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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\thispagestyle{empty}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement F }}
\rfoot{\small{}}
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\pagestyle{fancy}


\begin{center} 
  
\begin{huge}\textbf{BREVET  DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR }
\vspace{0,5cm}

\textbf{SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Le GROUPEMENT F de 2004 à 2010}
\vspace{0,5cm}
\end{huge}

\vspace{1cm}

{\Large  \hyperlink{2004}{Design d'espace 2004} \dotfill 3  \medskip

\Large  \hyperlink{2005}{Design d'espace 2005} \dotfill 5  \medskip

\Large  \hyperlink{2006}{Design d'espace 2006} \dotfill 7  \medskip

\Large  \hyperlink{2007}{Design d'espace 2007}  \dotfill 8  \medskip

\Large  \hyperlink{2008}{Design d'espace 2008} \dotfill 10  \medskip

\Large  \hyperlink{2009}{Art c\'eramique, Design d'espace 2009} \dotfill 12  \medskip

\Large  \hyperlink{2010}{Design de communication, d'espace, de produits 2010} \dotfill  15 \medskip
}
\end{center}
\newpage ~

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2004  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2004}{}

\lfoot{\small{Design d'espace }}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Design d'espace session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{A. Étude des variations d'une fonction}

\medskip

Soil $f$ la fonction définie sur [0,5~;~ 2] par 
\[f(x) = x^2 + \dfrac{2}{x}\]

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$.

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ de [0,5~;~ 2].
		\item   Vérifier que, pour tout $x$ de [0,5~;~ 2]

\[f'(x) = \dfrac{2(x-1)\left(x^2 + x + 1\right)}{x^2} \]
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout $x$ de [0,5~;~ 2],~$\dfrac{2(x-1)\left(x^2 + x + 1\right)}{x^2}	> 0$.

En déduire, dans un tableau, le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans [0,5~;~2].

\item Établir le tableau de variations de $f$.

\item Indiquer pour quelle valeur de $x,~ f$ admet un minimum.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B. Application à un problème d'optimisation}

\medskip

Un fabriquant doit réaliser un réservoir en plastique sans couvercle ayant la forme d'un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont exprimées en mètres.

La hauteur est $h$ et la base est un carré de côté $x$, comme le montre la figure suivante. On admet que $0,5 \leqslant x \leqslant 2$.
 
\begin{center} 
 \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5,5.5)
\psframe(2.9,3.8)
\psline(2.9,0)(4.2,1.3)(4.2,5.1)(1.3,5.1)(0,3.8)
\psline(2.9,3.8)(4.2,5.1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.3,1.3)(1.3,5.1)
\psline[linestyle=dashed](1.3,1.3)(4.2,1.3)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(4.8,1.3)(4.8,5.1)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,-0.4)(3.1,-0.4)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(3.2,-0.3)(4.5,1)
\uput[d](1.55,-0.5){$x$} \uput[dr](4,0.2){$x$}
\uput[r](4.9,3){$h$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer le volume $V$ en m$^3$, du réservoir en fonction de $x$ et $h$.
		\item  On se propose de construire un réservoir dont le volume est 0,5~m$ ^3$.
		
À l'aide du a., donner l'expression de $h$ en fonction de $x$ lorsque $V =  0,5$.
	\end{enumerate}
\item On note $S(x)$ l'aire totale du réservoir sans couvercle.

Démontrer que $S(x) =  x^2 + \dfrac{2}{x}$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire de la partie A la valeur de $x$ pour laquelle l'aire totale du réservoir est minimale, c'est-à-dire pour laquelle le coût de fabrication de ce réservoir est minimal.
		\item  Déterminer les valeurs correspondantes de $S$ et de $h$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Exemple de courbe de Bézier définie par points de définition et polynômes de Bernstein.}

\medskip

Dans un repère orthonornal \Oij{} d'unité graphique 2~centimètres, on donne les points suivants par leurs coordonnées :  A(1 ~;~1) , B(3~;~ 2) et C(4~;~ 1).

