\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{subfig} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-circ,pst-eucl,pst-3d,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupe A1}} \rfoot{\small{12 mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\gray Brevet de technicien supérieur \\\vspace{1cm} Le groupement A de 2001 à 2011}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{2001}{Métropole 2001} \dotfill 3 \medskip \Large \hyperlink{2002}{Métropole 2002} \dotfill 7 \medskip \Large \hyperlink{2003}{Métropole 2003} \dotfill 10 \medskip \Large \hyperlink{2004}{Métropole 2004} \dotfill 12 \medskip \Large \hyperlink{2005}{Métropole 2005 A1} \dotfill 16 \medskip \Large \hyperlink{2005A2}{Métropole 2005 A2} \dotfill 18 \medskip \Large \hyperlink{2006}{Métropole 2006} \dotfill 22 \medskip \Large \hyperlink{2007}{Métropole 2007} \dotfill 27 \medskip \Large \hyperlink{2007A2}{Métropole Techniques physiques 2007} \dotfill 32 \medskip \Large \hyperlink{2006Caledo}{Nouvelle-Calédonie octobre 2006} \dotfill 37 \medskip \Large \hyperlink{2008A1}{Métropole 2008 A1} \dotfill 39 \medskip \Large \hyperlink{2008A2}{Métropole 2008 A2} \dotfill 42 \medskip \Large \hyperlink{2008Caledo}{Nouvelle-Calédonie octobre 2007} \dotfill 47 \medskip \Large \hyperlink{2009A1}{Métropole--Polynésie A1 2009} \dotfill 49 \medskip \Large \hyperlink{2009A2}{Métropole A2 2009} \dotfill 52 \medskip \Large \hyperlink{2009Caledo}{Nouvelle-Calédonie octobre 2008} \dotfill 60 \medskip \Large \hyperlink{2010A1}{Métropole A1 2010} \dotfill 64 \medskip \Large \hyperlink{2010A2}{Métropole A2 2010} \dotfill 71 \medskip \Large \hyperlink{2010Caledo}{Nouvelle-Calédonie octobre 2009} \dotfill 76 \medskip \Large \hyperlink{2011A1}{Métropole A1 2011} \dotfill 79 \medskip \Large \hyperlink{2011A2}{Métropole A2 2011} \dotfill 86 \medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2001 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2001}{} \begin{center}{\Large \textbf{\gray BTS Groupement A session 2001}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On a obtenu à l'aide d'une calculatrice: \[\int_{0}^{\pi} \sin t \cdot \cos t\:\text{d}t = 0~~\text{et}~~\int_{0}^{\pi} \sin t \cdot \cos (2t)\:\text{d}t = - \dfrac{2}{3}.\] Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales. \item On considère le signal, modélisé par la fonction réelle $e$, de période $2\pi$, définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l c l} e(t)& =&\sin t& \text{si}& t \in ~[0~;~\pi]\\ e(t)& =&0&\text{si}& t \in ~]\pi~;~ 2\pi[.\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Dans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonction $e$ pour $t$ variant dans l'intervalle $[-2 \pi~;~ 4\pi]$. \item Calculer les coefficients de Fourier $a_{0}~, a_{1}$ et $a_{2}$ de la fonction $e$. On admettra dans la suite de l'exercice que les coefficients $b_{1}$ et $b_{2}$ valent : $b_{1} = \dfrac{1}{2}$ et $b_{2} = 0.$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le carré $E^2$ de la valeur efficace du signal $e$. \item On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne : \[E^2 = a_{0}^2 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}.\] Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang 1 et 2. Soit $P$ le nombre défini par : $P=a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\left(a_{1}^2 + b_{1}^2 + a_{2}^2 +b_{2}^2\right)$. Calculer $P$, puis donner une approximation décimale à $10^{-3}$ près du rapport $\dfrac{P}{E^2}$. \emph{La comparaison de $E^2$ et $P$ justifie que, dans la pratique, on néglige les harmoniques de rang supérieur ou égal à 3.} \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On se propose dans cette partie d'obtenir l'intensité $i$ du courant dans le circuit ci-dessous lorsqu'il est alimenté par le signal d'entrée $e$ défini dans la partie A. \medskip \begin{center} \begin{pspicture}(6,4) \psline(0,4)(6,4) \pnode(6,4){A} \pnode(6,0){B} \pnode(0,0){C} \capacitor(A)(B){$C$} \resistor(B)(C){$R$} \uput[l](0,2){$e(t)$} \uput[u](3,4){$i(t)$} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0.3)(0,3.7) \end{pspicture} \end{center} \medskip L'équation permettant de trouver l'intensité du courant est, pour $t \in [0~;~+ \infty[$, \[R i(t) + \dfrac{1}{C}\int_{0}^t i(u)\:\text{d}u = e(t)\quad (1).\] Pour déterminer la fonction $i$ on remplace le signal d'entrée $e$ par son développement en série de Fourier tronqué à l'ordre 2. L'équation (1) devient alors: \[R i(t) + \dfrac{1}{C}\int_{0}^t i(u)\:\text{d}u = \dfrac{1}{\pi} + \dfrac{1}{2}\sin t - \dfrac{2}{3\pi}\cos (2t) \quad (2).\] On admet que l'intensité $t$ du courant est une fonction dérivable sur $[0~;~ + \infty[$. \medskip On suppose dans toute la suite de l'exercice que $R = \nombre{5000} \Omega$ et $C = 10^{-4}$~F. \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation (2) peut alors se transformer et s'écrire : \[\left\{\begin{array}{l} \dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(t) + 2i(t) = \left(10^{-4} \right)\cos t + \left(\dfrac{4}{15\pi} \cdot 10^{-3}\right)\sin (2t)\\ t \in [0~;~ + \infty[\\ \end{array}\right. \quad (3).\] \item Vérifier que la fonction $i_{1}$ telle que $i_{1}(t) = \left(4 \cdot 10^{-5} \right)\cos t + \left(2 \cdot 10^{-5}\right)\sin t$ est une solution particulière de l'équation différentielle \[\left\{\begin{array}{l} \dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(t) + 2i(t) = \left(10^{-4}\right)\cos t\\ t \in [0~;~ + \infty[\\ \end{array}\right. \] \item Déterminer une solution particulière $i_{2}$ de l'équation différentielle \[\left\{\begin{array}{l} \dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(t) + 2i(t) = \left(\dfrac{4}{15\pi}\cdot 10^{-3}\right)\sin (2t)\\ t \in [0~;~ + \infty[\\ \end{array}\right. \] \item Résoudre alors l'équation différentielle (3). En déduire la solution particulière vérifiant la condition $i(0) = 0$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On s'intéresse dans cet exercice à deux courbes de Bézier $C_{1}$ et $C_{2}$. $C_{1}$ est définie par les quatre points de contrôle A$_{0}(0~;~ 3)$,~A$_{1}(0~;~ -2)$,~ A$_{2}(10~;~ -2)$,~ A$_{3}(5~;~ 3)$ ; $C_{2}$ est définie par les trois points de contrôle A$_{0}(0~;~3)$,~ T(0~;~8),~ A$_{3}(5~;~3)$. On rappelle que la courbe de Bézier définie par les points de contrôle $A_{i}~(0 \leqslant i \leqslant n)$ est l'ensemble des points $M(t)$ tels que : \[\vect{\text{O}M}(t) = \sum_{i=0}^n B_{i,~n}(t)\vect{\text{O}A_{i}}~~ \text{où}~~ B_{i,~n}(t) = \text{C}_{n}^i t^i(1 - t)^{n - i}~~ \text{avec}~ t \in [0~;~1].\] \begin{enumerate} \item Construction de la courbe $C_{1}$. \begin{enumerate} \item Développer, réduire et ordonner les polynômes $B_{i,~3}(t),~ (0 \leqslant i \leqslant 3)$. \item Montrer que les coordonnées du point $M(t)$ de la courbe $C_{1}$ sont : \[ \left\{ \begin{array}{l c l c l} x&=&f_{1}(t) &=&30t^2 - 25t^3\\ y&=&g_{1}(t) &=& 3 - 15t + 15t^2\\ \end{array}\right. \quad t \in [0~;~1].\] \item Étudier les variations de $f_{1}$ et $g_{1}$ et dresser le tableau des variations conjointes de ces deux fonctions. \item Préciser les coordonnées des points de $C_{1}$ à tangentes parallèles aux axes de coordonnées. \item Montrer que la droite $\left(\text{A}_{2}\text{A}_{3}\right)$ est tangente à $C_{1}$ en A$_{3}$. \item Tracer, en exploitant les résultats précédents, la courbe $C_{1}$ sur la feuille annexe. \end{enumerate} \item Étude géométrique de la courbe $C_{2}$ La représentation paramétrique de la courbe $C_{2}$ est : \[ \left\{ \begin{array}{l c l c l} x&=&f_{2}(t) &=& 5t^2\\ y&=& g_{2}(t) &=& 3 + 10t - 10t^2\\ \end{array}\right.\] La courbe $C_{2}$ est donnée sur la feuille annexe. \begin{enumerate} \item On définit, pour tout $t \in [0~;~ 1]$, les points $N_{1}(t)$ et $N_{2}(t)$ par : \[\vect{\text{O}N_{1}(t)}= (1 - t)\vect{\text{OA}_{0}}+ t \vect{\text{OT}}~ \text{et}~ \vect{\text{O}N_{2}(t)}= (1 - t)\vect{\text{OT}}+ t \vect{\text{OA}_{3}}.\] Justifier que les points $N_{1}(t)$ et $N_{2}(t)$ appartiennent respectivement aux segments [A$_{0}$T] et [TA$_{3}$]. \item Soit $G(t)$ le point défini, pour tout $t \in [0~;~ 1]$, par \[\vect{\text{O}G(t)} = (1 - t)\vect{\text{O}N_{1}(t)} +t \vect{\text{O}N_{2}(t)}.\] Montrer que $G(t)$ appartient à $C_{2}$ et que la droite $\left(N_{1}(t)N_{2}(t)\right)$ est tangente à $C_{2}$ en $G(t)$. \item Placer les points $N_{1}\left(\dfrac{1}{5}\right), ~N_{2}\left(\dfrac{1}{5}\right)$ et $G\left(\dfrac{1}{5}\right)$ et la tangente à $C_{2}$ en $G\left(\dfrac{1}{5}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie} \vspace{2cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.2,-2.3)(11,9) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=15]{->}(0,0)(-0.2,-2.3)(11,9) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-0,-2)(11,9) \psline(0,8)(10,-2) \uput[ur](0,-2){A$_{1}$}\uput[ur](10,-2){A$_{2}$}\uput[d](11,0){$x$}\uput[l](0,9){$y$} \uput[ur](0,3){A$_{0}$}\uput[ur](5,3){A$_{3}$}\uput[ur](0,8){$T$} \uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[d](1.5,5.4){$C_{2}$} \parametricplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{t dup mul 5 mul 10 t mul 3 add t dup mul 10 mul sub} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2002 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2002}{} \begin{center} {\Large \textbf{\gray BTS Groupement A 2002}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points} \medskip La fonction échelon unité $\mathcal{U}$ est définie par \[\mathcal{U}(t) = 0~ \text{si}~ t < 0~ \text{et}~~ \mathcal{U}(t) = 1~ \text{si}~ t \geqslant 0.\] On considère le système \og entrée - sortie \fg représenté ci-dessous : \begin{center} \begin{pspicture}(9,1) \psline{->}(0,0.75)(3,0.75) \psline{->}(6,0.75)(9,0.75) \psframe(3,0.5)(6,1) \uput[u](1.5,0.75){$e(t)$} \uput[u](7.5,0.75){$s(t)$} \end{pspicture} \end{center} On note $s$ le signal de sortie associé au signal d'entrée $e$. Les fonctions $s$ et $e$ sont des fonctions causales, c'est-à-dire qu'elles sont nulles pour $t <0$. On admet que les fonctions $s$ et $e$ admettent des transformées de Laplace, notées respectivement $S$ et $E$. La fonction de transfert $H$ du système est définie par : $S(p) = H(p) \times E(p)$. On considère le signal d'entre $e$ défini par: \[e(t) = t\mathcal{U}(t) - 2\mathcal{U}(t - 1) - (t - 2)\mathcal{U}(t - 2)\] et la fonction $H$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $H(p) = \dfrac{1}{p+1}$. \begin{enumerate} \item Tracer la courbe représentative de la fonction $e$ dans un repère orthonormal. \item Pour $p > 0$, déterminer $E(p)$. \item Déterminer tes nombres réels $A,~ B$, et $C$ tels que, pour tout $p > 0$, on ait : \[ \dfrac{1}{p^2(p + 1)} = \dfrac{A}{p^2} + \dfrac{B}{p} + \dfrac{C}{p + 1}\] On admet que : \[\dfrac{2}{p(p+1)} = \dfrac{2}{p} - \dfrac{2}{p + 1}\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer $S(p)$ puis $s(t)$. \item En déduire que la fonction $s$ est définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l c l} s(t)&= & 0& \text{si}& t < 0\\ s(t)&= & t-1+\text{e}^{-t}&\text{si}& 0\leqslant t < 1\\ s(t)&= & t - 3 + \text{e}^{-t}(1 + 2\text{e})&\text{si}& 1 \leqslant t < 2\\ s(t)&= & \text{e}^{-t}\left(1 + 2\text{e} - \text{e}^2\right)&\text{si}& t \geqslant 2\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item On rappelle que la notation $f\left(a^{+}\right)$ représente la limite de la fonction $f$ lorsque la variable $t$ tend vers $a$ par valeurs supérieures : $f\left(a^{+}\right) = \displaystyle\lim_{t \to a \atop t > a} f(t)$. De même, $f\left(a^{-}\right) = \displaystyle\lim_{t \to a \atop t < a} f(t).$ \begin{enumerate} \item Calculer $s\left(1^{+}\right),~ s\left(1^{-}\right),~ s\left(2^{+}\right),~ s\left(2^{-}\right)$. Que peut-on en conclure pour la fonction $s$ lorsque $t = 1$ et $t = 2$ ? \item Calculer $s'(t)$ sur chacun des intervalles ]0~;~ 1[, {}]1~;~ 2[ et $]2~;~ + \infty[$. On admet que $s'$ est strictement positive sur $]0~;~ 1[{} \cup {} ]2~;~ + \infty[$. Déterminer le signe de $s'(t)$ sur l'intervalle ]1~;~2[. \item Calculer la valeur exacte de $s\left[\ln (1 + 2\text{e})\right]$. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} s(t)$ et dresser le tableau des variations de la fonction $s$ sur $]0~;~ + \infty[$. \item Calculer $s'\left(1^{+}\right),~ s'\left(1^{-}\right),~ s'\left(2^{+}\right),~ s'\left(2^{-}\right)$. On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes à droite et à gauche aux points d'abscisse 1 et d'abscisse 2 de la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $s$. \end{enumerate} \item On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 5~cm sur l'axe des abscisses et 50~cm sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numériques seront données à $10^{-2}$ près. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$&1& 1,2& 1,4& 1,6& 2& 2,5& 3& 3,5\\ \hline $s(t)$&&&&&&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer alors les tangentes ou demi-tangentes à la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $s$ aux points d'abscisses 0, 1, et 2. Tracer alors la courbe $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip On se propose de résoudre le système différentiel $(S)$ suivant, puis d'en déterminer une solution particulière. \[(S)\quad \left\lbrace\begin{array}{l c l l} x'(t)+ 2y(t)& = &- 2\sin t & (E_1) \\ 2x(t) - y'(t)& = & - 2\cos t & (E_2) \end{array}\right.\] Les fonctions $x$ et $y$ sont des fonctions de la variable réelle $t$, deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$. \medskip {\textbf{Partie A}} \begin{enumerate} \item Montrer en utilisant les équations $(E_1)$ et $(E_2)$ que la fonction $x$ vérifie, pour tout $t$ dans $\mathbb{R}$, l'équation différentielle : \[x''(t)+4x(t)=-6\cos t \qquad (E)\] \item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$. En déduire les solutions du système $(S)$. \item Déterminer la solution particulière du système $(S)$ vérifiant les conditions initiales $x(0)=-1$ et $y(0)=0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la courbe $(\Gamma)$ définie par la représentation paramétrique \[ \left\lbrace\begin{array}{lllll} x &=&f(t)&=&\cos(2t)-2\cos t \\ y &=&g(t)&=&\sin(2t)-2\sin t \end{array}\right.\] où $t$ est un réel appartenant à l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$. \begin{enumerate} \item Montrer que la courbe $(\Gamma)$ admet un axe de symétrie en calculant $f(-t)$ et $g(-t)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$. Montrer que : $f'(t)=-4\sin \left( \dfrac{t}{2}\right) \cos\left( \dfrac{3t}{2}\right)$. \item Établir le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$. \end{enumerate} \item On admet que $g'(t)=-4\sin\left( \dfrac{t}{2}\right) \sin\left( \dfrac{3t}{2}\right)$ et que le signe de $g'$ est donné par le tableau suivant : \medskip \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $t$ & $0$ & & $\frac{2\pi}{3}$ & & $\pi$ \\\hline Signe de $g'(t)$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ & \\\hline \end{tabular} \end{center} \medskip Dresser sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ le tableau des variations conjointes des fonctions $f$ et $g$. \item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $(\Gamma)$ aux points $B$, $C$ et $D$ de paramètre respectifs $t_B=\dfrac{\pi}{3}$, $t_C=\dfrac{2\pi}{3}$ et $t_D=\pi$. \item Le plan ${\cal P}$ est rapporté à un repère \Oij{} d'unité graphique $2$~cm. On admet que la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point $A$ de paramètre $t_A=0$ a pour vecteur directeur $\vect{i}$. Tracer les tangentes aux points $A$, $B$, $C$ et $D$ puis la courbe $(\Gamma)$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2003 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2003}{} \begin{center} {\Large \textbf{\gray BTS Groupement A 2003}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points} \vspace{1ex} \emph{Le but de cet exercice est de déterminer les premiers coefficients de Fourier et les principales harmoniques d'un signal. } \textbf{Partie A} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales : \[I_n=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos (nx)\:\text{d}x ~\text{et}~J_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos (nx)\:\text{d}x \] \begin{enumerate} \item Montrer que $I_n=-\dfrac{1}{n}\sin n\dfrac{\pi}{2}$. \item À l'aide d'une intégration par partie, montrer que $J_n = \dfrac{\pi}{2n}\sin\left(n \dfrac{\pi}{2} \right) +\dfrac{1}{n^2}\cos\left(n \dfrac{\pi}{2} \right) -\dfrac{1}{n^2}$ \item Déterminer $I_1$, $I_2$ et $I_3$, puis $J_1$, $J_2$ et $J_3$. \end{enumerate} \medskip \noindent\textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$, paire, périodique de période $2\pi$, telle que : \[\left\{\begin{array}{l} \text{si}~0\leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2},~~f(t)=\dfrac{2E}{\pi} t \\ \text{si}~\dfrac{\pi}{2} < t \leqslant \pi,~~f(t)=E \end{array}\right.\] où $E$ est un nombre réel donné, strictement positif. \begin{enumerate} \item Tracer, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$ (on prendra $E=2$ uniquement pour construire la courbe représentant $f$). \item Soit $a_0$ et pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, $a_n$ et $b_n$ les coefficients de Fourier associés à $f$. \begin{enumerate} \item Calculer $a_0$. \item Pour tout $n\geqslant 1$, donner la valeur de $b_n$. \item En utilisant la partie A, vérifier que pour tout $n\geqslant 1$, $a_n=\dfrac{2E}{\pi^2}\left(2J_n+\pi I_n \right)$.\\ Calculer $a_{4k}$ pour tout entier $k \geqslant 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \noindent\textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coefficients $a_1$, $a_2$, $a_3$. \item Calculer $F^2$, carré de la valeur efficace de la fonction $f$ sur une période. On rappelle que dans le cas où $f$ est paire, périodique de période $T$, on a : \[F^2=\frac{2}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}f^2(t)\:\text{d}t\] \item On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne : \[F^2=a_0^2+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{a_n^2+b_n^2}{2}\] Soit $P$ le nombre défini par $P=a_0^2+\dfrac{1}{2}\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)$. Calculer $P$, puis donner la valeur décimale arrondie au millième du rapport $\dfrac{P}{F^2}$. \emph{Ce dernier résultat très proche de $1$, justifie que dans la pratique, on peut négliger les harmoniques d'ordre supérieur à $3$.} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points} \medskip On note j le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère la fonction $H$ définie, pour tout nombre complexe $p$ distinct de $0$ et de $-1$, par : \[H(p)=\dfrac{1}{p(p+1)}.\] Dans toute la suite de l'exercice on prend $p = \text{j}\omega$, où $\omega$désigne un réel strictement positif. \begin{enumerate} \item On note $r(\omega)$ le module du nombre complexe $H(\text{j}\omega)$ et on considère la fonction $G$ définie, pour tout réel $\omega$ par : \[G(\omega)=\frac{20}{\ln 10}\ln r(\omega).\] \begin{enumerate} \item Montrer que $G(\omega)= -\dfrac{20}{\ln 10} \ln \left( \omega \sqrt{1+\omega^2}\right)$. \item Déterminer les limites de la fonction $G$ en $0$ et en $+\infty$. Montrer que la fonction $G$ est strictement décroissante sur $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'un argument $\varphi(\omega)$ de $H(j\omega)$ est : \[\varphi(\omega)=-\frac{\pi}{2}-\arctan \omega\] \item Étudier les variations de la fonction $\varphi$ sur $]0~;~+\infty[$ (on précisera les limites en $0$ et en $+\infty$). \end{enumerate} \item On considère la courbe $\mathcal C$ définie par la représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l} x(\omega) = -\dfrac{\pi}{2}-\arctan \omega \\ y(\omega) = -\dfrac{20}{\ln 10} \ln \left( \omega \sqrt{1+\omega^2}\right) \end{array}\right. \text{pour}~ \omega~ \text{strictement positif.}\] \begin{enumerate} \item Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions $x$ et $y$. \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs décimales arrondies au centième) :\\ \medskip \[ \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $\omega$ & 0,5 & 0,7 & 0,786 & 0,9 & 1,5 \\ \hline $x(\omega)$ & & & $-2,24$ & & \\ \hline $y(\omega)$ & & & 0 & & \\ \hline \end{tabularx}\] \medskip \item Tracer la courbe $\mathcal C$ dans un repère orthogonal, on prendra pour unités graphiques $5$~cm sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{ La courbe $\mathcal C$ correspond au diagramme de Black associé à la fonction de transfert $H$.} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2004}{} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement A session 2004} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip \emph{ Les questions $1, 2$ et $3$ peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.} \medskip Une entreprise fabrique des pièces. Ces pièces sont considérées comme conformes si leur longueur est comprise entre $79,8$~mm et $80,2$~mm. \begin{enumerate} \item On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce fabriquée, associe sa longueur en mm. On admet que la variable $L$ suit une loi normale de moyenne $80$ et d'écart type $0,0948$. On prélève une pièce au hasard dans la production. Déterminer, en utilisant la table de la loi normale centrée réduite, la probabilité que cette pièce soit conforme. \item On admet que si on prélève, au hasard, une pièce dans la production, la probabilité que cette pièce ne soit pas conforme, est $p=0,035$. \begin{enumerate} \item On note $X$, la variable aléatoire représentant le nombre de pièces défectueuses dans un lot de $100$ pièces. Les pièces sont prélevées au hasard et le tirage est assimilé à un tirage avec remise. Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=100$ et $p=0,035$. \item Le tableau ci-dessous, donne la probabilité des évènements "$X=k$" pour $k$ variant de $0$ à $9$, à l'exception de l'évènement "$X=2$". \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} {\scriptsize \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\\hline $P(X = k)$ & 0,0284 & 0,1029 & & 0,2188 & 0,1924 & 0,1340 & 0,0770 & 0,0375 & 0,0158 & 0,0059 \\ \hline \end{tabularx}} \medskip On considère les évènements : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $A$ : \og le nombre de pièces défectueuses du lot est égal à $2$ \fg{} ; \item[] $B$ : \og le nombre de pièces défectueuses du lot est au moins égal à $2$ \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{5mm} Calculer $P(A)$ au dix millième près, puis $P(B)$ au millième près. \item Un lot de $100$ pièces est envoyé à un client, le lot est accepté s'il contient au plus $4$ pièces défectueuses. En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer au millième près, la probabilité que le client refuse ce lot. \item En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer la plus petite valeur entière $n$ telle que : $$P(X>n)<0,03$$ \end{enumerate} \item L'entreprise souhaite améliorer la qualité de la production. Pour cela on projette de changer le processus de fabrication des pièces. On définit alors une nouvelle variable $L_1$ qui à chaque pièce à construire selon le nouveau processus associera sa longueur en mm. La variable aléatoire $L_1$ suit une loi normale de moyenne $m=80$ et d'écart type $\sigma'$. Déterminer $\sigma'$ pour que, en prenant une pièce au hasard dans la future production, la probabilité d'obtenir une pièce conforme soit égale à $0,99$. \end{enumerate} \vspace{2ex} \newpage {\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}} \textbf{Pour les spécialités Contrôle industriel et régulation automatique, électronique, Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire} \medskip Dans tout cet exercice, le nombre $n$ est un entier relatif. La suite $n \mapsto e(n)$ représente l'échelon discrétisé causal défini par : \[ \left\{\begin{array}{l} e(n)=0 \text{ pour } n<0 \\ e(n)=1 \text{ pour } n\geqslant 0 \end{array}\right. \] On considère un filtre numérique dans lequel le signal d'entrée est $n \mapsto e(n)$ et le signal de sortie est un signal discret causal noté $n \mapsto x(n)$. Ce filtre est régi par l'équation récurrente : \[x(n)-2x(n-1)=e(n)~~(E)\] {\large {\textbf{Partie 1}}} \vspace{1ex} {\emph Dans cette partie, on résout l'équation récurrente $(E)$ sans utilisation de la transformation en $Z$.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que $x(0)=1$. \item Calculer $x(1)$, $x(2)$ et $x(3)$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ l'équation $(E)$ s'écrit : $$x(n)-2x(n-1)=1~~(E)$$ \begin{enumerate} \item On considère la suite $y$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ y(n) = x(n) + 1\] Montrer que la suite $y$ est une suite géométrique de raison $2$. Donner l'expression de $y(n)$ en fonction de de l'entier naturel $n$. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $x(n)$. Vérifier que l'on retrouve les mêmes valeurs de $x(0)$, $x(1)$, $x(2)$ et $x(3)$ qu'à l'équation $1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{2ex} {\large {\textbf{Partie 2}}} \vspace{1ex} {\emph Dans cette partie on résout l'équation récurrente $(E)$ en utilisant la transformation en $Z$. } \begin{enumerate} \item On rappelle que $x(0)=1$. On se place dans le cas où $n\geq 1$ et on admet que le signal $n \mapsto x(n)$, solution de l'équation récurrente $(E)$, a une transformation en $Z$ notée $(Zx)(z)$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $z$ différent de $0$, de $1$ et de $2$ on a : \[ (Zx)(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z-2)} \] \item Montrer que pour tout $z$ différent de $0$, de $1$ et de $2$ on a : \[ \frac{(Zx)(z)}{z}=\frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2}\] \item En déduire par lecture inverse du dictionnaire d'images, le signal de sortie $n \mapsto x(n)$ pour $n\geq 1$. \end{enumerate} \item Représenter dans un repère orthogonal, pour les nombres entiers $n$ tels que $-2\leqslant n \leqslant 3$, le signal de sortie $n \mapsto x(n)$. Prendre comme unités graphiques $2$~cm sur l'axe des abscisses et $0,5$~cm sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \vspace{1cm} {\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}} \textbf{Pour toutes les spécialités} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,1.5) \psline(0,0.5)(2,0.5)\psline{->}(0,0.5)(0.75,0.5) \psline{->}(5,0.5)(5.75,0.5)\psline(5,0.5)(7,0.5) \psframe(2,0)(5,1) \uput[u](0.75,0.5){$e(t)$} \uput[u](5.75,0.5){$s(t)$} \end{pspicture} \end{center} Dans le système représenté ci-dessus, $e$ et $s$ sont respectivement les signaux d'entrée et de sortie, causaux (nuls pour $t$ négatif). On suppose que le système est régi par l'équation différentielle : \[LC\frac{\rm{d}^2 s}{\rm{d}t^2}(t)+RC\frac{\rm{d} s}{\rm{d}t}(t)+s(t)=e(t) ~~~~~(1) \] $L$, $R$ et $C$ sont des constantes réelles strictement positives. De plus à l'instant initial : \[s(0^+)=0~\textnormal{et}~\frac{\rm{d} s}{\rm{d}t}(0^+)=0\] \medskip {\large{\textbf{Partie A}}} \vspace{1ex} On suppose que les fonctions $e$ et $s$ admettent des transformées de Laplace notées respectivement $E$ et $S$. \begin{enumerate} \item La fonction de transfert $H$ du système est définie par $S(p)=H(p)\times E(p)$. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation $(1)$, exprimer $H(p)$ en fonction de $L$, $R$ et $C$. \item On suppose que $e(t)={\cal U}(t-1)-{\cal U}(t-2)$\\ où ${\cal U}$ est la fonction échelon unité : $\left\lbrace\begin{array}{l} {\cal U}(t)=0~\textnormal{si}~t<0 \\ {\cal U}(t)=1~\textnormal{si}~t \geq 0 \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item Tracer la courbe représentative de la fonction $e$ dans un repère du plan. \item Déterminer $E(p)$. \end{enumerate} \item {\textbf{Dans la suite de l'exercice, on considère que}} $L=2$, $R=1000$ et $C=2.10^{-6}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $H(p)=\displaystyle\frac{500^2}{(p+250)^2+\left(250\sqrt{3} \right)^2}$. \item On admet que : \[\frac{1}{p}H(p)=\frac{1}{p} -\displaystyle\frac{p+250}{(p+250)^2+\left(250\sqrt{3} \right)^2} -\displaystyle\frac{250}{(p+250)^2+\left(250\sqrt{3} \right)^2} \] Déterminer l'original $h_1$ de la fonction $p\mapsto \displaystyle\frac{1}{p}H(p)$. Exprimer $s(t)$ à l'aide de $h_1(t)$. \item Donner l'expression de $s(t)$ sur chacun des intervalles $]-\infty,1[$, $[1,2[$ et $[2,+\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip {\large {\textbf{Partie B}}} \medskip On rappelle que $H(p)=\displaystyle\frac{500^2}{(p+250)^2+\left(250\sqrt{3}\right)^2}$. \begin{enumerate} \item On considère la fonction $r$ définie pour tout réel $\omega>0$ par : \[r(\omega)= \begin{array}{|c|} H(\rm{j}\omega) \end{array}\] où $\rm{j}$ est le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\displaystyle\frac{\pi}{2}$.\\ Montrer que $r(\omega)=\displaystyle\frac{500^2}{\sqrt{\omega^4-500^2\omega^2+500^4}}$. \item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $\omega>0$ par : \[f(\omega)=\omega^4-500^2\omega^2+500^4\] Montrer que $f'(\omega)=4\omega\left(\omega-250\sqrt{2} \right) \left(\omega+250\sqrt{2} \right)$. \item Montrer que $r'(\omega)$ est du signe de $-f'(\omega)$. \item En déduire que $r(\omega)$ est maximal pour une valeur de $\omega_0$ de $\omega$. Donner la valeur de $\omega_0$ et calculer $r(\omega_0)$. \end{enumerate} \emph{La partie B permet de déterminer le maximum du gain pour le système étudié en régime harmonique.} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2005 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2005}{} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement A1 session 2005} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Spécialités CIRA, Électronique, Électrotechnique, Génie optique et TPIL} \medskip \begin{enumerate} \item Soit la fonction numérique $g$ définie sur $[ 0 ; \pi ]$ par \[g(t) = (1 +\cos^2 t) \sin^2 t.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $g'(t) = 4 \sin t \cos^3 t$. \item En déduire les variations de $g$ sur $[ 0~ ;~\pi]$. \end{enumerate} \item Soit la fonction numérique $f$ définie sur $\R$, paire, périodique de période $1$ telle que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} f(t)&=&\dfrac{1}{2}- \tau& \text{si}~ 0\leqslant t\leqslant \tau \\ f(t)&=& -\tau &\text{si}~ \tau \leqslant t\leqslant \dfrac{1}{2} \end{array}\right.~ \text{où}~ \tau \text{est un nombre réel tel que}~ 0 < \tau < \dfrac{1}{2}\] \begin{enumerate} \item \emph{ Uniquement dans cette question, on prendra} $\tau =\dfrac{1}{6}$. Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1 ~;~ 1]$ dans un repère orthonormal. \item On admet que la fonction $f$ satisfait aux conditions de Dirichlet.\\ Soit $S$ le développement en série de Fourier associé à la fonction $f$.\\ Montrer que : \[ S(t)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n\pi} \sin(2 n \pi \tau) \cos(2 n \pi t) \] \end{enumerate} \item On décide de ne conserver que les harmoniques de rang inférieur ou égal à $2$. Soit la fonction numérique $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par: \[h(t)=\dfrac{1}{\pi}\sin(2 \pi \tau)\cos(2 \pi t) +\dfrac{1}{2\pi}\sin(4 \pi \tau)\cos(4 \pi t)\] On désigne par $E^2_h$ le carré de la valeur efficace de $h$ sur une période. \begin{enumerate} \item À l'aide de la formule de Parseval, déterminer $E^2_h$. \item Montrer que $E^2_h=\dfrac{1}{2\pi^2}~g(2\pi\tau)$. \end{enumerate} \item Déterminer la valeur de $\tau$ rendant $E^2_h$ maximal. \end{enumerate} \medskip %\noindent{\large {\textbf{Exercice 1 \hfill $9$ points) }}} %\textbf{Spécialité IRIST} %\medskip %Le but de cet exercice est d'étudier une approximation du cercle de centre O et de rayon $1$ par une courbe B-spline uniforme de degré $2$, notée $\Gamma$, dont les points de contrôle % $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ ont % pour affixes respectives : %\[ % p_0 =\dfrac{16}{9}\text{e}^{-\text{i} \dfrac{2\pi}{3}}\text{,} % p_1 =\dfrac{16}{9}\text{,} % p_2 =\dfrac{16}{9}\text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}\text{,} % p_3 =p_0 \text{et} p_4 = p_1 %\] % où i est le nombre complexe de module $1$ et d'argument % $\dfrac{\pi}{2}$. \\ % Les polynômes de Riesenfeld $R_k$ de degré $2$, pour $k$ prenant les valeurs $0$, $1$ ou $2$, sont définis par : %\[ % R_k (t) = 3 \sum_{j=0}^{2-k} (- 1)^j~\dfrac{(t+2-k -j)^2}{j!~(3-j)!} %\] % La courbe B-spline $\Gamma$ est la réunion de trois arcs de courbe $C_j$, $j$ prenant les valeurs $1$, $2$ ou $3$.\\ % L'arc $C_j$ est l'ensemble des points $M_j (t)$ définis, pour tout $t$ dans l'intervalle [ 0 ; 1] par l'égalité vectorielle : %\[ % \vect{\text{O}M_j (t)} = % R_0 (t) \vect{\text{O}P_{j-1}} + % R_1 (t) \vect{\text{O}P_{j}} + % R_2 (t) \vect{\text{O}P_{j+1}} %\] % Les arcs $C_2$ et $C_3$ sont représentés sur la figure du document réponse. %\begin{enumerate} %\item %\textbf{ Questions préliminaires} % \begin{enumerate} % \item Vérifier que les coordonnées du point $P_0$ sont $\left(-\dfrac{8}{9}, -\dfrac{8\sqrt{3}}{9} \right)$. % \item Placer les points de contrôle $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ sur la figure du document réponse. % \item % Développer et simplifier l'expression du polynôme $R_0$. % \end{enumerate} % Dans toute la suite de cet exercice, on admettra que, pour tout $t$ dans % l'intervalle [ 0 ; 1] : %\[ R_1 (t) = - t^2 + t + \dfrac{1}{2}~ \text{et}~ R_2 (t)= \dfrac{1}{2}t^2\] %\item %\textbf{Étude de l'arc $C_1$}\\ % On admet que les coordonnées $(x_1 (t) ~;~ y_1 (t) )$ du point $M_1 (t)$ de l'arc $C_1$ sont, pour tout $t$ dans % l'intervalle [ 0 ; 1] : %\[\left\{\begin{array}{l} % x_1(t)=\dfrac{4}{9} \left(- 6t^2+6t+1\right)\\ % y_1(t)=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}\left( t -\dfrac{1}{2} \right) % \end{array}\right. \] % \begin{enumerate} % \item % Étudier les variations des fonctions $x_1$ et $y_1$ définies ci-dessus et % dresser un tableau des variations conjointes de ces deux fonctions. On donnera les coordonnées exactes des points % $M_1 (0)$, $M_1 \left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $M_1 (1)$ de l'arc $C_1$. % \item Déterminer des vecteurs directeurs des tangentes à l'arc $C_1$ aux points $M_1 (0)$ et $M_1 (1)$. % \item % Vérifier que ces vecteurs sont orthogonaux respectivement aux vecteurs % $\vect{\text{O}M_1 (0)}$ et % $\vect{\text{O}M_1 (1)}$. % \item Porter sur la figure du document réponse les tangentes à l'arc $C_1$ aux points $M_1(0)$ et $M_1(1)$. Tracer l'arc $C_1$ et les cercles de centre O passant par les points % $M_1(0)$ et $M_1 \left(\dfrac{1}{2}\right)$. % \end{enumerate} %\item %\textbf{Étude de l'arc $C_2$} % \begin{enumerate} % \item On note $\left( x_2 (t), y_2 (t) \right)$ les coordonnées du point $M_2 (t)$ de l'arc $C_2$. \\ % Vérifier que $x_2 (t) = \dfrac{4}{3} t^2 -\dfrac{8}{3} t + \dfrac{4}{9}$.\\ % On admettra dans toute la suite de l'exercice que : %\[y_2(t)=-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}t^2+\dfrac{8\sqrt{3}}{9}t+\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\] % \item % On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle % $\dfrac{2\pi}{3}$.\\ % Soit $M$ un point quelconque du plan et $M'$ son image par la rotation $r$.\\ % Exprimer l'affixe $z~'$ du point $M'$ en fonction de l'affixe $z$ du point $M$. % \item % On note $(x~;~ y)$ les coordonnées du point $M$ et $(x'~;~ y')$ celles du point $M~'= r(M)$.\\ % Vérifier que : % $\left\{\begin{array}{l c l} % x'&=&-\dfrac12x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}y \\ % y'&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}x - \dfrac{1}{2}y % \end{array}\right.$ % \item % En déduire que, pour tout $t$ dans l'intervalle [ 0 ; 1], l'image du point % $M_1 (t)$ de l'arc $C_1$ par la rotation $r$ est le point $M_2 (t)$ de l'arc $C_2$. % \vspace{4ex}\\ % On admet que l'arc $C_2$ est l'image de l'arc $C_1$ par la rotation $r$ et que l'arc $C_3$, est l'image de l'arc $C_2$ par la rotation $r$. % \end{enumerate} %\medskip %\item % \textbf{Calcul de l'aire $\mathcal{A}$ de la surface intérieure à la courbe B-spline } \boldmath $\Gamma$ \unboldmath % \begin{enumerate} % \item % On admet que l'aire de la surface délimitée par l'arc $C_1$ et la droite % d'équation $x = \dfrac{4}{9}$ est donnée par l'intégrale : %\[ I = \int_0^1 - y_1(t) x'_1(t)\:\text{d}t.\] % Calculer l'intégrale $I$. % \item % En déduire la valeur arrondie, au centième, de l'aire de la surface % intérieure à la courbe $\Gamma$. % \item % Comparer le résultat avec l'aire d'un disque de rayon $1$. % \end{enumerate} %\end{enumerate} \vspace{1cm} {\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}} \medskip \textbf{Toutes spécialités} \medskip \emph{L'exercice est composé de deux parties qui peuvent se traiter de façon indépendante.} \medskip {\textbf{Partie A}} \medskip Un embrayage vient appliquer, à l'instant $t = 0$, un couple résistant constant sur un moteur dont la vitesse à vide est de $150$~rad/s. On note $\omega(t)$, la vitesse de rotation du moteur à l'instant $t$. La fonction $\omega$ est solution de l'équation différentielle : \[\dfrac{1}{200}y'(t) + y(t) = 146 \quad (1)\] où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle positive $t$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(1)$. \emph{On cherchera une solution particulière constante.} \item Sachant que $\omega(0) = 150$, montrer que $\omega(t) = 146 + 4\text{e}^{-200t}$ pour tout $t \in [ 0~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $\omega_{\infty}=\displaystyle\lim_{t\to+\infty} \omega(t)$. Déterminer la perte de vitesse $\omega(0)-\omega_{\infty}$. due au couple résistant. \item On considère que la vitesse du moteur est stabilisée lorsque l'écart relatif $\begin{array}{|c|} \dfrac{\omega(t)-\omega_{\infty}}{\omega_{\infty}} \\ \end{array}$ est inférieur à $1$\:\%.\\ Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip La vitesse du moteur étant stabilisée, on s'intéresse dans cette deuxième partie à l'effet d'une perturbation $\gamma$ du couple résistant sur la vitesse de rotation du moteur. On note $f(t)$ la différence, à l'instant $t$, entre la vitesse perturbée du moteur et sa vitesse stabilisée. La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : \[\dfrac{1}{200} f'(t) + f(t) =\gamma(t)~ \text{avec}~ f(0^+) = 0 \quad (2)\] On admet que la fonction $f$ possède une transformée de Laplace notée $F$. La fonction $\gamma$ est définie par : \[\gamma(t) = K [U(t) - U(t - \tau)]\] où $\tau$ et $K$ sont des réels strictement positifs caractérisant la perturbation et $U$ est la fonction échelon unité ($U(t) = 0$ si $t < 0$ et $U(t) = 1$ si $t \geqslant 0$ ). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter la fonction $\gamma$ pour $\tau= 0,005$ et $K = 0,2$. \item Déterminer, en fonction de $\tau$ et $K$, la transformée de Laplace $\Gamma$ de la fonction $\gamma$. \end{enumerate} \item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle $(2)$, déterminer $F(p)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : \[\dfrac{200}{p(p + 200)}=\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p + 200}\] pour tout réel $p$ strictement positif. \item En déduire l'original $f$ de la fonction $F$. On vérifiera notamment que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} f(t) &=& K (1 - \text{e}^{ -200t} )~& \text{si}~ t \in [0~;~\tau[ \\ f(t) &=& K (\text{e}^{200\tau}-1) \text{e}^{ - 200t}~&\text{si}~t \in [\tau~;~+\infty[ \end{array}\right.\] \item Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $[0~;~\tau [$ et $[\tau~;~+\infty[$. Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de ces deux intervalles. \item Représenter la fonction $f$ pour $\tau= 0,005$ et $K = 0,2$. On pourra tracer les courbes représentatives des fonctions $\gamma$ et $f$ dans le même repère. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{2005A2}{} \lfoot{\small{Groupement A2 spécialité IRIST}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement A2 session 2005} \end{center} \vspace{0,5cm} {\large {\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}}} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier une approximation du cercle de centre O et de rayon $1$ par une courbe B-spline uniforme de degré $2$, notée $\Gamma$, dont les points de contrôle $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ ont pour affixes respectives : \[ p_0 =\dfrac{16}{9}\text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{3}}\text{,} p_1 =\dfrac{16}{9}\text{,} p_2 =\dfrac{16}{9}\text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}\text{,}\: p_3 = p_0\: \text{et}\: p_4 = p_1 \] où i est le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Les polynômes de Riesenfeld $R_k$ de degré $2$, pour $k$ prenant les valeurs $0$, $1$ ou $2$, sont définis par : \[ R_k (t) = 3 \sum_{j=0}^{2-k} (- 1)^j~\dfrac{(t+2-k -j)^2}{j!~(3-j)!}\] La courbe B-spline $\Gamma$ est la réunion de trois arcs de courbe $C_j$, $j$ prenant les valeurs $1$, $2$ ou $3$. L'arc $C_j$ est l'ensemble des points $M_j(t)$ définis, pour tout $t$ dans l'intervalle [ 0 ; 1] par l'égalité vectorielle : \[\vect{\text{O}M_j (t)} = R_0 (t) \vect{\text{O}P_{j-1}} + R_1 (t) \vect{\text{O}P_{j}} + R_2 (t) \vect{\text{O}P_{j+1}}\] Les arcs $C_2$ et $C_3$ sont représentés sur la figure du document réponse. \begin{enumerate} \item \textbf{ Questions préliminaires} \begin{enumerate} \item Vérifier que les coordonnées du point $P_0$ sont $\left(-\dfrac{8}{9}, -\dfrac{8\sqrt{3}}{9} \right)$. \item Placer les points de contrôle $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ sur la figure du document réponse. \item Développer et simplifier l'expression du polynôme $R_0$. \end{enumerate} Dans toute la suite de cet exercice, on admettra que, pour tout $t$ dans l'intervalle [ 0 ; 1] : \[ R_1 (t) = - t^2 + t + \dfrac{1}{2}~ \text{et}~ R_2 (t)= \dfrac{1}{2}t^2\] \item \textbf{Étude de l'arc $C_1$} On admet que les coordonnées $(x_1 (t) ~;~ y_1 (t) )$ du point $M_1 (t)$ de l'arc $C_1$ sont, pour tout $t$ dans l'intervalle [ 0 ; 1] : \[\left\{\begin{array}{l} x_1(t)=\dfrac{4}{9} \left(- 6t^2+6t+1\right)\\ y_1(t)=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}\left( t -\dfrac{1}{2} \right) \end{array}\right. \] \begin{enumerate} \item Étudier les variations des fonctions $x_1$ et $y_1$ définies ci-dessus et dresser un tableau des variations conjointes de ces deux fonctions. On donnera les coordonnées exactes des points $M_1 (0)$, $M_1 \left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $M_1 (1)$ de l'arc $C_1$. \item Déterminer des vecteurs directeurs des tangentes à l'arc $C_1$ aux points $M_1 (0)$ et $M_1 (1)$. \item Vérifier que ces vecteurs sont orthogonaux respectivement aux vecteurs $\vect{\text{O}M_1 (0)}$ et $\vect{\text{O}M_1 (1)}$. \item Porter sur la figure du document réponse les tangentes à l'arc $C_1$ aux points $M_1(0)$ et $M_1(1)$. Tracer l'arc $C_1$ et les cercles de centre O passant par les points $M_1(0)$ et $M_1 \left(\dfrac{1}{2}\right)$. \end{enumerate} \item \textbf{Étude de l'arc $C_2$} \begin{enumerate} \item On note $\left( x_2 (t), y_2 (t) \right)$ les coordonnées du point $M_2 (t)$ de l'arc $C_2$. Vérifier que $x_2 (t) = \dfrac{4}{3} t^2 -\dfrac{8}{3} t + \dfrac{4}{9}$.\\ On admettra dans toute la suite de l'exercice que : \[y_2(t)=-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}t^2+\dfrac{8\sqrt{3}}{9}t+\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\] \item On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. Soit $M$ un point quelconque du plan et $M'$ son image par la rotation $r$. Exprimer l'affixe $z~'$ du point $M'$ en fonction de l'affixe $z$ du point $M$. \item On note $(x~;~ y)$ les coordonnées du point $M$ et $(x'~;~ y')$ celles du point $M~'= r(M)$. Vérifier que : $\left\{\begin{array}{l c l} x'&=&-\dfrac12x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}y \\ y'&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}x - \dfrac{1}{2}y \end{array}\right.$ \item En déduire que, pour tout $t$ dans l'intervalle [ 0 ; 1], l'image du point $M_1 (t)$ de l'arc $C_1$ par la rotation $r$ est le point $M_2 (t)$ de l'arc $C_2$. \vspace{4ex}\\ On admet que l'arc $C_2$ est l'image de l'arc $C_1$ par la rotation $r$ et que l'arc $C_3$, est l'image de l'arc $C_2$ par la rotation $r$. \end{enumerate} \medskip \item \textbf{Calcul de l'aire $\mathcal{A}$ de la surface intérieure à la courbe B-spline } \boldmath $\Gamma$ \unboldmath \begin{enumerate} \item On admet que l'aire de la surface délimitée par l'arc $C_1$ et la droite d'équation $x = \dfrac{4}{9}$ est donnée par l'intégrale : \[ I = \int_0^1 - y_1(t) x^{\prime}_1(t)\:\text{d}t.\] Calculer l'intégrale $I$. \item En déduire la valeur arrondie, au centième, de l'aire de la surface intérieure à la courbe $\Gamma$. \item Comparer le résultat avec l'aire d'un disque de rayon $1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} {\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}} \medskip \textbf{Toutes spécialités} \medskip \emph{L'exercice est composé de deux parties qui peuvent se traiter de façon indépendante.} \medskip {\textbf{Partie A}} \medskip Un embrayage vient appliquer, à l'instant $t = 0$, un couple résistant constant sur un moteur dont la vitesse à vide est de $150$~rad/s. On note $\omega(t)$, la vitesse de rotation du moteur à l'instant $t$. La fonction $\omega$ est solution de l'équation différentielle : \[\dfrac{1}{200}y'(t) + y(t) = 146 \quad (1)\] où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle positive $t$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(1)$. \emph{On cherchera une solution particulière constante.