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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\thispagestyle{empty}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe D}}
\rfoot{\small{}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}


\begin{center} 
  
\begin{huge}\textbf{BREVET  DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR }
\vspace{0,5cm}

\textbf{SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Le GROUPEMENT D de 2001 à 2011}
\vspace{0,5cm}
\end{huge}

\begin{Large}
\textbf{Durée : 2 heures}
\vspace{0.5cm}

\end{Large}

\begin{tabular}{|p{10cm}|c|}
\hline
\centering{Spécialité}  & Coefficient \\ 
\hline 
\vrule height 14pt depth 5pt width 0pt Analyses Biologiques & 1\\
\hline
\vrule height 14pt depth 5pt width 0pt Bioanalyses et contr\^oles & 2\\
\hline
\vrule height 14pt depth 5pt width 0pt Biotechnologie & 1,5\\
\hline
\vrule height 14pt depth 5pt width 0pt Hygiène Propreté Environnement & 2\\
\hline
\vrule height 14pt depth 5pt width 0pt Métiers de l'eau & 1,5\\
\hline
\vrule height 14pt depth 5pt width 0pt Peintures, encre et adhésifs & 2\\
\hline
\vrule height 14pt depth 5pt width 0pt Industries Plastiques à  Référentiel Commun & 1,5\\
\hline
\vrule height 14pt depth 5pt width 0pt Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries & 2\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

{\Large  \hyperlink{2001}{Métropole  2001} \dotfill 3  \medskip

\Large  \hyperlink{2002}{Métropole  2002} \dotfill 5  \medskip

\Large  \hyperlink{2003}{Métropole  2003} \dotfill 7  \medskip

\Large  \hyperlink{2004D1}{Métropole  2004} \dotfill 9  \medskip

\Large  \hyperlink{2004D2}{Métropole  2005} \dotfill 12  \medskip

\Large  \hyperlink{2005}{Métropole  2005} \dotfill 15  \medskip

\Large  \hyperlink{2006}{Métropole--Polynésie  2006} \dotfill 17  \medskip

\Large  \hyperlink{2007}{Métropole--Polynésie  2007}  \dotfill 20  \medskip

\Large  \hyperlink{2008}{Métropole--Polynésie 2008} \dotfill 23  \medskip

\Large  \hyperlink{2009}{Métropole--Polynésie 2009} \dotfill 28  \medskip

\Large  \hyperlink{2010}{Métropole--Polynésie 2010} \dotfill 32  \medskip

\Large  \hyperlink{2011}{Métropole--Polynésie 2011} \dotfill 36  \medskip}
\end{center}
\newpage ~

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2001  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2001}{}

\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{mai 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2001\\ Groupement D}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}.

\medskip

On se propose d'étudier l'évolution en fonction du temps des températures d'un bain et d'un solide plongé dans ce bain. Ces températures (à l'instant $t$) sont respectivement notées $\alpha(t)$ et $\beta(t)$. Le temps $t$ est exprimé en seconde et les températures en \degre C.\\

\medskip

\textbf{Partie A }

\medskip

 Les températures $\alpha(t)$ et $\beta(t)$ vérifient les conditions suivantes :

\[\left\{
\begin{array}{l c l}
(1)\text{ } \alpha'(t)&=&- 0,011 ( \alpha(t) - \beta(t)) \\
(2) \text{ } \beta'(t)&=&0,021 ( \alpha(t) - \beta(t) ) \\
\end{array}
\right.
~\text{avec}~
\left\{
\begin{array}{l c l}
\alpha(0)&=&40 \\
\beta(0)&=&10 \\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item On pose $f(t)=\alpha(t) - \beta(t) $.
	\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est une solution de l'équation différentielle $y' + 0,032y = 0$.
		\item Résoudre l'équation précédente.
		\item Calculer $f(0)$ et montrer que $f(t)=30e^{-0,032t}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la primitive de $f$ qui vérifie $F(0)=0$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $F(t)$ en fonction de $t$.
		\item À l'aide de la condition (2) justifier que $\beta(t)=K+0,021F(t)$ où $K$ est une constante.
		\item Déterminer $K$ et donner une expression de $\beta(t)$ en fonction de $t$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie B }

\medskip

 Pour tout $t$ dans $[0~;~+\infty[$ on pose $\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\alpha(t)=\cfrac{5}{16} \left( 95+33 e^{\frac{-4t}{125}} \right) \\
\beta(t)=\cfrac{5}{16}\left( 95-63e^{\frac{-4t}{125}} \right) \\
\end{array}
\right.$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $\alpha$ ainsi que celle de $\beta$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire pour les courbes représentatives de ces deux fonctions ?
\item Calculer la dérivée et donner les variations de chacune des fonctions $\alpha$ et $\beta$.
\item Construire les courbes représentatives des fonctions $\alpha$ et $\beta$ dans un repère orthogonal (sur papier millimétré ; unités graphiques: 1~cm pour 5~secondes en abscisses et 2~cm pour 5\degre C en ordonnée; on fera varier $t$ entre 0 et 120 secondes).
\item A partir de quel instant la différence de température entre le solide et le bain est-elle inférieure à 1\degre C ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

Un magicien prétend qu'il peut souvent deviner à distance la couleur d'une carte tirée au hasard d'un jeu de cartes bien battu et comportant des cartes de deux couleurs différentes en nombre égal.

On appelle $p$ la probabilité que le magicien donne une réponse juste (succès) lors d'un tirage.

Si le magicien est un imposteur on a $p=\dfrac{1}{2}$, sinon $p>\dfrac{1}{2}$.

On appellera échantillon de taille $n$ toute réalisation de $n$ tirages successifs d'une carte dans le jeu, avec remise.\\

\textbf{Partie A }

\medskip

On suppose $p=\dfrac{1}{2}$ et on note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille $n$, associe le nombre de succès du magicien.\\
(On arrondira les probabilités au dix millième le plus proche.)\\
\begin{enumerate}
\item Dans cette question on prend $n = 20$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $Y$ ? Donner ses paramètres.
		\item Calculer la probabilité  $P(Y = 15)$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on prend $n=100$. On admet que la variable aléatoire $Y$ peut être approchée par une variable aléatoire $Z$ suivant une  loi normale.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi normale.
		\item Utiliser cette approximation pour calculer $P(Y > 60)$.\\
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B }

\medskip

On appelle $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille $n$, associe la fréquence des succès obtenus par le magicien au cours des $n$ tirages d'une carte. On admet que $F$ suit la loi normale de moyenne inconnue $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item On construit un test unilatéral permettant de détecter, au risque de 5\:\%, si le magicien est un imposteur.
\item On choisit comme hypothèse nulle $H_0$ : $p=\cfrac{1}{2}$, et comme hypothèse alternative $H_1$ : $p > \cfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Calculer, sous l'hypothèse $H_0$, le réel positif $h$ tel que $P \left( F \leqslant \cfrac{1}{2}+h  \right) = 0,95$.
\item Énoncer la règle de décision du test.
\item Sur un échantillon  de taille 100, le magicien a obtenu 64 succès. Peut-on considérer, au risque de 5\:\%, que le magicien est un imposteur ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2002}{}

\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{BTS : Groupement D}\\
\textbf{Session 2002}
\end{Large}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

Les trois parties traités indépendamment l'une de l'autre.

Pour une étude cardio-vasculaire, on effectue une perfusion lente à débit constant d'une solution marquée par un indicateur radioactif. 

