\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{floatflt} \usepackage{subfig} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{tkz-tab} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-circ,pst-eucl,pst-3d,pstricks-add} \usepackage{graphicx} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupe B}} \rfoot{\small{12 mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\gray Brevet de technicien supérieur \\\vspace{1cm} Le groupement B de 2001 à 2011}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{2001}{Métropole 2001} \dotfill 3 \medskip \Large \hyperlink{2002}{Métropole 2002} \dotfill 7 \medskip \Large \hyperlink{2003}{Métropole 2003} \dotfill 10 \medskip \Large \hyperlink{2004}{Métropole 2004} \dotfill 14 \medskip \Large \hyperlink{2005}{Métropole 2005} \dotfill 17 \medskip \Large \hyperlink{2006}{Métropole 2006} \dotfill 21 \medskip \Large \hyperlink{2007Caledo}{Nouvelle-Calédonie octobre 2006} \dotfill 26 \medskip \Large \hyperlink{2007}{Métropole 2007} \dotfill 29 \medskip \Large \hyperlink{2008A1}{Métropole 2008 B1} \dotfill 32 \medskip \Large \hyperlink{2008Caledo}{Nouvelle-Calédonie octobre 2007} \dotfill 35 \medskip \Large \hyperlink{2009}{Métropole--Polynésie B1 2009} \dotfill 37 \medskip \Large \hyperlink{2009Caledo}{Nouvelle-Calédonie novembre 2008} \dotfill 41 \medskip \Large \hyperlink{2010}{Métropole B1 2010} \dotfill 43 \medskip \Large \hyperlink{2010B2}{Métropole B2 2010} \dotfill 47 \medskip \Large \hyperlink{2010Caledo}{Nouvelle-Calédonie octobre 2009} \dotfill 52 \medskip \Large \hyperlink{2011}{Métropole B1 2011} \dotfill 54 \medskip \Large \hyperlink{MetroB22011}{Métropole B2 2011} \dotfill 59 \medskip \Large \hyperlink{NC2010}{Nouvelle-Calédonie octobre 2010} \dotfill 62 \medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2001 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2001}{} \lfoot{\small{Groupement B}} \rfoot{\small{Session 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement B - session 2001}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip{} Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires dont les cotes sont exprimées en millimètres. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que la longueur et la largeur des pièces sont conformes à la norme en vigueur. \medskip \textbf{Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront arrondis à}~ \boldmath $10^{-3}$.\unboldmath \medskip \textbf{\large Partie A} \medskip On note E l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans le stock de l'entreprise est conforme \fg. On suppose que la probabilité de l'évènement E est 0,9. On prélève au hasard 10~pièces dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10~pièces. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10~pièces, associe le nombre de pièces conformes parmi ces 10~pièces. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 8 pièces au moins soient conformes. \end{enumerate} \medskip \textbf{\large Partie B}{\large \par} Une partie des pièces de la production de l'entreprise est fabriquée par une machine automatique notée \og machine 1 \fg. Soient $M$ et $N$ les variables aléatoires qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans un lot très important fabriqué par la machine 1, associent respectivement sa longueur et sa largeur. On suppose que $M$ suit la loi normale de moyenne $m_{1}=250$ et d'écart-type $\sigma _{1}=1,94$. On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne $m_{2}=150$ et d'écart-type $\sigma _{2}=1,52$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la longueur d'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre 246 et 254. \item Calculer la probabilité que la largeur d'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre 147 et 153. \item Une pièce est conforme si sa longueur est comprise entre 246 et 254 et si sa largeur est comprise entre 147 et 153. On admet que les variables $M$ et $N$ sont indépendantes. Montrer que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit conforme est 0,914. \end{enumerate} \medskip \textbf{\large Partie C}{\large \par} Une autre machine automatique de l'entreprise, notée \og machine 2 \fg{} fabrique également ces mêmes pièces en grande quantité. On suppose que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée de la machine 1 soit conforme est $p_{1} = 0,914$ et que la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production de la machine 2 soit conforme est $p_{2} = 0,879$. La machine 1 fournit 60\:\% de la production totale de ces pièces et la machine 2 le reste de cette production. On prélève au hasard une pièce parmi la production totale de l'entreprise de la journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être tirées. On définit les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] A : « la pièce provient de la machine 1 » ; \item[] B : « la pièce provient de la machine 2 » ; \item[] C : « la pièce est conforme ». \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Déterminer les probabilités P(A), P(B), P(C/A), P(C/B). On rappelle que P(C/A) est la probabilité de l'évènement C sachant que l'évènement A est réalisé. \item En déduire P(C $\cap $ A) et P(C $\cap $ B). \item En admettant que C = (C $\cap $ A)$~ \cup~ $(C$ \cap $ B), calculer P(C). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip \emph{A. Résolution d'une équation différentielle.} \medskip On considère l'équation différentielle (E) : \[y' - 2y = \text{e}^{2x}\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle (E$_{0}$) : \[ y' - 2y = 0\] \item Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[h(x) = x\text{e}^{2x}\] Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation (E) qui vérifie la condition $f(0)=-1$. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = (x - 1)\text{e}^{2x}\] Sa courbe représentative $C$ est donnée dans le repère de l'annexe (à rendre avec la copie). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)$ \item On admet que $\displaystyle\lim _{x\rightarrow -\infty }x\text{e}^{2x}=0$. En déduire $\displaystyle\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)$. \item Interpréter géométriquement le résultat obtenu au b). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,\[ f'(x)=(2x - 1)\text{e}^{2x}\] \item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f'(x)\geqslant 0$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle $t\longmapsto \text{e}^{t}$, donner le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $x\longmapsto \text{e}^{2x}$. \item En déduire que le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est : \[f(x) = -1 - x+ \dfrac{2}{3}x^{3}+x^{3}\varepsilon (x)\] avec \[\lim _{x\rightarrow 0}\varepsilon (x)=0\] \item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 et la position relative de $C$ et de $T$ au voisinage de ce point. \item Tracer $T$ dans le repère de l'annexe. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{C. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $\alpha $ un réel strictement négatif; On pose \[I(\alpha )=\int _{\alpha }^{0}f(x)\, dx\] Démontrer que \[I(\alpha ) = -\frac{3}{4}-\left( \frac{1}{2}\alpha -\frac{3}{4}\right) \text{e}^{2\alpha }\] On pourra effectuer une intégration par parties. \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $ I(\alpha )$quand $\alpha$ tend vers $-\infty$. \item À l'aide d'une phrase, donner une interprétation graphique de ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\textbf ANNEXE} \vspace{1cm} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-4,-2)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4,-2)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-4,-2)(2,4) \uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} \uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-4}{1.298}{x 1 sub 2.71828 2 x mul exp mul} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2002}{} \lfoot{\small{Groupement B}} \rfoot{\small{Session 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement B - session 2002}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes. \medskip Dans un groupe d'assurances, on s'intéresse aux sinistres susceptibles de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d'une importante entreprise de maintenance de chauffage collectif. Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés sont à arrondir à 10$^{-3}$. \begin{enumerate} \item Étude du nombre de sinistres par véhicule \newline Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard dans un des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres survenant pendant l'année considérée. On admet que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $0,28$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement A : \og un véhicule tiré au hasard dans le parc n'a aucun sinistre pendant l'année considérée \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement B : \og un véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres pendant l'année considérée \fg. \end{enumerate} \item Étude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs. \medskip On note E l'évènement : \og un conducteur tiré au hasard dans l'ensemble des conducteurs de l'entreprise n'a pas de sinistre pendant l'année considérée \fg. On suppose que la probabilité de l'évènement E est 0,6. On tire au hasard 15 conducteurs dans l'effectif des conducteurs de l'entreprise. Cet effectif est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 15 conducteurs. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 15 conducteurs, associe le nombre de conducteurs n'ayant pas de sinistre pendant l'année considérée. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suite une loi binomiale et déterminer ses paramètres. \item Caculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10 conducteurs n'aient pas de sinistre pendant l'année considérée. \end{enumerate} \item Étude du coût des sinistres \medskip Dans ce qui suit, on s'intéresse au coût d'une certaine catégorie de sinistres survenus dans l'entreprise pendant l'année considérée. On considère la variable aléatoire $C$ qui, à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son coût en euros. On suppose que $C$ suit la loi normale de moyenne \nombre{1200} et d'écart type 200. Calculer la probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre \nombre{1000}~euros et \nombre{1500}~euros. \item On considère un échantillon de 100~véhicules prélevés au hasard dans le parc de véhicules mis en service depuis 6~mois. Ce parc contient suffisamment de véhicules pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 91 véhicules de cet échantillon n'ont pas eu de sinistre. \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle du pourcentage $p$ de véhicules de ce parc qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service. \item Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100~véhicules prélevés au hasard et avec remise dans ce parc, associe le pourcentage de véhicules qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service. On suppose que $F$ suit la loi normale \[ N\left( p,\sqrt{\frac{p\left(1 - p\right) }{100}}\right) \] où $p$ est le pourcentage inconnu de véhicules du parc qui n'ont pas eu de sinistre 6~mois après leur mise en service.\newline Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage $p$ avec le coefficient de confiance 95\:\%. \item On considère l'affirmation suivante :\newline \og le pourcentage $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question b. \fg Est-elle vraie ? On ne demande pas de justification. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 12 points} \medskip Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. \textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle : \[(E)\quad y'' - y^{\prime}-2y=\left(- 6x - 4\right) \text{e}^{-x}% \] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, $y'$ sa fonction dérivée première et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \begin{enumerate} \item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :% \[(E_{0})\quad y''- y' - 2y=0\] \item Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :% \[h(x)=\left( x^{2}+2x\right) \text{e}^{-x}\] Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\left(E\right) $. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\left(E\right)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $\left(E\right) $ qui vérifie les conditions initiales :% \[ f\left(0\right) = 1\quad f^{\prime}\left( 0\right) =1 \] \end{enumerate} \textbf{Partie B : Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=\left(x+1\right)^{2}\text{e}^{-x}\] Sa courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal est donnée sur la figure ci-après. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2}\text{e}^{-x}$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x\text{e}^{-x}$. En déduire $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$. \item Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b.. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, \[f^{\prime}(x)=\left(1 - x^{2}\right) \text{e}^{-x}\] \item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f'(x)\geqslant0$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la fonction exponentielle $t\rightarrow \text{e}^{t}$, donner le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$ de la fonction x$\rightarrow \text{e}^{-x}$. \item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$ de la fonction $f$ est :% \[ f(x)=1 + x-\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\varepsilon\left(x\right)\] avec $\lim_{x\rightarrow0}\varepsilon\left(x\right) =0$. \item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 et la position relative de $C$ et $T$ au voisinage de ce point. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C : Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La fonction $f$ définie dans la partie B étant une solution de l'équation différentielle $\left( E\right) $ :% \[y'' - y' - 2y=\left( -6x - 4\right) \text{e}^{-x}\] montrer que $f$ vérifie, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :% \[f\left(x\right) =\frac{1}{2}\left[ f''\left( x\right) - f'\left(x\right) +(6x+4)\text{e}^{-x}\right]\] \item Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :% \[F\left(x\right) =\frac{1}{2}\left[ f'\left(x\right) -f\left( x\right) -(6x + 10)\text{e}^{-x}\right]\] Vérifier que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,% \[F'\left(x\right) =f\left(x\right)\] \item Vérifier que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :% \[F\left( x\right) =\left( -x^{2}- 4x -5\right) \text{e}^{-x}\] \end{enumerate} \item Utiliser ce qui précède pour démontrer que l'aire $A$ de la partie du plan hachurée sur la figure est, en unités d'aire, \[ A = 2\text{e} - 5.\] \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1.7cm} \begin{pspicture}(-2,-1)(5,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(5,3) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-2,-1)(5,3) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{-1.728}{5}{ x 1 add 2 exp 2.71828 x exp div} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=3000]{-1}{0}{ x 1 add 2 exp 2.71828 x exp div} \psline(0,0)(-1,0) } \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2003}{} \lfoot{\small{Groupement B}} \rfoot{\small{Session 2003}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement B - session 2003 }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \textbf{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes} \medskip \parbox{0.4\linewidth}{Dans une usine du secteur de l'agroalimentaire, une machine à embouteiller est alimentée par un réservoir d'eau et par une file d'approvisionnement en bouteilles vides, selon le schéma ci-contre. L'exercice consiste en une étude statistique du bon fonctionnement de ce système.