\medskip

Le but de l'exercice est de déterminer et de tracer une courbe possédant les propriétés suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  elle passe par les points A, B et C ;
\item elle admet le vecteur $\vect{\text{AB}}$ pour vecteur directeur de la tangente à la courbe au point A ;
\item  elle admet le vecteur $\vect{\text{BC}}$ pour vecteur directeur de la tangente à la courbe au point C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout nombre $t$ de l'intervalle [0~;~1], soit $M$ le point défini par :

\[\vect{\text{O}M}  = (1 - t)^2 \vect{\text{OA}} + 2t(1 - t) \vect{\text{OB}} + t^2 \vect{\text{OC}}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer en fonction de $t$ les coordonnées $x$ et $y$ du point $M$.

\item   On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par
\[f(t) = t^2 + 4t+1~~ \text{et}~~ g(t) = -2t^2 + 2t + 1.\]
Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ sur [0~;~1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.

\item   On note $\Gamma$ la courbe, dans le repère orthonormal \Oij, dont un système d'équations paramétriques est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&f(t)\\
y&=&g(t)\\
\end{array}\right.$	où $t$ appartient à l'intervalle [0~;~1].
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{\text{AB}}$ est un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point A et que le vecteur $\vect{\text{BC}}$ est un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point C.
		\item  Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point S obtenu pour $t =  \dfrac{1}{2}$.
		\item  Tracer avec précision les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$, la tangente au point S, puis la courbe $\Gamma$.\\
		 (On rappelle que l'unité graphique est 2~cm.)\\
		 
\medskip

\emph{La courbe $\Gamma$ ainsi obtenue est la courbe de Bézier dont A, E, C sont les points de définition.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2005}{}

\lfoot{\small{Design d'espace }}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Design d'espace session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Étude d'un tétraèdre régulier obtenu à partir d'un cube}

\medskip

On dispose d'un cube ABCDEFGH dont une arête mesure 10~cm. On coupe le cube suivant les plans BDG, BDE, BEG et DEG. On obtient le tétraèdre DEGB.

\medskip

\begin{pspicture}(12,4.5)
\uput[ul](1.9,4.2){A} \uput[ur](4.9,4.2){B} \uput[r](4,3){C} \uput[l](1,3){D} 
\uput[l](1.9,1.2){E} \uput[r](4.9,1.2){F} \uput[dr](4,0){G} \uput[dl](1,0){H}
\pspolygon(1,0)(4,0)(4.9,1.2)(4.9,4.2)(4,3)(4,0)(1,3)(1,0)%HGFBCGD
\psline(4,3)(1,3)(1.9,4.2)(4.9,4.2)%CDAB
\psframe(5.5,1.6)(5.6,2)
\psframe(5.7,1.6)(5.8,2) 
\psline(5.8,2)(6.8,2)(6.8,2.1)(7.5,1.8)(6.8,1.5)(6.8,1.6)(5.8,1.6)%flèche
\pspolygon(4,0)(1,0)(1,3)(4.9,4.2)%GHDB
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1.9,1.2)(4.9,1.2)%HEF
\psline[linestyle=dashed](4,0)(1.9,1.2)(1,3)%GED
\psline[linestyle=dashed](1.9,4.2)(1.9,1.2)(4.9,4.2)%AEB
\uput[l](8,3){D} \uput[ur](11.9,4.2){B}
\uput[l](8.9,1.2){E}  \uput[dr](11,0){G}
\pspolygon(8,3)(11.9,4.2)(11,0)(8.9,1.2)(8,3)(11,0)%DBGEDG 
\psline[linestyle=dashed](11.9,4.2)(8.9,1.2)%BE
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que ce tétraèdre est régulier, c'est à dite montrer que les six arêtes du tétraèdre ont même longueur.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur exacte de l'aire en cm$^2$ d'une face de ce tétraèdre.
		\item  Soit I le centre de gravité du triangle DEG. On admet que la droite (BI) est perpendiculaire au plan du triangle DEG.
		
Montrer que BI $= \dfrac{20}{\sqrt{3}}$~cm.
		\item   En déduire la valeur exacte du volume $V$, en cm$^3$, du tétraèdre.
		
\emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par : $V = \dfrac{1}{3}B \times h$, où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.}
		\item  Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-1}$ de $V$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

\emph{Exemple de courbe de Bézier définie par points de definition et polynômes de Bernstein.}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~centimètres, on donne les points suivants par leurs coordonnées :

\[\text{A}(-1~;~0),~ \text{B} (0~;~ 1),~ \text{C}(1~;~1)~ \text{et D}(1~;~0).\]

Pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0 ; 1], soit $M$ le point défini par :

\[\vect{\text{O}M} = (1 - t)^3 \vect{\text{OA}} + 3t(1 - t)^2 \vect{\text{OB}} + 3t^2 (1 - t)\vect{\text{OC}}  + t^3 \vect{\text{OD}}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer en fonction de $t$ les coordonnées $x$ et $y$ du point $M$.

\item  On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par :
\[f(t) =- t^3 + 3t - 1~~ \text{et}~~ g(t) = - 3t^2 + 3t.\]
Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ sur [0~;~1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.

\item On note $\Gamma$ la courbe, dans le repère orthonormal \Oij, dont un système d'équations paramétriques est : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&f(t)\\
y&=&g(t)\\
\end{array}\right.$
où $t$ appartient à l'intervalle [0~;~1].

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{\text{AB}}$ est un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point A et que le vecteur $\vect{\text{DC}}$ est un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point D.
		\item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point S obtenu pour $t = \dfrac{1}{2}$.
		\item Placer les points A, B, C et D. Tracer avec précision les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$, la tangente au point S, puis la courbe $\Gamma$.\\
(On rappelle que l'unité graphique est 2~cm.)
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer la courbe $\Gamma'$ image de la courbe $\Gamma$ par la symétrie centrale de centre A$(-1~;~ 0)$.
		\item  On note $\Gamma_{1}$ la réunion des courbes $\Gamma$ et $\Gamma'$. Tracer la courbe  $\Gamma_{2}$ image de la courbe  $\Gamma_{1}$ par la symétrie orthogonale d'axe, l'axe des abscisses.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2006}{}

\lfoot{\small{Design d'espace }}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Design d'espace session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 5~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est :

\[\left\{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{array}{l c l c l}
x &=&f(t) &=& - t^3 + 3t\\ 
 y&=&g(t)&=& - 2t^3 - \dfrac{3}{2}t^2 + 3t\\
\end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ où $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$.

\item  Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle [0~;~1].

\item  Rassembler les résultats dans un tableau de variation unique.

\item  Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des trois points O, A, B obtenus respectivement pour $t = 0,~ t = 0,5$ et $t = 1$.

\item  Placer les points O, A, B, tracer avec précision, sur une feuille de papier millimétré, la tangente en chacun des points, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

Dans un repère orthonormal \Oijk{} de l'espace, on donne les points suivants par leurs coordonnées :
 
\[\text{A}(1~;~3~;~- 1)~;~ \text{B}(2~;~1~;~4)~; ~\text{C}(5~;~0~;~3)~ \text{et D}(4~;~2~;~-2).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
		\item  Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{BC}}$.
		
Que peut-on en déduire sur la nature du parallélogramme ABCD ?
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu I de [AC].

\item On considère la pyramide SABCD de sommet S(6,5 ; 9,5 ; 3,5).
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{\text{IS}}$  est orthogonal à chacun des deux vecteurs $\vect{\text{AB}}$  et $\vect{\text{BC}}$.
		\item  Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide SABCD dont [IS] est une hauteur.
	\end{enumerate}
\item On se propose de déterminer une mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{SAB}}$.

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AS}} \cdot \vect{\text{AB}}$.

		\item   Donner les valeurs exactes des distances AS et AB.
		
En déduire la valeur exacte de $\cos \widehat{\text{SAB}}$ 	puis une valeur approchée, arrondie à $10^{-1}$ de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{SAB}}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2007}{}

\lfoot{\small{Design d'espace}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Design d'espace session 2007}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

