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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe Géomètre-topographe}}
\rfoot{\small{}}
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\pagestyle{fancy}


\begin{center} 
  
\begin{huge}\textbf{BREVET  DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR }
\vspace{0,5cm}

\textbf{SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Le GROUPEMENT GÉOMÈTRE--TOPOGRAPHE \\de 2001 à 2011}
\vspace{0,5cm}
\end{huge}

\vspace{1cm}

{\Large  \hyperlink{2001}{Métropole  2001} \dotfill 3  \medskip

\Large  \hyperlink{2002}{Métropole  2002} \dotfill 5  \medskip

\Large  \hyperlink{2003}{Métropole  2003} \dotfill 7  \medskip

\Large  \hyperlink{2004}{Métropole  2004} \dotfill 9  \medskip

\Large  \hyperlink{2005}{Métropole  2005} \dotfill 12  \medskip

\Large  \hyperlink{2006}{Métropole  2006} \dotfill 14  \medskip

\Large  \hyperlink{2007}{Métropole  2007}  \dotfill 16  \medskip

\Large  \hyperlink{2008}{Métropole 2008} \dotfill 18  \medskip

\Large  \hyperlink{2009}{Métropole 2009} \dotfill 21  \medskip

\Large  \hyperlink{2010}{Métropole 2010} \dotfill 25  \medskip

\Large  \hyperlink{2011}{Métropole 2011} \dotfill 29  \medskip}
\end{center}
\newpage ~

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2001  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2001}{}

\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
\rfoot{\small{mai 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2001 - Géomètre topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

On considère la parabole $\mathcal{P}$, représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2.\]
On oriente $\mathcal{P}$ dans le sens des abscisses croissantes. En chaque point $M$ de $\mathcal{P}$ on désigne par $\vect{T}$ le vecteur unitaire tangent et par $\vect{N}$ le vecteur unitaire normal.

On rappelle que la base $\left(\vect{T},~ \vect{N}\right)$ est directe et que le rayon de courbure algébrique $R$, au point dc $\mathcal{P}$ d'abscisse $x$, est donné par la formule

\[R = \dfrac{\left(1 + y'^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{y''},~ \text{avec}~ y' = f'(x)~ \text{et}~ y"= f''(x).\]

\begin{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{P}$, pour les abscisses appartenant à l'intervalle $[-4~;~ 4]$, en prenant 2~cm pour unité graphique.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $R$.

	En déduire le minimum du rayon de courbure et tracer le cercle de courbure correspondant sur le graphique précédent.

\item	On se place désormais au point A, d'abscisse 1, de la parabole $\mathcal{P}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de la tangente et une équation de la normale à $\mathcal{P}$ en ce point.
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{U}$, de coordonnées $\left(\dfrac{- \sqrt{2}}{2}~;~\dfrac{- \sqrt{2}}{2} \right)$, est unitaire et qu'il est directeur de la  normale à $\mathcal{P}$ au point A,
		\item  On admet que $\vect{N}$  est égal à $\vect{U}$.\\
Montrer que les coordonnées du centre de courbure $\Omega$ sont $\left(-1~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
		\item  Tracer la tangente et la normale à $\mathcal{P}$ au point A.\\
Représenter les vecteurs $\vect{T}$ et $\vect{N}$ au point A.
		\item  Tracer le cercle de courbure $\mathcal{C}$ au point A et montrer qu'une équation cartésienne de $\mathcal{C}$ est
$x^2 +  y^2  + 2x - 5y - \dfrac{3}{4} = 0$.
	\end{enumerate}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{C}$ sont solutions de l'équation

\[x^4 - 6x^2 + 8x - 3 =   0.\]

		\item Vérifier que $x^4 - 6x^2 + 8x - 3 = (x + 3)(x - 1 )^3$.\\
En déduire que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{C}$ n'ont qu'un seul autre point d'intersection que A.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Le schéma donné ci-dessous met en perspective quelques éléments de l'exercice, sans prétendre en donner une représentation exacte).

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.6666cm}
\begin{pspicture}(18,9.5)
%\psgrid
\psline{->}(2.9,3.8)(0.2,0.3)%(Ox)
\psline{->}(2.9,3.8)(17.8,3.8)%(Oy)
\psline{->}(2.9,3.8)(2.9,9.4)%(Oz)
\psline(2.9,3.8)(17.5,9.1)
\psline(2.9,3.8)(17.9,1.3)
\psline(2.9,3.8)(15.2,0)
\pscircle(5.4,4.7){3.95}
\psellipse(5.4,3.35)(3.7,1.1)
\psline(10.3,9.4)(14.4,0)
\psline(14,0)(17.9,3.6)
\uput[ul](2.9,3.8){O}\uput[r](0.2,0.3){$x$}\uput[u](17.8,3.8){$y$}
\uput[r](2.9,9.4){$z$}\uput[r](10.8,8.4){$D$}\uput[u](5.4,4.7){$\Omega$}\qdisk(5.4,3.35){1.5pt}\uput[d](5,2.3){$E$}\qdisk(7.8,5.6){1.5pt} \uput[u](7.8,5.6){$A$} \uput[r](17,2.8){$\Delta$} \uput[ur](7,8.3){$S$} \qdisk(5.4,4.7){1.5pt}
\end{pspicture}
\end{center}

$S$ est la sphère d'équation $x^2 +  y^2 + z^2 - 4x- 4y- 2z = 0$.

$T$ est la transformation qui, à chaque point $M$ de l'espace, différent de O, associe le point $M'$ tel que : $\vect{\text{O}M'} = \dfrac{54}{\text{O}M^2} \vect{\text{O}M}$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $r$ de $S$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item En calculant le produit scalaire $\vect{\text{O}M} \cdot \vect{\text{O}M'}$, montrer que $T$ est une inversion, dont on précisera le pôle et le rapport.
		\item 	Le point A est le symétrique de O par rapport à $\Omega$.
		
Calculer les coordonnées de A$' =  T$(A).

Déterminer l'inverse, P, de la sphère $S$ privée du point O, par $T$.

Montrer qu'une équation de $P$ est $2x + 2y + z - 27 = 0$.
	\end{enumerate}
	\item Soit $D$ la droite dont une représentation paramétrique est :

\[x = 2 - t ~;\quad  y = 14 + 2t~; \quad  z = 5 - 2t \quad ; ~~t \in \R.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $D$ est incluse dans $P$ et que le point A$'$ appartient à $D$.
		\item D\'eterminer l'inverse $C$ de la droite $D$, par $T$.
		\item Pour tout point $M$ de $D$, de coordonnées $(x~;~y~;~ z)$, on note $(x'~;~ y'~;~ z')$ les coordonnées de son	inverse $M'$ par $T$.
Montrer qu'une représentation paramétrique de $C$ est :

\[x' = \dfrac{-6t+12}{t^2 + 8t + 25}~;\quad 	y' = \dfrac{12t + 84}{t^2 + 8t + 25}~;\quad z' = \dfrac{- 12t - 30}{t^2 + 8t + 25}~;~t \in \R.\]
		\item  Déterminer les coordonnées du point $I$ d'intersection de $C$ avec le plan \Oij.
	\end{enumerate}

\item Le plan \Oij{} coupe le plan $P$ suivant la droite $\Delta$ et coupe la sphère $S$ suivant le cercle $E$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'inverse de $\Delta$ par $T$.
		\item Montrer que le vecteur de coordonnées $(-1~;~1~;~0)$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
		\item  En déduire l'angle géométrique $\theta$, appartenant à $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2} \right]$, des deux courbes $C$ et $E$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2001    %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   mai 2002    %%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2002}{}

\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
\rfoot{\small{mai 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2002 - Géomètre topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

Dans tout le problème, le plan est rapporté â un repère orthonorrnal \Oij{} (unité 5~cm). On considère les droites ($\Delta$) et ($\Delta'$) d'équations respectives $x = 1$ et $x = -1$.

Une droite variable ($D$), passant par O et de coefficient directeur $t,~ (t \in  \R)$, coupe ($\Delta$) en P.
 
La parallèle à $\left(\text{O}~;~ \vect{\imath}\right)$ passant par P coupe ($\Delta '$) en P$'$.

\begin{enumerate}
\item  Faire une figure qui sera complétée dans les questions suivantes.

