\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{subfig} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-circ,pst-eucl,pst-3d,pstricks-add} \usepackage{graphicx} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \thispagestyle{empty} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupe Informatique de gestion}} \rfoot{\small{}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \begin{center} \begin{huge}\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR } \vspace{0,5cm} \textbf{SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES} \vspace{0,5cm} \textbf{Informatique de gestion\\ \medskip de 2001 à 2011} \vspace{0,5cm} \end{huge} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{NC2000}{Nouvelle-Cal\'edonie 2000} \dotfill 4 \medskip \Large \hyperlink{2001}{Métropole 2001} \dotfill 7 \medskip \Large \hyperlink{NC2001}{Nouvelle-Cal\'edonie 2001} \dotfill 9 \medskip \Large \hyperlink{2002}{Métropole 2002} \dotfill 12 \medskip \Large \hyperlink{NC2002}{Nouvelle-Cal\'edonie 2002} \dotfill 15 \medskip \Large \hyperlink{2003}{Métropole 2003} \dotfill 18 \medskip \Large \hyperlink{NC2003}{Nouvelle-Cal\'edonie 2003} \dotfill 21 \medskip \Large \hyperlink{2004}{Métropole 2004} \dotfill 24 \medskip \Large \hyperlink{2005}{Métropole 2005} \dotfill 28 \medskip \Large \hyperlink{PO2005}{Polyn\'esie 2005} \dotfill 31 \medskip \Large \hyperlink{2006}{Métropole 2006} \dotfill 34 \medskip \Large \hyperlink{PO2006}{Polyn\'esie 2006} \dotfill 37 \medskip \Large \hyperlink{2007}{Métropole 2007} \dotfill 39 \medskip \Large \hyperlink{NC2007}{Nouvelle-Cal\'edonie 2007} \dotfill 44 \medskip \Large \hyperlink{2008}{Métropole 2008} \dotfill 46 \medskip \Large \hyperlink{PO2008}{Polyn\'esie 2008} \dotfill 50 \medskip \Large \hyperlink{NC2008}{Nouvelle-Cal\'edonie 2008} \dotfill 54 \medskip \Large \hyperlink{2009}{Métropole 2009} \dotfill 57 \medskip \Large \hyperlink{PO2009}{Polyn\'esie 2009} \dotfill 61 \medskip \Large \hyperlink{2010}{Métropole 2010} \dotfill 64 \medskip \Large \hyperlink{PO2010}{Polyn\'esie 2010} \dotfill 67 \medskip \Large \hyperlink{2011}{Métropole 2011} \dotfill 70 \medskip \Large \hyperlink{PO2011}{Polyn\'esie 2011} \dotfill 75 \medskip} \end{center} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Cal\'edonie 2000 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NC2000}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{Session 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2001 - Nouvelle--Calédonie\\ Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} \textbf{ÉPREUVE OBLIGATOIRE} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} Une entreprise veut créer un site Internet comportant 5 pages A, B, C, D, E. La structure des pages vérifie les conditions suivantes : \medskip \begin{itemize} \item[$\bullet~$] La page A est la page d'accueil et sur chacune des autres pages figure un bouton permettant de revenir directement à la page d'accueil. \item[$\bullet~$] On peut passer directement de la page A aux autres pages, sauf à la page E. \item[$\bullet~$] On peut passer directement de la page B à la page E et de la page E à la page C. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Dessiner une représentation du graphe orienté associé au site. \item Vérifier que la matrice d'adjacence M du graphe est : \[M = \begin{pmatrix} 0&1&1&1&0\\ 1&0&0&0&1\\ 1& 0& 0& 0 &0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ \end{pmatrix}\] \item Calculer les deux matrices booléennes $M^2$ et $M^3$. Quelle est la signification des « 1 » présents dans la matrice $M^3$ ? \item On admet que la matrice $M^3 =M \times M \times M$, où $\times$ désigne la multiplication des matrices, peut s'écrire \[M^3 = \begin{pmatrix} 1&3&4&3&0\\ 4&1&1&1&1\\ 3& 0& 0& 0& 1\\ 3&0&0&0&1\\ 3&1&1&1&1\\ \end{pmatrix}\] \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de chemins de longueur 3 ayant pour origine B et pour extrémité A. Ecrire ces chemins. \item Écrire les trois circuits de longueur 3. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points} Une société s'occupe de la saisie informatique de documents. Pour chaque document, une première saisie est retournée, pour vérification, au client correspondant. \emph{Les résultats demandés seront donnés sous forme de valeurs décimales arrondies à } $10^{-3}$. \medskip \textbf{Partie A} Pour chaque document, le délai de retour de la première saisie vers le client est fixé à 2 semaines. Une étude statistique a montré que la probabilité qu'une saisie choisie au hasard soit effectivement retournée au client dans le délai fixé est égale à $0,9$. \medskip On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $n$ saisies choisies au hasard par tirage avec remise, associe le nombre de saisies pour lesquelles le délai de retour n'a pas été respecté. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? \item Pour cette question, on suppose que $n = 20$. Calculer la probabilité $P(X = 2)$. \end{enumerate} \item Pour cette question, on suppose que $n = 100$. On admet que la loi de probabilité de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Donner le paramètre de cette loi de Poisson. \item En utilisant cette loi de Poisson, calculer une valeur approchée de chacune des probabilités $P(X = 4)$ et $P(x > 2)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque saisie retournée et choisie au hasard par tirage avec remise, associe le nombre d'erreurs décelées dans cette saisie par le client correspondant. On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne $30$ et d'écart type $8$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(25 \leqslant Y \leqslant 35)$. \item Déterminer le plus petit nombre entier $n_{0}$ tel que $P(Y \geqslant n_{0}) \leqslant 0,945$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 8 points} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ~;~ + \infty[$ par \[f(x) = (x+ 3)\left(\text{e}^{-x} - x +6\right).\] \medskip \textbf{I Étude d'une fonction auxiliaire} On considère la fonction $g$ définie sur $[0 ~;~ + \infty[$ par \[g(x) = (- x - 2)\text{e}^{-x} - 2x + 3.\] On donne le tableau de variations de $g$ : \medskip \begin{center} \begin{pspicture}(8,3) %\psgrid \psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$\alpha$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$} \uput[u](1,1.9){$g'(x)$} \uput[u](1,0.8){$g(x)$} \rput(2.15,1.8){1} \rput(7.5,0.2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$-$} \psline(2.4,1.8)(4.8,1.08) \psline{->}(5.3,0.9)(7.4,0.3) \rput(5,1){$0$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer, suivant les valeurs de $x$, le signe de $g(x)$. \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant (donner les résultats sous forme décimale, arrondis à $10^{-3}$ près) : \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0,88& 0,89& 0,90& 0,91& 0,92& 0,93& 0,94& 0,95 \\ \hline $g(x)$&&&&&&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item En déduire un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{II Étude de}\boldmath $f$ \unboldmath \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à $[0 ~;~ + \infty[,~ f'(x) = g(x)$. \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0 ~;~ + \infty[$. Donner une valeur approchée de $f(\alpha)$ en prenant $0,92$ pour valeur approchée de $\alpha$. \item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0 ~;~ 6], $f(x) > 0$. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités 2~cm en abscisse et 0,5~cm en ordonnée). Tracer la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{III Calcul intégral} \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $F$, définie sur $[0 ~;~ + \infty[$ par \[F(x) = (- x - 4)\text{e}^{-x} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} + 18x,\] est une primitive de $f$. \item Calculer la valeur exacte de l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{0}^6 f(x)\:\text{d}x$. Donner une interprétation graphique du résultat obtenu, en l'illustrant sur le tracé précédent. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvellle--Cal\'edonie 2000 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2001 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2001}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{Session 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2001 - Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} \textbf{ÉPREUVE OBLIGATOIRE} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \emph{Un règlement administratif concerne les trois catégories d'individus suivantes :} \emph{\begin{itemize} \item[$\bullet~$] les hommes de moins de $50$ ans ; \item[$\bullet~$] les non salariés ayant $50$ ou plus de $50$ ans ; \item[$\bullet~$] les femmes qui sont \begin{itemize} \item soit salariées ; \item soit non salariées et qui ont moins de $50$ ans. \end{itemize} \end{itemize} On définit quatre variables booléennes $h,~ a,~ s,~ r$ ainsi :} \emph{$x$ désignant un individu quelconque,} \emph{$h = 1$ si $x$ est un homme ($h = 0$ sinon) ;} \emph{$a = 1$ si $x$ est âgé (e) de $50$ ans ou plus de 50 ans ($a = 0$ sinon) ;} \emph{$s = 1$ si $x$ est salarié (e) ($s = 0$ sinon) ;} \emph{$r = 1$ si $x$ est concerné (e) par le règlement ($ = 0$ sinon).} \begin{enumerate} \item Quels sont les individus $x$ pour lesquels on a $h \cdot \overline{a} = 1$ ? \item On admet que $r = h \cdot \overline{a} + \overline{s} \cdot a + \overline{h} \cdot \left(s + \overline{s} \cdot \overline{a}\right).$ \begin{enumerate} \item Représenter $r$ par une table de Karnaugh (ou une table de vérité). \item En déduire une expression simplifiée de $r$. \item Quelle est la catégorie d'individus non concernés par le règlement ? \end{enumerate} \item En utilisant uniquement le calcul booléen, montrer que \[h . \overline{a} + \overline{s} \cdot a + \overline{h} \cdot \left(s + \overline{s} \cdot \overline{a}\right) = \overline{a} + \overline{s} + \overline{h}.\] (On pourra utiliser les propriétés suivantes, vérifiées par deux variables booléennes $y$ et $z$ : \[h + y \cdot z = y\quad \text{et} \quad y + \overline{y}\cdot z = y + z).\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points} La société TOPGAMES a lancé fin décembre $1999$ un nouveau jeu sur console.\\ Le nombre de jeux vendus au cours des $12$~mois de l'an $2000$ a fait l'objet d'une statistique dont voici un extrait (le mois $1$ est janvier $2000$) :\\ \newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright} m{#1}} \begin{tabularx}{\linewidth}{|M{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline mois& 1& 2& 3 &4& \ldots & 10 &11& 12 \tabularnewline \hline nombre de jeux vendus (milliers)&10& 10& 25& 30&\ldots & 57& 60& 61\\ \hline \end{tabularx} \medskip La société sait par expérience que, pour ce genre de jeu, les ventes croissent pendant une certaine période pour atteindre un maximum, puis chutent plus ou moins rapidement, les consommateurs attendant alors la nouvelle version du jeu ou un autre jeu. Les précédents lancements ont montré que le nombre de jeux (en milliers) vendus chaque mois, peut être modélisé par une fonction $V$ du type : \[V(x) = x\left(A - B\sqrt{x}\right).\] où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles et où $x$ désigne la date exprimée en mois ($x = 1$ représentant janvier $2000$). \medskip \textbf{Partie A} \emph{Détermination du modèle}\\ Calculer les deux constantes $A$ et $B$ à $10^{-3}$ près si on impose à la fonction $V$ de coïncider avec la statistique aux deux mois extrêmes, c'est-à-dire : \[V (1) = 10\quad \text{et} \quad V(12) = 61.\] (On donnera les valeurs arrondies à $10^{-2}$ près des deux constantes cherchées). \medskip \textbf{Partie B} \emph{Étude du modèle} On choisit le modèle, où la fonction $V$ est définie, pour tout nombre réel $x\geqslant 1$, par \[V(x) = 2 x \left(6 - \sqrt{x} \right).\] \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $V(x) = 0$. \item Calculer $V'(x)$ et montrer que : $V'(x) = 3\left(4 - \sqrt{x} \right)$.\\ En déduire le tableau de variations de $V$. \item Recopier et compléter le tableau de valeurs (arrondies à l'entier le plus proche) :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 1& 4& 8& 12& 16& 20& 24& 28& 32& 36\\ \hline $V(x)$& 10&&&&&&&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip Tracer la courbe représentative de la fonction $V$, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, pour les abscisses appartenant à l'intervalle [1~; ~36], en prenant pour unités : \begin{itemize} \item [] 1 cm pour 2 mois sur l'axe des abscisses, \item [] 1 cm pour 10 milliers de jeux sur l'axe des ordonnées. \end{itemize} \begin{center} \emph{On utilisera pour ce tracé le format paysage.} \end{center} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \emph{Utilisation du modèle} On admet que le modèle de la partie B est utilisable depuis le début de l'année 2000 jusqu'à la fin 2002. \begin{enumerate} \item À quel mois de quelle année le nombre de jeux vendus sera t-il maximal ? \item La société décide d'arrêter la fabrication du jeu le mois pour lequel le nombre de jeux vendus descendra en dessous de \nombre{10 000}. Déterminer graphiquement à quelle date (donner le mois et l'année) le nombre de jeux vendus deviendra inférieur à \nombre{10 000}. (Faire apparaître les tracés permettant cette détermination). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 9 points} Une compagnie a un contrat d'entretien pour 300~ascenseurs. On admet que, chaque semaine, la probabilité de panne d'un ascenseur est de $\dfrac{1}{75}$. On suppose l'indépendance entre les pannes d'un même ascenseur ainsi que de deux ascenseurs différents. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à toute semaine, associe le nombre de pannes du parc complet des ascenseurs. \medskip \textbf{Partie A Étude de} \boldmath $X$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Indiquer pourquoi $X$ suit une loi binômiale de paramètres $n = 300$ et $p = \dfrac{1}{75}$. . \item Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité pour que lors d'une semaine il y ait (strictement) moins de 2~pannes. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B Approximation de}\boldmath $X$.\unboldmath\\ On admet que la loi de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson, de paramètre $m$. On désigne par $Y$ une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Indiquer pourquoi $m$ est égal à 4. \item En utilisant la variable $Y$, calculer une valeur approchée de la probabilité pour que la compagnie ait à intervenir plus de 6 fois durant une semaine. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C Sécurité} On considère la variable aléatoire $Z$ qui, à tout adulte, usager d'ascenseurs, choisi au hasard, associe son poids en kg. On suppose que $Z$ suit la loi normale d'espérance mathématique 70~kg et d'écart type 15~kg. \begin{enumerate} \item Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité pour qu'un adulte, usager d'ascenseurs, choisi au hasard, pèse moins de 90~kg. Un ascenseur peut supporter 500~kg avant la surcharge. Les normes de sécurité spécifient que la probabilité de surcharge ne doit pas dépasser \nombre{0,0001}. On admet que le poids total de $n$ usagers adultes d'ascenseurs, dont les poids sont indépendants, est une variable aléatoire $S$ qui suit la loi normale d'espérance mathématique $70 n$ et d'écart type $15\sqrt{n}$. \item Calculer les probabilités de surcharge $p_{5}$ lorsqu'il y a 5 adultes dans l'ascenseur et $p_{6}$ lorsqu'il y a 6 adultes dans l'ascenseur. En déduire le nombre maximal de personnes autorisées à emprunter l'ascenseur. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2001 %%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Cal\'edonie 2001 %%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NC2001}{} \rhead{\small Nouvelle-Calédonie} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{Session décembre 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session d\'ecembre 2001 - Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} \textbf{ÉPREUVE OBLIGATOIRE} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}\\ \medskip \noindent \textbf{Partie A}\\ On donne les matrices suivantes ($\alpha$ et $\beta$ désignant des réels) : \[\text{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 &1 &0 &1\\ 1 &0 &1 &0\\ \end{pmatrix} \quad \text{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0& 1 & $-1$\\ -1 &1 &1& 0\\ 0 &0 &0 & 1\\ 1 &0 &-1 &0\\ \end{pmatrix} \quad \text{C}= \begin{pmatrix} 2 &0 &3 &1\\ 0 &1 &1 &1\\ \alpha & 0& 2 & 1\\ \beta & 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}\] \begin{enumerate} \item On admet que BC $= \begin{pmatrix} \ldots & 0&1 &1\\ \ldots & 1&0 &1\\ \ldots &0 &1 &0\\ \ldots & 0 &1 &0\\ \end{pmatrix}$.\\ Calculer les coefficients de la première colonne, en fonction de $\alpha$ et $\beta$. \item Déterminer $\alpha$ et $\beta$ tels que B C = A. \item Calculer A$^2$. Que remarque-t-on vis-à-vis de la matrice C ? \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B}\\ \begin{enumerate} \item Dessiner un graphe G orienté, de sommets $a,~ b,~ c,~ d$, dont la matrice adjacente est A. \item \begin{enumerate} \item Dresser la liste de tous les chemins de longueur 2 allant de $a$ jusqu'\`a $c$. \item Expliquer comment, en utilisant la partie A, on peut trouver sans en dresser la liste le nombre de chemins de longueur 2 allant jusqu'à $c$, et donner ce nombre. \end{enumerate} \item Compléter le dessin de la question B. 1., en utilisant une couleur différente de manière à obtenir une représentation de la fermeture transitive du graphe G. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}\\ \medskip \noindent \textbf{Partie A}\\ Dans une algèbre de Boule, on définit l'opérateur binaire $\Delta$ par $a ~\Delta~ b = \overline{a} b + a\overline{b}$. \begin{enumerate} \item Calculer : $a~ \Delta~ 0,~ a~ \Delta~ 1$ et $a~ \Delta~ a$. \item Établir la table de vérité de $a ~\Delta~ b$ et montrer que les couples $(a,~ b)$ pour lesquels on a $a ~\Delta~ b = 1$ sont (1,~0) et (0,~1). \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B}\\ Dans cette partie $A,~ B,~ C$, désignent des variables aléatoires indépendantes telles que $A$ suit la loi normale $\mathcal{N}(50,~  7)$,\\ $B$ suit la loi de Poisson $P(5)$,\\ $C$ désigne le nombre de boule(s) rouge(s) obtenues au cours du tirage au hasard d'une boule dans une urne contenant 20~boules blanches et $N$ boules rouges, toutes indiscernables au toucher. ($C$ prend donc soit la valeur 0, soit la valeur 1).\\ Des variables booléennes $a,~ b$ et $c$ sont définies de la façon suivante :\\ $a = 1~~ \text{si}~~ A > 59$\\ $b = 1~~ \text{si}~~ B \leqslant 4$\\ $c = 1~~ \text{si}~~C = 1$ \begin{enumerate} \item Calculer chacune des probabilités suivantes (les deux premiers résultats seront arrondis à I0 près et le dernier sera donné en fonction de N). \begin{enumerate} \item $p(a = 1)$ ; \item $p(b = 1)$ ; \item $p(c = 1)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $p(a~ \Delta~ b = 1) = 0,45$.\\ \textbf{Dans la question suivante, on pourra utiliser les résultats de la question 2. de la partie A.} \item On suppose que : $p\left[(a~ \Delta~ b) \Delta~ c\right] = 1) = 0,51$ et on pose $x = p(c = 1)$. \\ Montrer que $x$ vérifie l'équation : $0,55 x + 0,45 (1 - x) = 0,51$.\\ Résoudre cette équation et en déduire le nombre $N$ de boules rouges. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}\\ \begin{center} \textbf{Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment de la partie A} \end{center} \medskip \noindent \textbf{Partie A}\\ Une entreprise fabrique et commercialise un produit rare. Sa production mensuelle, qui ne peut excéder 7 tonnes, est notée $X$ (en tonnes) le coût total de cette production mensuelle est noté $Y$ (en MF). On rappelle que 1 MF = $10^{6}$ F.\\ On pose : $Z = \text{e}^{\frac{100 - Y}{25}}$. On a établi le tableau suivant :\\ \medskip \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $X$&1 &2 &3 &4 &5 & 6\\ \hline $Y$& 19,2 &20,1 &27,5 &32,2 &40,6 &57,3\\ \hline $Z$& 25,33 &24,43&18,17&15,06&10,76&5,52\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer, \`a $10^{-3}$ près, les coefficients de corrélation linéaire entre $X$ et $Y$ d'une part, entre $X$ et $Z$ d'autre part, et commenter les résultats obtenus, \item Déterminer une équation de la droite de régression de $Z$ en $X$. (On arrondira chacun des coefficients à $10^{-2}$ près). \item Utiliser le résultat de la question précédente pour obtenir une expression de $Y$ en fonction de $X$. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B}\\ On se propose, dans cette partie, d'étudier la fonction $f$, définie pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~7] par : \[f(x) = 100 - 25 \ln(31 - 4x).\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est croissante sur [0~;~7]. \item Tracer la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités : 2~cm sur l'axe des abscisses et 2~mm sur l'axe des ordonnées). \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie C}\\ On considère dans cette partie que la fonction $f$, étudiée dans la partie B, est la fonction « coût total dc production mensuelle » du produit rare fabriqué par l'entreprise évoquée dans la partie A.\\ On a donc : $f(x) = 100 - 25 \ln(31 - 4x)$, avec $x$ exprimé en tonnes et $f(x)$ en MF. \begin{enumerate} \item Déterminer par le calcul à quelle production mensuelle correspond un coût de 50~MF.