)$. Arrondir à $10^{-2}$. \item En déduire la quantité de pièces échangées sur le marché. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2005}{} \lfoot{\small{Opticien lunetier}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien lunetier session 2005} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip \textbf{Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip Dans une grande chaîne de magasins d'optique, on s'intéresse aux stocks de montures de lunettes. \medskip \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un des stocks est constitué de montures du modèle M$_{1}$, provenant de deux fabricants, notés \og fabricant 1 \fg{} et \og fabricant 2 \fg. On admet que 1\:\% des pièces provenant du fabricant 1 sont défectueuses et que 2\:\% des pièces provenant du fabricant 2 sont défectueuses. Le fabricant 1 a fourni 60\:\% de ce stock et le fabricant 2, le reste. On prélève au hasard une monture dans le stock. Toutes les montures ont la même probabilité d'être prélevées. On définit les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $A$ : \og la monture provient du fabricant 1 \fg{} ; \item[] $B$ : \og la monture provient du fabricant 2 \fg{} ; \item[] $D$ : \og la monture est défectueuse \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Déterminer les probabilités $P(A),~ P(B), P_{A}(D),~ P_{B}(D)$. (On rappelle que $P_{A}(D) = P(D/A)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé). \item En déduire $P(D \cap A)$ et $P(D \cap B)$. \item Calculer $P(D)$. \item Déterminer la probabilité qu'une monture provienne du fabricant 1 sachant qu'elle est défectueuse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Un autre stock est constitué de montures du modèle M$_{2}$. On note E l'évènement \og une monture prélevée au hasard dans un stock du modèle M$_{2}$ est défectueuse \fg. On suppose que la probabilité de l'évènement $E$ est $0,02$. On prélève au hasard 50~montures dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~montures. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50~montures, associe le nombre de montures défectueuses parmi ces 50~montures. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune des 50~montures ne soit défectueuse. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux montures soient défectueuses. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \emph{Dans ce qui suit, on s'intéresse au poids, en grammes) des montures du modèle M}$_{3}$. Une monture de ce modèle est considérée comme conforme pour le poids si celui-ci est, en grammes, compris entre $99$ et $101$. On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque monture prélevée au hasard dans un lot très important de montures du modèle M$_{3}$, associe son poids. On suppose que $L$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d'écart type $0,5$. Déterminer, à l'aide de la table du formulaire, la probabilité qu'une monture prélevée au hasard dans le lot soit conforme pour le poids. \medskip \textbf{Partie D} \medskip \emph{Dans cette partie, on veut contrôler la moyenne $\mu$ de l'ensemble des poids des montures du modèle M$_{4}$ constituant une livraison.} \medskip On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque monture tirée au hasard dans la livraison, associe son poids, en grammes. \medskip On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\sigma =0,5$. On désigne par $\overline{Y}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100~montures de modèle M$_{4}$, prélevé dans la livraison, associe la moyenne des poids de ces montures (la livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). L'hypothèse nulle est H$_{0} : \mu = 100$. Dans ce cas les montures de modèle M$_{4}$ de la livraison sont conformes. L'hypothèse alternative est H$_{1}~: \mu \neq 100$. Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$. \begin{enumerate} \item Justifier que, sous l'hypothèse nulle H$_{0},~ Y$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d'écart type $0,05$. \item Sous l'hypothèse nulle H$_{0}$, déterminer le nombre réel positif $h$ tel que : $P(100 - h \leqslant Y \leqslant 100 + h) = 0,95$. \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item On prélève un échantillon de 100~montures et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des poids est $\overline{y} = 100,032$. Peut-on, au seuil de signification de $0,05$, conclure que les montures de la livraison sont conformes pour le poids ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip \emph{Partie A résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle : \[(E)~~:\qquad y' - y = \text{e}^x\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2} \right)\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$. \begin{enumerate} \item Résoudre, sur $]0~;~+ \infty[$, l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~~: y' - y = 0$. \item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par \[h(x) = \text{e}^x\left(\dfrac{1}{x} + \ln x\right).\] Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(1) = 2\text{e}$. \end{enumerate} \medskip \emph{Partie B : étude d'une fonction} \medskip Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \text{e}^x\left(\dfrac{1}{x} + \ln x\right)$. On remarque que $h$ est la fonction définie dans la partie \textbf{A. 2.}. Une représentation graphique $\mathcal{C}$ de $h$, dans un repère orthogonal, où l'unité graphique est 4~centimètres sur l'axe des abscisses et 2~centimètres sur l'axe des ordonnées, est donnée ci-après. \medskip \begin{center} \psset{xunit=4cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(0,0)(2,5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(2,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(2,5) \uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$} \uput[u](1.4,4.35){$\mathcal{C}$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.166}{1.532}{1 x div x ln add 2.71828 x exp mul}% \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x)$. \item Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~ + \infty[,~ h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}\left(1 + x\ln x\right)$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to 0} h(x)$. \item Que peut-on déduire du \textbf{b.} pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \item Pour tout $x$ de $]0~;~ + \infty[$, on pose : $g(x) = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \ln x$. \begin{enumerate} \item On admet que $g$ est dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ et que son tableau de variation est : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,3.5) \psframe(6,3.5) \psline(0,2.5)(6,2.5) \psline(2,0)(2,3.5)\psline(2.1,0)(2.1,2.5) \rput(1,3){$x$} \rput(2.15,3){$0$} \rput(5.6,3){$+ \infty$} \rput(1,1.25){$g(x)$} \rput(2.4,0.2){$- \infty$} \rput(5.6,2.3){$+ \infty$} \psline{->}(2.7,0.3)(5.4,2.2) \end{pspicture} \end{center} \medskip Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique, notée $\alpha$, sur [0,5~;~0,6]. \item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ arrondie à $10^{-2}$. \item En déduire le signe de $g(x)$ lorsque $x$ varie dans $]0~;~ + \infty[$. \item Vérifier que, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[,~ h'(x) = \text{e}^xg(x)$, où $h'$ est la dérivée de la fonction $h$ définie au \textbf{2.