\vspace{0.2 cm}

\textbf{Partie A : Étude expérimentale}

\medskip

On  relève l'évolution de la concentration au  niveau du ventricule droit et on obtient les résultats suivants :

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 &7\\ \hline
$t_i$ : temps en minutes & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\\ \hline
$c_i$ : concentration en microgrammes par  $cm^3$ & 0 & 54 & 84 & 100 & 109 & 114&117\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième le plus proche.
\begin{enumerate}
\item On pose $z_i = \ln \left(120 - c_i\right)$.
Donner les valeurs de $z_i$ pour $i$ variant de 1 à 7.
\item Déterminer par les méthodes des moindres carrés une équation de la droite de régression de $z$ en $t$.
\item Donner une expression de la concentration $c$ en fonction de $t$ déduite de cet ajustement.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Résolution d'une équation différentielle}
 
 \medskip

 On admet que la fonction $c$ est solution de l'équation différentielle 
\[(E)~~ : \quad y' + 0,3y = 36.\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'+0,3y = 0$.
\item Déterminer une solution constante de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire les solutions de $(E)$ et donner la fonction $c$ solution qui vérifie $c(0) = 0$.
\end{enumerate}


\textbf{Partie C : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
\[f(t) = 120\left(1 - \text{e}^{- 0,3t}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Chercher les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ ; que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ?
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal (unités : 1,5~cm pour une unité en abscisse et 1~mm pour une unité en ordonnés).
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[2~;~12]$ et en donner une valeur approchée  à une unité près.
\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

Un atelier produit en grande série des disques de diamètre nominal 25~mm.

\medskip 

\textbf{Partie A  }

\medskip

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à chaque disque de la production associe son diamètre en mm. On admet que 
$X$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $\sigma$.
Un disque est considéré comme valable si son diamètre est compris entre 24,90~mm et 25,08~mm, sinon il est considéré comme défectueux.

\begin{enumerate}
\item On suppose que $\sigma=0,04$. Calculer la probbilité q'un disque pris au hasard dans la production soit défectueux, dans chacun des deux cas suivant :
\begin{enumerate}
\item $m=25$
\item $m=24,99$
\end{enumerate}
\item  On note $\overline{X}$ la  variable aléatoire qui à chaque échantillon de 100~disques de la production associe la moyenne des diamètres de ces 100~disques. On admet que  $\overline{X}$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $0,04$.

\medskip

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100~disques dans la production on souhaite construire un test bilatéral de validité d'hypothèse, pour savoir si l'on peut considérer, au risque 5\:\% que la moyenne $m$ des disques de la production est égale à 25.
\begin{enumerate}
\item  Sous l'hypthèse nulle $H_0$ ($m = 25$) calculer la valeur du réel $d$ tel que :

$P\left(\left|\overline{X}- 25\right|< d\right) = 0,95)$.
\item La moyenne des diamètres des 100~disques de l'échantillon prélevé dans la production est $24,994$. Quelle est la conclusion du test ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

 \textbf{Partie B  }\medskip
 
 On suppose que 3\:\% des disques de laproduction sont défectueux. On prélève au hasard un lot de 60~disques dans la production ; la production étant très importante, ce prélèvement peut être assimilé à un tirage ave remise.

 On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 60~disques, associe le nombre de disques défectueux.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $Y$ ? Donner ses paramètres.
		\item Calculer la probabilité qu'un lot de 60~disques contienne au moins deux disques défectueux (arrondir au millième le plus proche).
	\end{enumerate}
\item On admet que la loi de $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item donner le paramètre de cette loi de Poisson.
		\item En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu 'un lot de 60~disques contienne au moins deux disques défectueux (arrondir au millième le plus proche).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2003}{}

\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{BTS : Groupement D}  \textbf{session 2003}
\end{Large}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A }

\medskip

On considère l'équation différentielle 
\[(E)~~ : \quad 4y' + y = \nombre{1200}\text{e}^{-\frac{1}{4}x}\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la constante réelle $a$ telle que la fonction $h_1$ définie par 

$h_1(x)= ax\text{e}^{-\frac{1}{4}x}$ soit solution de $(E)$.
\item Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ : $4y' + y = 0$ et en déduire les solutions de $(E)$.
\item Déterminer la fonction $h$ solution de $(E)$ qui vérifie $h(6) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B }

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[6~;~+\infty[$ par $f(x)=300(x - 6)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Montrer que $f'(x)=75(10 - x)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[6~;~+\infty[$ et donner son tableau de variations.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. (unités graphiques : 0,5~cm sur l'axe des abscisses ; 1~mm sur l'axe des ordonnées)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C }

\medskip

Une société veut vendre des machines destinées à certaines entreprises. Le prix de vente minimal est fixé à \nombre{10000}~ euros. Le nombre prévisible, $y$, de machines vendues, est fonction du prix proposé, en milliers d'euros, $x$. Une enquête auprès de clients potentiels a donné les résultats suivants:

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 $x_i$ : \small{Prix proposé pour une machine} &  &  &  &  &  &  \\ 
  & 10 & 12,5 & 15 & 17,5 & 20 & 25 \\ 
 \small{en milliers d'euros} &  &  &  &  &  &  \\  
\hline \small{$y_i$ : Nombre prévisible de machines}&  &  &  &  &  &  \\ 
 & 100 & 85 & 62 & 42 & 28 & 11 \\ 
 \small{vendues au prix proposé} &  &  &  &  &  &  \\  \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Représenter les six points du nuage sur le graphique de la question B4.
\item On pose $z_i=\text{ln}\left( \cfrac{y_i}{x_i-6} \right)$. Donner les valeurs de $z_i$ arrondies au millième le plus proche.
\item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ ; les coefficients seront arrondis au millième le plus proche.
\item En déduire une expression approchée de $y$ de la forme 

$y=\alpha (x-6) \text{e}^{\beta x}$.

\end{enumerate}
\item On admet dans cette question que le chiffre d'affaires est $g(x)=xf(x)$ pour $x \geqslant 10$, où $x$ est le prix proposé en milliers d'euros et $f$ la fonction définie dans la partie B.

En étudiant les variations de la fonction $g$ déterminer pour quel prix le chiffre d'affaires est maximal et donner la valeur du maximum.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 9 points}

\medskip

Deux machines $M_A$ et $M_B$ produisent, en grande série, des objets de masse théorique 180~grammes.

\medskip

\textbf{Partie 1 }

\medskip

 On note $X_A$ (respectivement $X_B$) la variable aléatoire qui, à un objet pris au hasard dans la production de la machine $M_A$  (respectivement $M_B$) associe sa masse en grammes. On sait que $X_A$ (respectivement $X_B$) suit une loi normale de moyenne $m_A$  (respectivement $m_B$) et d'écart type $\sigma_A$ (respectivement $\sigma_B$). Un objet est conforme si sa masse est comprise entre 178~g et 182~g.
\begin{enumerate}
\item On donne $m_A=179,8$ et $\sigma_A=1$. Calculer la probabilit\'e qu'un objet pris au hasard dans la production de la machine $M_A$ soit conforme.
\item On donne $m_B=180$ et on sait que 98\:\% des objets fabriqués par la machine $M_B$ sont conformes. Calculer l'écart type $\sigma_B$ (résultat arrondi au centième).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2 }

\medskip

Dans la production totale, 40\:\% des objets proviennent de la machine $M_A$ et 60\:\% de la machine $M_B$. La machine $M_A$ produit 5\:\% d'objets non conformes et la machine $M_B$ en produit 2\:\%.
\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un objet dans la production. Calculer la probabilité que cet objet soit conforme.
\item On prélève au hasard un objet dans la production et on constate qu'il est conforme. Quelle est alors la probabilité (arrondie au millième) que cet objet provienne de la machine $M_A$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3 }

\medskip

 On admet que 96,8\:\% des objets de la production sont conformes. Les objets sont stockés par boîtes de vingt. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui associe à une boîte prise au hasard le nombre d'objets conformes de cette boîte.
\begin{enumerate}
\item Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par $Y$.
\item On choisit une boîte au hasard dans la production. Calculer la probabilité  des évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item tous les objets sont conformes;
\item au moins dix-huit objets sont conformes.\\
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\medskip 

\textbf{Partie 4 }

\medskip

On admet que la variable aléatoire $\overline{X}$ qui associe à un échantillon de taille 100 sa masse moyenne en grammes suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type 0,092.