} \hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=0.8mm,yunit=0.8mm,runit=0.8mm} \begin{pspicture}(15,0)(100.00,53.00) %\psgrid[subgriddiv=1](0,0)(80.00,53.00) \psframe[linewidth=0.15](15.00,13.00)(45.00,18.00) \multido{\n=15.000+2.727}{12}{\psline(\n,13)(\n,18)} \pscircle[linewidth=0.15](57.50,15.50){7.50} \psframe[linewidth=0.15](70.00,13.00)(100.00,18.00) \psline[linewidth=0.15]{-}(65.00,15.50)(70.00,15.50) \psline[linewidth=0.15]{-}(45.00,15.50)(50.00,15.50) %\psline[linewidth=0.15]{-}(70.00,13.00)(70.00,13.00) \psline[linewidth=0.15]{-}(57.50,23.00)(57.50,28.00) \psframe[linewidth=0.15](50.00,28.00)(65.00,53.00) \multido{\n=70.000+2.727}{12}{\psline(\n,13)(\n,18)} \rput[l](50.00,40.00){\small Réservoir} \rput[l](20.00,20.50){\small File d'entrée} \rput[l](75.00,21.00){\small File de sortie} \rput[l](51.00,16.00){\small Machine} \end{pspicture} } \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Défaut d'approvisionnement} On considère qu'il y a un défaut d'approvisionnement : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item soit lorsque la file d'entrée des bouteilles est vide, \item soit lorsque le réservoir est vide. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On tire un jour ouvrable au hasard dans une année. On note $A$ l'événement : \og la file d'entrée est vide au moins une fois dans la journée \fg{} et $B$ l'évènement : \og le réservoir est vide au moins une fois dans la journée \fg. On suppose que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants et une étude statistique a montré que $P(A) = 0,04$ et $P(B) = 0,02.$ Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : \begin{enumerate} \item $E_{1} = A \cap B$ \item $E_{2}:$~ \og la machine a connu au moins un défaut d'approvisionnement dans la journée \fg. \end{enumerate} \item \emph{Pannes de la machine sur une durée de 100~jours} On note $X$ la variable aléatoire qui à toute période de 100~jours consécutifs, tirée au hasard dans les jours ouvrables d'une année, associe le nombre de pannes de la machine. Une étude, menée par le constructeur sur un grand nombre de machines de ce type, permet d'admettre que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre 0,5. Déterminer, à l'aide de la table du formulaire : \begin{enumerate} \item $P(X\leqslant 2)$ ; \item la probabilité de l'évènement : \og la machine a au plus quatre pannes pendant la période de 100 jours consécutifs \fg. \item le plus petit entier $n$ tel que $P(X\leqslant n) = 0,99.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Dans ce qui suit les volumes sont exprimés en litres et tous les résultats approchés sont à arrondir à 10}$^{-3}.$ \medskip \begin{enumerate} \item[3.] Q\textit{ualité de l'embouteillage à la sortie} On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à toute bouteille prise au hasard dans la production d'une heure, associe le volume d'eau qu'elle contient. On admet que, lorsque la machine est bien réglée, $Y$ suit la loi normale de moyenne 1,5 et d'écart type 0,01.\newline Une bouteille est conforme aux normes de l'entreprise lorsqu'elle contient entre 1,47 et 1,53~litre d'eau. Calculer la probabilité qu'une bouteille satisfasse à la norme. \item[4.] T\emph{est d'hypothèse} Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine, on construit un test d'hypothèse bilatéral qui sera mis en ?uvre toutes les heures.\\ Pour une production d'une heure, la variable aléatoire $Z$ qui, à toute bouteille prise au hasard dans cette production associe le volume d'eau qu'elle contient, suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma = 0,01.$ Dans cette question, la moyenne $\mu$ est inconnue.\\ On désigne par $\bar{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100~bouteilles prélevé dans cette production d'une heure, associe la moyenne des volumes d'eau contenus dans les bouteilles de cet échantillon (la production pendant une heure est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). On considère que la machine est bien réglée lorsque $\mu=1,5.$ L'hypothèse nulle est $H_{0}: \og\mu=1,5 \fg.$ L'hypothèse alternative est $H_{1}: \og \mu \neq 1,5 \fg.$ Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que, sous l'hypothèse nulle $H_{0},$ $\bar{Z}$ suit la loi normale de moyenne $1,5$ et d'écart type $0,001$. \item Sous l'hypothèse nulle $H_{0},$ déterminer le nombre $h$ positif tel que :% \[P(1,5 - h\leqslant \bar{Z}\leqslant 1,5 + h) =0,95\] \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item On prélève un échantillon de 100~bouteilles et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des volumes d'eau contenus dans ces bouteilles est $\bar{z}=1,495.$ Peut-on, au seuil de 5\:\%, conclure que la machine est bien réglée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \medskip \emph{A.\ Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \[(E)~~ : \quad y^{\prime}+ y = 2\text{e}^{-x}\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x,$ définie et dérivable sur $\R,$ et $y^{\prime}$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~~ : \quad y^{\prime} + y = 0.$ \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) =2x\text{e}^{-x}.$ Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E).$ \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E).$ \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E) $ dont la courbe représentative, dans un repère orthonormal, passe par le point de coordonnées $(0~;~3)$. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Étude d'une fonction} \medskip \begin{enumerate} \item La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente dans un repère orthonormal \Oij{} une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) =(ax +b)\text{e}^{-x},$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. La droite $\Delta$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. Cette tangente passe par le point B de coordonnées (3~;~0). \medskip \psset{xunit=1.4,yunit=1.4} \begin{pspicture}(-2,-2)(6,4) \psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.01,gridlabels=0.3](0,0)(-2,-2)(6,4) \psline(-1,4)(5,-2) \psline(-2,0)(6,0) \psline(0,-2)(0,4) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.69}{6}{ 2 x mul 3 add 2.7 x neg exp mul} \rput(-1.3,2.5){$\mathcal{C}$} \rput(3.1,0.2){B} \rput(-0.5,3.8){$\Delta$} \rput(0.2,3.2){A} \end{pspicture} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement $f(0).$ \item Déterminer, graphiquement ou par le calcul, $f^{\prime}(0).$ \item Déterminer les valeurs des nombres réels $a$ et $b.$ \textbf{Dans la suite on admet que }\boldmath $f$ \textbf{est définie sur} \boldmath$\R$ \unboldmath \text{par : }% \[ f\left( x\right) =(2x+3)\text{e}^{-x}% \] \item Démontrer que, pour tout $x$ de $\R:$ $f^{\prime}(x) =(-2x - 1)\text{e}^{-x}$ ; \item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'inéquation $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ; \item En déduire le sens de variations de $f$ sur $\R$ (on ne cherchera pas les limites en $-\infty$ et $+\infty$) \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x\mapsto \text{e}^{-x}.$ \item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : $f\left( x\right) =3 - x - \dfrac{1}{2}x^{2} + x^{2}\varepsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon(x) = 0.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{C.\ Calcul intégral}\\ \begin{enumerate} \item La fonction $f$ définie dans la partie $B$ est une solution de l'équation différentielle $(E) $ de la partie $A.$ Donc, pour tout $x$ de $\R,$ $f(x) = - f^{\prime}(x) +2\text{e}^{-x}.$ En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R.$ \item On note $I= \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\:\text{d}x$ \begin{enumerate} \item Démontrer que $I = 5 - 6\text{e}^{-\frac{1}{2}}.$ \item Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $I.$ \end{enumerate} \item On note $J= \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(3 - x -\dfrac{1}{2}x^{2}\right)\:\text{d}x.$ \begin{enumerate} \item Démontrer que $J = \dfrac{65}{48}$ \item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ de $J.$ \item Vérifier que les valeurs approchées obtenues ci-dessus pour $I$ et $J$ diffèrent de moins de $10^{-2}.$ \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2004}{} \lfoot{\small{Groupement B}} \rfoot{\small{juin 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement B session 2004} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques cylindriques pour l'industrie. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres. \begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$ \end{center} \textbf{A. Loi normale} \medskip Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [99,45~;~100,55]. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d'écart type $0,25$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la longueur. \item Déterminer le nombre réel $h$ positif tel que \[P(100 - h \leqslant X \leqslant 100 +h) = 0,95.\] Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Loi binomiale et loi de Poisson} \medskip Dans un lot de ce type de tiges, 3\:\% des tiges ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard 50~tiges de ce lot pour vérification de la longueur. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement a un tirage avec remise de 50~tiges. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 50~tiges, associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur. \item On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson.\\ Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. \item On désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ a la valeur obtenue au \textbf{4.}.\\ Calculer $P(Z = 2)$ et $P(Z \leqslant 2)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Intervalle de confiance} \medskip Dans cette question on s'intéresse au diamètre des tiges, exprimé en millimètres. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 50~tiges dans la production d'une journée. Soit $\overline{D}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50~ tiges prélevées au hasard et avec remise dans la production d'une journée, associe la moyenne des diamètres des tiges de cet échantillon.\\ On suppose que $\overline{D}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{50}}$ avec $\sigma = 0,19$.\\ Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à $10^{-2}$ est $\overline{x}= 9,99$. \begin{enumerate} \item À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ des diamètres des tiges produites dans cette journée. \item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{x}$ de la moyenne $\mu$ des diamètres des tiges produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance 95\:\%. \item On considère l'affirmation suivante : \og la moyenne $\mu$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question \textbf{2} \fg. Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification). \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip \emph{Dans cet exercice, on étudie une fonction qui intervient dans des calculs de probabilité à propos de la crue d'un fleuve.}% \newline\emph{(Source : un bureau d'étude du domaine de l'équipement)} \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \[( E) ~~ :\quad y^{\prime}+ (0,4x)y = 0,4x\] où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x,$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[ ,$ et $y^{\prime}$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left( E_{0}\right) ~~: \quad y^{\prime}+(0,4x)y=0$. \item Montrer que la fonction constante $h,$ définie sur $[ 0~;~+\infty[ $ par $h(x) =1,$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E).$ \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\left(E\right) .$ \item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\left[ 0;+\infty\right[ $ par $F(x) = 1 - \text{e}^{-0,2x^{2}}$ est la solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $F(0) =0.$ \end{enumerate} \medskip \emph{B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = 0,4 x \text{e}^{-0,2x^{2}}.\] On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij, les unités graphiques étant de 2~cm sur l'axe des abscisses et de 10~cm sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) = 0.$ Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[ ,$ $f^{\prime}(x) =0,4\left(1- \sqrt{0,4}~x\right) \left( 1+\sqrt{0,4}~x\right) \text{e}^{-0,2x^{2}}.$ \item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $[ 0~;~+\infty[.$ \item Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[.$ \newline On y fera figurer la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ du maximum de la fonction $f.$ \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel fournit pour $f$ le développement limité suivant, à l'ordre 3, au voisinage de $0$ : \[f(x) =0,4x - 0,08 x^{3} + x^{3}\varepsilon(x)~ \text{avec}~ \displaystyle\lim_{x\to 0}\varepsilon(x) =0.\] \textbf{Ce résultat est admis et n'est donc pas à démontrer.} \newline En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$, et la position relative de $\mathcal{T}$ et de $\mathcal{C}$ au voisinage de ce point. \item Tracer sur la copie la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij{} défini au début de la partie \emph{B.} \end{enumerate} \emph{C. Application à un problème de probabilité} \medskip \emph{Une étude statistique, fondée sur un historique des crues d'un fleuve, permet de faire des prévisions sur sa hauteur maximale annuelle, en mètres.} On note $X$ la variable aléatoire qui, à une année prise au hasard dans une longue période, associe la hauteur maximale du fleuve en mètres. \medskip Soit $x$ un réel positif. La probabilité qu'une année donnée la hauteur maximale du fleuve soit inférieure à $x$ mètres est $P(X\leqslant x) = \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\:\text{d}t$ où $f$ est la fonction définie dans la partie \emph{B.} On admet que $\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\:\text{d}t = 1 - \text{e}^{-0,2x^{2}}.$ \begin{enumerate} \item Les digues actuelles ne protègent l'agglomération que lorsque la hauteur est inférieure à 4~mètres.\newline Calculer la probabilité $P(X\leqslant 4)$ qu'une année donnée, l'agglomération soit protégée de la crue ; arrondir le résultat à $10^{-2}.$ \item Afin de réaliser des travaux pour améliorer la protection de l'agglomération, on cherche la hauteur $x_{0},$ en mètres, telle que $P( X\leqslant x_{0}) 0,99.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $x_{0}$ est solution de l'équation : $\text{e}^{-0,2x^{2}}=0,01.$ \item Déterminer la valeur approché arrondie à $10^{-2}$ de $x_{0}.$ \item On considère l'affirmation suivante : \newline \og En surélevant les digues actuelles d'un mètre, la probabilité qu'une année prise au hasard, l'agglomération soit protégée est supérieure à 0,99~\fg. \newline Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication) \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2005}{} \lfoot{\small{Groupement B}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement B session 2005} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}$\bigskip$ \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle $(E)$ :% \[\left( 1+x\right) y^{\prime}+y=\frac{1}{1+x}\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x,$ définie et dérivable sur $\left] -1;+\infty\right[ $ et $y^{\prime}$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Démontrer que les solutions sur $\left] -1;+\infty\right[ $ de l'équation différentielle $\left( E_{0}\right) :$% \[(1+x) y^{\prime}+ y = 0 \] sont les fonctions définies par $h(x) =\dfrac{k}{x+1}$ où $k$ est une constante réelle quelconque. \item Soit $g$ la fonction définie sur $] -1~;~+\infty[ $ par $g(x) =\dfrac{\ln (1+x)}{1+x}$\\ Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E).$ \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $\left( E\right) $ qui vérifie la condition initiale $f(0) =2.