On considère le repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}}\right)$ sur la figure suivante :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
\psframe(4,4)
\psline(4,0)(5.2,1.2)(5.2,5.2)(4,4)
\psline(5.2,5.2)(1.2,5.2)(0,4)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.2,1.2)(1.2,5.2)
\psline[linestyle=dotted](1.2,1.2)(5.2,1.2)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](4,0){M} \uput[ur](5.2,1.2){B} \uput[ul](1.2,1.2){O} 
\uput[dl](0,4){N} \uput[dr](4,4){P} \uput[ur](5.2,5.2){Q} \uput[ul](1.2,5.2){C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les coordonnées des points O, A, B, M, C, N, P,  Q.
		\item  Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{AP}}$.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées du produit vectoriel $\vect{u}=  \vect{\text{AB}} \wedge  \vect{\text{AC}}$.
		\item  Calculer le produit scalaire $\vect{s} =  \vect{\text{AP}} \cdot \vect{u}$.
		\item  On admet que le volume $V$ du tétraèdre ABCP est $V = \dfrac{1}{6}s$.
		
Calculer le volume $V$.
	\end{enumerate}
\item Soit I$(x~;~y~;~z)$ le pied de la hauteur [IPI du tétraèdre ABCP.

	\begin{enumerate}
		\item  On admet que les vecteurs $\vect{\text{IP}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont orthogonaux. En déduire que $x = y$.
		\item  On admet que les vecteurs $\vect{\text{IP}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux. En déduire que $x =  z$.
		\item  On admet que, le point I étant dans le plan (ABC), ses coordonnées vérifient : 
		\[x + y + z =  1.\]
Déduire des questions précédentes les coordonnées du point I.
		\item  Montrer que $\vect{\text{IA}} + \vect{\text{IB}} + \vect{\text{IC}} = \vect{0}$.
		
Que représente le point I pour le triangle ABC ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est :


\[\left\{
\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{array}{l c l c l}
x&=&f(t)&=&\dfrac{5}{1 + t^2}\\
y&=&g(t)&=&t^2 - 3t\\
\end{array}\right. ~~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle} ~ [- 2~;~ 3]. \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ où $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$.

\item 	Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle $[-2~;~3]$.

\item 	Rassembler les résultats dans un tableau de variation unique.

\item 	Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des quatre points E, F, G et H obtenus respectivement pour $t =  -2$, pour $t  = 0$, pour $t = 1,5$ et pour $t = 3$.

\item 	Placer les points E, F, G et H et tracer avec précision sur une feuille de papier millimétré la tangente en chacun de ces points, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2008}{}

\lfoot{\small{Design d'espace, de produits}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Design d'espace  Design de produits session 2008}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

On considère le triangle ABC tel que AC = 24~cm, BC = 28~cm et AB = 40~cm.

\begin{enumerate}
\item  Faire un dessin à l'échelle $\dfrac{1}{4}.$

\item   Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ACB }}$ du triangle ABC.

Arrondir à $10 ^{-1}$.

\item   On admet pour la suite que l'angle $\widehat{\text{ACB }}$ a une mesure de 100,3 \degre.

Calculer l'aire $S$ du triangle ABC. Arrondir à $10 ^{-1}$.

\item   Pour la suite, on admet que $S  = 330,6$~cm$^2$.\\
Calculer l'aire $S'$ du triangle dessiné à la première question.

\item   On appelle H le pied de la hauteur issue du point C. Placer H sur le dessin.

Donner l'expression de l'aire du triangle ABC en fonction de CH. En déduire CH.

\item  Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. Arrondir à $10 ^{-1}$.

\item   En utilisant un résultat admis au \textbf{3.} et le résultat obtenu au \textbf{6.}, calculer une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBA}}$.

\item   On appelle J le point situé sur la droite (CH) à l'extérieur du triangle ABC et tel que IH = 8~cm (sur le dessin, compte tenu de l'échelle, IH = 2~cm).

Placer le point J et dessiner le triangle A$'$B$'$C$'$, image du triangle ABC par la rotation de centre J et d'angle $- 90$\degre.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\emph{L'objectif de cet exercice est de tracer deux courbes de Bézier qui permettent de définir, avec l'axe des abscisses, une forme utilisée pour un logo.}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthononnal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, on considère les points :

\[\text{P}_{0}(2~;~0)~~;~~\text{P}_{1}(1~;~3)~~;~~ \text{P}_{2}(-2~;~0).\]