} \item Sachant que $\omega(0) = 150$, montrer que $\omega(t) = 146 + 4\text{e}^{-200t}$ pour tout $t \in [ 0~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $\omega_{\infty}=\displaystyle\lim_{t\to+\infty} \omega(t)$. Déterminer la perte de vitesse $\omega(0)-\omega_{\infty}$. due au couple résistant. \item On considère que la vitesse du moteur est stabilisée lorsque l'écart relatif $\begin{array}{|c|} \dfrac{\omega(t)-\omega_{\infty}}{\omega_{\infty}} \\ \end{array}$ est inférieur à $1$\:\%.\\ Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip La vitesse du moteur étant stabilisée, on s'intéresse dans cette deuxième partie à l'effet d'une perturbation $\gamma$ du couple résistant sur la vitesse de rotation du moteur. On note $f(t)$ la différence, à l'instant $t$, entre la vitesse perturbée du moteur et sa vitesse stabilisée. La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : \[\dfrac{1}{200} f^{\prime}(t) + f(t) =\gamma(t)~ \text{avec}~ f(0^+) = 0 \quad (2)\] On admet que la fonction $f$ possède une transformée de Laplace notée $F$. La fonction $\gamma$ est définie par : \[\gamma(t) = K [U(t) - U(t - \tau)]\] où $\tau$ et $K$ sont des réels strictement positifs caractérisant la perturbation et $U$ est la fonction échelon unité ($U(t) = 0$ si $t < 0$ et $U(t) = 1$ si $t \geqslant 0$ ). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter la fonction $\gamma$ pour $\tau= 0,005$ et $K = 0,2$. \item Déterminer, en fonction de $\tau$ et $K$, la transformée de Laplace $\Gamma$ de la fonction $\gamma$. \end{enumerate} \item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle $(2)$, déterminer $F(p)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : \[\dfrac{200}{p(p + 200)}=\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p + 200}\] pour tout réel $p$ strictement positif. \item En déduire l'original $f$ de la fonction $F$. On vérifiera notamment que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} f(t) &=& K (1 - \text{e}^{ -200t} )~& \text{si}~ t \in [0~;~\tau[ \\ f(t) &=& K (\text{e}^{200\tau}-1) \text{e}^{ - 200t}~&\text{si}~t \in [\tau~;~+\infty[ \end{array}\right.\] \item Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $[0~;~ \tau [$ et $[\tau~;~+\infty[$. Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de ces deux intervalles. \item Représenter la fonction $f$ pour $\tau= 0,005$ et $K = 0,2$. On pourra tracer les courbes représentatives des fonctions $\gamma$ et $f$ dans le même repère. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\bf Document réponse à rendre avec la copie\\} \vspace{1cm} \psset{unit=3cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dr](0,0){O} \rput{120}(0,0){\parametricplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{1}{6 t mul 1 add t 2 exp 6 mul sub 4 mul 9 div t 0.5 sub 1.5396 mul}} \rput{240}(0,0){\parametricplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{1}{6 t mul 1 add t 2 exp 6 mul sub 4 mul 9 div t 0.5 sub 1.5396 mul}} \rput(-0.9,0.9){$C_{2}$}\rput(-0.9,-0.9){$C_{3}$} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2006 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2006}{} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Groupement A 2006} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}\\ \vspace{0.5cm} Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés d'un filtre numérique $N$ et de comparer des effets de ce filtre avec ceux d'un filtre analogique $A$. \vspace{0.5cm} \textbf{Partie I} \medskip On rappelle que tout signal discret causal est nul pour tout entier strictement négatif. \vspace{0.5 ex} Soient $x(n)$ et $y(n)$ les termes généraux respectifs de deux signaux discrets causaux représentant, respectivement, l'entrée et la sortie d'un filtre numérique $N$. Ce filtre est conçu de telle sorte que, pour tout nombre entier $n$ positif ou nul, on a : \[y(n)-y(n-2)=0,04~x(n-1).\] \begin{enumerate} \item On note $\mathcal{Z}x$ et $\mathcal{Z}y$ les transformées respectives des signaux causaux $x$ et $y$. Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$ et $1$, on a : \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,04z}{(z-1)(z+1)}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\] \item On suppose que le signal d'entrée est l'échelon unité discret : \[x(n)=e(n) \mbox{ avec } e(n)=\left\{\begin{array}{rr} 0 & \mbox{ si } n < 0\\ 1 & \mbox {si } n \geq 0 \end{array} \right.\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$ et $1$, on a : \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,04z^2}{(z-1)^2(z+1)}\] \item Calculer les constantes réelles $A$, $B$ et $C$ telles que : \[\dfrac{0,04z}{(z-1)^2(z+1)}=\dfrac{A}{(z-1)^2}+\dfrac{B}{z-1}+\dfrac{C}{z+1}\] \item En remarquant que : \[\dfrac{\left(\mathcal{Z}y\right)(z)}{z}=\dfrac{0,04z}{(z-1)^2(z+1)}\] montrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul, on a : \[y(n)=0,02n+0,01\left(1-(-1)^n\right)\] \item Déterminer $y(2k)$ puis $y(2k+1)$ pour tout nombre entier naturel $k$. \item En déduire que pour tout nombre entier naturel $k$, on a : $y(2k+1)=y(2k+2)$. \item Représenter graphiquement les termes du signal causal $y$ lorsque le nombre entier $n$ est compris entre $-2$ et $5$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie II} \medskip On rappelle que la fonction échelon unité, notée $U$, est définie par : \[\left\{\begin{array}{rr} U(t)=0 & \mbox{ si } t < 0\\ U(t)=1 & \mbox {si } t \geqslant 0 \end{array} \right.\] Soit la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $t$ par : \[f(t) = \sin (20t)U(t)\] On note $F$ la transformée de Laplace de la fonction $f$. Le signal de sortie du filtre analogique $A$ est représenté par la fonction $s$ dont la transformée de Laplace $S$ est telle que : \[S(p)=\dfrac{F(p)}{p}\] \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, on a : \[s(t)=\displaystyle \int_0^t f(u) \text{d}u\] \item En déduire que, pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, on a : \[s(t)=\dfrac{1-\cos(20t)}{20}\] \item Donner sans justification la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction $s$. \item Tracer, sur le graphique du document réponse, l'allure de la courbe représentative de la fonction $s$. Il n'est pas demandé d'étudier la fonction $s$. \vspace{1 cm} \textsl{La figure du document réponse montre une simulation du résultat obtenu en sortie du filtre numérique soumis à une version échantillonnée de la fonction $f$, lorsque la période d'échantillonnnage est $0,02$.} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Document à rendre avec la copie}\\ \vspace{3cm} \psset{xunit=11cm,yunit=100cm} \begin{pspicture}(1,0.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.01](0,0)(1,0.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.05,Dy=0.005,labels=none](0,0)(1,0.1) \psframe(0,0)(1,0.1) \psline(0.03,0)(0.03,0.016)(0.06,0.016)(0.06,0.029)(0.08,0.029)(0.08,0.052)(0.1,0.052)(0.1,0.069)(0.12,0.069)(0.12,0.09)(0.13,0.09)(0.14,0.096)(0.16,0.096)(0.16,0.102)(0.18,0.102)(0.18,0.094)(0.2,0.094)(0.205,0.085)(0.22,0.085)(0.22,0.063)(0.24,0.063)(0.245,0.058)(0.25,0.047)(0.255,0.047)(0.26,0.022)(0.275,0.022)(0.28,0.011)(0.295,0.011)(0.2975,0.00025)(0.3,-0.002)(0.32,-0.002)(0.325,0.001)(0.335,0.001)(0.34,0.0025)(0.355,0.0025)(0.355,0.019)(0.375,0.019)(0.375,0.034)(0.4,0.034)(0.402,0.059)(0.42,0.059)(0.42,0.074)(0.44,0.074)(0.445,0.093)(0.46,0.093)(0.46,0.0975)(0.48,0.0975)(0.48,0.1025)(0.5,0.1025)(0.501,0.092)(0.52,0.092)(0.52,0.0801)(0.54,0.0801) \psline(0.54,0.0801)(0.545,0.058)(0.56,0.058)(0.57,0.041)(0.58,0.041)(0.58,0.018)(0.6,0.018)(0.6,0.008)(0.62,0.008)(0.62,-0.003)(0.64,-0.003)(0.64,0.002)(0.66,0.002)(0.66,0.006)(0.675,0.006)(0.68,0.024)(0.7,0.024)(0.71,0.04)(0.725,0.04)(0.73,0.066)(0.745,0.066)(0.75,0.079)(0.77,0.079) \psline(0.77,0.079)(0.77,0.096)(0.78,0.096)(0.78,0.098)(0.805,0.098)(0.81,0.101)(0.83,0.101)(0.83,0.087)(0.845,0.087)(0.848,0.076)(0.865,0.076)(0.87,0.052)(0.88,0.052)(0.88,0.034)(0.9,0.034)(0.91,0.013)(0.925,0.013)(0.925,0.004)(0.94,0.004)(0.94,-0.004)(0.96,-0.004)(0.96,0.003)(0.975,0.003)(0.975,0.0095)(1,0.0095) \end{pspicture} \end{center} \newpage \noindent{ \large {\textbf{Exercice 1 - Spécialités électrotechnique, Génie optique, TPIL - (sur $11$ points)}}} \vspace{0.5cm}\\ \textbf{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.} \vspace{0.5cm}\\ \textbf{Partie A} \medskip Une entreprise produit, en grande quantité, des appareils. Chaque appareil fabriqué peut présenter deux défauts que l'on appellera défaut $a$ et défaut $b$. On prélève un appareil au hasard dans la production d'une journée. On note $A$ l'évènement : \og l'appareil présente le défaut $a$ \fg ~et $B$ l'évènement : \og l'appareil présente le défaut $b$ \fg. Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont $P(A) = 0,03$ et $P(B) = 0,02$ ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_1$ : \og l'appareil présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_2$ : \og l'appareil est défectueux, c'est-à-dire qu'il présente au moins un des deux défauts \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_3$ : \og l'appareil ne présente aucun défaut \fg. \item Sachant que l'appareil est défectueux, quelle est la probabilité qu'il présente les deux défauts ? \textit{Le résultat sera arrondi au millième.} \end{enumerate} \vspace{0.5ex} \textbf{Dans les parties B et C, les résultats seront à arrondir au centième.} \vspace{0.5ex} \textbf{Partie B} \medskip Les appareils sont conditionnés par lots de $100$ pour l'expédition aux distributeurs de pièces détachées. On prélève au hasard un échantillon de $100$ appareils dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de $100$ appareils. Pour cette partie, on considère que, à chaque prélèvement, la probabilité que l'appareil soit défectueux est $0,05$. On considère la variable aléatoire $X_1$ qui, à tout prélèvement de $100$ appareils, associe le nombre d'appareils défectueux. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X_1$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Donner l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X_1$. \end{enumerate} \item On suppose que l'on peut approcher la loi de $X_1$ par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. \begin{enumerate} \item On choisit $\lambda=5$ ; justifier ce choix. \item En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu'il y ait au plus deux appareils défectueux dans un lot. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5ex} \textbf{Partie C} \medskip Les appareils sont aussi conditionnés par lots de $800$ pour l'expédition aux usines de montage. On prélève au hasard un lot de $800$ appareils. On considère la variable aléatoire $X_2$ qui, à tout prélèvement de $800$ appareils, associe le nombre d'appareils défectueux. On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X_2$ par la loi normale de moyenne $40$ et d'écart-type $6,2.$ \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus 50 appareils défectueux dans le lot. \item Déterminer le réel $x$ tel que $P(X_2>x)=0,01$.\\ En déduire, sans justification, le plus petit entier $k$ tel que la probabilité que le lot comporte plus de $k$ appareils défectueux soit inférieure à $0,01$. \end{enumerate} \newpage %==================fin d'exercice================================ %=========================début des exercices==================== {\large {\textbf{Exercice 2 - Toutes spécialités (sur $9$ points)}}} \vspace{0.5ex} \textbf{Les parties A et B sont indépendantes.} \vspace{0.5ex} \textbf{Partie A} \medskip Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels. Soit $f$ une fonction périodique de période $1$, définie sur l'intervalle $[0~; ~1[$ par $f(t)=\alpha t + \beta$. On appelle $a_0$, $a_n$ et $b_n$ les coefficients de Fourier associés à la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que $a_0=\dfrac{\alpha}{2}+\beta$. \item Montrer que $b_n=-\dfrac{\alpha}{n\pi}$ pour tout nombre entier naturel $n$ non nul. \vspace{0.3ex} On admet que $a_n=0$ pour tout entier naturel $n$ non nul. \item On se propose de déterminer les nombres réels $\alpha$ et $\beta$ pour que le développement $S$ en série de Fourier de la fonction $f$ soit défini pour tout nombre réel $t$ par $S(t)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n} \sin (2n\pi t).$ \begin{enumerate} \item Déterminer les nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $a_0=0$ et $b_n=\dfrac{1}{n}.$ En déduire l'expression de la fonction $f$. \item Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$ dans un repère orthogonal. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Partie B} \vspace{0.5cm} On veut résoudre l'équation différentielle : \[s" (t)+s(t)=f(t)\] On admet que l'on obtient une bonne approximation de la fonction $s$ en remplaçant $f(t)$ par les premiers termes du développement en série de Fourier de la fonction $f$ obtenus dans la partie A, c'est-à-dire par : \[\sin (2\pi t)+\dfrac{1}{2} \sin (4 \pi t)\] Soit (E) l'équation différentielle : \[s"(t)+s(t)=\sin (2\pi t)+\dfrac{1}{2} \sin (4 \pi t)\] \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $s_1$ définie pour tout nombre réel $t$ par : \[s_1(t)=\dfrac{1}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) + \dfrac{1}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)\] est solution de l'équation différentielle (E). \item Résoudre l'équation différentielle (E). \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2007 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2007}{} \lfoot{\small{Groupement A}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2007\\ Groupement A}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip On s'intéresse à un système entrée-sortie susceptible d'être contrôlé. Dans la partie A, on étudie le système en l'absence de contrôle. Dans la partie B, on étudie le système soumis à un contrôle. Les parties A, B et C sont indépendantes dans leurs résolutions respectives. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation différentielle $(E_1)$ suivante : \[\dfrac{1}{2}y'(t)+y(t)=10-\beta\quad (E_1)\] où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ et $\beta$ une constante réelle. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $h$ définie pour tout nombre réel $t$ par $h(t)=10-\beta$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$. \item Résoudre l'équation différentielle $(E_1)$. \item Montrer que la fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E_1)$ et qui vérifie $f(0)=10$ est définie sur $\R$ par $f(t)=\beta\text{e}^{-2t}+10-\beta$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}f(t)$ que l'on note $f_\infty$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : \[\left\{\begin{aligned} U(t)&=0& \text{si } t < 0\\ U(t)&=1& \text{si }t\geq 0 \end{aligned}\right.\] et qu'une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle pour tout nombre réel strictement négatif. \medskip On considère la fonction causale $g$ qui vérifie la relation $(E_2)$ suivante : \begin{align*}&\dfrac{1}{2}g'(t)+g(t)=13\int_0^t[10U(u)-g(u)]\text{d}u+(10-\beta)U(t)\quad (E_2)\\ &\text{et la condition } g(0)=10.\end{align*} On admet que la fonction $g$ admet une transformée de Laplace notée $G$. \begin{enumerate} \item Montrer que la transformée de Laplace $I$ de la fonction $i$ définie par : \[i(t)=13\displaystyle\int_0^t[10U(u)-g(u)]\text{d} u\] est telle que \[I(p)=\dfrac{130}{p^2}-13\dfrac{G(p)}{p}.\] \item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation $(E_2)$, déterminer une expression de $G(p)$. \item Vérifier que $G(p)=\dfrac{10}{p}-\dfrac{2\beta}{(p+1)^2+5^2}$. \item Dans cette question, on va déterminer $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)$, que l'on note $g_\infty$ et qui est la valeur finale du signal représenté par la fonction $g$.\\ On rappelle que, d'après le théorème de la valeur finale, $g_\infty=\lim\limits_{p\to 0^+}pG(p)$.\\ Déterminer $g_\infty$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la transformée de Laplace de la fonction qui à tout nombre réel $t$ associe $\text{e}^{-t}\sin(5t) U(t)$. \item En déduire l'expression de $g(t)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \textbf{Dans cette partie, on prend $\mathbf{\beta=5}$.} \medskip En \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}, on a représenté, sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, les courbes $C_f$ et $C_g$ représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies dans les parties A et B avec $\beta=5$. On admet ici que pour tout nombre réel $t$ positif ou nul : $f(t)=5\text{e}^{-2t}+5$ et $g(t)=10-2\text{e}^{-t}\sin(5t)$. On rappelle que $f_\infty$ et $g_\infty$ sont les limites respectives des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$. On a donc : $f_\infty=5$ et $g_\infty=10$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif ou nul on a : $\dfrac{f(t)-f_\infty}{f_\infty}=\text{e}^{-2t}$. \item Soit $t_1$ le nombre réel tel que : \[\dfrac{f(t)-f_\infty}{f_\infty}\leqslant 0,02 \quad \text{pour tout } t\geq t_1.\] Calculer la valeur exacte de $t_1$, puis une valeur approchée de $t_1$ arrondie au dixième. \end{enumerate} \item Soit $t_2$ le nombre réel tel que : \[-0,02\leqslant \dfrac{g(t)-g_\infty}{g_\infty}\leqslant 0,02 \quad \text{pour tout } t \geqslant t_2.\] Graphiquement, déterminer une valeur approchée de $t_2$, arrondie au dixième. \end{enumerate} \medskip \textsl{Dans ce problème, on a étudié un système entrée-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement, puis dans la partie B contrôlé par une commande intégrale.\\ On a montré que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur 10 indépendamment de la perturbation $\beta$, au prix d'une détérioration du temps de réponse du système et de l'apparition d'oscillations amorties.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}\\ \medskip On désigne par j le nombre complexe de module 1 dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$. On considère un filtre dont la fonction de transfert $T$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[T(\omega) = \dfrac{- \text{j} \omega k}{1-\text{j}\dfrac{\omega}{2}}.\] Le nombre $k$ est un nombre réel strictement positif compris entre 0 et 1. En associant trois filtres identiques au précédent, on obtient un système dont la fonction de transfert $H$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[H(\omega)=\left(T(\omega)\right)^3.\] \vspace{1ex} \begin{enumerate} \item On note $r(\omega)$ le module de $H(\omega)$.\\ On a donc : $r(\omega)=\left|H(\omega)\right|$. \begin{enumerate} \item Montrer que le module de $T(\omega)$ est $\dfrac{k\omega}{\sqrt{1+\dfrac{\omega^2}{4}}}$. \item En déduire $r(\omega)$. \end{enumerate} \vspace{1ex} \item \begin{enumerate} \item Justifier qu'un argument de $(-\text{j}\omega )^3$ est $\dfrac{\pi}{2}$. Justifier qu'un argument de $1 - \text{j}\dfrac{\omega}{2}$ est $-\arctan\left(\dfrac{\omega}{2}\right)$. En déduire qu'un argument de $H(\omega)$, notée $\varphi(\omega)$, est défini sur $]0~;~+\infty[$ par : \[\varphi(\omega) = \dfrac{\pi}{2}+3\arctan\left(\dfrac{\omega}{2}\right).\] \item On note $\varphi^{\prime}$ la dérivée de la fonction $\varphi$. Calculer $\varphi^{\prime}(\omega)$. Déterminer le signe de $\varphi^{\prime}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item Déterminer les limites de la fonction $\varphi$ en $0$ et $+\infty$. \end{enumerate} \vspace{1ex} \item Dans le tableau ci-après on donne les variations de la fonction $r$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Recopier et compléter ce tableau en utilisant les résultats obtenus dans la question 2. \begin{center} \psset{xunit=0.8cm} \begin{pspicture}(1,0)(15.5,7.5) %lignes horizontales} \psline(1,1)(15.5,1) \psline(1,1.6)(15.5,1.6) \psline(1,3.9)(15.5,3.9) \psline(1,6.1)(15.5,6.1) \psline(1,6.7)(15.5,6.7) \psline(1,7.2)(15.5,7.2) %lignes verticales \psline(1,1)(1,7.2) \psline(3.11,1)(3.1,7.2) \psline(15.5,1)(15.5,7.2) \psline[doubleline=true](3.5,1)(3.5,6.7) %fleches \psline{->}(5,4.2)(13.7,5.7) %les colonnes \rput(2,6.9){$\omega$} \rput(2,6.4){$r^{\prime}(\omega)$} \rput(2,5){$r(\omega)$} \rput(2,2.7){$\varphi(\omega)$} \rput(2,1.2){$\varphi^{\prime}(\omega)$} \rput(3.5,6.9){$0$} \rput(14.2,6.9){$+\infty$} \rput(14.2,5.7){$8k^3$} \rput(4.5,4.2){$0$} %les signes \rput(9,6.4){$+$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1ex} \item \textbf{Dans cette dernière question, on se place dans le cas où} \boldmath$k=0,9$.\unboldmath Lorsque $\omega$ décrit l'intervalle $]0~;~+\infty[$, le point d'affixe $H(\omega)$ décrit une courbe $\mathcal{C}$. En \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie,} la courbe $\mathcal{C}$ est tracée dans le plan complexe. On note $\omega_0$ la valeur de $\omega$ pour laquelle le module de $H(\omega)$ est égal à 1. \begin{enumerate} \item Placer précisément le point $M_0$ d'affixe $H(\omega_0)$ sur le document réponse donné en \textbf{annexe 2.