La valeur exacte de la masse moyenne $m$ des objets étant inconnue, on prélève au hasard un échantillon de 100~objets dont la masse moyenne est 179,93~g . Déterminer un intervalle de confiance, au seuil de risque 10\:\%, de la valeur de $m$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2004D1}{}

\lfoot{\small{Groupement D1}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}
\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement D1 Analyses biologiques - Biochimiste session 2004} 
\end{center}

\textbf{Exercice  1\hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$ :
 
\[y'-y=2 (x+1) \text{e}^x\]

 où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur  $\R$ , $y'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ : $y'-y=0$.
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ de façon que la fonction $g$ définie sur $\R$ par
 
\[g(x) = \left(a x^2 + b x\right) \text{e}^x\]
soit une solution particulière de $(E)$.
\item En déduire la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition initiale : $f'(0)=3$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = (x+1)^2\text{e}^x.\]

On note $\mathcal {C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij d'unités graphiques : 1 cm en abscisse et 4~cm en ordonnée.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et la limite de $f$ en $-\infty$ (on rappelle que, pour $\alpha > 0$, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}x^{\alpha}\text{e}^x=0$).

En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal {C}$.
\item Montrer que $f'(x)=(x+1)(x+3)\text{e}^x$.
\item Etudier les variations de $f$ sur $\R$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Tracer la courbe $\mathcal {C}$ dans le plan repéré par \Oij.
\item Calcul d'aire :
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $F(x) = \left(x^2 + 1\right)\text{e}^x$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item En déduire l'aire exacte $\mathcal {A}$, en $\text{cm}^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal {C}$, l'axe $(Ox)$ et les droites d'équations respectives $x = -1$ et $x = 0$.
		\item Donner la valeur arrondie de $\mathcal {A}$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\emph{Une entreprise fabrique en grande quantité des tiges en plastique de longueur théorique $100$~mm.\\
Les résultats seront arrondis au centième le plus proche.}

\medskip

\textbf{Partie A : Loi normale}

\medskip

Une tige est considérée comme conforme pour la longueur lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, est dans l'intervalle $[99,64~;~100,36]$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tige prise au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que $X$ suit une loi normale de moyenne $100$ et d'écart-type $0,16$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la longueur.
\item Déterminer le nombre réel $a$ tel que $P(X < a) = 0,96$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip

Dans un lot de ce type de tiges, 2\:\% des tiges n'ont pas une longueur conforme. On prélève au hasard $n$ tiges de ce lot pour vérification de  longueur. Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $n$ tiges.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de $n$ tiges, associe le nombre de tiges de longueur non conforme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour cette question on prend $n = 50$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
		\item Calculer $P(Y=3)$.
	\end{enumerate}
\item Pour cette question on prend $n = 100$. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale que l'on décide d'approcher par une loi de Poisson .
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson .
		\item On désigne par $Z$ une  variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est le paramètre obtenu à la question 2. a. À l'aide de l'approximation de $Y$ par $Z$, calculer la probabilité d'avoir au plus 4~tiges de longueur non conforme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\newpage
\vspace{1cm}

\textbf{Partie C : Text d'hypothèse}

\medskip

Un client reçoit un lot important de tiges de ce type. Il veut vérifier que la moyenne $\mu$ de l'ensemble des longueurs, en mm, des tiges constituant ce lot est égale à la longueur théorique.

On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans le lot, associe sa longueur en mm. La variable aléatoire $L$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart-type $0,16$.

On désigne par $\overline{L}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 90~tiges prélevé dans le lot, associe la moyenne des longueurs de ces tiges (le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). $\overline{L}$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma=\dfrac{0,16}{\sqrt{90}} \approx 0,017$.

Le client construit un test d'hypothèse :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item L'hypothèse nulle est $\textbf{H}_0$ : $\mu=100$.
\item L'hypothèse alternative est $\textbf{H}_1$ : $\mu \neq100$.
\item Le seuil de signification est fixé à 5 \%.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $\textbf{H}_0$ déterminer le réel positif $h$ tel que :

\[P(100 - h < \overline{L} < 100 + h) = 0,95.\]

\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item Le client prélève un échantillon aléatoire de 90 tiges dans la livraison et il constate que la moyenne des longueurs de l'échantillon est de 100,04 mm. Le client estime que le fournisseur n'a pas respecté ses engagements et renvoie tout le lot.

Le client a-t-il raison ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2004D2}{}

\lfoot{\small{Groupement D2}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement D2 session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A : résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})~~ :\quad y''-  2y' + y = 2(x + 1)\text{e}^x\]

 où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$,~ $y'$ sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~~: y'' - 2y'-  y = 0$.

\item   Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) =  x^2\text{e}^x$ est une solution particulière de l'équation (E).

\item   En déduire la solution générale de l'équation différentielle (E).

\item   Déterminer la solution $f$ de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales : $f(0) = 1$ et $f'(0) = 3$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par

\[ f(x) =  (x + 1)^2 \text{e}^x.\]

 On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté \`a un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 1~cm en abscisse et 4~cm en ordonnée.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$  et la limite de $f$ en $-\infty$ (on rappelle que, pour $\alpha > 0,~\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^{\alpha}\text{e}^x = 0$.)

En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ .
\item  Montrer que $f'(x) = (x + 1)(x + 3)\text{e}^x$.
\item  Étudier les variations de $f$ sur $\R$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}$  dans le plan repéré par \Oij.

\item  Calcul d'aire
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $F(x) = \left(x^2 +1\right)\text{e}^x$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item 	En déduire l'aire exacte $\mathcal{A}$, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe (O$x$) et les droites d'équations respectives $x = -1$ et \mbox{$x = 0$}.
		\item 	Donner la valeur arrondie de $\mathcal{A}$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
\noindent\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\emph{Une entreprise fabrique en grande quantité des tiges en plastique de longueur théorique $100$~mm.\\
Les résultats seront arrondis au centième le plus proche.}

\medskip

\textbf{Partie A : Loi normale}

\medskip
Une tige est considérée comme conforme pour la longueur lorsque sa  longueur, exprimée en millimètres, est dans l'intervalle $[99,64~;~ 100,36]$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tige prise au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que $X$ suit une loi normale de moyenne $100$ et d'écart-type $0,16$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la longueur.
\item Déterminer le nombre réel $a$ tel que $P(X < a) = 0,96$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip

Dans un lot de ce type de tiges, 2\:\% des tiges n'ont pas une longueur conforme. On prélève au hasard $n$ tiges de ce lot pour vérification de  longueur. Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $n$ tiges.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de $n$ tiges, associe le nombre de tiges de longueur non conforme.

\begin{enumerate}
\item Pour cette question on prend $n = 50$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
		\item Calculer $P(Y = 3)$.
	\end{enumerate}
\item Pour cette question on prend $n = 100$. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale que l'on décide d'approcher par une loi de Poisson .
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson .
		\item On désigne par $Z$ une  variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est le paramètre obtenu à la question 2. a. À l'aide de l'approximation de $Y$ par $Z$, calculer la probabilité d'avoir au plus 4~tiges de longueur non conforme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie C : Text d'hypothèse}

\medskip

Un client reçoit un lot important de tiges de ce type. Il veut vérifier que la moyenne $\mu$ de l'ensemble des longueurs, en mm, des tiges constituant ce lot est égale à la longueur théorique.

On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans le lot, associe sa longueur en mm. La variable aléatoire $L$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart-type $0,16$.

On désigne par $\overline{L}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 90~tiges prélevé dans le lot, associe la moyenne des longueurs de ces tiges (le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). $\overline{L}$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma=\dfrac{0,16}{\sqrt{90}} \approx 0,017$.

Le client construit un test d'hypothèse :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item L'hypothèse nulle est $\textbf{H}_0$ : $\mu=100$.
\item L'hypothèse alternative est $\textbf{H}_1$ : $\mu \neq100$.
\item Le seuil de signification est fixé à 5 \%.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $\textbf{H}_0$ déterminer le réel positif $h$ tel que :
\[P(100 - h < \overline{L} < 100 + h) = 0,95.\]
\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item Le client prélève un échantillon aléatoire de 90 tiges dans la livraison et il constate que la moyenne des longueurs de l'échantillon est de 100,04 mm. Le client estime que le fournisseur n'a pas respecté ses engagements et renvoie tout le lot.

