\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{subfig} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-circ,pst-eucl,pst-3d,pstricks-add} \usepackage{graphicx} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \thispagestyle{empty} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupement E }} \rfoot{\small{}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \begin{center} \begin{huge}\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR } \vspace{0,5cm} \textbf{SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES} \vspace{0,5cm} \textbf{Le GROUPEMENT E de 2001 à 2010} \vspace{0,5cm} \end{huge} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{2001}{2001} \dotfill 3 \medskip \Large \hyperlink{2002}{2002} \dotfill 4 \medskip \Large \hyperlink{2003}{2003} \dotfill 6 \medskip \Large \hyperlink{2004}{2004} \dotfill 7 \medskip \Large \hyperlink{2005}{2005} \dotfill 9 \medskip \Large \hyperlink{2006}{2006} \dotfill 12 \medskip \Large \hyperlink{2007}{2007} \dotfill 14 \medskip \Large \hyperlink{2008}{2008} \dotfill 16 \medskip \Large \hyperlink{2009}{2009} \dotfill 18 \medskip %\Large \hyperlink{2010}{2010} \dotfill \medskip \Large \hyperlink{2011}{2011} \dotfill 25 \medskip} \end{center} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2001 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2001}{} \lfoot{\small{Groupement E}} \rfoot{\small{mai 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2001\\ Groupement E}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$ définie, pour tout $x$ élément de $[- 1~;~3]$ par \[f(x) = - \dfrac{1}{2} x^2 + x + \dfrac{1}{2}\] Soit $(\mathcal{P})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. L'unité graphique est 1~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la dérivée de $f$ \item Étudier le signe de cette dérivée. \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[- 1~;~3]$. \item Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$-1$ &$-0,5$ &0 &0,5&1 &1,5&2 &2,5&3\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la courbe $(\mathcal{P})$ et placer les points A$(-1~;~-1)$, B$(3~;~-1)$ et C$(7~;~-1)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'aire en cm$^2$ du domaine (M) limité par $(\mathcal{P})$ et le segment [AB] est égale à \[I = \int_{-1}^3 [f(x) + 1]\:\text{d}x.\] \item Calculer l'aire du domaine (M) au mm$^2$ près. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire l'image (M$_{1}$) de (M) par la symétrie de centre B. \item Construire l'image (M$_{2}$) de la réunion de (M) et (M$_{1}$) par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$. \item Construire l'image (M$_{3}$) de la réunion de (M), (M$_{1}$) et (M$_{2}$) par la rotation de centre C et d'angle $- \frac{\pi}{2}.$ \item Déterminer l'aire globale de la figure obtenue. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip Soient (EFGH) un carré de côté 6~cm, D le point du segment [EF] tel que ED = 2~cm et J le milieu de [FG]. \begin{enumerate} \item Construire le point K de [HG] tel que $\widehat{\text{DIK}} = 67 \degres $. \item \begin{enumerate} \item Calculer la distance DI. \item Calculer l'angle $\widehat{\text{DIF}}$ (donner sa mesure au degré près). \item En déduire l'angle $\widehat{\text{KIG}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la distance KI. \item Calculer l'aire du triangle DIK. Donner sa mesure au mm$^2$ près. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la distance KD. \item Calculer l'angle $\widehat{\text{KDI}}$. Donner sa mesure au degré près. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2002 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2002}{} \lfoot{\small{Groupement E}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2002 - Groupement E}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~5] par \[f(x) = \dfrac{1}{4}\left(x^3 - 9x^2 + 24x\right)\] On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthononné d'unité 1~cm. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans [0~;~5]. \item Dresser le tableau des variations de $f$. \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ à l'origine O du repère. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et sa tangente $T$. \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur [0~;~5] par $g(x) = -x^2 + ax + b$. Déterminer les réels $a$ et $b$ sachant que la courbe représentative de g passe par l'origine O du repère et par le point A de coordonnées (5~;~5). \item Soit $h$ la fonction définie sur [0~;~ 5] par $h(x)= - x^2 + 6x$. \begin{enumerate} \item Calculer $h'(x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de $h$. Étudier le signe de $h'(x)$ lorsque $x$ varie dans [0~;~5]. \item Dresser le tableau des variations de $h$. \item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{h}$ ont, en O, la même tangente $T$. \item Construire la courbe $\mathcal{C}_{h}$ dans le même repère que précédemment. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{h}$. Calculer l'aire de $\mathcal{S}$en cm$^2$ ; on en donnera la valeur exacte et une valeur arrondie au centième. \item Construire les images $\mathcal{C}'_{f}$ et $\mathcal{C}'_{h}$, de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{h}$, par la rotation de centre O et d'angle 90 \degre dans le sens direct (c'est à dire inverse des aiguilles d'une montre). Construire ensuite les images des quatre courbes $\mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{h},~\mathcal{C}'_{f}$ et $\mathcal{C}'_{h}$ par la symétrie de centre O. \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \parbox{0.4\linewidth}{Toutes les mesures de longueur sont en cm et celles de volume en cm$^3$. On considère la figure ci-contre, dans laquelle : \begin{itemize} \item ABCDEFGH est un cube d'arête 6. \item On a placé : \begin{itemize} \item A$'$ sur [AB] tel que AA$' = x$ ; \item B$'$ sur [BC]tel que BB$' = x$ ; \item C$'$ sur [CD] tel que CC$' = x$ ; \item D$'$ sur[DA] tel que DD$' = x$, \end{itemize} où $x$ est un nombre réel de l'intervalle [0~;~6] (On sait alors que A$'$B$'$C$'$D$'$ est un carré) \item On note S le centre du carré EFGH \end{itemize}} \hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,8) \pspolygon(0,0.8)(4.9,0)(6.8,2.1)(6.8,6.9)(1.8,7.7)(0,5.6)%EHGCBA \psline(4.9,0)(4.9,4.8)(6.8,6.9)%HDC \psline(0,5.6)(4.9,4.8)%AD \pspolygon(3.35,1.4)(4,4.95)(6.3,6.35)(2.85,7.5)(0.55,6.2)%SD'C'B'A'S \psline(3.35,1.4)(2.85,7.5)%SB' \psline(3.35,1.4)(6.3,6.35)%SC' \psline(0.55,6.2)(4,4.95)%A'D' \psline[linestyle=dashed](0,0.8)(1.8,2.9)(1.8,7.7)%EFB \psline[linestyle=dashed](1.8,2.9)(6.8,2.1)%FG \uput[ul](0,5.6){A} \uput[u](1.8,7.7){B} \uput[ur](6.8,6.9){C} \uput[ul](4.9,4.8){D} \uput[dl](0,0.8){E} \uput[ur](1.8,2.9){F} \uput[r](6.8,2.1){G} \uput[d](4.9,0){H} \uput[ul](0.55,6.2){A$'$} \uput[u](2.85,7.5){B$'$} \uput[dr](6.3,6.35){C$'$} \uput[u](4,4.95){D$'$} \uput[d](3.35,1.4){S} \end{pspicture}} \bigskip \begin{enumerate} \item Montrer que le volume noté $V(x)$ de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est $V(x) = 4\left(x^2 - 6x + 18\right)$. On rappelle que le volume d'une pyramide est égal à $\dfrac{1}{3}b \times h$ où $b$ désigne l'aire de sa base et $h$ la mesure de sa hauteur. \item On prend maintenant $x = 2$. \begin{enumerate} \item Calculer alors les mesures, arrondies au centième, des arêtes de la pyramide. \item Calculer ensuite la mesure en degré, arrondie au centième, de l'angle $\widehat{\text{A}'\text{SC}'}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2003 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2003}{} \lfoot{\small{Groupement E}} \rfoot{\small{juin 2003}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2003 - Groupement E}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 13 points} \medskip Soit la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[g(x) = ax^3 + bx + c~ \text{où}~a,~ b~\text{et}~ c~ \text{désignent trois nombres réels}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ sachant que la courbe représentative de $g$ passe par les points A(0~;~2) et B(2~;~14) et que $g'(1) = 5$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x) = x^3 + 2x + 2.\] On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonetion $f$ dans un repère orthogonal d'unité 1~cm pour l'axe des abscisses et 0,5~cm pour l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-2 ~;~ 2]$. \item Dresser le tableau des variations de $f$ sur cet intervalle. \item Tracer la partie $\Omega$ de la courbe $\mathcal{C}$, correspondant à l'intervalle $[-2~;~ 2]$, après avoir recopié et rempli le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& $-2$& $-1,5$&$-1$&$-0,5$&0&0,5&1&1,5 & 2\\ \hline $f(x)$& & & & & & & && \\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer sur la courbe $\Omega$ les points A(0~;~2), B(2~;~14) et le point C d'abscisse $-2$. \item Déterminer une équation de la droite (AB). \item Montrer que le point C appartient à la droite (AB). \end{enumerate} \item Calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, de la partie du plan délimitée par la courbe $\Omega$, la droite (AB) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. \item Construire l'image $\Omega_{1}$ de $\Omega$ par la symétrie orthogonale d'axe la droite (AB). \item Soit $\Omega_{2}$ la réunion des courbes $\Omega$ et $\Omega_{1}$. Construire l'image $\Omega_{3}$ de $\Omega_{2}$ par la rotation de centre A et d'angle 90\degre{} dans le sens direct (c'est à dire celui inverse des aiguilles d'une montre). \item Calculer l'aire du motif obtenu après ces transformations. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points} \medskip La figure est à faire à l'échelle $\dfrac{1}{10}$. \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle ABC tel que: AC = 1~mètre, $\widehat{\text{BAC}} = 40$\degre{} et $\widehat{\text{ACB}} = 25$\degre. \item Soit D le milieu du segment [AC]. Construire le triangle ADE tel que \\$\widehat{\text{DAE}} = 85$\degre,~ $\widehat{\text{ADE}} = 50$\degre{} et tel que E et B soient de part et d'autre du segment [AC]. \item Calculer les valeurs arrondies au mm des longueurs AE et AB. \item Calculer les valeurs arrondies au cm$^2$ des aires des triangles ABC et ADE. \item \begin{enumerate} \item Construire l'image de la figure ABCDE par la symétrie orthogonale d'axe (AE). On obtient alors le contour d'un cerf-volant à recouvrir de tissu. \item Calculer la valeur arrondie au \textbf{dm}\boldmath$^2$\unboldmath, de la surface de tissu nécessaire au recouvrement de la structure de ce cerf-volant. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2004}{} \lfoot{\small{Groupement E}} \rfoot{\small{juin 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2004 - Groupement E}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par : \[f(x) = \text{e}^x.\] Recopier et compléter le tableau suivant en donnant des valeurs approchées à $10^{-2}$ près : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0&0,5&1&1,5&2\\ \hline $f(x)$&&&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soit la fonction $h$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par : $h(x) = ax^2 + bx$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels donnés. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la représentation graphique de la fonction $h$ passe par le point A de coordonnées (1 ; 1) et admette en ce point une tangente horizontale, c'est à dire parallèle à l'axe des abscisses. \item Soit la fonction $g$ définie sur l'intcrsalle [0 ; 2] par : $g(x) = - x^2 + 2x$. Déterminer $g'$, fonction dérivée de $g$. Étudier son signe et donner le tableau des variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~2]. \item Soit un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique : 1~cm et dont on placera l'origine au centre dc la feuille. Construire dans ce repère la courbe $\mathcal{C}_{1}$ représentative de la fonction $f$ et la courbe $\mathcal{C}_{2}$ représentative de la fonction $g$. \item On appelle $\mathcal{D}$ le domaine limité par les courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. Calculer l'aire de ce domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$ en valeur exacte, puis en valeur approchée à $10^{-2}$, près. \item Construire le domaine $\mathcal{D}_{1}$, symétrique du domaine $\mathcal{D}$ par rapport à l'origine O du repère. Construire le domaine $\mathcal{D}_{1}$, image, par la rotation de centre O et d'angle 90 \degre, de la réunion des deux domaines $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}_{1}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip On dispose d'un cube ABCDEFGH, dessiné ci-dessous, dont l'arête mesure 6~cm. Soit I le milieu du segment [FF] et J le point du segment [EH] tel que EJ = 2~cm. \medskip On considère la pyramide CIJHG. \begin{enumerate} \item Calculer le volume $V$ de la pyramide CIJHG. On rappelle que le volume d'une pyramide est $\dfrac{1}{3}b \times h$ où $b$ désigne l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide. \item Calculer la longueur de toutes les arêtes de cette pyramide CIJHG. \item Calculer la valeur arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{JIC}}$. \item Calculer l'aire latérale (c'est à dire la somme des aires des cinq faces) de cette pyramide CIJHG. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,12.5) \uput[ul](4.1,9.3){A} \uput[ul](3.5,12.2){B} \uput[ur](11.05,9.4){C} \uput[ur](11.7,6.6){D} \uput[dl](0.6,2.88){E} \uput[ul](0,5.7){F} \uput[r](7.5,3){G} \uput[dr](8.05,0){H} \uput[l](0.3,4.2){I} \uput[d](3,2){J} \pspolygon(4.1,9.3)(3.5,12.2)(11.05,9.4)(11.7,6.6)(8.05,0)(0.6,2.88)%ABCDHE \psline(3.5,12.2)(0,5.7)(0.6,2.88)%BFE \psline(4.1,9.3)(11.7,6.6)%AD \pspolygon[linestyle=dotted](11.05,9.4)(7.5,3)(8.05,0)%CGH \pspolygon[linestyle=dotted](11.05,9.4)(3,2)(0.3,4.2)%CJI \psline[linestyle=dotted](0.3,4.2)(7.5,3)(0,5.7)%IGF \end{pspicture} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2005 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2005}{} \lfoot{\small{Groupement E}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2005 - Groupement E}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm, on considère la courbe ($\Omega$) définie par le système d'équations paramétriques suivant : \[ \left\{\begin{array}{l c l} x(t) &=& 5t^2\\ y(t)&=&- 10t^2 + 10t + 1\\ \end{array}\right.~ \text{où}~ t~ \text{est un paramètre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1]}.\] \begin{enumerate} \item Quelles sont les coordonnées du point A de la courbe ($\Omega$) correspondant à $t = 0$ ? Même question pour le point S de ($\Omega$) obtenu pour $t = \dfrac{1}{2}$. \item Montrer que le point B de coordonnées (5~;~1) est un point de la courbe ($\Omega$). \item Dresser le tableau de variations de la fonction $x$ sur l'intervalle [0~;~1]. \item On se propose d'étudier les variations de la fonction $y$ sur l'intervalle [0~;~1]. \begin{enumerate} \item Calculer $y'$ où $y'$ désigne la fonction dérivée de $y$. \item Étudier le signe de $y'(t)$. \item Dresser le tableau des variations de $y$. \end{enumerate} \item Regrouper tous les résultats obtenus en un seul tableau donnant, en fonction de $t$, les signes de $x'(t)$ et de $y'(t)$ et les variations de $x$ et de $y$. \item Montrer que la tangente en A à la courbe ($\Omega$) est parallèle à l'axe des ordonnées. \item Montrer que la tangente en S à la courbe ($\Omega$) est parallèle à l'axe des abscisses. \item Soit le point C( 0 ; 6) Montrer que la tangente en B à la courbe ($\Omega$) est la droite (BC). \item Dans le repère \Oij{} placer les points A, B et S, tracer les tangentes à ($\Omega$) en ces points puis tracer la courbe ($\Omega$). \item Tracer l'image ($\Omega '$)de la courbe ($\Omega$) par la symétrie orthogonale par rapport à la droite (BC). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Le plan ($\mathcal{P}$) est rapporté au repère orthonormé \Oij. L'unité est le centimètre. La figure de l'annexe 1 (qui n'est pas dessinée à l'échelle) a été réalisée de la manière suivante : On a tracé le cercle ($\Gamma$) de centre O de rayon 6 et les points A(0 ; 6) et B(3 ; 0) et on a complété avec les points : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] C qui est l'un des points d'intersection du cercle de centre B et de rayon BA avec l'axe des abscisses \item[$\bullet~$] et E qui est l'un des points d'intersection du cercle ($\Gamma$) et du cercle de centre A et de rayon AC. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Calculer les longueurs AB, OC et AC. On donnera les valeurs exactes puis arrondies au mm. \item On utilisera les valeurs exactes trouvées au \textbf{1.}. \begin{enumerate} \item Montrer que $\cos \left(\widehat{\text{AOE}}\right) = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$. \item Calculer l'aire du triangle AIDE, on donnera la valeur exacte puis arrondie au mm$^2$. \end{enumerate} \item On admettra que l'angle $\widehat{\text{AOE}}$ mesure exactement 72 \degre. Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle 72 \degre dans le sens trigonométrique c'est à dire inverse de celui des aiguilles d'une montre. \begin{enumerate} \item Quelle est l'image de A par $r$ ? Justifier. \item Placer sur l'annexe 1, \textbf{que vous remettrez avec votre copie}, l'image F de E par $r$, puis l'image G de F par $r$ et enfin l'image H de G par $r$. \item Quelle est l'image de H par $r$ ? Justifier. Quelle est la nature du polygone AEFGH ? Justifier. \end{enumerate} \item Calculer l'aire du polygone AEFGH ; on donnera la valeur exacte puis arrondie au mm$^2$. \item Calculer le périmètre du polygone AEFOH ; on donnera la valeur exacte puis arrondie au mm. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \psset{unit=0.461cm} \begin{pspicture}(-13,-9)(13,9) \psaxes[linewidth=0.5pt,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(-13,-9)(13,9) \uput[ul](0,6){A} \uput[d](3,0){B} \uput[d](-3.708,0){C} \uput[ul](-5.7,1.8){E}\uput[dr](0,0){O} \pscircle(0,0){6} \psarc(3,0){6.7082}{116}{180} \psarc(0,6){7.05342}{216}{238} \psline(0,6)(-5.7,1.8) \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2006 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2006}{} \lfoot{\small{Groupement E}} \rfoot{\small{juin 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement E session 2006} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 5~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est : \[\left\{\renewcommand{\arraystretch}{2.5}\begin{array}{l c l c l} x &=&f(t)& =& - t^3 + 3t\\ y&=&g(t) &=& - 2t^3 - \dfrac{3}{2}t^2 + 3t\\ \end{array}\right. ~ \text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0~;~1]}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ ou $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$. \item Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle [0~;~1]. \item Rassembler les résultats dans un tableau de variations unique. \item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des trois points O, A, B obtenus respectivement pour $t = 0,~ t = 0,5$ et $t = 1$. \item Placer les points O, A, B, tracer avec précision, sur une feuille de papier millimétré, la tangente en chacun des points, puis la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip On considère le quadrilatère ABCD où : AB $= 10$~cm, $\widehat{\text{BAD}} = 90$\degre,~ $\widehat{\text{CAB}} = 30$\degre,~ $\widehat{\text{ABD}}= 30$\degre et $\widehat{\text{DBC}} = 40$\degre (voir la figure). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,6) %\psgrid \pspolygon(1,0)(10.3,0)(7.7,4.4)(1,5.3)%ABCD \psline(1,0)(7.7,4.4) \psline(10.3,0)(1,5.3) \psframe(1,0)(1.4,0.4) \psarc(1,0){1.6}{0}{33} \psarc(10.3,0){1.4}{150}{180} \psarc(10.3,0){1.6}{120}{150} \psarc(10.3,0){1.7}{120}{150} \uput[dl](1,0){A} \uput[dr](10.3,0){B} \uput[r](7.7,4.4){C} \uput[dl](1,5.3){D} \rput(3,0.6){$30$\degre} \rput(8.6,0.5){$30$\degre} \rput(8.7,1.6){$40$\degre} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer AB et BD : donner tes valeurs exactes, puis les valeurs approchées arrondies au millimètre. \item Calculer AC et BC : donner les valeurs exactes, puis les valeurs approchées arrondies au millimètre. \item En déduire DC : préciser la formule utilisée et donner la valeur approchée arrondie au millimètre. \item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du quadrilatère ABCD : préciser la méthode utilisée et donner la valeur approchée arrondie au millimètre cané. \end{enumerate} \bigskip \emph{La méthode utilisée dans cet exercice pour le calcul de \textup{DC} peut être utilisée pour calculer, à partir de deux points \textup{A }et \textup{B} situés sur une côte, la distance séparant deux points \textup{D} et \textup{C} situés en mer.} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2007 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2007}{} \lfoot{\small{Groupement E\\Art céramique\\Expression visuelle}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement E session 2007} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 7 points} \medskip L'objectif de cet exercice est de déterminer le volume du pied d'une table de salon composée d'un plateau carré et d'un pied en forme de tétraèdre tronqué. Le pied de cette table est donc un tétraèdre auquel on a enlevé la partie supérieure (voir figure). \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,10) \psline(0,1.6)(5.3,0)(9.3,1.8)(5.6,6.3)(2.15,6.2)(4.1,5.8)(5.6,6.3)%BCAA'B'C'A' \psline(0,1.6)(2.15,6.2)%BB' \psline(5.3,0)(4.1,5.8)%CC' \psline[linestyle=dashed](5.6,6.3)(3.4,9.1)(4.1,5.8)%%A'SC' \psline[linestyle=dashed](2.15,6.2)(3.4,9.1)(3.6,1)%B'SH \psline[linestyle=dashed](0,1.6)(9.3,1.8)%BA \uput[r](9.3,1.8){A} \uput[l](0,1.6){B} \uput[d](5.3,0){C} \uput[ur](5.6,6.3){A$'$} \uput[ul](2.15,6.2){B$'$} \uput[dr](4.1,5.8){C$'$} \uput[u](3.4,9.1){S} \uput[r](3.6,1){H} \uput[r](3.4,6.2){H$'$} \end{pspicture} \end{center} \medskip On donne BC = 30~cm, AC = 45~cm, AB =60~cm et la hauteur SH = 81~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'angle $\widehat{\text{C}}$ du triangle ABC. Arrondir au degré. \item Calculer l'aire du triangle ABC. Arrondir au cm$^2$. \item Calculer le volume du tétraèdre SABC. Arrondir au cm$^3$. \emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par :} \[V = \dfrac{1}{3}B \times h.\] \emph{où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur du tétraèdre.} \end{enumerate} \item Les plans (ABC) et (A$'$B$'$C$'$) sont parallèles et la hauteur du tétraèdre SA$'$B$'$C$'$ est SH$'= 27$~cm. On donne B$'$C$' = 10$~cm, A$'$C$'$ = 15~cm et A$'$B$' = 20$~cm. Calculer le volume $V'$ du tétraèdre SA$'$B$'$C$'$. Arrondir au cm$^3$. \item Déduire des questions précédentes le volume du pied de cette table. \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 13 points} \medskip Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est : \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \left\{\begin{array}{l c l c l} x&=&f(t)&=& \dfrac{5}{1+t^2}\\ y&=&g(t)&=&t^2 - 3t\\ \end{array}\right.~ \text{où}~t~\text{appartient à l'intervalle}~ [-2~;~3].\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ ou $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$. \item Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle $[-2~;~ 3]$. \item Rassembler les résultats dans un tableau de variations unique. \item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des quatre points E, P, O et R obtenus respectivement pour $t = -2$, pour $t = 0$, pour $t = 1,5$ et pour $t = 3$. \item Placer les points E, F, G et H et tracer avec précision sur une feuille de papier millimétré la tangente en chacun de ces points, puis la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2008 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2008}{} \lfoot{\small{Groupement E\\Art céramique\\Expression visuelle}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement E session 2008} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip On considère le triangle ABC tel que AC = 24~cm, BC = 28~cm et AB = 40~cm. \begin{enumerate} \item Faire un dessin à l'échelle $\dfrac{1}{4}$. \item Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ du triangle ABC. Arrondir à $10^{- 1}$. \item On admet pour la suite que l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ a une mesure de 100,3\degres. Calculer l'aire $S$ du triangle ABC. Arrondir à $10^{- 1}$. \item Pour la suite, on admet que $S = 330,6$~cm$^2$. Calculer l'aire $S'$ du triangle dessiné à la première question. \item On appelle H le pied de la hauteur issue du point C. Placer H sur le dessin. Donner l'expression de l'aire du triangle ABC en fonction de CH. En déduire CH. \item Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. Arrondir à $10^{- 1}$. \item En utilisant un résultat admis au 3. et le résultat obtenu au 6., calculer une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBA}}$. \item On appelle I le point situé sur la droite (CH) à l'extérieur du triangle ABC et tel que IH = 8~cm (sur le dessin, compte tenu de l'échelle, IH = 2~cm). Placer le point I et dessiner le triangle A$'$B$'$C$'$, image du triangle ABC par la rotation de centre I et d'angle $- 90$\degres. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 12 points} \medskip Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} où l'unité graphique sur l'axe des abscisses est 1~cm et l'unité graphique sur l'axe des ordonnées est 2~cm. On considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est: \[\left\{\begin{array}{l c l c l} x&=&f(t)&=& t^3 + t^2 - 6t + 2\\ y& =& g(t)&=& t^2 + t - 4 \end{array}\right.\] où $t$ appartient à l'intervalle $[-3~;~2]$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ où $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$. \item Résoudre dans $[-3~;~2]$ l'équation $g'(t) = 0$. \item On admet que l'équation $f'(t) = 0$ a deux solutions : $t_{1}$ et $t_{2}$,où $t_{1} \approx 1,1$ et $t_{2} \approx - 1,8$. Pour quelles valeurs de $t$ la courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une tangente horizontale ? Pour quelles valeurs de $t$ la courbe $\mathcal{C}$ admet-elle des tangentes verticales ? \item On donne le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont arrondies à $10^{-1}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$&$-3$& $-2,6$& $t_{2} \approx -1,8$&$-1$&$-0,5$\\ \hline $f(t)$&2&6,8&10,2&8&5,1\\ \hline $g(t)$&2&0,2&$-2,6$&$-4$&$-4,3$\\ \hline \multicolumn{5}{c}{}\\ \cline{1-5} $t$&1&$t_{1}\approx 1,1$&1,6&2&\multicolumn{1}{|l}{}\\ \cline{1-5} $f(t)$&$-2$&$-2,1$&$-0,9$&2&\multicolumn{1}{|l}{}\\ \cline{1-5} $g(t)$&$-2$&$-1,7$&0,2&2&\multicolumn{1}{|l}{}\\ \cline{1-5} \end{tabularx} \medskip Calculer $f(0),~ g(0),~f(- 2)$ et $g(- 2)$. \item Établir, sans explication, le tableau des variations conjointes de $f$ et $g$. \item On observe que les deux valeurs $- 3$ et 2 du paramètre $t$ correspondent à un même point E de la courbe $\mathcal{C}$. \begin{enumerate} \item Déterminer un vecteur directeur $\vect{V}$ de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point E obtenu pour $t = -3$. \item Déterminer un vecteur directeur $\vect{V}'$ de la tangente $T'$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point E obtenu pour $t = 2$. \end{enumerate} \item En respectant l'unité graphique imposée, !meer dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$, ses tangentes verticales, sa tangente horizontale et les deux tangentes $T$ et $T'$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2009}{} \lfoot{\small{Groupement E\\Art céramique\\Expression visuelle et d\'esign d'espace}} \rfoot{\small{mai 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement E et Design d'espace session 2009} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. On considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est: \[\left\{\begin{array}{l c l c l} x& =& f(t)& =& t^2 - 4t + 1\\ y&=& g(t) &=&\dfrac{1}{t} \end{array}\right. \quad \text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0,2 ; 5]}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ où $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$. \item Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle [0,2~;~5]. \item Rassembler les résultats dans un tableau de variations unique pour les fonctions $f$ et $g$. \item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des points A et B obtenus respectivement pour $t = 0,5$ et $t = 2$. \item Dans le repère défini ci-dessus, placer les points A et B, tracer avec précision la tangente en chacun de ces points, puis la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \emph{La courbe $\mathcal{C}$, définie à l'aide d'un paramètre dans cet exercice, peut aussi être obtenue comme courbe représentative de la fonction associant $x$ à $y$, ce qui n'est pas demandé ici.} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Le solide représenté en annexe est un solide formé de deux pyramides de base carrée, dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux de côté 9~cm. \medskip \begin{enumerate} \item On rappelle que la projection orthogonale H de E sur le plan ABCD est le milieu du segment [AC]. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de EH. \item Calculer le volume V de ce solide. Arrondir au mm$^3$. \end{enumerate} \hspace{-1.2cm}\fbox{Le volume $v$ d'une pyramide de hauteur $h$, dont l'aire de la base est $a$, est : $v = \dfrac{1}{3}ah.$} \medskip \item \begin{enumerate} \item Sur la figure donnée en annexe, placer les quatre points suivants : \begin{description} \item[ ] le point $M$ du segment [EA] tel que E$M = \dfrac{1}{3}$ EA, 3 \item[ ] le point $N$ du segment [EB] tel que E$N$ = E$M$, \item[ ] le point $P$ du segment [EC] tel que E$P$ = E$M$, \item[ ] le point $Q$ du segment [ED] tel que E$Q$ = E$M$. \end{description} \item Donner sans justification la nature du quadrilatère $MNPQ$. \item Calculer le volume $V'$ de la pyramide E$MNPQ$. Arrondir au mm$^3$. \end{enumerate} \item On enlève du solide la pyramide E$MNPQ$ et on fait de même en chacun des cinq autres sommets A, B, C, D, F. \begin{enumerate} \item Représenter sur la figure donnée en annexe chacune des faces du solide ainsi obtenu. \item Donner sans justification le nombre de faces et la nature des deux types de faces de ce solide. \item Calculer le volume $V_{1}$ de ce solide. Arrondir au mm$^3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,8) %\psgrid \psline(0.2,3.2)(5.3,2.5)(7.6,3.9)%ABC \psline[linestyle=dashed](7.6,3.9)(2.95,4.6)(0.2,3.2)%CDA \pspolygon(0.2,3.2)(4,0)(7.6,3.9)(4,7.3)%AFCE \psline(4,0)(5.3,2.5)(4,7.3)%FBE \psline[linestyle=dashed](4,0)(2.95,4.6)(4,7.3)%FDE \psdots[dotstyle=*](1.9,2.96)(3.65,2.72)(6.1,3)(6.9,3.5)(6,4.15)(4.3,4.4)(2.1,4.15)(1.25,3.7)(1.6,4.7)(2.8,6)(5.15,6.2)(6.4,5)(6.3,2.52)(5.2,1.3)(2.9,0.94)(1.6,2.05)(3.65,1.6)(3.3,3)(3.27,5.4)(3.5,6) \uput[l](0.2,3.2){A} \uput[dr](5.3,2.5){B} \uput[r](7.6,3.9){C} \uput[ul](2.95,4.6){D} \uput[u](4,7.3){E} \uput[d](4,0){F} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2010}{} \lfoot{\small{Groupement D}} \rfoot{\small{mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement D session 2010} \end{center} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \begin{center} \textbf{\emph{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}} \end{center} \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle $(E)$: \[y' + 2y = 2\mbox{\text{e}}^{-2t},\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle \[(E_0)\;:\; y'+ 2y = 0.\] \item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $h(t) = 2t\mbox{ e}^{-2t}$. Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui prend la valeur $1$ pour $t=0$. \end{enumerate} \textbf{B. Étude d'une fonction.} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[f(t)=(1 + 2t)\text{e}^{-2t}.