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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{}}
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\begin{center} {\huge \textbf{\gray \decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright \\\vspace{1cm} Le groupement Conception de produits industriels de 2001 à 2011}}
  
\end{center}

\vspace{1cm}

{\Large  \hyperlink{2001}{Métropole  2001} \dotfill 3  \medskip

\Large  \hyperlink{2002}{Métropole  2002} \dotfill 7  \medskip

\Large  \hyperlink{2003}{Métropole  2003} \dotfill 10  \medskip

\Large  \hyperlink{2004}{Métropole  2004} \dotfill 13  \medskip

\Large  \hyperlink{2005}{Métropole  2005} \dotfill 17  \medskip

\Large  \hyperlink{2006}{Métropole  2006} \dotfill 20  \medskip

\Large  \hyperlink{2007}{Métropole  2007} \dotfill 23  \medskip

\Large  \hyperlink{2008}{Métropole  2008}  \dotfill 26  \medskip

\Large  \hyperlink{2009}{Métropole 2009} \dotfill 30  \medskip

\Large  \hyperlink{2010}{Métropole  2010} \dotfill 34  \medskip

\Large  \hyperlink{2011}{Métropole  2011} \dotfill 36  \medskip}
\newpage ~

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2001  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2001}{}

\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{mai 2001}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Conception de produits industriels session 2001}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties A, B, C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires dont les cotes sont exprimées en millimètres.
 
Un contrôle de qualité consiste à vérifier que la longueur et la largeur des pièces sont conformes à la norme en vigueur.

\medskip
 
\textbf{Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront arrondis à}\boldmath  $10^{-3}$ \unboldmath.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On note E l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans le stock de l'entreprise est conforme \fg.
 
On suppose que la probabilité de l'évènement E est 0,9.
 
On prélève au hasard 10 pièces dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pièces.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10 pièces, associe le nombre de pièces conformes parmi ces 10 pièces.
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 8 pièces au moins soient conformes. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Une partie des pièces de la production de l'entreprise est fabriquée par une machine automatique notée \og machine 1 \fg.
 
Soient $M$ et $N$ les variables aléatoires qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans un lot très important fabriqué par la machine 1, associent respectivement sa longueur et sa largeur.
 
On suppose que $M$ suit la loi normale de moyenne $m_{1} = 250$ et d'écart type $\sigma_{1} = 1,94$.

On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne $m_{2} = 150$ et d'écart type $\sigma_{2} = 1,52$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la longueur d'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre 246 et 254. 
\item  Calculer la probabilité que la largeur d'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre 147 et 153. 
\item  Une pièce est conforme si sa longueur est comprise entre 246 et 254 et si sa largeur est comprise entre 147 et 153.
 
On admet que les variables $M$ et $N$ sont indépendantes.
 
Montrer que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit conforme est $0,914$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Une autre machine automatique de l'entreprise, notée \og machine 2 \fg{} fabrique également ces mêmes pièces en grande quantité.
 
On suppose que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée de la machine 1 soit conforme est $p_{1} = 0,914$ et que la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production d'une journée de la machine 2 soit conforme est $p_{2} = 0,879$.
 
La machine 1 fournit 60\:\% de la production totale de ces pièces et la machine 2 le reste de cette production.
 
On prélève au hasard une pièce parmi la production totale de l'entreprise de la journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être tirées.
 
On définit les évènements suivants : 

A : \og la pièce provient de la machine 1 \fg{} ;

B : \og la pièce provient de la machine 2 \fg{} ; 

C : \og la pièce est conforme \fg.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités $P$(A), $P$(B), $P$(C/A), $P$(C/B).
 
(On rappelle que $P$(C/ A) est la probabilité de l'évènement C sachant que l'évènement A est réalisé.) 
\item  En déduire $P(\text{C} \cap \text{A})$ et $P(\text{C} \cap \text{B})$. 
\item  En admettant que C $= (\text{C} \cap \text{A}) \cup (\text{C} \cap \text{B})$, calculer $P$(C). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip
 
\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}
 
On considère l'équation différentielle (E) :

\[ y' - 2 y = \text{e}^{2x}.\]
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée.
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) : \quad  y' - 2 y = 0$. 
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x \text{e}^{2x}$.
 
Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation (E) qui vérifie la condition $f(0) = - 1$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{B. Étude d'une fonction} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (x- 1)\text{e}^{2x}$.
 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans le repère de l'annexe (à rendre avec la copie). 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. 
		\item Interpréter géométriquement le résultat obtenu au b.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,~f'(x) = (2x - 1)\text{e}^{2x}$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$. 
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la fonction exponentielle $t \longmapsto \text{e}^t$ et, donner le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de $0$ de la fonction $ x \longmapsto \text{e}^{2x}$. 
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction $f$ est :
		 
\[f(x) = - 1 - x + \dfrac{2}{3}x^3 + x^3 \epsilon(x)~ \text{avec}~\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]
 
		\item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 et la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage de ce point. 
		\item Tracer $T$ dans le repère de l'annexe. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
 
\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\alpha$ un réel strictement négatif ; on pose $I(\alpha) = \displaystyle\int_{\alpha}^0f(x)\:\text{d}x$. 

D\'emontrer que $I(\alpha) = -\dfrac{3}{4} - \left(\dfrac{1}{2}\alpha - \dfrac{3}{4} \right)\text{e}^{2\alpha}$. On pourra effectuer une int\'egration par parties. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $I(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $- \infty$. 
		\item  À l'aide d'une phrase, donner une interprétation graphique de ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 10~centimètres.

\medskip
 
\emph{A - Étude de fonctions et tracé d'une courbe paramétrée}

\medskip
 
À tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~1], on associe le point $M(t)$ de coordonnées 

\[x = f(t) = -t^2 + t + \dfrac{1}{2}\quad \text{et} \quad  y = g(t) = \dfrac{t^2}{2}.\]
 
On note $(\mathcal{C})$ la courbe ensemble des points $M(t)$ obtenus lorsque $t$ varie dans [0~;~1].
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ sur [0~;~1] et regrouper les résultats dans un même tableau. 
\item Préciser les tangentes à la courbe $(\mathcal{C})$ aux points M(0), M$\left(\frac{1}{2}\right)$ et M(1) obtenus pour $t = 0,~t =  \frac{1}{2}$ et $t = 1$.

Construire ces tangentes et la courbe $(\mathcal{C})$
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{B - Détermination géométrique et tracé d'une seconde courbe paramétrée}

\medskip
 
On donne les points A (1~;~0) et B(1~;~1) par leurs coordonnées.
 
Pour tout nombre $t$ de l'intervalle [0~;~1], soit $N(t)$ le point défini par : 
 
\[\vect{\text{O}N(t)} = \dfrac{(1 - t)^2}{2}\vect{\text{OA}} + \dfrac{t^2}{2} \vect{\text{OB}}.\] 
	 
\begin{enumerate}
\item Montrer que les coordonnées $\left(x_{1}~;~y_{1}\right)$ du point $N(t)$ sont : $x_{1} = \dfrac{1}{2}  - t + t^2$ et $y_{1} = \dfrac{t^2}{2}$. 
\item  Pour tout nombre $t$ de l'intervalle [0~;~1], soit $I(t)$ le milieu du segment $[M(t)N(t)]$, où le point $M(t)$ de coordonnées $(x~;~y)$ est défini dans la partie A et où le point $N(t)$ de coordonnées $\left(x_{1}~;~y_{1}\right)$ est défini dans la partie B.
 
On observe que les points $M(t)$ et $N(t)$ ont la même ordonnée. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'abscisse $\dfrac{x + x_{1}}{2}$ du point $I(t)$ est constante.
		\item En déduire que $N(t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à une droite $(D)$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate} 
\item  On note $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ la courbe ensemble des points $N(t)$ obtenus lorsque $t$ varie dans [0~;~1]. En utilisant la symétrie mise en évidence à la question 2. b., tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ dans le même repère que la courbe $(\mathcal{C})$. 

