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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{12 mai 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\huge \textbf{\gray Brevet de technicien supérieur \\\vspace{1cm} Le groupement C de 2001 à 2011}}
  
\end{center}

\vspace{1cm}

{\Large  \hyperlink{2001}{Métropole  2001} \dotfill 3  \medskip

\Large  \hyperlink{2002}{Métropole C1  2002} \dotfill 6  \medskip

\Large  \hyperlink{2002C2}{Métropole C2  2002} \dotfill 8  \medskip

\Large  \hyperlink{2003}{Métropole  2003} \dotfill 10  \medskip

\Large  \hyperlink{2004}{Métropole  2004} \dotfill 12  \medskip

\Large  \hyperlink{2005}{Métropole  2005} \dotfill 15  \medskip

\Large  \hyperlink{2006}{Métropole  2006} \dotfill 17  \medskip

\Large  \hyperlink{2007}{Métropole  2007} \dotfill 20  \medskip

\Large  \hyperlink{2008}{Métropole  2008}  \dotfill 23  \medskip

\Large  \hyperlink{2009}{Métropole--Polynésie} \dotfill 26  \medskip

\Large  \hyperlink{2010}{Métropole 2010} \dotfill 28  \medskip

\Large  \hyperlink{2011}{Métropole 2011} \dotfill 31  \medskip
}
\newpage ~

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2001  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2001}{}

\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{mai 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2001\\ Groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{A -- Équation différentielle.}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) suivante, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle~$x$, définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien :

\[{\rm(E)}\quad xy' - y = \ln x.\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $]0~;~+\infty[$ l'équation différentielle : $xy' - y = 0$.
\item Vérifier que la fonction $h$, définie pour tout $x$ réel appartenant à $]0\,;\,+\infty[$ par \mbox{$h(x)=-\ln x-1$} est une solution particulière de (E).

En déduire l'ensemble des solutions de (E).
\item Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie $f(1)=1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B -- Étude d'une fonction.}

\medskip

Soit la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x)=2x - 1 - \ln x.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en 0 et montrer que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.
\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$. En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C -- Représentation graphique ; calcul d'aire.}

\medskip

On note $\cal C$ la courbe d'équation $y = f(x)$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.
\begin{enumerate}
\item Étudier la position de $\cal C$ par rapport à la droite $\cal D$ d'équation : $y = 2x - 1$.
\item Tracer la partie de la courbe $\cal C$ pour $0 < x\leqslant 3$ ainsi que la droite $\cal D$.

(unité graphique : 4~cm).
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $H\,:\,x\,\mapsto\,x\ln x-x$ est une primitive sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ de la fonction $x\,\mapsto\,\ln x$.
		\item Représenter sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\cal C$, la droite $\cal D$ et les droites $\Delta$ et $\Delta'$ d'équations respectives : $x = \dfrac{1}{2}$ et $ x = 1$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire de ce domaine. (On en donnera une valeur décimale approchée par excès à $10^{-2}$ près.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}
 
\medskip
 
Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes. On donnera les résultats arrondis à $10^{-3}$ près.

Une usine fabrique des billes métalliques. L'étude porte sur le diamètre de ces billes, mesuré en millimètres.

\medskip

\textbf{A - Étude de la production.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bille prise au hasard dans la production de l'usine, associe son diamètre mesuré en millimètres.

On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne~25 et d'écart type~0,44.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

\qquad E$_1$ : \og Le diamètre de la bille est inférieur à 25,2 \fg.

\qquad E$_2$ : \og Le diamètre de la bille est compris entre 24,1 et 25,9 \fg.
\item Certaines billes sont défectueuses. On admet que la probabilité de tirer au hasard une bille défectueuse est 0,04.

Les billes sont conditionnées par paquets de 150. On admet que le choix d'un paquet peut être assimilé à un tirage avec remise de 150 billes.

On note $Y$ la variable aléatoire qui associe à tout paquet choisi au hasard le nombre de billes défectueuses du paquet.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
		\item On admet que la loi de $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Calculer la valeur de $\lambda$ et déterminer la probabilité de l'évènement E$_3$ : \og Il y a au plus 4 billes défectueuses dans le paquet \fg.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B - Commande d'un client.}

\medskip

Un client réceptionne une commande. Il prélève un échantillon de 125~billes choisies au hasard et avec remise dans le lot reçu et constate que le diamètre moyen est égal à 25,1.

On rappelle que pour les billes fabriquées par l'entreprise, la variable aléatoire $X$ qui prend pour valeurs leurs diamètres suit une loi normale d'écart type 0,44.

L'entreprise s'est engagée à ce que la moyenne des diamètres des billes fournies soit de 25.

Le client décide de construire un test bilatéral permettant de vérifier l'hypothèse selon laquelle le diamètre des billes du lot reçu est de 25.
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'hypothèse nulle H$_0$ ? Quelle est l'hypothèse alternative H$_1$ ?
\item On désigne par $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 125 billes, prises au hasard et avec remise, associe la moyenne des diamètres obtenus.
	\begin{enumerate}
		\item Donner sous l'hypothèse nulle la loi de $\bar{X}$. En préciser les paramètres.
		\item Déterminer le nombre $a$ tel que $p\left(25 - a < \overline{X} < 25 + a\right) = 0,95$.
		\item Énoncer la règle de décision du test.
	\end{enumerate}		
\item Au vu de l'échantillon, au risque de 5\:\%, que peut conclure le client sur le respect de l'engagement de l'entreprise ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Document réponse \no 2, \`a rendre avec la copie (exercice 2)}

\bigskip

\textbf{Figure 1 : représentation de la fonction }\boldmath  $s_{1}$ \unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{2.5}{2.718928 x neg exp}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0)
\uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}
\psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2002}{}

\lfoot{\small{Groupement C1}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}

{\Large \textbf{ BTS  Groupement C1    session 2002}}

\end{center}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E}) \quad  4y^{\prime\prime} + 12y^{\prime} + 9y = 36,\]
 où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $4y^{\prime\prime} + 12^{\prime} +9 y = 0$.

\item 	Vérifier que la fonction $h$, définie pour tout réel $x$ par $h(x) =  4$, est une solution particulière de (E). En déduire les solutions de (E).

\item 	Déterminer la solutionfde (E) qui vérifie $f(0) = 5$ et $f^{\prime}(0) = 0,5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) =  (2x + 1)\text{e}^{-1,5x} + 4.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

\item 	Écrire $f(x)$ sous forme développée. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.

\item 	Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$. En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C - Représentation graphique et calcul d'aire}

\medskip

On considère un repère orthononnal du plan \Oij.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y =  4$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.

\item 	Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.

\item 	Pour $x$ appartenant à $[-1/2 ~;~ 3]$, tracer la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ (unité graphique :3~cm).

\item 	On considère l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité sur le graphique par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites $\Delta$ et $\Delta'$  d'équations respectives  $x = -0,5$ et $x = 3$.

	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que la fonction $G$, définie sur $\R$ par $G(x) = - \left(\dfrac{4}{3}x + \dfrac{14}{9}\right)\text{e}^{-1,5x}$, est une primitive de la fonction $g$, définie sur $\R$ par $g(x) = (2x  + 1)\text{e}^{-1,5x}$.

		\item   Exprimer $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale.

		\item   En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en cm$^2$, puis en donner une valeur approchée décimale arrondie à $10^{-2}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

Un grossiste en fournitures de bureau revend un ruban adhésif transparent répondant à deux critères :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[(i)] pouvoir être repositionné au moins une fois sans arracher le support, noté C1 ;
\item[(ii)] ne pas jaunir le papier sur lequel il est posé, noté C2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les réponses des trois parties sont indépendantes. Les résultats numériques seront arrondis à~$10^{-3}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Ce grossiste a trois fournisseurs Rubatop, ADZif et S.A.Col.