\\ (Donner la réponse au kg le plus proche). \item Le prix de vente d'une tonne dc produit est 9~MF. La recette mensuelle totale en MF, fonction du nombre de tonnes $x$ vendues, est donc donnée par $g(x) = 9x$. \begin{enumerate} \item Tracer la droite représentant $g$ sur le graphique précédent. \item Par lecture graphique, indiquer à quel intervalle la production mensuelle $x$, en tonnes, doit appartenir pour que l'entreprise réalise un bénéfice. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle--Cal\'edonie 2001 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2002 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2002}{} \rhead{\small M\'etropole} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{Session 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2002 - Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} \textbf{ÉPREUVE OBLIGATOIRE} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip Une usine fabrique 3 sortes d'articles : a$_{1}$, a$_{2}$, a$_{3}$, à partir de 3 modules m$_{1}$, m$_{2}$, m$_{3}$. On donne : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{3cm}|} \multicolumn{3}{c}{articles}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{3}{c}{modules}& \multicolumn{1}{c}{} \\ \cline{1-3} \cline{6-8} a$_{1}$&a$_{2}$&a$_{3}$&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c|}{}&m$_{1}$&m$_{2}$&m$_{3}$&\multicolumn{1}{c}{} \\ \cline{1-4} \cline{6-9} 3&9&5&m$_{1}$&\multirow{3}{2ex}{\rotatebox{90}{modules~~}} &5&6&3&Poids unitaires (kg)\\ \cline{1-4} \cline{6-9} 4&0&9&m$_{2}$&&180&250&150&Co\^uts unitaires (en euros)\\ \cline{1-4} \cline{6-9} 4&8&6&m$_{3}$&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{4}{c}{} \\ \cline{1-4} \end{tabularx} \medskip On lit par exemple : Pour fabriquer un article a$_{2}$, il faut 9 modules m$_{1}$ et 8 modules m$_{3}$. Un module m$_{1}$ pèse 5 kg et coûte 180~euros. On note : \[A = \begin{bmatrix}3&9&5\\4&0&9\\4& 8& 6\\ \end{bmatrix}\qquad M = \begin{bmatrix}5&6&3\\ 180& 250& 150 \end{bmatrix}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le produit matriciel $M \times A$ \item Interpréter les lignes de ce produit. \end{enumerate} \item Une semaine donnée, l'usine doit fournir 8 articles a$_{1}$, 12 articles a$_{2}$, 13 articles a$_{3}$. Elle dispose en début de semaine d'un stock de 200 modules de chaque sorte. On note $F$ la matrice : $F = \begin{pmatrix}8\\12\\13 \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Calculer le produit matriciel $A \times F$. Que représente-t-il ? \item La demande [8 articles a$_{1}$, 12 articles a$_{2}$, 13 articles a$_{3}$] peut-elle être satisfaite ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \emph{Toutes les probabilités demandées dans cette exercice seront données sous leur forme décimale arrondie à $10^{-3}$ près.} \medskip \textbf{La partie C peut être traitée indépendamment des deux autres.} Une entreprise vend 2 types de meubles : M$_{1}$, M$_{2}$ respectivement 419~euros et 509~euros l'unité. La demande mensuelle en meubles M$_{1}$ est une variable aléatoire X qui suit la loi normale $\mathcal{N}(85 ~;~ 15)$. La demande mensuelle en meubles M$_{2}$ est une variable aléatoire Y qui suit la loi normale $\mathcal{N}(52~;~ 8)$. On suppose que X et Y sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette question, on suppose que le stock est suffisant pour satisfaire la demande. Ainsi, l'entreprise vend mensuellement X meubles M$_{1}$ et Y meubles M$_{2}$. Calculer les probabilités (un mois donné) d'avoir les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $V_{1}$ : on vendra au plus 80 meubles M$_{1}$. \item[] $V_{2}$ : on vendra au plus 70 meubles M$_{2}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette question, le stock n'est pas obligatoirement suffisant pour satisfaire la demande. L'entreprise dispose en début de mois d'un stock de 80 meubles M$_{1}$ et 70 meubles M$_{2}$. Quelles sont les probabilités des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] S$_{1}$ : il y aura rupture de stock en meubles M$_{1}$. \item[] S$_{2}$ : il y aura rupture de stock en meubles M$_{2}$. \item[] S : il y aura rupture de stock (en meubles M$_{1}$ ou M$_{2}$). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} (La rupture de stock concerne la fin du mois, et signifie que la demande est supérieure au stock). \medskip \textbf{Partie C} \medskip Un mois donné est dit rentable si le chiffre d'affaires de ce mois dépasse \nombre{70000}~euros. \begin{enumerate} \item Exprimer (en euros) le chiffre d'affaires Z du mois en fonction de X et Y. \item Calculer l'espérance mathématique de Z. \item On admet que Z suit la loi normale $\mathcal{N}(\nombre{62803}~;~\nombre{7400})$. Quelle est la probabilité qu'un mois donné soit rentable ? \item On note R le nombre de mois rentables d'un semestre, et on suppose l'indépendance entre les évènements « rentable ou non rentable » des mois successifs. Justifier le résultat suivant : R suit la loi binomiale $\mathcal{B}(6~ ; ~0,142)$. \item Quelle est la probabilité que sur les 6~ mois d'un semestre, on en ait au moins deux rentables ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 8 points} \medskip Un calcul doit être effectué un grand nombre de fois avec des données différentes. Il peut être réalisé à l'aide d'une configuration comprenant plusieurs processeurs travaillant simultanément, et d'un logiciel adéquat pilotant ces processeurs. Matériellement, on peut installer jusqu'à 256~processeurs. Le temps d'exécution $T$ d'un calcul (en secondes) est donné en fonction du nombre entier $p$ de processeurs installés par \[T(p) = \dfrac{1}{200 } + \dfrac{1 + \ln (p)}{p^2},~~ \ln ~\text{désignant le logarithme népérien.}\] Le coût (matériel + logiciel) de la configuration est proportionnel au nombre de processeurs installés. On désire choisir $p$ pour que le temps de calcul et le coût soient faibles, et pour cela, on définit l'indice $I$ égal au produit du nombre de processeurs par le temps de calcul : \[I(p) = p \times T(p) = p\left[\dfrac{1}{200 }+ \dfrac{1 + \ln (p)}{p^2}\right].\] \textbf{On cherchera donc à avoir une configuration pour laquelle $I$ est minimal.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \emph{Étude du temps de calcul} Soit $t$ la fonction de la variable $x$, définie sur l'intervalle $[1~;~ +\infty[$ par : \[t(x) = \dfrac{1}{200 }+ \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\] \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $t'(x)$. En déduire le sens de variation de la fonction $t$. \item Calculer la limite de $t$ en $+ \infty$. Interpréter ce résultat. \item Calculer, à $10^{-6}$ près, $t(72),{} t(73)$.\\ Combien faut-il installer de processeurs pour que le temps de calcul soit inférieur à 0,006~secondes ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Étude de l'indice} Soit $f$ la fonction de la variable $x$, définie sur l'intervalle [1 ~;~ 256] par : \[f(x)=x\left[\dfrac{1}{200 }+ \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\right]\] On définit l'indice moyen de $f$ par $ m = \dfrac{1}{255}\displaystyle\int_{1}^{256} f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $G$ définie sur l'intervalle [1~ ;~  256] par \[G(x) = \dfrac{ [1+ \ln (x)]^2}{2}\] est une primitive de la fonction $g$, définie sur le même intervalle, par : \[g(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x}.\] \item En déduire une primitive $F$ de $f$ puis l'indice moyen $m$ à $10^{-2}$ près. \item En vous aidant du graphique ci-dessous (courbe représentative de $f$), puis d'une calculatrice, et en remarquant que $I(p) = f(p)$, déterminer précisément le nombre $p$ de processeurs à installer pour que l'indice soit minimal. \end{enumerate} \medskip \psset{xunit=0.0475cm,yunit=7cm} \begin{pspicture}(255,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=0.2]{->}(0,0)(255,1.5) \psset{linewidth=0.2pt,axesstyle=none,tickstyle=bottom,ticksize=5pt,labels=none} \psaxes[ticks=x,Dx=10](255,1.5) \psaxes[ticks=y,Dy=0.05](255,1.5) \uput[r](0,1.5){Indice} \uput[u](225,0){Nombre de processeurs} \uput[d](250,-0.0175){250} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=1000,linewidth=1pt]{1}{256}{x 200 div 1 x ln add x div add} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2002 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Cal\'edonie 2002 %%%%%%%%%%%% \hypertarget{NC2002}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{Session décembre 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie \\ session décembre 2002 - Informatique de gestion}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Dans un ensemble E muni d'une structure d'algèbre de Boole, on considère l'expression \[\text{A}= ab\overline{c} + \overline{a~b}c + \overline{a}b\overline{c} + a\overline{b~c}+\overline{a~b~c}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter A dans un tableau de Karnaugh. En déduire une simplification de A. \item Retrouver par le calcul le résultat précédent. \end{enumerate} \item On considère l'opérateur \og implication \fg, noté $\longrightarrow$, défini par : $(x \longrightarrow y) = \overline{x}+ y$. \begin{enumerate} \item Calculer : $(x \longrightarrow 0)$. \item Démontrer que : $x+y= ((x\longrightarrow 0) \longrightarrow y)$, puis que : $\overline{x}~ \overline{y} = (((x \longrightarrow 0) \longrightarrow y) \longrightarrow 0)$. \item Déduire des questions précédentes une écriture de A à l'aide des variables $a,~ b,~ c$ de la constante $0$ et du seul opérateur \og implication \fg{} [les opérateurs $+,~ .$, complémentation, sont exclus]. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ de variable réelle $x$ définie sur l'intervalle [3~;~30] par : \[f (x) = (x - 3) \text{e}^{- \frac{x}{4} + 6}\] On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5~cm sur l'axe des abscisses; 0,05~cm sur l'axe des ordonnées). \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x) = \left(- \dfrac{x}{4} + \dfrac{7}{4}\right)\text{e}^{- \frac{x}{4} + 6}$. \item Justifier le signe de la dérivée de $f$ sur l'intervalle [3~;~30], puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. \item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A d'abscisse $24$. \item Tracer la droite (T ) et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère donné. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Avant la commercialisation d'un nouveau système d'alarme, la société SECUPRO réalise une enquête auprès des entreprises de la région Rhône-Alpes afin de déterminer le nombre d'acheteurs potentiels du logiciel en fonction de son prix de vente. Les résultats de cette enquête sont donnés dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ : prix en centaine d'euros&3&6& 9& 12& 15& 18\\ \hline $y_{i}$ : nombre d'acheteurs potentiels& 200& 100& 50& 20& 10& 5\\ \hline \end{tabularx} \medskip L'allure du nuage de points de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ conduit à poser $z_{i} = \ln y_{i}$. \begin{enumerate} \item Compléter après l'avoir reproduit le tableau suivant, en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au millième le plus proche :\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$&3&6& 9& 12& 15& 18\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série. Un ajustement affine est-il justifié ? \item Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, sous la forme $z = ax + b,~ a$ sera arrondi au centième le plus proche et $b$ arrondi à l'entier le plus proche. \item Déduire, du résultat obtenu à la question précédente, une expression de $y$ en fonction de $x$. Utiliser cette expression pour estimer le nombre d'acheteurs potentiels du logiciel si le prix de vente est de \nombre{1000}~euros. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Le prix de revient d'un système d'alarme est de 300~euros. On suppose dans cette partie, qu'une estimation du nombre d'acheteurs potentiels est $y = \text{e}^{- \frac{x}{4} + 6}$, où $x$ est le prix de vente exprimé en centaine d'euros. \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction $f$ étudiée dans la partie A, donne une estimation du bénéfice réalisé par la société SECUPRO en fonction du prix de vente unitaire proposé pour le système d'alarme. \item À quel prix la société doit-elle proposer le système d'alarme pour que ce bénéfice soit maximum ? Quel est alors ce bénéfice à 100 euros près ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 7 points} \medskip Une usine fabrique en grande série des pièces susceptibles de présenter deux défauts notés $a$ et $b$. Une étude statistique de la production conduit aux résultats suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] 5\:\% des pièces présentent le défaut $a$, \item[] 4\:\% des pièces présentent le défaut $b$, \item[] 1\:\% des pièces présentent les deux défauts. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On prélève au hasard une pièce dans la production. On note A l'évènement \og la pièce présente le défaut $a$ \fg, B l'évènement : \og la pièce présente le défaut $b$ \fg. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les évènements A et B sont-ils indépendants ? \item Calculer la probabilité de l'évènement A sachant que B est réalisé. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement C : \og La pièce prélevée présente au moins un défaut \fg. \item Soit D l'évènement : \og La pièce prélevée ne présente aucun défaut \fg. Montrer que la probabilité de l'évènement D est $0,92$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On prélève au hasard un lot de 100~pièces dans la production. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 100~pièces, associe le nombre de pièces du lot ne présentant aucun défaut. \medskip \emph{Dans cette partie, on donnera les valeurs décimales arrondies à $10^{-3}$ près des probabilités demandées.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable $X$ est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Calculer la probabilité d'avoir exactement une pièce présentant au moins un défaut dans un lot. \end{enumerate} \item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi normale de paramètres $m = 92$ et d'écart type $\sigma = 2,71$. On note $Y$ la variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres $92$ et $2,71$. \begin{enumerate} \item Justifier le choix des paramètres $m$ et $\sigma$. \item Calculer la probabilité pour qu'un lot de 100~pièces contienne au plus 86~pièces sans défaut, c'est-à-dire $P(Y \leqslant 86,5)$. \item Calculer la probabilité pour qu'un lot de 100~pièces contienne au moins 90\:\% de pièces sans défaut, c'est-à-dire $P (Y > 89,5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle--Cal\'edonie 2002 %%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2003 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2003}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{Session 2003}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2003 - Informatique de gestion}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip On considère l'expression $E$ dépendant des variables booléennes $a$, $b$ et $c$ : \[E =\overline{a}.\overline{c} + b.\overline{c} + a.\overline{b} + \overline{a}.\overline{b}.c\] \begin{enumerate} \item Simplifier l'expression $\overline{E}$ à l'aide de la lecture d'un tableau de Karnaugh (ou d'une table de vérité) et en déduire que : \[E = \overline{b} +\overline{c}\] \item Dans un organisme qui aide des personnes au chômage à trouver un emploi, on considère pour ces personnes, trois variables booléennes définies ainsi: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $a = 1$ si la personne est âgée de $45$ ans ou plus (sinon $a= 0$) ; \item[] $b = 1$ si la personne est au chômage depuis un an ou plus (sinon $b = 0$) ; \item[] $c = 1$ si la personne a déjà suivi une formation l'année précédente (sinon $c = 0$). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Une formation qualifiante sera mise en place pour les personnes vérifiant au moins un des critères suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item avoir $45$~ans ou plus et être au chômage depuis moins de un an ; \item avoir moins de $45$~ans et ne pas avoir suivi de formation l'année précédente ; \item être au chômage depuis un an ou plus et ne pas avoir suivi de formation l'année précédente ; \item avoir moins de $45$~ans, être au chômage depuis moins de un an et avoir suivi une formation l'année précédente. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les personnes qui ne répondent à aucun de ces quatre critères, pourront participer à un stage d'insertion en entreprise. \begin{enumerate} \item Écrire l'expression booléenne $F$ en fonction des variables $a$, $b$ et $c$ qui traduit le fait que la personne pourra suivre cette formation qualifiante. \item En déduire, en utilisant le résultat du 1., les personnes qui ne pourront pas participer à la formation qualifiante et qui participeront donc à un stage d'insertion en entreprise. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ \begin{enumerate} \item Déterminer la matrice $B = A-I$ puis calculer les matrices $B^2$ et $B^3$. \item En déduire la matrice $B^n$ pour tout entier $n$, $n \geqslant 3$. \item La formule du binôme, appliquée au développement de $(B + I)^n$ permet d'écrire pour tout entier $n$, $n\geqslant 3$: $$A^n = (I+B)^n = I+ C_n^1.B+ C_n^2.B^2+ C_n^3.B^3+ ...+C_n^k.B^k+ + \cdots +C_n^{n-1}.B_{n-1}+B^n$$ o\`{u} : \[C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n - k)!}\] \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour $n \geq 3$ : $A^n = I+ C_n^1.B +C_n^2.B^2$ \item Montrer, à l'aide des résultats du 1. : \[A^n =\begin{pmatrix} 1 & 0 & n \\ n & 1 & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \text{pour tout entier } n,~ n\geqslant 3\] \end{enumerate} \item Application : on considère le graphe orienté $G$ de sommets $X$, $Y$ et $Z$, pris dans cet ordre et dont la matrice d'adjacence est la matrice $A$. \begin{enumerate} \item Donner une représentation géométrique du graphe $G$. \item Déterminer, à l'aide des questions précédentes, le nombre de chemins de longueur $5$ du sommet $Y$ au sommet $Z$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 9 points} \medskip Une entreprise a mis au point un circuit électronique formé essentiellement de deux composants distincts $C_1$ et $C_2$ montés en parallèle de telle sorte que ce circuit ne peut tomber en panne que lorsque les deux composants $C_1$ et $C_2$ sont simultanément en panne. \medskip {\large {\textbf{Partie A}}} \medskip Au bout de \nombre{6000}~heures d'utilisation du circuit électronique composé des éléments $C_1$ et $C_2$, on considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item [] A : \og Le composant $C_1$ n'a pas eu de panne \fg{} ; \item [] B : \og Le composant $C_2$ n'a pas eu de panne \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On considérera que les pannes des composants $C_1$ et $C_2$ sont indépendantes et que les probabilités respectives des évènements $A$ et $B$ sont : $p(A) = 0, 22$ et $p(B) = 0, 05$. Pour tous les calculs de probabilités demandés dans cette partie, on donnera les résultats sous leur forme approchée décimale arrondie à $10^{-2}$ près. \begin{enumerate} \item On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires des évènements $A$ et $B$. Calculer la probabilité de chacun des évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le circuit électronique tombe en panne au bout de \nombre{6000}~heures. \item En déduire la probabilité que le circuit électronique fonctionne sans panne au bout de \nombre{6000}~heures. \end{enumerate} \item Le composant $C_1$ peut avoir plusieurs pannes dans la période des premières heures d'utilisation. On admet que le nombre de pannes du composant $C_1$ dans la période des \nombre{6000}~premières heures d'utilisation suit la loi de Poisson de paramètre $1,5$. On note $X$ la variable aléatoire associée au nombre de pannes du composant $C_1$ au cours de cette période. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que le composant $C_1$ ait au plus deux pannes au bout de \nombre{6000}~heures. \item Déterminer la probabilité que le composant $C_1$ ait au moins une panne au bout de \nombre{6000}~heures. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip {\large {\textbf{Partie B}}} \medskip Le service qualité de l'entreprise, chargé de tester le temps de fonctionnement de ce circuit électronique, vérifie d'abord le nombre d'heures de fonctionnement de chacun des composants $C_1$ et $C_2$. Les résultats obtenus sont les suivants : Les fonctions $f_1$ et $f_2$ correspondant respectivement à la probabilité que les composants $C_1$ et $C_2$ fonctionnent sans panne au bout de $t$ milliers d'heures d'utilisation, sont définies sur $[0~;~ +\infty[$ par: \[f_1(t) = \text{e}^{-0,25 t}~\text{et}~f_2(t)=\text{e}^{- 0,5t}.\] \begin{enumerate} \item Études des fonctions. Tracés des courbes représentatives \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de chacune des fonctions $f_1$ et $f_2$. \item Comment peut-on interpréter ces résultats pour les composants $C_1$ et $C_2$ ? \item Tracer, sur le même graphique, les courbes représentatives $G_1$ et $G_2$ des fonctions $f_1$ et $f_2$. On tracera les deux courbes sur l'intervalle $[0~;~6]$ en prenant pour unités : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item [] $1$ cm pour $500$ heures en abscisse ; \item [] $10$ cm pour la probabilité égale à $1$, en ordonnée. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement pour chaque composant, au bout de combien d'heures, on aura une probabilité qu'il fonctionne sans panne, égale à $0,37$. On indiquera tous les tracés utiles et on arrondira le résultat à une centaine d'heures près. \item En déduire, par lecture graphique, lequel des deux composants fonctionnera le plus longtemps sans panne. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2003 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Cal\'edonie 2003 %%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NC2003}{} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2003}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray BTS Informatique de gestion\\ Nouvelle-Calédonie novembre 2003}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \medskip \emph{Pour cet exercice, on fournira tous les résultats sous leur forme décimale, arrondie à $10^{-3}$ près.} \medskip Dans une ville dont la population est très jeune, on sait qu'il y a 39,2\:\% de mineurs (et par conséquent 60,8\:\% d'adultes). On considère des échantillons non exhaustifs (tirage au hasard et avec remise) de 100~personnes parmi les habitants de cette ville. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque échantillon de 100~personnes, le nombre d'adultes qu'il contient. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de cette série. \item Calculer la probabilité de l'évènement $(X = 60)$. On prendra \\$\displaystyle\binom{100}{60} = \nombre{1,3746} \times 10^{28}$. \end{enumerate} \item On approche la variable $X$ par une variable $Y$ suivant une loi normale $\mathcal{N}(m,~  \sigma)$. On précisera la valeur et la signification des paramètres $m$ et $\sigma$. \item Pour la suite de cet exercice, on prendra $m = 61$ et $\sigma = 4,9$. \begin{enumerate} \item On souhaite calculer une valeur approchée de $p(X = 60)$, en utilisant la variable aléatoire $Y$. Pour cela, par correction de continuité, calculer $p(59,5 \leqslant Y \leqslant 60,5)$. \item On veut calculer la probabilité que l'échantillon contienne au moins 55 adultes. Pour cela, calculer $p(Y \geqslant 54,5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = 4 + a \text{e}^{2 x} + b\text{e}^{4x}\] où $a$ et $b$ sont des constantes à déterminer. \medskip \begin{center} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-5,-0.5)(1.5,7.5) \psaxes[linewidth=1.65pt]{->}(0,0)(-5,-0.5)(1.5,7.5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-5,0)(1,7) \psplot{-3.3}{0.7}{x 2 mul 6 add} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{0.7}{2.71828 2 x mul exp 3 mul 2.71828 4 x mul exp sub 4 add} \rput(-4,3){Cette droite représente la tangente à la} \rput(-4,2.5){ courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.} \psframe(-6.1,2.25)(-2,3.4) \psline{->}(-2,3)(-1.2,3.6) \uput[u](-3,4){$(\mathcal{C})$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Lire graphiquement les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$. En déduire les valeurs de $a$ et $b$. \item Démontrer que pour tout $x$ de $\R$ , on a : $f(x) = \left(1 + \text{e}^{2 x}\right)\left(4 - \text{e}^{2 x}\right)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item $f$ étant la fonction donnée dans la partie A, calculer la dérivée de $f$ et déterminer la valeur exacte de l'abscisse du point de cette courbe dont l'ordonnée est maximale. Compléter la figure ci-dessus par la tangente à $(\mathcal{C})$ en ce point. \item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$. Que peut-on en déduire pour $(\mathcal{C})$ ? Compléter la figure ci-dessus en conséquence. \item En étudiant le signe de chacun des facteurs de $f(x)$, déterminer le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~\ln 2]$. \item Calcul d'une intégrale \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip Le tableau ci-dessous est extrait d'une grille présentant les différents points d'une ville reliés par des lignes de transport en commun avec la durée des trajets en minutes. À ce tableau est associé un graphe dont les sommets sont A, B, C, D, E, F et G. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{center}\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A & B & C & D & E & F & G\\ \hline A & & 8 & & & & & 3\\ \hline B & & & & & 4 & &\\ \hline C & & & & & & 6 & 4\\ \hline D &10 & & 9 & & & &\\ \hline E & & & & & & &\\ \hline F & & 3 & & & & &\\ \hline G & & 7 & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Par exemple, dans ce tableau, la cellule contenant le nombre 9 correspond à la durée (9~minutes) du trajet du bus reliant le point de départ de D au point d'arrivée C. \begin{enumerate} \item Réaliser le tableau des prédécesseurs de ce graphe, et déterminer le niveau de chacun des sommets. \item Dessiner le graphe en ordonnant les sommets par niveaux et en marquant la longueur de chaque arc. \item Déterminer le ou les trajet(s) de durée minimale permettant d'aller de D à E (on détaillera la méthode utilisée). \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Cal\'edonie 2003 %%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2004}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{juin 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Informatique de gestion session 2004} \vspace{0,5cm} Épreuve obligatoire \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A.} \medskip Dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 on pose : \[A = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&1&0\\ 1&1&1\\ \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad J = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}.\] On rappelle que : $A^2 = A \times A,~~ A^3 = A^2 \times A, \quad A^4 = A^3 \times A$ et $A^5 = A^4 \times A$. \begin{enumerate} \item Calculer les produits matriciels $A^2$ et $A^3$. \item Vérifier que $A^3 = 2A^2 - I$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit ($\mathbb{G}$) le graphe à 3 sommets : ($a,~ b,~ c$) dont la matrice d'adjacence est $A$. \begin{enumerate} \item Dessiner ($\mathbb{G}$). \item Quelle et l'interprétation de $19$ dans la matrice $A^5 = \begin{pmatrix} 3&12&5\\ 0&1&0\\ 5&19&8\\ \end{pmatrix}$ ? \item On choisit au hasard (avec équiprobabilité) un chemin de longueur 5 dans le graphe ($\mathbb{G}$). Quelles sont, arrondies à $10^{-2}$ près, les probabilités des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] C1 : \og Le chemin se termine par $a$ \fg{} ? \item[] C2 : \og Le chemin commence par $c$ et se termine par $a$ \fg{} ? \item[] C3 : \og Le chemin est un circuit \fg{} ? \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points} \medskip \emph{Au rayon location d'un grand magasin, on loue à la semaine des machines-outils, et on se propose d'étudier la rentabilité de ce service.} \medskip \textbf{Partie A. Étude du coût de fonctionnement} \medskip On suppose que le coût de fonctionnement hebdomadaire (en centaines d'euros) correspondant à la location de $n$ machines est donné par \[C(n) = 4n + 9 - 20 \ln (0,2n + 1)\quad (n~ \text{entier naturel}).\] \begin{enumerate} \item Calculer, en arrondissant à 1~\euro{} près, $C(10)$ et $C(20)$. Le coût de fonctionnement hebdomadaire est-il proportionnel au nombre de machines louées ? \item On pose $c(x) = 4x+ 9 - 20 \ln(0,2x+ 1) \quad (x ~\text{réel positif ou nul})$.\\ Calculer $c'(x)$ et vérifier que $c'(x) = \dfrac{0,8x}{0,2x + 1}$. En déduire le sens de variation du coût. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B. Étude de la rentabilité} \medskip Chaque machine est louée 300~\euro{} par semaine. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi le bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) correspondant à la location de $n$ machines est donné par : \[B(n) = - n - 9 + 20 \ln (0,2n + 1)\quad (n~ \text{entier naturel}).\] \item On pose $b(x) = - x - 9 + 20 \ln (0,2x + 1)\quad (x~ \text{réel positif ou nul})$. \begin{enumerate} \item Calculer $b'(x)$ et vérifier que $b'(x) = \dfrac{-0,2x + 3}{0,2x + 1}$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $b$ sur l'intervalle [0~;~40]. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $b$. (on donnera les arrondis, à $10^{-2}$ près, des valeurs particulières) \end{enumerate} \item \emph{On donne, page suivante, la courbe représentative de la fonction} $b$. \medskip En vous aidant du graphique, dire \begin{enumerate} \item Combien le magasin doit louer de machines par semaine pour que le bénéfice réalisé soit positif. \item Quel est, arrondi à un euro près, le bénéfice maximal réalisable en une semaine, \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \vspace*{3cm} \begin{center} \psset{xunit=0.2925cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(40,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-10)(40,4) \multido{\n=0+2}{21}{\psline(\n,0)(\n,0.1)} \multido{\n=-10.0+0.4}{35}{\psline(-0.4,\n)(0,\n)} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{40}{0.2 x mul 1 add ln 20 mul x sub 9 sub} \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{Exercice 3 \hfill 7 points} \emph{Tous les résultats des calculs de probabilités demandés dans cet exercice seront arrondis à $10^{-3}$ près.} \medskip \textbf{Les questions A., B., C. peuvent être traitées séparément.} \medskip Une entreprise fabrique des articles dont le prix de vente unitaire est 28~\euro{} et le coût de revient unitaire est 22~\euro{}. On admet que le nombre $X$ d'articles vendus par an est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}(\nombre{12000}~;~ \nombre{3000})$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de fabriquer moins de\nombre{15000}~articles par an ? \item Déterminer, arrondi à 100~unités près, le nombre réel $\alpha$ qui vérifie $P(X > \alpha) = 0,75$. Interpréter ce nombre. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Les charges annuelles de l'entreprise sont de \nombre{48000}~\euro, et on note $Y$ son bénéfice annuel en euros. \begin{enumerate} \item Justifier la relation : $Y = 6X - \nombre{48000}$. \item Quelle est la probabilité que le bénéfice annuel de l'entreprise soit positif ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip En 2005 l'entreprise compte fabriquer \nombre{10000}~articles et en se basant sur les années antérieures, elle table sur un taux de défectuosité de $0,003$. On suppose l'indépendance entre les états (défectueux ou non) des articles. Ces articles seront vendus par lots de $200$. Soit $Z$ le nombre aléatoire d'articles défectueux présents dans un lot. \begin{enumerate} \item Justifier que $Z$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(200~;~0,003)$. \item Calculer la probabilité des évènements suivants : \begin{enumerate} \item Dans un lot, aucun article n'est défectueux. \item Dans un lot, au moins deux articles sont défectueux. \end{enumerate} \item On admet que $Z$ peut être approchée par une loi de Poisson $Z'$ de même espérance mathématique que $Z$. \begin{enumerate} \item Calculer le paramètre $\lambda$ de $Z'$. \item En utilisant la loi de $Z'$ déterminer avec la précision de la table, la probabilité qu'un lot contienne moins de 5 articles défectueux. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2005 %%%%%%%%%%%% \hypertarget{2005}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole \\ Informatique de gestion session 2005\\ Option : administrateur de réseaux} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip Les parties A, B et C sont indépendantes. \emph{Toutes les valeurs arrondies seront données à $10^{-3}$ près.}\\ \medskip \textbf{Partie A} \medskip En France, le nombre d'abonnements à l'Internet haut débit est donné, en millions, dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Période&\footnotesize 1\up{er} trimestre 2003&\footnotesize 2\up{e} trimestre 2003&\footnotesize 3 \up{e} trimestre 2003&\footnotesize 4\up{e} trimestre 2003&\footnotesize 1\up{er} trimestre 2004\\ \hline $x = $ rang de la période& 1& 2& 3& 4& 5\\ \hline \footnotesize $y =$ nombre d'abonnements en millions&2,236& 2,450& 2,790& 3,524& 4,406\\ \hline \multicolumn{6}{r}{(*) source ART Autorité de Régulation des Télécommunications.}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant, les résultats seront arrondis au millième. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ rang de la période& 1& 2& 3& 4& 5\\ \hline $z = \ln y$&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Donner le coefficient de corrélation de $z$ en $x$. Que peut-on en conclure ? \item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Aucun calcul intermédiaire n'est exigé. \item En supposant la même progression de l'Internet haut débit, estimer le nombre d'abonnements en millions au troisième trimestre 2004. \item Exprimer $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = A\text{e}^{Bx}$ où $A$ et $B$ sont des réels arrondis au millième. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip En janvier 2003, une enquête dans une université a montré que 7\:\% des étudiants disposaient personnellement de l'Internet haut débit.\\ On interroge 100~étudiants. On suppose que l'effectif de l'université est suffisamment important pour que les interrogations soient considérées comme indépendantes. Soit $X$ la variable aléatoire qui mesure le nombre d'étudiants disposant de l'Internet haut débit. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres . \item Calculer la probabilité $P(X = 5)$. \item On admet que $X$ peut être approchée par une variable $X_{1}$ suivant une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Quel est le paramètre de cette loi de Poisson ? \item Déterminer les probabilités $P\left(X_{1} = 5\right)$ et $P\left(X_{1} > 7\right)$. \item Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus 5~étudiants disposant de l'Internet haut débit. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip En septembre 2004, une enquête semblable a montré que 50\:\% des étudiants disposaient de I'Internet haut débit. On interroge 100~étudiants. Soit $Y$ la variable aléatoire qui mesure le nombre d'étudiants disposant de l'Internet haut débit. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. \item On admet que $Y$ peut être approchée par une variable aléatoire $Y_{1}$ suivant une loi normale. \begin{enumerate} \item Justifier que $Y_{1}$ suit la loi normale $\mathcal{N}(50 ~;~ 5)$. \item Déterminer la probabilité $P(45 \leqslant Y_{1} \leqslant 55)$. \item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 40~étudiants disposant de l'Internet haut débit. On calculera $P\left(Y_{1} \geqslant 39,5\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 3 points} \medskip Le responsable du pare informatique d'une entreprise envisage l'acquisition de nouveaux ordinateurs. Pour s'équiper ce responsable s'adresse à une entreprise de vente de matériel informatique qui propose des configurations prédéfinies (ordinateur et périphériques). On définit les critères suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $a$ la configuration comprend un graveur de DVD ; \item[] $b$ la configuration comprend une imprimante ; \item[] $c$ la configuration comprend un scanner. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les contraintes d'équipement excluent les configurations avec graveur DVD mais sans scanner ainsi que les configurations sans graveur et sans imprimante. \end{enumerate} \begin{enumerate} \item Donner une expression booléenne $E$ traduisant les conditions d'exclusion d'une configuration. \item Dresser la table de Karnaugh de $E$. \item Traduire l'expression booléenne $a\overline{b}c$ sous forme d'une phrase et préciser si la configuration considérée peut être acceptée. \item À partir de la table de Karnaugh obtenue précédemment, donner l'expression $F$ simplifiée traduisant l'acceptation d'une configuration. \item La phrase « Les configurations acceptées sont celles qui comportent soit un graveur et un scanner soit pas de graveur et une imprimante » traduit-elle l'expression booléenne $F$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 9 points} \medskip Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~ ;~ +\infty[$ par : \[f(x)=3x\text{e}^{-x}~~ \text{et}~~ g(x) = (3 + x)\text{e}^{-x}.\] On notera $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ leurs représentations graphiques respectives dans le plan muni d'un repère \Oij{} avec les unités graphiques suivantes : 1~cm sur l'axe des abscisses et 3~cm sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, puis étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$, puis étudier les variations de g sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = 0$. Tracer $\Delta$. \item Tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ dans le repère \Oij. \item Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $h(x) = g(x) - f(x)$. \begin{enumerate} \item Résoudre $h(x) = 0$. \item Étudier le signe de $h(x)$ sur l'intervalle $[0~ ;~ +\infty[$. \item En déduire les coordonnées exactes du point I d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ et les positions relatives de ces deux courbes. \end{enumerate} \item Vérifier que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~ +\infty[$ par : $H(x) = (2x - 1)\text{e}^{-x}$ est une primitive de $h$ sur cet intervalle. \item Calculer en cm$^2$, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan comprise ente les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{3}{2}$. On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ et sa valeur arrondie au centième. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2005 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polyn\'esie 2005 %%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2005}{} \lfoot{\small{Polynésie Informatique de gestion}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Polynésie Informatique de gestion session 2005} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip On considère les matrices : \[M = \begin{pmatrix} \alpha&0&1&0\\ 1&\alpha&0&0\\ 0&0&\alpha&0\\ 1&0&0&\alpha\\ \end{pmatrix}\quad ;\quad A = \begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 1&0&0&-1\\ 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad I = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix}\] \begin{enumerate} \item Déterminer la matrice $M^2$, puis la matrice $B = M^2 - A- I$. \item Dans la suite on pose $\alpha=1$.\\ Montrer que la matrice $B$ est la matrice $\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 1&0&1&1\\ 0&0&0&0\\ 1&0&1&0\\ \end{pmatrix}$ \item Déterminer la matrice $B^2$. \item La matrice $B$ est la matrice adjacente d'un graphe orienté de sommets $a,~ b,~ c,~ d$. Donner une représentation géométrique du graphe orienté. \item Combien y a-t-il de chemin(s) de longueur 2 ? Préciser leurs extrémités. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip Un laboratoire commercialise un test de dépistage d'une maladie. Une étude statistique a permis d'admettre que 5\:\% de la population est atteinte par cette maladie. Le test n'est pas totalement fiable : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] lorsque le patient est malade, le test n'est positif que dans 95\:\% des cas, \item[$\bullet~$] lorsque le patient n'est pas malade, le test est cependant positif dans 1\:\% des cas. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $M$ l'évènement \og le patient est malade \fg, et $T$ l'évènement \og le test est positif~\fg. Les probabilités demandées seront arrondies au dix-millième.\\ \medskip \textbf{Partie A}\\ On considère un patient pris au hasard dans la population. \begin{enumerate} \item Représenter la situation décrite à l'aide d'un arbre ou d'un tableau. \item Déterminer la probabilité de l'évènement \og le patient est malade et le test est positif \fg.\\ Calculer $P(T)$. \item Quelle est la probabilité que le patient soit malade sachant que le test est positif ? \item Quelle est la probabilité que le patient soit malade sachant que le test est négatif ? \item Le test est considéré comme défectueux si son résultat n'est pas en accord avec l'état réel du patient. Montrer que la probabilité de l'évènement D \og le test est défectueux \fg est égale à $0,012$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip En vue d'un contrôle de qualité, le laboratoire constitue des échantillons de 50~tests tirés au hasard dans la production. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~articles. \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à tout échantillon de 50~tests, le nombre de tests défectueux. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres. \item Déterminer la probabilité que l'échantillon compte moins de 3~tests défectueux. \item Calculer l'espérance mathématique et l'écart type dc cette loi. \end{enumerate} \item On approche la loi de $X$ par une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Quel est le paramètre de cette loi ? \item En utilisant cette approximation, determiner la probabilité que l'échantillon compte moins de 3~tests défectueux. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 10 points} \medskip Le service informatique d'une entreprise a modélisé le coût unitaire $y$ (en centimes d'euro) d'une connexion, lorsque son réseau gère simultanément $x$ centaines de connexions, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[ y = f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x} +3}{6\left(\text{e}^x - 1\right)}.\] On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal dont les unités graphiques sont 3~ cm en abscisse et 1~cm en ordonnée.\\ \medskip \textbf{Partie A} Étude d'une fonction auxiliaire $g$. \medskip On appelle $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[ g(x) = \text{e}^{2x} - 2\text{e}^x -3.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $g(\ln 3) = 0$. \item Étude du signe de $g$. \begin{enumerate} \item Déterminer $g'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. (On ne demande pas de calculer la limite de $g$ en $- \infty$). \item Déterminer le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} Étude de la fonction $f$ \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $0$ et interpréter graphiquement le résultat. \item Montrer que $f(x) = \dfrac{\text{e}^x + \frac{3}{\text{e}^x}}{6 - \frac{6}{\text{e}^x}}$. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Montrer que $f'(x)= \dfrac{\text{e}^x g(x)}{6\left(\text{e}^x - 1\right)^2}$. En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item Reproduire sur la copie et compléter le tableau de valeurs suivant. (\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au centième}). \medskip \begin{center}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0,5 &1 &$\ln 3$ &2 &3\\ \hline $f(x)$ & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \item Tracer lacourbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. \item Pour combien de connexions simultanées, le coût unitaire de connexions est-il optimisé ? (On donner le résultat à une unité près). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} Étude du coût moyen unitaire de connexion. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[F(x) = \dfrac{2}{3}\ln \left(\text{e}^x -1 \right) + \dfrac{1}{6}\text{e}^x - \dfrac{x}{2}\] est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item Déterminer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle $[\ln 3~;~2]$. On donnera la valeur exacte de $m$ puis une valeur approchée arrondie au centième. \item Quel est le coût unitaire moyen de connexion pour un nombre $n$ de connexions simultanées vérifiant $110 \leqslant n \leqslant 200$ ? (On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ euro près en prenant $1,1$ comme valeur approchée de $\ln 3$). \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polyn\'esie 2005 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2006 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2006}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{juin 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Informatique de gestion session 2006} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}\\ \noindent \textbf{Les parties peuvent être traitées de façon indépendante.}\\ \noindent \emph{Toutes les probabilité demandées seront arrondies au millième.}\\ La coopérative «Le Val de Seule » produit et commercialise des légumes. Un service étudie le problème de la mise en bocal de tomates confites: le poids annoncé est de 500~g, et on décide qu'un bocal est « mal rempli » s'il pèse moins de 485~g. On admet que la variable aléatoire $X$ qui, â chaque bocal, associe son poids en grammes, suit une loi normale d'espérance $500$ et d'écart-type $12$. \medskip \noindent \textbf{Partie A}\\ \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un bocal soit mal rempli. \item Calculer la probabilité $P(491 \leqslant X \leqslant 518)$ \item Déterminer le réel h tel que $P(500 - h \leqslant X \leqslant 500 + h) = 0,95$.\\ Traduire ce résultat en français courant. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B}\\ Grâce à une politique de qualité, on a ramené le pourcentage de bocaux mal remplis à 2\:\%. Un contrôleur teste un lot de 200~bocaux prélevés sur la production (on assimile ce prélèvement à un tirage avc remise). \begin{enumerate} \item On désigne par $Z$ la variable aléatoire désignant le nombre de bocaux mal remplis dans ce lot. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par $Z$ ? Justifier votre réponse. \item Donner l'espérance et l'écart-type de $Z$. \item Calculer $P(Z = 2)$. \end{enumerate} \item On admet que $Z$ peut être approchée par une variable $Z'$ suivant une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Donner la valeur du paramètre $X$ de cette loi de Poisson. \item Déterminer la probabilité $P( Z' \geqslant 3)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie C}\\ Les bocaux sont remplis sur deux chaînes de travail Alpha et Beta. La chaîne Alpha fournit 80\:\% des bocaux et la chaîne Beta en fournit 20\:\%.\\ Parmi les bocaux fournis par la chaîne Alpha, il y en 1\:\% de mal remplis.\\ La probabilité qu'un bocal fourni par la chaîne Bêta soit mal rempli est égale à un certain réel $\beta$.\\ Un bocal est choisi au hasard dans la production.\\ On note : \begin{itemize} \item A l'évènement : « le bocal a été rempli sur la chaîne Alpha », \item B l'évènement : « le bocal a été rempli sur la chaîne Bêta », \item M l'évènement: « le bocal a été mal rempli ». \end{itemize} \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré ou un tableau à double entrée illustrant la situation. \item On a choisi un bocal mal rempli. Déterminer la probabilité qu'il ait été rempli sur la chaîne Alpha, sachant que $P(M) = 0,02$. \item \begin{enumerate} \item Calculer en fonction de $\beta$ la probabilité $P(M)$. \item En déduire la valeur de $\beta$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}\\ \medskip \noindent \textbf{Partie A}\\ \textbf{Étude théorique}\\ On se propose de déterminer les puissances successives de la matrice $M$ définie par $M =\begin{pmatrix} 1&0&1&1\\ 1&0&0&1\\ 0&1&1&0\\ 0&1&0&0\\ \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Calculer $M^2, M^3$ et $M^4$. Établir une relation simple entre $M^4$ et $M^3$. \item On admet qu'il existe une suite numérique $\left(a_{n}\right)$ telle que, pour tout $n \geqslant 3,~ M^n = a_{n}M^3$.\\ Préciser la valeur de $a_{3}$ et $a_{4}$ et en calculant $M^{n+1} = M^n \times M$, montrer que la suite (an) est géométrique, donner sa raison. \item En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$. 3333 \item En déduire que $M^n =2^{n-1}\begin{pmatrix} 3&3&3&3\\ 2& 2& 2& 2\\ 2& 2& 2& 2\\ 1&1&1&1\\ \end{pmatrix}$. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B}\\ \textbf{Application}\\ Monsieur ROBERT, agent commercial de la coopérative « Le Val de Seille » pour le Centre-Est, prospecte les quatre villes Auxerre, Beaune, Châtillon et Dijon, notées A, B, C, D. Ses déplacements sont repérés par la matrice d'adjacence $M$ définie dans la partie A. \parbox{0.6\linewidth}{ \begin{enumerate} \item Va-t-il directement d'Auxerre à Beaune ? \item Recopier et compléter le graphe ci-contre correspondant à $M$. \item Quel est le nombre de chemins de longueur 3 allant de A \`a D. En faire la liste. \item À l'aide de la partie A, déterminer le nombre de chemins de longueur $8$ de ce graphe.\\ Justifier votre réponse. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(3,3) \pscircle(0,1.5){3mm} \pscircle(3,1.5){3mm} \pscircle(1.5,0){3mm} \pscircle(1.5,3){3mm} \rput(0,1.5){C} \rput(3,1.5){D} \rput(1.5,0){B} \rput(1.5,3){A} \end{pspicture}} \vspace{1cm} \noindent \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}\\ \medskip \noindent \textbf{Partie A}\\ \textbf{Étude d'une fonction}\\ On donne la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ;100] par \[f(x) = 216x - x^2 - \nombre{4000}\ln \left( \dfrac{x + 12}{12}\right).\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.\\ (unités graphiques : 1~cm pour 5 en abscisse et 1~cm pour $200$ en ordonnée). \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et montrer et que, sur l'intervalle [0 ; 100], son signe est celui du polynôme $P$ défini par \[P(x) = -2x^2 + 192x - \nombre{1408}.\] \item Étudier le signe de $P(x)$, et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [0 ; 100].\\ (on arrondira les valeurs numériques à l'unité). \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ pour $ x \in [0 ~;~ 100]$. \item À l'aide du graphique, donner une valeur approchée à l'entier près de la solution non nulle de l'équation $f(x) = 0$, puis â l'aide du tableur de votre calculatrice, préciser cette valeur arrondie au millième. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B}\\ \textbf{Application}\\ Pour des raisons d'approvisionnement limité, la coopérative « Le Val de Seine » ne peut produire et commercialiser plus de $100$~tonnes de tomates confites par an.\\ Le coût total de production (en euros) est donné par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0 ~;~ 100] par : \[g(x) = 10x^2 + \nombre{40000}\ln \left( \dfrac{x + 12}{12}\right),\] où $x$ désigne le nombre de tonnes produites.\\ Elle vend toute cette production \`a \nombre{2160}~\euro{} la tonne. \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction de $x$, le bénéfice de la société sur le poste « tomates confites ».\\ Exprimer ce bénéfice en utilisant la fonction $f$ de la partie A. \item Combien de kilogrammes faut-il produire au minimum pour que ce bénéfice soit positif ? \item Combien de tonnes faut-il produire pour que ce bénéfice soit maximum ? Que vaut-il alors ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2006 %%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polyn\'esie 2006 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2006}{} \lfoot{\small{Polyn\'esie Informatique de gestion}} \rfoot{\small{juin 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Polyn\'esie Informatique de gestion session 2006} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}\\ Une entreprise assure la production de deux types de calculatrices C$_{1}$ et C$_{2}$ en quantités (hebdomadaires) respectives $x$ et $y$.\\ \medskip \noindent Le coût des éléments installés et le nombre d'heures de travail sont donnés pour chaque calculatrice dans le tableau suivant :\\ \medskip \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & C$_{1}$& C$_{2}$\\ \hline Coût des éléments (en \euro)& 6& 8\\ \hline Nombre d'heures de travail & 1& 1,5\\ \hline \end{tabularx} \medskip \noindent Un programme de production hebdomadaire peut se représenter par la matrice $X = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$.\\ Cette production occasionne un coût $c$ et un nombre $t$ d'heures de travail. Ces deux éléments sont donnés dans la matrice $Y = \begin{pmatrix} c\\ t \end{pmatrix}$. Enfin on appelle $A$ la matrice issue du tableau : $A = \begin{pmatrix} 6&8\\ 1&1,5\\ \end{pmatrix}$.\\ \medskip \noindent \textbf{Partie A}\\ \begin{enumerate} \item Écrire une égalité matricielle reliant $A,~ X$ et $Y$ qui traduit la production de l'entreprise. \item Durant une semaine, l'entreprise a produit 200~calculatrices C$_{1}$ et 800~calculatrices C$_{2}$. Par un calcul matriciel, déterminer le coût total et le nombre d'heures de travail pour la production de cette semaine. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B}\\ On note $B$ la matrice : $B = \begin{pmatrix} 1,5&-8\\ -1&6\\ \end{pmatrix}$ \begin{enumerate} \item Effectuer le produit $B \times A$. \item Montrer en transformant l'égalité $Y = A \times X$ que $B \times Y = X$. \item Durant une autre semaine, l'entreprise fait face à un coût total de \nombre{8400}~\euro{} et \nombre{1450}~heures de travail.\\ Déterminer par le calcul matriciel le nombre de calculatrices de chaque type fabriquées au cours de cette semaine. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}\\ Une entreprise de 20~salariés utilise un parc de 30~ordinateurs.\\ Les 30~ordinateurs fonctionnent de manière indépendante. On admet que la probabilité pour que dans une journée un ordinateur soit en panne est de $0,075$. \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à un jour donné, associe le nombre d'ordinateurs en panne parmi tout le pare pendant cette journée.\\ \emph{Dans cette question, on fournira tous les résultats sous leur forme arrondie à $3$ décimales.} \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$, justifier. \item Calculer la probabilité pour que, parmi les 30~postes, il y ait exactement 2~ordinateurs en panne. \item Calculer la probabilité pour que, parmi les 30~postes, il y ait au moins 2~ordinateurs en panne.\\ \end{enumerate} \medskip \emph{Pour la suite, les résultats seront donnés avec la précision permise par les tables.} \item Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à un jour donné, associe le nombre d'absents parmi les 20~salariés de l'entreprise. On suppose que $Y$ suit la loi de Poisson de paramètre $1,5$. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité pour qu'il n'y ait aucun absent. \item Calculer la probabilité pour qu'il y ait au plus 2 absents. \item Quel est le nombre moyen d'absents journalier ? \end{enumerate} \item Soit $D$ la variable aléatoire qui à chaque ordinateur du parc associe sa durée d'utilisation journalière exprimée en heures. On suppose que $D$ suit la loi normale d'espérance $4$ et d'écart type $0,2$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que la durée d'utilisation journalière d'un ordinateur du parc soit supérieure à 4 h 30 min (on rappelle que 4 h 30 min = 4,5~heures). \item Calculer la probabilité que la durée d'utilisation soit inférieure à 3 h 45 min. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}\\ On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^3\right]$ par \[f(t) = t(a + b \ln t)~ \text{où}~ a~ \text{et}~ b~ \text{sont des nombres réels.}\] \noindent \textbf{Partie A : détermination de $a$ et $b$} On sait que $f$ vérifie les deux conditions : $f(\text{e}) = 2\text{e}$ et $f\left(\text{e}^3\right) = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $a$ et $b$ vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l} a + b&=&2\\ a+3b&=&0\\ \end{array}\right.$ \item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B : étude de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath \\ On admet désormais que $f$ est définie sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^3\right]$ par \[f(t) = 3t -t \ln t.\] \begin{enumerate} \item Étudier $\displaystyle\lim_{t \to 0} f(t)$. \item Étude des variations de $f$ : \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^3\right]$. \item Résoudre l'inéquation $2 - \ln t > 0$ sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^3\right]$. \item En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^3\right]$ et dresser le tableau de variations de $f$. \item Calculer la valeur exacte du maximum de $f$. \end{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (valeurs approchées arrondies au centième) :\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &1 &2 &4 &6 &8 &12 &16 &20\\ \hline $f(t)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Représenter la fonction $f$ sur $\left]0~;~\text{e}^3\right]$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 1~cm. \item Par lecture graphique, et avec la précision permise par cette lecture, indiquer quelles sont les valeurs de $t$ pour lesquelles $f(t) \geqslant 4$. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie C : interprétation économique}\\ Une société d'achats en ligne veut analyser le déroulement d'une vente promotionnelle « flash » qu'elle a organisée sur Internet. \\ Cette vente, d'une durée annoncée de 20~minutes, a provoqué sur son site un flux dont l'intensité a été variable en fonction du temps.\\ Si on note $t$ le temps en minutes écoulé depuis le départ de l'opération, on admet que $f$(t) est la mesure instantanée de ce flux, cette mesure étant exprimée en milliers d'euros par minute.\\ On suppose qu'aucun achat n'est possible pendant la première minute et que la somme totale, en milliers d'euros, transférée depuis la première minute et jusqu'à la fin des 20~minutes de la vente est modélisée par l'intégrale : $S = \displaystyle\int_{1}^{20}f(t)\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation graphique de cette intégrale en l'illustrant sur le tracé précédent. \item Soit la fonction $G$ définie sur l'intervalle [1 ; 20] par \[G(t) = \dfrac{t^2}{2}\left(\ln t - \dfrac{1}{2}\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(t) = t \ln t$. \item Donner une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle [1~;~ 20]. \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^{20}f(t)\:\text{d}t$. \item En déduire la valeur de la somme totale transférée depuis la première minute et jusqu'à la fin des 20 minutes (on donnera une valeur approchée arrondie à 10~\euro{} près). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polyn\'esie 2006 %%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2007 %%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2007}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Informatique de gestion session 2007}\\ \vspace{1cm} \textbf{Épreuve obligatoire}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Cet exercice est un Q. C. M. (questionnaire à choix multiples). Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, il n'existe qu'une seule affirmation correcte. Le candidat présentera les résultats en reproduisant et en complétant sur sa copie un tableau ayant l'aspect suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Question &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Affirmation correcte & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Barème envisagé :} + 1 point par réponse exacte, $-0,5$~point par réponse fausse, $0$ point pour absence de réponse. (Un éventuel résultat négatif serait ramené à zéro)\\ \medskip \textbf{Question I} - Logique \medskip Soit $f$ une fonction de la variable $x$, définie sur $\R$. On considère l'énoncé suivant : \og Il existe au moins un réel $x$ tel que $f(x) > 0$. \medskip La négation de cette proposition est : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[] A : \og Il existe au moins un réel $x$ tel que $f(x) < 0$ \fg{} ; \item[] B : \og Il existe au moins un réel $x$ tel que $f(x) \leqslant 0$ \fg{} ; \item[] C : \og Pour tout réel $x,~ f(x) < 0$ \fg{} ; \item[] D : \og Pour tout réel $x,~ f(x) \leqslant 0$ \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Question 2} - Matrices \medskip Soit $a$ un nombre réel non nul. On considère la matrice $M = \begin{pmatrix} 1& 0&a\\ 0&1&0\\ 0&1&0\\ \end{pmatrix}$\\ La matrice $M^2$ est égaie à :\\ \[A= \begin{pmatrix} 1& 0&a^2\\ 0&1&0\\ 0&1&0\\ \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1& a&a\\ 0&1&0\\ 0&1&0\\ \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 2& 0&2a\\ 0&2&0\\ 0&2&0\\ \end{pmatrix}\quad D= \begin{pmatrix} 1& 0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}.\] \medskip \textbf{Question 3} - Calcul booléen \medskip \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4.5,3) \multido{\n=0.5+1.0}{5}{\psline(\n,0.5)(\n,2.5)} \multido{\n=0.5+1.0}{3}{\psline(0.5,\n)(4.5,\n)} \psframe[fillstyle=hlines](0.5,1.5)(1.5,2.5) \psframe[fillstyle=hlines](1.5,1.5)(2.5,2.5) \psframe[fillstyle=hlines](1.5,0.5)(2.5,1.5) \uput[u](1,2.5){$b$}\uput[u](2,2.5){$\overline{b}$} \uput[u](3,2.5){$\overline{b}$} \uput[u](4,2.5){$b$} \uput[d](1,0.5){$c$} \uput[d](2,0.5){$c$} \uput[d](3,0.5){$\overline{c}$} \uput[d](4,0.5){$\overline{c}$} \uput[l](0.5,2){$a$} \uput[l](0.5,1){$\overline{a}$} \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.55\linewidth}{On considère E, fonction des variables booléennes $a,~ b$ et $c$ dont une expression est : \[E = abc +a\overline{b}c + \overline{ab}c.\] $E$ est représentée dans le tableau de Karnaugh ci contre (partie hachurée).} Une autre expression de $E$ est : \[A = a+b\overline{c}\quad ;\quad B = ac+\overline{b}c \quad;\quad C = \overline{\overline{a}c}+c \quad; \quad D = \left(1+\overline{c}\right)(1 + a).\] \medskip \textbf{Question 4} - Graphes \medskip Le graphe G comporte quatre sommets $x,~y,~ z$ et $t$. On donne sa matrice d'adjacence : $M =\begin{pmatrix} 1&0&1&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&1&0\\ 1&0&1&1\\ \end{pmatrix}$.\\ Choisir la proposition exacte parmi les quatre suivantes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[] A : Le sommet $x$ possède exactement deux successeurs ; \item[] B : Le chemin $y - 2 - x$ est possible ; \item[] C : Le chemin $t - x - z$ est possible ; \item[] D : Le sommet $z$ est un prédécesseur du sommet $t$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Question 5} - Graphes \medskip On utilise le même graphe que dans la question 4. Choisir la proposition exacte parmi les quatre suivantes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[] A : Le nombre de chemins de longueur 3 d'origine le sommet $x$ et d'extrémité le sommet $z$ est égal à 5 ; \item[] B : Le nombre de chemins de longueur 3 d'origine le sommet $x$ et d'extrémité le sommet $z$ est égal à 6 ; \item[] C Le nombre de chemins de longueur 3 d'origine le sommet $x$ et d'extrémité le sommet $z$ est égal à 7; \item[] D : Le nombre de chemins de longueur 3 d'origine le sommet $x$ et d'extrémité le sommet $z$ est égal à 8. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points} \medskip \emph{L'exercice porte sur la fréquentation d'une pharmacie implantée dans un petit centre commercial.