\item  Soit M$(x~;~y)$ le projeté orthogonal de P$'$ sur la droite ($D$).
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{OP}}$  et $\vect{\text{P}'\text{M}}$.
		\item  En déduire que les coordonnées de M sont données par : $x = \dfrac{t^2 - 1}{t^2+1}$ et $y = t\dfrac{t^2 - 1}{t^2+1}$.
 	\end{enumerate}
\item On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe définie paramétriquement par : $x(t) = \dfrac{t^2 - 1}{t^2+1}$ et $y(t) = 	t\dfrac{t^2 - 1}{t^2+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item En étudiant la parité des fonctions $x$ et $y$, donner un intervalle d'étude suffisant pour l'étude des variations de $x$ et $y$ et pour le tracé de ($\mathcal{C}$).
		\item Vérifier que :
		\[x'(t) = \dfrac{4t}{(t^2+1)^2}~~\text{et}~~y'(t) = \dfrac{\left(t^2   + 2 - \sqrt{5} \right)\left(t^2   + 2 + \sqrt{5} \right)}{\left(t^2 + 1 \right)^2}.\]
		\item Étudier les variations des fonctions $x$ et $y$.
		\item Déterminer les points d'intersection de ($\mathcal{C}$) avec la droite $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et les équations des tangentes à ($\mathcal{C}$) en ces points.
	\end{enumerate}

\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) sur la figure du 1.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal de sens direct \Oijk.

Sur la sphère ($\Sigma$) de centre O et de rayon 1, on considère les points :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
N de coordonnées cartésiennes (0,~0,~1)& S de coordonnées cartésiennes $(0,~0,~-1)$\\
A $\left\{\begin{array}{l l l}
\text{longitude}\:	& 90 \degres	& \text{Est} \\
\text{latitude}\:	& 30 \degres & \text{Sud}\\
\end{array}\right.$&B $\left\{\begin{array}{l l l}
\text{longitude}\:	& 0 \degres	& \\
\text{latitude}\:	& 0 \degres	& \\
\end{array}\right.$\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Rappels :} dans un triangle sphérique (ABC), avec les notations usuelles, on a les relations :

\[\cos a = \cos b \cos c \sin b \sin c \cos \text{A}~~ \text{et}~~	\dfrac{\sin \text{A}}{\sin a} = \dfrac{\sin \text{B}}{\sin b} = \dfrac{\sin \text{C}}{\sin c}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Faire une figure : placer les points N, S, A et B.
		\item 	Justifier que les coordonnées cartésiennes des points A et B sont respectivement $\left(0~;~\dfrac{\sqrt{3}}{2}~;~- \dfrac{1}{2}\right)$ et (1~;~0~;~0).
	\end{enumerate}
\item Déterminer les éléments du triangle sphérique (SAS).
\item  Soit $T$ l'inversion de pôle N et de puissance 4.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de la sphère ($\Sigma$) par l'inversion $T$ ?
		\item 	Soient A$'$ et B$'$ les images respectives de A et B par l'inversion $T$.
		
En utilisant la relation $\vect{\text{NM}'}= \dfrac{4}{\text{NM}^2}\vect{\text{NM}}$, où M$'$ désigne l'image par $T$ d'un point M quelconque, calculer les coordonnées cartésiennes de A$'$ et B$'$. Placer les points A$'$ et B$'$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En déduire la distance A$'$S$'$,
		\item Calculer la différence $d$ entre la distance A$'$B$'$ et la longueur du petit arc de grand cercle d'extrémités A et B.
	\end{enumerate}
\item La Terre est assimilée à la sphère ($\Sigma$), dont on exprime maintenant le rayon en kilomètres, en prenant R = \nombre{6380}~km.

Exprimer la différence $d$ en kilomètres, arrondie au km près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2002    %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   mai 2003    %%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2003}{}

\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ session 2003 - Géomètre topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

Dans le plan rapporté à  un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique sur chaque axe : 4~cm), on considère la courbe paramétrée E d'équations :

\[\left\{ \begin{array}{l c l}
x(t)&=& \cos 2t \\ 
y(t)&=&2 \sin 2t
\end{array} \right. \]

\begin{enumerate}
\item  Faire l'étude de cette courbe paramétrée après avoir justifié que l'intervalle d'étude peut se réduire à  $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2} \right] $.
\item  Tracer la courbe E.
\item Montrer que cette courbe est en fait une ellipse dont on calculera les éléments caractéristiques.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère le cercle C de centre O contenu dans le plan \Oij{} ayant pour rayon le demi grand axe de l'ellipse E.

Soient A et B deux points de l'espace de coordonnées respectives $\left(\sqrt2~;~\sqrt2~;~0\right)$ et $\left(\sqrt2~;~-\sqrt2~;~0\right)$.

\begin{enumerate}
\item Soit S la sphère obtenue en faisant tourner C autour de l'axe (O$x)$.

 Écrire une équation de la sphère S.
\item  Montrer que les points A et B appartiennent à  la sphère S.
\item  Soit N le pôle nord de la sphère S. Déterminer les coordonnées sphériques des points N, A et B.
\item  Déterminer les 6 éléments caractéristiques du triangle sphérique NAB.
\item  Calculer l'aire du triangle sphérique NAB.

{\emph On rappelle les formules concernant un triangle sphérique ABC :}

$\cos a=\cos b.\cos c+\sin b.\sin c.\cos A$

${\rm aire}(\text{ABC}) = (\text{A} + \text{B} + \text{C} -\pi) \cdot R^2$

($R$ = rayon de la sphère).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. Soit 
K(0~;~0~;~3)  et C le cône de révolution d'axe $\left(\text{O}~;~\vect{k}\right)$ et de demi angle au sommet $\frac{\strut\pi}{4}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation cartésienne de C est $x^2+y^2=(3 - z)^2$.
\item  Soit E l'intersection du cône C et du plan d'équation $z = 0$. Donner une équation cartésienne de E, sa nature et ses éléments caractéristiques.
\item Soit $\Omega(-3~;~0~;~0)$ et soit $I$ la transformation de l'espace qui, à  tout point $M$ de l'espace, associe le point $M'$ qui vérifie $\vect{\Omega M'}=\dfrac{6}{\Omega M^2}\vect {\Omega M}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la nature et les éléments caractéristiques de $I$.
		\item Soit $A(3~;~0~;~0)$ et $B(0~;~3~;~0)$. Déterminer $A' = I(A)$ et $B' = I(B)$.
		\item Soit D la droite de l'espace déterminée par :
		
D $\left\{ \begin{array}{l c l}
x&=&-2 \\ 
z&=&0
\end{array}\right. $

Montrer que l'image de E par $I$ est la droite D.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite de l'espace de représentation paramétrique $\quad
\Delta 
\left\{ \begin{array}{l c l}
x(t)&=&-\dfrac{9}{4}\\ 
y(t)&=&t\\
z(t)&=&0
\end{array} \right. $
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $M(x(t)~;~y(t)~;~z(t))$ un point de $\Delta$. Soit 
$M'(x'(t)~;~y'(t)~;~z'(t))$ son image par $I$. Montrer que :
$x'(t)=\dfrac{\frac{\strut45}{\strut16}- 3t^2}{\frac{\strut9}{\strut16}+t^2}$ ; 
$y'(t)=\frac{\strut6t}{\frac{\strut9}{16}+t^2}$ ; 
$z'(t)=0$.
		\item  En déduire que l'image de la droite $\Delta$ par $I$ est contenue dans la sphère S, de centre  F(1~;~0~;~0) et de rayon 4.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2003    %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   mai 2004    %%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2004}{}

\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Géomètre topographe session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Le but de cet exercice est l'étude d'une courbe plane, appelée lemniscate, que l'on peut rencontrer lors de l'élaboration de certains raccordements routiers.}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij{} (unité 5~cm). On note $\mathcal{C}$ la courbe définie en coordonnées polaires par  :
\[r = f(\theta) = \sqrt{\sin (2\theta)}~~ \text{pour}~~ \theta \in  \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right] \cup  \left[\pi~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $\theta$ un réel de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

	\begin{enumerate}
		\item  À quel intervalle $\theta + \pi$ appartient-il ?

		\item Calculer $f(\theta + \pi)$ en fonction de $f(\theta)$  ;  en déduire une propriété de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\theta$ un réel de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item  À quel intervalle $\dfrac{\pi}{2} - \theta$	 appartient-il ?
		\item Calculer $f(\theta + \pi)$ en fonction de $f(\theta)$ ; en déduire une propriété de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}_{1}$ l'arc de courbe obtenu pour $\theta \in  \left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$. Comment obtient-on $\mathcal{C}$ à partir de $\mathcal{C}_{1}$ ?
		
\item Montrer que pour tout $\theta$ appartenant à $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right],~ r' = f'(\theta) = \dfrac{\cos 2\theta}{\sqrt{\sin 2\theta}}$.

\item  Étudier le signe de $f'(\theta)$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$. En déduire les variations de $f$ pour $\theta \in  \left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur ce dernier intervalle.

\item  On pose, pour tout $\theta \in  \left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right],~ x = r \cos \theta$ et $y = r \sin \theta$. Montrer que :
\[x' = \dfrac{\cos 3\theta}{\sqrt{\sin 2 \theta}}~~	 \text{et}~~ y' =  \dfrac{\sin 3\theta}{\sqrt{\sin 2 \theta}}.\]

\item  Déterminer un vecteur directeur de chacune des deux tangentes suivantes à la courbe $\mathcal{C}$, l'une au point A de paramètre $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ et l'autre au point B de paramètre $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.