Il commande 27\:\% des rubans adhésifs transparents chez Rubatop, 33 \:\% chez ADZif et 40\:\% chez S.A.Col.

Le pourcentage de rubans qui ne répondent pas au critère C1 est 2,9\:\% chez Rubatop, 3,1\:\% chez ADZif et 4,2\:\% chez S.A.Col.

Ensuite, les rubans sont répartis dans le rayon sans tenir compte du fournisseur.
\begin{enumerate}
\item  Un client prend au hasard un ruban adhésif dans le rayon.

Montrez que la probabilité d'obtenir un ruban ne répondant pas au critère C1 est $0,035$ à $10^{-3}$ près.
\item   Le chef de rayon, après réclamation d'un client, a en main un ruban adhésif ne répondant pas au critère C1. Quelle est la probabilité que ce ruban vienne de chez ADZif ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
La probabilité qu'un ruban adhésif jaunisse le papier est de 0,008. Un client achète 500~rubans adhésifs. On assimilera le choix de ces 500~rubans à un tirage aléatoire avec remise.

On s'intéresse à la variable aléatoire $X$ qui compte, dans ce lot de 500~rubans adhésifs, le nombre de ceux qui jaunissent le papier.
\begin{enumerate}
\item  Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item  Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces 500~rubans adhésifs jaunisse le papier ?
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Après leur utilisation, le client s'aperçoit que six rubans adhésifs sur les 500 jaunissent le papier. Il décide donc de demander au grossiste de vérifier si le lot est compatible avec son affirmation d'avoir dans son stock 0,8\:\% des rubans ne satisfaisant pas au critère C2.

Pour étudier cette réclamation, le grossiste construit un test unilatéral.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'hypothèse H$_0$ ? Quelle est l'hypothèse H$_1$ ?
\item  On désigne par $F$ la variable qui, à tout lot de 500 rubans adhésifs prélevés au hasard avec remise, associe la fréquence de rubans qui jaunissent le papier.

On suppose, sous l'hypothèse nulle, que $F$ suit la loi normale de moyenne 0,008 et d'écart type $\sqrt{\dfrac{0,008(1-0,008)}{500}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le nombre $a$ tel que $P(F < 0,008 + a) = 0,95$.
		\item Énoncer la règle de décision du test.
		\item Au risque de 5\:\%, et suite à la requête de son client sur l'échantillon des 500~rubans qu'il a acheté, le grossiste doit-il remettre en cause son affirmation ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2002C2}{}

\rfoot{\small{Session 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}

{\Large \textbf{BTS Groupement C2    session 2002}}

\end{center}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

 \textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E})~~ : \quad y^{\prime\prime}+2y^{\prime} + y = x + 4\],
 où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle : $y^{\prime\prime}+ 2y^{\prime} + y = 0$.
\item Vérifier que la fonction $g$, définie pour tout réel $x$ par $g(x) = x + 2$ est une solution particulière de (E).

En déduire les solutions de (E).
\item Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie les deux conditions $f(0) = 2$ et $f^{\prime}(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}
 
\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f(x) = -x\text{e}^{-x}+ x + 2.\]
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. (On pourra si besoin écrire la fonction sous la forme 
$f(x) = - x\left(\text{e}^{-x} - 1\right)+2$).
\item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$.
\item On admet que le tableau de variations de la fonction $f^{\prime}$ est le suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(7.5,2.5)
\psframe(7.5,2.5)\psline(0,2)(7.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,2.5)
\uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.9,2){$- \infty$}\uput[u](4.5,2){2}\uput[u](7.1,2){$+\infty$}
\rput(0.75,1){$f'(x)$} \rput(1.9,0.2){$- \infty$} \uput[d](4.5,2){$\text{e}^{-2} + 1$}\uput[u](7.3,0){1}
\psline{->}(2,0.4)(4,1.7) \psline{->}(5.1,1.7)(7.1,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

Calculer $f^{\prime}(0)$. En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$.
\item Établir le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

 \textbf{Partie C - Étude graphique}
 
 \medskip
 
On note $\mathcal C$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la droite $\mathcal D$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe~$\mathcal C$.

Déterminer la position de la courbe $\mathcal C$ par rapport à cette droite.
\item  Construire $\mathcal D$ et $\mathcal C$ (unité graphique : 2~cm).
\item  On note $\mathcal A$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée sur le graphique précédent par $\mathcal D$, $\mathcal C$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.

Exprimer $\mathcal A$ à l'aide d'une intégrale.

Déterminer par la méthode de l'intégration par parties la valeur exacte de $\mathcal A$, puis en donner une valeur décimale arrondie au mm$^{2}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

Un grossiste en fournitures de bureau revend un ruban adhésif transparent répondant à deux critères :

\quad (i) pouvoir être repositionné au moins une fois sans arracher le support, noté C1 ;

\quad (ii) ne pas jaunir le papier sur lequel il est posé, noté C2.\\
Les réponses des trois parties sont indépendantes. Les résultats numériques seront arrondis à~$10^{-3}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Ce grossiste a trois fournisseurs Rubatop, ADZif et S.A.Col.\\
Il commande 27\:\% des rubans adhésifs transparents chez Rubatop, 33 \:\% chez ADZif et 40\:\% chez S.A.Col.
Le pourcentage de rubans qui ne répondent pas au critère C1 est 2,9\:\% chez Rubatop, 3,1\:\% chez ADZif et 4,2\:\% chez S.A.Col.\\
Ensuite, les rubans sont répartis dans le rayon sans tenir compte du fournisseur.
\begin{enumerate}
\item  Un client prend au hasard un ruban adhésif dans le rayon.\\
Montrez que la probabilité d'obtenir un ruban ne répondant pas au critère C1 est 0,035 à $10^{-3}$ près.
\item   Le chef de rayon, après réclamation d'un client, a en main un ruban adhésif ne répondant pas au critère C1. Quelle est la probabilité que ce ruban vienne de chez ADZif ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La probabilité qu'un ruban adhésif jaunisse le papier est de 0,008. Un client achète 500~rubans adhésifs. On assimilera le choix de ces 500~rubans à un tirage aléatoire avec remise.

On s'intéresse à la variable aléatoire $X$ qui compte, dans ce lot de 500~rubans adhésifs, le nombre de ceux qui jaunissent le papier.
\begin{enumerate}
\item  Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item  Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces 500~ rubans adhésifs jaunisse le papier ?
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Après leur utilisation, le client s'aperçoit que six rubans adhésifs sur les 500~jaunissent le papier. Il décide donc de demander au grossiste de vérifier si le lot est compatible avec son affirmation d'avoir dans son stock 0,8\:\% des rubans ne satisfaisant pas au critère C2.

Pour étudier cette réclamation, le grossiste construit un test unilatéral.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'hypothèse H$_0$ ? Quelle est l'hypothèse H$_1$ ?
\item  On désigne par $F$ la variable qui, à tout lot de 500 rubans adhésifs prélevés au hasard avec remise, associe la fréquence de rubans qui jaunissent le papier.