} de la partie A. \item Déduire de ce qui précède le signe de $h'(x)$ lorsque $x$ varie dans $]0~;~+ \infty[$. \item Donner le tableau de variations de la fonction $h$ lorsque $x$ varie dans $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2006}{} \lfoot{\small{Opticien lunetier}} \rfoot{\small{juin 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien lunetier session 2006} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \end{center} Une entreprise est approvisionnée en \og palets \fg pour la fabrication de lentilles. \medskip \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés seront arrondis à \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath sauf indication contraire de la partie B} \medskip \textbf{A. Loi binomiale et loi de Poisson} Dans un lot de ce type de palets, 2\:\% des palets ne sont pas conformes pour le rayon de courbure. On prélève au hasard 50~palets de ce lot pour vérification du rayon de courbure. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~palets. On considère le variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50~palets, associe le nombre de palets non conformes pour le rayon de courbure. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, un palet et un seul ne soit pas conforme pour le rayon de courbure. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un palet ne soit pas conforme pour le rayon de courbure. \item On considère que la loi suivie par la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. \item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est la valeur obtenue au \textbf{4.}. Calculer $P(Y = 1)$ et $P(Y\leqslant 1)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Evènements indépendants} \medskip Dans cette partie, on donnera les valeurs exactes des probabilités. À l'issue de la fabrication, les lentilles peuvent présenter deux types de défauts : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item une puissance défectueuse, \item une épaisseur défectueuse. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On prélève une lentille au hasard dans la production d'une journée. On note $A$ l'évènement : \og la lentille présente une puissance défectueuse \fg, On note $B$ l'évènement : \og la lentille présente une épaisseur défectueuse \fg. On admet que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont $P(A) = 0,03$ et $P(B) = 0,02$ et on suppose que ces deux évènements sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$ : \og la lentille prélevée présente les deux défauts \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{2}$ : \og la lentille prélevée présente au moins un des deux défauts \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{3}$ : \og la lentille prélevée ne présente aucun défaut \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{4}$ : \og la lentille prélevée présente un seul de deux défauts \fg. Puisque les évènements $A$ et $B$ sont indépendants, on peut admettre que les événements $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants et les évènements $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants. \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Test d'hypothèse} \medskip Les palets utilisés pour la fabrication des lentilles doivent avoir un diamètre de 9,80 millimètres. Dans cette partie, on se propose de contrôler la moyenne $\mu$ de l'ensemble des diamètres de palets d'une importante livraison reçue par l'entreprise.\\ On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque palet prélevé au hasard dans la livraison, associe son diamètre. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\sigma= 0,13$. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100~palets prélevé dans la livraison, associe la moyenne des diamètres de ces palets (la livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). L'hypothèse nulle est H$_{0}$ : \og $\mu = 9,80$ \fg. Dans ce cas les palets de la livraison sont conformes pour le diamètre. L'hypothèse alternative est H$_{1} \og \mu \neq 9,80$ \fg. Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que, sous l'hypothèse nulle H$_{0},~\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $9,80$ et d'écart type $0,013$. \item Sous l'hypothèse nulle, déterminer le nombre réel $h$ positif tel que : \[P(9,80 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 9,80 + h) = 0,95.\] \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item On prélève un échantillon de 100~palets et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres est $\overline{z} = 9,79$.\\ Peut-on, au seuil de risque de 5\:\%, conclure que les palets de la livraison sont conformes pour le diamètre ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \medskip \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}\\ On considère l'équation différentielle \[(\text{E})~: \quad y' - y = \text{e}^x\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$, et $y'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~: \quad y' -y = 0$. \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^x$.\\ Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). \item En déduire les solutions de l'équation différentielle (E). \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est $2$~cm, \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item Interpréter graphiquement le résultat obtenu au \text{b.}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,~f'(x) = (x +2) \text{e}^x$. \item Établir le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item Construire sur la feuille de copie quadrillée T et $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la fonetion $f$ défmie dans la partie B est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie A. Donc, pour tout $x$ de $\R,~f(x) = f'(x) - \text{e}^x$. \item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$. \item Soit $a$ un nombre réel strictement inférieur à $-2$. On note I $ = \displaystyle\int_{a}^{-2} f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que I $ = - a \text{e}^a -2 \text{e}^{-2}$. \item En déduire l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 4$ et $x = -2$. \item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de cette aire. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2007}{} \lfoot{\small{Opticien--lunetier}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien --lunetier session 2007} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip \textbf{Les deux parties sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une entreprise effectue des contrôles pour détecter si un produit satisfait aux normes prévues. Le produit est conditionné en boîtes. Les contrôles montrent que la probabilité qu'une boîte prélevée au hasard dans la production soit défectueuse est égale à $0,006$. Soit $n$ un entier naturel. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque lot de $n$ boîtes du produit tirées au hasard et avec remise dans la production associe le nombre de boîtes défectueuses dans ce lot. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale. Donner l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $n$. \item Déterminer, en fonction de $n$, la probabilité qu'il n'y ait aucune boîte défectueuse dans le lot. \item Dans celle question, on prend $n = 500$. On admet que l'on peut approcher la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ par une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Déterminer le paramètre de la loi de Poisson. \item On désigne par $X_{1}$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $X$, où $X$ est la valeur obtenue au \textbf{a.}. En utilisant cette loi de Poisson et la table du formulaire calculer la probabilité qu'il y ait au plus deux boîtes défectueuses dans le lot. Donner le résultat approché arrondi à $10^{-2}$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $n = \nombre{10000}$. On admet que l'on peut approcher la loi dc probabilité de la variable aléatoire $X$ par une loi normale. \begin{enumerate} \item Calculer la moyenne et l'écart type de cette loi normale. Donner, pour l'écart type, le résultat approché arrondi à $10^{-2}$. \item On note $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $60$ et d'écart type $7,72$. Calculer à l'aide de la table du formulaire la probabilité $P(49,5 \leqslant Y \leqslant 70,5)$. \item En déduire la probabilité qu'il y ail, au sens large, entre $50$ et $70$ boîtes défectueuses dans le lot dc \nombre{10000} boîtes. Donner le résultat approché arrondi à $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'entreprise organise une enquête de satisfaction auprès de ses clients. Soir $Z$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $n$ fiches, prélevées au hasard et avec remise dans le fichier de la clientèle, associe le pourcentage de clients correspondants satisfaits par le produit. On admet que $Z$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$ où $p$ est la proportion inconnue de clients satisfaits par le produit dans l'ensemble de la clientèle. Un sondage auprès d'un échantillon aléatoire de $100$~clients a montré que $85$~d'entre eux étaient satisfaits. \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle de $p$. \item Donner une estimation de $p$ par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance $95$\:\%. Arrondir les bornes à $10^{-2}$. \item Peut-on affirmer que $p$ est compris dans cet intervalle de confiance ? Pourquoi ? \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit (E) l'équation différentielle \[y' + y = -2x \text{e}^{-x}\] où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~~~ :\quad y' + y = 0$. \item Vérifier que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = -x^2\text{e}^{-x}$ est une solution particulière de (E). \item Donner l'ensemble des solutions de (E). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x) = \text{e}^{-x} - x^2\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Justifier que $g$ est solution dc l'équation différentielle (E) de la partie A. \item Soit $h$ la fonction dérivable sur $\R$ représentée par la courbe ci-dessous : \medskip \psset{unit=1.75cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-2,-0.5)(5,3.5) \psframe(-2,-0.5)(5,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-0.5)(5,3.5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,0)(5,3) \uput[d](5,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$} \uput[dr](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1.77}{5}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div} \end{pspicture} \end{center} \medskip On admet que la fonction $h$ est une primitive de la fonction $g$ sur $\R$. En utilisant le graphique précédent donner une valeur approchée de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$. On expliquera la démarche utilisée. \item On se propose de calculer la valeur exacte de l'intégrale précédente. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que \[\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = 1- 2\text{e}^{-1}.\] \item On sait que $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E) de la partie A, c'est-à-dire que, pour tout réel $x$ on a : \[g(x) = -g'(x) - 2x \text{e}^{-x}.\] En déduire que $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = 4\text{e}^{-1} - 1$, puis la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, de la portion du plan comprise entre la courbe représentative de $g$ (tracée à la question 5 de la partie B), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2008}{} \lfoot{\footnotesize{Opticien --lunetier}} \rfoot{\footnotesize{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien --lunetier session 2008} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation différentielle (E) : $y'- y = - t$ où l'inconnue $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~~: \quad y'- y = 0$. \item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour lesquels la fonction $h$ définie pour tout réel $t$ par $h(t) = at + b$ est une solution particulière de (E). \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution de l'équation différentielle (E), dont la représentation graphique dans un repère du plan passe par le point de coordonnées (0 ; 2). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 2~;~2]$ par : \[g(t) = t + 1 + \text{e}^t.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $[- 2 ~;~ 2]$. \item Montrer que l'équation $g(t) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[- 2~;~2]$. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. \item En déduire le signe de $g(t)$ sur l'intervalle $[- 2 ~;~ 2]$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[- 2~;~2]$ par : $f(t)= \dfrac{t \cdot \text{e}^t}{\text{e}^t + 1}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $t$ de l'intervalle $[- 2~;~2]$ : $f'(t) = \dfrac{g(t) \cdot \text{e}^t}{\left(\text{e}^t +1\right)^2}$. \item En déduire le signe de $f'(t)$ puis le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie D} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. Pour dessiner un profil de branche de lunettes, on utilise la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est : \[\renewcommand{\arraystretch}{1.6} \left\{ \begin{array}{l c l c l} x &=& f(t) &=& \dfrac{t\cdot \text{e}^t}{\text{e}^t + 1}\\ y &=& g(t)& =&t +1 + \text{e}^t\\ \end{array}\right.~~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle}~ [- 2 ~;~ 2].