\item  Calculer $\displaystyle\lim_{\theta \to 0} \dfrac{y'}{x'}$. On admet que cette limite est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point O. Caractériser la tangente à $\mathcal{C}$ au point O.

\item  Tracer soigneusement la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que les tangentes aux points O, A, B.

\item  On admet que le rayon de courbure au point B vaut $\dfrac{1}{3}$. Déterminer un vecteur directeur $\vect{n}$ de la normale au point B. Sur la même figure, construire le cercle de courbure en B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormal direct \Oijk. Les axes de coordonnées sont les axes (O$x$), (O$y$) et (O$z$). Les plans de coordonnées sont les plans (O$xy$), (O$xz$) et (O$yz$). La notation $M(x~;~ y~;~ z)$ désigne le point $M$ de coordonnées $x,~ y$ et $z$ .

\medskip

\emph{La figure sera construite et complétée sur l'annexe au fur et à mesure de l'avancement des questions.}

\medskip

Soit $\Delta$ la droite incluse dans le plan (O$y$z), d'équations	$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
12y - 5z&=&0\\
\end{array}\right.$\\
Soit $\Sigma$ la sphère de centre 	$\Omega(0~;~3~;~ 2)$, tangente en T(0~;~  3~ ;~0) au plan (O$xy$).

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la sphère $\Sigma$ a pour équation $x^2 + y^2 + z^2 - 6y - 4z + 9 = 0$.
		\item Montrer que la droite $\Delta$ et la sphère $\Sigma$ ont pour unique point commun A$\left(0~;~\dfrac{15}{13}~;~\dfrac{36}{13}\right)$.
		
En déduire la position de la droite $\Delta$ par rapport à la sphère $\Sigma$.
	\end{enumerate}
\item Soit $P$ le plan perpendiculaire au point A à la droite $\Delta$.

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $P$ a pour équation $5y + 12z -  39 = 0$.
		\item  On note $\Delta_{1},~ \Delta_{2},~ \Delta_{3}$ les droites intersections respectives de $P$ avec les plans (O$yz$), (O$xz$) et (O$xy$). Déduire de la question a. un système d'équations cartésiennes de chacune des droites $\Delta_{1},~ \Delta_{2},~ \Delta_{3}$.
		\item  Compléter la figure donnée en annexe. En particulier, on reconnaîtra et on nommera les droites $\Delta_{1},~ \Delta_{2},~ \Delta_{3}$.
 	\end{enumerate}
\item Soit B le point de la sphère $\Sigma$, diamétralement opposé à T.

On note T$'$ le point de coordonnées (3 ; 0 ; 0).
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées de B et placer ce point sur la figure en annexe.
		\item  Écrire une équation du plan $P'$ déterminé par les droites (TB) et (TT$'$).
		\item  Montrer que les plans $P$ et $P'$ sont sécants suivant une droite $D$ d'équations paramétriques 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&12t\\
y &=&- 12t + 3\\
z&=&5t + 2\\
\end{array}\right.$\\ 

		\item  Déterminer les coordonnées du point I, intersection de $D$ avec le plan (O$xz$).
	 \end{enumerate}
\item Soit $\Gamma_{1}$ le grand cercle intersection du plan $P$ et de la sphère $\Sigma$. Soit $\Gamma_{2}$ le grand cercle intersection du plan $P'$ et de la sphère $\Sigma$. Les deux grands cercles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ se coupent en deux points. On note C le point d'abscisse positive. On obtient ainsi un triangle sphérique ABC tracé sur la sphère $\Sigma$.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter la figure donnée en annexe ; reconnaître et nommer $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$.

\medskip

\emph{Avec les notations habituelles, on rappelle les \og formules fondamentales \fg}

$\left\{\begin{array}{l c l}	
\cos a&=&\cos b \cos c + \sin b \sin c \cos \widehat{A}\\
\cos \widehat{A}&=& - \cos \widehat{B} \cos \widehat{C} + \sin\widehat{B}  \sin\widehat{C} \cos a\\
\end{array}\right.$

		\item  Montrer que le triangle sphérique ABC est rectangle en A. Calculer le produit scalaire $\vect{\Omega\text{A}} \cdot \vect{\Omega\text{B}}$.\\
En déduire une valeur approchée de la mesure en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{A}\Omega\text{B}}$.
		\item  Nommer deux plans de la figure déterminant l'angle $\widehat{\text{B}}$ du triangle sphérique ABC. 
		\item En déduire que sa mesure est 45\degre. Calculer des valeurs approchées de $\widehat{\text{B}},~ b,~ a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

Figure de l'exercice 2

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(13,10.5)
\psline{->}(0,5)(13,5)\uput[d](13,5){$y$}
\psline{->}(5,0)(5,10.5)\uput[l](5,10.5){$z$}
\psline(13,4)(10.3,1.3)(1.2,5)(5,8.7)(13,5.4)
\psline{->}(6.75,6.75)(3.3,3.3)\uput[dl](3.3,3.3){$x$}
\pscircle(8.45,7.3){2.3}\uput[u](8.45,7.3){$\Omega$}
\uput[d](8.45,5){T}
\multido{\n=1.55+1.15}{9}{\psline(\n,4.95)(\n,5.05)}
\multido{\n=1.55+1.15}{8}{\psline(4.95,\n)(5.05,\n)}
\multirput(3.5,3.5)(0.375,0.375){9}{\psline(-0.05,0.05)(0.05,-0.05)}
\pscurve(6.35,8.2)(6.2,7.5)(6.5,7)(6.75,6.75)(7.3,6.4)(8,6.1)(9,5.95)(10,6.05)(10.6,6.4)
\pscurve[linestyle=dotted](6.35,8.2)(7,8.6)(8,8.7)(9,8.5)(10,8.1)(10.7,7.4)(10.8,6.8)(10.6,6.4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](8.45,7.3)(6.35,8.2)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2004    %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   mai 2005    %%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2005}{}

\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Géomètre topographe session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij{} d'unité graphique 2~cm. On considère la courbe $\mathcal{C}$ définie par son équation polaire :

\[r = f(\theta) = 2 \cos \theta - \cos ^2 \theta \quad  (\theta \in \R).\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'on pent restreindre l'étude des variations de la fonction $f$ à l'intervalle $[0~;~\pi]$.

\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~\pi]$ et drosser son tableau de variations.

\item  On note A, B, C, D et E les points de la courbe $\mathcal{C}$ correspondant aux valeurs suivantes de $\theta ~~ :~~ 0, \dfrac{\pi}{4},~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{3\pi}{4}$  et $\pi$.\\
 Recopier et compléter le tableau suivant (en indiquant les valeurs exactes) :
 
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
\begin{center}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Point&	A& 	B& 	C&D& 	E\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\theta$&$0$&$\dfrac{\pi}{4}$	&$\dfrac{\pi}{2}$& $\dfrac{3\pi}{4}$&$\pi$\\ \hline
$r = f(\theta)$&&&&&\\ \hline
$r' = f'(\theta)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ aux points A, C et E.

\item  Représenter les cinq points A, B, C, D et E avec leurs tangentes respectives puis tracer la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : ÉTUDE D'UNE INVERSION}

\medskip

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk{} et on considère l'inversion $I$ de pôle $\Omega \left(\dfrac{3}{\sqrt{2}}~;~\dfrac{3}{\sqrt{2}}~ ;~ 0\right)$ et de puissance 3. L'unité de longueur est le cm.

\begin{enumerate}
\item  Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 3.

\item  Déterminer la nature de l'image $\mathcal{P}$ de la sphère $\mathcal{S}$ par l'inversion $I$.