\] On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \rightarrow +\infty} f(t)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : $f'(t) = - 4t\text{e}^{-2t}$. \item En déduire le signe de $f'(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de valeurs donné en \textbf{annexe}. Arrondir à $10^{-2}$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère donné en \textbf{annexe}. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{C. Application de la partie B} \medskip Dans les régions de production, on peut contrôler le taux de sucre des melons avec un réfractomètre à mesure rapide. \medskip Le taux de défaillance du réfractomètre dans l'intervalle de temps $[0~;~+\infty[$ peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[g(t) = 1 - f(t) = 1 - (1 + 2t)\text{e}^{-2t},\] où $t$ est exprimé en heures et $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie B}. \begin{enumerate} \item Dans cette question, on donnera les valeurs exactes puis les valeurs arrondies à $10^{-2}$. \begin{enumerate} \item Quel est le taux de défaillance du réfractomètre au bout d'une heure ? \item Quel est le taux de défaillance du réfractomètre au bout de deux heures ? \end{enumerate} \item Pour des raisons de fiabilité, on doit changer le réfractomètre lorsque le taux de défaillance est supérieur ou égal à 0,75. \begin{enumerate} \item Montrer que le taux de défaillance est supérieur ou égal à 0,75 lorsque $f(t)\leqslant 0,25$. \item En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ tracée en \textbf{annexe}, déterminer graphiquement à $10^{-1}$ près, la durée d'utilisation du réfractomètre. On laissera les traits de construction apparents. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \begin{center} \textbf{\emph{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}} \end{center} Une usine fabrique en grande quantité des récipients cylindriques pour le laboratoire. \vspace{0,5cm} \textbf{A. Loi normale} \medskip Le couvercle d'un récipient est conçu pour avoir un diamètre de 60 millimètres. Il est non défectueux lorsque son diamètre, exprimé en millimètres, appartient à l'intervalle $[59,93 \; ; \; 60,07]$. \medskip On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe le diamètre, en millimètres, de son couvercle. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 60 et d'écart type $0,03$. Calculer la probabilité qu'un récipient prélevé au hasard dans la production ait un couvercle non défectueux. On arrondira à $10^{-2}$. \bigskip \textbf{B. évènements indépendants} \medskip Les récipients fabriqués sont susceptibles de présenter deux défauts : un défaut au niveau de leur couvercle ou un défaut de convenance. On prélève un récipient au hasard dans la production d'une journée. On considère les évènements suivants: $E_1$: \og le couvercle du récipient prélevé est défectueux \fg{}; $E_2$: \og le récipient prélevé présente un défaut de contenance \fg. On suppose que les évènements $E_1$ et $E_2$ sont indépendants. On admet que : $P(E_1) = 0,02$ et $P(E_2)=0,01$. \medskip \textbf{Dans cette partie, on donnera les valeurs exactes des probabilités demandées.} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée présente les deux deux défauts. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée présente au moins un des deux défauts. \item Calculer la probabilité qu'un récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée ne présente aucun des deux défauts. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Loi binomiale et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson} \medskip On prélève au hasard 50 récipients dans un stock pour vérification de leur couvercle. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~ récipients. On rappelle que la probabilité qu'un récipient prélevé au hasard ait un couvercle défectueux est égale à 0,02. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 50 récipients, associe le nombre de récipients de ce prélèvement ayant un couvercle défectueux. \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale. Déterminer les paramètres de cette loi. \item Calculer la probabilité que, dans un prélèvement, un seul récipient ait un couvercle défectueux. On arrondira à $10^{-2}$. \item On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. \item On désigne par $Y_1$ une variable aléatoire suivant la loi de \P de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est la valeur obtenue au \textbf{a}. En utilisant la loi suivie par $Y_1$, calculer la probabilité qu'au plus trois récipients d'un prélèvement aient un couvercle défectueux. On arrondira à $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{D. Intervalle de confiance} \medskip Dans cette partie on s'intéresse à la contenance de chaque récipient, exprimée en centimètres cubes. On prélève au hasard et avec remise un échantillon dans un lot important. Soit $\overline{C}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon prélevés au hasard et avec remise dans le lot, associe la moyenne des contenances des récipients de cet échantillon. On suppose que $\overline{C}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{50}}$ avec $\sigma = 0,06$. Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à $10^{-2}$, est : $\overline{x} = 119,88$. Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{x}$ de la moyenne $\mu$ des contenances des récipients de ce lot, avec un taux de confiance supérieur ou égal à 95\:\%. On arrondira à $10^{-2}$ les bornes de cet intervalle. \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} \end{center} \textbf{Exercice 1, Partie B, question 3.