Le client a-t-il raison ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2005}{}

\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement D session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}


\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique fabrique, en très grande quantité, un certain type dc comprimés dont la masse est exprimée en milligrammes.

\begin{center}
 \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath  $10^{-2}$.
  \end{center}

\medskip

\textbf{A. Loi normale}

\medskip

Un comprimé de ce type est considéré comme acceptable pour la masse lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [580~;~620].

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque comprimé prélevé au hasard dans la production, associe sa masse.
 
On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $600$ et d'écart type $9$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard dans la. production soit acceptable pour la masse. 
\item   Déterminer le nombre réel positif $\alpha$ tel que : $P(600-\alpha \leqslant X \leqslant  600+\alpha) = 0,90$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{B. Loi binomiale et approximation d'une loi binomiale}

\medskip

On admet que 3\:\% des comprimés d'un lot important ne sont pas acceptables pour la masse. On prélève au hasard $N$ comprimés de ce lot pour vérification de la masse. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $N$ comprimés.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de $N$ comprimés, associe le nombre de comprimés non acceptables pour la masse.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Dans cette question, on prend $N = 10$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10~comprimés, un comprimé exactement, ne soit pas acceptable pour la masse. 
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10~comprimés, un comprimé au moins, ne soit pas acceptable pour la masse.
	\end{enumerate}
	
\item Dans cette question, on prend $N = 50$. 
	\begin{enumerate}
		\item  On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. 
		\item  On désigne par $Z_{1}$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au \textbf{a.}. En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 50~comprimés, au plus 2~comprimés ne soient pas acceptables pour la masse.
\end{enumerate}
		
\item Dans cette question, on prend $N =  \nombre{1000}$. On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne $30$ et d'écart type $5,39$. On note $Z_{2}$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $30$ et d'écart type $5,39$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier les paramètres de cette loi normale. 
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de \nombre{1000}~comprimés, au plus 25~comprimés ne soient pas acceptables pour la masse, c'est à dire calculer $P\left(Z_{2} \leqslant  25,5\right)$.
	\end{enumerate}
		
\medskip

\textbf{C Intervalle de confiance}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à la masse d'un stock important de comprimés. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de $100$~comprimés dans le stock. Soit $\overline{M}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~comprimés prélevés au hasard et avec remise dans le stock, associe la moyenne des masses des comprimés de cet échantillon.

On suppose que $\overline{M}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$ avec
$\sigma = 9$.

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue est $502$. Déterminer un intervalle de confiance centré sur de la moyenne inconnue $\mu$ des masses des comprimés du stock considéré, avec le coefficient de confiance $95$\:\%.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

On décide de mesurer en fonction du temps la quantité de principe actif d'un médicament présent dans le sang d'un groupe de patients en traitement dans un hôpital.

À l'instant $t$, exprimé en minutes, on note $q(t)$ la quantité exprimée en milligrammes de ce principe actif, contenue dans le sang d'un patient.
\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. }\end{center}

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que la fonction $q$ est solution de l'équation différentielle 

\[(\text{E})~:\quad  4y^{\prime} + y =  - 0,002t +2,992\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur [0~;~\nombre{1440}] et $y^{\prime}$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item   Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) \quad  4y' + y = 0.$

\item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur [0~;~\nombre{1440}] par $g(t) = at + b$ soit une solution particulière de l'équation différentielle (E).

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

\item Déterminer la solution $q$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $q(0) = 0$.
\end{enumerate}
  
\medskip

\textbf{B. Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

On admet dans cette partie que, pour tout $t$ de [0~;~\nombre{1440}], 
\[q(t) = 3 - 0,002t - 3\text{e}^{-\frac{t}{4}}.\]
 On rappelle que le temps $t$ est exprimé en minutes.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $q^{\prime}(t)$ pour tout $t$ de [0~;~\nombre{1440}]. 
		\item  Résoudre dans [0~ ;~\nombre{1440}] l'inéquation $q^{\prime}(t) \geqslant  0$. 
		\item  En déduire le sens de variation de $q$ sur [0~;~\nombre{1440}].
		
La fonction $q$ admet un maximum pour $t =  t_{0}$. Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $t_{0}$ et $q\left(t_{0}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la quantité de principe actif restant dans le sang d'un patient 24~heures après l'injection du médicament. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.

\item Démontrer que la valeur moyenne $V_{m}$ de la fonction $q$ sur [0~;~\nombre{1440}] est :

\[V_{m} = \dfrac{1}{\nombre{1440}}\left(\nombre{2234,4} + 12 \text{e}^{-360}\right).\] 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2006}{}

\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement D session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les quatre parties peuvent être traitées de façon indépendante.}\medskip
\end{center}
Une usine produit de l'eau minérale en bouteille. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille dépasse 6,5 mg par litre, on dit que l'eau de cette bouteille est calcaire.
\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont, sauf indication contraire, à arrondir à}~\boldmath $10^{-3}$.\unboldmath 

\end{center}


\emph{A. Loi binomiale et loi de Poisson}\medskip

\medskip

Dans un stock important de bouteilles, 7,5\:\% des bouteilles contiennent de l'eau calcaire.

On prélève au hasard 40 bouteilles dans le stock pour vérification du taux de calcium. Le stock est assez important pour que l'on puisse
assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 40 bouteilles.

 On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 40 bouteilles, associe le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l'eau calcaire.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item On considère que la loi suivie par $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.
Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette  loi Poisson.
\item On désigne par $X_1$ une variable aléatoire suivant la loi de  Poisson de paramètre  $\lambda$, où  $\lambda$ est la valeur obtenue au \textbf{2.}.

Calculer $P(X_1\leqslant 4)$.

Traduire le résultat obtenu à l'aide d'une phrase.
\end{enumerate}

\emph{B. Loi normale}

\medskip

L'eau minérale provient de deux sources, notées \og source 1 \fg{} et \og source 2 \fg. On rappelle que si le taux de calcium dépasse 6,5~mg par litre dans une bouteille, l'eau de cette bouteille est dite calcaire.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production de la source 1, associe le taux de calcium
de l'eau qu'elle contient. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart-type 1,5.

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(Y\leqslant 6,5)$.
\item En déduire la probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production de la source 1 soit calcaire.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip

On suppose que la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source 1 contienne de 
l'eau calcaire est de $p_1= 0,16$ et que la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production de cette journée de la source 2 contienne de l'eau calcaire est de  $p_2=0,10$.

La source 1 fournit 70\:\%  de la production totale des bouteilles d'eau et la source 2 le reste de cette production.

On prélève au hasard une bouteille d'eau parmi la production totale de la journée.

Toutes  les bouteilles d'eau ont la même probabilité d'êtres tirées.\\
On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[A :] \og la bouteille d'eau provient de la source 1 \fg ;
\item[B :] \og la bouteille d'eau provient de la source 2 \fg ;
\item[C :] \og l'eau contenue dans la bouteille est calcaire \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Déduire des informations figurant dans l'enoncé : 

$P(A)$,$P(B)$, $P(C/A)$, $P(C/B)$.

(On rappelle que $P(C/A)=P_A(C)$ est la probabilité de l'événement $C$ sachant que l'événement $A$  est réalisé.)
\item Calculer $P(C\cap A)$ et $P(C\cap B)$.
\item Déduire de ce qui précède $P(C)$.
\item Calculer la probabilité que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la source 1 sachant qu'elle est calcaire.
\end{enumerate}

\emph{D. Intervalles de confiance}

\medskip

Dans cette question on s'intéresse au taux de calcium de l'eau d'une grande quantité de bouteilles devant être livrées à une chaine
d'hypermarchés.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 bouteilles dans cette livraison.

Soit $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à toute échantillon de 100 bouteilles au hasard et avec remise dans  la livraison,
associe la moyenne des taux de calcium de l'eau contenue dans chacune des bouteilles de cet échantillon.