On suppose, sous l'hypothèse nulle, que $F$ suit la loi normale de moyenne 0,008 et d'écart type $\sqrt{\dfrac{0,008(1-0,008)}{500}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre $a$ tel que $P(F < 0,008 + a) = 0,95$.
		\item Énoncer la règle de décision du test.
		\item Au risque de 5\:\%, et suite à la requête de son client sur l'échantillon des 500~rubans qu'il a acheté, le grossiste doit-il remettre en cause son affirmation ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2003}{}

\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}

{\Large \textbf{\gray BTS Groupement C    session 2003}}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

Une usine de montage utilise des roulements provenant de deux entreprises de mécanique, l'une située à Reims, l'autre à Nancy. Son stock de roulements provient à 40\:\% de l'entreprise de Reims dont 4,5\:\% de la production est inutilisable. Le reste provient de l'entreprise de Nancy qui fournit 2\:\% de roulements inutilisables.

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On prélève au hasard un roulement dans le stock.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité qu'il soit utilisable, sachant qu'il provient de Reims.
		\item  Déterminer la probabilité qu'il soit utilisable, sachant qu'il provient de Nancy.
		\item  En déduire que la probabilité qu'il soit utilisable est $0,97$.
 	\end{enumerate}
\item On prélève dans le stock, successivement et au hasard, dix roulements. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de ceux qui sont utilisables. On assimilera ce prélèvement à un tirage avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? Préciser les paramètres.
		\item  Déterminer, au centième près par excès, la probabilité que sur ces dix roulements, neuf au moins soient utilisables.
 	\end{enumerate}
\item On prélève dans le stock 100~roulements, successivement et au hasard. On note $Y$ le nombre de ceux qui sont inutilisables. On assimilera ce prélèvement à un tirage avec remise. Ainsi, $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $100$ et $0,03$ ; on approche cette loi par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le paramètre de cette loi de Poisson.
		\item  Déterminer la probabilité que moins de deux roulements soient inutilisables. On donnera un résultat arrondi au centième.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On étudie dans cette partie le diamètre des roulements.

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque roulement, associe son diamètre en millimètres.

On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne $23,65$ et d'écart type $0,02$.
\begin{enumerate}
\item  On choisit au hasard un roulement. Quelle est la probabilité que son diamètre appartienne à l'intervalle [23,61~;~ 23,70] ?
\item   Soit $h$ un nombre réel. Déterminer $h$ tel que $P(23,65 - h < D < 23,65 + h) = 0,90$.

On donnera un résultat arrondi au millième.
\item   En déduire un intervalle $I$ tel que les diamètres des roulements de la production aient la probabilité $0,90$ de lui appartenir.
 \end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de l'exercice sont indépendantes.}\\

\medskip

 Un mobile est propulsé à très grande vitesse sur un axe, puis il est ralenti. On s'intéresse à la vitesse de ce mobile durant le freinage. Dans tout l'exercice, les distances sont exprimées en mètres, les temps en secondes et donc les vitesses en mètres par secondes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les résultats seront arrondis au dixième.

On a relevé les vitesses instantanées $v_{i}$ de ce mobile aux instants $t_{i}$ pour $i$ variant de 0 à 7.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ en s		    &0	&1	&2	&3	&4&5&6&7\\ \hline
$v_{i}$ en m.s$^{-1}$&215&140&85&57&36&29&27&22\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dessiner le nuage de points de cette série statistique et expliquer pourquoi on n'envisagera pas un ajustement affine de ce nuage.
\item  on pose $n_{i}= \ln\left(v_{i} - 15\right)$ pour $i$ variant de 0 à 7. Dresser le tableau de la série $\left(t_{i}~;~ n_{i}\right)$ .
\item  Donner une équation de la droite de régression de $n$ en $t$ par la méthode des moindres carrés.
\item  En déduire une expression de la vitesse $v$ en fonction du temps $t$ sous la forme
\[v = \alpha \text{e}^{\beta t} + \gamma,~ \text{où}~ \alpha,~ \beta~ \text{et}~\gamma~ \text{sont des réels à déterminer.}\]
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une modélisation mathématique permet d'écrire que la vitesse $v$, qui est une fonction positive du temps $t$, est solution de l'équation différentielle 
\[(\text{E})\quad  2y' + y = 15,\]
 où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $t$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation $2y' + y = 0$.
\item  Rechercher une fonction constante solution particulière de l'équation (E).
\item  En déduire la solution générale de l'équation (E).
\item  Déterminer la fonction $v$, solution de (E), qui vérifie $v(0)=  215$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On admet que la vitesse du mobile est donnée par la fonction $v$, définie sur $[0~;~ + \infty[$ par :
\[v(t) = 200\text{e}^{- \frac{1}{2} t}+15.\]
\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $v$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item  Montrer que ce système de freinage ne permet pas, en théorie, au mobile de s'arrêter.
\item  Sachant que la distance parcourue par le mobile entre les instants $t_{1}$ et $t_{2}$ est $\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\:\text{d}t$, calculer la valeur exacte de la distance parcourue par le mobile entre les instants $t_{1} = 0$ et $t_{2} = 10$, puis en donner une valeur arrondie au dixième.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2004}{}

\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement C session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique en grande série.

Le responsable de la qualité cherche à analyser la production. Il mesure pour cela le diamètre des boules d'un échantillon (E)
de 50~pièces, et obtient les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{1.6cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diamètre en mm&72,6&72,7&72,8&72,9&73&73,1&73,2&73,3&73,4\\ \hline
Nombre de boules&3&5&7&8&10&9&4&3&1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Une boule est dite conforme si son diamètre $d$ mesuré en millimètres, vérifie : $72,7 \leqslant d \leqslant 73,3$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules non conformes ?
		\item  Déterminer la moyenne et l'écart type de cet échantillon. Les résultats seront arrondis au centième.
	\end{enumerate}

\item On admet dans cette question que la probabilité qu'une boule ne soit pas conforme est $p =  0,12$.

L'entreprise livre des lots de 50~boules à des clients. On assimile le choix de chaque boule d'un lot à un tirage au hasard et
avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire mesurant le nombre de boules non conformes d'un lot.
	\begin{enumerate}
		\item  Préciser et justifier la loi de probabilité suivie par $X$.
		\item  On approche la loi de probabilité de $X$ par une loi de Poisson.
		\begin{enumerate}
			\item  Quel est le paramètre de cette loi ?
			\item  Déterminer la probabilité qu'il y ait plus de cinq boules non confocmes dans un lot. La réponse sera arrondie au
centième.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item L'étude statistique de la production permet d'admettre que la variable aléatoire $D$, qui mesure le diamètre d'une boule,
soit une loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$. Les résultats seront arrondis au millième. On choisit au hasard une boule
produite.
	\begin{enumerate}
		\item  On suppose que $m = 73$ et $\sigma =  0,2$. Calculer la probabilité que la boule soit conforme, c'est-à-dire $p(72,7 \leqslant D <  73,3)$.
		\item   Sachant que $m =  73$, quelle valeur devrait prendre $\sigma$ pour que la probabilité d'obtenir une boule non conforme soit $0,1$ ?
	\end{enumerate}

\item	La moyenne obtenue sur l'échantillon (E) amène à se poser la question : \og Le diamètre moyen $m$ des boules fabriquées
est-il strictement inférieur à 73~mm ? \fg

Pour cela, on construit un test d'hypothèse au risque de 5\:\%.

L'hypothèse nulle H$_{0}$ est : $	m =  73$ ;

L'hypothèse alternative H$_{1}$ est :	$m   < 73$.