\bigskip

Les courbes $(\mathcal{C})$ et $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ sont deux cas particuliers d'un même modèle de base intervenant dans les logiciels de conception assistée par ordinateur (CAO) utilisés notamment en mécanique, en aéronautique et dans l'industrie automobile. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin 2001  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2002  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2002}{}

\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{mai 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Conception de produits industriels session 2002}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

\medskip

Dans un groupe d'assurances, on s'intéresse aux sinistres susceptibles de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d'une importante entreprise de maintenance de chauffage collectif.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés sont à arrondir à 10$^{-3}$.

\begin{enumerate}
\item  Étude du nombre de sinistres par véhicule \newline

 Soit $X$ la
variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard dans un
des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres survenant pendant
l'année considérée. On admet que $X$ suit la loi de Poisson de
paramètre $0,28$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité de l'évènement A : \og un
véhicule tiré au hasard dans le parc n'a aucun sinistre pendant
l'année considérée \fg.

\item  Calculer la probabilité de l'évènement B : \og un
véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres
pendant l'année considérée \fg.
\end{enumerate}

\item  Étude du nombre de sinistres dans une équipe de 15
conducteurs.

\medskip

On note E l'évènement : \og un conducteur tiré
au hasard dans l'ensemble des conducteurs de l'entreprise n'a pas de sinistre pendant l'année considérée \fg. On suppose que la probabilité de
l'évènement E est 0,6.

On tire au hasard 15 conducteurs dans
l'effectif des conducteurs de l'entreprise. Cet effectif est assez important
pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec
remise de 15 conducteurs. 

On considère la variable aléatoire
$Y$ qui, à tout prélèvement de 15 conducteurs, associe le nombre
de conducteurs n'ayant pas de sinistre pendant l'année considérée.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable aléatoire $Y$ suite une loi binomiale et déterminer ses paramètres.
		\item  Caculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10
conducteurs n'aient pas de sinistre pendant l'année considérée.
	\end{enumerate}
\item  Étude du coût des sinistres

\medskip

Dans ce qui suit, on s'intéresse au coût d'une certaine catégorie de sinistres survenus dans l'entreprise pendant l'année considérée.

On considère la variable aléatoire $C$ qui, à chaque sinistre
tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son
coût en euros. On suppose que $C$ suit la loi normale de moyenne \np{1200} et d'écart type 200.

Calculer la probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre \np{1000}~euros et \np{1500}~euros.

\item  On considère un échantillon de 100~véhicules
prélevés au hasard dans le parc de véhicules mis en service depuis
6~mois. Ce parc contient suffisamment de véhicules pour qu'on puisse
assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 91
véhicules de cet échantillon n'ont pas eu de sinistre.

	\begin{enumerate}
		\item  Donner une estimation ponctuelle du pourcentage $p$ de véhicules de ce parc qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.
		\item  Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de
100~véhicules prélevés au hasard et avec remise dans ce parc,
associe le pourcentage de véhicules qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois
après leur mise en service.

On suppose que $F$ suit la loi normale

\[N\left(  p,\sqrt{\frac{p\left(1 - p\right)  }{100}}\right)\]

où $p$ est le pourcentage inconnu de véhicules du parc qui n'ont pas
eu de sinistre 6~mois après leur mise en service.

Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage $p$ avec le c?fficient de confiance 95\,\%.

		\item  On considère l'affirmation suivante : 
		
\og le pourcentage $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question \textbf{b.} \fg

Est-elle vraie ? On ne demande pas de justification.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\centerline {\bf Les 3 parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\textbf{A -- Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 
\[y''- y' - 2y = (-6x-4) e^{-x}\leqno  (E)\]

où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, $y'$ sa fonction dérivée première et $y''$ sa fonction dérivée seconde.
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle
\[   y'' - y' - 2y = 0\leqno   (E_0)\]

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par~: \quad $h (x) = (x^2 + 2x) \text{e}^{-x}$.

 Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation
diférentielle $(E)$
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $E$
qui vérifie les conditions initiales~:
\[   f (0) = 1      \qquad {\rm et} \qquad   f'(0) = 1.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B -- \'Etude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f (x) = (x + 1)^2\text{e}^{-x}.\]