On suppose que $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\frac{\sigma}{10}$ avec $\sigma = 0,99$.

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à ${10}^{-2}$, est $\overline{x} = 5,37$.
\begin{enumerate}
\item A partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ des taux  de calcium de l'eau contenue dans chacune des bouteilles de la livraison
\item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{x}$ de la moyenne $\mu$ des taux de calcium de l'eau contenue dans chacune des bouteilles de la livraison, avec le coefficient de confiance de 95\%. Arrondir les bornes à ${10}^{-2}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

{\large {\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B de cet exercice  peuvent être traitées de façon indépendante.}
\medskip
\end{center}

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}\medskip

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' + 0,01y = 24$,

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $y'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les solutions sur $[0,+\infty[$ de l'équation différentielle $(E_0)$ : $y' + 0,01y = 0$.
\item Déterminer la constante réelle $a$ pour que la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$  par :

$g(t) = a$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\item Déterminer la solution $v$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $v(0) = 0$.
\end{enumerate}

\emph{B. Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

Soit $v$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
\[v(t) = \nombre{2400}\left(1 - \text{e}^{- 0,01t}\right).\]

\begin{enumerate}
 \item Déterminer $\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty} v(t)$.
\item On désigne par $v'$ la fonction dérivée de la fonction $v$.

Calculer $v'(t)$ pour tout $t$ de $[0,+\infty[$.
\item Déduire de ce qui précède le sens de variation de la fonction $v$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Résoudre sur $[0~;~+\infty[$ l'équation $v(t)=1200$.

Donner  la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée arrondie à ${10}^{-1}$.

\end{enumerate}

\emph{C. Application des résultats de la partie B}

\medskip

Un réservoir contient  60 $m^3$ d'eau destinée à abreuver du bétail.

Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en heures.

À l'instant $t=0$, se déverse dans le réservoir une eau polluée par une substance $M$.

Un système de trop plein permet de conserver à tout instant à partir de l'instant $t = 0$ un volume de 60~m$^3$ dans le réservoir.

On admet, qu'à l'instant $t$ (exprimé en heures), le volume \textbf{exprimé en litres}, de substance polluante $M$ présente dans le réservoir est $v(t)$, où $v$ est la fonction définie dans la partie B.

\begin{enumerate}
 \item  La santé du bétail est menacée lorsque le volume de substance $M$ dans le réservoir atteint  2\:\% du volume total
du réservoir. Déduire d'un résultat obtenu à la partie B la valeur de $t$ à partir de laquelle la santé du bétail est menacée par la présence dans le réservoir de substance $M$.
\item Le volume de substance $M$ dans le réservoir peut-il dépasser 4 \% du volume du réservoir ? Justifier la réponse à 
l'aide d'un résultat de la partie B.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2007}{}

\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2007\\ Groupement D}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill $10$ points}\\
Dans cet exercice on s'intéresse à un flotteur réalisé en plastique allégé.\\
\begin{center} \textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendantes} \end{center}

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle
 
\[(\text{E})~~:\quad  y' - y = - \text{e}^x,\]

 où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle 

\[\left(\text{E}_{0}\right) \quad  y' - y = 0.\]

\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = - x\text{e}^x$. \\Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

\item  Déterminer la solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 2$.
\end{enumerate}
 
 
\medskip

\textbf{B. Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[-2~;~2]$ par
 
\[f(x) =  (2 - x)\text{e}^x.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe representative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{}	où l'unité graphique est 2~centimètres.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $[-2~;~ 2]$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans $[-2~;~ 2]$.
		\item  Établir le tableau de variation de $f$ sur $[-2~;~ 2]$.
 	\end{enumerate}		
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre algébriquement dans $[-2~;~ 2]$ l'inéquation $f(x) \geqslant  2 - x$.
		\item Retrouver graphiquement le résultat du \textbf{3. a}. On fera apparaître sur la figure du \text{2}
les constructions utiles.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[-2~;~ 2]$ par $F(x) = \left(\dfrac{1}{2}x^2 -  \dfrac{5}{2}x + \dfrac{13}{4}\right)\text{e}^{2x}$
est une primitive sur $[-2~;~ 2]$ de la fonction $x \longmapsto  [f(x)]^2$.
		\item  Application :
		
On considère le solide $S$ engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses de la panic du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = - 2$.

\medskip

\emph{Le solide obtenu est utilisé pour réaliser un modèle de flotteur en plastique allégé.}

On admet que le volume $V$, en unités de volume, du solide $S$ est :

\[V = \pi \int_{-2}^2  [f(x)]^2\:\text{d}x.\]
Établir que $V = \dfrac{\pi}{4} \left( \text{e}^x - 41\text{e}^{-4}\right)$.
		\item  Donner la valeur approchée de $V$ en cm$ ^3$ arrondie à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill $10$ points}

\medskip

\begin{center}
  \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

Dans cet exercice, on s'intéresse au contrôle de la qualité de la fabrication du modèle de flotteur décrit dans l'exercice 1.

\medskip
 
\textbf{ A. Loi binomiale}

\medskip

On considère un stock important de flotteurs.

Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-2}$  près.

On dit qu'un flotteur est acceptable si sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [24,5 ; 25,5].

On prélève au hasard un flotteur dans le stock.
 
On note E l'évènement : \og le flotteur prélevé dans le stock est acceptable \fg.
 
On suppose que $P(\text{E}) = 0,26$. On prélève au hasard $n$ flotteurs dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement de $n$ flotteurs à un tirage avec remise.
  
   On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de flotteurs acceptables dans le prélèvement.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

\item  Dans cette question, on suppose $n =  6$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux flotteurs exactement soient acceptables. 
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux flotteurs soient acceptables.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on considère un prélèvement de $n$ flotteurs. 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner, en fonction de $n$ l'expression de $P(X= 0)$. 
		\item  Soit F l'évènement : \og dans le prélèvement, au moins un flotteur est acceptable \fg.
		
Calculer la valeur minimale $n_{0}$ de $n$ telle que $P(\text{F}) \geqslant  0,95$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{B. Loi normale}

\medskip

Dans cette partie les résultats sont à arrondir $10^{-2}$ près.

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque flotteur prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe sa masse exprimée en grammes. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $25$ et d'écart type $1,58$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'un flotteur prélevé au hasard dans la production de la journée ait une masse inférieure ou égale à $27$~grammes.

\item  Calculer la probabilité qu'un flotteur prélevé au hasard dans la production dc la journée ait une masse inférieure ou égale à $24,5$~grammes.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip

Dans cette partie, les résultats sont à arrondir à $10^{-4}$ près.

Les flotteurs sont fabriqués par deux machines notées $M_{1}$ et $M_{2}$.

60\:\% des flotteurs proviennent de la machine $M_{1}$ et 40\:\% proviennent de la machine $M_{2}$.

On admet que 1,3\:\% des flotteurs provenant de la machine $M_{1}$ sont défectueux et que 1,8\:\% des flotteurs provenant de la machine $M_{2}$ sont défectueux.
 
On prélève au hasard un flotteur dans la production d'un mois. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm} 
\begin{itemize}
\item[] $A_{1}$ : \og le flotteur provient de la machine $M_{1}$ \fg{} ;
\item[] $A_{2}$ : \og le flotteur provient de la machine $M_{2}$ \fg{} ;
\item[] $D$ : \og le flotteur est défectueux \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Déterminer $P\left(A_{1}\right), ~P\left(A_{2}\right),~ P\left(D / A_{1}\right)$ et $P\left(D /A_{2}\right)$.