On admet que la variable aléatoire $\overline{D}$, qui mesure le diamètre moyen sur un échantillon de 50~boules prélevées au hasard et avec remise, suit une loi normale de moyenne $73$ et d'écart type $\dfrac{0,2}{\sqrt{50}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le nombre réel $a$ tel que $p(\overline{D} \geqslant   73 -  a) =  0,95$.
		\item  Énoncer la règle de décision du test.
		\item  Au risque de 5\:\% et au vu de l'échantillon (E), que peut-on conclure ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\parbox{0.4\textwidth}{On considère un système mécanique formé
	d'un plateau soutenu par un amortisseur. Il est représenté sur le schéma ci-contre.\\		
On note $z$ la cote du centre de gravité du plateau. On suppose que $z$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur un intervalle de $\R$ où $t$	représente le temps exprimé en seconde.} \hfill
\parbox{0.55\textwidth}{\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,4)
\psline(2.1,1.1)(2.1,0)(4.3,0)(4.3,1.1)
\psline(2.2,0.9)(2.2,1.8) \psline(4.2,1.8)(4.2,0.9)
\psframe[fillstyle=hlines](2.3,1.6)(4.1,2.6)
\psframe(1.3,2.6)(5,3.1)
\psline[linestyle=dashed](0,2.85)(3.15,2.85) \uput[r](3.15,2.85){G}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.15,2.85)
\psline(0,0)(0,4) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0.9)
\uput[ul](0,0){$0$} \uput[l](0,0.9){$1$} \uput[l](0,2.85){$z$}
\psline{->}(5.6,2.85)(5,2.85)
\psline{->}(4.9,1.7)(4.3,1.7)
\rput(6.2,2.85){Plateau} \rput(6.2,1.7){Amortisseur}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(6.5,0)
\end{pspicture}}

\medskip

L'étude de ce système mécanique permet de	
considérer que la fonction $z$ est solution de l'équation différentielle
 \[(E)~~ :\quad  5z'' + 6z' + z = 2.	\] 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $5z'' + 6z' + z = 0$.
\item   Chercher une solution particulière constante de l'équation $(E)$ et en déduire la solution générale de $(E)$.
\item   Donner la solution $g$ de $(E)$ qui vérifie les conditions $g(0) = 5$ et $g'(0) =  1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose pour la suite du problème que $z(t) =  f(t)$, où $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0~;~ +\infty \right[$  par
\[f(t) = 0,5 \text{e}^{-t} + 2,5\text{e}^{-0,2t} + 2.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$.
\item 	Déterminer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.
\item 	Déduire des deux questions précédentes l'évolution de la cote du point G en fonction du temps $t$.
\item 	On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij. Justifier l'existence d'une asymptote à la
	courbe $\mathcal{C}$ quand $t$ tend vers $+ \infty$ ; en donner une équation.\\
	 Tracer cette asymptote sur le graphique de la feuille jointe en
	annexe.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer une primitive de la fonction $h$, définie pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par
\[h(t) = \text{e}^{-t} + 2,5\text{e}^{-0,2t}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\int_{1}^5 \left[f(t) - 2\right]\:\text{d}t$.
		\item  Interpréter géométriquement ce résultat sur la feuille jointe en annexe.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE\\
(à rendre avec la copie)}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(15,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx= 20,Dy = 10]{->}(0,0)(-1,-2)(15,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx= 20,Dy = 10]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-1,-2)(15,6)
\uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[u](8,2.5){$\mathcal{C}$} \uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{15}{0.5 2.71828 x exp div 2.5 2.71828 0.2 x mul exp div mul 2 add}
\end{pspicture}

\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2005}{}

\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement C session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) : $y'-2y = 4x$, où $y$ désigne une fonction de la variable~$x$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ et $y'$ sa dérivée.

\begin{enumerate}
\item  Soit l'équation différentielle (E') : $y'-2y = 0$.

Résoudre l'équation différentielle (E$'$).
\item  Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie pour tout $x$ réel par $g(x) = ax+b$ soit une solution particulière de l'équation (E).
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
		\item  Déterminer la fonction $f$, solution sur $\R$ de l'équation différentielle (E) satisfaisant la condition : $f(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit la fonction $f$, définie pour tout $x$ réel par $f(x) = \text{e}^{2x}- 2x - 1$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on pourra mettre $2x$ en facteur dans l'expression de $f(x)$).

\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.

En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$ et le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On note $\cal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la droite $\cal D$ d'équation $y=-2x-1$ est asymptote à la courbe $\cal C$ au voisinage de $-\infty$.
\item   Construire la courbe $\cal C$ et la droite $\mathcal D$.

\item   On considère l'aire $\mathcal A$ du domaine plan délimité par la courbe $\cal C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.\\
Calculer la valeur exacte de $\mathcal A$ en cm$^{2}$, puis en donner l'approximation décimale arrondie an centième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Les parties A, B, C et D peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.}

Une entreprise produit en série des axes de moteurs électriques. Cette entreprise possède trois machines, que l'on appellera E, F et G. Chaque axe est produit par l'une de ces trois machines.

\medskip

\textbf{Partie A}
Les machines E, F et G produisent respectivement 25 \%, 35 \% et 40 \% de la production totale.

On constate, un jour donné de production, que les machines E, F et G produisent respectivement 1,5\:\%, 2,5\:\% et 3\:\% d'axes défectueux.

Montrer que la probabilité de prélever au hasard un axe défectueux dans la production totale de l'entreprise de ce jour est de 0,0245.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on s'intéresse aux axes de moteurs électriques produits par la machine E.}

\medskip

La machine E se déréglant au cours du temps, on décide de noter chaque jour le pourcentage  des axes défectueux produits. On obtient alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Jours $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
Pourcentage d'axes défectueux $y_i$ & 0,8 & 1,1 & 1,9 & 2,3 & 2,1 & 2,4 & 2,8 & 2,9 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. (Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$).
\item   En admettant que l'évolution du pourcentage d'axes défectueux constatée pendant huit jours se poursuive les jours suivants, quel est le pourcentage prévisible, arrondi à 0,1\:\%, d'axes défectueux produits le onzième jour par la mach E ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on s'intéresse aux axes de moteurs électriques produits par la machine F.}

\medskip

La machine F produit 2,5\:\% d'axes défectueux. On prélève au hasard, dans la production de la machine F, un lot de 50 axes. La production est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 50 axes de moteurs électriques, associe le nombre d'axes défectueux.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$. Justifier la réponse.

\item  Calculer la probabilité que le lot contienne exactement deux axes défectueux (le résultat sera arrondi à $10^{-3}$).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie D}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on s'intéresse aux axes de moteurs électriques produits par la machine G.}

\medskip

La machine G est bien réglée si, dans la production d'une journée, la moyenne des longueurs des axes est de 350~millimètres.\\
Pour vérifier le réglage de la machine G on construit un test d'hypothèse bilatéral au risque de 5\:\%.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'hypothèse nulle $H_0$ ?
Quelle est l'hypothèse alternative $H_1$ ?

\item  On note $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 axes prélevés dans la production de la machine G associe la moyenne des longueurs de ces axes. La production de la machine G est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On suppose que, sous l'hypothèse nulle $H_0$, la 
variable aléatoire $\overline{X}$ suit la loi normale de moyenne $350$ et d'écart-type $0,5$.

Sous l'hypothèse $H_0$, déterminer le réel $h$ tel que 

$P(350 - h \leqslant \overline{X} \leqslant  350 + h) = 0,95$.
\item  énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.