\item  Donner une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :  TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,7)
%\psgrid
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2.8,2.7)(0,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2.8,2.7)(7,2.7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2.8,2.7)(2.8,6.8)
\psline[linewidth=3pt]{->}(2.8,2.7)(2.2,2.1)\uput[d](2.3,2.3){$\vect{\imath}$}
\psline[linewidth=3pt]{->}(2.8,2.7)(3.8,2.7)\uput[d](3.6,2.7){$\vect{\jmath}$}
\psline[linewidth=3pt]{->}(2.8,2.7)(2.8,3.7)\uput[l](2.8,3.7){$\vect{k}$}
\psarc{->}(2.8,2.7){4mm}{220}{350}
\psarc{->}(2.8,2.7){6mm}{350}{48}
\psellipse(2.8,2.7)(2.6,0.9)
\pscircle(2.8,2.7){2.6cm}
\pscurve(1.9,1.8)(2,3.6)(2.4,5)(2.8,5.3)
\pscurve(2.8,5.3)(4,4.68)(4.6,3)(4.62,2.3)
\psline(2.8,2.7)(4.62,2.3)
\psline(2.8,2.7)(4.3,4.15)
\uput[dl](0,0){$x$}  \uput[r](7,2.7){$y$}  \uput[u](2.8,6.8){$z$} 
\uput[u](3.6,3.5){$r$} \uput[d](2.8,2.4){$\theta$}
\uput[r](3.3,3){$\varphi$}\uput[ul](2.8,2.7){O}\uput[ur](4.3,4.15){$M$}\uput[d](4.62,2.3){$m$}
\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle que les coordonnées sphériques d'un point $M$ appartenant à la sphère de rayon $r$ et n'appartenant pas à l'axe $\left(\text{O},~ \vect{k}\right)$ sont données sous la forme d'un triplet $(r,~ \theta,~ \varphi)$ où :\\

\[r = \text{O}M \qquad 	\theta  = \widehat{\left(\vect{\imath},~\vect{\text{O}m}\right)} \qquad \varphi = \widehat{\left(\vect{\text{O}m},~\vect{\text{O}M}\right)}.\]
On considère les points A, B, C de l'espace dont les coordonnées sphériques sont : \\

\[\text{A}\left(3~;~0~;~\dfrac{\pi}{4}\right) \qquad 	\text{B}\left(3~;~\dfrac{\pi}{2}~;~0\right) \qquad	\text{C}(3~;~0~;~0)\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les caractéristiques du triangle sphérique ABC.

\item  Calculer l'aire du triangle sphérique ABC.

\item  Déterminer les coordonnées cartésiennes de A, B et C.

\item  On note A$'$, B$'$ et C$'$ les images respectives des points  A, B et C par l'inversion $I$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées cartésiennes de A$'$.
		\item  On donne \begin{tabular}{l l l}
		$x_{\text{B}'}	= \sqrt{2} - \dfrac{1}{2}$&	et &$y_{\text{B}'} = \dfrac{1 + 3\sqrt{2}}{2}$ \\
		$x_{\text{C}'}	= \dfrac{1 + 3\sqrt{2}}{2}$&	et &$y_{\text{C}'} = \sqrt{2} - \dfrac{1}{2}$ \\
		\end{tabular}
		
Indiquer les cotes des points B$'$ et C$'$ en justifiant la réponse.
	\end{enumerate}
\item  Représenter graphiquement la sphère $\mathcal{S}$ et les points A, B, C, $\Omega$, A$'$, B$'$ et C$'$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2005    %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   mai 2006    %%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2006}{}

\lfoot{\small{G\'eom\`etre topographe}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ G\'eom\`etre topographe session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}\\
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij d'unité 1 cm.\\
Soit $(C)$ la courbe d'équation polaire :
\[
r (\theta) = \dfrac{6}{2+\cos\theta}
\quad
(\theta \in \R).
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tracer la courbe $(C)$, il suffit de la tracer sur $[0~;~\pi]$.

\item Soit $M$ un point de coordonnées polaires $(r\,;\,\theta)$.
Donner, en fonction de $r$ et de $\theta$, ses coordonnées cartésiennes 

\item Montrer que si $M$, de coordonnées cartésiennes $(x\,,\,y)$, appartient à $(C)$, alors :\\
$\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$.
\\
\emph{On admettra la réciproque.}

\item Reconnaître la nature de la conique d'équation $\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$.
Préciser l'axe focal, les foyers et les sommets de cette conique.

\item Tracer soigneusement la courbe $(C)$ pour $\theta \in  [0~;~\pi]$.
Expliquer comment obtenir le tracé de $(C)$ pour $\theta \in \R$.
Tracer $(C)$.

\item Soit $A$ le point de $(C)$ défini par $\theta=0$. Montrer que le rayon de courbure au point $A$ vaut~3. On rappelle que
$R = \dfrac{(r^2+r'^2)^{3/2}}{r^2+2r'^2-rr''}$.

\item Déterminer une équation cartésienne du cercle de courbure au point $A$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}\\
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
\\
Sur la sphère $(S)$ de centre $O$ et de rayon 1, on considère les points $A$, $B$, $C$ de coordonnées :

$A\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 0°}\\
\mbox{latitude 45° Nord}\end{array}\right.$
\hfil
$B\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 90° Est}\\
\mbox{latitude 0°}\end{array}\right.$
\hfil
$C\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 90° Est}\\
\mbox{latitude 60° Nord}\end{array}\right.$

\medskip
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.

\item Déterminer les coordonnées cartésiennes des  points $A$, $B$ et $C$.

\item Calculer les longueurs des côtés du triangle sphérique $(ABC)$.

\item Soit $I$ l'inversion de pôle $B$ et de puissance 2.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'image de la sphère, privée du point $B$, par l'inversion $I$.
		\item  Déterminer les coordonnées cartésiennes des points $A'$ et $C'$, images respectives des points $A$ et $C$ par l'inversion $I$.
	\end{enumerate}
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(OAB)$ est $z=x$.

\item On désigne par $(\Gamma)$ la courbe définie paramétriquement par :

\qquad\qquad
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t
\\
y(t) = \sin t
\\
z(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t
\end{array}
\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item 

 Montrer que $(\Gamma)$ est contenue dans le plan $(OAB)$.

		\item Montrer que $(\Gamma)$ est contenue dans la sphère $(S)$.

		\item En déduire que, si $M$ est un point appartenant à $(\Gamma)$, alors il appartient à un cercle $(\cal C)$ que l'on caractérisera.

		\item On admet que $(\Gamma)$ et $(\cal C)$ sont confondus. Déterminer l'image de la courbe $(\Gamma)$ privée du point $B$ par l'inversion $I$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2006    %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   mai 2007    %%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2007}{}

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\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ G\'eom\`etre topographe session 2007}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}\\
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
$(\Sigma)$ est la sphère de centre O, de rayon 2.
Tout point de $(\Sigma)$ est repéré par sa longitude $\theta$ et sa latitude $\varphi$ (en radians).

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3.2)(3,3.5)
\pscircle{2}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0,3)(0,0)(3,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3;-140)
\uput[-140](3;-140){$x$}
\uput[0](3,0){$y$}
\uput[90](0,3){$z$}
\uput[135](0,0){$O$}
\uput[-90](1;-91.7){$\theta$}
\uput[10](1;10){$\varphi$}
\uput[90]{30}(0.433,0.5){$r$}
\uput[30](0.866,1){$M$}
\parametricplot[linestyle=dotted,algebraic]{-3.14}{0}{2*cos(t)|sin(t)}
\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-2.1}{-1.1}{2*cos(t)|sin(t)}
\parametricplot[linestyle=dotted,algebraic]{-1.57}{1.57}{cos(t)|2*sin(t)}
\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-0.5}{0.5}{cos(t)|2*sin(t)}
\psline[linestyle=dotted](0.866,1)(0,0)(0.9,-0.9)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point de $(\Sigma)$. \'Ecrire les coordonnées cartésiennes de $M$ en fonction de $\theta$ et de $\varphi$.
\item  Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.
\item  Donner une équation cartésienne de la sphère $(\Sigma)$.

\item  On considère les points $A$ et $B$ dont on donne les coordonnées cartésiennes :

$A\left(\sqrt{2}~;~0~;~\sqrt{2}\right)$
et $B(0~;~2~;~0)$.\\
Montrer que $A$ et $B$ sont deux points de $(\Sigma)$.

\item  On considère le point $C$ de $(\Sigma)$ défini par $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ et $\varphi=0$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées cartésiennes de $C$.
		\item Calculer les produits scalaires
$\vect{OB} \cdot \vect{OC}$,~ $\vect{OA} \cdot \vect{OC}$, ~ $\vect{OA} \cdot \vect{OB}$.

En déduire les valeurs exactes de $\cos a$, $\cos b$ et $\cos c$.

$a=\text{mes }\widehat{BOC}$,\qquad
$b=\text{mes }\widehat{AOC}$,\qquad
$c=\text{mes }\widehat{AOB}$,\qquad\\
puis celles de $\sin a$, $\sin b$ et $\sin c$.

		\item   Déterminer les dernières caractéristiques du triangle sphèrique $ABC$.
		\item   Calculer, à $10^{-3}$ près, l'aire du triangle sphèrique $ABC$.
	\end{enumerate}
\item Soit $N$ le pôle nord de la sphère $(\Sigma)$.
Soit $I$ l'inversion de pôle $N$ et de puissance 8.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est l'image de $(\Sigma)$, privée du point $N$, par l'inversion $I$ ? En donner une équation.
		\item Déterminer les coordonnées cartésiennes des points $A'$, $B'$ et $C'$, images respectives des points $A$, $B$ et $C$ par l'inversion $I$.
		\item  Calculer les distances $A'B'$, $A'C'$ et $B'C'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}\\
La représentation paramétrique d'une courbe $C$ est donnée par :

\medskip
\[
\left\{
\begin{array}{l c l}
x(t)&=&\sin (t) \\ 
y(t)&=&\sin (2t)
\end{array}
\right.,
\quad  t \in [-\pi~;~\pi]\]

\begin{enumerate}
\item  \'Etudier la parité des fonctions $x$ et $y$ ; en déduire une symétrie de la courbe. \`A quel intervalle peut-on restreindre l'étude ?