\] \begin{enumerate} \item À l'aide des résultats des parties B et C, établir un tableau des variations conjointes de $f$ et de $g$ sur $[- 2 ~;~ 2]$. \item Déterminer un vecteur directeur de la tangente $T_{1}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{1}$ obtenu pour la valeur $t = \alpha$. \item Déterminer un vecteur directeur de la tangente $T_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{2}$ obtenu pour la valeur $t = 0$. \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant. On prendra $-1,28$ comme valeur approchée de $\alpha$. Les valeurs seront arrondies au centième.\\ \medskip \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$& $-2$& $-1,28$& 0& 1& 2\\ \hline $f(t)$&&&&&\\ \hline $g(t)$&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \item Placer les points dont les coordonnées ont été calculées à la question précédente, tracer les droites $T_{1}$ et $T_{2}$ et la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \emph{Les parties A et B sont indépendantes. Les résultats sont à arrondir au centième.} \medskip Au cours d'une année, le service ophtalmologie d'un centre hospitalier a examiné \nombre{5000}~patients. Pour chaque patient, une fiche a été remplie sur laquelle sont indiqués l'âge de la personne et le diagnostic posé.\\ \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau suivant donne une répartition des sujets en classes d'âge. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.1cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Classe d'âge (ans)&\footnotesize [10 ; 20[& \footnotesize [20 ; 30[&\footnotesize [30 ; 40[&\footnotesize [40 ; 50[ &\footnotesize [50 ; 60[ &\footnotesize [60 ; 70[ &\footnotesize [70 ; 80[&\footnotesize [80 ; 90[\\ \hline Effectif $n_{i}$&400& 600& 750& \nombre{1000}& 800& 650& 450& 350\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On prélève une fiche au hasard dans le fichier. On note A et B les évènements suivants : A : la fiche prélevée est celle d'un sujet dont l'âge est strictement inférieur à 40~ans. B : la fiche prélevée est celle d'un sujet dont l'âge est supérieur ou égal à 20~ans. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de chacun des évènements A, B et A $\cap$ B. \item Calculer la probabilité que A soit réalisé sachant que B est réalisé. \end{enumerate} \item On prélève au hasard et avec remise 40~fiches dans le fichier. Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de 40~fiches le nombre de fiches correspondant à des sujets dont l'âge est supérieur ou égal à 80 ans. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de X. \item Calculer la probabilité de l'évènement : ($X = 3$). \end{enumerate} \item On considère que la loi suivie par $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Calculer le paramètre $X$ de cette loi de Poisson. \item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $X$. Calculer la probabilité de l'évènement : ($Y = 3$). \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Parmi les pathologies rencontrées chez les \nombre{5000}~patients figure l'aniséïconie\footnote{L'aniséïconie se définit comme la perception d'images différentes en taille et/ou en forme par les deux yeux fixant un même objet.}. On considère un échantillon de 60~fiches prélevées au hasard dans le fichier des patients. Le nombre de fiches du fichier est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 15~fiches de cet échantillon signalent une aniséïconie. \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des fiches du fichier qui signalent une aniséïconie. \item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 60~fiches prélevées au hasard et avec remise dans le fichier, associe la fréquence des fiches qui signalent une aniséïconie. On admet que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{60}}$, où $p$ désigne la fréquence inconnue des fiches du fichier qui signalent une aniséïconie. Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ au seuil de confiance 95\:\%. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2009}{} \lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}} \rfoot{\footnotesize{juin 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien --lunetier session 2009} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip La direction de la chaîne des magasins OPTITAN, qui commercialise des lunettes solaires, se propose de déterminer le prix de vente unitaire d'un de ses modèles pour réaliser la meilleure recette possible. La direction raisonne à partir des deux hypothèses suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item pour un prix de base de 50~euros, il y a \nombre{10000}~clients acheteurs en une année ; \item toute augmentation de 20~euros entraîne une diminution de 20\:\% du nombre de clients. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \emph{A. Modèle discret} \medskip \begin{enumerate} \item La suite $\left(p_{n}\right)$, avec $n$ entier naturel compris entre 0 et 4, des différents prix testés, en euros, par l'entreprise est une suite arithmétique de premier terme $p_{0} = 50$ et de raison $r = 20$. Déterminer $P_{1},~ P_{2}, P_{3}$ et $P_{4}$. \item Pour $n$ entier naturel compris entre 0 et 4, on désigne par $c_{n}$ le nombre de clients acheteurs potentiels, lorsque le prix unitaire est égal à $p_{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(c_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item Exprimer, pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 4, $c_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Pour $n$ entier naturel compris entre 0 et 4, on désigne par $r_{n}$ la recette correspondant au prix unitaire $p_{n}$. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& 0& 1& 2& 3& 4\\ \hline $p_{n}$& 50& 70&&& 130\\ \hline $c_{n}$& \nombre{10000}&&&&\\ \hline $r_{n}$&\nombre{500000}&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item D'après le tableau précédent, quel prix $p_{n}$ permet à OPTITAN de réaliser la meilleure recette ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{B. Modèle continu} \medskip \textbf{I.} On considère l'équation différentielle $(E) : \quad y' = - \dfrac{20}{100}y$, où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~4], et $y'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $C$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $C(0) = \nombre{10000}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant, dans lequel les valeurs $c_{n}$ ont été obtenues à la question A. 3. et les valeurs $C(n)$ sont à calculer avec la fonction $C$ obtenue au B. I. 1. b. Arrondir les valeurs $C(n)$ à l'unité. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& 0& 1& 2& 3 &4\\ \hline Nombre de clients potentiels obtenu avec le premier modèle $c_{n}$&&\nombre{8000}&&&\\ \hline Nombre de clients potentiels obtenu avec le deuxième modèle: $C(n)$&&\nombre{8187}&&& \\ \hline $C(n) - c_{n}$&& 187&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Pour quelle valeur de $n$ l'écart entre le nombre de clients acheteurs potentiels obtenu avec le deuxième modèle et le nombre de clients acheteurs potentiels obtenu avec le premier modèle est-il le plus important ? Quel est alors cet écart ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{II.