$ \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Etude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\left] -1;+\infty\right[ $ par $f\left( x\right) =\frac{2+\ln\left( 1+x\right) }{1+x}$ Sa courbe représentative $\mathcal{C}$, dans un repère orthonormal où l'unité graphique est 1 cm, est donnée ci-dessous. \begin{center} \begin{pspicture*}(-1.2,-2.2)(9.5,3.2) \psgrid [gridcolor=blue,gridlabels=0,griddots=8,subgriddiv=0](0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2) \psaxes[linewidth=1pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotstyle=curve,plotpoints=5000]{-0.891} {9.5}{1 x add ln 2 add 1 x add div} \rput(1.2,1.8){$\mathcal{C}$} \uput[l](0,1){1} \uput[d](1,0){1} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}f\left( x\right) =-\infty$ et que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right) =0.$\\\ Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ de $] -1~;~+\infty[ ,\; f^{\prime}\left( x\right) =\dfrac{-1-\ln(1+x)}{( 1+x)^{2}}$ \item Résoudre dans $] -1~;~+\infty[ $ l'inéquation $-1-\ln(1+x) \geqslant 0.$\\ En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ lorsque $x$ varie dans $] -1~;~+\infty[.$ \item Établir le tableau de variation de $f.$ \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel donne le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f:$% \[ f\left( x\right) =2-x+\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\,\varepsilon(x) \text{ avec } \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\varepsilon(x) = 0 \] \newline \emph{Ce résultat, admis, n'a pas à être démontré.} \begin{enumerate} \item En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ au voisinage de leur point d'abscisse 0.$\bigskip$ \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{C. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la dérivée de la fonction $G$ définie sur $] -1~;~+\infty[ $ par :% \[ G(x) =\dfrac{1}{2}\left[\ln (1 + x)\right]^{2}% \] \item En déduire qu'une primitive de $f$ sur $] -1~;~+\infty[ $ est définie par :% \[F(x) = 2\ln(1+x) +\dfrac{1}{2}\left[ \ln( 1+x) \right]^{2}\] \item \begin{enumerate} \item On note $I = \displaystyle\int_{0}^{2}f(x) \:\text{d}x.$ Démontrer que $I=\dfrac{1}{2}(\ln 3)^{2}+2 \ln 3.$ \item Donner la valeur approchée arrondie à 10$^{-2}$ de $I.$ \item Donner une interprétation graphique du résultat obtenu au \text{b.} \bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier pour la construction. Leur diamètre est exprimé en millimètres. \medskip \textbf{Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats approchés sont à arrondir à 10}$^{\mathbf{-2}}$ \bigskip \emph{A. Loi normale} \medskip Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartient à l'intervalle [89,6~;~90,4]. \begin{enumerate} \item On note $X_{1}$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre. On suppose que la variable aléatoire $X_{1}$ suit la loi normale de moyenne 90 et d'écart-type $\sigma=0,17.$ Calculer la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme. \item L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles : Il est envisagé de modifier le réglage des machines produisant les rondelles. On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée dans la production future, associera son diamètre. On suppose que la variable aléatoire $D$ suit une loi normale de moyenne $90$ et d'écart-type $\sigma_{1}.$ Déterminer $\sigma_{1}$ pour que la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à 0,99. \bigskip \end{enumerate} \emph{B. Loi binomiale} \medskip On note $E$ l'évènement : \og une rondelle prélevée au hasard dans un stock important a un diamètre défectueux\fg. On suppose que $P\left( E\right) =0,02.$ On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour vérification de leur diamètre. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de quatre rondelles. On considère la variable aléatoire $Y_{1}$ qui à tout prélèvement de quatre rondelles associe le nombre de rondelles de ce prélèvement ayant un diamètre défectueux. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y_{1}$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune rondelle n'ait un diamètre défectueux. Arrondir à 10$^{-3}.$ \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus une rondelle ait un diamètre défectueux. Arrondir à 10$^{-3}$. \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale} \medskip Les rondelles sont commercialisées par lot de \nombre{1000}. On prélève au hasard un lot de \nombre{1000} dans un dépôt de l'usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de \nombre{1000} rondelles. On considère la variable aléatoire $Y_{2}$ qui, à tout prélèvement de \nombre{1000} rondelles, associe le nombre de rondelles non conformes parmi ces \nombre{1000} rondelles. On admet que la variable aléatoire $Y_{2}$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \nombre{1000}$ et $p=0,02.$ On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y_{2}$ par la loi normale de moyenne $20$ et d'écart-type 4,43. On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 20 et d'écart-type 4,43. \begin{enumerate} \item Justifier les paramètres de cette loi normale. \item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 15 rondelles non conformes dans le lot de \nombre{1000} rondelles, c'est à dire calculer $P(Z\leqslant 15,5) \bigskip$ \end{enumerate} \medskip \emph{D. Test d'hypothèse} \medskip On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne $\mu$ de l'ensemble des diamètres, en millimètres, de rondelles constituant une grosse livraison à effectuer. On note $X_{2}$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la livraison, associe son diamètre. La variable aléatoire $X_{2}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart-type $\sigma=0,17.$ On désigne par $\bar{X}_{2}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $100$ rondelles prélevé dans la livraison, associe la moyenne des diamètres de ces rondelles (la livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). L'hypothèse nulle est $H_{0}:\mu=90.$ Dans ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre. L'hypothèse alternative est $H_{1}:\mu\neq 90.$ Le seuil de signification du test est fixé à 0,05. \begin{enumerate} \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test en admettant, sous l'hypothèse nulle $H_{0}$, le résultat suivant qui n'a pas à être démontré :% \[ P\left(89,967\leqslant \overline{X}_{2}\leqslant 90,033 \right) = 0,95 \] \item On prélève un échantillon de $100$ rondelles dans la livraison et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres est $\bar{x}=90,02.$ Peut-on, au seuil de risque de 5\:\%, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2006}{} \lfoot{\small{Groupement B}} \rfoot{\small{juin 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement B session 2006} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \medskip \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle (E) : \[y'' - 3 y' - 4 y = - 5 \text{e}^{- x}\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle \[(\text{E}_0) ~~:\quad y''- 3y'- 4y = 0.\] \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=x\text{e}^{-x}$. Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f'(0) = -1$. \end{enumerate} \vskip 1cm \emph{B. Étude locale d'une fonction} \medskip La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal \Oij, de la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\] \begin{center} \psset{unit=1.1cm} \begin{pspicture}(-4.1,-4.1)(4.1,4.1) \psaxes{->}(0,0)(-4.1,-4.1)(4.1,4.1) \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{-2.375}{4}{x 2 add 2.71828 x exp div} \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0pt,gridcolor=orange](-4,-4)(4,4) \rput(-0.3,-0.3){O} \rput(3.8,-0.4){$x$} \rput(-0.3,3.8){$y$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est \[f(x) = 2 - x+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)~ \text{ avec } \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0.\] \item Déduire du \textbf{1} une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. \item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$. \end{enumerate} \vskip 1cm \emph{C. Calcul intégral} \medskip On note $I= \displaystyle\int_{0}^{0,6} f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I = 3 - 3,6\text{e}^{-0,6}$. \item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $I$. \item Donner une interprétation graphique du nombre $I$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} Une entreprise fabrique des chaudières de deux types : \qquad -- des chaudières dites \og à cheminée \fg, \qquad -- des chaudières dites \og à ventouse \fg. \begin{center} \textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \smallskip \emph{A. Ajustement affine} \medskip Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline Nombre de chaudières fabriquées par milliers : $y_i$ & 15,35 & 15,81 & 16,44 & 16,75 & 17,19 & 17,30 \\\hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'une calculatrice, déterminer: \begin{enumerate} \item le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables $x$ et $y$; arrondir à $10^{-2}$ ; \item déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax + b$, où $a$ sera arrondi à $10^{-3}$ et $b$ sera arrondi à l'unité. \end{enumerate} \item En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées l'année de rang 7. \end{enumerate} \vskip 1cm \emph{B. Probabilités conditionnelles} \medskip L'entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudières à ventouse. Dans ce lot, 1\:\% des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5\:\% des chaudières à ventouse sont défectueuses. On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d'être prélevées. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $A$ : \og La chaudière est à cheminée \fg{} ; \item $B$ : \og La chaudière est à ventouse \fg{} ; \item $D$ : \og La chaudière présente un défaut \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Déterminer $P(A)$, $P(B)$, $P(D/A)$ et $P(D/B)$. \item Calculer $P(D\cap A)$ et $P(D\cap B)$. \item En remarquant que $D = (D\cap A)\cup(D\cap B)$ et que les événements $D\cap A$ et $D\cap B$ sont incompatibles, calculer $P(D)$ et $P(\bar{D})$. \end{enumerate} \medskip \emph{C. Loi normale} \medskip Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement en années. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 15 et d'écart type 3. Une chaudière est dite \og amortie \fg{} si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans. \smallskip Calculer la probabilité qu'une chaudière prélevée au hasard dans la production soit \og amortie \fg{} ; arrondir à $10^{-3}$. \vskip 1cm \emph{D. Intervalle de confiance} \medskip On considère un échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard dans un stock important. Ce stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 94~chaudières sont sans aucun défaut. \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des chaudières de ce stock qui sont sans aucun défaut. \item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard et avec remise dans ce stock, associe la fréquence des chaudières de cet échantillon qui sont sans aucun défaut. On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}$, où $p$ est la fréquence inconnue des chaudières du stock qui sont sans aucun défaut. Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance 95\:\%. Arrondir les bornes à $10^{-2}$. \item On considère l'affirmation suivante : \og la fréquence $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question \textbf{2} \fg. Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 groupement B 2 \hfill 9 points} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(6,1.5) \psline{->}(0,1)(1.5,1)\psline{->}(4.5,1)(6,1) \psframe(1.5,0.5)(4.5,1.5) \uput[u](0.75,1){$e(t)$}\uput[u](5.25,1){$s(t)$} \rput(3,1){Système} \end{pspicture} \end{center} On considère un système (électrique ou mécanique) et on note $e(t)$ le signal d'entrée et $s(t)$ le signal de sortie. Un système du 1\up{er} ordre est un système régi par une équation différentielle du type $\left(\text{E}_{\text{D}} \right) : \quad T \dfrac{\text{d}s}{\text{d}t} + s(t) = Ke(t)$, où $T$ et $K$ sont des constantes réelles positives. On note $E(p) = \mathcal{L}(e(t))$ et $S(p) = \mathcal{L}(s(t))$ où $\mathcal{L}$ est la transformation de Laplace. La fonction de transfert $H$ du système est alors définie par : $H(p) = \dfrac{S(p)}{E(p)}$. \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties \primo, \secundo et \tertio peuvent \^etre traitées de fa\c{c}on indépendante} \end{center} \primo \emph{Recherche de la fonction de transfert} \medskip En appliquant la transformation de Laplace $\mathcal{L}$ aux deux membres de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{\text{D}} \right)$ et en supposant que $s\left(0^+\right) = 0$ (le système est initialement au repos), montrer que : \[H(p) = \dfrac{K}{1 + Tp}.\] \textbf{Dans le reste de l'exercice, on prendra } \boldmath $K = T = 1$ \unboldmath \secundo \emph{Recherche du signal de sortie dans un cas particulier} \medskip On suppose que le signal d'entrée est $e(t) = 2 \mathcal{U}(t - 3)$. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Représenter sur la feuille de copie la fonction $e$ dans un repère orthogonal pour $t$ élément de $[-1~;~6]$. \item[\textbf{b.}] Calculer $E(p)$. \item[\textbf{c.}] Montrer que $S(p) = 2\left(\dfrac{\text{e}^{-3p}}{p} - \dfrac{\text{e}^{-3p}}{p + 1} \right)$. \item[\textbf{d.}] En déduire l'expression du signal de sortie $s(t) = \mathcal{L}^{-1}(S(p))$. \end{enumerate} \tertio \emph{On se propose dans cette question de déterminer le \og lieu de transfert \fg{} associé \`a la fonction de transfert $H$} \medskip On note j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ et on pose $p = \text{j}\omega$ avec $\omega \in ]0~;~+ \infty[$. On a alors : $H(\text{j}\omega) = \dfrac{1}{1 + \text{j}\omega}$. Dans ce qui suit, les représentations graphiques demandées sont \`a réaliser sur une feuille de papier millimétré avec un repère orthonormal \Ouv{ d'unité graphique 5 centimètres. On appelle $M_{\omega}$ le point d'affixe $z = 1 + \text{j}\omega$ et $N_{\omega}$ le point d'affixe $H(\text{j}\omega)$ pour tout $\omega$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] On lit sur l'écran d'une calculatrice que les valeurs de $H(\text{j}\omega)$ pour $\omega = \dfrac{3}{4},~\omega = 1$ et $\omega = \sqrt{3}$ sont : \[H\left(\text{j}\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{16}{25} - \dfrac{12}{25}\text{j}\quad ; \quad H(\text{j}) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{j} \quad ; \quad H\left(\text{j}\sqrt{3}\right) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{j}.\] Placer sur une figure les points $M_{\omega}$ et $N_{\omega}$ pour $\omega = \dfrac{3}{4},~\omega = 1$ puis $\omega = \sqrt{3}$. \item[\textbf{b.}] Tracer sur la figure du \tertio \textbf{a.} l'ensemble $\mathcal{E}_{1}$ décrit par le point $M_{\omega}$ lorsque $\omega$ varie dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item[\textbf{c.}] Quelle est la transformation complexe qui associe au point $M_{\omega}$ d'affixe $z = 1 + \text{j}\omega$ le point $N_{\omega}$ d'affixe $Z = \dfrac{1}{1 + \text{j}\omega}$. \item[\textbf{d.}] Tracer l'ensemble $\mathcal{E}_{2}$ décrit par le point $N_{\omega}$ lorsque $\omega$ varie dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Formulaire} \bigskip On rappelle les formules suivantes sur la transformation de Laplace. \begin{center} $\mathcal{L}[\mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p}$ ; \end{center} Plus généralement, si on note $\mathcal{L}[f(t)\mathcal{U}(t)] = F(p)$ alors, \begin{center} $\mathcal{L}[f(t - \tau)\mathcal{U}(t - \tau)] = F(p)\text{e}^{-\tau p}$ ; $\mathcal{L}[f(t) \text{e}^{-at} \mathcal{U}(t)] = F(p + a)$ ; $\mathcal{L}[f'(t)\mathcal{U}(t)] = pF(p) - f\left(0^+\right)$. \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2007Caledo}{} \lfoot{\small{Groupe B}} \rfoot{\small{octobre 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ octobre 2006 - groupement B Nouvelle--Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip \emph{Dans cet exercice on étudie une fonction intervenant dans la modélisation d'un risque de catastrophe naturelle.