\item  Calculer $x(\pi - t)$ et $y(\pi - t)$ ; en déduire une nouvelle symétrie de la courbe.

\item  \'Etudier les variations des fonctions $x$ et $y$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ et dresser le tableau des variations.

\item  On note $A,~ B,~ C,~ D$ et $E$ les points de $C$ de paramètres respectifs $0, ~\dfrac{\pi}{6},~ \dfrac{\pi}{4}, ~\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Point} & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $E$\\  \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$t$& $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$\\ \hline
 $x(t)$ &  &  &  &  &  \\ \hline
 $y(t)$ &  &  &  &  &  \\ \hline
 $x'(t)$ &  &  &  &  &  \\ \hline
 $y'(t)$ &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Dans un repère orthonormal (unité graphique : 4~cm), représenter les 5 points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ avec les tangentes aux points  $A$, $C$, $E$ puis tracer la courbe $C$.

\item  En utilisant le fait que, pour tout réel $t$, $\sin (2t) = 2 \sin (t)\cos (t)$, résoudre l'équation $\sin(t)=\sin (2t)$.\\
En déduire les coordonnées des points de la courbe situés sur la droite d'équation $y=x$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2007    %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   mai 2008    %%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2008}{}

\lfoot{\small{G\'eom\`etre  topographe}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2008\\ G\'eom\`etre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}\\
On rappelle la formule fondamentale de trigonométrie sphérique :
\[ \cos a =  \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \widehat{A}\]
L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \Oijk.\\
Sur la sphère ($\Sigma$) de centre O et de rayon 1, on considère les points N, S, A et B de coordonnées :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{>{\centering \arraybackslash}X}}
N $\left\{\begin{tabular}{l}
longitude 0\degre\\
latitude 90 \degre Nord\\
\end{tabular}\right.$&S $\left\{\begin{tabular}{l}
longitude 0\degre\\
latitude 90 \degre Sud\\
\end{tabular}\right.$&
A $\left\{\begin{tabular}{l}
longitude 90\degre Est\\
latitude 0 \degre\\
\end{tabular}\right.$&B
$\left\{\begin{tabular}{l}
longitude 45\degre Est\\
latitude 30 \degre Nord\\
\end{tabular}\right.$\\
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  Placer ces points sur la figure donnée en annexe.

\item  Déterminer, par lecture directe ou par calcul, les longueurs des côtés du triangle sphérique ABS.

\item  Déterminer les coordonnées cartésiennes de N, S et A.

Montrer que B$\left(\dfrac{\sqrt{6}}{4}~;~\dfrac{\sqrt{6}}{4}~;~\dfrac{1}{2}  \right)$.

\item  \emph{On rappelle que si le point $M'$ est l'image du point $M$ dans une inversion de centre $\Omega$ et de rapport $k$, on a} $\vect{\Omega M'} = \dfrac{k}{\Omega M^2}\vect{\Omega M}$.\\
 On considère l'inversion $I$ de pôle N et de puissance 4. Quelle est l'image ($P$) de la sphère ($\Sigma$) privée de N par l'inversion $I$ ? Justifier. \\
 Préciser une équation de ($P$).

\item  Soit E le point de coordonnées E$\left(\sqrt{6}~;~\sqrt{6}~;~-1\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer E sur la figure.
		\item  Calculer le produit scalaire $\vect{\text{NB}} \cdot  ~ \vect{\text{NE}}$.
		\item  Montrer que E est l'image de B par l'inversion $I$.
 	\end{enumerate}
\item  A, B et S définissent un cercle ($\mathcal{C}$) dans l'espace.  Soit A$' = I$(A).
	\begin{enumerate}
		\item  Placer A$'$. Par lecture sur la figure donner les coordonnées du point A$'$.
		\item  Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{n}= \vect{\text{SA}} \wedge \vect{\text{SB}}$.\\
		En déduire une équation du plan (ABS).
		\item  Montrer que tous les points de ($\mathcal{C}$) sont sur ($\Sigma$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}\\
Le but de cet exercice est l'étude de raccordements routiers de deux sections rectilignes par une section circulaire ou du quatrième degré. \\Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} la figure en fin d'énoncé schématise les différents raccordements de la section rectiligne [AB] avec la section rectiligne [EF].
\begin{itemize}
\item (O$y$) est axe de symétrie de la figure.
\item  $\mathcal{C}_{1}$ représente le raccordement circulaire. 
\item  $\mathcal{C}_{2}$ représente le raccordement du quatrième degré.
\item  Les points A et B ont pour coordonnées A$\left(- \dfrac{3}{2}~; ~\dfrac{3}{2}\right)$ et B$(-1~;~ 1)$.
\end{itemize}
  
\medskip
  
\textbf{Partie A Sections rectilignes}\\
Les segments [AR] et [FE] sont donc symétriques par rapport à (O$y$).

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les coordonnées des points E et F.
\item  Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$	et $\vect{\text{EF}}$. Montrer qu'ils sont orthogonaux.

\item  Déterminer l'équation réduite de la droite (AB). En déduire celle de (EF).
\end{enumerate}
 
 \medskip
  
\textbf{Partie B Raccordement circulaire} $\mathcal{C}_{1}$\\
$\mathcal{C}_{1}$ passe par les points B et E et la droite (AB) est tangente à l'arc de cercle $\mathcal{C}_{1}$.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que le centre $\Omega_{1}$ de l'arc de cercle $\mathcal{C}_{1}$ est un point de l'axe (O$y$).

\item  Calculer les coordonnées de $\Omega_{1}$.

\item  Vérifier qu'une équation cartésienne du cercle support de $\mathcal{C}_{1}$ est $x^2 + (y - 2)^2 = 2$.
\item  La courbure en un point quelconque du segment [AB] est nulle.\\
Déterminer la courbure en un point quelconque de l'arc de cercle $\mathcal{C}_{1}$.\\
On rappelle que la courbure est l'inverse du rayon de courbure
\end{enumerate}
 
\medskip
  
\textbf{Partie C Raccordement du quatrième degré}\\
\emph{Le raccordement circulaire précédent créerait une rupture brutale de courbure en B comme en E. Le but est donc de créer un raccordement ne présentant pas cet inconvénient.}\\

La courbe $\mathcal{C}_{2}$ est définie par l'équation $y = f(x)$.

\begin{enumerate}
\item  justifier que $f(1) = 1$ et $f'(1) = 1$.
\item  On rappelle que la courbure en un point d'abscisse $x_{0}$ d'une courbe définie par l'équation $y=f(x)$ est : $\dfrac{1}{R}=
\dfrac{f''\left(x_{0}\right)}{\left[1 + \left(f'\left(x_{0}\right)\right)^2\right]^2}$.\\
Pour quelle raison veut-on que $f"(1) = 0$ ?
\item  On admet, à partir de maintenant, que $f (x) = ax^4 + bx^2 + c$.

Montrer que $f(-x) = f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
\item  Exprimer $f(1),~ f(1)$ et $f'(1)$ en fonction des coefficients $a,~ b$ et $c$.


\item  Résoudre le système  : $\left\{\begin{array}{l cl}
a+b+c &=& 1\\
4a + 2b& =& 1\\
12a + 2b &=& 0\\
\end{array}\right.$
	
\item  Montrer que $f(x) = \dfrac{- x^4 + 6x^2 + 3}{8}$.\\
Calculer la courbure au point K de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ d'abscisse $0$.\\
En déduire le rayon de courbure en K puis les coordonnées du centre de courbure $\Omega_{2}$.
 \end{enumerate}
 
 \bigskip
 
 \begin{center}
\psset{unit=2.9cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.2)(2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,2.2)
\psarc(0,2){1.414}{-135}{-45}
\psline(-1.5,1.5)(-1,1)\psline(1.5,1.5)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{-1}{1}{x dup mul 6 mul 3 add x 4 exp sub 8 div}
\uput[u](2,0){$x$} \uput[r](0,2.2){$y$}
\uput[u](-1.5,1.5){A} \uput[ur](-1,1){B} 
\uput[ul](1,1){E} \uput[u](1.5,1.5){F} 
\end{pspicture}
 
 \end{center}

\newpage


\begin{center}
\textbf{- ANNEXE à  rendre avec la copie -}
\end{center}

Figure de l'exercice 1 :