Sa courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal est
donnée sur la figure ci-après.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle { \lim _{x\to -\infty } f (x)}$.
		\item Déterminer $\displaystyle {    \lim _{x\to +\infty } x^2\text{e}^{-x}}$ et  $\displaystyle { \lim _{x\to +\infty } x \text{e}^{-x}
}$. En déduire $\displaystyle {    \lim _{x\to +\infty } f(x)}$.
		\item Interpréter graphiquement le résultat obtenu au \textbf{b.}).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de $\R$, $f'(x) =
(1-x^2) \text{e}^{-x}$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item \` A l'aide du développement limité au voisinage de
$0$ de la fonction exponentielle $t\mapsto \text{e}^t$, donner le
développement limité, à l'ordre~$2$, au voisinage de $0$ de la
fonction $x\mapsto \text{e}^{-x}$.
		\item  Démontrer que le développement limité, à l'ordre~$2$, au
voisinage de~$0$ de la fonction $f$ est~:
\[f(x) = 1 + x - {1\over 2} x^2 + x^2 \varepsilon (x) = 0.\]
		\item  En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe
$C$ au point d'abscisse $0$ et la position relative de $C$ et $T$ au
voisinage de ce point.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{C -- Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ définie dans la partie {\bf B} étant
une solution de l'équation différentielle $(E)$~:

\[y'' - y' - 2y = (-6x-4) \text{e}^{-x},\]

montrer que $f$ vérifie, pour tout $x$ de $\R$,

\[f(x) = \dfrac{1}{2} \left[ f''(x) - f'(x) + (6x + 4) \text{e}^{-x}\right].\]

		\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par~:

\[F(x) = \dfrac{1}{2} \left[ f'(x) - f(x) - (6x + 10) \text{e}^{-x}\right].\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$.
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de $\R$,

\[F(x) = (-x^2 - 4x - 5) \text{e}^{-x}.\]
	\end{enumerate}
\item Utiliser ce qui précède pour démontrer que l'aire $A$ de la
partie du plan hachurée sur la figure est, en unité d'aire,

\[A = \text{e} - 5.\]

\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  2003  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2003}{}

\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Conception de produits industriels session 2003}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de fa çon indépendante.}

\medskip

\emph{A Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle
\[ (\text{E})~~ :\quad  y'' + 5y' + 6y = 4\text{e}^{-2x}\]
 où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ la fonction dérivée seconde. 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (H)~~: $\quad y'' + 5y'+ 6y = 0$. 

\item  Vérifier que la fonction $g(x) =  4x\text{e}^{-2x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 

\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 

\item  Déterminer la solution particulière $h$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $h(0) =  3$ et $h'(0) = -2$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
\[ f(x) =  (4x + 3)\text{e}^{-2x}.\]
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $f$ en  $- \infty$ et $+\infty$. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-2x} = 0$.

\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer par le calcul que la dérivée $f'$ de $f$ est définie par : 
		
$f'(x) =   (- 8x - 2)\text{e}^{-2x}$.
		\item  Déterminer suivant les valeurs de $x$ le signe de $f'$.
		\item  En déduire les variations de la fonction $f$. On regroupera les résultats dans un tableau de variations en faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du développement limité de $t \longmapsto \text{e}^{t}$ à  l'ordre 2 au voisinage de $0$, donner le développement limité  à l'ordre 2 au voisinage de $0$ de 
		
$x \longmapsto \text{e}^{-2x}$
		\item En déduire que le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de $0$ de $f(x)$ est : 
		\[f(x)  = 3 - 2x - 2x^2 + x^2\epsilon(x)~\text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire de la question précédente l'équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ en $0$. 
		\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de T au voisinage de $0$.
	 \end{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{C}$ et T.
\end{enumerate}
 
\medskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.

\item  Calculer à l'aide d'une intégration par parties la valeur exacte de l'intégrale I $= \displaystyle\int_{- \frac{3}{4}}^{3}	f(x)\:\text{d}x$.

\item  Déterminer l'aire en cm$^2$ à $10^{-2}$ près par défaut, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 3$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\emph{Partie A}

\medskip

Une entreprise fabrique des jetons destinés à un établissement de jeux. On note D la variable aléatoire prenant pour valeur le diamètre en millimètres des jetons et E la variable aléatoire prenant pour valeur l'épaisseur en millimètres des jetons.

On suppose que les variables aléatoires D et E sont indépendantes.

Le cahier des charges de cette entreprise indique que le diamètre doit être égal à $29 \pm 0,4$~mm et que l'épaisseur doit être égale $2 \pm 0,1$~mm.