} \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle (E) : \[ 10^4 y' + 2t y = 0,\] o\`u $y$ est une fonction de la variable réelle définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E ) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 1$. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Étude d'une fonction} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = \text{e}^{- \frac{t^2}{10^4}}$. On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère onhogonal. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to - \infty} f(t)$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. \item Interpréter graphiquement les résultats obtenus au a. \end{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. Un logiciel de calcul formel donne l'expression de $f'(t)$ : pour tout $t$ de $\R,~ f'(t) = - \dfrac{2t}{10^4}\text{e}^{- \frac{t^2}{10^4}}$. \emph{Ce résultat, admis, n'a pas à être démontré.} \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f'(t) \geqslant 0$. \item En déduire le sens de variations de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide du développement limité, à l'ordre 1, au voisinage de $0$, de la fonction $u \longmapsto \text{e}^u$, calculer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$. \item Sur la figure ci-après sont tracées la courbe $\mathcal{C}$ et la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(t) = 1- \dfrac{t^2}{10^4}$. Donner une interprétation graphique du résultat obtenu au B. 3. a. \end{enumerate} \medskip \psset{xunit=0.03cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(-200,-0.1)(200,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=100]{->}(0,0)(-200,-0.1)(200,1.1) \psplot[linecolor=blue]{-200}{200}{2.71828 x dup mul neg 10000 div exp} \psplot[linecolor=red]{-110}{110}{1 x dup mul 10000 div sub} \uput[d](200,0){$t$}\uput[dr](0,0){O} \uput[l](0,1.1){$y$} \end{pspicture} \medskip \item Démontrer que $\displaystyle\int_{0}^{30} \left(1 - \dfrac{t^2}{10^4}\right)\:\text{d}t = 29,1$. \end{enumerate} \medskip \emph{C. Application à la gestion d'un risque} On admet que la probabilité qu'un certain type de « catastrophe naturelle » ne se produise pas pendant les $t$ années à venir est donnée par $f(t) = \text{e}^{- \dfrac{t^2}{10^4}}$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que cette catastrophe naturelle ne se produise pas pendant les 50~ans à venir. Arrondir à $10^{-1}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer un nombre réel positif $t$ tel que $\text{e}^{- \dfrac{t^2}{10^4}} = 0,5$ ; donner la valeur exacte, puis arrondir à $10^{-1}$. \item Traduire le résultat du C. 2. a. à l'aide d'une phrase. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2\hfill 9 points} \begin{center} \textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de fa\c{c}on indépendante} \end{center} \parbox[c]{0.55\linewidth}{Un atelier d'une usine d'automobiles est chargé de l'assemblage d'un moteur. Dans cet exercice on s'intéresse au contrôle de qualité de l'emmanchement d'une poulie sur une pompe de direction assistée. Cet emmanchement est contrôlé par la mesure, en millimètres, de la cote $x$ apparaissant sur la figure ci-contre} \hfill \parbox{0.4\linewidth}{ \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(4,4.5) \psline(2.1,3.8)(2.4,4.2)(2.7,4)(2.5,3.6)(3.7,3.6)(3.7,1.4)(1.7,1.4)(1.7,1.1)(1.4,1.1)(1.4,1.7)(0.8,1.7)(0.8,3.3)(1.2,3.3) \pscurve(1.2,3.3)(1.5,3.7)(2.1,3.8) \pspolygon(0.4,1.4)(0.7,1.4)(0.7,3.55)(0.4,3.55)(0.4,2.7)(0.1,2.7)(0.1,2.2)(0.4,2.2)\psline(0.8,2.6)(0.1,2.6) \psline(0.8,2.3)(0.1,2.3) \rput(2,2.5){Pompe}\rput(0.6,3.8){Poulie }\psline[linewidth=0.3pt](0.7,1.4)(0.7,0.1)\psline[linewidth=0.3pt](1.7,1.1)(1.7,0.1)\psline{<->}(0.7,0.1)(1.7,0.1) \uput[u](1.2,0.1){$x$} \end{pspicture}} \begin{center} \textbf{Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés sont à arrondir à}~ \boldmath $10^{-3}$\unboldmath \end{center} \emph{A. Probabilités conditionnelles} Dans cette partie, on s'intéresse, un jour donné, à une machine assurant l'installation de la poulie. Cette machine peut connaître une défaillancc susceptible d'être détectée par un système d'alerte. Le système d'alerte peut aussi se déclencher sans raison. On note $D$ l'évènement : « la machine est défaillante » et on note $A$ l'évènement : « l'alerte est donnée ». On admet que : $P(D) = 0,001 ~;~ P(A/D) = 0,99$ et $P(A/\overline{D})= 0,005$. (On rappelle que $P(A/D) = P_{D}(A)$ est la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $D$ est réalisé). \begin{enumerate} \item En remarquant que $A = (A \cap D) \cup \left(A \cap \overline{D}\right)$ et que $A \cap D$ et $A \cap \overline{D}$ sont incompatibles, calculer $P(A)$. \item L'alerte est donnée. Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'une « fausse alerte », c'est à dire $P\left(\overline{D}A/ A\right)$. Arrondir à $10^{-2}$. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Loi normale} L'installation de la poulie est considérée comme conforme lorsque la cote $x$ appartient à l'intervalle [39,85 ~;~ 40,15]. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque ensemble pompe-poulie prélevé au hasard dans la production, associe sa cote $x$. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $40$ et d'écart type $0,06$. Calculer la probabilité que la cote $x$ d'un ensemble pompe-poulie prélevé au hasard dans la production soit confonne. \medskip \emph{C. Loi binomiale } On suppose que dans la production du jour, 50\:\% des ensembles pompe-poulie ont des cotes $x$ supérieures ou égales à 40 millimètres. On prélève au hasard 7 ensembles pompe-poulie dans cette production. La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 7 ensembles pompe-poulie, associe le nombre de ceux dont la cote $x$ est supérieure ou égale à $40$. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer $P(Y = 7)$. \end{enumerate} \medskip \emph{D. Test d'hypothèse} On se propose de construire un test d 'hypothèse pour contrôler la moyenne $\mu$ des ensembles pompe-poulie d'n lot important venant d'être réalisé. On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque ensemble pompe-poulie prélevé au hasard dans ce lot, associe sa cote $x$. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\sigma = 0,06$. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 30~ensembles pompe-poulie prélevé dans le lot, associe la moyenne des cotes $X$ de cet échantillon (le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). L'hypothèse nulle est $H_{0}~ :~ \mu = 40$. Dans ce cas le lot est dit conforme. L'hypothèse alternative est $H_{1}~ : \mu \neq 40$. Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que, sous l'hypothèse nulle $H_{0},~ Z$ suit la loi normale de moyenne $40$ et d'écart type $0,011$. \item Sous l'hypothèse nulle $H_{0}$, déterminer le nombre réel $h$ positif tel que : \[P\left(40 - h \leqslant Z \leqslant 40 + h \right) = 0,95. \] \item Énoncer la régie de décision permettant d'utiliser ce test. \item On prélève un échantillon de 30~ensembles pompe--poulie dans le lot et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des cotes $x$ est $\overline{x} = 39,98$. Peut-on, au seuil de risque de 5\:\%, conclure que le lot est conforme ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2007}{} \lfoot{\small{Groupement B}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2007\\ Groupement B}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill $12$ points} \medskip \noindent \emph{On étudie dans cet exercice une fonction $\varphi$ susceptible d'intervenir dans la modélisation du trafic Internet au terminal informatique d'une grande société. Pour un réel $t$ positif, $\varphi(t)$ est la probabilité que le temps séparant l'arrivée de deux paquets de données soit inférieur à $t$ secondes.} \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center} \medskip \textit{A. Résolution d'une équation différentielle} \vspace{1ex}\\ On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\quad y^{\prime}+710y=710$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$, et $y^{\prime}$ la fonction dérivée de $y$. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions définies sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $(E_0)$ : \[y^{\prime} + 710y = 0.\] \item Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $h(t)=1$. Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $\varphi$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $\varphi(0)=0$. \end{enumerate} \medskip \noindent \emph{B. étude d'une fonction} \vspace{1ex}\\ Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $\varphi(t)=1-\text{e}^{-710t}$.\\ On désigne par $C$ la courbe représentative de $\varphi$ dans un repère orthogonal \Oij{} où on prend comme unités : 10 cm pour 0,01 sur l'axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $\varphi$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $\varphi$ est \[\varphi(t)=710t-\dfrac{(710t)^2}{2}+t^2\varepsilon(t)\quad\text{avec}\quad \lim_{t\to 0}\varepsilon(t)=0.\] \item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$, ainsi que la position relative de $C$ et $T$ au voisinage de ce point. \end{enumerate} \item Tracer sur la copie la tangente $T$ et la courbe $C$ dans le repère \Oij{} défini au début de la partie \emph{B}. On pourra se limiter à la partie de $C$ correspondant à l'intervalle $[0~;~0,01]$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer par le calcul le nombre réel positif $\alpha$ tel que $\varphi(\alpha)=0,5$. Donner la valeur exacte de $\alpha$, puis sa valeur approchée arrondie à $10^{-5}$. \item Retrouver sur la figure le résultat obtenu au a) : faire apparaître les constructions utiles. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textit{Le nombre $\alpha$ représente le temps médian en secondes séparant l'arrivée de deux paquets de données.} \newpage \emph{C. Calcul intégral} \vspace{1ex} \begin{enumerate} \item Pour tout réel positif $t$, on note $I(t)=710\displaystyle\int_0^t x\text{e}^{-710x}\:\text{d}x$. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que : \[I(t) = -t\text{e}^{-710t}-\dfrac{1}{710}\text{e}^{-710t}+\dfrac{1}{710}.\] \item Calculer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}I(t)$. Donner la valeur exacte de cette limite, puis sa valeur approchée arrondie à $10^{-5}$. \end{enumerate} \medskip \emph{Le résultat obtenu est le temps moyen en secondes séparant l'arrivée de deux paquets de données.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{1cm} \noindent{\textbf{Exercice 2 \hfill $8$ points}} \medskip \begin{center}\textit{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}\end{center} \medskip Une usine fabrique des ventilateurs en grande quantité. On s'intéresse à trois type de pièces : l'axe moteur, appelée pièce de type 1, l'ensemble des trois pales, appelé pièce de type 2 et le support, appelé pièce de type 3.\\ \medskip \noindent \begin{tabular}{c c} \begin{pspicture}(-3.5,0)(3.5,5.8) \psellipse(0,1)(3.5,0.8) \psellipse(0,2)(3.5,0.8) \psline(-3.5,1)(-3.5,2)\psline(3.5,1)(3.5,2) \psellipse(0,2.4)(2.85,0.7) \psellipse(0,2.9)(2.85,0.7) \psline(-2.85,2.3)(-2.85,3.9)\psline(2.85,2.3)(2.85,3.9) \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(-2.85,3.9)(2.85,3.9) \uput[u](0,3.9){$d$} \uput[d](0,0){Pièce de type 1} \end{pspicture}& \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \psset{xunit=1,yunit=1,PointName=none,PointSymbol=none,}% \pstGeonode(0,0){O} \pstGeonode(0.5,0){A_1} \pstRotation[RotAngle=60]{O}{A_1}[A_2] \pstRotation[RotAngle=60]{O}{A_2}[A_3] \pstRotation[RotAngle=60]{O}{A_3}[A_4] \pstRotation[RotAngle=60]{O}{A_4}[A_5] \pstRotation[RotAngle=60]{O}{A_5}[A_6] \pstArcOAB{O}{A_2}{A_3} \pstArcOAB{O}{A_4}{A_5} \pstArcOAB{O}{A_2}{A_3} \pstArcOAB{O}{A_6}{A_1} \pstGeonode(2;30){b_1} \pstRotation[RotAngle=20]{O}{b_1}[B_1] \pstRotation[RotAngle=-20]{O}{b_1}[B_6] \pstGeonode(2;150){b_2} \pstRotation[RotAngle=20]{O}{b_2}[B_2] \pstRotation[RotAngle=-20]{O}{b_2}[B_3] \pstGeonode(2;270){b_3} \pstRotation[RotAngle=20]{O}{b_3}[B_4] \pstRotation[RotAngle=-20]{O}{b_3}[B_5] \pstArcOAB{O}{B_6}{B_1} \pstArcOAB{O}{B_3}{B_2} \pstArcOAB{O}{B_5}{B_4} \psline(A_2)(B_1) \psline(A_3)(B_3) \psline(A_4)(B_2) \psline(A_5)(B_5) \psline(A_6)(B_4) \psline(A_1)(B_6) \uput[d](0,-2){Pièce de type 2} \end{pspicture}\\ \end{tabular} \begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à $\mathbf{10^{-2}}$.} \end{center} \medskip \textit{A. Loi normale} \vspace{1ex} Une pièce de type 1 est conforme lorque son diamètre $d$ (voir la figure), exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle $[29,8~;~30,2]$.\\ On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce de type 1 prélevée au hasard dans la production des pièces de type 1, associe le diamètre $d$ exprimé en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 30 et d'écart type 0,09. \vspace{1ex} Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production des pièces de type 1 soit conforme. \medskip \textit{B. Loi binomiale} \vspace{1ex} On considère un stock important de pièces de type 2. On note $E$ l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans le stock de pièces de type 2 est défectueuse\fg. On suppose que $P(E)=0,03$. On prélève au hasard 20 pièces dans le stock de pièces de type 2 pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 pièces de type 2. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Calculer la probabilité qu'aucune pièce de ce prélèvement ne soit défectueuse. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, une pièce au moins soit défectueuse. \end{enumerate} \medskip \textit{C. Test d'hypothèse} \vspace{1ex} Une importante commande de pièces de type 3 est passé à un sous-traitant. La hauteur du support doit être de 400 millimètres. On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler, au moment de la livraison, la moyenne $\mu$ de l'ensemble des hauteurs, en millimètres, des pièces de type 3. On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce de type 3 prélevée au hasard dans la livraison associe sa hauteur. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\sigma=5$. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 pièces de type 3 prélevé dans la livraison, associe la moyenne des hauteurs des pièces de cet échantillon. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.\\ L'hypothèse nulle est $H_0$ : $\mu=400$. L'hypothèse alternative est $H_1$ : $\mu \neq 400$. Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$. \begin{enumerate} \item Sous l'hypothèse $H_0$, on admet que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne 400 et d'écart type 0,5. Déterminer sous cette hypothèse le nombre réel $h$ positif tel que : \[P(400 - h \leqslant \overline{Z}\leqslant 400+h) = 0,95.\] \item En déduire la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item On prélève un échantillon aléatoire de 100 pièces dans la livraison reçue et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des hauteurs des pièces est $\overline{z}=399,12$. Peut-on, au seuil de $5\%$, conclure que la livraison est conforme pour la hauteur ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2008A1}{} \lfoot{\small{Groupe B}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2008 - groupement B}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 12points} \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle $(E)\,:\, y'-2y=x\text{e}^x$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $(E_0)$ : \[y'-2y=0.\] \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g(x)=(- x - 1)\text{e}^x.\] Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0)=0$. \end{enumerate} \emph{B. Étude locale d'une fonction} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x)=\text{e}^{2x}- (x + 1)\text{e}^x.