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=0.72cm}
\begin{pspicture}(-10,-5.3)(10,5.3)
	\psline{->}(0,0)(4,0)
	\psline{->}(0,0)(0,4)
	\psline{->}(0,0)(-1,-1)
	\pscircle(0,0){4}
	\uput[dl](-0.5,-0.5){\footnotesize $\vect{\imath}$}
	\uput[90](2,0){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
	\uput[180](0,2){\footnotesize $\vect{k}$}
	\SpecialCoor
	\uput[135](4;135){ $(\Sigma)$}
	\uput[135](0,0){\footnotesize O}
	\psellipse(0,0)(4,1)
	\psgrid[griddots=1, subgriddiv=0, gridlabels=0pt](-11,-8)(11,5)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2008    %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   mai 2009    %%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2009}{}

\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2009\\ Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}\\

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\pscircle{2}
\psline{<->}(0,3)(0,0)(3,0)
\psline{->}(3;-140)
\uput[-140](3;-140){$x$}
\uput[0](3,0){$y$}
\uput[90](0,3){$z$}
\uput[135](0,0){$O$}
\uput[-86.5](0.3;-86.5){$\theta$}
\uput[15](0.4;15){$\varphi$}
\uput[45](1.414,1.414){$(\Sigma)$}
\uput[30](0.866,1){$M$}
%\parametricplot[linestyle=dotted,algebraic]{-3.14}{0}{2*cos(t)|sin(t)}
\psellipse(0,0)(2,0.7)
%\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-2.1}{-0.576}{1*cos(t)|0.5*sin(t)}
\psarc{->}(0,0){0.3}{-140}{-33}
\parametricplot[algebraic]{-1.57}{1.57}{cos(t)|2*sin(t)}
%\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-0.5}{0.5}{cos(t)|2*sin(t)}
\psarc{->}(0,0){0.4}{-33}{49.1}
\psline[linestyle=dotted](0.866,1)(0,0)(0.95,-0.62)
\end{pspicture}
\end{center}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.

$(\Sigma)$ est la sphère de centre $O$ et de rayon 1.

Tout point de $(\Sigma)$ est repéré par le couple $\left(\theta~;~\varphi\right)$ où $\theta$ est sa longitude et $\varphi$ sa latitude (en radians). On considère sur $(\Sigma)$ les points

$I(0~;~0)$
\quad,\quad
$J\left(\dfrac{\pi}{2}~;~0\right)$
\quad,\quad
$K\left(0~;~\dfrac{\pi}{2}\right)$
\quad,\quad
$A\left(\dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{\pi}{6}\right)$
\quad et \quad
$B\left(\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{\pi}{3}\right)$

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les coordonnées cartésiennes des points $I$, $J$ , $K$, $A$ et $B$.
\item Calculer les produits scalaires suivants : $\vect{OA} \cdot \vect{OB},~  \vect{OA} \cdot \vect{OJ}$ et $\vect{OB} \cdot \vect{OJ}$.
\newline
En déduire les longueurs des côtés du triangle sphérique $ABJ$ en radians à $10^{-2}$ près.
\item Calculer, en radians à $10^{-2}$ près, la mesure en radians de l'angle $\hat{A}$ du triangle sphérique~$ABJ$.\newline
\textit{Rappel:\newline
Pour un triangle sphérique $ABC$, avec les notations usuelles de la trigonométrie sphérique on  a :}\newline
$\cos a=\cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos\hat{A}$.
\item Soit $(P)$ le plan passant par les points $I$, $J$ et $K$. écrire une équation cartésienne du plan~$(P)$. 
\item Montrer que le point $H$ de coordonnées cartésiennes $H \left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(P)$.
\item En déduire la nature de l'intersection du plan $(P)$ et de la sphère $(\Sigma)$.
\newline
Préciser les éléments caractéristiques de cet ensemble.
\end{enumerate}

%\end{exercice}

\vfill\hfill

\newpage

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}\\

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij d'axes $(Ox)$ et $(Oy)$.\newline
Soient $A$ le point de coordonnées $A(1~;~0)$, $(C)$ le cercle de diamètre $[OA]$,
$t$ un réel et $(D_t)$ la droite passant par l'origine et par le point $Q$ de coordonnées $(1~;~t)$.

\begin{enumerate}
\item Étude géométrique
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que $t$ est le coefficient directeur de la droite $(D_t)$ et en déduire l'équation réduite de la droite $(D_t)$.
		\item  Écrire une équation cartésienne du cercle $(C)$.

\item La droite $(D_t)$ coupe le cercle $(C)$ au point $O$ et au point $N$.
\newline
Montrer que le couple de coordonnées $(X(t)~;~Y(t))$ de $N$ en fonction de $t$ est :
$
N
\left\{
\begin{array}{l}
X(t)=\dfrac{1}{\strut 1+t^2}
\\
Y(t)=\dfrac{\strut t}{1+t^2}
\end{array}
\right.
$

		\item Soit $M$ le point du plan tel que : $\vect{OM} = \vect{NQ}$.
\newline
Montrer que le couple de coordonnées $(x(t)~;~y(t))$ de $M$ en fonction de $t$ est :
$
M
\left\{
\begin{array}{l}
x(t)=\dfrac{t^2}{\strut 1+t^2}
\\
y(t)=\dfrac{\strut t^3}{1+t^2}
\end{array}
\right.
$
	\end{enumerate}

\medskip

\item Étude d'une courbe paramétrée.

Dans le plan rapporté au repère orthonormal \Oij, on désigne par $(\Gamma)$ la courbe définie paramétriquement par : 
$
(\Gamma)
\left\{
\begin{array}{l}
x(t)=\dfrac{t^2}{\strut 1+t^2}
\\
y(t)=\dfrac{t^3}{\strut 1+t^2}
\end{array}
\right.
$
où $t$ décrit $\R$.

Pour $t \neq 0$, $M(x(t)~;~y(t))$ est distinct du point $O$ et on rappelle que $t$ est le coefficient directeur de la droite $(D_t)$.

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la courbe $(\Gamma)$ admet l'axe $(Ox)$ comme axe de symétrie et en déduire que l'on peut étudier la courbe $(\Gamma)$ pour $t \in ]0~;~+\infty[$.
		\item  Étudier les limites des fonctions $x$ et $y$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\Gamma)$ ?
		\item Montrer que les fonctions $x$ et $y$ ont pour dérivées : 
$x'(t) = \dfrac{2t}{(1+t^2)^2}$ et $y'(t)= \dfrac{3t^2+t^4}{(1+t^2)^2}$.

		\item  Étudier les variations des fonctions $x$ et $y$ pour $t \in]0~;~+\infty[$ et représenter les résultats \textbf{dans le tableau de l'annexe}.
		\item  Calculer : $\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{y(t)- y(0)}{x(t) - x(0)}$. En déduire la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point $O$.
		\item  Tracer la courbe $(\Gamma)$ dans le \textbf{repère représenté sur l'annexe}. 
\newline
On placera les points de $(\Gamma)$ pour les valeurs $t = 1$, $t = 2$ et $t = \sqrt{3}$.
	\end{enumerate}

\vfill\hfill


\newpage

\item étude d'une inversion

On considère l'inversion I de pôle $O$ et de puissance 1.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées $x_1(t)$ et $y_1(t)$ du point $M_1$, image par l'inversion I du point $M\,(x(t)~;~y(t))$ de la courbe $(\Gamma)$ privée de $O$, en fonction de $t$ ($t \neq 0$).
\newline
On rappelle la relation : $\vect{OM_1} = \dfrac{1}{OM^2} \,\vect{OM}$.
		\item  Montrer que les coordonnées $x_1(t)$ et $y_1(t)$ du point $M_1$ vérifient l'équation $y^2 =x$.
		\item  Préciser la nature de la courbe $(P)$ d'équation : $y^2 = x$ et en donner les éléments
caractéristiques.
		\item  Tracer la courbe $(P)$ dans \textbf{le repère de l'annexe}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vfill\hfill

\newpage

\begin{center}\textbf{-- ANNEXE à rendre avec la copie --}\end{center}

\textbf{Exercice 2 : B. 4)
.}

$
\begin{array}{|c|cp{8.5cm}c|}
\hline
t & 0 && +\infty
\\\hline
x'(t)&&&
\\\hline
\raisebox{1.5cm}{$x(t)$}&\rule{0cm}{3cm}&&
\\\hline
\raisebox{1.5cm}{$y(t)$}&\rule{0cm}{3cm}&&
\\\hline
y'(t)&&&
\\\hline
\end{array}
$

\bigskip

\textbf{Repère et figure de l'exercice 2 :}


\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.2)(1.5,1.2)
	\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1.2)(1.5,1.2)
	\psline{->}(1,0)
	\psline{->}(0,1)
	\pscircle(0.5,0){0.5}
	\psline(1,-1.5)(1,1.5)
	\uput[-45](0,0){$O$}
	\uput[45](1,0){$A$}
	\uput[-20](1,0.6){$Q$}
	\uput[90](0.26,0.16){$M$}
	\uput[90](0.74,0.44){$N$}
	\uput[-45](0.5,-0.5){$(C)$}
	\uput[120.96](1.3;210.96){$(D)$}
	\uput[180](0,1){$1$}
	\uput[180](0,-1){$-1$}
	\uput[-90](-1,0){$-1$}
	\psplot[algebraic=true]{-1.5}{1.5}{0.6*x}
	\psline[linewidth=0.015]{->}(0.26,0.16)
	\psline[linewidth=0.015]{->}(0.74,0.44)(1,0.6)
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2009    %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   mai 2010    %%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2010}{}

\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2010\\ Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 : étude d'une courbe plane\hfill 9 points}\\

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. 
 