\\ Les trois parties sont indépendantes.}\\ \medskip \textbf{Partie A} Loi binomiale \medskip Après avoir effectué une étude statistique, on admet qu'un passant pris au hasard dans la galerie marchande entre dans la pharmacie avec une probabilité de $0,15$. On prélève, de façon aléatoire, un échantillon de $40$~usagers de la galerie marchande. (On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.) On désigne par $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de personnes qui entrent dans la pharmacie, parmi les $40$~usagers de l'échantillon. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier le fait que la variable $X$ suit une loi binomiale $(n ~;~ p)$. Préciser ses paramètres. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Par une phrase simple, en donner une interprétation \end{enumerate} \item Calculer les probabilités $P(X = 0)$ et $P(X \geqslant 1)$. (On donnera les valeurs arrondies à la quatrième décimale.) \end{enumerate} \medskip \emph{Dans la rédaction, les candidats pourrons utiliser à leur choix l'une des deux notations : $\binom{n}{p}$ ou $\text{C}_{n}^p$.} \medskip \textbf{Partie B} Loi normale \medskip Soit $Y$ la variable aléatoire, qui, un jour donné, décompte le nombre de clients entrés dans la pharmacie entre 18~heures et 19~heures. On admet que la variable $Y$ suit la loi normale $\mathcal{N}(30~;~4)$. \begin{enumerate} \item Calculer avec la précision de la table, les probabilités $P(Y \geqslant 34)$ et \\$P(26 \leqslant Y \leqslant 34)$. \item Déterminer, en utilisant la valeur au plus près dans la table, le nombre réel $a$ tel que : $P(Y \geqslant a) = 0,04$. En arrondissant le nombre $a$ à l'entier le plus proche, traduire par une phrase cette dernière égalité. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} Somme de deux variables aléatoires\\ Dans le passé, la pharmacie disposait aussi d'un second accès (par le parking). La variable aléatoire $Z_{1}$ prend pour valeurs le nombre de clients qui entraient dans la pharmacie par la galerie (entre 18 et 19~heures), et suit la loi normale $\mathcal{N}(20~ ;~2)$. La variable aléatoire $Z_{1}$ prend pour valeurs le nombre de clients qui entraient dans la pharmacie (entre 18 et 19~heures) par le parking et suit la loi normale $\mathcal{N}(15~;~3)$. On suppose de plus que les variables aléatoire $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sont indépendantes. \begin{enumerate} \item Que mesure la variable aléatoire $Z = Z_{1} + Z_{2}$ ? \item Sachant que $Z$ suit une loi normale, déterminer ses paramètres (moyenne et écart-type.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 8 points} \medskip \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.} Une entreprise réalise une étude de marché avant de commercialiser des logiciels à usage professionnels. \medskip \textbf{Partie A} Exploitation statistique d'un modèle passé.\\ Des concurrents ont récemment vendu un produit similaire. Le nombre de logiciels vendus chaque mois est donné par le graphique ci-dessous :\\ \medskip \psset{xunit=0.24cm,yunit=0.025cm} \begin{center} \begin{pspicture}(45,450) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=50]{->}(0,0)(45,400) \rput(22.5,445){Relevé des ventes} \uput[d](22.5,-20){Rang du mois} \rput{90}(-5,200){Nombre de logiciels vendus} \multido{\n=0+5}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,400)} \multido{\n=0+50}{9}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(45,\n)} \psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](1,60)(2,100)(3,170)(4,200)(5,232)(6,250)(7,280)(8,300)(9,308)(10,310)(11,340)(12,350)(13,372)(14,370)(15,358)(16,360)(17,340)(18,330)(19,323)(20,325)(21,320)(22,308)(23,303)(24,300)(25,272)(26,270)(27,275)(28,256)(29,250)(30,240)(31,220)(32,222)(33,210)(34,202)(35,200)(36,200)(37,178)(38,170)(39,158)(40,155) \end{pspicture} \end{center} \medskip Un extrait est fourni dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang du mois : $x_{i}$&1 &6& 11& 16& 21& 26& 31&36\\ \hline Nombre de logiciels vendus : $z_{i}$& 60& 250& 340& 360& 320& 270 &220& 200\\ \hline \multicolumn{9}{l}{(Exemple de lecture des données : le onzième mois, il s'est vendu 340 logiciels)} \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Sans calcul, justifier le fait qu'un ajustement linéaire n'est pas approprié. \item Reproduire et compléter le tableau suivant : (les valeurs de $y_{i}$ seront arrondies au centième). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Rang du mois : $x_{i}$ & 1& 6& 11& 16& 21& 26& 31& 36\\ \hline $y_{i} = \ln \left( \dfrac{z_{i}}{x_{i}}\right)$&4,09&&&&&&1,96 &1,71\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item La corrélation linéaire entre les séries $\left(x_{i}\right)$ et $\left(y_{i}\right)$ étant forte (le coefficient de corrélation linéaire $r$ est environ égal à $-0,999$), on décide de procéder à un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels arrondis au millième. (Aucun détail de calcul n'est demandé dans cette question.) \item En prenant des arrondis plus larges des valeurs de $a$ et de $b$, on obtient \\$\ln \left(\dfrac{z}{x}\right) = - 0,07x+ 4$. Exprimer alors $z$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} Perspectives \medskip L'équipe commerciale envisage de mener une campagne plus dynamique, pour son nouveau produit plus complet. Le nombre mensuel des ventes serait modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 36] par : \[f(x) = 100x\text{e}^{-0,1x}.\] \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie pour $x \geqslant 0$ par : $u(x) = \text{e}^{-0,1x}$ ; en déduire la dérivée de la fonction $f$. Justifier le fait que le signe de la dérivée de $f$ est le même que celui de $(10 - x)$. \item Dresser alors le tableau de variations de la fonction $f$. \item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ (Le choix d'unités efficaces est laissé à l'initiative du candidat.) \item L'entreprise arrêtera la commercialisation du produit dès que le nombre de ventes repassera au dessous de $150$~unités par mois. \\Déterminer à l'aide du graphique ou de la calculatrice, à partir de quel mois cessera cette commercialisation. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2007 %%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Cal\'edonie 2007 %%%%%%%%% \hypertarget{NC2007}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{novembre 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ novembre 2007 - Informatique de gestion\\ Nouvelle--Cal\'edonie}} \vspace{0,5cm} ÉPREUVE FACULTATIVE Durée : 1 heure \hfill Coefficient : 1 \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 13 points}\\ \medskip \noindent \emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.} \medskip \noindent \textbf{Partie A} Une entreprise est spécialisée dans la production d'un type de machine agricole. On note $C(x)$ le coût total, en milliers d'euros, de la production de $x$ machines. On suppose que la fonction de coût total $C$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ et qu'elle est solution, pour $x$ réel positif de l'équation différentielle \[ 4C'(x) - C(x) = 5x - 80.\] De plus les frais fixes, correspondant à $C(0)$,s'élèvent à $70$ milliers d'euros.\\ On considère l'équation différentielle (E) : $4y'- y = 5x - 80$, l'inconnue $y$ étant une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. \begin{enumerate} \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) ~:\quad 4y' - y = 0.$ \item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour lesquels la fonction $\varphi$ définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par : $\varphi(x) = ax + b$, est solution de (E). \item En déduire la solution générale de l'équation (E). \item Déduire des questions précédentes l'expression de $C(x)$. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B}\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = 10\text{e}^{\frac{1}{4}x} - 5x + 60.\] On note $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. \begin{enumerate} \item Écrire le développement limité de la fonction : $t \longmapsto \text{e}^{t}$ à l'ordre $2$ au voisinage de $0$. \item Démontrer qu'alors le développement limité de $f$ à l'ordre 2 au voisinage de $0$ s'écrit : \[f(x) = 70- \dfrac{5}{2}x + \dfrac{5}{16}x^2 + x^2\epsilon(x)~~\text{avec} \lim_{x\to 0} \epsilon(x) = 0.\] \item Utiliser ce résultat pour donner l'équation de la tangenfe (T) \`a $\Gamma$ en son point d'abscisse $0$, et préciser la position de ($\Gamma$) par rapport à (T) au voisinage de ce point. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}\\ On admet que la durée d'attente, en minutes, au départ d'une certaine remontée mécanique dans une station de sports d'hiver, est, en période de vacances scolaires d'hiver, une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,05$. \begin{enumerate} \item Calculer, en minutes, le temps moyen d'attente au départ de cette remontée mécanique.\\ \emph{Pour les questions suivantes, les résultats seront donnés arrondis à la deuxième décimale.} \item Calculer la probabilité d'attendre au départ de cette remontée mécanique : \begin{enumerate} \item moins de 10~minutes ; \item plus de 30~minutes. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité que le temps d'attente au départ de cette remontée mécanique soit compris entre 10 et 30~minutes. \item Un skieur arrive au départ de la remontée mécanique ; un panneau indique que le temps d'attente est d'au moins 10~minutes. Calculer la probabilit\'e qu'il soit inférieur à 30~minutes. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle--Cal\'edonie 2007 %%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2008 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2008}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2008 - Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}\\ La société d'exploitation forestière JURABOIS exploite des coupes et commercialise le bois auprès de scieries situées enu France, en Suisse et en Allemagne.\\ Grâce a une équipe d'agents commerciaux efficaces, la société gagne tous les ans de nouveaux clients, le nombre de ces nouveaux clients étant à peu près le même chaque année. Par ailleurs, un certain pourcentage de clients abandonne chaque année la société pour se tourner vers une société concurrente. Ce pourcentage varie peu d'une année \`a l'autre.\\ \medskip \noindent Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de clients de la société JURABOIS au cours des dix dernières années.\\ \medskip {\small \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année& 1998&1999&2000& 2001&2002& 2003& 2004&2005 &2006& 2007\\ \hline Nombre de clients&\nombre{1000}&\nombre{1030}& \nombre{1056}& \nombre{1080}& \nombre{1100}& \nombre{1118}&\nombre{1134}& \nombre{1149}&\nombre{1160}&\nombre{1171}\\ \hline \end{tabularx}} \medskip \noindent \textbf{Partie A}\\ \begin{enumerate} \item Compléter, sur la feuille annexe, le tableau reproduit ci dessous, dans lequel on désigne par : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $n$ le rang de l'année à partir de 1998 (ainsi $n = 0$ pour 1998) ; \item[$\bullet~$] $u_{n}$, le nombre de clients de la société pour l'année $(1998+ n)$ (ainsi $u_{0} = \nombre{1000}$) ; \item[$\bullet~$] $x_{n}= u_{n}$ et $y_{n} = u_{n+1}$ (ainsi $x_{0}=\nombre{1000}$ et $y_{0} = \nombre{1030}$). \end{itemize} \medskip \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année& 1998& 1999& 2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006\\ \hline $n$& $0$& $1$&&&&&&&\\ \hline $x_{n} = u_{n}$&\nombre{1000}&\nombre{1030}&&&&&&&\\ \hline $y_{n} = u_{n+1}$&\nombre{1030}& \nombre{1056}&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item En déterminant avec une calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés, donner deux réels $m$ et $p$ qui modélisent la relation entre $u_{,,1n+1}$ et $u_{n}$ sous la forme $u_{n+1} = mu_{n} +p$.\\ (On arrondira $m$ \`a la cinquième décimale, et $p$ à la deuxième décimale.) \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ et l'interpréter. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B}\\ On étudie alors la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par : $u_{n+1} = 0,88u_{n} + 150$, avec $u_{0} = \nombre{1000}$, chaque terme $u_{n}$ étant une bonne approximation du nombre de clients de la société JURABOIS pour l'année $(1998+n)$. \begin{enumerate} \item On pose, pour tout entier $n : v_{n} = u_{n} - \nombre{1250}$. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. Donner sa raison et son premier terme $v_{0}$. \item En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. \item Montrer que : $u_{n} = \nombre{1250} - 250 \times 0,88^n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie C}\\ \begin{enumerate} \item En se référant au préambule de l'exercice et en utilisant la formule :\\ $u_{n+1} = 0,88u_{n} + 150$, donner une estimation du nombre de nouveaux clients gagnés chaque année et une estimation du pourcentage de clients perdus d'une année \`a l'autre. \item À partir de quelle année peut-on prévoir que le nombre dc clients dépassera \nombre{1200} ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}\\ La société JURABOIS exploite des coupes constituées exclusivement de feuillus et de résineux. Elle désire simplifier le règlement que ses salariés doivent appliquer pour la coupe du bois. Actuellement le règlement dit qu'un arbre est à abattre dans les quatre cas suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si c'est un résineux au tronc droit mesurant plus de 20 ~m de hauteur ; \item[$\bullet~$] si c'est un feuillu de 50~ans ou plus; \item[$\bullet~$] s'il a moins de 50~ans et mesure plus de 20~m de hauteur ; \item[$\bullet~$] s'il est tordu. \end{itemize} Pour un arbre quelconque, on définit les variables booléennes suivantes par :\\ \begin{itemize} \item[] $a = 1$ si l'arbre est un résineux ; \item[] $b = 1$ si l'arbre a moins de 50~ans ; \item[] $c = 1$ si l'arbre mesure plus de 20~m de hauteur ; \item[] $d = 1$ si l'arbre est tordu. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Écrire la fonction booléenne $f(a,~ b,~ c,~ d)$, qui traduit le règlement actuel d'abattage d'un arbre.\\ Grâce \`a une bonne gestion des for\^ets que la société exploite, il n'y a maintenant plus d'arbres tordus. \item Montrer que le nouveau règlement d'abattage se traduit par la fonction : \[g(a,~b,~c) = ac + \overline{a}\overline{b} +bc.\] \item Donner le tableau de Karnaugh de cette fonction. \item Simplifier au maximum cette fonction à l'aide du tableau de Karnaugh. \item Écrire la nouvelle régie d'abattage d'un arbre sous la forme la plus simple possible. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}\\ \medskip \noindent \textbf{Partie A}\\ \emph{Les probabilités demandées seront arrondies à la quatrième décimale.} \begin{enumerate} \item Les sapins vendus par la société JURAROIS peuvent présenter deux défauts invisibles avant l'abattage, l'un dû à une attaque par un insecte, l'autre dû à la présence d'un champignon. Les deux défauts sont indépendants l'un de l'autre. Pour un sapin choisi au hasard, on note : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $I$ l'évènement: « le sapin présente le défaut dû à l'insecte » ; \item[$\bullet~$] $C$ l'évènement : « le sapin présente le défaut dû au champignon ; \item[$\bullet~$] $D$ l'évènement: « le sapin présente au moins un défaut ». \end{itemize} Une étude a montré que la probabilité des évènements $I$ et $C$ sont respectivement $P(I) = \nombre{0,0358}$ et $P(C)= \nombre{0,0249}$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(I \cap C)$. \item En déduire $P(D)$. \end{enumerate} On admet que la probabilité $p$ qu'un tronc de sapin présente au moins un défaut est égale à : $p = 0,06$ et que les différents troncs peuvent présenter ou non au moins un défaut de façon indépendante. Les clients de la société achètent les troncs de sapins par lots de $n$ troncs. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de $n$ troncs, associe le nombre de troncs présentant au moins un défaut. \item Pour la « Scierie bisontine », on a : $n = 50$. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Y$ ? Justifier la réponse. \item Calculer $P(Y = 6)$. \item On admet que l'on peut approcher la loi de $Y$ par une loi de Poisson. Quel est le paramètre de cette loi ? \item M. Landry, directeur de la Scierie bisontine affirme qu'il a plus de 90\:\% de chances d'avoir au maximum 5~troncs défectueux dans un lot donné. A-t-il raison ? Pourquoi ? \end{enumerate} \item Le « Groupement des Scieries Vaudoises » achète ses troncs de sapins par lot de 450~sapins.\\ On décide d'approcher la variable $Y$ par une variable $Z$ qui suit la loi normale d'espérance $27$ et d'écart-type $5$. \begin{enumerate} \item Justifier le choix dc ces paramètres, \item Utiliser cette approximation pour calculer $P(Y \leqslant 24)$, c'est-à-dire calculer : $P(Z \leqslant 24,5)$. \item De même, donner une approximation de $P(25 \leqslant Y \leqslant 31)$, en calculant $P(24,5 \leqslant Z \leqslant 31,5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie B}\\ Le PDG de JURABOIS entreprend une étude sur le prix du mètre cube de sapin au cours du temps.\\ Il établit que, si $t$ est le temps écoulé, en mois, depuis le 1\up{er} janvier 2005, $p(t)$ s'exprime, en euros, par : \[p(t) = 41 + 0,2t+1,6 \text{e}^{ - 0,125t+2,5}.\] La courbe représentative de la fonction $p$ est donnée dans la feuille annexe. \begin{enumerate} \item Compléter sur la feuille annexe, le tableau reproduit ci-dessous en arrondissant à la deuxième décimale.\\ \medskip \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline dates&\scriptsize 01.01.2005&\scriptsize 01.07.2005& \scriptsize 01.01.2006&\scriptsize 01.07.2006&\scriptsize 01.01.2007&&\scriptsize 01.01.2009&\scriptsize 01.01.2011\\ \hline $t$& 0& 6& 12& 18& 24 & 36&&\\ \hline $p(t)$&60,49&& 47,75& &&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calculer la dérivée $p'(t)$, vérifier que $p'(t)$ est du signe de $1- \text{e}^{- 0,125t+2,5}$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $p$ sur l'intervalle [0 ; 72]. \item Déterminer par lecture graphique la date (année-mois) à partir de laquelle le prix du mètre cube de sapin dépassera à nouveau 50~\euro.\\ (On fera apparaître les traits de constructions sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.) \item Déterminer une primitive de la fonction $p$ sur l'intervalle [0 ; 72].\\ En déduire une valeur, arrondie au centime d'euro près, du prix moyen du mètre cube de sapin pendant les années 2005-2007, en calculant l'intégrale: \[I = \dfrac{1}{36}\int_{0}^{36} p(t)\:\text{d}t.\] \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Feuille annexe \`a compléter et \`a rendre avec la copie} \end{center} \noindent \textbf{EXERCICE \No 1 Partie A 1}\\ \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année& 1998& 1999& 2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006\\ \hline $n$& $0$& $1$&&&&&&&\\ \hline $x_{n} = u_{n}$&\nombre{1000}&\nombre{1030}&&&&&&&\\ \hline $y_{n} = u_{n+1}$&\nombre{1030}& \nombre{1056}&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \noindent \textbf{EXERCICE \No 3 Partie B 1}\\ \noindent \begin{tabularx}{1.05\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Dates&\footnotesize 01.01.2005&\footnotesize 01.07.2005& \footnotesize 01.012006&\footnotesize 01.07.2006&\footnotesize 01.01.2007&&\footnotesize 01.01.2009&\footnotesize 01.01.2011\\ \hline $t$& $0$& $6$& $12$&$18$&$24$&$36$&&\\ \hline $p(t)$& $60,49$&& $47,75$&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \noindent \textbf{Partie B 3}\\ \noindent La courbe suivante est la repr\'esentation graphique de la fonction $t \longmapsto p(t)$ sur l'intervalle [0 ; 72].\\ \begin{center} \psset{xunit=0.15cm,yunit=0.4cm} \begin{pspicture}(-5,35)(80,65) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5,Oy=40]{->}(0,40)(-5,35)(80,65) \multido{\n=0+10}{9}{\psline[linestyle=dotted](\n,40)(\n,65)} \multido{\n=40+5}{6}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(80,\n)} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{0}{72}{1.6 2.71828 2.5 x 0.125 mul sub exp mul 0.2 x mul add 41 add} \uput[dr](0,39.5){0} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2008 %%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polyn\'esie 2008 %%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2008}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur\\ Polynésie session 2008 - Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Sur un parking d'hôpital, les stationnements ne sont autorisés que dans les cas suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] en semaine, hors des places réservées, pour le personnel ; \item[$\bullet~$] en semaine, moins d'une heure, hors des places réservées, pour les visiteurs ; \item[$\bullet~$] le dimanche, sur les places réservées, pour le personnel ; \item[$\bullet~$] le dimanche, sans condition de durée, hors des places réservées. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On définit les variables \emph{booléennes} $p,~ d,~ h,~ r$, et $a$, définies pour tout individu $x$ par les conditions : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[] $p=1$ si $x$ est un membre du personnel ; \item[] $d=1$ si $x$ veut stationner un dimanche ; \item[] $h=1$ si $x$ veut stationner moins d'une heure; \item[] $r = 1$ si $x$ veut stationner sur une place réservée ; \item[] $a= 1$ si $x$ a l'autorisation de stationner. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Quels sont les individus pour lesquels $\overline{p}dh = 1$ ? \item Par quel booléen peut-on remplacer la phrase \og un membre du personnel désire stationner toute la journée sur une place réservée \fg ? \item Écrire $a$ en fonction de $p,~ d,~ h$ et $r$, sous forme d'une somme de quatre termes. \end{enumerate} \item Dans cette question, on s'intéresse seulement aux visiteurs. \begin{enumerate} \item Quelle valeur prend alors le booléen $p$ ? Montrer que, dans ce cas \\$a = d\overline{r}+ \overline{d}h\overline{r}$. \item À l'aide d'une table de Kamaugh, simplifier $a$ sous forme d'une somme de 2 termes chaque terme étant un produit de 2 facteurs. \item Un visiteur désire passer deux heures avec sa femme hospitalisée un mercredi après-midi. Peut-il se garer sur le parking de l'hôpital ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Dans cette question, on s'intéresse seulement aux membres du personnel. \begin{enumerate} \item Montrer, par un calcul détaillé, que $a = d + \overline{r}$. \item En déduire une expression de $\overline{a}$. \item Donner le règlement s'appliquant aux membres du personnel sous forme d'une interdiction. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} Les parties A, B, C sont indépendantes. \medskip Les probabilités demandées seront arrondies au millième. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Les robots de cuisine \og Cook \fg sont fabriqués dans deux usines, une à Albi, l'autre à Bordeaux. 60\,\% d'entre eux viennent d'Albi, et 1,7\,\% de ceux-ci sont défectueux.\\ Le reste est fabriqué à Bordeaux et 5\,\% de la production bordelaise est défectueuse. \medskip On notera $A$ l'évènement: \og le robot vient d'Albi \fg. On notera $B$ l'évènement : \og le robot vient de Bordeaux \fg. On notera $D$ l'évènement : \og le robot est défectueux \fg. \medskip On pourra s'aider d'un tableau à double entrée ou d'un arbre, pour répondre aux questions suivants : \begin{enumerate} \item Un client reçoit un robot. Calculer la probabilité qu'il soit défectueux. \item Le robot reçu est défectueux. Calculer la probabilité qu'il vienne de Bordeaux. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B}\\ On note $C$ la variable aléatoire égale au co\^ut de réparation d'un robot défectueux, exprimé, en euros. On admet que $C$ suit la loi normale $\mathcal{N}(60~;~ 10)$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(C > 54)$. \item Déterminer le réel $h$ tel que $P(60 - h \leqslant C \leqslant 60+h) = 0,85$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Pour la fête des mères, un commerçant a commandé un lot de 100~robots. On admet que chaque robot a une probabilité $0,03$ d'être défectueux, et que les états des robots sont indépendants les uns des autres. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 100~robots, associe le nombre de robots défectueux dans ce lot. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier. \item Calculer la probabilité $P(2 \leqslant X < 5)$. \item On approche la loi de $X$ par une loi de Poisson $Y$ de paramètre $\lambda = 3$. \begin{enumerate} \item Justifier la valeur choisie pour $\lambda$. \item Calculer $P(2 \leqslant Y <5)$. \item Calculer $P(Y \geqslant 5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip La chaîne d'hypermarchés CARCHAN commercialise des VTT. On a relevé le nombre $\left(y_{i}\right)$ de VTT vendus en un mois, selon le prix proposé ($x_{i}$ en euros). Les données sont fournies dans le tableau suivant :\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$&90 &120 &150 &180&210 &240 & 270 &300 \\ \hline $y_{i}$&319 & 258 &203 &164&133 &105 &83 & 69\\ \hline \end{tabularx} \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points de la série $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$. Un ajustement linéaire ne semblant pas judicieux, on se propose alors d'effectuer un ajustement linéaire pour la série $\left(x~; ~z_{i}\right)$ où $z_{i} = \ln y_{i}$. \item Dans le tableau suivant, compléter les valeurs de $z_{i}$ arrondies au centième. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$&90 &120 &150 &180&210 &240 & 270 &300 \\ \hline $z_{i}$&5,77 & & && & & &\\ \hline \end{tabularx} \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de cette série, ainsi qu'une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = mx+p$.\\ Les réels $r,~m,~ p$ seront arrondis au dix-millième. \item En déduire qu'on peut estimer le nombre $y$ de VTT vendus en un mois en fonction du prix $x$ proposé par une formule du type : $y = a\text{e}^{bx}$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on déterminera ($a$ sera arrondi à l'unité, et $b$ au dix-millième). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip La société CARCHAN decide de ne commercialiser qu'un seul type de VTT. On admet que le nombre $y$ de VTT vendus en un mois dans les hypermarchés de la société est donné par la formule : \[y = f(x) = 621\text{e}^{- \frac{x}{135}}\] où $x$, réel positif, est le prix de vente (en euros) d'un VTT. \begin{enumerate} \item La société décide de ne pas commercialiser de VTT dont le prix trop élevé entraînerait un nombre mensuel de ventes inférieur à 30. Calculer, à un euro près, le prix de vente unitaire à ne pas dépasser pour qu'il en soit ainsi. \item Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par : \[ g(x) = x f(x) = 621 x\text{e}^{- \frac{x}{135}}.\] \begin{enumerate} \item Que représente $g(x)$ du point de vue économique ? \item Montrer que $g'(x) = 4,6\text{e}^{- \frac{x}{135}}(135 - x)$. \item Étudier les variations et dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$.(On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 0$). \end{enumerate} \item La courbe représentative de la fonction g est donnée ci-après. \medskip \psset{xunit=0.0175cm,yunit=0.000386cm} \begin{center} \begin{pspicture}(600,35000) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=40000](0,0)(600,35000) \multido{\n=0+50}{13}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,35000)} \multido{\n=0+5000}{8}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(600,\n)\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{600}{621 x mul 2.71828 x 135 div exp div} \uput[u](135,30841.2){$M$} \psline{<->}(60,30841.2)(210,30841.2) \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'inéquation $g(x) \geqslant \nombre{15000}$. \item Préciser, à l'aide de la question 2, les coordonnées du point $M$ arrondies à l'entier le plus proche. \item Interpréter les coordonnées précédentes. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polyn\'esie 2008 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Cal\'edonie 2008 %%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NC2008}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ novembre 2008 - Informatique de gestion\\ Nouvelle--Calédonie}} \vspace{0,5cm} ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} On considère les matrices : \[I = \begin{pmatrix} 1& 0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix},~A = \begin{pmatrix} 0& 1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}~\text{et}~O = \begin{pmatrix} 0& 0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\] \begin{enumerate} \item Calculer $A^2$ et $A^3$ ; en déduire pour tout entier $n > 3$, la valeur de $A^n$. (On rappelle que pour tout entier naturel $ k \geqslant 1,~ A^k = A^{k - 1} \times A$. \item À tout nombre réel $x$, on associe la matrice notée $M(x)$ où $M(x) = 1 +xA + \dfrac{x^2}{2}A^2 \quad (R1).$ \begin{enumerate} \item Déterminer $M(0)$ et $B = M(4)$. \item $x$ et $y$ étant deux nombres réels quelconques, calculer en utilisant la relation $(R1)$, le produit $M(x) \times M(y)$. \item Montrer l'égalité : $M(x) \times M(y) = M(x+ y). \quad (R2)$. \end{enumerate} \item Vérifier que $M(x) = \begin{pmatrix} 1&x&\frac{x^2}{2}\\ 0 &1&x\\ 0& 0&1\\ \end{pmatrix}$. \item En utilisant les résultats de la question 2., déterminer le nombre réel $x'$ tel que $M(x) \times M\left(x'\right) = 1$. En déduire une matrice $B'$ telle que $B \times B' = I$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} Un commerçant dispose d'un stock de plantes. Chacune des plantes produit une fleur par an, la fleur est rose ou blanche. Pour chaque plante, la première année, la probabilité de donner une fleur rose est $\dfrac{3}{4}$ et la probabilité de donner une fleur blanche est $\dfrac{1}{4}$. Au cours des années ultérieures, la floraison obéit aux règles suivantes définies pour tout entier naturel $n$ non nul : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si l'année $n$ la plante a donné une fleur rose, alors l'année $n + 1$ elle donnera une fleur rose ; \item[$\bullet~$] si l'année $n$ la plante a donné une fleur blanche alors, elle donnera, l'année $n + 1$, de façon équiprobable, une fleur rose ou une fleur blanche. \end{itemize} \medskip \textbf{Partie A} \medskip $n$ désigne un entier naturel non nul. Pour une plante donnée, $R_{n}$ désigne l'évènement : « la plante donne une fleur rose la $n\up{e}$ année ». \begin{enumerate} \item On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $R_{n}$ ; on a donc $P\left(R_{1}\right) = p_{1} = \dfrac{3}{4}$. À l'aide des données de l'énoncé, déterminer la probabilité $p\left(R_{2}\right)$ d'obtenir une fleur rose la seconde année. (On pourra éventuellement s'aider d'un arbre pondéré). \item On admet que la suite $\left(p_{n}\right)_{n\geqslant 1}$ vérifie la relation de récurrence $p_{n+1} = \dfrac{1}{2} p_{n} + \dfrac{1}{2}$. Soit $\left(q_{n}\right)_{n\geqslant 1}$ la suite définie pour tout entier naturel non nul $n$, par : $q_{n} = p_{n} - 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(q_{n}\right)_{n\geqslant 1}$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ ; calculer $q_{1}$. \item Déterminer $q_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire $p_{n}$ en fonction de $n$ ; donner la valeur de $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{n}$. \end{enumerate} \item Quelle est la probabilité que la plante ne donne que des fleurs roses pendant les $n$ premières années? \end{enumerate} \medskip Partie B \medskip Les plantes sont vendues par lots de \nombre{10000}. Pour un lot donné de \nombre{10000} plantes, on désigne par $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de plantes qui donneront la première année une fleur rose. On suppose que les plantes fleurissent indépendamment les unes des autres. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ainsi que les valeurs exactes de son espérance mathématique $E(X)$ et de son écart type $\sigma(X)$. \item On décide d'approcher la loi de $X$ par la loi normale $\mathcal{N}(m,~\sigma)$ avec $m = \nombre{7500}$ et $\sigma = 25\sqrt{3}$. Sans tenir compte de la correction de continuité, utiliser cette approximation pour donner, arrondie au centième, la probabilité de l'évènement : « $\nombre{7450} \leqslant X \leqslant \nombre{7550}$ ». \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 3 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel positif $x$ par : \[f(x) = x^3 +4x^2 + 6x - 1. \] \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. \item Déterminer $f(0),~f\left(\dfrac{1}{2}\right),~ f(1)$ ainsi que la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers en $+ \infty$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ et que $0 \leqslant \alpha \leqslant \dfrac{1}{2}$. \item Démontrer que $0,15 \leqslant \alpha \leqslant 0,151.$ \end{enumerate} \item Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant \`a l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Développer, réduire et ordonner $\left(1 + X\right)^4$. \item Dans toute la suite, $r$ désigne un taux d'intérêt annuel. Ainsi, $r = 0,05$ correspond au taux de 5\:\%. Pour un placement à intérêt composé, on sait alors que la valeur acquise $S_{4}$ d'un capital $S$ au bout de quatre années est donnée par : $S_{4} = S(1 + r)^4$. On étudie un deuxième type de placement de la somme $S$ sur une durée de 4 années, dans les conditions suivantes : la somme $S$ est rémunérée au taux $\dfrac{r}{2}$ pendant la 1\up{re} année, au taux $r$ pendant la 2\up{e} année, au taux $\dfrac{3r}{2}$ pendant la 3\up{e} année, au taux $2r$ pendant la 4\up{e} année, mais les intérêts ne sont pas composés, de sorte qu'on totalise à l'issue des quatre années de placement : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] la somme initiale $S$ ; \item[$\bullet~$]les intérêts de la 1\up{e} année, dont le montant est $\dfrac{r}{2}S$ ; \item[$\bullet~$] les intérêts de la 2\up{e} année, dont le montant est $rS$ ; \item[$\bullet~$] les intérêts de la 3\up{e} année, dont le montant est $\dfrac{3r}{2}S$ ; \item[$\bullet~$] les intérêts de la 4\up{e} année, dont le montant est $2rS$ . \end{itemize} \begin{enumerate} \item Quelle somme $T_{4}$ obtient-on ainsi \`a la fin des quatre années de placement ? \item Montrer que la différence $S_{4} -T_{4}$, s'exprime par : $S_{4} - T_{4} = Sr \times f(r)$, où $f$ est la fonction du A. \item Déterminer, en utilisant la partie A, les valeurs de $r$ pour lesquelles le deuxième placement est préférable, sur quatre ans, au placement à intérêt composé au taux d'intérêt $r$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle--Cal\'edonie 2008 %%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2009}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{mai 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2009 - Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} La société \emph{K-Gaz} décide de recruter en interne des collaborateurs pour sa filiale en Extrême-Orient. \medskip Pour chaque employé, on définit les variables booléennes suivantes : $a = 1$ s'il a plus de cinq ans d'ancienneté dans l'entreprise ; $b = 1$ s'il possède un B.T.S. informatique de gestion (BTS-lG) ; $c = 1$ s'il parle couramment l'anglais. \medskip La direction des ressources humaines décide que pourront postuler les employés : qui satisfont aux trois conditions, ou qui ont moins de 5 ans d'ancienneté mais qui maîtrisent l'anglais, ou qui ne maîtrisent pas l'anglais mais qui possèdent un BTS-IO. \begin{enumerate} \item Écrire une expression booléenne $E$ traduisant les critères de la direction. \item Représenter l'expression $E$ par un tableau de Kamaugh. \item À l'aide du tableau de Karnaugh, donner une expression simplifiée de $E$. \item Retrouver ce résultat par le calcul. \item Déduire des questions 3 ou 4 une version simplifiée des critères de la direction. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \textbf{Tous les résultats seront arrondis à la quatrième décimale.} La société \emph{K-Gaz} produit des bonbonnes de gaz de volume utile 44 dm$^3$. \bigskip \textbf{Partie A} On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bonbonne tirée au hasard dans la production, associe sa contenance en dm$^3$. On admet que la variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(44~;~ 0,2)$ de moyenne $m = 44$~dm$^3$ et d'écart-type $\sigma = 0,2$~dm$^3$. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que la contenance d'une bonbonne choisie au hasard soit inférieure à 44,3~dm$^3$ ? \item Quelle est la probabilité que la contenance d'une bonbonne choisie au hasard soit comprise entre 43,8~dm$^3$ et 44,3~dm$^3$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} Dans cette partie. on admet que 5\:\% des bonbonnes n'ont pas la contenance nécessaire, et sont donc jugées non conformes. Les grossistes achètent les bonbonnes par lots de 10. \begin{enumerate} \item La production est suffisamment importante pour que l'on assimile le prélèvement au hasard de 10~bonbonnes à un tirage avec remise. Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 10~bonbonnes, associe le nombre de bonbonnes non conformes. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10~;~ 0,05)$. \item Quelle est la probabilité que, dans un lot de 10, il n'y ait aucune bonbonne non conforme ? \item Quelle est la probabilité que, dans un lot de 10, il y ait au plus deux bonbonnes non conformes ? \end{enumerate} \item Une association de consommateurs achète 10~lots (donc 100ñ bonbonnes) pour contrôler leur contenance. Elle affirme qu'il ya plus d'une chance sur deux que, parmi ces cent bonbonnes, il y ait au moins cinq bonbonnes non conformes. Soit $Y'$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 100~bonbonnes prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de bonbonnes non conformes. On admet que $Y'$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(100~;~ 0,05)$. \begin{enumerate} \item Quelle est l'espérance mathématique $E(Y')$ et l'écart-type $\sigma_{Y'}$ de la variable $Y'$ ? \item La loi de probabilité de $Y'$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On notera $Z$ la variable aléatoire suivant cette loi de Poisson. Déterminer la valeur de $\lambda$. \item Calculer à l'aide de cette loi de Poisson la probabilité $P(Z \leqslant 4)$ avec la précision permise par la table. L'affirmation de l'association de consommateurs est-elle fondée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} Pour parer toute critique, la société \emph{K-Gaz} décide de procéder à un contrôle de conformité. Toute bonbonne non conforme sera rejetée. On admet toujours que 5\:\% des bonbonnes sont non conformes. Si la bonbonne est non conforme, elle sera rejetée avec une probabilité de 0,92. Si la bonbonne est conforme, elle sera acceptée avec une probabilité de 0,96. On note : $C$ l' évènement : « la bonbonne est conforme » ; $\overline{C}$ l'évènement : « la bonbonne est non conforme » ; $A$ l'évènement : « la bonbonne est acceptée à l'issue du contrôle » ; $\overline{A}$ l'évènement : « la bonbonne est rejetée à l'issue du contrôle ». \begin{enumerate} \item En utilisant les informations de l'énoncé, déterminer les probabilités $P(C),~ P\left(\overline{C}\right),~ P_{C}(A)$ et $P_{\overline{C}}\left(\overline{A}\right)$. \medskip Dans la suite, on pourra s'aider d'un arbre. \item Calculer la probabilité de l'évènement : « la bonbonne est conforme et acceptée ». \item Calculer la probabilité de l'évènement : « la bonbonne est acceptée » \item Sachant que la bonbonne est rejetée, quelle la probabilité qu'elle soif non conforme ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 8 points} L'entreprise \emph{K-Gaz} fabrique et commercialise également un produit chimique. Pour des raisons pratiques, sa production mensuelle ne peut pas excéder 10 tonnes. \medskip Partie A - Étude du coût total de production. \medskip \begin{enumerate} \item L'entreprise \emph{K-Gaz} a relevé le coût total de production mensuel (en k\euro), noté $y$, en fonction de la production $x$ (en tonnes). Le nuage de points correspondant figure en annexe. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&1 &2 &4 &6 &8 &10 \\ \hline $y$&32,5 &38,5& 44,6& 48,4 &51,1 &53,3 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Le nuage ne semblant pas totalement se prêter à un ajustement affine on décide de poser: $z = \text{e}^{0,1y}$. Compléter sur la feuille annexe le tableau reproduit ci-dessous en arrondissant les valeurs de $z$ au centième. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&1 &2 &4 &6 &8 &10 \\ \hline $z$&25,79 &46,99& & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à la première décimale). \item Expliquer pourquoi cet ajustement semble justifié. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Utiliser le résultat de la question \textbf{1. b.} pour obtenir une expression de $y$ en fonction de $x$. \item En utilisant cette équation, estimer le coût total correspondant à une production de 7~tonnes. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B - Étude de la recette et du bénéfice} \medskip L'entreprise \emph{K-Gaz} vend chaque tonne de ce produit chimique au prix de 8~k\euro. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On désigne par $R(x)$ la recette en k\euro{} correspondant à $x$ tonnes vendues. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$. \item Représenter graphiquement cette fonction dans le repère en annexe. \item On admet que le coût en k\euro, noté $C(x)$, correspondant à une production de $x$ tonnes, est donné par l'expression: $Cx) = 10\ln (20x + 6,4)$. Expliquer pourquoi le bénéfice mensuel de l'entreprise (en k\euro), noté $B(x)$, correspondant à $x$ tonnes produites et vendues, est donné par la relation: $B( x) = 8x - 10 \ln (20x + 6,4)$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $B$ définie sur [0~;~10] par l'expression : $B(x) = 8x-10\ln (20x + 6,4)$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10] on a : $B'(x) = \dfrac{160x-148,8}{20x+6,4}$. \item Étudier le signe de $B'(x)$ sur cet intervalle et dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. \item Justifier que l'équation $B(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~10]. À l'aide de la calculatrice. donner la valeur arrondie au centième par excès de $\alpha$. \item À partir de quelle quantité produite l'entreprise \emph{K-gaz} réalisera un bénéfice (positif) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Feuille annexe} \medskip \psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(11,55) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(11,55) \multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,54)} \multido{\n=0+2}{28}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(11,\n)} \psdots[dotstyle=*](1,32.5)(2,38.5)(4,44.6)(6,48.4)(8,51.1)(10,53.3) \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&1 &2 &4 &6 &8 &10 \\ \hline $z$&25,79&46,99&&&& \\ \hline \end{tabularx} \begin{center} \vspace{2cm} \textbf{Représentation graphique de } \boldmath $R(x)$ \unboldmath \bigskip \psset{xunit=1cm,yunit=0.12cm} \begin{pspicture}(11,85) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(11,85) \multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,84)} \multido{\n=0+2}{42}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(11,\n)} \uput[d](11,0){$x$} \uput[l](0,85){$R(x)$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2009 %%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polyn\'esie 2009 %%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2009}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion Polynésie }} \rfoot{\small{mai 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Polynésie session 2009 - Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 7 points} \medskip Une entreprise fabrique et conditionne des steaks hachés. Deux indications figurent sur les emballages. La première est : \og Poids net à l'emballage : 125 grammes \fg{} et la deuxième : \og Maximum 5\:\% de matières grasses \fg. \begin{enumerate} \item On suppose que la variable aléatoire $X$ qui, à tout steak pris au hasard dans la production, associe son poids en grammes suit une loi normale de moyenne 135 et d'écart-type 15. Les poids des différents steaks sont indépendants les uns des autres. Sur la chaîne d'emballage un steak est jugé de \og poids non conforme \fg{} si son poids est inférieur à 120 grammes et, dans ce cas, il est reconditionné. \begin{enumerate} \item Montrer, en détaillant les calculs, que la probabilité qu'un steak soit de \og poids non conforme \fg{} arrondie à la quatrième décimale, est égale à \nombre{0,1587}. \item Les steaks sont vendus par boîtes de deux et les deux steaks d'une boîte sont choisis au hasard et de façon indépendante dans la production. On choisit une boîte au hasard. Calculer la probabilité des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $A$ : \og la boîte contient deux steaks de poids non conforme \fg{}; \item $B$ : \og la boîte contient au moins un steak de poids non conforme \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item L'entreprise conditionne deux tonnes de viande par jour, soit \nombre{16000}~steaks. On note $Y$ la variable aléatoire qui à chaque jour, associe le nombre de steaks de \og poids non conforme \fg. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité de la variable $Y$ ? Donner ses paramètres puis calculer son espérance, arrondie au dixième, et son écart-type arrondi au millième. \item On approxime la variable $Y$ par une variable $Z$ qui suit une loi normale de paramètres $m = \nombre{2539}$ et $\sigma = 46.$ En utilisant cette approximation, calculer la probabilité que $Y$ soit compris entre \nombre{2500} et \nombre{2600}, c'est-à-dire le nombre $P(\nombre{2499,5} \leqslant Z \leqslant \nombre{2600,5})$. \end{enumerate} \item On constate que 1\:\% du stock ne présente pas le taux de matières grasses annoncé. On prélève un échantillon de 50~steaks au hasard dans la production. On assimilera ces prélèvements à 50~tirages aléatoires indépendants avec remise. On note $L$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50~steaks ainsi choisis, associe le nombre de steaks dont le taux de matières grasses est non conforme. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $L$ ? Justifier la réponse et donner les paramètres de cette loi. \item On approche la variable $L$ par une variable aléatoire $M$ qui suit la loi de Poisson de paramètre 0,5. En utilisant cette approximation, calculer, avec la précision permise par la table, la probabilité que le nombre de steaks dont le taux de· matières grassès est non conforme ne dépasse pas 2. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} Une entreprise utilise de l'acier comme matière première. Afin d'optimiser ses co\^uts et d'optimiser l'influence de trop fortes variations des cours de l'acier, elle décide de passer des commandes à ses fournisseurs à long terme. Le tableau suivant récapitule les consommations $y_{i}$, exprimées en milliers de tonnes, pour les 10 dernières années ($i$ est compris entre 1 et 10). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $i$& 1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline Rang $x_{i}$ &1 &2 &3&4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ \hline Consommation $y_{i}$& 0,9 &1,03 &1,20 &1,39 &1,61 &1,87 &2,21 &2,40 &2,73 &3,37\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. \item Déterminer le coefficient de conélation linéaire $_{y}$, arrondi au millième, de cette série. \item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. (Arrondir les coefficients à la quatrième décimale.) \item En utilisant cet ajustement affine, quelle consommation. exprimée en milliers de tonnes, peut-on prévoir en 2013 et en 2018 ? \end{enumerate} \bigskip On étudie dans cette partie la série double $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ où $x_{i}$ et $y_{i}$ sont les valeurs du tableau précédent, et $z_{i} = \ln y_{i}$. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter ie tableau suivant, en arrondissant les résultats au millième : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.5cm}|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang $x_{i}$&1&2 &3 &4 &5 &6 &7 &8&9&10\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$&$-0,105$&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Laquelle des deux séries, $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ ou $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ relève le mieux d'un ajustement affine ? Justifier la réponse. \item On prendra pour équation de la droite de régression de $z$ en $x$ l'équation : $z = 0,14x - 0,25$. On rappelle que $z = \ln y$. Déduire de celte équation une expression de $y$ de la forme : $y = B\text{e}^{Ax}$, où $A$ et $B$ sont des constantes que l'on déterminera et que l'on arrondira au centième. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On considère que la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par : \[f(x) = 0,78\text{e}^{0,14x},\] est un modèle satisfaisant pour estimer la consommation d'acier de l'entreprise jusqu'en 2018. \begin{enumerate} \item Calculer la fonction dérivée de $f$. Étudier son signe, et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. \item À partir de ce modèle, quelle consommation peut-on prévoir pour les années 2013 et 2018 ? Comparer avec les résultats obtenus dans la partie A. \item Vérifier que la fonction numérique $F$ définie par : $F(x) = \dfrac{39}{7}\text{e}^{0,14x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. \item En utilisant ce modèle, calculer à l'aide de la fonction $F$, la consommation annuelle moyenne d'acier que l'on peut prévoir pour la période $[2008 ~;~ 2018]$ (en milliers de tonnes), \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip Le responsable du rayon primeurs d'un supermarché décide de réaliser une enquête sur les critères de choix des clients concernant l'achat des bananes. Il retient trois critères, associés à trois variables booléennes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[] $a$ : bananes vertes ($\overline{a}$ : bananes \og tigrées \fg) ; \item[] $b$ : bananes de gros calibre ($\overline{b}$: bananes de petit calibre) ; \item[] $c$ : bananes \og bio \fg{} provenant du commerce équitable ($\overline{c}$ : bananes bon marché). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Après dépouillement d'un questionnaire, il apparaît que les clients achètent des bananes: \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item si elles proviennent du commerce équitable et sont vertes ; \item ou si elles sont de gros calibre et tigrées ; \item ou si elles sont vertes et bon marché. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Traduire par une expression booléenne $E$ des trois variables $a,~ b,~ c$ l'ensemble des critères d'achat. \item \begin{enumerate} \item Dresser un tableau de Karnaugh de l'expression $E$ puis en donner une expression simplifiée. \item Traduire par une phrase cette expression simplifiée. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer à l'aide du calcul booléen que $E = a+b$. \item En déduire une expression de $E$, et traduire cette expression par une phrase. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polyn\'esie 2009 %%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2010 %%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2010}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole \\ session 2010 - Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Dans le lycée DUJARDIN, les classes de BTS informatique de gestion disposent de 4 salles spécialisées $A, B, C, D$. Trois portes, permettant le passage dans les deux sens, relient les salles A et B, les salles A et C et les salles B et D. \begin{enumerate} \item Dessiner une représentation du graphe $G$ orienté associé au passage d'une salle à l'autre. \item Justifier que la matrice d'adjacence $M$ du graphe $G$ est : $M = \begin{pmatrix} 0&1&1&0\\ 1&0&0&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ \end{pmatrix}$ \item Calculer la matrice $M^2$ et justifier qu'il existe 6 circuits de longueur 2. \item On donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix} 0& 3& 2& 0\\ 3& 0& 0& 2\\ 2& 0& 0& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ \end{pmatrix}$ \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de chemins de longueur 3. \item Donner la liste des chemins de longueur 3 ayant pour origine $A$ et pour extrémité $B$. \item Le graphe admet-il des circuits de longueur 3 ? Justifier la réponse donnée. \end{enumerate} \item Matrices et opérations booléennes. \begin{enumerate} \item Écrire les deux matrices booléennes $M^{[2]}$ et $M^{[3]}$. \item Calculer la somme $M \oplus M^{[2]} \oplus M^{[3]}$ où $\oplus$ désigne l'addition booléenne des matrices et en déduire la matrice $\hat{M}$ de la fermeture transitive du graphe $G$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points} \medskip \emph{Les deux parties sont indépendantes. Tous les résultats des calculs seront arrondis au millième.} \textbf{Première partie} \medskip Au cours de l'année scolaire 2008--2009, une enquête a été réalisée auprès des \nombre{3000}~élèves du lycée DUJARDIN, afin de savoir s'ils utilisent regulièrement l'outil informatique pour leurs études. On a obtenu les résultats suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 25\:\% des élèves du Jycee sont inscrits en \og post-bac \fg{} et parmi ces éleves, 50\:\% d'entre eux déclarent utiliser quotidiennement l'ordinateur. \item[$\bullet~$] 10\:\% des élèves inscrits en \og pré-bac \fg{} dans ce lycée déclarent utiliser quotidiennement un ordinateur. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On interroge au hasard un élève du lycée et on définit les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A$ : \og l'élève est inscrit en \og post bac \fg{}\fg. \item[$\bullet~$] $I$ : \og l'élève utilise quotidiennement un ordinateur\fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Donner les probabilites $p(A),~p\left(\overline{A}\right),~p_{A}(I),~ p_{\overline{A}}(I)$. \item Calculer la probabilité des évènements suivants : \begin{enumerate} \item l'élève est un étudiant post-hac et utilise quotidiennement un ordinateur pour ses études ; \item l'élève utilise quotidiennement un ordinateur pour ses études ; \item l'élève est un étudiant post-bac ou utilise quotidiennement un ordinateur pour ses études ; \item l'élève est un étudiant post-bac sachant qu'il utilise quotidiennement un ordinateur pour ses études. \end{enumerate} \emph{On pourra s'aider d'un arbre pondéré ou d'un tableau à double entrée} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip L'enquête a montré que 50\:\% des élèves inscrits \og en post-bac \fg{} au lycée DUJARDIN utilisent quotidiennement un ordinateur pour leurs études. On interroge successivement et de manière indépendante, 64 élèves inscrits en \og post-bac \fg. On note $X$, la variable aléatoire qui comptabilise, parmi les 64 interrogés, le nombre d'élèves, qui utilisent quotidiennement un ordinateur. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. \item On admet que la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $m = 32$ et que $\sigma = 4$. \item Calculer la probabilité $p(Y \leqslant 36,5)$ de l'évènement \og au plus 36 étudiants utilisent quotidiennement un ordinateur \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie} \medskip L'enquête a montré en outre que 10\:\% des élèves du lycée inscrits en \og pré-bac \fg{} utilisent quotidiennement un ordinateur. On interroge successivement 100~élèves du lycée inscrits en \og pré-bac \fg. On admet que l'effectif du lycée est suffisamment important pour que les interrogations soient considérées comme indépendantes. \medskip On note $X'$ la variable aléatoire qui comptabilise, parmi les 100~interrogés, le nombre d'élèves qui utilisent quotidiennement un ordinateur. La loi de probabilité de la variable aléatoire $X'$ est donc la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0.1$. \begin{enumerate} \item Donner la formule qui permet d'obtenir $P(X' = 10)$ et donner une valeur approchée arrondie au millième de cette probabilité. \item On admet que la variable aléatoire $X'$ peut être approchée par une variable aléatoire $Y'$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $\lambda$. \item En utilisant la table, calculer la probabilité de l'évènement : \og au moins 2 élèves inscrits en \og pré-bac \fg{} utilisent quotidiennement un ordinateur \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 8 points} \medskip \emph{Les deux parties sont indépendantes.} \emph{Sauf indication contraire, on donnera les résultats arrondis au millième.} \medskip \textbf{Première partie} \medskip Le lycée DUJARDIN a fait un gros effort d'investissement pour l'informatique pédagogique. Le tableau suivant donne le nombre d'ordinateurs disponibles lors des dernières rentrées scolaires : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années& 2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline $x_{i}$ : rang de l'année& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $y_{i}$ : nombre d'ordinateurs& 140 &160 &180 &220 &260 &320 &380& 450\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$. \emph{$a$ sera arrondi au dixième et $b$ à l'unité. Aucun calcul intermédiaire n'est exigé.} \item Avec ce modèle linéaire, donner une estimation du nombre d'ordinateurs disponibles à la rentrée 2010. \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ : rang de l'année & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$ & 4,942 & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Donner le coefficient de corrélation de $z$ en $x$. Que peut-on en conclure ? \item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. \emph{Aucun calcul intermédiaire n'est éxigé.} \item En déduire une expression du nombre d'ordinateurs disponibles sous la forme $y = A \text{e}^{Bx}$. \emph{A sera arrondi à l'unité et B au millième.} \item Avec ce modèle exponentiel donner une estimation du nombre d'ordinateurs disponibles à la rentrée 2010. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = 113\text{e}^{0,171x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 50~unités sur l'axe des ordonnées). \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. \item Détermination des variations de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ et étudier son signe sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. \item Tracé de la courbe $\mathcal{C}$ \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant. \emph{On donnera les valeurs arrondies à l'unité.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{T}$ dans le repère orthogonal \Oij. \item Calculer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle [1~;~8]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2010 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polyn\'esie 2010 %%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2010}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{Session mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Polynésie \\ session mai 2010 - Informatique de gestion}} \vspace{1cm} %\textbf{Épreuve facultative} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip \textbf{Premi\`ere partie} On consid\`ere la matrice carrée d'ordre 5 : $A = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ 1 &0 &0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}$ \medskip Recopier et compléter les matrices : \[A^2= \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ - &- &- &- &-\\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad A^4 = \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ - &- &- &- &- \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}.\] (On rappelle que $A^2 = A \times A$ et que $A^4 = A^2 \times A^2$) \medskip \textbf{Deuxi\`eme partie} \medskip Soit (\textbf{G}) le graphe \`a 5 sommets $(a,~b,~c,~d,~e)$ dont la matrice d'adjacence est $A$. \begin{enumerate} \item D'après les calculs de la première partie: \begin{enumerate} \item Combien existe-t-il de chemins de longueurs 2 ayant pour origine le sommet $c$ ? \item Existe-t-il dans ce graphe un chemin hamiltonien ? \end{enumerate} \item Faire le tableau des prédécesseurs du graphe (\textbf{G}). Donner le niveau de chacun des sommets. On pourra par exemple utiliser l'algorithme suivant : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item les sommets sans prédécesseur sont de niveau 0 ; \item on barre les sommets de niveau 0. Les sommets qui n'ont alors plus de prédécesseur sont de niveau 1 ; \item on barre les sommets de niveau 1. Les sommets qui n'ont alors plus de prédécesseur sont de niveau 2 ; \item on continue jusqu'à ce qu'on ait établi le niveau de chaque sommet. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Dessiner le graphe CG) ordonné par niveau. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.} \medskip La société \og Tournesol \fg{} construit et commercialise son \og Triphone \fg{} : nouvel appareil assurant les fonctions d'un ordinateur portable, d'un téléphone portable et d'un agenda électronique. Les pourcentages des ventes de ce nouvel appareil au sein du segment \og haut de gamme \fg{} sont donnés, au fil des semaines, dans le tableau ci-dessous. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ : rang de la semaine& 0 &1 &2 &3 &4 &5& 6\\ \hline $y_{i}$ : pourcentage des ventes& 0,3 &1,1 &2,2 &4,1 &7,4 &12,5 &17,9\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Première partie :} recherche d'une première modélisation \medskip \begin{enumerate} \item Représenter sur papier millimétré le nuage de points défini par la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)_{i = 1,\ldots, 7}$. On prendra comme unités graphiques : 1 cm pour 1 semaine en abscisses (entre 0 et 15) 1 cm pour 2\:\% en ordonnées (entre 0 et 40) \item La disposition de ces points suggérant qu'un ajustement affine n'est pas le mieux adapté à la situation, on s'intéresse à la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)_{i = 1,\ldots, 7}$ où, $z_{i} = \ln y_{i}$ pour $i = 1, \ldots, 7$. Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5& 6\\ \hline $y_{i}$&0,3& 1,1 &2,2 &4,1 &7,4 &12,5 &17,9\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item À l'aide de la calculatrice, donner le coefficient de corrélation des séries $\left(z_{i}\right)$ et $\left(x_{i}\right)$ et interpréter ce résultat. \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$. \item Montrer dans ces conditions que $y$ peut s'exprimer en fonction de $x$, à l'aide de la fonction $f$ définie par \[f(x) = 0,472 \text{e}^{0,655x}.\] \item Calculer $f(9)$. Que penser de ce résultat? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Deuxième partie :} recherche d'une meilleure modélisation \medskip On décide d'envisager une autre modélisation et pour cela on considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+ \infty[$ par \[g(x) = \dfrac{30}{1+60\text{e}^{-0,75x}}\] \begin{enumerate} \item Étude du sens de variation de la fonction $g$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre réel $x \geqslant 0,~ g'(x) = \dfrac{1350\text{e}^{-0,75x}}{\left(1+60\text{e}^{-0,75x} \right)^2}$. \item Étudier le signe de $g'(x)$ ; et en déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item Étude des limites \begin{enumerate} \item Déterminer la limite, quand $x$ tend vers $+\infty$, de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par $h(x) = \text{e}^{-0,75x}$ et en déduire la limite de la fonction $g$ en $+\infty$. \item Quelle interprétation graphique peut-on donner de ce résultat ? \item Traduire ce résultat en terme d'évolution des pourcentages de ventes du \og Triphone \fg. \end{enumerate} \item Représenter graphiquement la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~ ;~15]$ dans le même repère que le nuage de points précédent. \item Les objectifs commerciaux du \og Triphone\fg sont atteints lorsque le pourcentage des ventes atteint 25\:\% du segment \og haut de gamme \fg. Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = 25$ et préciser à partir de quelle semaine les objectifs commerciaux sont atteints. (On fera figurer sur le graphique tous les traits indiquant la méthode de lecture). \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \medskip Le \og Triphone \fg est équipé d'une batterie révolutionnaire de longue durée, mais dont les performances sont encore irrégulières. \medskip \textbf{Première partie} \emph{Dans cette partie, les résultats seront donnés avec la précision de la table} \medskip Une batterie étant choisie au hasard dans le stock de l'entreprise, on admet que son autonomie est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $m = 12$~heures et d'écart-type $s = 2$~heures. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $p( X \leqslant 15)$ que l'autonomie de la batterie soit inférieure à $1$5~heures. \item Calculer la probabilité que l'autonomie de la batterie soit supérieure à $8$~heures. \item Déterminer le nombre réel positif $h$ tel que $p (12 - h \leqslant X \leqslant 12 + h) = 0,95$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Deuxième partie} \emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis au dix millième} \medskip Pour assurer sa suprématie sur la concurrence, la société \og Tournesol\fg décide de ne pas commercialiser les batteries dont l'autonomie serait inférieure à $8$~heures. On a déterminé statistiquement que ces batteries représentent 2\:\% de la production. À la sortie de la chaîne de fabrication, on prélève un lot de $50$~batteries. La production de batteries est suffisante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un prélèvement successif avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de $50$~batteries prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de batteries non commercialisables. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y? Donner les paramètres de cette loi. \item Quelle est la probabilité qu'il y ait dans un tel lot exactement 2 batteries non commercialisables ? \item Quelle est la probabilité qu'il y ait dans un tel lot au moins 2 batteries non commercialisables ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Troisième partie} \emph{Dans cette partie, les résultats seront donnés avec la précision permise par la table} \medskip On prélève cette fois un lot de 200~batteries, exactement dans les mêmes conditions que dans la deuxième partie. On note $Y'$ la variable aléatoire qui fait correspondre à chaque lot le nombre de batteries non commercialisables. \begin{enumerate} \item On admet que cette variable aléatoire $Y'$ peut être approchée par une variable aléatoire $Z$ qui suit une loi de Poisson. Démontrer que le paramètre de cette loi $Z$ est 4. \item Quelle est la probabilité qu'un lot ne contienne aucune batterie non commercialisable? \item Quelle est la probabilité qu'il y ait dans un lot au plus trois batteries non commercialisables ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polyn\'esie 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% M\'etropole 2011 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2011}{} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{10 mai 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole \\ session 10 mai 2011 - Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Cet exercice est un Q.C.M. (questionnaire à choix multiple). Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, il n'existe qu'une seule réponse correcte. On présentera les résultats en donnant le numéro de la question et en recopiant la réponse éventuellement choisie. \medskip Barème : 1 point par réponse exacte, 0 point pour absence de réponse ou réponse fausse. \medskip On considère un graphe à quatre sommets A, B, C, D, dont la matrice d'adjacence est : \[M = \begin{pmatrix} 0&1& 1& 1\\ 0&0&0&0\\ 0&1& 0& 0\\ 0&0& 1& 0\\ \end{pmatrix}.\] \textbf{Question 1} Le sommet C est de niveau : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*4{X}} \textbf{a.}~~ 0&\textbf{b.}~~1&\textbf{c.}~~2&\textbf{d.}~~3\\ \end{tabularx} \textbf{Question 2} Le nombre total de chemins de longueur 2 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*4{X}} \textbf{a.}~~ 2&\textbf{b.}~~3&\textbf{c.}~~4&\textbf{d.}~~5\\ \end{tabularx} \textbf{Question 3} Il existe un chemin de longueur 3 allant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*4{X}} \textbf{a.}~~ de A vers C&\textbf{b.}~~de B vers A&\textbf{c.}~~D vers B &\textbf{d.}~~A vers B\\ \end{tabularx} \textbf{Question 4} Il existe dans ce graphe : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*4{X}} \textbf{a.}~~ un chemin de longueur 4 ;&\textbf{b.}~~un chemin hamiltonien;&\textbf{c.}~~un chemin de longueur 2 arrivant à D ;&\textbf{d.}~~un circuit.\\ \end{tabularx} \textbf{Question 5} Pour obtenir la fermeture transitive de ce graphe, le nombre d'arcs à rajouter est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*4{X}} \textbf{a.}~~ 1&\textbf{b.}~~3&\textbf{c.}~~4&\textbf{d.}~~9\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip Une entreprise fabrique et commercialise des composants électroniques assemblés dans deux ateliers numérotés 1 et 2. L'atelier 1 fournit 80\,\% de la production et l'atelier 2 fournit les 20 \,\% restants. On a remarqué que 1,5\,\% des composants issus de l'atelier 1 sont défectueux, et que 4\,\% des composants issus de l'atelier 2 sont défectueux. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On prend au hasard un composant dans la production d'une journée et on considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item évènement $A$ : \og le composant provient de l'atelier 1 \fg{} ; \item évènement $B$ : \og le composant provient de l'atelier 2 \fg{} ; \item évènement $D$ : \og le composant est défectueux \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Déduire de l'énoncé les probabilités $P(A)$ et $P(B)$, ainsi que les probabilités conditionnelles $P_{A}(D)$ et $P_{B}(D)$. \item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré ou d'un tableau à double entrée. \item Calculer la probabilité de l'évènement $D$. \item On constate qu'un composant est défectueux. Quelle est la probabilité pour qu'il provienne de l'atelier 1 ? \end{enumerate} \emph{Dans la suite, on supposera que $2\,\%$ des composants produits par l'entreprise sont défectueux.} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au millième. Un client commande un lot de 150 composants. On assimile le choix des 150 composants à des tirages successifs avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui représente le nombre de composants défectueux que contient ce lot. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale, et donner les paramètres de cette loi. \item Donner l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $X$. \item Calculer la probabilité d'avoir exactement 4 composants défectueux dans le lot. (Arrondir le résultat au millième.) \item On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi d'une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi de Poisson de paramètre $3$. \begin{enumerate} \item Justifier cette valeur du paramètre. \item Déterminer, avec la précision permise par les tables, la probabilité d'avoir strictement plus de 4 composants défectueux dans le lot. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Une société d'import-export commande un lot de \np{1500} composants. On assimile le choix des \np{1500} composants à des tirages successifs avec remise. La variable aléatoire qui comptabilise le nombre de composants défectueux dans ce lot, suit une loi binomiale. On admet que la loi de cette variable aléatoire peut être approchée par la loi d'une variable aléatoire $Z$ qui suit la loi normale de moyenne $30$ et d'écart-type $5,42$. \begin{enumerate} \item Justifier le choix des paramètres de la loi normale. \item Donner une approximation de la probabilité d'avoir au plus 20 composants défectueux dans un lot, en calculant $P(Z \leqslant 20,5)$. \item Calculer $P(24,5 \leqslant Z \leqslant 35,5)$ avec la précision permise par les tables. En tenant compte de la correction de continuité, donner une interprétation du résultat en termes de composants défectueux. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 7 points} \medskip \emph{La feuille annexe sera rendue avec la copie. Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \emph{Dans cette partie, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.} \medskip Une entreprise fabrique un nouveau modèle d'appareils avec port USB. Le coût de fabrication de chaque appareil est de 10~ euros. L'entreprise envisage de vendre chaque appareil entre 15~euros et 40~euros l'unité. Avant la commercialisation l'entreprise effectue une étude de marché afin de déterminer la quantité demandée en fonction du prix de vente. L'étude a donné les résultats qui sont récapitulés dans le tableau suivant. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Prix unitaire (en euro) $x_{i}$&15 &20 &25 &30 &35 &40\\ \hline Quantité demandée (en milliers) $y_{i}$& 44,4 &27,0 &16,3 &10,0 &6,2 &3,5\\ \hline \end{tabularx} \medskip On lit par exemple : pour un prix unitaire de 25~euros, la demande serait de \np{16300}~unités. \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. Les unités sont : 1 cm pour 2~euros en abscisse, et 1~cm pour 2~milliers en ordonnée. Le point d'intersection des axes de coordonnées sera le point de coordonnées $(15~;~0)$. \item Le graphique précédent nous conduit à envisager un ajustement qui n'est pas affine. Pour cela, on effectue un changement de variable en posant : $z_{i} = \ln y_{i}$. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$& 15 &20 &25 &30 &35 &40\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$& 3,79& 3,30&&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item À l'aide de la calculatrice, donner le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$. \item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = ax + b$, où les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis au dixième. \item En déduire une estimation de la quantité demandée $y$ en fonction du prix unitaire $x$ sous la forme $y = k\text{e}^{-Ax}$, où $A$ et $k$ sont des constantes que l'on déterminera. (Arrondir $k$ à l'unité et $A$ au dixième.) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on suppose que, si chaque appareil est vendu au prix unitaire $x$ (en euro), la quantité d'appareils demandés $f(x)$, en milliers d'unités, s'exprime par : \[f(x) = 200\text{e}^{-0,1x}.\] La fonction $f$ (fonction de demande) est définie sur l'intervalle $[15~; ~40]$. La représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée en annexe. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le montant de la demande si l'entreprise propose l'appareil à 23~euros. \item Par le calcul, déterminer dans quel intervalle doit se situer le prix unitaire pour que la quantité demandée soit supérieure ou égale à \np{9000}~unités. \item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. En déduire le sens de variation de la fonction $f$. \item On appelle fonction d'offre la fonction $g$, définie sur l'intervalle $[15~; ~40]$, par : \[g(x) = 4x - 60.\] Le nombre $g(x)$ est le nombre de milliers d'appareils que l'entreprise est capable de produire et de vendre au prix de $x$ euros l'appareil. Tracer sur la feuille annexe la représentation graphique de la fonction $g$. \item On appelle prix d'équilibre le prix unitaire $x$ d'un appareil pour lequel l'offre est égale à la demande. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le prix d'équilibre. \item Déterminer graphiquement combien l'entreprise peut compter vendre d'appareils, au prix d'équilibre. \item Estimer alors le bénéfice réalisé. \emph{On rappelle que le coût de fabrication d'un appareil est de $10$ ~euros.} \end{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{15}^{21}f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{FEUILLE ANNEXE (\`a rendre avec la copie)} \vspace{1cm} Le dessin \`a compl\'eter pour l'exercice 3. \vspace{2cm} \psset{xunit=0.48cm,yunit=0.24cm} \begin{pspicture}(25,45) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(25,45) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=15,Dx=5,Dy=5](0,0)(25,45) \uput[u](37.5,0){$x$ (en euro)}\uput[r](0,45){$y$ (en milliers)} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{200 2.71828 0.1 x 15 add mul exp div} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin M\'etropole 2011 %%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polyn\'esie 2011 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2011}{} \lfoot{\small{Polyn\'esie Informatique de gestion}} \rfoot{\small{10 mai 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Polyn\'esie \\ session 10 mai 2011 - Informatique de gestion}} \vspace{0,5cm} ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 3 points} \medskip Alain et Catherine organisent une soirée pour des membres de leur club informatique. Ils décident que pour être invité il faut : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] être ami d'Alain et de Catherine; \item[$\bullet~~$] ou ne pas être ami d'Alain, mais être ami de Catherine ; \item[$\bullet~~$] ou ne pas être ami de Catherine, mais jouer au bridge. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour un membre quelconque, on définit les variables booléennes suivantes par : $a = 1$ s'il est un ami d'Alain, $b = 1$ s'il joue au bridge, $c = 1$ s'il est un ami de Catherine. \begin{enumerate} \item Écrire la fonction booléenne $f(a,\,b,\,c)$, qui traduit le fait qu'un membre du club soit invité. \item Donner le tableau de Karnaugh de cette fonction. \item \begin{enumerate} \item Xavier est un ami d'Alain, mais pas de Catherine. Est-il nécessairement invité ? Justifier. \item Vincent n'est pas un ami d'Alain, mais joue au bridge. Est-il nécessairement invité ? Justifier. \end{enumerate} \item Simplifier au maximum la fonction booléenne $f(a,\,b,\,c)$, à l'aide du tableau de Karnaugh. \item Écrire la règle de décision d'inviter un membre du club informatique de la façon la plus simple possible. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points} \medskip \textbf{Partie A : probabilités élémentaires et conditionnelles} \medskip Afin d'optimiser la fiabilité des cartes de fidélité d'une grande enseigne de distribution, une procédure de vérification a été mise en place. Cependant, il peut se produire deux types d'erreurs de contrôle : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] des cartes de fidélité sans défaut peuvent être rejetées ; \item[$\bullet~~$] des cartes de fidélité avec défaut peuvent être acceptées. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Sur les \np{100000} dernières cartes fabriquées, on a observé que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 0,5\,\% des cartes de fidélité présentent un défaut; \item[$\bullet~~$] 0,6\,\% des cartes de fidélité sans défaut sont rejetées ; \item[$\bullet~~$] 99\,\% des cartes de fidélité avec défaut sont rejetées. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Avec défaut& Sans défaut &Total\\ \hline Cartes rejetées &&&\\ \hline Cartes acceptées&&& \\ \hline Total &&&\np{100000}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On prélève au hasard une carte parmi ces \np{100000}~cartes. On considère les évènements suivants : $D$ : \og la carte de fidélité présente un défaut \fg{} ; $A$ : \og la carte de fidélité est acceptée après contrôle \fg. On rappelle que $P_{B}(A)$ est la probabilité que l'évènement $A$ soit réalisé, sachant que l'évènement $B$ est réalisé. \begin{enumerate} \item Calculer $P_{A}\left(\overline{D}\right)$. Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au dix millième. \item Calculer la probabilité qu'une carte qui a été rejetée ait un défaut. Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au dix-millième. Quelle remarque suggère ce résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : loi de Poisson} \medskip Un magasin de l'enseigne organise un tirage au sort pour l'anniversaire de son ouverture, et distribue durant plusieurs jours des cartes à gratter dont certaines permettent de gagner un cadeau. Le nombre de cadeaux \og grands gagnants\fg est en moyenne de 5 par jour. On considère la variable aléatoire $X$ qui comptabilise le nombre de \og grands gagnants\fg par jour. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 5$. Les résultats de calculs de probabilités seront arrondis au centième. \begin{enumerate} \item Calculer $P(X = 5)$. \item Déterminer $P(X > 10)$. \item Soit $N$ le nombre de cadeaux \og grands gagnants \fg{} que le magasin a en stock chaque jour. \begin{enumerate} \item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $N$ tel que $p(X \leqslant N) \geqslant 0,85$. \item Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : loi normale} \medskip On interroge un client choisi au hasard parmi l'ensemble des clients possédant la carte de fidélité. Soit $Y$ la variable aléatoire qui donne le montant de ses achats par semaine. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne 40 et d'écart-type 6. Tous les résultats de calculs de probabilités seront donnés sous forme décimale, arrondie au centième, en utilisant la calculatrice ou la table. \begin{enumerate} \item Calculer $P(34 \leqslant Y \leqslant 46)$. \item Calculer la probabilité pour que le montant des achats dépasse 30~\euro. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 10 points} \medskip Un procédé de fabrication industrielle d'un produit nécessite l'incorporation régulière d'un adjuvant, qui se dégrade au cours du temps. La quantité d'adjuvant dans le produit varie donc en fonction du temps. Au début du procédé (à $t = 0$), on incorpore 4 litres de cet adjuvant. Au bout du temps $t$, exprimé en heures, la quantité d'adjuvant, exprimée en litres, présente dans le produit est donnée par : \[f(t) = 4\text{e}^{-t\ln 2}.\] \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la quantité d'adjuvant dans le produit au bout de 1 heure, puis au bout de 2 heures. \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. \item Déterminer une expression de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[,\, f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ et dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur la feuille \textbf{annexe, à rendre avec la copie}, compléter le tableau de valeurs et représenter la fonction $f$ surl'intervalle [0~;~4]. \item Déterminer graphiquement à partir de quel instant, noté $t_{1}$, la quantité d'adjuvant présente dans le produit devient inférieure à 0,5~litre. On laissera apparents les tracés permettant cette lecture. \item Déterminer, par le calcul, à partir de quel instant, noté $t_{2}$, la quantité présente dans le produit devient inférieure à $0,125$ litre. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n} = f(n)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n} = \dfrac{4}{2^n}$. \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$. On précisera la valeur du premier terme. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on note $R_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$. \emph{On rappelle que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q$ distincte de $1$ est égale à} : \[u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = u_{0}\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\] Établir que, pour tout entier naturel $n,\, R_{n} = 8 \left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \right)$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} R_{n}$. n--->+oo \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : application au procédé de fabrication} \medskip Toutes les heures, on incorpore à nouveau 4~litres d'adjuvant dans le mélange. On admet que la quantité d'adjuvant présente dans le produit au bout de $n$ heures est modélisée par le nombre $R_{n}$ défini dans la partie B. Ainsi, la quantité d'adjuvant présente dans le produit au bout d'une heure est $R_{1} = u_{0} + u_{1}$. \begin{enumerate} \item Déterminer à partir de quel nombre d'heures $n$ de ce traitement, la quantité Rn d'adjuvant atteint $7,75$~litres. \item On estime que si la quantité d'adjuvant présente dans le produit dépasse 9~litres, alors le produit n'a plus les propriétés requises. En incorporant, comme décrit ci-dessus, 4~litres d'adjuvant toutes les heures, y a-t-il un risque d'atteindre cette quantité ? Expliquer brièvement. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{à rendre avec la copie} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$&0 &0,5 &1 &1,5 &2 &2,5 &3 &3,5 &4\\ \hline $f(t)$, arrondi au dixième&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \psset{unit=1.6cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7,6.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(7,6.25) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(7,6) \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polyn\'esie 2011 %%%%%%%%%%%%%% \end{document}