} \medskip \begin{enumerate} \item Tableau de valeurs (arrondies à $10^{-2}$) de la fonction $f$\\ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &0,5 &1 &1,5&2 &3 \\ \hline $f(x)$ & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \item Tracé de la courbe $\mathcal{C}$\\ \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(0,0)(16,12) \psgrid[gridwidth=0.8pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=2,subgridwidth=0.4pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,0)(16,12) \psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(16,12) \uput[d](0,0){\textbf{0}} \uput[d](5,0){\textbf{1}} \uput[d](10,0){\textbf{2}} \uput[d](15,0){\textbf{3}} \uput[d](16,0){$x$} \uput[l](0,0){\textbf{0}} \uput[l](0,10){\textbf{1}} \uput[l](0,12){$y$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2011}{} \lfoot{\small{Groupement E\\Concepteur en art céramique\\Design de communication\\D\'esign d'espace\\Design de produit}} \rfoot{\small{10 mai 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement E et Design d'espace session 2011} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk{} d'unité graphique 1~cm. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-2.5,-3)(5,4.5) %\psgrid \psline(1.55,1.8)(-1.5,-1.7)%axe des x \psline(-2.5,0.4)(4.2,-0.6)%axe des y \psline(0,-3)(0,4)%axe des z \psline(-1.2,-1.4)(2.2,-1.9)(3.4,-0.5)(3.4,2.75)(0,3.3)(-1.2,1.8)(2.2,1.3)(2.2,-1.9)%ABCGHEFB \psline(3.4,2.75)(2.2,1.3)%GF \psline(-1.2,1.8)(-1.2,-1.4) \rput(-1.6,-1.7){$x$}\rput(4.3,-0.6){$y$}\rput(0,4.2){$z$} \uput[ul](0,0){O} \uput[ul](-1.2,-1.4){A} \uput[d](2.2,-1.9){B} \uput[ur](3.4,-0.5){C} \uput[ur](3.4,2.75){G} \uput[ul](0,3.3){H} \uput[l](-1.2,1.8){E} \uput[dr](2.2,1.3){F} \uput[dl](0,-1.6){K} \uput[dr](2.65,-1.4){L} \psdots(0,-1.6)(2.65,-1.4)(1.1,-0.15)(0,1.1)(-0.4,-0.467) \uput[d](1.1,-0.15){1}\uput[ul](-0.4,-0.467){1}\uput[l](0,1.1){1} \end{pspicture} \end{center} \medskip On a représenté ci-dessus un cube ABCOEFGH d'arête 3~cm. On appelle K le point de [AB] tel que: AK $= \dfrac{1}{3}$AB, et L le point de [BC] tel que : BL $= \dfrac{1}{3}$BC. \medskip \emph{A. Étude du triangle }KLF \medskip \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points B, F, K et L. \item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{FK}}$ et $\vect{\text{FL}}$ ont pour coordonnées : \[\vect{\text{FK}}(0~;~- 2~;~- 3) \quad \text{et} \quad \vect{\text{FL}}(- 1~;~0~;~- 3). \] \item \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes de $\|\vect{\text{FK}}$\,;\, $\|\vect{\text{FL}}\|$ et $\vect{\text{FK}} \cdot \vect{\text{FL}}$. \item En déduire la valeur approchée arrondie à $10^{- 1}$ de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{KFL}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{FK}} \wedge \vect{\text{FK}}$. \item En déduire que l'aire du triangle KFL est égale à 3,5~cm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Étude du solide tronqué} AKLCOEFGH \medskip On enlève au cube ABCOEFGH de départ, le tétraèdre KBLF. On obtient ainsi le solide tronqué AKLCOEFGH. \begin{enumerate} \item Donner sans justification la nature des faces du solide tronqué AKLCOEFGH. \item Montrer que l'aire totale de toutes les faces du solide AKLCOEFGH est égale à 52~cm$ ^2$. \item Calculer le volume du solide AKLCOEFGH. (On rappelle que le volume de la pyramide est donné par : $V = \dfrac{1}{3}B \times h$ où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip On utilise un modèle de Bézier pour créer un logo. \medskip Dans le plan muni d'un repère orthononnal \Oij{} d'unité graphique 4~cm, on considère les points : \[\text{P}_{0}(0~;~0) \quad ;\quad \text{P}_{1}(1~;~0)\quad ; \quad \text{P}_{2}(1~;~1) \quad \text{et} \quad \text{P}_{3}(0~;~2).\] La courbe de Bézier $\mathcal{C}$ définie par les quatre points de contrôle $\text{P}_{0},\, \text{P}_{1},\, \text{P}_{2},\, \text{P}_{3}$ est l'ensemble des points $M(t)$ tels que pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~ 1] : \[\vect{\text{O}M}(t) = (1 - t)^3 \vect{\text{OP}_{0}} +3t(1 - t)^2\vect{\text{OP}_{1}}+3t^2(1 - t)\vect{\text{OP}_{2}} + t^3\vect{\text{OP}_{3}}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que les coordonnées $x$ et $y$ des points $M(t)$ de cette courbe ont pour expression: \[x = f(t) = - 3t^2 + 3t\quad \text{et} \quad y = g(t) = - t^3 + 3t^2.\] \item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$, définies sur [0~;~ 1] par : \[f(t) =-3t^2 + 3t\quad \text{et} \quad g(t) = - t^3 + 3t^2.\] Rassembler les résultats dans un tableau unique. \item \begin{enumerate} \item Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des points $\text{P}_{0}$, obtenu pour $t = 0$, $M\left(\dfrac{1}{2}\right)$, obtenu pour $t = \dfrac{1}{2}$ et $\text{P}_{3}$, obtenu pour $t = 1$. Sur une feuille de papier millimétré, placer ces points dans le repère défini ci-dessus et tracer les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ correspondantes. \item Placer le point $\text{P}_{2}$ sur la figure. Que représente le vecteur $\vect{\text{P}_{2}\text{P}_{3}}$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin 2011 %%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}