\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1.5cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(-5,-2)(3,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-2)(3,5.5) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-5,-2)(3,5) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{-5}{1.3}{2.71828^(2*x)-(x+1)*2.71828^x} \rput(1.2,2.5){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x,\,f'(x)=\text{e}^x(2\text{e}^x-2-x)$. \item En déduire le coefficient directeur $f'(0)$ de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abcisse $0$. Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x\longmapsto\text{e}^{2x}$. \item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : \[f(x)=\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon (x)\quad\text{avec}\quad \lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{C. Calcul intégral} \begin{enumerate} \item On note $I= \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}\frac{x^2}{2}\text{d} x$. Démontrer que $I=0,009$. \item On note $J = \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}\text{e}^{2x}\text{d}x$. Démontrer que $J = 0,5\left(\text{e}^{0,6}-\text{e}^{-0,6}\right)$. \item On note $K = \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}(x+1)\text{e}^x\text{d}x$. Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $K=0,3\left(\text{e}^{0,3}+\text{e}^{-0,3}\right)$. \item On note $L=\displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}f(x)\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $L$. \item Donner la valeur approchée de $L$ arrondie à $10^{-5}$. \item Vérifier que la valeur exacte de $I$ et la valeur approchée de $L$ obtenue à la question précédente diffèrent de $4,5\times 10^{-4}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \end{center} \medskip Une entreprise fabrique en grande série des pièces de bois. Ces pièces sont prévues pour s'encastrer les unes dans les autres. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,3.5) \psline(0,0)(0,0.5)(0.6,0.5)(0.6,2)(0,2)(0,2.5)(4.2,2.5)(4.2,2)(4.8,2)(4.8, 0.5)(4.2,0.5)(4.2,0)(0,0) \psline{<->}(-0.5,0.5)(-.5,2) \rput(-.75,1.25){$y$} \psline{<->}(5.3,0.5)(5.3,2) \rput(5.55,1.25){$x$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à} $\mathbf{10^{-3}}$. \end{center} \medskip \emph{A. Loi normale} Une pièce de type est conforme lorsque sa cote $x$, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle $[9,5~;~10,5]$ et lorsque sa cote $y$ appartient à l'intervalle $[10,5~;~11,5]$. \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa cote $x$. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 10 et d'écart type 0,21. Calculer $P(9,5 \leqslant X \leqslant 10,5)$. \item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa cote $y$. On admet que $P(10,5 \leqslant Y \leqslant 11,5) = 0,985$. On suppose que les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes. On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. Déterminer la probabilité qu'elle soit conforme. \end{enumerate} \medskip \noindent \emph{B. Loi binomiale et loi de Poisson} On considère un stock important de pièces. On note $E$ l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans le stock est défectueuse\fg. On suppose que $P(E) = 0,03$. On prélève au hasard 50 pièces dans le stock de pièces pour vérification. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 pièces. On considère la variable aléatoire $Z$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Z$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer $P(Z = 0)$ et $P(Z\leqslant 2)$. \item On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Z$ peut être approchée par une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. \item On désigne par $Z_1$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au \textbf{a}. En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 50~pièces, au plus deux pièces soient défectueuses. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \noindent \emph{C. Intervalle de confiance} Dans cette partie, on considère une grande quantité de pièces devant être livrées à une chaîne d'hypermarchés. On considère un échantillon de $100$~pièces prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que $96$~pièces sont sans défaut. \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des pièces de cette livraison qui sont sans aucun défaut. \item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~pièces prélevées au hasard et avec remise dans cette livraison, associe la fréquence des pièces de cet échantillon qui sont sans défaut. On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1- p)}{100}}$, où $p$ est la fréquence inconnue des pièces de la livraison qui sont sans aucun défaut. Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance de 95\%. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2008Caledo}{} \lfoot{\small{Groupement B}} \rfoot{\small{novembre 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2007\\Nouvelle--Calédonie Groupement B}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill $10$ points} \begin{center} \emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center} Une usine fabrique un très grand nombre de billes en acier spécial destinées à un certain type de roulement. \begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-3}$.\unboldmath\end{center} \emph{A- Loi normale} \medskip Une bille est conforme lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [14,92~ ;~ 15,08]. \begin{enumerate} \item On noie $M$ la variable aléatoire qui, à chaque bille prélevée au hasard dans la production, associe sa masse. On suppose que la variable aléatoire $M$ suit la loi normale de moyenne $15$ et d'écart type $0,05$. Calculer la probabilité qu'une bille prélevée au hasard dans la production soit conforme. \item La qualité de la production de billes étant jugée insuffisante, on effectue un réglage. On note $M_{1}$ la variable aléatoire qui, à chaque bille prélevée dans la nouvelle production future, associe sa masse. On suppose que la variable aléatoire $M_{1}$, suit une loi normale de moyenne $15$ et d'écart type $\sigma_{1}$. On admet que la probabilité qu'une bille prélevée au hasard dans la nouvelle production soit conforme est alors égale à $0,99$. Déterminer $\sigma_{1}$. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Loi binomiale et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson} On note $E$ l'évènement : « une bille prélevée au hasard dans un stock important est défectueuse ». On suppose que $P(E) = 0,01$. Les roulements fabriqués avec ce type de billes contiennent 36 billes. On prélève au hasard 36~billes dans un stock suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 36 billes. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini associe le nombre de billes de ce prélèvement qui sont défectueuses. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'il n'y ait aucune bille défectueuse dans un tel prélèvement. \item Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus deux billes défectueuses dans un tel prélèvement. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère que la loi suivie par la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. \item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, o\`u $\lambda$est la valeur obtenue au \textbf{a.}. En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu'il y ait au plus deux billes défectueuses dans un tel prélèvement. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{C. Test d'hypothèse} Pour la fabrication des roulements, les billes doivent peser 15~grammes. On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler la moyenne $m$ de l'ensemble des masses, en grammes, d'une importante livraison destinée au montage de roulements. On note $Z$ la variable aléatoire qui à chaque bille prélevée au hasard dans la livraison associe sa masse. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $m$ et d'écart type $0,05$. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 36~pièces prélevé dans la livraison, associe la moyenne des masses des billes de cet échantillon. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise. L'hypothèse nulle est $H_{0}~:~ m = 15$. L'hypothèse alternative est $H_{1}~:~ m \neq 15$. Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$. \begin{enumerate} \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test en admettant, sous l'hypothèse nulle $H_{0}$, le résultat suivant, qui n'a pas à être démontré. \[P(14,984 \leqslant \overline{Z} \leqslant 15,016) = 0,95.\] \item On prélève un échantillon aléatoire de 36~billes dans la livraison et on calcule la moyenne des masses des billes de cet échantillon. On obtient $\overline{x} = 15,025$. Peut-on conclure, au seuil de risque de 0,05 que la livraison est conforme pour la masse ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill $10$ points} \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center} \medskip \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle \[(\text{E})~~: \qquad y' - y = - \dfrac{4\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~~ : y' - y = 0$. \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$. Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). \end{enumerate} \medskip \emph{B. Étude locale d'une fonction} On rappelle que $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{4{\text{e}}^x}{\text{e}^x + 1}$ et on note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal. On admet que le développement limite à l'ordre 3 de la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{\text{e}^x + 1}$ au voisinage de $0$ est : \[\dfrac{1}{\text{e}^x + 1} = \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{48}x^3 + x^3 \epsilon(x)~~ \text{avec} \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] (Ce résultat n'a pas à être démontré). \begin{enumerate} \item Démontrer que le développement limité à l'ordre 3 de la fonction $g$ au voisinage de $0$ est \[g(x) = 2 + x - \dfrac{x^3}{12} + x^3 \epsilon(x)~~ \text{avec}~~ \displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] \item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ et la position relative de $T$ et $\mathcal{C}$ au voisinage de ce point. \end{enumerate} \emph{C. Calcul inté gral} \begin{enumerate} \item On note $I = \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $I = 4 \ln \dfrac{\text{e} + 1}{2}$. \item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $I$. \end{enumerate} \item On note $J = \displaystyle\int_{0}^1 \left(2 + x - \dfrac{x^3}{12}\right)\: \text{d}x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $J = \dfrac{119}{48}$. 48 \item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $J$. \item Vérifier que les valeurs approchées de $I$ et de $J$obtenues au 1. b. et au 2. b. diffèrent de $0,001$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newline \hypertarget{2009}{} \lfoot{\small{Groupe B}} \rfoot{\small{mai 2009-}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane--Polynésie \\ session 2009 - groupement B}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center} \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \[(E) : \quad y'' - 2y' + y = 8 \text{e}^x.\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle \[\left(E_{0}\right) :\quad y'' - 2y'+y = 0.\] \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 4 x^2\text{e}^x$. Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = - 4$ et $f'(0) = - 4$. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Étude locale d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \left(4x^2 - 4\right)\text{e}^x\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{xunit=1.4cm} \begin{pspicture*}(-5,-5.5)(2.2,5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-5)(2,4.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](0,0)(-5,-5.5)(2,4) \psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{1.148}{x dup mul 4 mul 4 sub 2.71828 x exp mul} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,4.5){$f(x)$}\uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} \end{pspicture*} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = 4\left(x^2 + 2 x - 1\right)\text{e}^x$. \item Donner sans justification la valeur exacte et la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de l'abscisse de chacun des points de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est : \[ f(x) = -4 -4x + 2x^2+ x^2\epsilon(x) \quad \text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] \item Déduire du a. une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{C. Calcul intégral} \medskip \textbf{Dans cette partie, les questions 1. et 2. peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$ définie au début de la partie B est une solution de l'équation différentielle $(E)$ de la partie A. Donc, pour tout $x$ de $\R,~ f(x) = - f''(x) + 2f'(x) + 8\text{e}^x$. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. \item \begin{enumerate} \item Donner, sans justification, le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0~;~1]$ \item Dans cette question, on admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \left(4x^2 - 8x + 4\right)\text{e}^x$ est une primitive de la fonction $f$. Déduire de ce qui précède l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \begin{center} \textbf{Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes.}\end{center} \medskip On s'intéresse au chantier de construction d'un tronçon de TGV. Les travaux de terrassement nécessitent la mise à disposition d'une flotte importante de pelles sur chenilles et de camions-benne. La réalisation de l'ouvrage nécessite de grandes quantités de fers à béton. \begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à } \boldmath $10^{-3}$.\unboldmath \end{center} \medskip \emph{A. Loi normale} \medskip On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte, associe le nombre de m$^3$ de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart type 10. \begin{enumerate} \item Calculer $P(110 \leqslant X \leqslant 130)$. \item Calculer la probabilité que la pelle prélevée extraie moins de 100 m$^3$ pendant la première heure du chantier. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Loi de Poisson} \medskip On note $Y$ la variable aléatoire qui, à toute heure travaillée prise au hasard pendant la première semaine du chantier, associe le nombre de camions-benne entrant dans la zone 1 du chantier pour charger des matériaux. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi de Poisson de paramètre 5. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'év\`enement $A$ : \og pendant une heure prise au hasard il n'entre aucun camion-benne sur la zone 1 du chantier. \fg \item Calculer la probabilité de l'év\`enement $B$ : \og pendant une heure prise au hasard il entre au plus quatre camions-benne sur la zone 1 du chantier. \fg \end{enumerate} \medskip \emph{C. Loi binomiale} \medskip On note $E$ l' év\`enement: \og un camion-benne pris au hasard dans la flotte n'a pas de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier. \fg On suppose que la probabilité de l'év\`enement $E$ est 0,9. On prélève au hasard 10 camions-benne dans la flotte pour les affecter à une zone du chantier. Le nombre de camions-benne de la flotte est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 camions-benne. On désigne par $Z$ la variable aléatoire qui à tout prélèvement de ce type associe le nombre de camions-benne n'ayant pas eu de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Z$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun des 10 camions-benne n'ait de panne ni de sinistre pendant le premier mois du chantier. \end{enumerate} \medskip \emph{D. Test d'hypothèse} \medskip De grandes quantités d'un certain type de fers cylindriques pour le béton armé, de diamètre 25~millimètres, doivent être réceptionnées sur le chantier. On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler, au moment de la réception d'une livraison, la moyenne $\mu$ de l'ensemble des diamètres en millimètres des fers à béton. On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque fer prélevé au hasard dans la livraison, associe son diamètre en millimètres. La variable aléatoire $M$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type 0,2. On désigne par $\overline{M}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100~fers prélevés dans la livraison, associe la moyenne des diamètres des fers de cet échantillon. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise. L 'hypothèse nulle est $H_{0}~:~\mu = 25$. Dans ce cas, la livraison est dite conforme pour le diamètre. L'hypothèse alternative est $H_{1}~:~ \mu \neq 25$. Le seuil de signification du test est fixé à 0,05. \begin{enumerate} \item Sous l 'hypothèse $H_{0}$, on admet que la variable aléatoire $\overline{M}$ suit la loi normale de moyenne 25 et d'écart type 0,02. On admet également que : $p(24,961 \leqslant \overline{M} \leqslant 25,039) = 0,95$. Ce \textbf{résultat} où 0,95 est une valeur approchée, \textbf{n'a pas à être démontré}. Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item On prélève un échantillon aléatoire de 100~fers à béton et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres est $\overline{x} = 24,978$. Peut-on, au seuil de 5\:\%, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2009Caledo}{} \lfoot{\small{Groupe B}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ novembre 2008 - groupement B Nouvelle--Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.} \medskip Une entreprise produit en grande série des véhicules électriques équipés de batteries au nickel-cadmium. On se propose d'étudier l'autonomie en kilomètres de ces véhicules. \medskip \textbf{A -} Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque véhicule pris au hasard dans la production, associe son autonomie. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 104$ et d'écart type $\sigma = 6$. \begin{enumerate} \item Déterminer, à $10^{-2}$ près, la probabilité $p_{1}$ que l'autonomie d'un véhicule pris au hasard dans la production soit comprise entre 98 et 122. \item La probabilité qu'un véhicule ait une autonomie insuffisante et soit donc déclaré non conforme au cahier des charges est $p_{2} = 0,04$. Calculer l'autonomie correspondante, c'est-à-dire le nombre réel $d$ tel que $P(X \leqslant d) = 0,04$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{B -} Les véhicules sont parqués par lots de 75 avant de recevoir le certificat de conformité. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 75~véhicules pris au hasard dans la production, associe le nombre de véhicules non conformes. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 75~véhicules à un échantillon aléatoire prélevé avec remise. On suppose que la probabilité qu'un véhicule soit non conforme est $0,04$. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi. Calculer à $10^{-3}$ près, la probabilité $p_{3} = P(Y = 0)$ de l'évènement « dans l'échantillon prélevé au hasard tous les véhicules sont conformes ». \item On admet que la loi précédente peut \^etre approchée par une loi de Poisson de même espérance mathématique. Donner son paramètre. Calculer à $10^{-3}$ près, la probabilité $p_{4}$ de l'évènement « dans l'échantillon prélevé au hasard il y a au plus deux véhicules non ronformes ». \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{C -} À la suite d'une modification des batteries, on redoute que l'autonomie moyenne des véhicules soit moditiée. Afin de contrôler que la moyenne des autonomies de l'ensemble des véhicules mis sur le marché après modification des batteries est 104. on se propose de construire un test d'hypothèse (test bilatéral, bien que, pour cene situation. un test unilatéral soit plus adapté). On désigne par $\overline{X}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire de 36~véhicules, associe la moyenne des autonomies des 36~véhicules (la production est assez importante pour qu'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages de 36~véhicules avec remise). L'hypothèse nulle est $H_{0}~ : \mu = 104$. L'hypothèse altemative est $H_{1}~ : \mu \neq 104$. Le seuil de signification du test est fixé à 0,05. On suppose que, sous l'hypothèse nulle $H_{0}$ la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $104$ et d'écart type $1$. \begin{enumerate} \item Déterminer à $10^{-2}$ près le nombre réel positif $h$ tel que $P(104 - h \leqslant X \leqslant 104 + h) = 0,95$. \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test \item Une étude stalistique sur un échantillon de 36~véhicules donne $102,9$ comme moyenne des autonomies des véhicules de cet échantillon. Utiliser le test avec cet échantillon et conclure. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \textbf{Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante} \medskip \textbf{A - Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle (E) : \[y" - 3 y' + 2 y = - 1 - 2 x\] où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$. $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y"$ sa fonction dérivée seconde. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)~~ : ~y" - 3 y' + 2y = 0.$ \item Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ pour que la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x) = ax + b$ soit une solution particulière de l'équation (E). \item Déduire du 1. et du 2. l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution $f$ de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 0$ et $f'(0) = 2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{B - Étude d'une fonction} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \text{e}^{2x} + \text{e}^x - x - 2.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 2\~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)$. On pourra mettre $\text{e}^x$ en facteur dans $f(x)$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x)$. \item Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = - x - 2$ est une asymptote de la courbe $\mathcal{C}$. \item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $D$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\R$. \item Vérifier que pour tout $x$ de $\R,~ f'(x) = 2\left(\text{e}^x + 1 \right)\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)$. \item Déduire du b. le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans $\R$. \item Établir le tableau variation de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Construire $D$ et $\mathcal{C}$. \item Calculer la valeur exacte en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, son asymptote $D$ et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 0$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2010}{} \lfoot{\small{Groupe B : bâtiment, travaux publics}} \rfoot{\small{mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane \\ session 2010 - groupement B1}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} A. Résolution d'une équation différentielle \medskip On considère l'équation différentielle \[(\text{E})~:\quad y' - y = \text{e}^x - 2x\] où la fonction inconnue $y$, de la variable réelle $x$, est définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ désigne sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{} \right)$: $y'- y = 0$. \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g(x) = x \text{e}^x + 2x + 2.\] Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 3$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 1)\text{e}^x + 2x + 2.\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous. \medskip \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-10)(5,10) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-10)(5,10) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.8pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8](-5,-10)(5,10) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=10000]{-5}{1.05}{x 1 add 2.71828 x exp mul x 2 mul add 2 add} \uput[r](1,9){$\mathcal{C}$}\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,10){$y$} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item \emph{Pour cette question, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $- \infty$ dont une équation est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline $y = x + 1$& $y = 2x + 2$&$y = 2$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : \[f(x) = 3 + 4x + \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \varepsilon(x)~~ \text{avec}~~ \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0.\] \emph{Pour les question 3. \text{b} et 3. \text{c}, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline $y=3 $& $y= 3 + 4x$&$y= \dfrac{3}{2}x^2 $\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Au voisinage du point d'abscisse $0$, la courbe $\mathcal{C}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline au-dessus de la tangente T pour tout $x$.& au-dessous de la tangente T pour tout $x$.&au-dessous de la tangente T quand $x < 0$ et au-dessus quand $x > 0$.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item On note $I = \displaystyle\int_{-1}^1 (2x + 2)\:\text{d}x$. Montrer que $I = 4$. \item On note $I = \displaystyle\int_{-1}^1 (x + 1)\text{e}^x\:\text{d}x$. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J = \text{e} + \text{e}^{- 1}$. \item \begin{enumerate} \item On note $K = \displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\:\text{d}x$, où $f$ est la fonction définie dans la partie B. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de $K$. \item Donner la valeur de $K$, arrondie à $10^{- 2}$. \item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle $[-1~;~1],~ f(x) \geqslant 0$. Donner une interprétation graphique de K. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} Dans une usine de conditionnement, une machine remplit à la chaîne des bouteilles d'un certain liquide. \medskip \emph{A. Loi binomiale et loi de Poisson} \medskip Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$. On note $E$ l'év\`enement \og une bouteille prélevée au hasard dans un stock important est non conforme au cahier des charges \fg. On suppose que la probabilité de $E$ est $0,02$. On prélève au hasard 30~bouteilles dans le stock pour vérification. On suppose que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque prélèvement de 30~bouteilles, associe le nombre de bouteilles non conformes. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer $P(X \leqslant 1)$. \end{enumerate} \item On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au a. En utilisant cette variable aléatoire, calculer la probabilité que dans un tel prélèvement de 30~bouteilles, au plus une bouteille soit non conforme. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath $10^{-2}$.\end{center} \emph{B. Loi normale} \medskip Dans cette partie, on considère une grande quantité de bouteilles devant être livrées à des clients. On note $Z$ la variable aléatoire qui, à une bouteille prélevée au hasard dans cette livraison, associe sa contenance en centilitres. On suppose que $Z$ suit la loi normale de moyenne $70$ et d'écart type 1. \begin{enumerate} \item Calculer $P(68 \leqslant Z \leqslant 72)$. \item Déterminer le nombre réel $h$ positif tel que $P(70 - h \leqslant Z \leqslant 70 + h) = 0,99$. \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Intervalle de confiance} \medskip Une chaîne de supermarchés réceptionne un lot important de bouteilles dont elle souhaite estimer la contenance moyenne. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100~bouteilles dans ce lot. Soit $\overline{C}$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100~bouteilles ainsi prélevé associe la moyenne des contenances en centilitres des bouteilles de cet échantillon. On suppose que $\overline{C}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{10}}$ avec $\sigma = 1$. Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue est $\overline{x} = 70,12$. \begin{enumerate} \item Déterminer un intervalle de confiance centré en $\overline{x}$ de la moyenne $\mu$ des contenances des bouteilles de ce lot, avec le coefficient de confiance 95\:\%. (On arrondira les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$). \item On considère l'affirmation suivante : \og la moyenne $\mu$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 1. \fg. Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication). \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2010B2}{} \lfoot{\small{Groupe B2 : conception et industrialisation\\ en microtechniques}} \rfoot{\small{mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane \\ session 2010 - groupement B2}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} A. Résolution d'une équation différentielle \medskip On considère l'équation différentielle \[(\text{E})~:\quad y' - y = \text{e}^x - 2x\] où la fonction inconnue $y$, de la variable réelle $x$, est définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ désigne sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{} \right)$: $y'-y = 0$. \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g(x) = x \text{e}^x + 2x + 2.\] Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 3$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 1)\text{e}^x + 2x + 2.\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous. \medskip \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-10)(5,10) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-10)(5,10) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.8pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8](-5,-10)(5,10) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=10000]{-5}{1.05}{x 1 add 2.71828 x exp mul x 2 mul add 2 add} \uput[r](1,9){$\mathcal{C}$}\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,10){$y$} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item \emph{Pour cette question, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $- \infty$ dont une équation est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline $y = x + 1$& $y = 2x + 2$&$y = 2$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : \[f(x) = 3 + 4x + \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \varepsilon(x)~~ \text{avec}~~ \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0.\] \emph{Pour les question 3. \text{b} et 3. \text{c}, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline $y=3 $& $y= 3 + 4x$&$y= \dfrac{3}{2}x^2 $\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Au voisinage du point d'abscisse $0$, la courbe $\mathcal{C}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline au-dessus de la tangente T pour tout $x$.& au-dessous de la tangente T pour tout $x$.&au-dessous de la tangente T quand $x < 0$ et au-dessus quand $x > 0$.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item On note $I = \displaystyle\int_{-1}^1 (2x + 2)\:\text{d}x$. Montrer que $I = 4$. \item On note $I = \displaystyle\int_{-1}^1 (x + 1)\text{e}^x\:\text{d}x$. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J = \text{e} + \text{e}^{- 1}$. \item \begin{enumerate} \item On note $K = \displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\:\text{d}x$, où $f$ est la fonction définie dans la partie B. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de $K$. \item Donner la valeur de $K$, arrondie à $10^{- 2}$. \item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle $[-1~;~1],~ f(x) \geqslant 0$. Donner une interprétation graphique de K. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center} \medskip On considère un système, électrique ou mécanique. On note $e(t)$ le signal d'entrée et $s(t)$ le signal de sortie. \medskip \begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,1.2) \psline{->}(0,0.6)(3,0.6)\psframe(3,0)(6,1.2)\psline{->}(6,0.6)(9,0.6) \rput(4.5,0.6){Syst\`eme} \uput[u](1.5,0.6){$e(t)$}\uput[u](7.5,0.6){$s(t)$} \end{pspicture} \end{center} On note $E(P) = \mathcal{L}(e(t))$ et $S(P) = \mathcal{L}(s(t))$ où $\mathcal{L}$ est la transformation de Laplace. La fonction de transfert $H$ du système est définie par la relation : $S(P) = H(P) \times E(P)$. On suppose que pour ce système la fonction de transfert est égale à : \[H(P) = \dfrac{2p}{(p + 1)^2 + 1}.