\item  On prélève un échantillon de 100~axes et on constate que la moyenne des longueurs des axes de cet échantillon est de 349. Peut-on au risque de 5\:\%, conclure que la machine G est bien réglée ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2006}{}

\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement C session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

$y$ désigne une fonction de la variable $z$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

Soit (E) l'équation différentielle d'inconnue $y$ suivante :

\[ y'' - 4y' + 3y  =  -3x - 2.\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'équation différentielle

 $y'' - 4y' + 3y =  0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $a$ et $b$ deux réels. On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $g(x) = ax + b$. \\Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $g$ soit une solution particulière de l'équation (E).
		\item Résoudre l'équation (E).
 	\end{enumerate}
\item	Déterminer la fonction $f$, solution particulière sur l'ensemble $\R$ des nombres réels de l'équation (E), telle que : $f(0) = - 1$ et $f''(0)= 9$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par 

\[f(x) =  \text{e}^{3x} -x - 2.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

\item 	En remarquant que, pour $x$ différent de $0,~f(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{x} - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item 	Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item 	Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 4~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses,
\item[$\bullet~$] 1~cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite $\mathcal{D}$ d'équation 

$y= -x - 2$ au voisinage de $- \infty$.
\item 	Déterminer les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ selon les valeurs de $x$.
\item 	Tracer $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Calculer l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, du domaine compris entre les droites d'équations $x = -2$ et $x = 0$,
la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de $\mathcal{A}$.

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{On donnera la valeur arrondie au millième de chacun des résultats de cet exercice.}

\medskip

Une entreprise fabrique des jouets en bois en grande série. On s'intéresse à l'une des pièces de ce jouet comportant une partie cylindrique permettant l'assemblage des différents éléments du jouet

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour que l'assemblage soit réalisable, c'est-à-dire que la pièce étudiée soit conforme, le diamètre de la partie cylindrique doit être compris entre 13,7 mm et 14,2 mm.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à toute pièce prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe le diamètre de la partie cylindrique. \\On admet que $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(14~;~0,1)$.

Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de l'entreprise soit conforme.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on considère que 2,4\:\% des pièces de la production ne sont pas conformes.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 100~unités prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non conformes. On admet que la production de l'entreprise est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $Y$ ? Justifier la réponse. En donner le (ou les) paramètre(s).
\item 	Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins trois pièces non conformes dans un lot de 100~unités?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On approche la variable aléatoire $Y$ par une variable aléatoire $Z$ qui suit une loi de Poisson. Donner le paramètre de cette loi.
		\item   À l'aide de la variable aléatoire $Z$, calculer une estimation de la probabilité qu'il y ait exactement trois pièces non conformes dans un lot de 100~unités.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'assemblage des pièces du jouet doit être définitif. Ainsi, la partie cylindrique de la pièce étudiée dans les parties A et B est enduite de colle avant l'assemblage.

Le jouet est destiné à des enfants de moins de 36~mois. Ces enfants ne doivent en aucun cas pouvoir arracher la pièce du jouet, celle-ci présentant un risque d'ingestion.

Pour cette raison, l'entreprise réalise un test d'arrachement sur des échantillons de 50~jouets prélevés au hasard. Ces prélèvements sont assimilés à des tirages avec remise, compte tenu du grand nombre de jouets produits.

Soit $\overline{\text{R}}$  la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50~jouets, associe la résistance mécanique moyenne dc l'assemblage. Cette résistance mécanique est exprimée en déca-newton, noté daN.

Soit $r$ la résistance mécanique moyenne de l'ensemble des jouets produits par l'entreprise. On admet que $\overline{\text{R}}$ suit la loi $\mathcal{N}\left(r~;~\dfrac{1}{\sqrt{50}} \right)$.

On construit un test d'hypothèse unilatéral au risque de 1\:\%, destiné à savoir si la résistance mécanique moyenne des assemblages est égale à 10~daN.

On donne l'hypothèse alternative H$_{1}~:~r > 10$.
\begin{enumerate}
\item Donner l'hypothèse H$_{0}$.
\item 	Sous l'hypothèse H$_{0}$, quelle est la loi subie par $\overline{\text{R}}$ ?
\item 	Sous l'hypothèse H$_{0}$,calculer le réel $h$ tel que $P\left(\overline{\text{R}} \leqslant 10 + h\right) = 0,99$.
\item 	Quelle est la règle de décision du test ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur un échantillon de 50~jouets, on a relevé les résistances exprimées dans le tableau ci-dessous. Calculer la moyenne $r_{e}$, et l'écart type $\sigma_{e}$ de cet échantillon. Aucune
justification de ces résultat, n'est demandée.
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}		
{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.3cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Résistance (daN) &7,5&	8&	8,5&	9&	9,5&	10&	10,5&	11&	11,5&	12&	12,5&	13\\ \hline
Effeclifs&	1&	0&	1&	3&	9&	9&	10&	9&	3&	2&	2& 	1\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip
		\item  Au seuil de risque de 1\:\%, et d'après cet échantillon, lesion produits par l'entreprise sont-ils assez solides ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2007}{}

\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2007\\ Groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill $10$ points}

\medskip

Le but du problème est l'étude de la demande et de l'offre pour un nouveau produit de grande consommation. Une étude statistique a donné les résultats suivants où :

$x$ désigne le prix unitaire en euros du produit ;
 
$y$ désigne la demande (la quantité de produit demandée par les consommateurs), en milliers d'unités ;
 
$z$ désigne l'offre (la quantité de produit offerte sur le marché par les producteurs), en milliers d'unités.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ en euros&0,5&	1&	1,5&	2&	2,5&	3&	3,5&	4\\ \hline
$y$ en milliers&7,8&6,1&	4,7&	3,7&	3&	2,5&	2,2&	2\\ \hline$z$ en milliers&0,9&1,4&1,7&1,9&2,1&2,3&2,4&2,6\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A. Étude de la demande}

\medskip

On considère l'équation différentielle
 
\[(\text{E}) ~~: \quad y'+ 0,4y = 0,4x -1\]

où $y$ désigne une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et $y'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre sur l'ensemble des nombres réels, l'équation différentielle : 

\[y'+ 0,4y = 0.\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $g$, définie pour tout $x$ réel par $g(x) =  ax + b$,
soit une solution particulière de l'équation (E).
		\item Résoudre l'équation différentielle (E).
	\end{enumerate}
\item Déterminer la fonction $f$, solution sur l'ensemble des nombres réels de l'équation différentielle (E), telle que $f(0) =10$.

\item On appelle $d$ la fonction demande, en milliers d'unités pour un prix de $x$ euros, définie sur l'intervalle [0,5~;~4] par $y = d(x)$. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [0,5~;~4],

		\[d(x) =15\text{e}^{-0,4x}+x - 5.\]
		 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $d'$ la fonction dérivée de la fonction $d$. Déterminer $d'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $d$ sur l'intervalle [0,5~;~4]. 
		\item  Le plan est muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. On admet que le tableau de valeurs ci-dessus est le tableau de valeurs de la fonction $d$ définie par $y = d(x)$.
		
Construire la courbe $\mathcal{C}_{d}$ représentative de la fonction $d$ sur l'intervalle [0,5~;~4].
		\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\noindent \textbf{Partie B : Étude de l'offre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.
		
\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0,5&1&1,5&2&2,5&3	&3,5&	4\\ \hline 
$z$&	0,9&	1,4&	1,7&	1,9&2,1&2,3&2,4&2,6\\ \hline 
$Z= \text{e}^z$&	2,46&&&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
		\item  Donner une équation de la droite de régression de $Z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $Z = ax + b$ où $a$ et $b$ seront arrondis au dixième.
		\item  En déduite une expression de $z$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $h$ la fonction offre, en milliers d'unités pour un prix de $x$ euros, définie sur l'intervalle [0,5~;~4] par $z = h(x)$. On admet que, pour tout $z$ de l'intervalle [0,5~;~4],~ $h(x) = \ln(3x + 0,9)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$. Déterminer $h'(x)$ et en déduire les variations de
la fonction $h$ sur l'intervalle [0,5~;~4].
		\item  Construire la courbe $\mathcal{C}_{h}$  représentative de la fonction $h$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_{d}$.
		