On considère la courbe $C$ définie par : $\left\{\begin{array}{l c l}
x(t)&=& t - \sqrt{2} \sin (t)\\
y(t)& = &\cos (t)
\end{array}\right., t~\text{décrivant}~\R$.

On note $M_{t}$ le point de coordonnées $\left(x(t)~;~y(t)\right)$ de $C$.
 
Le but de cet exercice est d'étudier quelques aspects de $C$ et d'en tracer l'allure.

\medskip
 
\textbf{A) Détermination de l'intervalle d'étude}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{M_{t}M_{t+2\pi}}$ est constant.
 
Comment déduit-on le point $M_{t+2\pi}$ du point $M_{t}$ ? Qu'en déduit-on pour la courbe $C$ ? 
\item Comparer les coordonnées de $M_{-t}$ et celles de $M_{t}$.
 
Qu'en déduit-on pour les points $M_{-t}$ et $M_{t}$, ainsi que pour la courbe $C$ ? 
\item Montrer que l'intervalle d'étude peut être restreint à $J = [0~;~\pi]$. 
\item On nomme $C_{J}$ la courbe décrite par $M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'intervalle $J$.
 
Comment peut-on déduire $C$ à partir de $C_{J}$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B) Étude de \boldmath$C_{J}$ \unboldmath~ avec \boldmath$J = [0~;~\pi]$\unboldmath~ et applications.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item r

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $x'(t)$ et étudier le signe de $x'(t)$ sur $J$. 
		\item Calculer $y'(t)$ et étudier le signe de $y'(t)$ sur $J$. 
		\item Étudier les variations des fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $J$.
		 
On présentera les résultats de cette étude, en indiquant les valeurs exactes, dans le premier tableau figurant en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.
 
On y portera aussi les valeurs de $x'(t)$ et $y'(t)$ aux bornes de l'intervalle.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les points de $C_{J}$ ayant des tangentes parallèles aux axes de coordonnées. 
		\item  Déterminer le point d'intersection de $C_{J}$ avec l'axe des abscisses.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs situé dans l'annexe. 
		\item On se propose de tracer la partie de la courbe C correspondant à la variation de t dans $[-\pi~;~\pi]$.
		 
Faire d'abord apparaitre $C_{J}$ sur la feuille de papier millimétré à rendre avec la copie dans le repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 2~centimètres.
 
On fera apparaitre les tangentes aux points de paramètres $0,~\dfrac{\pi}{4}$ et $\pi$. 
		\item Sur la même figure, esquisser la partie de $C$ correspondant à la variation de $t$ dans $[-\pi~;~0]$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : étude d'une route orthodromique\hfill 11 points}\\

\medskip
 
{\large \textbf{Préambule et notations}}

\medskip
 
Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk, la Terre est assimilée à une sphère $\Sigma$ de centre O et de rayon 1.

\medskip
 
L'équateur $\Gamma$ est le cercle intersection de la sphère $\Sigma$ et du plan $\Pi$ d'équation $z = 0$.

\medskip
 
Tout point de $\Sigma$ est alors repéré par le couple $(\theta~;~\varphi)$ où $\theta$ est sa longitude et $\varphi$ sa latitude (en radians).

\medskip
 
En navigation (terrestre ou aérienne) une route orthodromique désigne une trajectoire décrivant une partie d'un grand cercle du globe terrestre.

\medskip
 
Soient les points $N\left(\theta = 0~;~\varphi = \dfrac{\pi}{2}\right),~S\left(\theta = 0~;~\varphi = - \dfrac{\pi}{2}\right),~I(\theta = 0~;~)$ et $A\left(\theta = 0~;~\varphi = - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

\medskip
 
Un navire partant de $A$ se dirige vers le \textbf{nord-ouest} en suivant une route orthodromique qui coupe l'équateur au point $B$ (voir la figure ci-dessous). 

On admet que la longitude de $B$ est négative et que l'angle $\widehat{A}$ du triangle sphérique $AIB$ mesure $\dfrac{\pi}{4}$
radians. 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5.2,-5)(5.2,5.2)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\pscircle(0,0.2){4.05}
\psline{->}(-4,0.7)(5.2,-0.5)
\psline{->}(1.9,1.5)(-3.9,-2.7)
\psline{->}(0,-5)(0,5.2)
\psellipse[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.2)(4.05,1.3)
\rput{-9.5}(0,0.2){\psellipse[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0)(1.5,4.05)}
\uput[dl](-3.9,-2.7){$x$} \uput[dr](5.2,-0.5){$y$} \uput[u](0,5.2){$z$}
\uput[ul](-1.6,-1){$I$}\uput[ul](0,0.2){O}\uput[dr](0,4){$N$}\uput[r](0,-3.55){$S$}\uput[ur](-1,-3.6){$A$}\uput[u](-3.65,-0.35){$B$}\uput[d](2,-0.9){$\Gamma$}
\pscurve[linewidth=1pt](0.6,4.2)(0.3,4.15)(0,3.97)(-0.5,3.3)(-1,2.3)(-1.5,0.3)(-1.6,-0.6)(-1.6,-1.8)(-1.4,-2.9)(-1,-3.6)(-0.7,-3.78)
\pscurve[linewidth=1pt](-4.05,0.25)(-3.9,-0.15)(-3.8,-0.24)(-3.5,-0.44)(-3,-0.69)(-2.5,-0.82)(-2,-0.92)(-1.5,-1)(-1,-1.08)(-0.5,-1.1)(0,-1.1)(0.5,-1.09)(1,-1.06)(1.5,-1)(2,-0.92)(2.5,-0.81)(3,-0.68)(3.5,-0.45)(3.75,-0.3)(3.9,-0.17)(4.05,0.18)
\pscurve[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-3.65,-0.35)(-3.6,-0.55)(-3,-1.98)(-2,-3)(-1.2,-3.5) 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip


\textbf{Rappel}

\medskip
 
Pour un triangle sphérique $ABC$, avec les notations usuelles de la trigonométrie sphérique :

\begin{center}
$\begin{array}{l c l}
\cos \left(\widehat{A}\right) &=& - \cos\left(\widehat{B}\right) \cos \left(\widehat{C}\right) + \sin \left(\widehat{B}\right) \sin \left(\widehat{C}\right) \cos(a)\\ 
\cos (a) &=& \cos(b) \cos (c) + \sin (b) \sin(c) \cos \left(\widehat{A}\right)\\
\end{array}$ 
\end{center}

\bigskip

\textbf{A) Résolution du triangle sphérique AIB et position du point B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On rappelle que l'angle $\widehat{A}$ vaut $\dfrac{\pi}{4}$. Justifier que $\widehat{I} = \dfrac{\pi}{2}$ et donner le côté $b = \widearc{AI}$. 
\item Calculer une mesure en radians de l'angle $\widehat{B}$. 
\item Montrer que $\cos (a) = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$. 
\item Montrer que les coordonnées cartésiennes de $B$ sont : $\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}~;~ - \dfrac{1}{\sqrt{3}}~;~0\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B) Projection stéréographique de pôle sud}

\medskip

On note $\mathcal{T}$ l'inversion de pôle $S$ et de puissance 2.
 
On rappelle que pour tout point $M$ différent de $S$ on a $M' = \mathcal{T}(M)$ si et seulement si $\vect{SM'} = \dfrac{2}{SM^2} \vect{SM}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Préliminaires}
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées cartésiennes de $A$. 
		\item Déterminer l'image $N'$ du point $N$. 
		\item Quelle est l'image de la sphère $\Sigma$ privée du point $S$ par l'inversion $\mathcal{T}$ ? 
		\item Montrer que tout point du cercle équatorial $\Gamma$ est invariant par $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate} 
\item Justifier le fait que $A'$ a pour coordonnées cartésiennes $(1 + \sqrt{2}~;~0~;~0)$. 
\item Soit $\Gamma_{1}$ le grand cercle passant par $I$ et $A$. Quelle est l'image $\Gamma'_{1}$ de $\Gamma_{1}$ par $\mathcal{T}$ ? 
\item Soit $\Gamma_{2}$ le grand cercle passant par $A$ et $B$ et $\Gamma'_{2}$ son image par $\mathcal{T}$. Justifier que $\Gamma'_{2}$ est un cercle. 
\item Représenter, sur la copie, dans le plan repéré par \Oij{} les cercles $\Gamma$ et $\Gamma'_{2}$~; ainsi que les inverses par $\mathcal{T}$ des côtés du triangle sphérique $AIB$.
 