} \item Calculer une valeur arrondie à $10^{-2}$ près du nombre $\omega_0$, puis de $\varphi(\omega_0)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1\\ Document réponse à rendre avec la copie} \end{center} \psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm,algebraic=true} %\begin{figure}[!h] \begin{pspicture}(-1,-1)(5,12) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-1,-1)(5,12) \psplot[plotpoints=250,linecolor=blue]{0}{5}{5*2.718^(-2*x)+5}% \psplot[plotpoints=250]{0}{5}{10-2*sin(5*x)*2.718^(-x)}% %\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,10.2)(5,10.2) %\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,9.8)(5,9.8) %\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](2.25,-0.2)(2.25,10.4) %\rput(2.25,-.5){$t_2$} \rput(-0.1,-0.2){$0$} \end{pspicture} %\end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 2\\ Document réponse à rendre avec la copie} \end{center} %figure réalisée par Olivier REBOUX, lycée Jules SIEGFRIED, Le Havre %olivier.reboux@ac-rouen.fr \psset{unit=1.25cm,algebraic=true} \def\r{(0.9*t/sqrt(1+(t^2)/4))^3} \def\Pi{3.1415927} \def\a{0.5*\Pi+3*atg(t/2)} \begin{pspicture}(-2.5,-5)(8,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-3,-5)(8,4) \psset% {% xunit=1,% yunit=1,% PointSymbol=none,% PointName=none,% algebraic=true,% }% \psclip% {% \psset% {% PointName=none,% PointSymbol=none,% } \pstGeonode(0,0){O} \pstGeonode(1,0){a} \pstCircleOA{O}{a} }% {% \psset% {% PointName=none,% PointSymbol=none,% linestyle=dashed,% nodesep=-10,% }% \pstGeonode(0.5,0.5){A} \pstGeonode(-0.5,0.5){B} \pstGeonode(-0.5,-0.5){C} \pstGeonode(0.5,-0.5){D} \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{B}{C} \pstLineAB{C}{D} \pstLineAB{D}{A} }% \endpsclip% \psclip% {% \psframe[linestyle=none](-3,-5)(8,4)% }% {% \parametricplot[plotpoints=2500]{0.001}{250}{(\r)*cos(\a)|(\r)*sin(\a)} % prolongement manuel jusqu'à l'axe des abscisses. \pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](5.832,0){A} \pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](5.82743,-.199867){B} \psline[linestyle=solid](A)(B) }% \endpsclip \psaxes[xsubticks=2,ysubticks=2,linewidth=1pt,axesstyle=frame]{->}(0,0)(-2.7,-4.5)(7.6,3.5) \pstRotation[RotAngle=210]{O}{a}[M_1] \pstLineAB[nodesepB=-1,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_1} \pstRotation[RotAngle=240]{O}{a}[M_2] \pstLineAB[nodesepB=-2,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_2} \pstRotation[RotAngle=195]{O}{a}[M_3] \pstLineAB[nodesepB=-1,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_3} %\pstGeonode[PosAngle=-180,PointSymbol=pentagon,dotscale=2,fillstyle=solid,fillcolor=blue,PointName=M_0](-0.98,-.195){M_0} \rput(3,-3.8){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2007 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2007Techniques}{} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2007\\ Groupement A1}} \medskip \bigskip{\textbf{Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire}} \end{center} \vspace{0,5cm} \lfoot{\small{Groupement A Techniques physiques pour\\ l'industrie et le laboratoire}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip On s'intéresse à un système entrée-sortie susceptible d'être contrôlé. Dans la partie A, on étudie le système en l'absence de contrôle. Dans la partie B, on étudie le système soumis à un contrôle. Les parties A, B et C sont indépendantes dans leurs résolutions respectives. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation différentielle $(E_1)$ suivante : \[\dfrac{1}{2}y'(t)+y(t)=10-\beta\quad (E_1)\] où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ et $\beta$ une constante réelle. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $h$ définie pour tout nombre réel $t$ par $h(t)=10-\beta$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$. \item Résoudre l'équation différentielle $(E_1)$. \item Montrer que la fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E_1)$ et qui vérifie $f(0)=10$ est définie sur $\R$ par $f(t)=\beta\text{e}^{-2t}+10-\beta$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}f(t)$ que l'on note $f_\infty$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : \[\left\{\begin{aligned} U(t)&=0& \text{si }t<0\\ U(t)&=1& \text{si }t\geq 0 \end{aligned}\right.\] et qu'une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle pour tout nombre réel strictement négatif. \medskip On considère la fonction causale $g$ qui vérifie la relation $(E_2)$ suivante : \begin{align*}&\dfrac{1}{2}g'(t)+g(t)=13\int_0^t[10U(u)-g(u)]\text{d}u+(10-\beta)U(t)\quad (E_2)\\ &\text{et la condition } g(0)=10.\end{align*} On admet que la fonction $g$ admet une transformée de Laplace notée $G$. \begin{enumerate} \item Montrer que la transformée de Laplace $I$ de la fonction $i$ définie par : \[i(t)=13\displaystyle\int_0^t[10U(u)-g(u)]\text{d} u\] est telle que \[I(p)=\dfrac{130}{p^2}-13\dfrac{G(p)}{p}.\] \item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation $(E_2)$, déterminer une expression de $G(p)$. \item Vérifier que $G(p)=\dfrac{10}{p}-\dfrac{2\beta}{(p+1)^2+5^2}$. \item Dans cette question, on va déterminer $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)$, que l'on note $g_\infty$ et qui est la valeur finale du signal représenté par la fonction $g$.\\ On rappelle que, d'après le théorème de la valeur finale, $g_\infty=\lim\limits_{p\to 0^+}pG(p)$.\\ Déterminer $g_\infty$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la transformée de Laplace de la fonction qui à tout nombre réel $t$ associe $\text{e}^{-t}\sin(5t)U(t)$. \item En déduire l'expression de $g(t)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \textbf{Dans cette partie, on prend $\mathbf{\beta=5}$.} \medskip En \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}, on a représenté, sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, les courbes $C_f$ et $C_g$ représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies dans les parties A et B avec $\beta=5$. On admet ici que pour tout nombre réel $t$ positif ou nul : $f(t)=5\text{e}^{-2t}+5$ et $g(t)=10-2\text{e}^{-t}\sin(5t)$. On rappelle que $f_\infty$ et $g_\infty$ sont les limites respectives des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$. On a donc : $f_\infty=5$ et $g_\infty=10$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif ou nul on a : $\dfrac{f(t)-f_\infty}{f_\infty}=\text{e}^{-2t}$. \item Soit $t_1$ le nombre réel tel que : \[\dfrac{f(t)-f_\infty}{f_\infty}\leqslant 0,02 \quad \text{pour tout } t\geq t_1.\] Calculer la valeur exacte de $t_1$, puis une valeur approchée de $t_1$ arrondie au dixième. \end{enumerate} \item Soit $t_2$ le nombre réel tel que : \[-0,02\leqslant \dfrac{g(t)-g_\infty}{g_\infty}\leqslant 0,02 \quad \text{pour tout } t \geqslant t_2.\] Graphiquement, déterminer une valeur approchée de $t_2$, arrondie au dixième. \end{enumerate} \medskip \textsl{Dans ce problème, on a étudié un système entrée-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement, puis dans la partie B contrôlé par une commande intégrale.\\ On a montré que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur 10 indépendamment de la perturbation $\beta$, au prix d'une détérioration du temps de réponse du système et de l'apparition d'oscillations amorties.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip Les parties A et B peuvent être traitées de \textbf{manière indépendante}. \medskip Le fournisseur d'accès Internet Mathoile propose des abonnements comportant la fourniture d'un modem ADSL. On appelle $p$ la proportion de modems défectueux parmi ceux fournis aux clients. Dans tout l'exercice, on considère que $p$ est aussi la probabilité pour un client donné de recevoir un modem défectueux. Une association de consommateurs lance une enquête auprès des abonnés à sa revue pour estimer leur degré de satisfaction concernant leur abonnement ADSL. On appelle $p'$ la proportion de modems défectueux parmi ceux qui ont été fournis aux abonnés à la revue, clients de Mathoile. \medskip \textbf{Partie A : estimation de } \boldmath $p^{\prime}$ \unboldmath \medskip Parmi les réponses à l'enquête reçues par l'association, 428 concernent des abonnés, clients du fournisseur d'accès Mathoile. Sur ces 428 abonnés, 86 déclarent avoir reçu un modem défectueux. \begin{enumerate} \item On note $f_{e}$ la proportion de modems défectueux chez les abonnés, également clients de Mathoile, ayant répondu à l'enquête. Donner la valeur exacte de $f_{e}$, puis sa valeur arrondie au centième. \item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à un lot de $n$ modems, pris au hasard parmi ceux fournis par Mathoile dans la population des abonnés à la revue, associe la fréquence d'appareils défectueux. On peut admettre, $n$ étant assez grand, que la variable aléatoire $F$ suit une loi normale de moyenne $p'$ et d'écart type $\sigma = \sqrt{\dfrac{p^{\prime}\left(1 - p^{\prime}\right)}{n}}$. Dans cette situation, l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $F$ peut être approché par $\sqrt{\dfrac{f_{e}\left(1 - f_{e}\right)}{n}}$. \medskip Les responsables de la revue font le raisonnement suivant : \og le grand nombre de réponses reçues à notre enquête par les abonnés à notre revue, clients de Mathoile, est un échantillon pris au hasard dans l'ensemble de nos abonnés qui ont reçu un modem Mathoile \fg. Dans cette hypothèse, déterminer un intervalle de confiance de $p^{\prime}$,avec un coefficient de confiance de $0,95$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B : test de validité d'hypothèse} \medskip Le fournisseur d'accès Mathoile réfute que l'estimation de la proportion $p'$ de modems défectueux obtenue dans la partie A puisse s'appliquer à l'ensemble de sa production. Il considère en effet que l'échantillon des personnes qui ont répondu à l'enquête n'est pas représentatif de sa clientèle. Ce fournisseur contacte alors un organisme indépendant qui procède à son tour à une enquête en interrogeant $400$~clients Mathoile choisis de manière aléatoire. \medskip On appelle $G$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $400$~modems, associe la fréquence d'appareils défectueux dans cet échantillon. À partir de cette enquête, on souhaite tester, au seuil de 5\:\%, l'hypothèse nulle $H_{0}$ : \og la probabilité $p$ est égale à 0,16 \fg{} contre l'hypothèse alternative $H_{1}$ : \og la probabilité $p$ est inférieure à $0,16$ \fg. \begin{enumerate} \item On peut supposer, \textbf{sous l'hypothèse nulle}, que $G$ suit une loi normale de moyenne $0,16$ et d'écart type $s = \sqrt{\dfrac{0,16(1 - 0,16)}{400}}$. Soit $a$ le nombre réel tel que : $p(G < 0,16 - a) = 0,05$. Montrer qu'une valeur arrondie à $10^{-1}$ du nombre $a$ est égale à $0,030$. \item Énoncer la règle de décision du test. \item Sur 400 personnes interrogées, 48 déclarent avoir reçu un modem défectueux. Quelle est la conclusion du test ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \emph{L'estimation de la partie A repose sur un échantillon non aléatoire et, sans doute, pas représentatif des clients du fournisseur Mathoile.\\ En revanche, dans la partie B, la méthodologie de construction du test est acceptable.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1\\ Document réponse à rendre avec la copie} \end{center} \psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm,algebraic=true} %\begin{figure}[!h] \begin{pspicture}(-1,-1)(5,12) \psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridwidth=1pt,subgridwidth=0.1pt] \psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-1,-1)(5,12) \psplot[plotpoints=250]{0}{5}{5*2.718^(-2*x)+5}% \psplot[plotpoints=250]{0}{5}{10-2*sin(5*x)*2.718^(-x)}% %\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,10.2)(5,10.2) %\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,9.8)(5,9.8) %\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](2.25,-0.2)(2.25,10.4) %\rput(2.25,-.5){$t_2$} \rput(-0.1,-0.2){$0$} \end{pspicture} %\end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 2\\ Document réponse à rendre avec la copie} \end{center} %figure réalisée par Olivier REBOUX, lycée Jules SIEGFRIED, Le Havre %olivier.reboux@ac-rouen.fr \psset{unit=1.25cm,algebraic=true} \def\r{(0.9*t/sqrt(1+(t^2)/4))^3} \def\Pi{3.1415927} \def\a{0.5*\Pi+3*atg(t/2)} \begin{pspicture}(-2.5,-5)(8,4) \psset% {% xunit=1,% yunit=1,% PointSymbol=none,% PointName=none,% algebraic=true,% }% \psclip% {% \psset% {% PointName=none,% PointSymbol=none,% } \pstGeonode(0,0){O} \pstGeonode(1,0){a} \pstCircleOA{O}{a} }% {% \psset% {% PointName=none,% PointSymbol=none,% linestyle=dashed,% nodesep=-10,% }% \pstGeonode(0.5,0.5){A} \pstGeonode(-0.5,0.5){B} \pstGeonode(-0.5,-0.5){C} \pstGeonode(0.5,-0.5){D} \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{B}{C} \pstLineAB{C}{D} \pstLineAB{D}{A} }% \endpsclip% \psclip% {% \psframe[linestyle=none](-3,-5)(8,4)% }% {% \parametricplot[plotpoints=2500]{0.001}{250}{(\r)*cos(\a)|(\r)*sin(\a)} % prolongement manuel jusqu'à l'axe des abscisses. \pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](5.832,0){A} \pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](5.82743,-.199867){B} \psline[linestyle=solid](A)(B) }% \endpsclip \psaxes[xsubticks=2,ysubticks=2,linewidth=1pt,axesstyle=frame]{->}(0,0)(-2.7,-4.5)(7.6,3.5) \pstRotation[RotAngle=210]{O}{a}[M_1] \pstLineAB[nodesepB=-1,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_1} \pstRotation[RotAngle=240]{O}{a}[M_2] \pstLineAB[nodesepB=-2,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_2} \pstRotation[RotAngle=195]{O}{a}[M_3] \pstLineAB[nodesepB=-1,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_3} %\pstGeonode[PosAngle=-180,PointSymbol=pentagon,dotscale=2,fillstyle=solid,fillcolor=blue,PointName=M_0](-0.98,-.195){M_0} \rput(3,-3.8){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2007 Nlle Calédonie %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2006Caledo}{} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session octobre 2006\\ Groupement A Nouvelle--Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R,~ 2\pi$-périodique, et telle que : \[\left\{\begin{array}{l c l c l} \varphi(t)&=&t&\quad \text{si}&0 \leqslant t < \pi \\ \varphi(t)&=&0&\quad \text{si}& \pi \leqslant t < 2\pi\\ \end{array}\right.\] On note $S(t)$ développement de Fourier associé à la fonction $\varphi$ ; les coefficients de Fourier associés à la fonction $\varphi$ sont notés $a_{0},~ a_{n},~ b_{n}$ où $n$ est un nombre entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement la fonction $\varphi$ sur l'intervalle $[-2\pi~;~ 4\pi]$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $a_{0}$, la valeur moyenne de la fonction $\varphi$ sur une période. \item On rappelle que pour une fonction $f$, périodique de période $T$ le carré de la valeur efficace sur une période est donné par : $\mu_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^{T} [f(t)]^2\:\text{d}t$. Montrer que $\mu_{\text{eff}}^2$ le carré de la valeur efficace de la fonction sur une période est égal à $\dfrac{\pi^2}{6}.$ \end{enumerate} \item Montrer que. pour tout nombre entier $n \geqslant 1$, on a : $a_{n} = \dfrac{1}{\pi n^2}[\cos (n \pi) - 1]$. On admet que, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$, on a : $b_{n} = - \dfrac{\cos (n \pi)}{n}$. \item On considère la fonction $S_{3}$ définie sur $\R$ par : \[S_{3}(t) = a_{0} + \sum_{n=1}^3 \left[a_{n} \cos (nt) + b_{n} \sin (nt)\right]\] où les nombres $a_{0},~ a_{n}~, b_{n}$ sont les coefficients de Fourier associes à la fonction $\varphi$ définie précédemment. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau avec les valeurs exactes des coefficients demandés. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $a_{0}$&$a_{1}$&$b_{1}$&$a_{2}$& $b_{2}$&$a_{3}$ &$b_{3}$\\ \hline &\rule[-4mm]{0mm}{9mm}&&&&$- \dfrac{2}{9\pi}$&$\dfrac{1}{3}$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calculer la valeur exacte de $S_{3}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ puis donner la valeur approchée de $\varphi\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - S_{3}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ arrondie à $10^{-2}$. \end{enumerate} \item On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le carré de la valeur efficace $\mu_{3}^2$ de la fonction $S_{3}$. \[\mu_{3}^2 = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\left[a_{1}^2 + b_{1}^2 + a_{2}^2 + b_{2}^2 + a_{3}^2 + b_{3}^2\right]\] \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $\mu_{3}^2$. \item Calculer la valeur approchée de $\dfrac{\mu_{3}^2}{\mu_{\text{eff}}^2}$ arrondie à $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 12 points} Dans ce problème, on s'intéresse à un filtre modélisé mathématiquement par l'équation différentielle suivante : \[\left\{\begin{array}{r c l} s'(t) + s(t) &=& e(t)\\ s(0)&=&0\\ \end{array}\right.\] La fonction $e$ représente l'entrée aux bornes du filtre et la fonction $s$ la sortie. On admet que les fonctions $e$ et $s$ admettent des transformées de Laplace respectivement notées $E$ et $S$. La fonction de transfert $H$ du filtre est définie par : \[S(p) = H(p) \times E(p).\] On rappelle que la fonction échelon unité, notée $U$, est définie par : \[\left\{ \begin{array}{l c l c l} U(t)&=&0&\text{si}&t < 0\\ U(t)&=&1&\text{si}& t \geqslant 0.\\ \end{array}\right.\] \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Montrer que : $H(p) = \dfrac{1}{p+1}$. \item La fonction $e$ est définie par : $e(t) = tU(t) - (t - 1)U(t -1)$. \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement la fonction $e$. \item Montrer que : $E(p) = \dfrac{1}{p^2}\left(1 - \text{e}^{-p}\right)$. \item En déduire $S(p)$. \item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que : \[\dfrac{1}{p^2(p+1)}= \dfrac{a}{p} + \dfrac{b}{p} + \dfrac{c}{p + 1}\] \item En déduire l'original $s$ de $S$. \item Vérifier que : \[\left\{\begin{array}{l c l c l} s(t)&=&0& \text{si}&t < 0\\ s(t)&=&t - 1 + \text{e}^{-t}&\text{si}&0 \leqslant t < 1\\ s(t)&=&1+ (1 - \text{e})\text{e}^{-t}&\text{si}&1 \leqslant t\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Comparer $s\left(1^{-}\right)$ et $s\left(1^{+}\right)$. \item Calculer $s^{\prime}(t)$ et étudier son signe sur les intervalles ]0~;~ 1[ et $]1~;~+\infty[$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $s$ sur l'intervalle $]0~:~+ \infty[$. \item Déterminer la limite de la fonction $s$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On note j le complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On prend $p= \text{j}\omega$ où $\omega$ désigne un nombre réel positif. On a alors : $H(\text{j}\omega) = \dfrac{1}{1 + \text{j}\omega}$. On munit le plan d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 10~cm. \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble ($\Delta$) des points $m$ d'affixe $z = 1 + \text{j}\omega$ lorsque $\omega$ décrit l'intervalle $[0~;~+\infty[$ est une demi-droite que l'on caractérisera. \item Quel est l'ensemble ($\mathcal{C}$) des points $M$ d'affixe $Z = \dfrac{1}{1 + \text{j}\omega}$ lorsque $\omega$ décrit l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ ? \item Représenter, dans le repère \Ouv{} les ensembles ($\Delta$) et ($\mathcal{C}$). \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2008 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2008A1}{} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2008 - groupement A (électrotechnique)}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie sur $\R$ par : \[\left\{ \begin{aligned} U(t)&=0\quad\text{si } t < 0\\ U(t)&=1\quad\text{si } t \geqslant 0 \end{aligned} \right. \] Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]-\infty\,;\,0[$. \begin{enumerate} \item On considère la fonction causale $e$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : \[e(t)=4\left[U(t)-U(t-2)\right]\] \begin{enumerate} \item Tracer la représentation graphique de la fonction $e$ dans un repère orthonormal. \item On note $E$ la transformée de Laplace de la fonction $e$.\\ Déterminer $E(p)$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $s$ telle que \[4s'(t)+s(t)=e(t)\quad\text{et}\quad s(0)=0\] On admet que la fonction $s$ admet une transformée de Laplace, notée $S$.\\ Démontrer que : \[S(p)=\dfrac{1}{p\left(p +\dfrac{1}{4}\right)}\left(1-\text{e}^{-2p}\right)\] \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : \[\dfrac{1}{p\left(p+\dfrac{1}{4}\right)}=\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p+\dfrac{1}{ 4}}\] \item Compléter le tableau ci-dessous dans lequel $f$ représente la fonction causale associée à $F$ : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &&&&\\ $F(p)$&$\dfrac{1}{p}$&$\dfrac{1}{p}\text{e}^{-2p}$&$\dfrac{1}{p+\dfrac{1}{4}}$&$\dfrac{1}{ p+\dfrac{1}{4}}\text{e}^{-2p}$\\ &&&&\\ \hline $f(t)$&$U(t)$&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $s(t)$, $t$ désignant un nombre réel quelconque. \item Vérifier que : \[\left\{ \begin{aligned} s(t)&=0 & \text{si }&t<0\\ s(t)&=4-4\text{e}^{-\dfrac{t}{4}} & \text{si }&0\leqslant t<2\\ s(t)&=4\text{e}^{-\dfrac{t}{4}}\left(\text{e}^{\dfrac{1}{2}}-1\right) & \text{si }&t\geqslant 2 \end{aligned} \right. \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction $s$ est croissante sur l'intervalle $[0\,;\,2[$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{t \to 2 \\ t< 2}}s(t)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $s$ sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} s(t)$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe représentative de la fonction $s$ dans un repère orthonormal. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip Dans ce problème, on approche un signal à l'aide d'une fonction affine par morceaux. \medskip On désigne par $E$ un nombre réel de l'intervalle $]0\,;\,3[$.\\ On considère la fonction $f$ définie sur $\R$, \textbf{paire}, périodique de \textbf{période 5}, telle que : \[f(t)=\left\{ \begin{aligned} &E\times t &\text{si } &0\leqslant t<1\\ &(3-E)t+2E-3 &\text{si } &1\leqslant t<2\\ &3 & \text{si } &2\leqslant t\leqslant\dfrac{5}{2} \end{aligned} \right. \] \textbf{Partie A : }\\ Dans cette \textbf{partie, et uniquement dans cette partie,} on se place dans le cas où $E=2$. \begin{enumerate} \item Préciser l'écriture de $f(t)$ sur chacun des intervalles $[0\,;\,1[,\,[1\,;\,2[$ et $\left[2\,;\,\dfrac{5}{2}\right]$. \item Représenter graphiquement la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5\,;\,10]$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip Dans cette \textbf{partie,} on se place dans le \textbf{cas général}, c'est-à-dire dans le cas où la valeur de $E$ n'est pas spécifiée.\\ On appelle $S$ la série de Fourier associée à la fonction $f$.\\ On note $S(t) = a_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right) + b_n\sin\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la valeur moyenne de la fonction $f$ sur une période est $a_0 = 2\dfrac{E+3}{5}$. \item Déterminer $b_n$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : \[\int_0^1 t\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t \right)\text{d}t=\dfrac{5}{2n\pi}\sin \left(\dfrac{2n\pi}{5}\right)+\dfrac{25}{4n^2\pi^2}\left(\cos \left(\dfrac{2n\pi}{5}\right)-1\right).\] \item On a calculé les intégrales $\int_1^2 f(t) \cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}t$ et $\int_2^{\frac{5}{2}}f(t) \cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}t$. On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : \[\int_0^{\dfrac{5}{2}}f(t)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d} t=\dfrac{25}{4n^2\pi^2}\left((2E-3)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5} \right)+(3-E)\cos\left(\dfrac{4n\pi}{5}\right)-E\right).\] En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 1 : \[a_n=\dfrac{5}{n^2\pi^2}\left((2E-3)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5} \right)+(3-E)\cos\left(\dfrac{4n\pi}{5}\right)-E\right).\] \end{enumerate} \item Pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on appelle$u_n$ l'harmonique de rang $n$. On a alors $u_n(t) = a_n\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)+b_n\sin\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)$ pour tout nombre réel $t$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'au rang 5, $u_5(t)$ est nul pour tout nombre réel $t$. \item On appelle $E_0$ la valeur de $E$ pour laquelle l'harmonique de rang 3 est nulle, c'est-à-dire la valeur de $E$ telle que $u_3(t)$ est nul pour tout nombre réel $t$. Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de $E_0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{Dans ce problème, à l'aide d'un transformateur à diode, on approche un signal sinusoïdal redressé par une fonction affine par morceaux.} \emph{Un tel signal avec $u_3(t) = u_5(t) = 0$ permettra :} \setlength\parindent{5mm} \emph{\begin{itemize} \item[\ding{51}] s'il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple \item[\ding{51}] s'il est associé à un transformateur, d'éviter les pertes \item[\ding{51}] s'il est associé à un filtre, d'éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair d'ordre supérieur. \end{itemize}} \setlength\parindent{0mm} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2008 A2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2008A2}{} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2008 - groupement A2}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip On considère un système analogique \og entrée-sortie\fg\, dans lequel le signal d'entrée est représenté par une fonction $e$ et celui de sortie par une fonction $s$. \medskip Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle surl'intervalle $]-\infty~;~0[$. \medskip Les fonctions $e$ et $s$ sont des fonctions causales et on suppose qu'elles admettent des transformées de Laplace notées respectivement $E$ et $S$. \medskip On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie sur $\R$ par : \[\left\{ \begin{aligned} U(t)&=0\quad\text{si } t < 0\\ U(t)&=1\quad\text{si } t \geq 0 \end{aligned} \right. \] \begin{enumerate} \item La fonction de transfert $H$ du système est définie par $S(p)=H(p)\times E(p)$. On suppose, dans le cadre de cette étude, que $H(p)=\dfrac{1}{1+2p}$ et $e(t) = U(t)$. \begin{enumerate} \item Déterminer $S(p)$. \item Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $S(p)=\dfrac{\alpha}{p}+\dfrac{\beta}{p+\dfrac{1}{2}}$. \item En déduire $s(t)$. \end{enumerate} \item On se propose d'approcher la fonction de transfert analogique $H$ par la fonction de transfert numérique $F$ telle que $F(z) = H\left(10\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\right)=H\left(\dfrac{10z-10}{z+1} \right)$. L'entrée et la sortie du système numérique sont modélisés respectivement par deux signaux causaux discrets $x$ et $y$, admettant des transformées en $Z$ notées respectivement $X$ et $Y$. \medskip \textbf{On se place toujours dans le cas où le signal d'entrée du système analogique est {}}\boldmath ${U(t)}$.\unboldmath Le signal d'entrée du système analogique est échantillonné au pas de $0,2$. Ainsi, le signal d'entrée $x$ du système numérique est défini par $x(n) = U(0,2n)$ pour tout nombre entier naturel $n$. \medskip Les transformées en $Z$ des signaux $x$ et $y$ vérifient $Y(z) = F(z)\times X(z)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F(z)=\dfrac{z+1}{21z-19}$. \item Déterminer $X(z)$. \item Vérifier que $Y(z)=\dfrac{z}{z-1}-\dfrac{20}{21}\left(\dfrac{z}{z-\dfrac{19}{21}}\right)$. En déduire l'expression $y(n)$, pour tout nombre entier naturel $n$. \end{enumerate} \item Compléter, sur \textbf{l'annexe, à rendre avec la copie,} le tableau en donnant des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des résultats demandés. \end{enumerate} \medskip \emph{La méthode utilisée dans l'exercice 1, pour discrétiser le système analogique, est souvent appelée transformation bilinéaire. Dans le cadre de l'exemple étudié, nous observons que cette transformation préserve la stabilité du système et que les signaux de sortie analogique et numérique convergent vers la même limite.} \newpage \vspace{1cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip \begin{center} \textbf{Spécialités électrotechnique et génie optique} \end{center} On rappelle que la fonction échelon unité, notée $U$, est définie sur l'ensemble des nombres réels par \[\left\{ \begin{aligned} U(t)&=0\quad\text{si }t<0\\ U(t)&=1\quad\text{si }t\geq 0 \end{aligned} \right.\] Une fonction définie sur $\R$ est causale si elle est nulle sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$. \begin{enumerate} \item On considère la fonction causale $e$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : \[e(t) = 4\left[U(t)- U(t - 2)\right]\] \begin{enumerate} \item Tracer la représentation graphique de la fonction $e$ dans un repère orthonormal. \item On note $E$ la transformée de Laplace de la fonction $e$.\\ Déterminer $E(p)$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $s$ telle que \[4s'(t) + s(t) = e(t)\quad\text{et}\quad s(0)=0\] On admet que la fonction $s$ admet une transformée de Laplace, notée $S$. Démontrer que : \[S(p) =\dfrac{1}{p\left(p+\dfrac{1}{4}\right)}\left(1-\text{e}^{-2p}\right)\] \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : \[\dfrac{1}{p\left(p+\dfrac{1}{4}\right)}=\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p+\dfrac{1}{4}}\] \item Compléter le tableau ci-dessous dans lequel $f$ représente la fonction causale associée à $F$ : \begin{center} \begin{tabular}{|*{5}{c|}} \hline &&&&\\ $F(p)$&$\dfrac{1}{p}$&$\dfrac{1}{p}\text{e}^{- 2p}$&$\dfrac{1}{p+\dfrac{1}{4}}$&$\dfrac{1}{ p+\dfrac{1}{4}}\text{e}^{- 2p}$\\ &&&&\\ \hline $f(t)$&$U(t)$&&&\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $s(t)$, $t$ désignant un nombre réel quelconque. \item Vérifier que : \[\left\{ \begin{aligned} s(t)&=0 & \text{si }&t<0\\ s(t)&=4-4\text{e}^{-\frac{t}{4}} & \text{si }& 0 \leq t < 2\\ s(t)&=4\text{e}^{-\frac{t}{4}}\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}-1\right) & \text{si }&t\geq 2 \end{aligned} \right. \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction $s$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~2[$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{t \to 2 \\ t<2}}s(t)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $s$ sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} s(t)$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe représentative de la fonction $s$ dans un repère orthonormal. \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 3 \hfill 9 points} \medskip Dans ce problème, on approche un signal à l'aide d'une fonction affine par morceaux. \medskip On désigne par $E$ un nombre réel de l'intervalle $]0~;~3[$. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$, \textbf{paire}, périodique de \textbf{période 5}, telle que : \[f(t)=\left\{ \begin{aligned} &E\times t &\text{si } &0\leq t<1\\ &(3 - E)t + 2E - 3 &\text{si } &1\leq t<2\\ &3 & \text{si } &2\leq t\leq\dfrac{5}{2} \end{aligned} \right. \] \textbf{Partie A : } Dans cette \textbf{partie, et uniquement dans cette partie,} on se place dans le cas où $E=2$. \begin{enumerate} \item Préciser l'écriture de $f(t)$ sur chacun des intervalles $[0\,;\,1[,\,[1\,;\,2[$ et $\left[2\,;\,\frac{5}{2}\right]$. \item Représenter graphiquement la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5\,;\,10]$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : } Dans cette \textbf{partie,} on se place dans le \textbf{cas général}, c'est-à-dire dans le cas où la valeur de $E$ n'est pas spécifiée.\\ On appelle $S$ la série de Fourier associée à la fonction $f$.\\ On note $S(t)=a_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2n\pi}{5} t\right)+b_n\sin\left(\frac{2n\pi}{5}t\right)\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la valeur moyenne de la fonction $f$ sur une période est $a_0 = 2\dfrac{E+3}{5}$. \item Déterminer $b_n$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : \[\int_0^1 t\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\text{d} t=\dfrac{5}{2n\pi}\sin \left(\dfrac{2n\pi}{5}\right)+\dfrac{25}{4n^2\pi^2}\left(\cos \left(\dfrac{2n\pi}{5}\right)-1\right).\] \item On a calculé les intégrales $\displaystyle\int_1^2 f(t) \cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}t$ et $\displaystyle\int_2^{\frac{5}{2}}f(t) \cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}t$.\\ On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : \[\int_0^{\frac{5}{2}}f(t)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}t =\dfrac{25}{4n^2\pi^2}\left((2E-3)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5} \right)+(3 - E)\cos\left(\dfrac{4n\pi}{5}\right) - E\right).\] En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 1 : \[a_n=\dfrac{5}{n^2\pi^2}\left((2E - 3)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5} \right)+(3 - E)\cos\left(\dfrac{4n\pi}{5}\right)- E\right).\] \end{enumerate} \item Pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on appelle $u_n$ l'harmonique de rang $n$.\\ On a alors $u_n(t)=a_n\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)+b_n\sin\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)$ pour tout nombre réel $t$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'au rang 5, $u_5(t)$ est nul pour tout nombre réel $t$. \item On appelle $E_0$ la valeur de $E$ pour laquelle l'harmonique de rang 3 est nulle, c'est-à-dire la valeur de $E$ telle que $u_3(t)$ est nul pour tout nombre réel $t$. Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de $E_0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{Dans ce problème, à l'aide d'un transformateur à diode, on approche un signal sinusoïdal redressé par une fonction affine par morceaux.} \emph{Un tel signal avec } $u_3(t) = u_5(t) =0$ \emph{permettra : } \emph{\ding{51} s'il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple} \emph{\ding{51} s'il est associé à un transformateur, d'éviter les pertes} \emph{\ding{51} s'il est associé à un filtre, d'éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair d'ordre supérieur.} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \textbf{à rendre avec la copie} \vspace{3cm} \begin{tabular}{|*{4}{c|}} \hline \hspace{0.5cm}$n$\hspace{0.5cm} &\hspace{1cm} $y(n)$\hspace{1cm} &\hspace{0.5cm} $t=0,2n$ \hspace{0.5cm}&\hspace{1cm} $s(t)\hspace{1cm}$\\ \hline 0 & &0 &\\\hline 1 & &0,2&\\\hline 5 & &1 &\\\hline 10 & &2 &\\\hline 15 & &3 &\\\hline 20 & &4 &\\\hline 25 & &5 &\\\hline 50 & &10 &\\\hline \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2008 Nlle Calédonie %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2008Caledo}{} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Nouvelle--Calédonie novembre 2007 - groupement A}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} On considère la fonction numérique paire, 2$\pi$-périodique, définie sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l c l} f(t)&=&\cos (t)& \text{si}& 0\leqslant t < \dfrac{\pi}{2}\\ f(1)&=&0& \text{si}&\dfrac{\pi}{2} \leqslant t \leqslant \pi\\ \end{array}\right.\] On a tracé en pointillé sur le document-réponse la courbe representative de la fonction cosinus sur l'intervalle $[- \pi ~;~3\pi]$. \begin{enumerate} \item Représenter. sur le document réponse à rendre avec la copie la fonction $f$ sur l'intervalle $[- \pi ~;~3\pi]$. \item On admet que la fonction $f$ satisfait aux conditions d'application du théorème de Dirichlet et, par conséquent qu'elle est décomposable en série de Fourier. On note : \[S(t) = a_{0} + \sum_{n\geqslant 1} \left[a_{n}\cos (nt)+ b_{n} \sin (nt)\right] \] la série de Fourier associée à la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $b_{n}$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1. \item Calculer $a_{0}$. \item Calculer $a_{1}$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on a : \[a_{n} = \dfrac{1}{\pi}\left(\dfrac{\sin \left[(n - 1)\dfrac{\pi}{2}\right]}{n - 1} + \dfrac{\sin \left[(n + 1)\dfrac{\pi}{2}\right]}{n + 1}\right)\] \end{enumerate} \item On note $S_{1}(t)$ la série de Fourier associée à la fonction $f$ tronquée au rang 1. On a donc : $S_{1}(t) = \dfrac{1}{\pi} + \dfrac{1}{2}\cos t.$ À partir de la courbe représentative de la fonction cosinus tracer sur le document réponse la courbe représentant la fonction $S_{1}$ sur l'intervalle $[- \pi ~;~3\pi]$. \emph{On laissera figurer les tracés intermédiaires. } \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} Dans cet exercice, on considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels telle que : \[\left\{\begin{array}{r c l r} f''(t)+\dfrac{6}{5} f'(t)+ f(t)&=&1& \text{pour tout nombre réel}~ t\\ f(0)&=&0& \\ f'(0)&=&0& \\ \end{array}\right. \] \begin{enumerate} \item Dans cette question on détermine une expression de $f(t)$. \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle (E) \[y''(t) +\dfrac{6}{5} y'(t) + y(t) = 0\quad (\text{E})\] dans laquelle $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$. \item En déduire que la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $t$ par : \[f(t) = 1 - \text{e}^{- \frac{3}{5}t}\left[\cos \left(\dfrac{4}{5}t\right) +\dfrac{3}{4}\sin\left(\dfrac{4}{5}t\right)\right]. \] \end{enumerate} \item Dans cette question on détermine la limite de la fonction $f$ au voisinage de $+ \infty$. \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout nombre réel $t$, on a : \[- \text{e}^{- \frac{3}{5}t} \leqslant \text{e}^{- \frac{3}{5}t}\cos \left(\dfrac{4}{5}t\right) \leqslant \text{e}^{- \frac{3}{5}t}\] \item En déduire que \[ \lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- \frac{3}{5}t}\cos \left(\dfrac{4}{5}t\right) = 0 \] \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$ pour tout nombre réel $t$. \item Montrer que : $f'(t) = 0$ équivaut à $t = \dfrac{5k\pi}{4}$, où $k$ désigne un nombre entier relatif. \item On note pour tout nombre entier relatif $k,~ t_{k} = \dfrac{5k\pi}{4}$ et on pose $D_{k} = \left|f\left(t_{k}\right) - 1\right|$. Montrer que : $D_{k} = \text{e}^{- \frac{3}{4}k\pi}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %\newpage \begin{center} \textbf{Document-réponse à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.8cm,yunit=4cm} \begin{pspicture}(-4,-1.2)(10,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-1.2)(10,1.2) \psplot[linewidth=2pt,plotpoints=5000,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-3.1416}{9.425}{cos(x)} %{x 180 mul 3.14159 div cos} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2009A1}{} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Métropole--Polynésie session 2009 - groupement A1}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip \emph{Cet exercice se compose de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. } \emph{On s'intéresse aux requêtes reçues par le serveur web d'une grande entreprise, provenant de clients dispersés sur le réseau Internet.} \emph{La réception de trop nombreuses requêtes est susceptible d'engendrer des problèmes de surcharge du serveur.} \medskip \textbf{Partie A :} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse au nombre de requêtes reçues par le serveur, au cours de certaines durées jugées critiques. On désigne par $\tau$ un nombre réel strictement positif. On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de requêtes reçues par le serveur dans un intervalle de temps de durée $\tau$ (exprimée en secondes). La variable aléatoire $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 500 \tau$. \begin{enumerate} \item Dans cette question, on s'intéresse au cas où $\tau = 0,01$. Déterminer la probabilité que le serveur reçoive au plus une requête au cours d'une durée $\tau$ de 0,01~s. En expliquant votre démarche, détenniner le plus petit entier naturel $n_{0}$ tel que $p\left(X > n_{0}\right) < 0,05$. Dans cette question, on s'intéresse au cas où $\tau = 0,2$. On rappelle que la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 100$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $\mu = 100$ et d'écart type $\sigma = 10$. En utilisant cette approximation, calculer : \begin{enumerate} \item la probabilité $P(X > 120)$ ; \item une valeur approchée du nombre réel positif $a$ tel que $P(100 - a \leqslant X \leqslant 100 + a) = 0,99$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip Dans cette partie, on considère : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item d'une part, que la probabilité pour le serveur de connaître des dysfonctionnements importants au cours d'une journée donnée est $p = 0,01$ ; \item d'autre part, que des dysfonctionnements importants survenant au cours de journées distinctes constituent des évènements aléatoires indépendants. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On appelle $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d'un mois de 30 jours. \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi. \item Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que le serveur connaisse au plus 2 jours de dysfonctionnements importants pendant un mois. \end{enumerate} \item On appelle $Z$ la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d'une année de 365~jours. \begin{enumerate} \item Donner, sans justification, la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z$. \item Donner l'espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire $Z$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C :} \medskip Dans cette partie. on s'intéresse à la durée séparant deux requêtes successives reçues par le serveur. On appelle $T$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs les durées (exprimées en secondes) séparant l'arrivée de deux requêtes successives sur le serveur. \begin{enumerate} \item On désigne par $t$ un nombre réel positif. La probabilité que $T$ prenne une valeur inférieure ou égale à $t$ est donnée par : $p(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t 500 \text{e}^{-500x}\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(T \leqslant t)$ en fonction de $t$. \item En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $P(T \leqslant t) = 0,95$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au millième de seconde. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale \[I(t) = \displaystyle\int_{0}^t 500x \text{e}^{-500x}\:\text{d}x.\] \item Déterminer la limite $m$ de $I(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. Le nombre $m$ est l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$. Il représente la durée moyenne séparant la réception de deux requêtes successives. \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{Commentaire :} \emph{Ce modèle, très simple, intéresse les concepteurs de systèmes d'information ou de télécommunication car il fournit des évaluations de certaines performances d'un système, en particulier au sens du \og scénario du pire des cas \fg.} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip \emph{Dans cet exercice, on étudie un système \og entrée-sortie \fg.} \emph{La partie A permet de déterminer la réponse à l'échelon unité.} \emph{Les parties B et C permettent d'étudier les perturbations résultant d'une coupure de $0,1$~seconde.} On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l l} U(t) &=& 0& \text{si}~ t < 0\\ U(t)&=&1& \text{si}~ t \geqslant 0\\ \end{array}\right.\] Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $] - \infty~;~ 0[$. \medskip \textbf{Partie A :} \medskip On considère la fonction causale $s_{1}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : \[s_{1}(t) + \int_{0}^t s_{1}(u)\:\text{d}u = U(t). \] On note $S_{1}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $S_{1}(p) = \dfrac{1}{p + 1}$. \item En déduire $s_{1}(t)$ pour tout nombre réel $t$. La courbe représentative de la fonction $s_{1}$ est donnée par la \textbf{figure 1 du document réponse.} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip On considère la fonction causale $s_{2}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : \[s_{2}(t) + \int_{0}^t s_{2}(u)\:\text{d}u = U(t) - U(t-1) .\] On note $S_{2}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{2}$. \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement la fonction $e_{2}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : \[e_{2}(t) = U(t) - U(t - 1).\] \item Déterminer $S_{2}(p)$. \item \begin{enumerate} \item En déduire $s_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$. \item Justifier que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} s_{2}(t)&=&0&\text{si}~ t < 0\\ s_{2}(t)&=&\text{e}^{-t}& \text{si}~ 0 \leqslant t \leqslant 1\\ s_{2}(t)&=&-\text{e}^{-t}(\text{e} - 1)& \text{si}~ t \geqslant 1\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item Établir le sens de variation de la fonction $s_{2}$ sur l'intervalle $]1~;~ + \infty[$. \item Calculer $s_{2}\left(1^+ \right) - s_{2}\left(1^- \right)$. \item On appelle $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $s_{2}$. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &1 &1,1&1,5&2 &2,5\\ \hline $s_{2}(t)$ & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. \item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur la figure 2 du document réponse, à rendre avec la copie. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C :} \medskip On considère la fonction causale $s_{3}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : \[s_{3}(t) + \int_{0}^t s_{3}(u)\:\text{d}u = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1). \] \begin{enumerate} \item Soit la fonction $e_{3}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : $e_{3}(t) = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $e_{3}(t) = e_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $]- \infty~;~ 1,1[$. \item Déterminer $e_{3}(t)$ pour $t \geqslant 1,1$. \item Représenter graphiquement la fonction $e_{3}$. \medskip Pour la suite, on admet que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} s_{3}(t)& =& s_{2}(t)& \text{si}~ t < 1,1\\ s_{3}(t)&=&\text{e}^{-t}\left(1 - \text{e}+ \text{e}^{1,1}\right)& \text{si}~ t \geqslant 1,1.\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item Établir le sens de variation de la fonction $s_{3}$ sur l'intervalle $]1,1~;~ + \infty[$. \item Calculer $s_{3}\left(1,1^{+}\right) - s_{3}\left(1,1^{-}\right)$. \item On appelle $\mathcal{C}_{3}$ la courbe représentative de la fonction $s_{3}$. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$& 1,1& 1,5& 2& 2,5\\ \hline $s_{3}(t)$&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. \item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{3}$ sur la figure 3 du document réponse, à rendre avec la copie. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2009 A2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2009A2}{} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2009 - groupement A2}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip \emph{Le but de cet exercice est d'établir, avec un minimum de calculs, le développement en série de Fourier de fonctions périodiques rencontrées en électricité}. \begin{enumerate} \item On considère un entier $n$ strictement positif. Montrer que : \[\int_{0}^{1} t \cos(n\pi t)\: \text{d}t = \frac{\cos(n \pi)-1}{n^{2}\pi^{2}}.\] Pour la suite de l'exercice, on admet que : $\displaystyle \int_{0}^{1} \sin(n \pi t) \: \text{d} t = - \frac{\cos(n \pi)}{n \pi}$. \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$, périodique de période $2$, telle que : \[ \begin{cases} f(t) &= t \text{ sur } [0~;~1[ \\ f(t) &= 0 \text{ sur } [1~;~2[ \\ \end{cases}. \] \begin{enumerate} \item En utilisant le document réponse \no 1, à rendre avec la copie, tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$. \item On appelle $S_f$ la série de Fourier associée à la fonction $f$. On note $S_f(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} \left ( a_n\cos(n \pi t) + b_n \sin(n \pi t )\right)$. Calculer $a_0$. Donner les valeurs des coefficients $a_n$ et $b_n$, et en déduire que : \[ S_f(t) = \frac{1}{4} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left ( \frac{\cos(n \pi)-1}{n^{2}\pi^{2}}\cos(n\pi t)-\frac{\cos(n\pi)}{n\pi}\sin(n\pi t)\right). \] \item Calculer le carré de la valeur efficace de la fonction $f$, défini par $\mu_{\text{eff}}^{2} = \frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} \left( f(t)\right)^{2}\: \text{d}t$. \item Recopier et compléter, avec les valeurs exactes le tableau \medskip \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{*{4}{|>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ & 1 & 2 & 3 \\ \hline $a_n$ & & & \\ \hline $b_n$ & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du nombre réel $A$ défini par : \[ A = \frac{a_{0}^{2}+ \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n = 1}^{3}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)} {\mu_{\text{eff}}^{2}}. \] \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$, périodique de période $2$, dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ est tracée sur l'intervalle $[-4~;~4]$ dans le document réponse \no 1. On admet que le développement en série de Fourier $S_g$ associé à la fonction $g$, est défini par $S_g(t) = S_f(-t)$. Justifier que : \[ S_g(t) = \frac{1}{4}+ \sum_{n = 1}^{+\infty} \left (\frac{\cos(n \pi)-1}{n^{2}\pi^{2}}\cos(n\pi t) + \frac{\cos(n \pi)}{n\pi}\sin(n\pi t)\right). \] \item Soit $h$ et $k$ les fonctions définies sur $\R$, périodiques de période $2$, telles que : $h(t) = f(t) + g(t)$ et $k(t) = f(t) - g(t)$ pour tout nombre $t$. \begin{enumerate} \item Sur le document réponse \no 1, à rendre avec la copie, tracer les courbes $\mathcal{C}_h$ et $\mathcal{C}_k$ représentatives des fonctions $h$ et $k$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$. \item On admet que les développements en série de Fourier $S_h$ et $S_k$ associés respectivement aux fonctions $h$ et $k$, sont définis par : \[ S_h(t) = S_f(t)+S_g(t)\quad \text{et}\quad S_k(t) = S_f(t)- S_g(t).\] Déterminer les coefficients de Fourier associés respectivement aux fonctions $h$ et $k$. \end{enumerate} \psset{xunit=1cm,yunit=2cm} %%%%%%%%%%%%%%%%% % fonction f %%%%%%%%%%%%%%%%% Représentation de la fonction $f$ \begin{pspicture}(-5,-2)(5,2) \psset{PointSymbol=none}% \psaxes[Dx=1,Dy=1,ysubticks=4,xsubticks=2,labelsep=-0.5cm,xlabelPos=axis,ylabelPos=axis,subticksize=1,xticksize=-2 2 ,yticksize=-5 5,tickcolor=orange,subtickcolor=orange,axesstyle=frame]{->}(0,0)(-5,-2)(5,2) \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%% % Fonction g %%%%%%%%%%%%%% Représentation de la fonction $g$ \begin{pspicture}(-5,-3)(5,4) \psset{PointSymbol=none,PointName=none,algebraic} \psaxes[Dx=1,Dy=1,ysubticks=4,xsubticks=2, labelsep=-0.5cm,xlabelPos=axis,ylabelPos=axis,subticksize=1,xticksize=-2 2 ,yticksize=-5 5,tickcolor=orange,subtickcolor=orange, axesstyle=frame]{->}(0,0)(-5,-2)(5,2) \psframe[linestyle=none](-5,-2)(5,2)% \psline{o-(}(-4,0)(-3,0) \psline{o-(}(-3,1)(-2,0)(-1,0) \psline{o-(}(-1,1)(0,0)(1,0) \psline{o-(}(1,1)(2,0)(3,0) \psline{o-(}(3,1)(4,0) \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%%%%% % fonction h %%%%%%%%%%%%%%%%% Représentation de la fonction $h$ \begin{pspicture}(-5,-4)(5,4) \psset{PointSymbol=none,PointName=none,algebraic} \psaxes[Dx=1,Dy=1,ysubticks=4,xsubticks=2, labelsep=-0.5cm,xlabelPos=axis,ylabelPos=axis,subticksize=1,xticksize=-2 2 ,yticksize=-5 5,tickcolor=orange,subtickcolor=orange, axesstyle=frame]{->}(0,0)(-5,-2)(5,2) \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%% % Fonction k %%%%%%%%%%%%%% Représentation de la fonction $k$ \begin{pspicture}(-5,-4)(5,4) \psset{PointSymbol=none,PointName=none,algebraic} \psaxes[Dx=1,Dy=1,ysubticks=4,xsubticks=2, labelsep=-0.5cm,xlabelPos=axis,ylabelPos=axis,subticksize=1,xticksize=-2 2 ,yticksize=-5 5,tickcolor=orange,subtickcolor=orange, axesstyle=frame]{->}(0,0)(-5,-2)(5,2) \end{pspicture} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip \emph{Dans cet exercice, on étudie un système \og entrée-sortie \fg.} \emph{La partie A permet de déterminer la réponse à l'échelon unité.} \emph{Les parties B et C permettent d'étudier les perturbations résultant d'une coupure de $0,1$~seconde.} On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l l} U(t) &= & 0 & \text{si}~ t < 0\\ U(t) &= & 1 & \text{si}~ t \geqslant 0\\ \end{array}\right.\] Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $] - \infty~;~ 0[$. \medskip \textbf{Partie A :} \medskip On considère la fonction causale $s_{1}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : \[s_{1}(t) + \int_{0}^t s_{1}(u)\:\text{d}u = U(t). \] On note $S_{1}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $S_{1}(p) = \dfrac{1}{p + 1}$. \item En déduire $s_{1}(t)$ pour tout nombre réel $t$. La courbe représentative de la fonction $s_{1}$ est donnée par la \textbf{figure 1 du document réponse.} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip On considère la fonction causale $s_{2}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : \[s_{2}(t) + \int_{0}^t s_{2}(u)\:\text{d}u = U(t) - U(t-1) .\] On note $S_{2}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{2}$. \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement la fonction $e_{2}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : \[e_{2}(t) = U(t) - U(t - 1).\] \item Déterminer $S_{2}(p)$. \item \begin{enumerate} \item En déduire $s_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$. \item Justifier que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} s_{2}(t)&=&0&\text{si}~ t < 0\\ s_{2}(t)&=&\text{e}^{-t}& \text{si}~ 0 \leqslant t \leqslant 1\\ s_{2}(t)&=&-\text{e}^{-t}(\text{e} - 1)& \text{si}~ t \geqslant 1\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item Établir le sens de variation de la fonction $s_{2}$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$. \item Calculer $s_{2}\left(1^+ \right) - s_{2}\left(1^- \right)$. \item On appelle $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $s_{2}$. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &1 &1,1&1,5& 2 & 2,5\\ \hline $s_{2}(t)$ & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. \item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur la figure 2 du document réponse, à rendre avec la copie. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C :} \medskip On considère la fonction causale $s_{3}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : \[s_{3}(t) + \int_{0}^t s_{3}(u)\:\text{d}u = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1). \] \begin{enumerate} \item Soit la fonction $e_{3}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : $e_{3}(t) = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $e_{3}(t) = e_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $]- \infty~;~ 1,1[$. \item Déterminer $e_{3}(t)$ pour $t \geqslant 1,1$. \item Représenter graphiquement la fonction $e_{3}$. \medskip Pour la suite, on admet que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} s_{3}(t)& =& s_{2}(t)& \text{si}~ t < 1,1\\ s_{3}(t)&=&\text{e}^{-t}\left(1 - \text{e}+ \text{e}^{1,1}\right)& \text{si}~ t \geqslant 1,1.\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item Établir le sens de variation de la fonction $s_{3}$ sur l'intervalle $]1,1~;~+ \infty[$. \item Calculer $s_{3}\left(1,1^{+}\right) - s_{3}\left(1,1^{-}\right)$. \item On appelle $\mathcal{C}_{3}$ la courbe représentative de la fonction $s_{3}$. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &1,1&1,5& 2 & 2,5\\ \hline $s_{3}(t)$ & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. \item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{3}$ sur la figure 3 du document réponse, à rendre avec la copie. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse \no 2, à rendre avec la copie (exercice 2)} \bigskip \textbf{Figure 1 : représentation de la fonction} \boldmath $s_{1}$ \unboldmath \bigskip \psset{xunit=4cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{2.5}{2.71828^(-x)} %{2.718928 x neg exp} \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0) \uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}\uput[dl](0,0){O} \psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0) \end{pspicture} \bigskip \textbf{Figure 2 : représentation de la fonction }\boldmath $s_{2}$ \unboldmath \bigskip \psset{xunit=4cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.71828^(-x)} %{2.718928 x neg exp} \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0) \uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}\uput[dl](0,0){O} \psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0) \end{pspicture} \bigskip \textbf{Figure 3 : représentation de la fonction }\boldmath $s_{3}$ \unboldmath \bigskip \psset{xunit=4cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.71828^(-x)} %{2.718928 x neg exp} \psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0) \uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}\uput[dl](0,0){O} \psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0) \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2009 Nouvelle-Calédonie %%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2009Caledo}{} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ novembre 2008 - groupement A Nouvelle-Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} On désigne par $\alpha$ un nombre réel positif tel que $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$. On considère la fonction $f$ définie sur $R$, paire, périodique de période $2\pi$, telle que : \[\left\{\begin{array}{l c r c l} f(t)&=& 1& \quad \text{si}& 0 \leqslant t \leqslant \alpha\\ f(t)&=&0& \quad \text{si}&\alpha < t < \pi - \alpha\\ f(t)&=&-1& \quad \text{si}&\pi - \alpha \leqslant t \leqslant \pi\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item \textbf{Dans cette question}, le nombre réel $\alpha$ vaut $\dfrac{\pi}{3}$. Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi~;~ 2\pi]$. \item On appelle $S$ la série de Fourier associée à la fonction $f$ On note $S(t)= a_{0} + \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n} \cos (nt) + b_{n} \sin(nt)\right)$. Le but de cette question est de calculer les coefficients de la série de Fourier $S$ pour une valeur $x$ quelconque du nombre réel $\alpha $ tel que $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Calculer $a_{0}$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur une période. \item Déterminer $b_{n},~n$ désignant un nombre entier naturel strictement positif. \item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a : \[a_{n} = \dfrac{2}{n\pi}\left[1 - (- 1)^n\right] \sin (n\alpha).\] \end{enumerate} \item Déterminer la valeur $\alpha_{0}$ de $\alpha$ pour laquelle on $a_{3} = 0$. \item \textbf{Pour toute la suite de l'exercice}, on se place dans le cas où $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$. \medskip \textbf{Rappels :} Si $h$ désigne une fonction périodique de période $T$, le carré de la valeur efficace $H$ de la fonction $h$ sur une période est : \[H^2 = \dfrac{1}{T}\int_{r}^{r + T} [h(t)]^2\:\text{d}t.\] $r$ désignant un nombre réel quelconque. Si les coefficients de Fourier de la fonction $h$ sont $a_{0},~a_{n}$ et $b_{n}$ alors : \[\dfrac{1}{T}\int_{r}^{r + T} [h(t)]^2\:\text{d}t = a_{0}^2 + \sum_{n = 1}^{+ \infty}\dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2} ~~\text{formule de Parseval}\] \begin{enumerate} \item Calculer $F^2$, carré de la valeur efficace de la fonction $f$ sur une période. \item On définit sur $\R$ la fonction $g$ par : \[g(t) = a_{0} +a_{1} \cos (t) + b_{1} \sin{t}+ a_{2} \cos (2t)+ b_{2} \sin (2t).\] Montrer que $g(t) = \dfrac{2\sqrt{3}}{\pi} \cos(t)$ pour tout nombre réel $t$. \item Calculer $G^2$, carré de la valeur efficace de la fonction $g$ sur une période. \item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du quotient $\dfrac{G^2}{F^2}$. \medskip \emph{Ce dernier résultat montre que la fonction $g$ constitue une assez bonne approximation de la fonction $f$.} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} On s'intéresse à un système entrée-sortie. Dans les parties A et B, on étudie la réponse de ce système à deux entrées différentes. Les parties A et B sont indépendantes dans leurs résolutions respectives. \medskip \textbf{Partie A} On considère l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$ suivante : \[ y"(t) + 4 y(t) = 8 \quad \left(\text{E}_{1}\right)\] où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la solution particulière constante de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$. \item Déterminer la solution générale de l'équation $\left(\text{E}_{1}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$, solution de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$ et qui vérifie $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$ est définie sur $\R$ par : \[f(t) = 2[1- \cos(2t)]. \] \item La fonction $f$ est périodique. En donner une période. Préciser, sans justification, le maximum et le minimum de la fonction $f$. \item Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[ 0~;~ 2\pi]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l c l} U(t)&=&0 &\quad \text{si}& t <0\\ U(I)&=&1& \quad \text{si}& t \geqslant 0\\ \end{array}\right.\] Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $] -\infty~;~ 0[$. On considère la fonction $e$ définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par : \[e(t) = 8 \left[U(t) - U\left(t -\dfrac{\pi}{2}\right) + U(t - \pi) - U\left(t - \dfrac{3\pi}{2}\right) \right]\] On considère la fonction causale $g$ qui vérifie les conditions $g(0) = 0$ et $g'(0) = 0$, ainsi que la relation $\left(\text{E}_{2}\right)$ suivante : \[y"(t) + 4y(t) = e(t) \quad \left(\text{E}_{2}\right)\] On admet que la fonction $g$ possède une transformée de Laplace notée $G$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter la fonction $e$ sur l'intervalle $[0~ ;~ 2\pi]$. \item On appelle $\mathcal{E}$ la transformée de Laplace de la fonction $e$. Déterminer $\mathcal{E}(p)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation $\left(\text{E}_{2}\right)$, montrer que : \[G(p) = \dfrac{8}{p\left(p^2 +4\right)}\left(1 - \text{e}^{- p \frac{\pi}{2}} + \text{e}^{-p\pi} - \text{e}^{- p\frac{3\pi}{2}}\right).\] \item Vérifier que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(t) = 2[1 - \cos(2t)]U(t)$ a pour transformée de Laplace la fonction $H$ définie par \[H(p) = \dfrac{8 }{p\left(p^2 +4\right)}.\] \item Donner une expression de la fonction $g$, en utilisant éventuellement la fonction $h$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On donne les expressions de $g(t)$ sur les intervalles $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi \right[$ et $\left[\dfrac{3\pi}{2}~;~+ \infty \right[$ : \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \[\left\{\begin{array}{l c l c l} g(t)&=&-4 \cos (2t)&\quad \text{si} & t \in \left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi \right[\\ g(t)&=&-8\cos (2t)& \text{si} & t \in \left[\dfrac{3\pi}{2}~;~+ \infty \right[\\ \end{array}\right.\] Donner des expressions similaires de $g(t)$ pour les intervalles $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $\left[\pi~;~\dfrac{3\pi}{2}\right[$. \item On a représenté sur \textbf{l'annexe, à rendre avec la copie} la fonction $g$ sur les intervalles $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi \right[$ et $\left[\dfrac{3\pi}{2}~;~+ \infty \right[$. Compléter le graphique en traçant la représentation graphique de $g$ sur les intervalles $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $\left[ \pi~;~ \dfrac{3\pi}{2}\right[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \vspace{0,5cm} à rendre avec la copie \vspace{2cm} \psset{trigLabels=true,labelFontSize=\scriptstyle,yunit=0.56cm} %\psset{xunit=\pstRadUnit} \begin{pspicture}(-0.5,-10)(6,10) \psaxes[xunit=1.5707,trigLabelBase=2,dx=1]{->}(0,0)(-0.5,-10)(5,10) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1.5708}{3.14159}{-4*cos(2*x)} %{x 2 mul RadtoDeg cos 4 mul neg} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{4.7124}{7.85398}{-4*cos(2*x)} %{x 2 mul RadtoDeg cos 8 mul neg} \uput[d](7.8,0){$t$} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2010A1}{} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2010 - groupement A1}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \emph{Dans cet exercice, on se propose d'étudier dans la partie A une perturbation d'un signal continu et, dans la partie B, la correction de cette perturbation par un filtre analogique.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cet exercice, on note $\tau$ une constante réelle appartenant à l'intervalle $[0~;~2\pi]$ et on considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, telles que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] pour tout nombre réel $t,~f(t) = 1$ ; \item[$\bullet~$] la fonction $g$ est périodique de période $2\pi$ et : \[\left\{\begin{array}{l c l l} g(t) &=& 0 &\text{si}~0 \leqslant t < \tau\\ g(t) &=& 1 &\text{si}~\tau \leqslant t < 2\pi\\ \end{array}\right.\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout nombre réel $t$, on pose : \[h(t)= f(t)- g(t)\] La fonction $h$ ainsi définie représente la perturbation du signal. \begin{enumerate} \item Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées sur le \textbf{document réponse \no 1}. (figures 1 et 2). Sur la figure 3 du \textbf{document réponse \no 1}, tracer la représentation graphique de la fonction $h$. \item On admet que la fonction $h$ est périodique de période $2\pi$. Pour tout nombre réel $t$, on définit la série de Fourier $S(t)$ associée à la fonction $h$ par \[S(t) = a_{0} + \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n} \cos (nt) + b_{n} \sin (nt)\right)\] \begin{enumerate} \item Déterminer $a_{0}$. \item Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 1. Calculer \[\int_{0}^{\tau} \cos (nt)\:\text{d}t\] et en déduire que \[a_{n} = \dfrac{1}{n\pi} \sin (n \tau).\] \item Montrer que pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1, \[b_{n} = \dfrac{1}{n\pi}(1 - \cos(n\tau)).\] \end{enumerate} \item Soit $n$ un nombre entier naturel. On associe à $n$ le nombre réel $A_{n}$ tel que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A_{0} = a_{0}$ \item[$\bullet~$] $A_{n} = \sqrt{\dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}}$ si $n$ est un nombre entier supérieur ou égal à 1. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $A_{n} = \dfrac{1}{n\pi}\sqrt{1 - \cos (n\tau)}.$ \medskip \textbf{On suppose, pour toute la suite de l'exercice, que $\tau = \dfrac{\pi}{4}$.} \item Compléter le \textbf{tableau 1} du \textbf{document réponse \no~2} avec des valeurs approchées à $10^{-5}$ près. \item La valeur efficace $h_{\text{eff}}$ de la fonction $h$ est telle que : \[h_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}[h(t)]^2\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Calculer $h_{\text{eff}}^2$. \item Calculer une valeur approchée à $10^{-4}$ près du nombre réel $P$ défini par $P = \displaystyle\sum_{n=0}^3 A_{n}^2$. \item Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près du quotient $\dfrac{P}{h_{\text{eff}}^2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On rappelle que j est le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$. \medskip On considère la fonction de transfert $H$ définie, pour tout nombre complexe $p$ différent de $- \dfrac{3}{2}$ par: \[H(p) = \dfrac{3}{2p+3}.\] On définit la fonction $r$, pour tout nombre réel positif $\omega$, par : \[r(\omega) = |H(\text{j}\omega)|.\] Le but de cette partie est de déterminer le spectre d'amplitude du signal, noté $k$, obtenu en filtrant la perturbation $h$ au moyen d'un filtre dont la fonction de transfert est $H$. \begin{enumerate} \item Montrer que $r(\omega) = \dfrac{3}{\sqrt{9 + 4\omega^2}}$. \item Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit le nombre réel positif $B_{n}$ par : \[B_{n} = r(n) \times A_{n},\] où $A_{n}$ est le nombre réel positif défini dans la question 3 de la partie A. Compléter le tableau 2 du \textbf{document réponse \no 2}, avec des valeurs approchées à $10^{-5}$ près. \medskip \emph{Le spectre d'amplitude du signal filtré $k$ est donné par la suite des nombres réels $B_{n}$.} \medskip \item La figure 4 sur le \textbf{document réponse \no 2} donne le spectre d'amplitude de la perturbation $h$, c'est-à-dire une représentation graphique de la suite des nombres réels $A_{n}$. \medskip Sur la figure 5 du \textbf{document réponse \no 2}, on a commencé de même à représenter la suite des nombres réels $B_{n}$. Compléter cette représentation graphique à l'aide du tableau de valeurs \no 2 du document réponse \no 2. \item Une valeur approchée à $10^{-4}$ près du carré de la valeur efficace du signal $k$ est $k_{\text{eff}}^2 \approx \nombre{0,0516}$. \begin{enumerate} \item CaLculer une valeur approchée à $10^{-4}$ près du nombre réel $Q$ défini par $Q = \displaystyle\sum_{n=0}^3 B_{n}^2 $. \item Calculer une valeur approchée à $10^{-1}$ près du quotient $\dfrac{Q}{k_{\text{eff}}^2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{On a étudié le spectre de Fourier d'une perturbatîon d'un signal. On ne peut pas négliger les raies de hautes fréquences de ce spectre. Le filtrage dissipe une part importante de l'énergie de la perturbation et les raies de hautes fréquences de la perturbation filtrée sont négligeables.} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip On considère un système physique dont l'état est modélisé par la fonction $y$ de la variable réelle $t$, solution de l'équation différentielle : \[y''(t) + 4y(t) = e(t) \qquad (1),\] où la fonction $e$ représente une contrainte extérieure au système. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on suppose que $e(t) = 20$ pour tout nombre réel $t$. L'équation,différentielle (1) s'écrit alors sous la forme : \[y''(t) + 4y(t) = 20 \qquad(2).\] \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction constante $h$ solution particulière de L'équation différentielle (2). \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle (2). \item En déduire l'expression de la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (2) qui vérifie les conditions $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dqns cette partie, on étudie un moyen d'amener le système vers un état d'équilibre de manière \og lisse \fg. À cette fin on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonction $e$ définie par: \[e(t) = 8t U(t)- 8(t - \tau)U(t - 1).\] où $\tau$ désigne un nombre réel strictement positif. On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l l} U(t)&=&0& \text{si}~t < 0\\ U(t)&=&1& \text{si}~t \geqslant 0 \end{array}\right. .\] Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$. On appelle $g$ la fonction causale telle que : \[g''(t) + 4g(t) = e(t) \] et vérifiant : \[g(0) = 0 ~\text{et}~ g'(0)= 0.\] On note $G(p)$ la transformée de Laplace de la fonction $g$ et $E(p)$ la transformée de Laplace de la fonction $e$. \begin{enumerate} \item Exprimer $E(p)$ en fonction de $p$ et de $\tau$. \item En déduire que : \[G(p) = \dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)}\left(1 - \text{e}^{- \tau p} \right).\] \item Déterminer les constantes réelles $A$ et $B$ telles que : \[\dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)} = \dfrac{A}{p^2} + \dfrac{B}{p^2 + 4}.\] \item Déterminer alors l'original de $\dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)}$. \item En déduire que, pour tout nombre $t$ : \[g(t) = g_{0}(t) - g_{0} (t - \tau) \quad \text{avec} ~~ g_{0}(t) = (2t - \sin(2t)) U(t).\] \item Montrer que pour $t \geqslant \tau$, on a \[g(t) = 2\tau - \sin (2t) + \sin (2t- 2\tau).\] \item \textbf{On suppose maintenant que $\tau = \pi.$} \begin{enumerate} \item Simplifier l'expression de $g(t)$ pour $t \geqslant \tau$. \item La courbe représentative de la fonction $e$, pour $\tau = \pi$, est tracée sur la figure du \textbf{document réponse \no 3}. Sur le même graphique, tracer la coutbe représentative de la fonotion $g$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse \no 1, à rendre avec la copie (exercice 1)} \bigskip \textbf{Figure 1 :} courbe représentative de $f$ \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-1)(6,3) \psline[linewidth=1.25pt](-6,2)(6,2)\uput[ul](0,2){1} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8,gridwidth=0.8pt](0,0)(-6,-1)(6,3) \multido{\n=-5.5+1.0}{12}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,3)} \uput[d](-6,0){$-3\pi$} \uput[d](-4,0){$-2\pi$} \uput[d](-2,0){$-\pi$} \uput[d](2,0){$\pi$} \uput[d](4,0){$2\pi$} \uput[d](6,0){$3\pi$} \uput[d](0,0){$0$} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \bigskip \textbf{Figure 2 :} courbe représentative de $g$ \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-1)(6,3) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=white](-6,0)(6,0)\uput[ul](0,2){1} %\psline[linewidth=1.25pt](-6,2)(6,2) \psline[linewidth=1.25pt](-6.2,2)(-4,2)\psarc[linewidth=1.25pt](-3.4,2){6mm} {165}{195} \psline[linewidth=1.25pt](-3.5,2)(0,2)\psarc[linewidth=1.25pt](0.6,2){6mm} {160}{200}\rput(-3.5,2){$\bullet$} \psline[linewidth=1.25pt](0.5,2)(4,2)\psarc[linewidth=1.25pt](4.6,2){6mm} {165}{195}\rput(0.5,2){$\bullet$} \psline[linewidth=1.25pt](4.5,2)(6.2,2)\rput(4.5,2){$\bullet$} \psline[linewidth=1.25pt](-4,0)(-3.5,0)\psarc[linewidth=1.25pt](-2.9,0){6mm} {160}{200}\rput(-4,0){$\bullet$} \psline[linewidth=1.25pt](0,0)(0.5,0)\psarc[linewidth=1.25pt](1.1,0){6mm} {160}{200}\rput(0,0){$\bullet$} \psline[linewidth=1.25pt](4,0)(4.5,0)\psarc[linewidth=1.25pt](5.1,0){6mm} {160}{200}\rput(4,0){$\bullet$} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8,gridwidth=0.8pt](0,0)(-6,-1)(6,3) \multido{\n=-5.5+1.0}{12}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,3)} \uput[d](-6,0){$-3\pi$} \uput[d](-4,0){$-2\pi$} \uput[d](-2,0){$-\pi$} \uput[d](2,0){$\pi$} \uput[d](4,0){$2\pi$} \uput[d](6,0){$3\pi$} \uput[d](0,0){$0$} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \bigskip \textbf{Figure 3 :} courbe représentative de $h$ \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-1)(6,3) \uput[ul](0,2){1} %\psline[linewidth=1.25pt](-6,2)(6,2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8,gridwidth=0.8pt](0,0)(-6,-1)(6,3) \multido{\n=-5.5+1.0}{12}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,3)} \uput[d](-6,0){$-3\pi$} \uput[d](-4,0){$-2\pi$} \uput[d](-2,0){$-\pi$} \uput[d](2,0){$\pi$} \uput[d](4,0){$2\pi$} \uput[d](6,0){$3\pi$} \uput[d](0,0){$0$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse \no 2, à rendre avec la copie (exercice 1)} \bigskip \textbf{Tableau 1} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $A_{n}$&\nombre{0,12500}&\nombre{0,17227}&&\nombre{0,13863}&&\nombre{0,08318}&\nombre{0,05305}&\nombre{0,02461}\\ \hline \hline $n$&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline $A_{n}$&&\nombre{0,01914}&\nombre{0,03183}&\nombre{0,03781}&&\nombre{0,03199}&\nombre{0,02274}&\nombre{0,01148}\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Tableau 2} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $B_{n}$&&\nombre{0,14334}&&\nombre{0,06200}&\nombre{0,03952}&\nombre{0,02390}&\nombre{0,01287}&\nombre{0,00516}\\ \hline\hline $n$&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline $B_{n}$&\nombre{0,00000}&\nombre{0,00315}&\nombre{0,00472}&\nombre{0,00511}&&\nombre{0,00387}&\nombre{0,00242}&\nombre{0,00114}\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Figure 4} \medskip \psset{xunit=0.75cm,yunit=25cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-0.03)(15.5,0.22) \psframe(-0.4,-0.03)(16,0.22) \psline[linewidth=4pt](0,0)(0,0.125) \psline[linewidth=4pt](1.,0)(1.,0.172) \psline[linewidth=4pt](2.,0)(2.,0.159) \psline[linewidth=4pt](3.,0)(3.,0.139) \psline[linewidth=4pt](4.,0)(4.,0.113) \psline[linewidth=4pt](5.,0)(5.,0.083) \psline[linewidth=4pt](6.,0)(6.,0.053) \psline[linewidth=4pt](7.,0)(7.,0.025) \psline[linewidth=4pt](9.,0)(9.,0.019) \psline[linewidth=4pt](10.,0)(10.,0.032) \psline[linewidth=4pt](11.,0)(11.,0.038) \psline[linewidth=4pt](12.,0)(12.,0.038) \psline[linewidth=4pt](13.,0)(13.,0.032) \psline[linewidth=4pt](14.,0)(14.,0.022) \psline[linewidth=4pt](15.,0)(15.,0.011) \psaxes[comma=true,Dy=0.02](0,0)(-0.7,0)(15.5,0.21) \multido{\n=0.00+0.02}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](-0.5,\n)(16,\n)} \end{pspicture} \bigskip \textbf{Figure 5} \bigskip \psset{xunit=0.75cm,yunit=25cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-0.03)(15.5,0.22) \psframe(-0.5,-0.03)(16,0.22) \psline[linewidth=4pt](0.,0)(0.,0.125) \psline[linewidth=4pt](1.,0)(1.,0.14334) \psline[linewidth=4pt](2.,0)(2.,0.09549) \psaxes[comma=true,Dy=0.02](0,0)(-0.7,0)(15.5,0.21) \multido{\n=0.00+0.02}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](-0.5,\n)(16,\n)} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse \no 3, à rendre avec la copie (exercice 2)} \vspace{2cm} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-4,-2)(13,11) \multido{\n=-4+1}{18}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,10)} \multido{\n=-2+1}{13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-4,\n)(13,\n)} \multido{\n=2+1}{9}{\uput[l](0,\n){\n$\pi$}} \uput[l](0,1){$\pi$}\uput[dl](0,0){O}\uput[l](0,-1){$-\pi$}\uput[l](0,-2){$-2\pi$} \uput[d](4,0){$\pi$}\uput[d](8,0){$2\pi$}\uput[d](12,0){$3\pi$} \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(4,8)(13,8) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(-4,0)(13,0) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,-2)(0,10) \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2010 A2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2010A2}{} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2010 - groupement A2}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On rappelle qu'une courbe de Bézier associée à $n + 1$ points de contrôle successifs $A_{i},~0 \leqslant i \leqslant n$, est l'ensemble des points $M(t)$ tels que : \[\vect{\text{O}M(t)} = \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) \vect{\text{O}A_{i}}\quad \text{où}~~B_{i,n}(t) = \text{C}_{n}^i t^{i}(1 - t)^{n -i}~~ \text{avec}~ t \in [0~;~1].\] \medskip \textbf{Partie A} \medskip L'objectif de cette partie est d'étudier la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$ associée aux quatre points de contrôle successifs A(4~;~0), S(12~;~6), R(0~;~6) et O(0~;~0). \begin{enumerate} \item Développer, réduire et ordonner le polynôme $B_{2,~3}(t)$. \item On admet que : \[\begin{array}{l c l} B_{0,3}(t) &=& - t^3 + 3 t^2 - 3 t + 1\\ B_{1,3}(t) &=& 3 t^3 - 6 t^2 + 3 t\\ B_{3,3}(t) &=&t^3. \end{array}\] Montrer que les coordonnées du point $M(t)$ de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ sont : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& f_{1}(t) = 32t^3 - 60t^2 + 24t + 4\\ y&=&g_{1}(t) = -18t^2 +18t \end{array}\right. \quad \text{pour} t \in [0~;~1].\] \item En utilisant la courbe $\mathcal{C}_{1}$ tracée sur le \textbf{document réponse \no 1}, compléter le tableau des variations conjointes des deux fonctions $f_{1}$ et $g_{1}$ figurant sur ce même document réponse. \item Calculer la dérivée de la fonction $g_{1}$. En déduire la valeur $t_{1}$ du paramètre $t$ pour laquelle l'ordonnée du point $M(t)$ est maximale. \item Déterminer la valeur $t_{0}$ du paramètre $t$ pour laquelle l'abscisse du point $M(t)$ est maximale. \item Montrer que le vecteur $\vect{\text{AS}}$ est tangent à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point A. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On désigne par $a$ un nombre réel. On souhaite compléter la figure du \textbf{document réponse \no 1} avec une courbe de Bézier $\mathcal{C}_{2}$ en respectant les contraintes suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] les points de contrôle successifs de la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{2}$ sont O(0~;~0), E(0~;~a), F$\left(\dfrac{4}{3}~;~-2\right)$ et A(4~;~0) ; \item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{2}$ passe par le point G$\left(1~;~- \dfrac{3}{2}\right)$ pour la valeur $\dfrac{1}{2}$ du paramètre $t$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Sous ce système de contraintes, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont des tangentes communes aux points A et O. \begin{enumerate} \item Dans les conditions énoncées ci -dessus; la représentation paramétrique de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ est de la forme : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&f_{2}(t) = 4t^2\\ y&=&g_{2}(t) = 3(a + 2)t^3 - 6(a + 1)t^2 + 3at \end{array}\right. \quad t \in [0~ ;~1].\] Montrer que $a = -2$. \item Pour chaque valeur de $t$, l'algorithme de construction par barycentres successifs (appelé algorithme de De Casteljau), permet de construire, le point de paramètre $t$ de la courbe de Bézier. Utiliser cet algorithme, pour la valeur $\dfrac{1}{2}$ du paramètre $t$, pour retrouver graphiquement la position du point G. \textbf{Laisser apparentes les étapes de la construction.} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur le \textbf{document réponse \no 1}. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip On considère un système physique dont l'état est modélisé par la fonction $y$ de la variable réelle $t$, solution de l'équation différentielle : \[ y''(t) + 4y(t) = e(t) \quad (1),\] où la fonction $e$ représente une contrainte extérieure au système. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on suppose que $e(t) = 20$ pour tout nombre réel $t$. L'équation différentielle (1) s'écrit alors sous la forme : \[y''(t) + 4y(t) = 20 \quad (2).\] \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction constante $h$ solution particulière de l'équation différentielle (2). \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle (2). En déduire l'expression de la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (2) qui vérifie les conditions $f(0)= 0$ et $f'(0) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on étudie un moyen d'amener le système vers un état d'équilibre de manière \og lisse \fg. À cette fin, on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonction $e$ définie par : \[e(t) = 8 t U(t)- 8(t - \tau )U(t - \tau),\] où $\tau$ désigne un nombre réel strictement positif. On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l l l} U(t)&=&0& \text{si}& t < 0\\ U(t)&=&1& \text{si}& t \geqslant 0. \end{array}\right.\] Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$. On appelle $g$ la fonction causale telle que : \[g''(t) + 4g(t) = e(t) \] et vérifiant : \[g(0) = 0 \quad \text{et} \quad g'(0)= 0.\] \medskip On note $G(p)$ la transformée de Laplace de la fonction $g$ et $E(P)$ la transformée de Laplace de la fonction $e$. \begin{enumerate} \item Exprimer $E(P)$ en fonction de $p$ et de $\tau$. \item En déduire que : \[G(p) = \dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)}\left(1 - \text{e}^{- \tau p}\right) \] \item Déterminer les constantes réelles $A$ et $B$ telles que : \[\dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)} = \dfrac{A}{p^2} + \dfrac{B}{p^2 + 4}\] \item Déterminer alors l'original de $\dfrac{8}{p^2\left(p^2 + 4\right)}$ \item En déduire que, pour tout nombre réel $t$ : \[g(t) = g_{0}(t) - g_{0}(t - \tau) \quad \text{avec}~ g_{0}(t) = (2t - \sin(2t)) U(t).\] \item Montrer que pour $t \geqslant \tau$, on a : \[g(t) = 2\tau - \sin(2t) + sin (2t - 2\tau). \] \item \textbf{On suppose maintenant que}\boldmath $\tau = \pi$.\unboldmath \begin{enumerate} \item Simplifier l'expression de $g(t)$ pour $t \geqslant \tau$. \item La courbe représentative de la fonction $e$, pour $\tau = \pi$, est tracée sur la figure du \textbf{document réponse \no 2}. Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction $g$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse \no 1, à rendre avec la copie (exercice 1)} \bigskip \psset{unit=1.3333cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(8,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(8,6) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-1,-2)(8,6) \parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{32*t^3-60*t^2+24*t+4|18*t-18*t^2} %{32 t 3 exp mul 60 t dup mul mul sub 24 t mul add 4 add 18 t mul 18 t dup mul mul sub} \uput[dr](3,4){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \vspace{1cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(7,7) \psframe(7,7) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,4)(7,4)\psline(0,5)(7,5)\psline(0,6)(7,6) \psline(1,0)(1,7) \uput[u](0.5,6){$t$} \uput[u](1.2,6){$0$} \uput[u](3,6){$t_{0}$} \uput[u](5,6){$t_{1}$} \uput[u](6.8,6){$1$} \uput[u](0.5,5){$f'_{1}(t)$} \uput[u](0.5,4){$g'_{1}(t)$}\uput[u](2,5){$+$} \uput[u](3,5){$0$} \uput[u](5,5){$-$} \uput[u](6.8,5){$0$} \rput(0.5,3){$f_{1}(t)$}\rput(0.5,1){$g_{1}(t)$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse \no 2, à rendre avec la copie (exercice 2)} \vspace{2cm} \psset{xunit=3cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(-1,-2.2)(3.2,10.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-2.2)(3.2,10.5) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-2.)(3.,10.) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-1,0)(0,0)(1,8)(3.2,8) \multido{\n=-2+1}{13}{\uput[l](0,\n){\n $\pi$}} \multido{\n=1+1}{3}{\uput[d](\n,0){\n $\pi$}} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2009 Nlle Calédonie %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2010Caledo}{} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Groupe A} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie }} \rfoot{\small{novembre 2009}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ novembre 2009 - groupement A Nouvelle-Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip Dans cet exercice, on s'intéresse à un système entrée-sortie. \medskip Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. \medskip \textbf{Partie A : étude du système pour une entrée nulle} \medskip On considère l'équation différentielle du second ordre suivante : \[y''(t) + 4y(t) = 0 \quad \left(E_{1}\right)\] où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, deux fois dérivable sur $\R$. \begin{enumerate} \item Donner la solution générale de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ \item Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ qui vérifie : $f(0) = 0$ et $f'(0) = 2$. La représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$ est donnée sur la feuille annexe. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude du système soumis à un contrôle} \medskip Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$. On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie sur $\R$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l l} U(t)&=&0& \text{si}~ t < 0\\ U(t)&=& 1& \text{si}~ t \geqslant 0\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item On considère la fonction causale $e$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : \[e(t) = 2U(t) - 2U\left(t - \dfrac{\pi}{4}\right).\] \begin{enumerate} \item Construire la courbe représentative de la fonction $e$ dans un repère orthogonal. \item On note $E$ la transformée de Laplace de la fonction $e$. Déterminer $E(p)$. \end{enumerate} \item On considère la fonction causale $s$, telle que : \[4\int_{0}^t s(u)\:\text{d}u + s'(t) = e(t)\quad \text{et}~  s\left(0^+\right) = 0.\] On admet que la fonction $s$ et sa dérivée possèdent chacune une transformée de Laplace. \medskip On note $S$ la transformée de Laplace de la fonction $s$. \begin{enumerate} \item Déterminer une expression de $S(p)$. \item En déduire une expression de $s(t)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} s(t)& = &0&\text{si}~ t < 0\\ s(t)& =& \sin (2t) &\text{si}~0 \leqslant t < \dfrac{\pi}{4}\\ s(t)& =& \sin (2t) - \sin \left(2t - \dfrac{\pi}{2}\right)&\text{si}~t \geqslant \dfrac{\pi}{4} \end{array}\right.\] \item Établir que : $s\left(\dfrac{\pi^{-}}{4}\right) = s\left(\dfrac{\pi^{+}}{4}\right)$. \item Vérifier que pour tout nombre réel $t$ supérieur ou égal à $\dfrac{\pi}{4}$, on a : \[s(t) = \sqrt{2} \cos \left[ 2\left(t - \dfrac{\pi}{8}\right)\right].\] \item Résoudre l'équation $s(t) = 0$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$. \end{enumerate} \item Tracer successivement sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, les courbes représentatives sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$ des fonctions : \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} $t \longmapsto \cos (2t)$,& $t \longmapsto \cos \left[ 2\left(t - \dfrac{\pi}{8}\right)\right]$& et $t \longmapsto s(t)$.\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Partie A :} \medskip Une entreprise fabrique des pièces en grande série. Une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505. L'entreprise dispose d'une machine de contrôle des pièces fabriquées. On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $C$ l'évènement : \og la pièce est conforme \fg. On note $A$ l'évènement : \og la pièce est acceptée par la machine de contrôle \fg. Une étude statistique a été conduite, au terme de laquelle on a pu estimer que : \[ p(A) = 0,95,~ p\left(C \cap \overline{A}\right)= 0,01 ~\text{et}~ p\left(\overline{C} \cap A\right) = 0,005.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une phrase, donner la signification des évènements $C \cap \overline{A}$ et $\overline{C} \cap A$. Ces deux évènements correspondent aux cas où la machine de contrôle commet une erreur. \item Calculer la probabilité que la machine de contrôle commette une erreur. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une pièce soit conforme, sachant qu'elle est refusée. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse d'une pièce en grammes. On admet que $X$ suit une loi nonnale de moyenne 7,5 et d'écart type $\sigma$ où $\sigma$ désigne un nombre réel strictement positif. \begin{enumerate} \item Après une période de production, la machine de fabrication a subi un dérèglement brutal. L'écart type $\sigma$ vaut alors $0,015$. On rappelle qu'une pièce est confonne si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505. \item Calculer la probabilité qu'une pièce soit conforme. \item Calculer la valeur de $\sigma$ pour laquelle la probabilité qu'une pièce soit conforme est égale à $0,99$. \item Dans cette question, on suppose que $\sigma$ vaut 0,002 et qu'à la suite d'un nouveau dérèglement, la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $7,502$ et d'écart type $0,002$. Calculer la probabilité qu'une pièce, choisie au hasard, soit conforme. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C :} \medskip Les pièces acceptées par la machine de contrôle sont emballées par lots de 100. On prélève au hasard un lot. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~pièces. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 100~pièces, associe le nombre de pièces non conformes. On admet que la probabilité qu'une pièce soit non conforme, sachant qu'elle a été acceptée, est \nombre{0,0053}. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Donner l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un lot ne contienne que des pièces conformes. On donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \psset{xunit=\pstRadUnit,yunit=1cm} \psset{trigLabels=true,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-1,-20)(17,3) \rput(6,3.25){\textbf{Annexe à rendre avec la copie}} \uput[r](0,2.5){$y = f(t)$} \uput[r](0,-3.5){$y = \cos (2t)$}\uput[l](0,-4){1} \uput[r](0,-9.5){$y = \cos \left[2\left(t - \dfrac{\pi}{8}\right) \right]$}\uput[l](0,-10){1} \uput[r](0,-15.5){$y = s(t)$}\uput[l](0,-16){1} \psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt](-0.35,-6)(17,-6) \psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt](0,-8)(0,-4) \psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt,linecolor=black](-0.35,-12)(17,-12) \psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt](0,-14)(0,-10) \psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt,linecolor=black](-0.35,-18)(17,-18) \psline[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt](0,-20)(0,-16) \psaxes[xunit=0.5cm,linewidth=1.25pt,trigLabelBase=8]{->}(0,0)(-0.35,-1)(17,3) \psgrid[xunit=0.5cm,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-0.35,-20)(17,3) \psplot[xunit=1.275cm,linecolor=blue]{0}{6.28}{sin(2*x)} %{x 2 mul RadtoDeg sin} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2009 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% A1 Métropole 2011 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2011A1}{} \lfoot{\small{Groupe A1}} \rfoot{\small{10 mai 2011}} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2011 - groupement A1}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Spécialités :} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Électrotechnique \item Génie optique \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une source émet un signal binaire composé de $0$ et de $1$. Lors du transport, le signal peut être déformé. Un $0$ peut être transformé en $1$ avec une probabilité $0,1$ et, de même, un $1$ peut être transformé en $0$ avec une probabilité $0,1$. Pour toute la suite, dans une série de chiffres, on lit de gauche à droite, le premier chiffre envoyé étant donc celui écrit le plus à gauche. On envoie le signal $00$. On admet que les erreurs de transmission sont des évènements aléatoires indépendants les uns des autres. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $E_{1}$ : \og les deux chiffres sont modifiés \fg \item[$\bullet~~$] $E_{2}$ : \og le premier chiffre est modifié mais pas le deuxième \fg \item[$\bullet~~$] $E_{3}$ : \og aucun chiffre n'est modifié \fg \item[$\bullet~~$] $E_{4}$ : \og au moins un des chiffres est modifié \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \emph{Pour chaque affirmation, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie.\\ Une bonne réponse rapporte $0,5$ point, une réponse incorrecte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.} \begin{enumerate} \item La probabilité de l'évènement $E_{1}$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} 0,01 &0,99 \\ 0,09& 0,81\\ \end{tabularx} \item Si l'évènement $E_{2}$ est réalisé, le signal reçu est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} 00 &01\\ 10&11\\ \end{tabularx} \item La probabilité de l'évènement $E_{2}$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} 0,19 &0,81 \\ 0,09& 0,90\\ \end{tabularx} \item La probabilité de l'évènement $E_{3}$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} 0,01 &0,99 \\ 0,09& 0,81\\ \end{tabularx} \item La probabilité de l'évènement $E_{4}$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} 0,19 &0,20 \\ 0,11& 0,91\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'expérience aléatoire consistant à émettre une chaîne constituée de 10 fois le chiffre 1 et à observer la chaîne reçue. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque chaîne ainsi reçue, associe le nombre d'erreurs de transmission, c'est-à-dire le nombre de $0$ obtenus. On rappelle que la probabilité qu'un chiffre soit mal transmis est $0,1$. \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi. \item Calculer à $0,001$ près la probabilité qu'il y ait exactement une erreur de transmission. \item Montrer que la probabilité qu'il y ait au plus une erreur de transmission est égale à $0,74$ à $0,01$ près. \end{enumerate} \item Estimant que la qualité des transmissions n'est pas assez bonne, les techniciens procèdent à quelques réglages afin de réduire les \og bruits \fg{} à l'origine des erreurs. La probabilité qu'un chiffre soit mal transmis devrait ainsi être fortement diminuée. Effectivement, à l'issue des réglages, on constate que la proportion de chiffres mal transmis est égale à $0,002$. \begin{enumerate} \item On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de chiffres mal transmis dans une chaîne de \np{1000}~chiffres. On considère que la variable aléatoire $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Justifier que $\lambda = 2$. \item Calculer à $0,001$ près la probabilité qu'il y ait au moins une erreur de transmission parmi les \np{1000}~chiffres envoyés. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C} \medskip La transmission des chiffres binaires est assurée par un signal électrique carré. Les impulsions supérieures à 2 volts représentent le chiffre $1$, les autres le chiffre $0$. Ne pouvant affiner davantage leurs réglages, les techniciens admettent que les erreurs de transmission restantes sont dues à un \og bruit aléatoire \fg. Celui-ci est modélisé par un signal de tension aléatoire $U$, exprimée en volts. On admet que $U$ suit une loi normale de moyenne $0$ et d'écart type $\sigma$. \begin{enumerate} \item Pour envoyer les chiffres 1, on envoie des impulsions de 4~volts. Ces dernières sont modifiées par le bruit aléatoire. La tension reçue est ainsi égale à $4 + U$. \textbf{Dans cette question, on suppose que}\, \boldmath $\sigma = 0,7$.\unboldmath \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité que cette tension représente le chiffre 1 est égale à la probabilité que $U$ soit supérieure à $- 2$. \item Calculer cette probabilité à $0,001$~près. \end{enumerate} \item Quelle condition doit-on imposer à l'écart type $\sigma$ pour que la proportion d'erreurs de transmission d'un chiffre $1$ soit inférieure à 0,1\,\%, c'est-à-dire pour que : \[p(U < - 2) < 0,001 ?\] \emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou non aboutie sera prise en compte.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \emph{Le but de la partie A est de calculer le développement en série de Fourier d'une fonction périodique, puis de s'intéresser à la valeur efficace de cette fonction sur une période.\\ Dans la partie B, il s'agit de retrouver la représentation graphique d'une fonction à partir de son développement en série de Fourier puis de définir cette fonction.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ périodique, de période 2, définie sur l'ensemble des nombres réels par : \[\left\{\begin{array}{l c l} f(t) &=& 0,5t + 0,5\quad \text{si}\quad - 1 < t < 1\\ f(t)& =& 0,5. \end{array}\right.\] Le développement en série de Fourier de la fonction $f$ s'écrit : \[S(t) = a_{0} + \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n}\cos(n\omega t) + b_{n}\sin (n\omega t)\right).\] \begin{enumerate} \item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$ en utilisant la figure 2 du document réponse numéro 2. \item Démontrer que $a_{0} = \dfrac{1}{2}$. \item \begin{enumerate} \item Préciser la valeur de la pulsation $\omega$. \item En utilisant une intégration par parties, calculer $b_{1}$. \end{enumerate} On admet dans la suite de l'exercice que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1 : \[b_{n} = \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n\pi}.\] \item Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $t$ par $g(t) = f(t) - 0,5$. \begin{enumerate} \item Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ sur la figure 3 du document réponse numéro 2. \item Quelle propriété de symétrie observe-t-on sur la représentation graphique de la fonction $g$ ? \item En comparant les coefficients de Fourier des fonctions $f$ et $g$, montrer que $a_{n} = 0$ pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1. \end{enumerate} \item On rappelle que la valeur efficace de la fonction $f$ sur une période est le nombre réel positif, noté $f_{\text{eff}}$, défini par : \[f_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{2}\int_{-1}^1 \left[f(t)\right]^2\:\text{d}t.\] Démontrer que $f_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{3}$. \item On rappelle la formule de Parseval : \[f_{\text{eff}}^2 = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right).\] On décide de calculer une valeur approchée, notée $P$, de $f_{\text{eff}}^2$ en se limitant aux cinq premiers termes de la somme, c'est-à-dire : \[P = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{5} \left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P$, puis de $\dfrac{P}{f_{\text{eff}}^2}$. \item En déduire, en pourcentage, l'erreur commise quand on remplace $f_{\text{eff}}^2$ par $P$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $h$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels, périodique de période 2, dont le développement en série de Fourier est : \[S_{h} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi}\sum_{p = 0}^{+ \infty} \dfrac{1}{(2p + 1)^2} \cos [(2p + 1)\pi t].\] \begin{enumerate} \item Déterminer la parité de la fonction $h$. \item Sur l'annexe page 7 sont proposées quatre représentations graphiques. Laquelle des quatre courbes proposées est la représentation graphique de la fonction $h$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$ ? Justifier le choix effectué. \item Déterminer $h(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Annexe} } \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-2)(4,1.75) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-1.75)(4,1.75) \psline(-4,0)(-3.5,1.5708)(-2.5,-1.5708)(-1.5,1.5708)(-0.5,-1.5708)(0.5,1.5708)(1.5,-1.5708)(2.5,1.5708)(3.5,-1.5708) \rput(0,-1.9){Courbe 1 } \end{pspicture} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25) \psline(-4,0)(-3,3.14159)(-2,0)(-1,3.14159)(0,0)(1,3.14159)(2,0)(3,3.14159)(4,0) \rput(0,-0.7){Courbe 2 }\uput[l](0,1.5708){$\frac{\pi}{2}$} \end{pspicture} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25) \psline(-4,0)(-3.5,3.14159)(-3,0)(-2.5,3.14159)(-2,0)(-1.5,3.14159)(-1,0)(-0.5,3.14159)(0,0)(0.5,3.14159)(1,0)(2,0)(1.5,3.14159)(2,0)(2.5,3.14159)(3,0)(3.5,3.14159)(4,0) \rput(0,-0.7){Courbe 3 } \end{pspicture} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25) \psline(-4,1.5708)(-3.5,0)(-2.5,3.14159)(-1.5,0)(-0.5,3.14159)(0.5,0)(1.5,3.14159)(2.5,0)(3.5,3.14159)(4,1.5708) \rput(0,-0.7){Courbe 4 } \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse numéro 1 à joindre à la copie} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline% $y(n)$&& 0,35 &&&&0,87 &&&1,15 &&1,30\\ \hline% \end{tabularx} \medskip \textbf{Tableau de valeurs de la suite \boldmath $y$ \unboldmath (à compléter)} \vspace{2.5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=2.2cm} \begin{pspicture}(-1,-0.2)(11,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(0,-0.2)(11,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1,-0.2)(11,3) \psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,0.5) \psline[linewidth=1.5pt](6,0)(6,1) \pscurve[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(1,0.1903)(2,0.3625)(3,0.5184)(4,0.6594)(5,0.7869)(6,0.9024)(7,1.0068)(8,1.1013)(9,1.1869)(10,1.2642)(11,1.3343) %\psplot[plotpoints=800,linestyle=dotted,linewidth=1.25pt,linecolor=blue] \uput[u](1,0.2){$s$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Document réponse numéro 2 à joindre avec la copie}} \bigskip \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-4,-2.5)(4,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5) \uput[dl](0,0){O} \rput(0,-2.5){\textbf{Figure 2 : représentation graphique de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath (à compléter)}} \end{pspicture} \vspace{2.5cm} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-4,-2.5)(4,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5) \uput[dl](0,0){O} \rput(0,-2.5){\textbf{Figure 3 : représentation graphique de la fonction \boldmath $g$ \unboldmath (à compléter)}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin A1 Métropole 2011 %%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% A2 Métropole 2011 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2011A2}{} \lfoot{\small{Groupe A2}} \rfoot{\small{10 mai 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2011 - groupement A2}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Spécialités :} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Contrôle industriel et régulation \item Informatique et réseaux pour l'industrie et les services techniques \item Systèmes électroniques \item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip On considère un circuit composé d'une résistance et d'un condensateur représenté par le schéma ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,3.5) \psline{->}(0,3)(1,3)\pnode(1,3){A}\pnode(3.5,3){B} \resistor(A)(B){$R$}\psline(3.5,3)(6,3) \pnode(4.5,3){C}\pnode(4.5,0){D}\capacitor(C)(D){$C$} \psline(0,0)(6,0) \psline{->}(0,0.5)(0,2.5)\uput[l](0,1.5){$v$}\uput[r](6,1.5){$s$}\psline{->}(6,0.5)(6,2.5) \end{pspicture} \end{center} $s$ représente la tension entre les bornes du condensateur lorsque le circuit est alimenté par une source de tension $v$ et parcouru par un courant $i$. Les fonctions $s$ et $v$ sont liées par l'équation différentielle suivante : \[RCs'(t) + s(t) = v(t).\qquad (1)\] De plus, on suppose que $s(t) = 0$, pour tout nombre réel $t$ négatif ou nul. \textbf{Pour tout l'exercice} on considère que $R = 250 \cdot 10^3~\Omega$ et $C = 20 \cdot 10^{-9}~$F. On rappelle que la fonction échelon unité $\mathcal{U}$ est définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l l} \mathcal{U}(t) &=& 0 &\text{si}\:\: t < 0\\ \mathcal{U}(t) &=& 1 &\text{si}\:\: t \geqslant 0. \end{array}\right.\] \medskip \emph{Les parties A, B et C de l'exercice peuvent être traitées indépendamment.} \medskip \textbf{Partie A : QCM} \medskip \emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de chaque question suivi de la réponse choisie.\\ Une bonne réponse rapporte 1 point, \textbf{une réponse incorrecte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point}.} \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$ est un créneau représenté par le schéma suivant : \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(-0.5,-2)(2,11) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-2)(2,11) \uput[d](1,0){1}\uput[l](0,10){10} \psline(0,10)(1,10) \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1,10)(1,0) \end{pspicture} \end{center} $f(t)$ est défini par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} $10\mathcal{U}(t - 1)$& $10\left[\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1)\right]$\\ $10\mathcal{U}(t)$& $\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1)$\\ \end{tabularx} \item On note $V$ et $S$ les transformées de Laplace respectives des fonctions $v$ et $s$. On précise que $s\left(0^{+}\right) = 0$. Les transformées de Laplace $V$ et $S$ sont telles que : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} $S(p) = \dfrac{1}{1 + 0,005p}V(p)$&$s(t) = \dfrac{1}{1 + 0,005p^2}V(p)$\\ $S(p) = \dfrac{0,005}{0,005 + p}V(p)$&$S(p) = (1 0,005)V(p)$\\ \end{tabularx} \item Dans cette question, on suppose que $v(t) = 2$ pour tout nombre réel $t$ positif ou nul. L'équation différentielle (1) s'écrit alors : \[0,005s'(t) + s(t) = 2. \] Pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, la solution générale $s$ de l'équation différentielle (1) est définie, $k$ étant une constante réelle, par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}} $s(t) = k\text{e}^{-200t} + 2t$& $s(t) = k\text{e}^{200t} + 2$\\ $s(t) = k\text{e}^{-200t} + 2$& $s(t) = k\text{e}^{-200t}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \end{document} \textbf{Partie B : simulation numérique} \medskip Pour simuler le fonctionnement du circuit, on approche la tension d'entrée $v$ par un signal discret causal $x$ et la tension de sortie $s$ par un signal discret causal $y$. Un pas de discrétisation $T_{e}$ étant choisi, les signaux $x$ et $y$ vérifient, pour tout nombre entier $n$, l'équation : \[0,005\dfrac{y(n) - y(n - 1)}{T_{e}} + y(n) = x(n).\hfill (2) \] \begin{enumerate} \item Dans toute la suite de l'exercice, on choisit $T_{e} = 0,5 \cdot 10^{-3}$~s. Montrer que l'équation (2) s'écrit alors : \[11y(n) - 10y(n - 1) = x(n).\] \item On suppose désormais que $x(n) = 2e(n)$ où $e$ est l'échelon unité causal discret défini par $e(n) = 1$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que la transformée en $Z$ du signal discret $y$ notée $Y(z)$, vérifie : \[\dfrac{Y(z)}{z} = \dfrac{2}{11} \times \dfrac{z}{(z - 1)\left(z - \dfrac{10}{11}\right)}.\] \item Vérifier que : \[Y(z) = \dfrac{2}{11}\left(\dfrac{11z}{z - 1} - \dfrac{10z}{z - \dfrac{10}{11}}\right).\] \item En déduire l'expression de $Y(z)$ sous forme d'une somme. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $y(n)$ en fonction de $n$, pour tout nombre entier naturel $n$. \item Calculer la limite de $y(n)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On admet que $y(n) = 2 - 2\left(\dfrac{10}{11} \right)^{n+1}$. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de valeurs du signal numérique $y$ figurant sur le document réponse numéro 1. Les résultats seront arrondis au centième. \item Représenter graphiquement le signal numérique $y$ sur la figure 1 du document réponse numéro 1. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \emph{Le but de la partie A est de calculer le développement en série de Fourier d'une fonction périodique, puis de s'intéresser à la valeur efficace de cette fonction sur une période.\\ Dans la partie B, il s'agit de retrouver la représentation graphique d'une fonction à partir de son développement en série de Fourier puis de définir cette fonction.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ périodique, de période 2, définie sur l'ensemble des nombres réels par : \[\left\{\begin{array}{l c l} f(t) &=& 0,5t + 0,5\quad \text{si}\quad - 1 < t < 1\\ f(t)& =& 0,5. \end{array}\right.\] Le développement en série de Fourier de la fonction $f$ s'écrit : \[S(t) = a_{0} + \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n}\cos(n\omega t) + b_{n}\sin (n\omega t)\right).\] \begin{enumerate} \item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$ en utilisant la figure 2 du document réponse numéro 2. \item Démontrer que $a_{0} = \dfrac{1}{2}$. \item \begin{enumerate} \item Préciser la valeur de la pulsation $\omega$. \item En utilisant une intégration par parties, calculer $b_{1}$. \end{enumerate} On admet dans la suite de l'exercice que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1 : \[b_{n} = \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n\pi}.\] \item Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $t$ par $g(t) = f(t) - 0,5$. \begin{enumerate} \item Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ sur la figure 3 du document réponse numéro 2. \item Quelle propriété de symétrie observe-t-on sur la représentation graphique de la fonction $g$ ? \item En comparant les coefficients de Fourier des fonctions $f$ et $g$, montrer que $a_{n} = 0$ pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1. \end{enumerate} \item On rappelle que la valeur efficace de la fonction $f$ sur une période est le nombre réel positif, noté $f_{\text{eff}}$, défini par : \[f_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{2}\int_{-1}^1 \left[f(t)\right]^2\:\text{d}t.\] Démontrer que $f_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{3}$. \item On rappelle la formule de Parseval : \[f_{\text{eff}}^2 = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right).\] On décide de calculer une valeur approchée, notée $P$, de $f_{\text{eff}}^2$ en se limitant aux cinq premiers termes de la somme, c'est-à-dire : \[P = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{5} \left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P$, puis de $\dfrac{P}{f_{\text{eff}}^2}$. \item En déduire, en pourcentage, l'erreur commise quand on remplace $f_{\text{eff}}^2$ par $P$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $h$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels, périodique de période 2, dont le développement en série de Fourier est : \[S_{h} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi}\sum_{p = 0}^{+ \infty} \dfrac{1}{(2p + 1)^2} \cos [(2p + 1)\pi t].\] \begin{enumerate} \item Déterminer la parité de la fonction $h$. \item Sur l'annexe page 5 sont proposées quatre représentations graphiques. Laquelle des quatre courbes proposées est la représentation graphique de la fonction $h$ sur l'intervalle $[-4~;~4]$ ? Justifier le choix effectué. \item Déterminer $h(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Annexe}} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-2)(4,1.75) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-1.75)(4,1.75) \psline(-4,0)(-3.5,1.5708)(-2.5,-1.5708)(-1.5,1.5708)(-0.5,-1.5708)(0.5,1.5708)(1.5,-1.5708)(2.5,1.5708)(3.5,-1.5708) \rput(0,-1.9){Courbe 1 } \end{pspicture} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25) \psline(-4,0)(-3,3.14159)(-2,0)(-1,3.14159)(0,0)(1,3.14159)(2,0)(3,3.14159)(4,0) \rput(0,-0.7){Courbe 2 }\uput[l](0,1.5708){$\frac{\pi}{2}$} \end{pspicture} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25) \psline(-4,0)(-3.5,3.14159)(-3,0)(-2.5,3.14159)(-2,0)(-1.5,3.14159)(-1,0)(-0.5,3.14159)(0,0)(0.5,3.14159)(1,0)(2,0)(1.5,3.14159)(2,0)(2.5,3.14159)(3,0)(3.5,3.14159)(4,0) \rput(0,-0.7){Courbe 3 } \end{pspicture} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-0.8)(4,3.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2](0,0)(-4,-0.5)(4,3.25) \psline(-4,1.5708)(-3.5,0)(-2.5,3.14159)(-1.5,0)(-0.5,3.14159)(0.5,0)(1.5,3.14159)(2.5,0)(3.5,3.14159)(4,1.5708) \rput(0,-0.7){Courbe 4 } \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse numéro 1 à joindre à la copie} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline% $y(n)$&& 0,35 &&&&0,87 &&&1,15 &&1,30\\ \hline% \end{tabularx} \medskip \textbf{Tableau de valeurs de la suite \boldmath $y$ \unboldmath (à compléter)} \vspace{2.5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=2.2cm} \begin{pspicture}(-1,-0.2)(11,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(0,-0.2)(11,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1,-0.2)(11,3) \psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,0.5) \psline[linewidth=1.5pt](6,0)(6,1) \psplot[plotpoints=8000,linestyle=dotted,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{2 2 2.71828 0.1 x mul exp div sub} \uput[u](1,0.2){$s$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Document réponse numéro 2 à joindre avec la copie}} \bigskip \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-4,-2.5)(4,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5) \uput[dl](0,0){O} \rput(0,-2.5){\textbf{Figure 2 : représentation graphique de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath (à compléter)}} \end{pspicture} \vspace{2.5cm} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-4,-2.5)(4,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-4,-1.5)(4,1.5) \uput[dl](0,0){O} \rput(0,-2.5){\textbf{Figure 3 : représentation graphique de la fonction \boldmath $g$ \unboldmath (à compléter)}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin A2 Métropole 2011 %%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}