On pourra utiliser le tableau de valeurs ci-dessus.
		\item  Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée du prix de vente en euros, à $10$~centimes près, pour lequel la demande est égale à l'offre.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill $10$ points}

\emph{Les parties A, B, et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.}

\medskip

Une entreprise produit en grande série trois modèles de stylos notés, M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$.

Un stylo peut être conforme ou non conforme.
	
\medskip

\textbf{Partie A. Dans cette partie, on s'intéresse aux stylos du modèle M$_{1}$}

\medskip

Un des stocks est constitué dc stylos du modèle M$_{1}$, provenant de deux chaînes de production C$_{1}$ et
C$_{2}$. Ces chaînes produisent respectivement 40\:\% et 60\:\% du stock. On constate que la chaîne C$_{1}$ produit 6\:\% de stylos non conformes.\\
On prélève au hasard un stylo dans ce stock.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité dc prélever au hasard un stylo provenant de la chaîne C$_{1}$ et non conforme?
\item   On appelle $t$ le pourcentage de stylos non conformes produit par la chaîne C$_{2}$. Déterminer $t$ pour que la probabilité de prélever au hasard un stylo non conforme dans le stock de stylos du modèle M$_{1}$ soit égale à $0,09$.
\end{enumerate}
 
\noindent \textbf{Partie B. Dans cette partie, on s'intéresse aux stylos du modèle M$_{2}$}

\medskip

Un autre stock est constitué de stylos du modèle M$_{2}$. On admet que 3\:\% des stylos dc ce stock sont non conformes. On prélève au hasard, dans ce stock, un lot de 50~stylos.

On admet que ce stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 50~stylos, associe le nombre de stylos non conformes.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. Justifier la réponse et préciser les paramètres.

\item  Dans cette question les résultats seront arrondis à $10^{-3}$,
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité que ce lot contienne exactement 2~stylos non conformes 7
		\item Quelle est la probabilité que ce lot contienne au moins 2~stylos non conformes ?
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item On approche la variable aléatoire $X$ par une variable $Y$ qui suit une loi de Poisson. Donner le paramètre de cette loi.
		\item  À l'aide de la variable aléatoire $Y$, donner une estimation de la probabilité qu'il y ait exactement 47~stylos conformes dans ce lot.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie C. Dans cette partie, on s'intéresse à la masse des stylos du modèle M$_{3}$}

\medskip

Un autre stock est constitué dc stylos du modèle M$_{3}$. Ce stock est conforme quant à la masse si la moyenne des masses des stylos de ce stock est de 11~grammes. Pour vérifier cette affirmation on construit un test d'hypothèse bilatéral au risque de 10\:\%.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est l'hypothèse nulle H$_{0}$ ? Quelle est l'hypothèse alternative H$_{1}$ ?
		\item  On note $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100~stylos prélevés dans ce stock associe la moyenne des masses des stylos de ce stock. On considère ces prélèvements comme des tirages avec remise car ce stock est très important. On suppose que, sous l'hypothèse nulle H$_{0}$,  la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $11$ et d'écart-type $0,4$.
		
Sous l'hypothèse nulle H$_{0}$, déterminer le nombre réel positif $h$ tel que :
\[P(11 - h \leqslant  \overline{Z} \leqslant  11 + h) = 0,9.\]
		\item  Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
	\end{enumerate}
\item On prélève un échantillon aléatoire de 100~stylos et on constate que la moyenne des masses des stylos de cet échantillon est de 10,6~grammes. Peut-on au risque de 10\:\% conclure que le stock de stylos du modèle M$_{3}$ est conforme quant à la masse ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2008}{}

\lfoot{\small{Groupe C}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2008 - groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'étude d'un mouvement a montré que la vitesse exprimée en mètres par seconde est une fonction dérivable $y$ de la variable réelle positive $t$ vérifiant l'équation différentielle (E)

\[y' + 2y =  50.\]

\begin{enumerate}
\item  Résoudre, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, l'équation différentielle $y' + 2y =  0$.
\item   Déterminer une fonction constante solution de l'équation (E) sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item   En déduire la solution générale de (E) sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
\item  Sachant que la vitesse initiale à l'instant $t =  0$ est nulle, déterminer la vitesse $y$ en fonction de $t$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par 

\[f(t) = 25\left(1 - \text{e}^{-2t}\right).\]

On donne sur la feuille \emph{annexe}, à remettre avec la copie, la représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

La fonction $f$ représente la fonction vitesse déterminée dans la partie A.

Le but de l'exercice est de justifier et de compléter la représentation graphique de la fonction $f$ donnée en annexe.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Par lecture graphique déterminer une valeur arrondie au dixième de l'instant $t_{0}$ où la vitesse dépasse 20 m.s$^{-1}$.
		\item  Résoudre l'inéquation $f(t) > 20$. En déduire la valeur exacte de $t_{0}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en donner une interprétation graphique.
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point O, origine du repère. Construire cette droite sur l'\emph{annexe} à remettre avec la copie.
\item En utilisant le graphique donné en \emph{annexe}, estimer l'aire en unités d'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $t = 1$ et $t = 2$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item  Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_1^2  f(t)\:\text{d}t$. En donner une interprétation graphique.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\emph{Les résultats seront arrondis au centième.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une usine U, une machine produit des barres de métal.

 Dans cette partie on étudie la longueur de ces barres.
 
On définit la variable aléatoire $X$ qui à chaque barre associe sa longueur exprimée en centimètres et on admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $m =  92,50$ et d'écart-type $\sigma$.

Une barre de la production est mise au rebut si sa longueur est inférieure à 92,20~cm ou supérieure à 92,80~cm.
\begin{enumerate}
\item  On suppose que $\sigma = 0,20$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité qu'une barre extraite au hasard dans la production de la machine soit mise au rebut.
		\item  Déterminer le réel $a$ tel que la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne de valeurs comprises entre $92,5 - a$ et $92,5 + a$ soit égale à $0,95$.
 	\end{enumerate}
\item Quelle valeur faut-il donner à l'écart type a pour que la probabilité de mise au rebut d'une barre soit égale à $0,08$ ?
\end{enumerate}
 
Dans la suite de l'exercice, on suppose que l'écart type est $\sigma = 0,17$.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans la production de la machine, 8\:\% des barres sont mises an rebut. On prélève un lot de 30~barres extraites au hasard dans la production de la machine. Le nombre de barres produites est suffisamment important pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 barres.

On appelle $N$ la variable aléatoire qui à chaque lot de 30~barres associe le nombre de barres qui sont mises au rebut dans ce lot.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $N$ et donner ses paramètres.

Justifier.

\item Calculer la probabilité qu'aucune barre de ce lot ne soit mise au rebut.

\item Calculer la probabilité que dans un tel lot, au moins $90\:\%$ des barres ne soient pas mises au rebut.
\end{enumerate}
	
	
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La machine se déréglant dans le temps, on veut tester la moyenne $m$ des longueurs des barres produites par la machine. On se demande si on peut accepter, au seuil de risque de 5\:\%, l'hypothèse selon laquelle la moyenne $m$ des longueurs des barres est encore de $92,50$~cm.

Pour cela, on construit un test d'hypothèse bilatéral.
	 