} On considère la fonction $R$ de la variable réelle $x$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par : \[R(x) = (5 + 2x)\text{e}^{-0,2x}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $R'(x)$, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~4]. \item Étudier le signe de $R'(x)$ sur l'intervalle [0~;~4]. En déduire le tableau de variations de $R$, dans lequel on fera figurer les valeurs exactes de $R(0)$, de $R(4)$ et de $R\left(x_{0}\right)$, où $x_{0}$ est la valeur de $x$ pour laquelle la fonction $R$ admet un maximum. \item Donner les valeurs approchées arrondies à $10^{-2}$ de $R(2,5)$ et $R(4)$. En utilisant le tableau de variations précédent, donner le nombre de solutions de l'équation $R(x) = 6$ dans l'intervalle [0~;~4]. On ne demande pas de justification. \end{enumerate} \item On admet que, lorsque le prix de vente unitaire du modèle de lunettes solaires considéré au début de l'exercice est $(50 + 20x)$ euros, avec $0 \leqslant x \leqslant 4$, la recette correspondante est $R(x)$, en centaines de milliers d'euros. Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la question B. II. 1. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le prix unitaire, en euros, du modèle de lunettes permettant d'obtenir la meilleure recette. Quelle est alors cette recette, arrondie à l'euro ? \item Deux prix permettent une recette égale à \nombre{600000}~euros. Expliquer pourquoi l'un est favorable à l'acheteur et l'autre au vendeur. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \begin{center} \textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center} \medskip Dans le service d'ophtalmologie d'un centre hospitalier, on dispose de deux fichiers, concernant un grand nombre de patients. Le fichier 1 contient les fiches cartonnées de patients atteints d'un glaucome. Le fichier 2 concerne des patients non atteints de glaucome. \medskip \emph{A. Évènements indépendants} \medskip \begin{center} \textbf{Dans cette partie, on demande les valeurs exactes des probabilités.} \end{center} On s'intéresse aux allergies déclenchées chez les patients du fichier 1 par deux collyres C$_{1}$ et C$_{2}$. L'examen du fichier montre que 5\:\% des patients sont allergiques à C$_{1}$ et 10\:\% des patients allergiques à C$_{2}$. On prélève une fiche au hasard dans le fichier 1. On note A l'évènement : \og la fiche prélevée est celle d'un patient allergique à C$_{1}$ \fg. On note B I' évènement : \og la fiche prélevée est celle d'un patient allergique à C$_{2}$ \fg. On suppose que les évènements A et B sont indépendants. \begin{enumerate} \item Donner les probabilités $P(\text{A})$ et $P(\text{B})$. \item Calculer la probabilité de l'évènement : \og la fiche prélevée est celle d'un patient allergique aux deux collyres \fg. \item Calcule la probabilité de l'évènement : \og la fiche prélevée est celle d'un patient allergique à l'un au moins des deux collyres \fg. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Dans les parties B, C et D, les valeurs approchées sont à arrondir à} \boldmath $10^{- 2}$ \end{center} \bigskip \emph{B. Loi binomiale et loi de Poisson} Dans le fichier 1, seulement 10\:\% des fiches indiquent une \og pression intraoculaire \fg normale (la pression intraoculaire est la pression de l'humeur aqueuse à l'intérieur de l'?il). On prélève au hasard et avec remise $n$ fiches dans le fichier 1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à tout prélèvement de $n$ fiches associe le nombre de fiches indiquant une pression intraoculaire normale. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Dans cette question, on prend $n = 10$. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune fiche ne présente une pression intraoculaire normale. \item Dans cette question, on prend $n = 100$. On considère que la loi suivie par la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Donner le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. \item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est la valeur obtenue au a. Calculer, à l'aide de la table du formulaire, $P(Y \leqslant 3)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Loi normale} \medskip Dans cette question, on considère la variable aléatoire $Z$ qui, à toute fiche prélevée au hasard dans le fichier 1, associe la pression intraoculaire du patient, exprimée en millimètres de mercure. On admet que $Z$ suit la loi normale de moyenne 19 et d'écart type 2. Calculer, à l'aide de la table du formulaire, la probabilité $P(15 \leqslant Z \leqslant 23)$. \bigskip \emph{D. Test d'hypothèse} \medskip Dans cette partie, on cherche à déterminer s'il existe une différence significative entre la moyenne des \og pressions systoliques \fg{} (la pression systolique est la pression artérielle au moment de la contraction du c{\oe}ur) des patients du fichier 1, atteints de glaucome, et celle des patients du fichier 2, non atteints de glaucome. Ne pouvant consulter toutes les fiches, on décide de procéder à un test d'hypothèse. On note $X_{1}$ la variable aléatoire qui à chaque fiche prélevée au hasard dans le fichier 1 associe la pression systolique du patient, exprimée en millimètres de mercure. On note $X_{2}$ la variable aléatoire qui à chaque fiche prélevée au hasard dans le fichier 2 associe la pression systolique du patient, exprimée en millimètres de mercure. On admet que $X_{1}$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu_{1},~ 25)$ et que $X_{2}$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu_{2},~ 20)$, où $\mu_{1}$ et $\mu_{2}$ sont les moyennes inconnues des pressions systoliques des patients des fichiers 1 et 2. On désigne par $X_{1}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire de 200 fiches prélevées avec remise dans le fichier 1 associe la moyenne des pressions systoliques. On désigne par $X_{2}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire de 200 fiches prélevées avec remise dans le fichier 2 associe la moyenne des pressions systoliques. On note $D$ la variable aléatoire telle que : $D = \overline{X_{1}} - \overline{X_{2}}$. L'hypothèse nulle est $H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}$. L'hypothèse alternative est $H_{1} : \mu_{1} \neq \mu_{2}$. Le seuil de signification est fixé à 5\:\%. On admet que sous l'hypothèse nulle $H_{0}$ la variable aléatoire $D$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(0,~\sqrt{\dfrac{25^2 + 20^2}{200}}\right)$. \begin{enumerate} \item Sous l 'hypothèse nulle $H_{0}$ déterminer le nombre réel positif $h$ tel que : \[P\left(-h \leqslant D \leqslant h \right) = 0,95. \] \item Énoncer la règle de décision du test. \item On prélève un échantillon aléatoire de 200~fiches dans chacun des fichiers. La moyenne observée sur l'échantillon du fichier 1 est $\overline{x_{1}} = 133$. Celle observée sur l'échantillon du fichier 2 est $\overline{x_{1}} = 130$. Peut-on, au seuil de signification de 5\:\%, accepter l'hypothèse $H_{0}$ ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2010}{} \lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}} \rfoot{\footnotesize{mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien --lunetier session 2010} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les deux parties A et D peuvent être traitées indépendamment des parties B et C}\end{center} \emph{A. Ajustement affine} \medskip Une entreprise souhaite lancer un nouveau produit sur le marché. Une enquête statistique effectuée avant le lancement auprès des consommateurs potentiels a permis d'établir le tableau suivant, où $x$ désigne le prix unitaire exprimé en euros et $y$ la quantité demandée, exprimée en milliers d'unités. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 40 &50 &60 &70 &80 &90 &100\\ \hline $y$&66&50 &37 &26 &16 &8 &0\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées seront à arrondir à 10 - 3. \item Donner une équation de la droite de régression de y en t, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme y = at + b, où a et b sont à arrondir à l'unité. (Pour cette question, on utilisera les fonctions de la calculatrice. Le détail des calculs n'est pas demandé). \item En déduire une expression de yen fonction de x, selon cet ajustement. \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Étude de fonctions et calcul intégral} \medskip On considère les fonction $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $I = [40~;~100]$ par : \[f(x) = - 72 \ln (0,01x) et g (x) = 72 \ln (0,1x - 3).\] Les courbes représentatives de $f$ et de $g$, tracées dans un repère orthogonal, sont fournies en annexe. \begin{enumerate} \item Démontrer que $f$ est décroissante sur $I$ et que $g$ est croissante sur $I$. \item Démontrer que, comme le suggère le graphique, pour tout $x$ de $I$, $f(x) \geqslant 0$ et $g(x) \geqslant 0$. \item \begin{enumerate} \item Résoudre, algébriquement, dans $I$ l'équation $f(x) = g(x)$. \item Vérifier graphiquement le résultat de la question précédente, en faisant apparaître les traits de construction sur la figure donnée en annexe. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Hachurer, sans justification, la partie du plan dont l'aire, exprimée en unités d'aire, est égale à l'intégrale $A = \displaystyle\int_{50}^{100} f(x)\:\text{d}x$. \item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $I$ par $F(x) = 72x [1 - \ln (0,01x)]$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$. \item En déduire la valeur exacte de $A$, puis une valeur approchée arrondie à l'unité. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{C Application de la partie B} \medskip La demande est la quantité de produit, exprimée en milliers d'unités, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire de $x$ euros. On admet que la fonction $f$, étudiée dans la partie B, modélise la demande. L'offre est la quantité de produit, exprimée en milliers d'unités, que l'entreprise est prête à vendre au prix unitaire de $x$ euros. On admet que la fonction $g$, étudiée dans la partie $B$, modélise l'offre. \begin{enumerate} \item On appelle prix d'équilibre le prix pour lequel l'offre et la demande sont égales. Quel est ce prix d'équilibre ? \item Donner une valeur approchée, à un millier d'unités près, de la demande correspondant au prix d'équilibre. \end{enumerate} \medskip \emph{Commentaire : l'aire A représente, en milliers d'euros, la somme que les consommateurs sont prêts à payer collectivement pour l'achat de ce produit si son prix unitaire est compris entre $50$ et $100$~euros} \bigskip \emph{D. Étude de suites} \medskip L'entreprise commercialise le produit et décide, chaque année, d'adapter son offre à la demande de l'année précédente en utilisant le modèle des suites étudiées dans cette partie. Pour tout entier naturel $n$, on note : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $O_{n}$ la quantité de produit, exprimée en milliers d'unités, que l'entreprise met sur le marché l'année de rang $n$ (c'est l'offre cette année-là) ; \item[$\bullet~$] $D_{n}$ la quantité de produit, exprimée en milliers d'unités, que les consommateurs achètent l'année de rang $n$ (c'est la demande cette année-là) ; \item[$\bullet~$] $p_{n}$ le prix unitaire, exprimé en euros, du produit l'année de rang $n$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On admet que $p_{0} = 50$ et que, pour tout entier naturel $n$ : \[ \left\{\begin{array}{l c l} O_{n+1} &=& \dfrac{1}{2}D_{n} + 20\\ D_{n} &=&- P_{n} + 100\\ O_{n} = D_{n} \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ p_{n + 1} = \dfrac{1}{2}p_{n} + 30$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = p_{n} - 60$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$, puis $p_{n}$, en fonction de $n$. \item En déduire la limite $p$ de la suite $\left(p_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{Commentaire: à long terme, $p$ est le prix unitaire du produit sur le marché.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \emph{A. Loi normale} \medskip \begin{center}\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath $10^{-2}$ \unboldmath \end{center} Une machine remplit des flacons de produit de nettoyage pour lentilles de contact Dans la production d'une journée, on prélève au hasard un flacon. On désigne par $V$ la variable aléatoire qui, à chaque flacon prélevé, associe le volume de produit contenu dans ce flacon, exprimé en millilitres. \begin{enumerate} \item On suppose que $V$ suit la loi normale de moyenne $250$ et d'écart type $4$. Calculer la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit compris entre $245$ et $255$~millilitres. \item Le réglage de la machine est modifié de façon que 95\:\% des flacons contiennent entre $245$ et $255$~millilitres de produit. On suppose qu'après réglage, la variable aléatoire $V$ suit la loi normale de moyenne $250$ et d'écart type $\sigma$. Calculer $\sigma$. \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Probabilités conditionnelles, loi binomiale et loi de Poisson} \medskip \emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse a, b, c, d est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\ Si le total est négatif, la note pour cette partie est ramenée à $0$.