On rappelle que $P\left(D /A_{1}\right) =  P_{A_{1}}(D)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les valeurs exactes des probabilités $P\left(A_{1}  \cap  D\right)$ et $P\left(A_{2} \cap D\right)$.
		\item  En déduire la valeur exacte de la probabilité qu'un flotteur prélevé au hasard dans la production du mois soit défectueux.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un flotteur provienne de la machine $M_{1}$ sachant qu'il est défectueux.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2008}{}

\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{mai 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2008\\ Groupement D}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

{ \large {\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} 

\vspace{0.2 cm}

\emph{Dans cet exercice on s'intéresse à  l'évolution de la température d'une tasse de thé.}

Les deux parties A et B  de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\textbf{A.} \emph{Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' + 0,05y = 1,05$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\vspace{0.2 cm}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $[0,+\infty[$ de l'équation différentielle $(E_0)$ :
 
\[ y'+0,05y = 0.\]
\item Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $h(t)=a$, où $a$ est un nombre réel.
Déterminer le nombre réel $a$ pour que la fonction $h$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui prend la valeur $100$ pour $t=0$.
\end{enumerate}


\textbf{B} \emph{Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $f(t)=79\text{e}^{-0,05t}+21$.

On désigne  par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij.

\textbf{La courbe $\mathcal{C}$ est donnée annexe, à  rendre avec la copie.}
\begin{enumerate}
\item
 	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty} f(t)$.
		\item En déduire  du a. que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
		
Tracer la droite $\Delta$ sur la figure de l'annexe.
       \end{enumerate}
\item Résoudre par le calcul dans $[0~;~+\infty[$ l'équation $f(t) = 21,1$.

Donner la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée arrondie à  ${10}^{-1}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	
 Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ de $[0~ ;~+\infty[$.
		\item Établir le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la valeur moyenne $V_m$ de la fonction $f$ sur $[0~;~120]$ est :

 \[V_m=21+\frac{79}{6}\left(1-\text{e}^{-6}\right).\]
 
\end{enumerate}

\textbf{C.} \emph{Exploitation des résultats des parties A et B}

\medskip

Du thé est mis à  infuser dans une tasse placée dans une pièce où la température ambiante, supposée constante, est de 21\degre C.

Dans  ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minutes.

On admet que la température du thé exprimé en degré Celsius est $f(t)$, où $f$ est la fonction définie au début de la partie B.

\vspace{0.2 cm}

\begin{enumerate}
\item En utilisant le résultat de la question B. 2\degre, donner, à  la minute près, l'instant au-delà  duquel la température du thé
est inférieure à  21,1\degre C.
\item Déterminer graphiquement, à  la minute près, l'instant où la température du thé est de 60\degre C.

On fera apparaître les constructions utiles sur la figure.
\end{enumerate}

\newpage

{\large {\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\vspace{0.2 cm}

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\vspace{0.2 cm}

\emph{Un industriel de l'agroalimentaire conditionne du ketchup dans des bouteilles en verre.}

\vspace{0.2 cm}

\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à  arrondir à   ${10}^{-2}$.}

\vspace{0.2 cm}

\textbf{A.} \emph{Loi normale}\medskip

\vspace{0.2 cm}

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à  chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée associe la masse de sauce, exprimée en grammes, contenue dans cette bouteille.

On suppose que la variable aléatoire $x$ suit la loi normale de moyenne 570 et d'écart type 4.

Une bouteille n'est commercialisée que si la masse de sauce qu'elle contient est comprise entre 560~grammes et 580~grammes.

\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production de la journée soit commercialisée.
\item Calculer la probabilité que la masse de sauce soit supérieure ou égale à  565~grammes.
\end{enumerate}

\vspace{0.2 cm}

\textbf{B.} \emph{Loi binomiale et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un stock important de bouteilles destinées aux livraisons en France, 10\:\% des bouteilles contiennent une masse de sauce inférieure ou égale à  565~grammes.

Les bouteilles sont livrées en France par cartons de 16.

On prélève au hasard 16 bouteilles de ce stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler
ce prélèvement à  un tirage avec remise de 16 bouteilles.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à  tout prélèvement de 16 bouteilles, associe le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent une masse de sauce inférieure ou égale à  565 grammes.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
		\item Calculer la probabilité qu'aucune bouteille de ce prélèvement ne contienne une masse de sauce inférieure ou égale à  565~grammes.
		\item calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, une bouteille au plus, contienne une masse de sauce inférieure ou égale à  565~grammes.
	\end{enumerate}
\item  Les bouteilles destinées à  l'exportation sont conditionnées par colis de 100.

On prélève au hasard 100~bouteilles pour vérification dans le stock destiné à  l'exportation. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à  un tirage avec remise de 100~bouteilles.

On considère la variable aléatoire $Z$ qui, à  tout prélèvement de 100 bouteilles, associe le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent une masse de sauce inférieure ou égale à
 
565~gram\-mes.

On admet que la variable aléatoire $Z$ suit une loi binomiale de paramètres $100$ et $0,1$.
	\begin{enumerate}
		\item On considère que la loi $z$ peut être approchée par une loi de Poisson.

Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.

		\item On désigne par $Z_1$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre  $\lambda$, où $\lambda$ est la valeur obtenue en \textbf{a.}.

Calculer $P(Z_1\leqslant 5)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.2 cm}
\textbf{C.} \emph{Intervalle de confiance}
 
\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à  la masse de sucre, exprimée en grammes, contenue dans chaque bouteille.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 25 bouteilles dans un lot important.

Soit $\overline{S}$  la variable aléatoire qui, à  tout échantillon de 25 bouteilles prélevées au hasard et avec remise dans ce lot, associe la moyenne des masses de sucre contenue dans les bouteilles de cet échantillon.

On suppose que $\overline{S}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\frac{\sigma}{\sqrt{25}}$ avec $\sigma=7$.

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à  $10^{-1}$, est $\overline{s}=137,7$.

Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{s}$ de moyenne $\mu$ des masses de sucre contenu dans chacune des bouteilles de ce lot, avec le coefficient de confiance 95 \%.

\newpage
\lhead{}
\chead{}
\rhead{}
\begin{center}
\begin{large}ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE\end{large}\vspace{2.5 cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(12,12)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridwidth=0.5pt,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(0,0)(12,12)
{\small \psaxes[linewidth=0.6pt,Dx=10,dx=1,Dy=10,dy=1]{->}(0,0)(12,12)}

%\psdots(0,10.25)(1,9.21)(2,8.22)(3,7.22)(4,6.18)(5,5.28)(6,3.89)

\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{12}{2.71828 x -0.5 mul exp 79 mul 21 add 10 div }
\uput{0.1}[45](3,4){$\mathcal{C}$}
\uput{0.1}[0](12,-0.2){$t$}
\uput{0.1}[180](-0.2,12){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2009}{}

\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2009\\ Groupement D}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

{\large {\textbf{Exercice 1 \hfill  9 points}}}

\medskip

Un industriel fabrique des tuyaux en PVC destinés à l'évacuation des eaux sanitaires des 
habitations. 

\bigskip

\emph{A Loi binomiale et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson}

\medskip

\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à } \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item  On s'intéresse à une livraison importante de tuyaux en PVC pour un grand groupe du  secteur de la construction.
 
On note E l'évènement : « un tuyau prélevé au hasard dans la livraison est défectueux ».
 
On suppose que $P(E) = 0,015$.
 
On prélève au hasard 20~tuyaux dans la livraison pour vérification. La livraison est assez 
importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 ~tuyaux.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout a tout prélèvement ainsi défini, associe le 
nombre de tuyaux défectueux de ce prélèvement. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les  paramètres. 
	\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun des tuyaux ne soit 
défectueux. 
	\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux tuyaux au plus soient défectueux.
	\end{enumerate} 
\item  Les tuyaux sont expédiés  dans les dépôts régionaux par lots de 200.
 
On prélève au hasard 200~tuyaux pour vérification dans un stock important. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement a un tirage avec remise de 200 ~tuyaux. 
On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 200~tuyaux, associe le 
nombre de tuyaux de ce prélèvement qui sont défectueux.
 
On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $200$ et $0,015$. 
	\begin{enumerate}
		\item  On considère que la loi de $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson. 
		
Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. 