\] \emph{A. Réponse du système à un échelon} \medskip On suppose dans cette partie que $e(t) = \mathcal{U}(t)$ où $\mathcal{U}$ est la fonction échelon unité définie sur $\R$ par : $\mathcal{U}(t) = 0$ si $t < 0$ ; $\mathcal{U}(t) = 1$ si $t \geqslant 0$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $E(P)$. \item En déduire que $S(P) = \dfrac{2}{(p + 1)^2 + 1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide du formulaire, $\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{p^2 +1}\right)$. \item En déduire $s(t) = \mathcal{L}^{-1}[S(P)]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Recherche d'une pulsation particulière} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{On appelle \og lieu de transfert \fg{} l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $H(\text{j}\omega)$ lorsque $\omega$ décrit $]0~;~+\infty[$, où j est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On admet que $H(\text{j}\omega) = \dfrac{1}{1 + \text{j}\left(\frac{\omega}{2} - \frac{1}{\omega}\right)}$. On propose deux méthodes pour déterminer la pulsation $\omega$ pour laquelle le module $\left|H(\text{j}m)\right|$ est maximal.}\hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-3)(6,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-3)(6,3) \pscircle(2,0){2}\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){0.15} \psdots(2,0)(4,0)(3.2,-1.6) \uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](2,0){I(0,5)} \uput[dr](4,0){A(1)}\uput[ur](3.6,1.4){$\Gamma$}\uput[dr](3.2,-1.6){$M(H(\text{j}\omega))$} \end{pspicture}} \begin{center}\textbf{Les deux méthodes peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center} \begin{enumerate} \item \emph{Méthode graphique} \medskip On admet que le lieu de transfert $\Gamma$ est le cercle de centre 1 d'affixe 0,5 et de rayon 0,5, privé du point O et représenté sur la figure ci-dessus. \begin{enumerate} \item Donner la position du point $M$ sur $\Gamma$ pour laquelle la distance O$M$ est maximale. \item En déduire la valeur de $H(\text{j}\omega)$ pour laquelle le module $\left|H(\text{j}\omega)\right|$ est maximal. \item Déterminer la valeur $\omega_{0}$ de $\omega$ telle que $H(\text{j}\omega) = 1$. \end{enumerate} \item \emph{Méthode analytique} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $r$, définie sur $]0~;~+ \infty[$, par $r(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega}{2} - \frac{1}{\omega}\right)^2}}$. Montrer que, pour tout $\omega$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, le module $\left|H(\text{j}m)\right|$ vaut $r(\omega)$. \item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant pour la dérivée $r'$ de la fonction $r$ : \[r'(\omega) = \dfrac{-2\left(\omega + \sqrt{2}\right)\left(\omega - \sqrt{2}\right)\left(\omega^2 + 2\right)}{\left(\omega^4 + 4\right)^{3/2}}.\] \textbf{Ce résultat est admis et ne doit pas être démontré.} Par ailleurs, on admet que la fonction $r$ possède un maximum unique $\omega_{0}$ sur $]0~;~+ \infty[$. Déterminer la valeur de $\omega_{0}$ en utilisant l'expression $r'(\omega)$. \end{enumerate} \end{enumerate} $\omega_{0}$\emph{ est la pulsation de résonance du système.} \newpage \textbf{Formulaire} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,3) \rput(4,1.5){\rnode{A}{$f(t)\mathcal{U}(t)$}} \rput(8,1.5){\rnode{B}{$F(p)$}} \ncarc[arcangleA=50,arcangleB=50]{->}{A}{B} \ncarc[arcangleA=50,arcangleB=50]{->}{B}{A} \rput(6,2.7){$\mathcal{L}$} \rput(6,0.4){$\mathcal{L}^{-1}$} \psframe(0,3)(12,-6.5) \end{pspicture} On rappelle les formules suivantes sur la transformation de Laplace. \begin{center} $\mathcal{L}[\lambda f + \mu g] = \lambda \mathcal{L}[f] + \mu \mathcal{L}[g] ;$ $\mathcal{L}[\mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p} ; $ $\mathcal{L}[\text{e}^{-at}\mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p + a}$ ; $\mathcal{L}[ \sin (\omega t)\mathcal{U}(t)] = \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}$. \end{center} Plus généralement, si on note $\mathcal{L}[f(t)\mathcal{U}(t)] = F(p)$ alors, \begin{center} $\mathcal{L}[f(t - \tau)\mathcal{U}(t - \tau)] = F(p)\text{e}^{-\tau p}$ ; $\mathcal{L}[f(t) \text{e}^{-at} \mathcal{U}(t)] = F(p + a)$ ; $\mathcal{L}[f'(t)\mathcal{U}(t)] = pF(p) - f\left(0^+\right)$. \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2010Caledo}{} \lfoot{\small{Groupe B}} \rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie novembre 2009-}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Nouvelle--Calédonie \\ session 2009 - groupement B}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center} \medskip \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \[(\text{E})~~:\quad y'' + 2y' - 3 y = - 4 \text{e}^x,\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle \[\left(\text{E}_{0}\right) : y'' + 2y' - 3y = 0.\] \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = -x\text{e}^x$. Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f'(0) = 1$. \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (2 -x)\text{e}^x.\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-2.5,-0.5)(2.5,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2.5,-0.5)(2.5,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,linewidth=1pt](0,0)(-2,-0)(2,3) \uput[d](2.5,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}\uput[dr](0,0){O}\uput[dl](1,0){1}\uput[dl](0,1){1} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000]{-2.5}{2.06}{2 x sub 2.71828 x exp mul} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x,~f'(x) = (1 - x)\text{e}^x$. \item Donner les valeurs exactes des coordonnées du point S où la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est parallèle à l'axe des abscisses. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est $f(x)=2 + x - \dfrac{x^3}{6} + x^3 \epsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$. \item Déduire du a. une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage de ce point. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item On note $I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $I = 2\text{e} - 3$. \item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $I$. \end{enumerate} \item On note $J = \displaystyle\int_{0}^1 \left(2 + x - \dfrac{x^3}{6}\right)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $J = \dfrac{59}{24}$. \item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $J$. \end{enumerate} \item On désigne par $S$ l'aire, en unités d'aires, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On désigne par $S_{1}$ l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe représentative de la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par $f_{1}(x) = 2 + x - \dfrac{x^3}{6}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~ 1],~$f_{1}(x) \geqslant f(x)$. Donner la valeur exacte de $S_{1} - S$. En déduire la valeur approchée arrondie à $10^{- 2}$ de $S_{1} - S$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes} \end{center} \medskip \emph{Une entreprise produit en grande série un accessoire d'un certain type pour l'industrie automobile.} \medskip \emph{A. Évènements indépendants} \medskip \begin{center} \textbf{Dans cette partie, donner les valeurs exactes des probabilités} \end{center} \medskip Chaque accessoire fabriqué peut présenter deux défauts, que l'on désigne par défaut $a$ et défaut $b$. On prélève au hasard un accessoire dans la production d'une journée. On note $A$ l'évènement : \og l'accessoire présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ l'évènement : \og l'accessoire présente le défaut $b$ \fg. On suppose que $P(A) = 0,02$ et que $P(B) = 0,01$. On suppose que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un accessoire prélevé au hasard dans la production de la journée présente le défaut $a$ et le défaut $b$. \item Calculer la probabilité qu'un accessoire prélevé au hasard dans la production de la journée présente au moins un des deux défauts. \item Calculer la probabilité qu'un accessoire prélevé au hasard dans la production de la journée ne présente aucun des deux défauts $a$ et $b$. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à}~ \boldmath$10^{-1}$ \unboldmath\end{center} \medskip \emph{B. Loi binomiale} \medskip On considère un stock important d'accessoires. On note $E$ l'évènement : \og un accessoire prélevé au hasard dans le stock d'accessoires est défectueux. \fg On suppose que $P(E) = 0,03$. On prélève au hasard 20~accessoires dans le stock d'accessoires pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20~accessoires. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre d'accessoires de ce prélèvement qui sont défectueux. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun accessoire ne soit défectueux. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un accessoire soit défectueux. \end{enumerate} \medskip \emph{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale} \medskip Les accessoires sont livrés par lots de \nombre{1000}. On prélève au hasard un lot de \nombre{1000} dans le dépôt de l'entreprise. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de \nombre{1000} accessoires. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de \nombre{1000} accessoires, associe le nombre d'accessoires défectueux parmi ces \nombre{1000} accessoires. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \nombre{1000}$ et $p = 0,03$. On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne 30 et d'écart type 5,39. On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 30 et d'écart type 5,39. \begin{enumerate} \item Justifier les valeurs des deux paramètres de cette loi normale. \item Calculer, à l'aide de la variable aléatoire $Z$, la probabilité qu'il y ait au plus 25~accessoires défectueux dans le lot de \nombre{1000} accessoires, c'est-à-dire calculer $P(Z \leqslant 25,5)$. \end{enumerate} \medskip \emph{D. Intervalle de confiance} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse à la masse des accessoires d'un lot important. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 accessoires dans le lot. Soit $\overline{M}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~accessoires prélevés au hasard et avec remise dans le lot associe la moyenne des masses, en grammes, des accessoires de cet échantillon. On suppose que $\overline{M}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$ avec $\sigma = 5$. Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue est $\overline{x} = 501$. \begin{enumerate} \item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{x}$ de la moyenne inconnue $\mu$ des masses des accessoires du lot considéré, avec le coefficient de confiance 95\:\%. \item On considère l'affirmation suivante: \og la moyenne $\mu$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 1 \fg. Est-elle vraie? (On ne demande pas de justification.) \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie 2009 %%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole 2011 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2011}{} \rfoot{Groupement B} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 10 mai 2011 - groupement B}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{EXERCICE 1} \hfill 12 points \begin{center} \textbf{\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}} \end{center} \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle $(E) :~~ y^{\prime\prime}- 3y^{\prime} + 2y = - 2\text{e}^x + 6$ où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R, \:y^{\prime}$ la fonction dérivée de $y$ et $y^{\prime\prime}$ sa fonction dérivée seconde. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation : $r^2 - 3r + 2 = 0$. \item En déduire les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle:\\ $(E_0):~~y^{\prime\prime} - 3y' + 2y = 0.$ \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 2x \text{e}^x + 3$. \begin{enumerate} \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\ Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} La fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ est définie sur $\R$ par : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $g^{\prime}(x) = 2 \text{e}^x$&$g^{\prime}(x) = 2x \text{e}^x$&$g'(x) = (2x + 2)\text{e}^x$\\ \hline \end{tabularx} %\begin{tikzpicture} %\foreach \i/\texte in {1/$g'(x) = 2 e^x$,2/$g'(x) = 2x e^x$,3/$g'(x) = (2x + 2) e^x$}{ %\node[draw,minimum width=5cm]()at(5*\i,0){\texte};} %\end{tikzpicture} \end{center} \item Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \end{enumerate} \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f^{\prime}(0) = 1$. \end{enumerate} \emph{B. Étude d'une fonction et calcul intégral} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (2x - 1)\text{e}^x + 3$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x\text{e}^x = 0$. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une droite asymptote dont on donnera une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : $f(x) = 2 + x + \frac{3}{2} x^2 + x^2 \varepsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x\to 0} \varepsilon(x) = 0$. \item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\ Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse 0, la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $T$. Recopier sur votre copie la justification exacte. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $\frac{3}{2}x^2$ est positif au voisinage de 0.&$x^2 \varepsilon(x)$ est positif au voisinage de 0.&$2 + x$ est positif au voisinage de 0.\\ \hline \end{tabularx} %\begin{tikzpicture} %\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.1cm}{$\frac{3}{2}x^2$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage},2/\begin{minipage}{3.1cm}{$x^2 \varepsilon(x)$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage},3/\begin{minipage}{3.1cm}{$2 + x$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage}}{ %\node[draw,minimum width=5cm,minimum height=1.6cm]()at(5*\i,0){\texte};} %\end{tikzpicture} \end{center} \end{enumerate} \item On admet que la fonction dérivée de $f$ est donnée, pour tout $x$ réel, par: $f'(x) = (2x+1)e^x$. \begin{enumerate} \item Étudier sur $\R$ le signe de $f'(x)$ puis en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$. \item Donner la valeur approchée arrondie à $0,01$ du minimum de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $I=\displaystyle\int_0^{0,5}\left(2 + x + \frac{3}{2}x^2\right)\text{d}x$. Démontrer que $I= 1,1875$. \item On note $K=\displaystyle\int_0^{0,5} (2x-1)\text{e}^x\text{d}x$. Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $K = 3 - 2\text{e}^{0,5}$. \item On note $J = \displaystyle\int_0^{0,5} f(x) \text{d}x$. En utilisant la question précédente, déterminer la valeur exacte de $J$. \item Vérifier que $J-I$ est inférieur à $2 \times 10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \noindent \textbf{EXERCICE 2}\hfill 8 points \begin{center} \emph{\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}} \end{center} Une entreprise fabrique des barres de combustible pour des centrales électriques. Des pastilles de combustible sont introduites dans des gaines qui servent à réaliser ces barres. \begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à \boldmath $10^{-3}$\unboldmath.} \end{center} \emph{A. Loi normale} Une gaine est considérée comme conforme pour le diamètre lorsque le diamètre intérieur, exprimé en millimètres, appartient à l'intervalle [8,18~;~8,48]. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque gaine prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe son diamètre intérieur. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 8,33 et d'écart type 0,09. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une gaine ainsi prélevée soit conforme pour son diamètre intérieur. \item Calculer le nombre réel $h$ positif tel que $P(8,33 - h \leqslant X \leqslant 8,33 + h) = 0,95$. Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase. \end{enumerate} \emph{B. Loi binomiale} On considère un stock important de gaines. On note $E$ l'événement : \og une gaine prélevée au hasard dans le stock n'est pas conforme pour le diamètre intérieur \fg. On suppose que $P(E) = 0,096$. On prélève au hasard 50 gaines dans le stock pour vérification du diamètre intérieur. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50gaines. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 50 gaines ainsi défini, associe le nombre de gaines non conformes pour le diamètre intérieur de ce prélèvement. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, cinq gaines ne soient pas conformes pour le diamètre intérieur. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux gaines ne soient pas conformes pour le diamètre intérieur. \end{enumerate} \emph{C. Test d'hypothèse} On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne $\mu$ inconnue des diamètres, exprimés en millimètres, d'un lot important de pastilles de combustible destinées à remplir les gaines. On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque pastille prélevée au hasard dans le lot, associe son diamètre. On admet que la variable aléatoire $D$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type 0,2. On désigne par $\overline{D}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 300 pastilles prélevées dans le lot, associe la moyenne des diamètres de ces pastilles (le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). L'hypothèse nulle est $H_0 :~ \mu = 8,13$. Dans ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre. L'hypothèse alternative est $H_1:~ \mu\not= 8,13$. Le seuil de signification du test est fixé à 5\:\%. \begin{enumerate} \item Sous l'hypothèse nulle $H_0$, on admet que la variable aléatoire $\overline{D}$ suit la loi normale de moyenne 8,13 et d'écart type 0,012. On admet également que $P(8,106 \leqslant \overline{D} \leqslant 8,154) = 0,95$. \textbf{Ce résultat n'a pas à être démontré.} Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item On prélève un échantillon aléatoire de 300 pastilles dans la livraison reçue et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres des pastilles est $\overline{d}=8,16$. Peut-on, au seuil de 5 \%, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole B1 2011 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{MetroB22011}{} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \chead{Brevet de technicien supérieur} \rhead{Session 2011} \lfoot{Groupement B2 : conception et \\industrialisation en microtechniques} %\cfoot{Page \thepage / \pageref{lastpage}} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 10 mai 2011 - groupement B2}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{EXERCICE 1} \hfill 12 points \begin{center} \textbf{\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}} \end{center} \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle $(E) :~~ y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} +2y = -2\text{e}^x + 6$ où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur \R, $y^{\prime}$ la fonction dérivée de $y$ et $y^{\prime\prime} $ sa fonction dérivée seconde. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans \R~l'équation : $r^2 - 3r + 2 = 0$. \item En déduire les solutions définies sur \R~de l'équation différentielle:\\ $(E_0):~~y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = 0.$ \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur \R~par $g(x) = 2x \text{e}^x + 3$. \begin{enumerate} \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\ Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} La fonction dérivée $g^{\prime}$ de la fonction $g$ est définie sur \R~par : \begin{center} \begin{tikzpicture} \foreach \i/\texte in {1/$g^{\prime}(x) = 2 \text{e}^x$,2/$g^{\prime}(x) = 2x \text{e}^x$, 3/$g^{\prime}(x) = (2x + 2) \text{e}^x$}{ \node[draw,minimum width=5cm]()at(5*\i,0){\texte};} \end{tikzpicture} \end{center} \item Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \end{enumerate} \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0)=2$ et $f^{\prime}(0)=1$. \end{enumerate} \emph{B. Étude d'une fonction et calcul intégral} Soit $f$ la fonction définie sur \R~par $f(x) = (2x - 1) \text{e}^x + 3$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet le résultat suivant : $\lim_{x\to-\infty} xe^x=0$. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une droite asymptote dont on donnera une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est : $f(x) = 2 + x + \frac{3}{2} x^2 + x^2 \varepsilon(x)$ avec $\lim_{x\to0} \varepsilon(x) = 0$. \item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\ Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse 0, la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $T$. Recopier sur votre copie la justification exacte. \begin{center} \begin{tikzpicture} \foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.1cm}{$\frac{3}{2}x^2$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage},2/\begin{minipage}{3.1cm}{$x^2 \varepsilon(x)$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage},3/\begin{minipage}{3.1cm}{$2 + x$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage}}{ \node[draw,minimum width=5cm,minimum height=1.6cm]()at(5*\i,0){\texte};} \end{tikzpicture} \end{center} \end{enumerate} \item On admet que la fonction dérivée de $f$ est donnée, pour tout $x$ réel, par: $f'(x) = (2x+1)e^x$. \begin{enumerate} \item Étudier sur \R~le signe de $f'(x)$ puis en déduire le sens de variation de $f$ sur \R. \item Donner la valeur approchée arrondie à 0,01 du minimum de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $I=\int_0^{0,5}\left(2+x+\frac{3}{2}x^2\right)\text{d}x$. Démontrer que $I= 1,1875$. \item On note $K=\int_0^{0,5} (2x- 1)\text{e}^x\text{d}x$. Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $K = 3 - 2\text{e}^{0,5}$. \item On note $J= \int_0^{0,5} f(x) \text{d}x$. En utilisant la question précédente, déterminer la valeur exacte de $J$. \item Vérifier que $J - I$ est inférieur à $2 \times 10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{EXERCICE 2}\hfill 8 points On considère un signal périodique correspondant à la fonction $f$ définie sur $\R$ et représentée sur le graphique fourni en annexe, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[- 2\pi~;~2\pi]$. \medskip \emph{Les questions $1.$ et $2.$ sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule ~ réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande ~ aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponsse ne rapporte ni n'enlève de point.} \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline paire de période $\pi$& paire de période $2\pi$&impaire de p\'eriode $\pi$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~\pi], f(x) = \pi - x$. Si $x$ appartient à l'intervalle $[- \pi~;~ 0], f(x)$ s'écrit : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $f(x) =- x$& $f(x) = \pi + x$& $f(x) = \dfrac{\pi}{2} + x$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On note $a_{0}$, et, pour tout entier naturel non nul $n, a_{n}$ et $b_{n}$ les coefficients de Fourier de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout $n$ non nul, $b_{n} = 0$. \item Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi} (\pi - x)\:\text{d}x$. \item Montrer que $a_{0} = \dfrac{\pi}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant : $a_{n} = \dfrac{2}{\pi n^2} \left[1 - (- 1)^n\right]$ pour tout $n \geqslant 1$. \textbf{Le résultat précédent n'est pas à démontrer.} Déterminer les valeurs exactes de $a_{1}, a_{2}$ et $a_{3}$. \item On note $s_{3}$ la fonction correspondant au développement en série de Fourier de la fonction $f$, dans lequel on ne conserve que les termes d'indice $n$ inférieur ou égal à 3. Écrire l'expression de $s_{3}(x)$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x) = \dfrac{\pi}{2}+ \dfrac{4}{\pi}\left(\cos x + \dfrac{1}{9}\cos (3x)\right)$. \begin{enumerate} \item Compléter, à l'aide de la calculatrice, le tableau figurant sur la feuille annexe, avec les valeurs approchées de $f(x)$ et $g(x)$ arrondies à $0,01$. \item On admet que la fonction $g$ est décroissante sur $[0~;~\pi]$. Tracer, dans le repère donné en annexe, l'allure de la courbe représentative de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$. \item Compléter le graphique sur l'intervalle $[- \pi~;~0]$ sachant que la fonction $g$ est paire. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À COMPLÉTER PUIS À RENDRE AVEC LA COPIE } \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{EXERCICE 2} Questions 1., 2. et 5. \vspace{0,5cm} Repr\'esentation graphique de $f$. Graphique \`a compl\'eter aux questions 5. b. et 5. c. \end{flushleft} \bigskip \psset{xunit=1cm,yunit=1.75cm} \begin{pspicture}(-7,-1)(7,4) \multido{\n=-7.0+0.5}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,4)} \multido{\n=-1.0+0.1}{51}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-7,\n)(7,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-7,-1)(7,4) \uput[l](0,3.14159){$\pi$} \psline[linewidth=1.5pt](-6.283,3.14159)(-3.14159,0)(0,3.14159)(3.14159,0)(6.283,3.14159) \psline[linestyle=dashed](-6.283,0)(-6.283,3.14159) \psline[linestyle=dashed](6.283,0)(6.283,3.14159) \uput[d](-6.283,0){$- 2\pi$}\uput[d](6.283,0){$2\pi$} \uput[d](-3.14159,0){$- \pi$}\uput[d](3.14159,0){$\pi$} \end{pspicture} \vspace{1cm} \begin{flushleft} Tableaux de valeurs à compléter à la question 5. a. : \end{flushleft} \bigskip \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rule[-3mm]{0mm}{10mm}$x$ &0 &0,5 & 1 &1,5 &$\frac{\pi}{2}$ & 2 &2,5 &3 &$\pi$\\ \hline $f(x)$ & & &2,14 & & & & & &\\ \hline $g(x)$ & & &2,12 & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NC2010}{} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe B}} \rfoot{\small{novembre 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ novembre 2010 - groupement B Nouvelle-Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center} \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \[(\text{E}) :\quad y' - 3 y = - \text e^{3x}\] où la fonction inconnue $y$, de la variable réelle $x$, est définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ désigne sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle \[\left(\text{E}_{0}\right) :\quad y'-3y = 0.\] \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = - x\text e ^{3x}$. Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 1$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \emph{B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (1 - x) \text{e}^{3x}$. Sa courbe représentative ~ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-4)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-4)(2,4) \uput[dl](0,0){O}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{1.134}{1 x sub 2.71828 3 x mul exp mul} \uput[dl](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}\uput[u](0.5,2.2){$\mathcal{C}$} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=1pt,gridcolor=orange,griddots=15](-2,-4)(2,4) \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item \emph{Pour cette question, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \medskip La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $- \infty$ dont une équation est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse $A$& Réponse $B$&Réponse $C$\\ \hline $y = 1 - x$&$x = 0$&$y = 0$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = (2 - 3x) \text e^{3x}$. \item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$. \item Établir le tableau de variations de $f$. (La valeur de $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ n'est pas demandée.) \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la fonction $t \longmapsto \text e^t$, donner le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $x \longmapsto \text e^{3x}$. \item En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est : \[ f(x) = 1 + 2x + \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \epsilon(x)\quad \text{avec} \quad \displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] \emph{Pour les questions 3. c. et 3. d., une seule réponse $A, B, C$ est exacte.\\ Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. } \item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse $A$& Réponse $B$&Réponse $C$\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}$y = \dfrac{3}{2}x^2$& $y = 1 + 2x$& $y = 1$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Au voisinage du point d'abscisse 0, la courbe $\mathcal{C}$ est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse $A$& Réponse $B$&Réponse $C$\\ \hline au-dessous de la tangente $T$ pour tout $x$.&au-dessus de la tangente $T$ pour tout $x$.&au-dessous de la tangente $T$ quand $x < 0$ et au-dessus quand $x > 0$.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \emph{C. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item On note I $= \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\:\text{d}x$ où $f$ est la fonction définie dans la partie $B$. \begin{enumerate} \item Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que I $= \dfrac{\text{e}^3 - 7\text{e}^{-3}}{9}$. \item Donner la valeur de I, arrondie à $10^{- 2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner, sans justification, le signe de $f(x)$ pour $x$ dans l'intervalle $[- 1~;~1]$. \item Interpréter graphiquement le nombre I. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center} \emph{Une entreprise produit en grande série des plaques métalliques rectangulaires pour l'industrie automobile.} \begin{center} \textbf{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath $10^{-1}$\unboldmath \end{center} \emph{A. Loi binomiale} \medskip On note $E$ l'évènement : \og une plaque prélevée au hasard dans la production d'une journée est défectueuse \fg. On suppose que $P(E) = 0,02$. On prélève au hasard $50$~plaques dans la production de la journée pour vérification. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $50$~plaques. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de plaques de ce prélèvement qui sont défectueuses. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer les probabilités $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux plaques soient défectueuses. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \emph{B. Loi normale} \medskip Une plaque de ce type est conforme pour la longueur lorsque sa longueur $L$, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [548~;~552]. Une plaque de ce type est conforme pour la largeur lorsque sa largeur $\ell$, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [108~;~112]. \begin{enumerate} \item On note $L_{1}$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans un stock important, associe sa longueur $L$. On suppose que la variable aléatoire $L_{1}$ suit la loi normale de moyenne 550 et d'écart type 1. Calculer $P(548 \leqslant L_{1} \leqslant 552)$. \item On note $L_{2}$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans le stock, associe sa largeur 1. On admet que $P\leqslant (108 \leqslant L_{2} \leqslant 112) = 0,95$. On suppose que les variables aléatoires $L_{1}$ et $L_{2}$ sont indépendantes. On prélève une plaque au hasard dans le stock. Déterminer la probabilité qu'elle soit conforme pour la longueur et conforme pour la largeur. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \emph{C. Intervalle de confiance} \medskip Dans cette partie on considère une grande quantité de plaques devant être livrées à une chaîne de montage de véhicules électriques. On considère un échantillon de $100$~plaques prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que $94$~plaques sont sans défaut. \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des plaques de cette livraison qui sont sans défaut. \item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$~plaques prélevées au hasard et avec remise dans cette livraison, associe la fréquence des plaques de cet échantillon qui sont sans défaut. On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}$,où $p$ est la fréquence inconnue des plaques de la livraison qui sont sans défaut. Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance 95\:\%. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}