} \medskip On admet qu'à l'issue du remplissage, 95\:\% des flacons sont remplis correctement, et on procède à un contrôle. Cependant, le contrôle n'est pas parfait : 4\:\% des flacons remplis correctement sont refusés, et 4\:\% des flacons mal remplis sont acceptés. On prélève au hasard un flacon à l'issue du contrôle dans un stock important. On appelle $A$ l'évènement : \og le flacon est accepté \fg. On appelle $C$ l'evènement : \og le flacon est correctement rempli \fg. \begin{enumerate} \item La probabilité que le flacon soit rempli correctement et refusé est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse a &Réponse b &Réponse c&Réponse d\\ \hline $P\left(C \cup \overline{A} \right)$&$P(C) \times P(A)$&0,04&$0,04 \times 0,95$\\ \hline \end{tabularx} \medskip On admet que la probabilité qu'il y ait une erreur de contrôle sur un flacon tiré au hasard dans ce stock à l'issue du contrôle est $0,04$. On prélève un échantillon de $50$~flacons à l'issue du contrôle. La quantité de flacons est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque échantillon de $50$~flacons ainsi prélevé, le nombre d'erreurs de contrôle dans l'échantillon. \item La valeur arrondie à $10^{- 3}$ de la probabilité $P(X = 1)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse a &Réponse b &Réponse c &Réponse d\\ \hline \rule[-2pt]{0mm}{6mm}0,04 &0,005 &0,271 &$1 - 0,96^{50}$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item La probabilité qu'il y ait au moins deux erreurs de contrôle dans l'échantillon, arrondie à $10^{-2}$, est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse a&Réponse b&Réponse c&Réponse d\\ \hline 0,40& 0,32& 0,60 &0,68\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On approche la loi suivie par $X$ par une loi de Poisson. Soit $Y$ une variable aléatoire suivant cette loi de Poisson. Avec la précision de la table, la probabilité $P(Y \leqslant 4)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse a&Réponse b&Réponse c&Réponse d\\ \hline 0,090& 0,857 & 0,947 & 0,628\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \emph{C Test d'hypothèse} \medskip Un site de vente par correspondance commercialise ces flacons. À la suite d'une série de réclamations, le gestionnaire du site décide de mettre en o{\oe}uvre un test unilatéral, pour décider si, au seuil de signification de 5\:\%, le volume moyen des flacons qui lui sont livrés est inférieur à 250~millilitres. On note $Z$ la variable aléatoire qui, à tout flacon prélevé au hasard dans la livraison, associe le volume de liquide contenu, exprimé en millilitres. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $2,5$. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 25~flacons prélevés dans la livraison, associe la moyenne des volumes de liquide contenus dans les flacons de cet échantillon. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise. L'hypothèse nulle est $H_{0} : \mu = 250$. L 'hypothèse alternative est $H_{1} : \mu < 250$. Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$. \begin{enumerate} \item Sous l'hypothèse $H_{0}$, on admet que la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne $250$ et d'écart type $0,5$. On admet également que : $P\left(\overline{Z} \geqslant 249,2\right) = 0,95$. Ce résultat n'a pas à être démontré. Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item Le gestionnaire prélève un échantillon aléatoire de 25~flacons et observe que, pour cet échantillon, le volume moyen de liquide est $\overline{x} = 249,4$~millilitres. Peut-on, au seuil de 5\:\%, conclure que le volume moyen des flacons livrés est inférieur à 250~millilitres ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À COMPLÉTER PUIS À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{1,5cm} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 1} Questions \emph{B} 3. b. et \emph{B} 4. a. \end{flushleft} \vspace{1,5cm} \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(-10,-20)(110,180) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-10,-20)(110,180) \multido{\n=-10+10}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-20)(\n,180)} \multido{\n=-20+20}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](-10,\n)(110,\n)} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=10000]{40}{100}{0.01 x mul ln 72 mul neg} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=10000]{40}{100}{0.1 x mul 3 sub ln 72 mul} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](110,0){$x$} \uput[l](0,180){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2011}{} \lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}} \rfoot{\footnotesize{13 mai 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Opticien --lunetier session 13 mai 2011} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip Les verres photochromiques s'assombrissent ou s'éclaircissent en fonction de la luminosité. On étudie dans cet exercice le coefficient de transmission d'un verre minéral photochromique en fonction de la longueur d'onde de la lumière. Suite à une étude expérimentale, on a obtenu le nuage de points suivant, où $x$ correspond à la longueur d'onde en nm, et $y$ au coefficient de transmission, exprimé en pourcentage. \medskip \psset{xunit=0.033cm,yunit=0.1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(320,100) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=300,Dx=50,Dy=10]{->}(0,0)(300,100) \psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](60,3)(80,3)(100,4)(115,25)(125,55)(130,85)(150,88)(200,90)(250,90) \multido{\n=0+50}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,100)} \multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(300,\n)} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \medskip \emph{A. Ajustement affine} \medskip On s'intéresse tout d'abord à la phase de transition entre l'état sombre et l'état clair, correspondant aux données du tableau suivant. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Longueur d'onde $x$ (en nm)& 400 &410 &420 &430\\ \hline Coefficient de transmission $y$ (en \,\%)& 4 &25 &55 &85\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$, où $a$ est arrondi à $10^{-2}$ et $b$ est arrondi à l'unité. \item Utiliser l'équation précédente pour estimer le coefficient de transmission pour une longueur d'onde de $416$~nm. Arrondir à l'unité. \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Étude de fonctions et calcul intégral} \medskip Un modèle global de la situation expérimentale conduit à exprimer le coefficient de transmission, exprimé en pourcentage, en fonction de la longueur d'onde $x$, en nm, à l'aide de la fonction $f$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par : \[f(x) = 90 - \dfrac{89}{1 + \text{e}^{0,2(x - 416)}}.\] La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée par le graphique suivant. \medskip \psset{unit=0.045cm} \begin{center} \begin{pspicture}(260,110) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=300,Dx=50,Dy=10]{->}(0,0)(260,110) \uput[d](260,0){$x$}\uput[l](0,110){$y$}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](10,-2){\small 310} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{10}{250}{90 89 2.71828 0.2 x 106 sub mul exp 1 add div sub} \multido{\n=0+50}{6}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,100)} \multido{\n=0+10}{26}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,100)} \multido{\n=0+50}{3}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(250,\n)} \multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(250,\n)} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\, $f'(x) = 89 \times 0,2 \dfrac{\text{e}^{0,2(x - 416)}}{\left(1 + \text{e}^{0,2(x - 416)} \right)^2}$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \emph{Les questions a., b. et c. suivantes sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse enlève $0,5$ point.