On suppose que la variable aléatoire X, qui à tout échantillon de 30~barres de métal prélevées au hasard associe la moyenne des longueurs en centimètres des barres de l'échantillon, suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $0,03$.
	  
On choisit l'hypothèse nulle H$_{0} :  \og m =  92,50 \fg$.

\begin{enumerate}
\item  Donner l'hypothèse alternative H$_{1}$.

\item  Sous l'hypothèse H$_{0}$, calculer le réel $h$ tel que $P(92,5 -  h < X < 92,5 + h) = 0,95$.

\item  Énoncer la règle de décision du test.

\item  On prélève un échantillon de 30 barres extraites au hasard dans la production de la machine, on obtient les résultats suivants : \\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Longueurs (en cm)&	92,1& 	92,2& 	92,3& 	92,4& 	92,5& 	92,6&	92,7& 	92,8& 	92,9\\ \hline
Nombre de barres&	3&	2&	6&	5&	5&	3& 	2&	2& 	2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Au vu des résultats de cet échantillon, peut-on admettre au seuil de risque de 5\:\%, l'hypothèse selon laquelle la moyenne $m$ des longueurs des barres est encore de 92,50~cm ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE (À RENDRE AVEC LA COPIE)}
\end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Courbe représentative de la fonction $f$

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-5)(2.2,30)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(-0.2,-5)(2.2,30)
\psline(1,-5)(1,30) \psline(2,-5)(2,30) 
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{-0.09}{2}{1 2.71828 2 x mul neg exp sub 25 mul}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](1.8,23){$\Gamma$}
\uput[u](2.2,0){$t$} \uput[r](0,29){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2009}{}

\lfoot{\small{Groupe C}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2009 - groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}\\
\medskip
On considère l'équation différentielle (E) : $y''+2y'+y=3$ où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels, $y'$ désigne sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une solution constante de (E).
\item Résoudre l'équation (E).
\item La courbe $\mathscr{C}$ représentée en annexe est la représentation graphique d'une solution $f$ de l'équation différentielle (E). En utilisant les propriétés graphiques de cette courbe, déterminer l'expression de (E).
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B : Étude statistique}\\
\medskip
Un nuage de points est dessiné sur le graphique donné en annexe. Les coordonnées de ces points sont donnés dans le tableau :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
 \hline
$x$ & 2,3 & 1,4 & $-$0,6 & 2,9 & $-$0,3 & $-$0,8 & 0,8 & 0,1\\
\hline
$y$ & 3,8 & 4,4 & 1,6 & 3,5 & 3,8 & 1,3 & 4,8 & 4,9 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ce nuage de points a la même allure que la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction $f$.\\
On cherche à déterminer si ce nuage de points peut être ajusté par une courbe représentant une solution de l'équation différentielle (E).\\
On effectue pour cela le changement de variable : $z=(y-3)\e^x$.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau donné en annexe avec les valeurs de $z$ arrondies au dixième.
\item Construie sur papier millimétré le nuage de points de coordonnées $(x\; ; \; z)$. Que peut-on observer ?
\item Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, ainsi que le coefficient de corrélation linéaire de $z$ en $x$ (on ne demande pas le détail des calculs ; les résultats numériques seront arrondis au centième).
\item Le nuage de points peut-il être ajusté par une courbe représentant une fonction solution de l'équation (E) ? Si oui, donner cette solution.
\end{enumerate}
\newpage
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\emph{Les résultats seront arrondis au centième.}
\end{center}
Dans un centre d'assistance téléphonique, chaque client doit patienter avant d'être mis en relation avec un conseiller.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On admet que 5 \%\ des clients attendent plus de 8 minutes.

Un sondage réalisé par ce centre téléphonique consiste à demander à 60 clients choisi au hasard s'ils ont attendu plus de 8minutes. On suppose que les durées d'attente sont indépendantes les unes des autres et que le nombre de clients est suffisamment grand pour que ce choix au hasard soit assimilé à un tirage avec remise.

On note $Y$ la variable aléatoire qui associe à cet échantillon, le nombre de clients ayant attendu plus de 8 minutes. On admet que $Y$ suit la loi binomiale de paramètre $n=60$ et $p=\nombre{0,05}$.

On approche $Y$ par une variable aléatoire $Z$ qui suit une loi de Poisson.

Donner le paramètre de cette loi.

En utilisant la variable aléatoire $Z$, calculer une estimation de la probabilité qu'au moins 6 clients attendent plus de 8 minutes.

\textbf{Partie B}

\medskip
Les clients se plaignant d'attendre trop longtemps, une enquête est alors effectuée sur un échantillon de 100 personnes pour vérifier la moyenne $\mu$, exprimée en minutes, du temps d'attente.\\
Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
 \hline
Temps d'attente en minutes & [0~;~2[ & [2~;~3[ & [3~;~4[ & [4~;~5[ & [5~;~6[ & [6~;~8[ & [8~;~12[\\
\hline
Nombre de clients & 13 & 16 & 19 & 17 & 15 & 15 & 5\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On admet que la répartition du nombre de clients est régulière dans chacun des intervalles.
\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne $\bar{d}$ de cet échantillon (on utilisera les centres des classes pour effectuer les calculs).
\item On se propose de construire un test unilatéral pour vérifier si le temps d'attente moyen n'est pas supérieur à 4 minutes.

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque client associe son temps d'attente, exprimé en minutes.

La variable $D$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart-type $\sigma=\nombre{2,4}$.

On désigne par $\overline{D}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 client choisis au hasard associe la moyenne de leurs temps d'attente. Le nombre de clients est suffisamment élevé pour que l'on puisse assimiler ce choix de clients à un tirage avec remise.

L'hypothèse nulle est $H_0 \: : \; \mu=4$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'hypothèse alternative $H_1$.
		\item Sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $\overline{D}$ suit la loi normale de moyenne 4 et d'écart-type 0,24.

Déterminer sous cette hypothèse le nombre réel $h$ positif tel que  : $P(\overline{D} \leqslant 4+h)=\nombre{0,95}$.
		\item En déduire la règle de décision de ce test.
		\item D'après l'échantillon étudié, peut-on au seuil de 5 \%\ conclure que la moyenne des temps d'attente n'est pas supérieure à 4 minutes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\Titre{Annexe (à rendre avec la copie)}
\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous sont représentées :
\begin{itemize}
\item Une courbe $\mathscr{C}$, utilisée dans la partie A de l'exercice 1.
\item Un nuage de points utilisés dans la partie B de l'exercice 1.\\
(Les coordonnées des points de ce nuage sont données dans le tableau figurant sous le graphique).
\end{itemize}
\hspace{-1cm}\parbox{\linewidth}{
\begin{center}
\psset{xunit=0.557913949717561cm,yunit=0.5138339710105152cm}
\begin{pspicture*}(-8.86,-3.24)(23.84,23.29)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-8.86,-3.24)(23.84,23.29)
\psset{xunit=2.2231655798870245cm,yunit=2.055335884042061cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-2.22,-0.81)(5.96,5.82)
\psplot[plotpoints=200]{-2.2156339137938352}{5.959874099539595}{2*(x+1)*2.718281828^(-x)+3}
\psdots(2.3,3.8)(1.4,4.4)(-0.6,1.6)(2.9,3.5)(-0.3,3.8)(-0.8,1.3)(0.8,4.8)(0.1,4.9)
%\rput[bl](-1.33,-0.75){$f$}
\rput(-0.2,5.6){$y$}
\rput(5.7,-0.15){$x$}
\end{pspicture*}
\end{center}}\\
\textbf{Partie C}\\
~\\
1) Coordonnées du nuage de points\\
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
 \hline
$x$ & 2,3 & 1,4 & $-$0,6 & 2,9 & $-$0,3 & $-$0,8 & 0,8 & 0,1\\
\hline
$y$ & 3,8 & 4,4 & 1,6 & 3,5 & 3,8 & 1,3 & 4,8 & 4,9 \\
\hline
$z=(y-3)\e^x$ & & & & & & & &\\
\hline
\end{tabular}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline

\hypertarget{2010}{}

\lfoot{\small{Groupe C}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane \\ session 2010 - groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

{%
  \centering \hfill
  \textbf{Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon
    indépendante.} \hfill ~
}%

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre l'équation différentielle : $2y''+y'-y=0$ où $y$ est
    une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois
    dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, $y'$ est la
    fonction dérivée de $y$ et $y''$ est la fonction dérivée seconde
    de $y$.
  \item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour que la fonction
    $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $g(x) =
    ax+b$ soit une solution de l'équation différentielle :
    \begin{equation*}
      \tag{E}
      2y'' + y' - y = -x + 2.
    \end{equation*}
  \item En déduire les solutions de l'équation (E) sur
    l'ensemble $\R$ des nombres réels.
  \end{enumerate}
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation (E) qui
  vérifie $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x)
= \text{e}^{-x} + x - 1$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans
un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
  \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la droite $\mathcal{}D$ d'équation $y = x- 1$ est
    asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.
  \item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à
    la droite $\mathcal{D}$.
  \item Tracer l'asymptote $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{D}$.
  \item Calculer $\int_{0}^{2} \text{e}^{-x}\:\text{d}x$ et en déduire l'aire
    $\mathfrak{A}$, en cm$^2$, de la portion du
    plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite
    $\mathcal{D}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$. On donnera
    la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième de
    l'aire $\mathfrak{A}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
{%   
  \hfill \textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de
    façon indépendante. } \hfill~

 \hfill~ \textbf{Les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$.\unboldmath \hfill ~
}%

\medskip

Une entreprise fabrique en très grande série une pièce technique de
précision en matière plastique. Les questions posées se rapportent à
la mesure d'une des cotes de cette pièce.

\textbf{A Loi normale}

\medskip

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard
dans la production, associe sa cote en millimètres.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 60,3$ et
d'écart-type $\sigma$.

On qualifie de conforme toute piéce dont la cote est comprise entre
59,5~mm et 61,1~mm.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question on pose $\sigma = 0,4$. Calculer la
  probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit conforme.
\item Quelle valeur faut-il donner à l'écart-type $\sigma$ pour que la
  probabilité d'obtenir une pièce conforme soit égale à $0,99$.
\end{enumerate}

\textbf{B Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip

On admet que 95\:\% des pièces produites sont conformes.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $80$
pièces prises au hasard dans la production, associe le nombre de
pièces non conformes.

La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout
échantillon de $80$ pièces à un échantillon aléatoire prélevé avec
remise.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale
  dont on déterminera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que l'on ait exactement trois pièces non conformes.
\item On considère que la loi $Y$ peut-être approchée par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le paramètre de cette loi.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir au plus trois pièces non conformes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin 2010  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\hypertarget{2011}{}

\lfoot{\small{Groupe C}}
\rfoot{\small{10 mai 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole\\ session 10 mai 2011 - groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y'' + 2y' + y  = 2\]
 
dans laquelle $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$,\, $y'$ désigne la fonction dérivée de $y$, et $y''$ désigne sa dérivée seconde.
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right) :\quad  y'' + 2y' + y = 0.\]
 
\item Soit un réel $b$. On définit sur $\R$ la fonction constante $g$ par : $g(x) = b$.
 
Déterminer $b$ pour que la fonction $g$ soit une solution particulière de l'équation $(E)$. 
\item En déduire les solutions de l'équation $(E)$. 
\item Déterminer la fonction $f$, solution particulière de l'équation $(E)$ sur $\R$, qui vérifie les conditions : $f(0) =3$ et $f\left(- \dfrac{1}{2}\right) = 2$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (2x + 1)\text{e}^{-x} + 2.\] 
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
 
La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe qui devra être rendue avec la copie.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$  en $- \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En écrivant $f(x) = 2x\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x} + 2$, déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire l'existence d'une asymptote $D$ à $\mathcal{C}$ dont on donnera une équation. 
		\item Tracer $D$ sur le graphique fourni en annexe.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
		 
Montrer que pour tout réel $x,\, f'(x) = (1 - 2x)\text{e}^{-x}$. 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[F(x) = (- 2x - 3)\text{e}^{-x} + 2x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Calculer la mesure $\mathcal{A}$, en cm$^2$, de l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de $\mathcal{A}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip 

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\emph{Les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-3}$.}

\medskip
 
Une usine fabrique en grande série des disques de diamètre théorique 238 millimètres.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un disque est considéré comme conforme pour son diamètre si ce diamètre, exprimé en mm, est dans l'intervalle [237,18~;~238,82]. Dans le cas contraire, le disque est non-conforme.

\medskip
 
On définit par $X$ la variable aléatoire qui à tout disque produit associe son diamètre en mm. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $238$ et d'écart type $0,4$. 

Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la production soit conforme pour son diamètre.

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère dans cette partie un stock important de disques. On suppose que 4\,\% des disques de ce stock n'ont pas un diamètre conforme.
 
On prélève au hasard dans ce stock des lots de $50$ disques pour vérification du diamètre.
 
Le nombre de disques de ce stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler chaque prélèvement à un tirage avec remise de $50$ disques.
 
On définit par $Y_{1}$ la variable aléatoire qui à chaque lot de $50$ disques associe le nombre de disques non-conformes pour leur diamètre.
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Y_{1}$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 
\item On prélève un lot de 50 disques. Calculer la probabilité que tous les disques de ce lot aient un diamètre conforme. 
\item Dans cette question, on décide d'approcher $Y_{1}$ par une variable aléatoire $Y_{2}$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
 	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\lambda = 2$. 
		\item À l'aide de l'approximation de $Y_{1}$ par $Y_{2}$, calculer la probabilité que le lot prélevé ait au plus 3 disques non-conformes pour leur diamètre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Une grande quantité de disques est livrée à un client. Celui-ci se propose de construire un test bilatéral au risque de 5\,\%, afin de vérifier si la moyenne $\mu$ de l'ensemble des diamètres des disques de la livraison est égale à 238~mm.
 
On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de 45 disques prélevé dans la livraison associe la moyenne des diamètres de ces 45 disques (la livraison est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).
 
L 'hypothèse nulle est $H_{0} : \og  \mu = 238 \fg$.
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'hypothèse alternative $H_{1}$ ? 
\item Sous l'hypothèse $H_{0}$, on suppose que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $238$ et d'écart type $0,06$.
 
Déterminer sous cette hypothèse le réel $h$ tel que : $P(238 - h \leqslant  \overline{Z} \leqslant 238 + h) = 0,95$. 
\item Énoncer la règle de décision du test. 
\item On prélève au hasard un échantillon 45 disques dans la livraison. La moyenne des diamètres des disques de cet échantillon est $\overline{z} = 237,91$~mm.
 
Peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que la moyenne des disques de la livraison est de $238$~mm ? 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{2,5cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-4)(5.5,4.5)
\uput[d](5.5,0){$x$}\uput[l](0,4.5){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](3.5,2.2){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.31}{5.5}{2 x  mul 1 add 2.71828 x exp div 2 add}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-3,-4)(5.5,4.5)
\end{pspicture} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin 2011   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}