 La courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$ définie par ces points de contrôle est l'ensemble des points $M_{1}(t)$ tels que pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~  1] :
 
\[\vect{\text{O}M_{1}(t)} = (1 - t)^2\vect{\text{OP}_{0}}+ 2t(1 - t) \vect{\text{OP}_{1}} + t^2 \vect{\text{OP}_{2}}.\]

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les coordonnées $x_{1}$ et $y_{1}$ des points $M_{1}$ de cette courbe ont pour expression :

\[x_{1} = f_{1}(t) = -2t^2 - 2t + 2\quad  \text{et} \quad  y_{1} = g_{1}(t) = -6t^2 + 6t.\]

\item  Étudier les variations de $f_{1}$ et $g_{1}$, sur [0 ;  1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en chacun des points P$_{0}$ et P$_{2}$ et tracer ces tangentes. Placer le point P$_{1}$. 
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
\item On considère maintenant les points de contrôle :

\[\text{P}_{2}(-2~;~0)~~ ;~~ \text{P}_3(0 ~;~2)\quad  \text{et}~ \text{P}_{4}(l~;~0). \]
On admet que la courbe $\mathcal{C}_{2}$ définie par ces trois points est l'ensemble des points $M_{2}$ de coordonnées :
\[x_{2} = f_{2}(t) = -t^2 + 4t - 2~~ \text{et}~~ y_{2} = g_{2}(t)= -4t^2+4t\]
où $t$ appartient à l'intervalle [0~;~1].

Le tableau des variations conjointes de $f_{2}$ et $g_{2}$ est le suivant :\\

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,7)
\psframe(8,7) \psline(0,2)(8,2)  \psline(0,3)(8,3) \psline(0,5)(8,5)
\psline(0,6)(8,6) \psline(2,0)(2,7)
\uput[u](1,6){$t$} \uput[u](2.1,6){$0$} \uput[u](5,6){$0,5$} \uput[u](7.85,6){1}
\rput(1,5.5){$f'_{2}(t)$} \rput(5,5.5){+}
\rput(1,4){$f_{2}(t)$} \rput(2.3,3.2){$-2$}
\rput(7.9,4.8){1}
\rput(1,2.5){$g'_{2}(t)$} \rput(3.5,2.5){$+$}
\rput(5,2.5){$0$} \rput(6.5,2.5){$-$}
\rput(1,1){$g_{2}(t)$} \rput(2.1,0.2){$0$}\rput(5,1.8){1} \rput(7.8,0.2){0}
\psline{->}(2.7,3.2)(7.5,4.8) 
\psline{->}(2.4,0.1)(4.6,1.7) \psline{->}(5.4,1.7)(7.5,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont la même tangente au point P$_{2}$.

\item Dans cette question, tous les tracés sont à effectuer sur la figure du \textbf{3. b.}.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points P$_{3}$ et P$_{4}$ puis tracer la tangente a la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point P$_{4}$.
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2009}{}

\lfoot{\small{Groupement E\\Art céramique\\Expression visuelle et désign d'espace}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement E et Design d'espace session 2009}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.
 
On considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est:
 
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x& =& f(t)& =& t^2 - 4t + 1\\ 
y&=&	g(t) &=&\dfrac{1}{t}
\end{array}\right. \quad 	\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0,2 ; 5]}.\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ où $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$. 
\item Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle [0,2~;~5]. 
\item Rassembler les résultats dans un tableau de variations unique pour les fonctions $f$ et $g$. 
\item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des points A et B obtenus respectivement pour $t = 0,5$ et $t = 2$. 
\item Dans le repère défini ci-dessus, placer les points A et B, tracer avec précision la tangente en chacun de ces points, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip 

\emph{La courbe $\mathcal{C}$, définie à l'aide d'un paramètre dans cet exercice, peut aussi être obtenue comme courbe représentative de la fonction associant $x$ à $y$, ce qui n'est pas demandé ici.} 


\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Le solide représenté en annexe est un solide formé de deux pyramides de base carrée, dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux de côté 9~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On rappelle que la projection orthogonale H de E sur le plan ABCD est le milieu du segment [AC].
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de EH. 
		\item Calculer le volume V de ce solide. Arrondir au mm$^3$.
	\end{enumerate} 