	\item  On désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où  $\lambda$ a la valeur obtenue au a. 
Calculer $P(Z \leqslant 4)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\emph{B. Loi normale}

\medskip
 
\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont \`a arrondir \`a} \boldmath  $10^{-2}$ \unboldmath 

\medskip

Dans cette partie on s'intéresse au diamètre extérieur des tuyaux, exprimé en millimètres.
 
\begin{enumerate}
\item  On note $D_{1}$  la variable aléatoire qui, à tout tuyau prélève au hasard dans la 
production d'une journée, associe son diamètre extérieur. 
On suppose que la variable aléatoire $D_{1}$  suit la loi normale de moyenne 40 et d'écart type 0,2. Un tuyau ne peut être commercialisé que lorsque son diamètre extérieur est compris  entre 39,6~mm et 40,4~mm. 

Calculer la probabilité qu'un tuyau prélevé au hasard dans la production de la journée soit 
commercialisable. 
\item  L'entreprise désire améliorer la qualité de la fabrication des tuyaux : il est envisagé de modifier le réglage des machines produisant les tuyaux. 

On note $D_{2}$  la variable aléatoire qui, à chaque tuyau prélevé au hasard dans la production 
journalière future, associera son diamètre. On suppose que la variable aléatoire $D_{2}$ suit une loi normale de moyenne 40 et d'écart type $\sigma$.
 
Déterminer $\sigma$ pour que la probabilité qu'un tuyau prélèvé au hasard dans la production journalière future puisse être commercialisable soit égale \`a 0,99. 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

{\large {\textbf{Exercice 2 \hfill  11 points}}}

\begin{center} \textbf{Les deux parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center} 

\medskip

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}
 
On considère l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  2y' + y = 8 \text{e}^{-0,5t} \]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~ 
;~+ \infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$. 

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions sur $[0~ ;~+ \infty[$  de l'équation différentielle 
\[\left(E_{0}\right) : \quad 2y' + y = 0\] 

\item  Soit $h$ la fonction définie sur $[0~ ;~+ \infty[$  par , 
$h(t) =  4t\text{e}^{-0,5t}$. 

Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de 1'équation différentielle $(E)$. 
\item  Déterminer la solution f de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition 
initiale $f(0) = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~15] par
\[ f(t) = (4t + 1)\text{e}^{-0,5t}\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij.
 
Unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 4 cm sur l'axe des ordonnées. 
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$  la fonction dérivée de la fonction $f$. 
On admet que, pour tout nombre réel $t$ de [0~;~15], $f'(t)  = (3,5 - 2t)\text{e}^{-0,5t}$.
 
\textbf{Ce résultat n'a pas à être démontré.} 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le signe de $f'(t)$ sur [0~;~15]. 
	\item Établir alors le tableau de variation de $f$. 
	\end{enumerate}
\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré. 
\item  Soit $F$ la fonction définie sur [0~;~15] par : $F(t) =  (-18 - 8t)\text{e}^{-0,5t}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~15]. 
	\item  On note $I  = \displaystyle\int_{0}^{11} f(t)\: \text{d}t$.  Démontrer que, 
$I = 18 - 106\text{e}^{-5,5}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Application des parties A et B}

 
Dans une usine, on se propose de tester un nouveau modèle de hotte aspirante pour les 
laboratoires. Avant de lancer la fabrication en série, on a réalisé l'expérience suivante avec un prototype : dans un local clos de volume 500 m$^3$, équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO$_{2}$) \`a débit constant.
 
Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minutes.
 
À l'instant $t = 0$, la hotte est mise en marche. Les mesures réalisées permettent d'admettre qu'au bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte, avec $0 \leqslant t \leqslant 15$, le volume de dioxyde de carbone, exprimé en m$^3$, contenu dans le local est $f(t)$  où $f$ est la fonction définie  dans la partie B. 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer le volume de dioxyde de carbone, en m$^3$, présent dans le local au 
moment de la mise en marche de la hotte aspirante. 
\item  L'atmosphère « ordinaire » contient 0,035\:\% de dioxyde de carbone, ce qui correspond pour le local où a été réalisée l'expérience à un volume de 0,175~m$^3$ de dioxyde de carbone.

\medskip
 
À l' aide d'une lecture graphique sur la figure réalisée à la question B. 2., déterminer 
au bout de combien de temps de fonctionnement de la hotte aspirante l'atmosphère dans 
le local clos contenait un volume de dioxyde de carbone inférieur ou égal a 0,175~m$ ^3$. 
\item  Calculer le volume moyen $V_{m}$  de dioxyde de carbone présent dans le local pendant les 11 premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante. Donner la valeur exacte de $V_{m}$  puis la valeur approchée de $V_{m}$ 
 arrondie à $10^{-1}$.
 
 \medskip
  
\emph{La formule donnant la valeur moyenne dune fonction est dans le formulaire ci-joint. }
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2010}{}

\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement D session 2010}  
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\emph{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$: 

\[y' + 2y = 2\mbox{\text{e}}^{-2t},\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, 

et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle 

\[(E_0)\;:\; y'+ 2y = 0.\]

\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $h(t) = 2t\mbox{ e}^{-2t}$.

Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui prend la valeur $1$ pour $t=0$.
\end{enumerate}

\textbf{B. Étude d'une fonction.}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(t)=(1 + 2t)\text{e}^{-2t}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \rightarrow +\infty} f(t)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : $f'(t) = - 4t\text{e}^{-2t}$.
		\item En déduire le signe de $f'(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en \textbf{annexe}. Arrondir à $10^{-2}$.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère donné en \textbf{annexe}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{C. Application de la partie B}

\medskip

Dans les régions de production, on peut contrôler le taux de sucre des melons avec un réfractomètre à mesure rapide.

\medskip

Le taux de défaillance du réfractomètre dans l'intervalle de temps $[0~;~+\infty[$ peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[g(t) = 1 - f(t) = 1 - (1 + 2t)\text{e}^{-2t},\]

où $t$ est exprimé en heures et $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie B}.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on donnera les valeurs exactes puis les valeurs arrondies à $10^{-2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le taux de défaillance du réfractomètre au bout d'une heure ?
		\item Quel est le taux de défaillance du réfractomètre au bout de deux heures ?
	\end{enumerate}
\item Pour des raisons de fiabilité, on doit changer le réfractomètre lorsque le taux de défaillance est supérieur ou égal à 0,75.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le taux de défaillance est supérieur ou égal à 0,75 lorsque $f(t)\leqslant 0,25$.
		\item En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ tracée en \textbf{annexe}, déterminer graphiquement à $10^{-1}$ près, la durée d'utilisation du réfractomètre. On laissera les traits de construction apparents.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\emph{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

Une usine fabrique en grande quantité des récipients cylindriques pour le laboratoire.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{A. Loi normale}

\medskip

Le couvercle d'un récipient est conçu pour avoir un diamètre de 60 millimètres.
 
Il est non défectueux lorsque son diamètre, exprimé en millimètres, appartient à l'intervalle $[59,93 \; ; \; 60,07]$.

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe le diamètre, en millimètres, de son couvercle.

On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 60 et d'écart type $0,03$.

Calculer la probabilité qu'un récipient prélevé au hasard dans la production ait un couvercle non défectueux. On arrondira à $10^{-2}$.

\bigskip

\textbf{B. évènements indépendants}

\medskip

Les récipients fabriqués sont susceptibles de présenter deux défauts : un défaut au niveau de leur couvercle ou un défaut de convenance.

On prélève un récipient au hasard dans la production d'une journée.

On considère les évènements suivants:

$E_1$: \og le couvercle du récipient prélevé est défectueux \fg{};

$E_2$: \og le récipient prélevé présente un défaut de contenance \fg.

On suppose que les évènements $E_1$ et $E_2$ sont indépendants.

On admet que : $P(E_1) = 0,02$ et $P(E_2)=0,01$.

\medskip

\textbf{Dans cette partie, on donnera les valeurs exactes des probabilités demandées.}

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée présente les deux deux défauts.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'un récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée présente au moins un des deux défauts.
		\item Calculer la probabilité qu'un récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée ne présente aucun des deux défauts.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Loi binomiale et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson}

\medskip

On prélève au hasard 50 récipients dans un stock pour vérification de leur couvercle. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~ récipients.