\\ Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\ Si le total est négatif, la note pour cette partie est ramenée à $0$}. \begin{enumerate} \item ~ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 90$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$\\ \hline \end{tabularx} \item La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont une équation est : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline $x = 90$& $y = 89$& $y = 90 $\\ \hline \end{tabularx} \item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $416$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline \small $y=-4,45x -\np{18923,55}$& $y = 4,45x - \np{1805,7}$& $y = 45,5x - \np{18923,55}$\\ \hline \end{tabularx} \emph{Le coefficient directeur de cette tangente correspond à la vitesse de transition.} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$,\, $f(x) = 90 - 445 \times 0,2 \dfrac{\text{e}^{-0,2(x - 416)}}{1 + \text{e}^{-0,2(x - 416)}}$ \item Utiliser l'expression précédente pour donner une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item En déduire la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de l'aire, en unités d'aire, limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 380$ et $x = 550$. \end{enumerate} \emph{Cette aire correspond à la quantité d'énergie absorbée par le verre durant la transition sombrelclair.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} \medskip Une entreprise fabrique et distribue un produit de consommation courante en grande quantité. \medskip \emph{A. Lois de probabilités} \medskip \begin{enumerate} \item On considère un stock important de produits fabriqués par l'entreprise pendant un mois. On note $E$ l'évènement: \og un produit prélevé au hasard dans ce stock est défectueux \fg. On suppose que $P(E) = 0,05$. On prélève au hasard 40~produits dans le stock pour vérification. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 40~produits. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de produits de ce prélèvement qui sont défectueux. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité qu'aucun produit de ce prélèvement ne soit défectueux. Donner le résultat arrondi à $10^{-3}$. \item On admet que la loi de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. Donner le paramètre $\lambda$, de cette loi de Poisson. \item On note $X_{1}$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ où $\lambda$, est la valeur obtenue au c. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Donner, avec la précision permise par la table, la probabilité de l'évènement \og $X_{1} \leqslant 4$ \fg. \item En déduire la probabilité qu'il y ait plus de quatre produits défectueux dans le prélèvement. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item On prélève au hasard 400~produits dans le stock pour vérification. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 400 produits. On considère la variable aléatoire $Y$, qui à tout prélèvement ainsi défini associe le nombre de produits défectueux de ce prélèvement, suit la loi binomiale $\mathcal{B}(400~;~0,05)$. On admet que la loi de $Y$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $20$ et d'écart type $4,4$. \begin{enumerate} \item Justifier les paramètres de cette loi normale. \item On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(20~;~4,4)$. En utilisant cette variable aléatoire, calculer la probabilité qu'il y ait au plus 30~produits défectueux dans le prélèvement, c'est-à-dire calculer $P(Z \leqslant 30,5)$. Donner le résultat arrondi à $10^{- 3}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{B. Intervalle de confiance} \medskip On s'intéresse dans cette partie à la proportion inconnue $p$ de produits dans le stock présentant une erreur d'étiquetage. Pour cela, on prélève au hasard et avec remise 100~produits dans le stock. Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon, des produits présentant une erreur d'étiquetage. On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p (1- p)}{100}}$. Pour l'échantillon prélevé, on constate que 6~produits présentent une erreur d'étiquetage. \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$. \item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ avec le coefficient de confiance 90\,\%. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-2}$. \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Probabilités conditionnelles et suites} \medskip L'entreprise décide de réaliser une campagne publicitaire dans une région donnée, pendant quelques semaines, afin d'assurer la promotion du produit de consommation courante qu'elle fabrique. Avant le début de la campagne, la proportion de consommateurs du produit est de 25\,\%. L'impact de campagne est le suivant : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item 97\,\% des consommateurs du produit une semaine donnée restent consommateurs la semaine suivante ; \item 15\,\% des non consommateurs du produit une semaine donnée deviennent consommateurs la semaine suivante. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On interroge au hasard un individu dans la région. Tous les individus ont la même probabilité d'être interrogés. On note $C_{0}$ l'évènement : \og l'individu est consommateur du produit la semaine précédant le début de la campagne publicitaire \fg{} et $p_{0}$ la probabilité de l'évènement $C_{0}$. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $C_{n}$ l'évènement : \og l'individu est consommateur du produit la semaine $n$ \fg{} et $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $C_{n}$. \begin{enumerate} \item Donner, à l'aide de l'énoncé : \begin{enumerate} \item la probabilité $p_{0}$ ; \item pour tout entier naturel $n$, les probabilités conditionnelles $P_{C_{n}}\left(C_{n + 1}\right)$ et $P_{\overline{C_{n}}}\left(C_{n + 1}\right)$. (On rappelle que $P_{A}(B)$ désigne la probabilité de l'évènement B sachant que A est réalisé.) \end{enumerate} \item Justifier que la probabilité que l'individu interrogé soit consommateur du produit la semaine 1 est égale à $0,355$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n,\, p_{n + 1} = 0,82 p_{n} + 0,15$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = p_{n} - \dfrac{5}{6}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite de terme général $u_{n}$ est une suite géométrique. Calculer $u_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Quelle est la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ ? \emph{Ce nombre représente la proportion maximale de consommateurs que peut envisager l'entreprise à l'issue de la campagne promotionnelle.} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin 2011 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}