\emph{On pourra éventuellement utiliser le point $B_{1}$ symétrique de $B$ par rapport au point} O. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ \Large -- ANNEXE à rendre avec la copie --}
\end{center}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1 :}

\medskip
 
\textbf{Tableau de variations du B- 1. c.}

\medskip

\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(12,9)
\psframe(12,9)
\psline(0,1)(12,1)\psline(0,4)(12,4)\psline(0,7)(12,7)\psline(0,8)(12,8)
\psline(2,0)(2,9)
\rput(1,0.5){$y'(t)$} \rput(1,2.5){$y(t)$}\rput(1,5.5){$x(t)$}\rput(1,7.5){$x'(t)$}\rput(1,8.5){$t$}\rput(2.2,8.5){$0$} \rput(11.7,8.5){$\pi$}
\end{pspicture} 

\vspace{2cm}

\textbf{Tableau de valeurs du B-3. a.  (valeurs arrondies à \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath près).} 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2.25}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$ &$0$&$\dfrac{\pi}{4}$&$\dfrac{\pi}{3}$&$\dfrac{\pi}{2}$&$\pi$\\ \hline
$x(t)$&&&&&\\ \hline
$y(t)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2010    %%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   mai 2011    %%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2011}{}

\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{25 mai 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2011\\ Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 : géométrie sphérique\hfill 9 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.

($\Sigma$) est la sphère de centre O, de rayon 1.
 
\emph{Rappels} : avec les notations usuelles de la trigonométrie sphérique :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] tout point de ($\Sigma$) est repéré par le couple $(\theta~;~\varphi)$ où $\theta$ est sa longitude et $\varphi$ sa latitude (en radians) ; 
\item[$\bullet~~$] les éléments caractéristiques du triangle sphérique ABC sont notés $a,\, b,\, c$ pour les angles au  centre, et A, B, C pour les angles aux sommets et seront exprimés en radians ; 
\item[$\bullet~~$] pour un triangle sphérique ABC :

$\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos \widehat{\text{A}}$ et
 
$\dfrac{\sin a}{\sin \widehat{\text{A}}} 	= \dfrac{\sin b}{\sin \widehat{\text{B}}} = \dfrac{\sin c }{\sin \widehat{\text{C}}}$. 	
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}	
	 
On considère en coordonnées sphériques les points de ($\Sigma$) suivants : 

\[\text{N}\left(0~;~\dfrac{\pi}{2}\right) \quad \text{S}\left(0~;~-\dfrac{\pi}{2}\right)\quad \text{A}(0~;~0)\quad \text{B}\left(0~;~\dfrac{\pi}{3}\right) \quad  \text{C}\left(\dfrac{5\pi}{12}~;~0\right)\]
 
\begin{enumerate}
\item Compléter la figure donnée en annexe 1, en plaçant les points N, S, A, B et C, ainsi que le triangle sphérique ABC. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que $\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}$ justifier les résultats suivants : 
 
\[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} -\sqrt{2}}{4}\qquad \text{et}\qquad  \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4}.\]
 
		\item  Déterminer les valeurs exactes des coordonnées cartésiennes des points A, B, C.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs exactes de $b, c$ et $\widehat{\text{A}}$. 
		\item Déterminer les valeurs arrondies à $10^{-3}$ pr\`es de $a,\, \widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$. 
		\item Déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ pr\`es de l'aire du triangle sphérique ABC.
	\end{enumerate} 
\item On note $I$ l'inversion de pôle N et de puissance 2. 

Pour tout point $M$ de l'espace, on notera $M'$ son image par l'inversion $I$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'image par l'inversion $I$ de la sphère $(\Sigma)$ privée du point N. 
		\item Quelles sont les images des points A et C par l'inversion $I$ ? 
		\item Calculer les coordonnées exactes de B$'$ , image du point B par l'inversion $I$. 
		\item Placer le point B$'$ sur la figure en laissant les traits de construction. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : étude d'une courbe paramétrée\hfill 11 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} direct.
 
On considère la courbe $(\Gamma)$ dont chaque point $M_{t}$ a pour coordonnées : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t)& =& \dfrac{t^2}{1 +t^2}\\  
y(t)& =& \dfrac{\text{e}^t}{1 + t^2}
\end{array}\right.,\: t~\text{décrivant}~ \R.\]  
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude des variations et étude de la courbe}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites en $- \infty$ et en $+ \infty$ des fonctions $x$ et $y$. Préciser l'asymptote de la courbe. 
		\item Démontrer que : $x^{\prime}(t) = \dfrac{2t}{\left(1 + t^2 \right)^2}$		 et $y^{\prime}(t) = \dfrac{\text{e}^t(t - 1)^2}{\left(1 + t^2 \right)^2}$. 
		\item Étudier les variations des fonctions $x$ et $y$. Rassembler les résultats dans un tableau de variations. 
		\item Donner une équation de la droite $(\Delta)$ tangente à la courbe ($\Gamma$) au point E de paramètre $t = 1$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Étude de la courbure}
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : $x^{\prime\prime}(t) = \dfrac{2\left(1 - 3t^2\right)}{\left(1 + t^2\right)^3}$.

On admettra que : $y^{\prime\prime}(t) = \dfrac{\text{e}^t(t - 1)\left(t^3 - 3t^2 + 5t + 1\right)}{\left(1 + t^2\right)^3}$.
		\item Déterminer le rayon de courbure $R$ de la courbe ($\Gamma$), au point A de paramètre $t = 0$.
		 
\emph{Rappel} : $R = \dfrac{\left(x^{\prime}^2 + y^{\prime}^2\right)^{\frac{3}{2}}}{x^{\prime}y^{\prime\prime} - x^{\prime\prime}y^{\prime}}$.
		\item  On note ($C$) le cercle de courbure au point A.
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que $\vect{\jmath}$ est un vecteur directeur unitaire de la tangente à ($\Gamma$) en A.
			
Préciser le vecteur $\vect{n}$ tel que le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\jmath},\,~\vect{n}\right)$ soit un repère orthonormal direct. 
			\item Démontrer que le cercle ($C$) a pour centre le point $\Omega\left(\dfrac{1}{2}~;~1\right)$. 
			\item Déterminer une équation cartésienne du cercle ($C$).
		\end{enumerate}
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Tracé de la courbe} \boldmath $(\Gamma$)\unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs en annexe 1 ; on donnera des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près. 
		\item Tracer la courbe ($\Gamma$), le cercle ($C$) et la droite ($\Delta$) sur la feuille donnée en annexe 2. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (À RENDRE AVEC LA COPIE) }

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1 [question \textbf{1.}) :} \end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
\psline(-6,0.85)(-3.95,0.6)
\psline[linestyle=dashed](-3.95,0.6)(3.95,-0.6)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(3.95,-0.6)(6,-0.95)
\psline[linestyle=dashed](-2.6,-3.05)(2.6,2.9)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(-2.6,-3.05)(-2.8,-3.3)\uput[dl](-2.8,-3.3){$x$}
\psline{->}(2.6,2.9)(2.7,3.05)\uput[dr](6,-0.95){$y$}
\pscircle[linewidth=1.25pt](0,0){4}
\scalebox{1}[0.4125]{\psarc(0,0){4}{180}{0}}%
\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(4,1.65)
\rput{-5}(0,0){\scalebox{1}[3.333]{\psarc(0,0){1.19}{90}{-90}}}%
\rput{-5}(0,0){\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(1.2,4)}%
\psline[linestyle=dashed](0,-4)(0,4)\psline(0,-4)(0,-4.5)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(0,4)(0,4.5)\uput[u](0,4.5){$z$}\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture}



\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2 [question \textbf{3.\,a.}) : }

\medskip
 
Tableau de valeurs à compléter: 
\end{flushleft}

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Point}& $M_{-2}$& A &E &$M_{2}$\\ \hline 
$t$&$- 2$& 0 &1 &2 \\ \hline
$x(t)$&&&&\\ \hline% 
$y(t)$&&&&\\ \hline%
\end{tabularx} 

\newpage

\textbf{ANNEXE 2 (À RENDRE AVEC LA COPIE)}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2 [question \textbf{3.\,a.}) :}  
\end{flushleft}
\bigskip

\psset{unit=6.667cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.3)(1.6,2.2) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.3)(1.6,2.2)
\uput[d](1.55,0){$x$}\uput[l](0,2.15){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=10,subgriddots=10,gridwidth=1.5pt,subgridwidth=1.5pt]
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    fin 2011    %%%%%%%%%%
\end{document}