\hspace{-1.2cm}\fbox{Le volume $v$ d'une pyramide de hauteur $h$, dont l'aire de la base est $a$, est : $v = \dfrac{1}{3}ah.$}

\medskip
 
\item
\begin{enumerate}
\item  Sur la figure donnée en annexe, placer les quatre points suivants :

\begin{description}
\item[ ]  le point $M$ du segment [EA] tel que E$M = \dfrac{1}{3}$ EA, 
3 
\item[ ] le point $N$ du segment [EB] tel que E$N$ = E$M$,
\item[ ] le point $P$ du segment [EC] tel que E$P$ = E$M$,
\item[ ] le point $Q$ du segment [ED] tel que E$Q$ = E$M$. 
\end{description}
\item Donner sans justification la nature du quadrilatère $MNPQ$. 
\item Calculer le volume $V'$ de la pyramide E$MNPQ$. Arrondir au mm$^3$.
\end{enumerate}
 
\item On enlève du solide la pyramide E$MNPQ$ et on fait de même en chacun des cinq autres sommets A, B, C, D, F. 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter sur la figure donnée en annexe chacune des faces du solide ainsi obtenu. 
		\item Donner sans justification le nombre de faces et la nature des deux types de faces de ce solide. 
		\item Calculer le volume $V_{1}$ de ce solide. Arrondir au mm$^3$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,8)
%\psgrid
\psline(0.2,3.2)(5.3,2.5)(7.6,3.9)%ABC
\psline[linestyle=dashed](7.6,3.9)(2.95,4.6)(0.2,3.2)%CDA
\pspolygon(0.2,3.2)(4,0)(7.6,3.9)(4,7.3)%AFCE
\psline(4,0)(5.3,2.5)(4,7.3)%FBE
\psline[linestyle=dashed](4,0)(2.95,4.6)(4,7.3)%FDE
\psdots[dotstyle=*](1.9,2.96)(3.65,2.72)(6.1,3)(6.9,3.5)(6,4.15)(4.3,4.4)(2.1,4.15)(1.25,3.7)(1.6,4.7)(2.8,6)(5.15,6.2)(6.4,5)(6.3,2.52)(5.2,1.3)(2.9,0.94)(1.6,2.05)(3.65,1.6)(3.3,3)(3.27,5.4)(3.5,6)
\uput[l](0.2,3.2){A} \uput[dr](5.3,2.5){B} \uput[r](7.6,3.9){C} 
\uput[ul](2.95,4.6){D} \uput[u](4,7.3){E} \uput[d](4,0){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2010}{}

\lfoot{\small{Groupement F }}
\rfoot{\small{mai 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Design de communication, d'espace, de produits session 2010}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Le solide représenté sur la figure est un cube de côté 3~cm. 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,6)
\psframe(4.5,4.5)%ABFE
\psline(4.5,0)(6,1.3)(6,5.8)(4.5,4.5)%BCGF
\psline(6,5.8)(1.5,5.8)(0,4.5)%GFE
\psline(0,0)(1.5,1.3)(1.5,5.8)%ADH
\psline(1.5,1.3)(6,1.3)%DC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4.5,0){B} \uput[r](6,1.3){C} \uput[ul](1.5,1.3){D} 
\uput[l](0,4.5){E} \uput[r](4.5,4.5){F} \uput[r](6,5.8){G} \uput[ul](1.5,5.8){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par I le milieu du segment [BC].
 
\textbf{Dans cet exercice, on admet que les droites (HD) et (DI) sont perpendiculaires.}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que AH $= 3\sqrt{2}$, IA $= \dfrac{3\sqrt{5}}{2}$ et HI $= \dfrac{9}{2}$. 
		\item  Démontrer que $\cos \widehat{\text{HIA}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
		\item  En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{HIA}}$. Arrondir à $10^{- 1}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $V$ le volume de la pyramide HAID. Montrer que $V = \dfrac{9}{2}$.
		 
\emph{On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times   h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.} 
		\item  Dans cette question, on admet que $\sin \widehat{\text{HIA}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
		
\textbf{Ce résultat n'a pas à être démontré.}
 
En déduire la valeur exacte de l'aire du triangle HIA. 
		\item  Déduire de ce qui précède la valeur exacte de la distance du point D au plan défini par le triangle HIA. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, on considère les points : P$_{0}(O~;~3)$; P$_{1}(0~;~7)$ et P$_{2}(5~;~3)$.
 
La courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$ définie par ces points de contrôle est l'ensemble des points $M_{1}(t)$ tels que pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] : 

\[\vect{\text{O}M_{1}}(t) = (1 - t)^2 \vect{\text{O}P_{0}} + 2t(1 - t)\vect{\text{O}P_{1}}~ + t^2 \vect{\text{O}P_{2}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les coordonnées $x_{1}$ et $y_{1}$ des points $M_{1}(t)$ de cette courbe ont pour  expression

\[ x_{1} = f_{1}(t) = 5t^2 \quad  \text{et} \quad  y_{1} = g_{1}(t) = - 8t^2 + 8t + 3.\]
 
\item  Étudier les variations des fonctions $f_{1}$ et $g_{1}$, définies sur [0~;~1] par 

$f_{1}(t) = 5t^2$ et $g_{1}(t) = - 8t^2 + 8t + 3$. 

Rassembler les résultats dans un tableau unique. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en chacun des points $P_{0}$, (obtenu pour $t = 0$), $M_{1}(1/2)$ et $P_{2}$ (obtenu pour $t = 1$).
		
Sur une feuille de papier millimétré, placer ces points dans le repère défini ci-dessus et tracer les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ correspondantes. 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item On considère maintenant les points de contrôle :
 
\[P_{0}(0~;~3)~;~ P_{3}(0~ ;~-1)~;~ P_{4}(10~;~- 1)\quad  \text{et}~ P_{2}(5~;~3).\]
 
On admet que la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{2}$ définie par ces quatre points est l'ensemble des points $M_{2}(t)$ de coordonnées 

\[x_{2} = f_{2}(t) = 30t^2 - 25t^3~~ \text{et}~~ y_{2} = g_{2}(t) = 12t^2 - 12t + 3,\]

où $t$ appartient à l'intervalle [0~;~1].
 
Le tableau des variations conjointes des fonctions $f_{2}$ et $g_{2}$, définies sur [0~;~1] par $f_{2}(t) = 30t^2 - 25t^3$ et $g_{2}(t) = 12t^2 - 12t + 3$ est le suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,7)
\psframe(9,7)
\psline(0,2)(9,2) \psline(0,3)(9,3) \psline(0,5)(9,5) \psline(0,6)(9,6) 
\psline(1.5,0)(1.5,7)
\uput[u](0.75,6){$t$} \uput[u](1.65,6){$0$} \uput[u](4,6){$0,5$} \uput[u](6.5,6){$0,8$} \uput[u](8.8,6){$1$}
\uput[u](0.75,5){$f'_{2}(t)$} \uput[u](1.65,5){$0$} \uput[u](2.5,5){$+$} \uput[u](4,5){$11,25$} 
\uput[u](5.25,5){$+$} \uput[u](6.5,5){$0$} \uput[u](7.75,5){$-$} \uput[u](8.7,5){$- 15$} 
\rput(0.75,4){$f_{2}(t)$}\uput[u](1.65,3){$0$} \uput[d](6.5,5){$6,4$}\uput[u](8.8,3){5}
\uput[u](0.75,2){$g'_{2}(t)$} \uput[u](1.75,2){$-12$} \uput[u](2.75,2){$-$} \uput[u](4,2){$0$} \uput[u](6.5,2){$+$} \uput[u](8.8,2){$12$} 
\rput(0.75,1){$g_{2}(t)$} \uput[d](1.65,2){$3$} \uput[u](4,0){$0$}
\uput[d](8.8,2){$3$}
\psline{->}(1.8,3.3)(6.2,4.7)
\psline{->}(6.8,4.7)(8.6,3.2)
\psline{->}(1.8,1.7)(3.7,0.3)
\psline{->}(4.3,0.3)(8.6,1.8)
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont la même tangente aux points $P_{0}$ et $P_{2}$.
\item \emph{Dans cette question, tous les tracés sont à effectuer sur la figure du 3.} 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point $M_{2}(1/2)$. Placer le point $M_{2}(1/2)$. 
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\end{document}