On rappelle que la probabilité qu'un récipient prélevé au hasard ait un couvercle défectueux est égale à 0,02.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 50 récipients, associe le nombre de récipients de ce prélèvement ayant un couvercle défectueux.
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale. Déterminer les paramètres de cette loi.

\item Calculer la probabilité que, dans un prélèvement, un seul récipient ait un couvercle défectueux. On arrondira à $10^{-2}$.
\item On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.
		\item On désigne par $Y_1$ une variable aléatoire suivant la loi de \P de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est la valeur obtenue au \textbf{a}.

En utilisant la loi suivie par $Y_1$, calculer la probabilité qu'au plus trois récipients d'un prélèvement aient un couvercle défectueux. On arrondira à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{D. Intervalle de confiance}

\medskip
Dans cette partie on s'intéresse à la contenance de chaque récipient, exprimée en centimètres cubes.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon dans un lot important.

Soit $\overline{C}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon prélevés au hasard et avec remise dans le lot, associe la moyenne des contenances des récipients de cet échantillon.

On suppose que $\overline{C}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{50}}$ avec $\sigma = 0,06$.

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à $10^{-2}$, est : $\overline{x} = 119,88$.

Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{x}$ de la moyenne $\mu$ des contenances des récipients de ce lot, avec un taux de confiance supérieur ou égal à 95\:\%.

On arrondira à $10^{-2}$ les bornes de cet intervalle.

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\textbf{Exercice 1, Partie B, question 3.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tableau de valeurs (arrondies à $10^{-2}$) de la fonction $f$\\
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$  	&0   	&0,5   	&1  &1,5&2  &3 \\ \hline
$f(x)$  &  		&  		&  	&  	&  	&  \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\item Tracé de la courbe $\mathcal{C}$\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(16,12)
\psgrid[gridwidth=0.8pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=2,subgridwidth=0.4pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,0)(16,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(16,12)
\uput[d](0,0){\textbf{0}}
\uput[d](5,0){\textbf{1}}
\uput[d](10,0){\textbf{2}}
\uput[d](15,0){\textbf{3}}
\uput[d](16,0){$x$}
\uput[l](0,0){\textbf{0}}
\uput[l](0,10){\textbf{1}}
\uput[l](0,12){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin 2010   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2011}{}

\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{10 mai 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement D session 2011}  
\end{center}

\textbf{EXERCICE 1 }\hfill 11 points

\medskip

\textbf{\emph{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}

\bigskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle }

\medskip

On considère l'équation différentielle   

\[(E) : \quad 5y'+y = \text{e}^{-0,2t},\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de la fonction $y$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle 

 \[(E_0)\;:\quad 5y'+y=0.\]
 
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $h(t)=at\text{e}^{-0,2t}$,

où $a$ est une constante réelle.

Déterminer $a$ pour que la fonction $h$ soit une solution particulière de l'équation différentielle  $(E)$.

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle  $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle  $(E)$ qui vérifie la condition initiale : 

\[f(0) = 0.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude d'une fonction.}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(t) = 0,2t \text{e}^{-0,2t}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Montrer que pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : $f'(t) = (-0,04t + 0,2)\text{e}^{-0,2t}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et donner son tableau de variations. On précisera les valeurs remarquables de $t$ et $f(t)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On arrondira les résultats à $10^{-2}$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$ & 0 & 2,5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 \\ \hline 
$f(x)$ &  &  &  &  &  &  &  \\  \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille de papier millimétré fournie.

Sur l'axe des $x$, 2 cm représentent 5 unités. Sur l'axe des $y$, 2~cm représentent 0,05 unités.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Application}

\medskip

À l'aide d'une perfusion, on injecte pendant cinq minutes un médicament  antalgique à un patient. Après l'injection, l'organisme élimine peu à peu le médicament.

On s'intéresse à la quantité de médicament  présente dans l'organisme du patient au cours du temps. L'instant $t = 0$ correspond au début de l'injection.

On fait l'hypothèse qu'à l'instant $t$, exprimé en minute (min), la quantité de médicament  exprimée en millilitre (ml), est égale à $f(t) = 0,2t\text{ e}^{-0,2t}$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie \textbf{B}.

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement, à une minute près, l'instant à partir duquel la quantité de médicament  \textbf{redevient} inférieure à 0,05 ml.

On fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 
		
\[F(t) = (- t - 5)\text{e}^{-0,2t}.\]
		
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
		\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~23]. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$.
		\item Que représente la valeur moyenne calculée au \textbf{b.} dans le contexte de l'exercice ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 } \hfill 9 points

\medskip

\begin{center}
\textbf{\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}}
\end{center}

Une usine fabrique des tubes  en polyéthylène pour le chauffage géothermique.

On s'intéresse à trois types de tubes  appelés tubes  de type 1, tubes  de type 2 et tubes  de type 3.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{A. Loi normale}

\medskip

Un tube  de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètres et 1,65 millimètres.

\begin{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire  qui, à chaque tube  de type 1 prélevé au hasard dans la production d'une journée associe son épaisseur exprimée en millimètre.

On suppose que la variable aléatoire  $X$ suit la loi normale de moyenne  1,5 et d'écart-type  0,07.

Calculer la probabilité qu'un tube  de type 1 prélevé au hasard dans la production de la journée soit accepté au contrôle. On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\item L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes  de type 1 : Il est envisagé pour cela de  modifier le réglage des machines produisant ces tubes .

On note $X_1$ la variable aléatoire  qui, à chaque tube  de type 1, prélevé dans la production future, associera son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire  $X_1$ suit une loi normale de moyenne  1,5 et d'écart-type  $\sigma_1$.

\medskip

Déterminer $\sigma_1$ pour que la probabilité qu'un tube  de type 1 prélévé au hasard dans la production future soit accepté au contrôle soit égale à 0,99.

On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip

On considère un lot de tubes  de type 2.

On note $E$ l'évènement   : \og un tube  prélevé au hasard dans ce lot de tubes  de type 2 est défectueux \fg. On suppose que $P(E) = 0,02$.

On prélève au hasard 20 tubes  de type 2 dans ce lot pour vérification.

Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement  de 20 tubes  de type 2 à un tirage avec remise.

\medskip

On considère la variable aléatoire  $Y_1$ qui, à tout prélèvement de 20 tubes  de type 2, associe le nombre de tubes  défectueux de ce prélèvement.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire  $Y_1$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un tube  soit défectueux.

On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\end{enumerate}  

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip

Un client a passé une commande de tubes  de type 3. La longueur de ces tubes  doit être de 300 millimètres. On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler, au moment de la livraison, la moyenne  $\mu$ de l'ensemble des longueurs, en millimètres, des tubes  de type 3.

On note $Z$ la variable aléatoire  qui, à chaque tube  de type 3 prélevé au hasard dans la livraison, associe sa longueur en millimètres. La variable aléatoire  $Z$ suit la loi normale de moyenne  inconnue $\mu$ et d'écart-type  $\sigma = 1$.

On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire  qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 tubes  de type 3 prélevés dans la livraison, associe la moyenne  des longueurs, en millimètres, des tubes  de cet échantillon. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.

L'hypothèse nulle est $H_0$ : $\mu = 300$. L'hypothèse alternative est $H_1$ : $\mu \neq  300$.

Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse $H_0$, on admet que la variable aléatoire  $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne  300 et d'écart-type  $\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0,10$.

Déterminer sous cette hypothèse le nombre réel positif $h$ tel que :

\[P(300-h\leqslant \overline{Z} \leqslant 300+h)=0,95.\]

On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.

\item En déduire la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item On prélève un échantillon de 100 tubes  de type 3 dans la livraison et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne  des longueurs des tubes  est :

\[\overline{z}\approx 299,90\:\text{valeur arrondie à }10^{-2}.\]

Peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que la livraison est conforme pour la longueur ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin 2011   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}