On admet que la variable aléatoire D suit la loi normale de moyenne $29$ et d'écart type $0,2$ et que la variable aléatoire E suit la loi normale de moyenne $2$ et d'écart type $0,04$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production ait un diamètre conforme au cahier des charges.
\item  Calculer la probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production ait une épaisseur conforme au cahier des charges.
\item  En déduire la probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production satisfasse les deux conditions du cahier des charges.
\end{enumerate}
 
\medskip

\emph{Partie B}

\medskip

On suppose que 6\:\% des jetons ne correspondent pas au cahier des charges.

On prélève au hasard dans la production 100~jetons. Vu la quantité de jetons produite par l'entreprise, on peut assimiler ce prélèvement à un tirage successif avec remise.

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de jetons non conformes au cahier des charges.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la loi de probabilité de X en justifiant la réponse et en précisant les paramètres de cette loi.

\item  Quelle est la probabilité d'avoir un seul jeton non conforme ?

\item  On suppose que l'on peut approcher la loi de X par une loi de Poisson, 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le paramètre de cette loi. 
		\item  Déterminer la probabilité d'avoir exactement 3 jetons ne répondant pas au cahier des charges. 
		\item  Déterminer la probabilité d'avoir au moins 4 jetons ne répondant pas au cahier des charges.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Soit \Oij{} un repère orthonormal d'unité graphique 1~cm.

On considère la courbe H définie par les équations paramétriques : 
\[
\left\{	\begin{array}{l c l c l}
x&=&f(t)&=&4t^3 + 15t^2 - 18t + 1\\
y&=&g(t)&=&-2t^3 + 6t\\
\end{array}\right.\]
 où $t$ est un paramètre réel appartenant à l'intervalle [0 ~;~1],

\medskip

\emph{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ sur $[0~;~1]$  et rassembler les résultats obtenus dans un même tableau. On indiquera en particulier les images de $0, ~\dfrac{1}{2}$  et $1$ ainsi que la valeur des dérivées en ces points.
\item   Soit A(1~;~0) et B$(- 5~ ;~2)$. Montrer que le vecteur $\vect{\text{AB}}$ est tangent à H en A.
\item   Tracer H ainsi que le vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\emph{Partie B}

\medskip

 En fait, la courbe H est une courbe de Bézier définie à partir de quatre points de contrôle A, B, C et D, les coordonnées de D étant (2~;~4). 
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la courbe part bien de A pour arriver en D. 
\item  On cherche dans cette question à déterminer les coordonnées du point C.
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le fait que $\vect{\text{DC}}$ est tangent à H en D, déterminer l'ordonnée de C.
		\item  On rappelle qu'une courbe de Bézier à 4 points de contrôle est définie par la relation :

\[(*)\quad  \vect{\text{O}M(t)} = \Sigma_{i = 0}^3  B_{i,3}(t)\vect{\text{O}P_{i}},\]
 où les $P_{i}$ sont les points de contrôle et $B_{i,3}(t)$ sont les polynômes de Bernstein définis par $B_{i,3}(t)	= \displaystyle\binom{n}{i} t^i (1 - t)^{n-i}$ avec $\displaystyle\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i!(n - i)!}$.
		\begin{enumerate}
			\item  Donner l'expression développée des polynômes de Bernstein : 
			
$B_{0,3}(t),~ B_{1,3}(t),~ B_{2,3}(t)$ et $B_{3,3}(t)$.
			\item  À l'aide de l'égalité (*), déterminer $x_{\text{C}}$ l'abscisse de C. Tracer alors le vecteur $\vect{\text{DC}}$.
 		\end{enumerate}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  2004  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2004}{}

\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Conception de produits industriels session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{Une entreprise fabrique, en grande série, des pièces mécaniques, dont une vue en coupe est représentée ci-contre.

Une telle pièce est acceptée après contrôle si sa cote $x$, exprimée en millimètres, est comprise dans l'intervalle [49,8~;~50,2] et si sa
cote $y$, exprimée en millimètres, est comprise	dans l'intervalle [59,9~;~ 60,1].} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,3.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1)(0,3.2)(1,3.2)(1,2)(3.9,2)(3.9,3.2)(4.9,3.2)(4.9,1)
\psline[linestyle=dashed](1,2)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](3.9,2)(3.9,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1,0)(3.9,0)
\psline[linestyle=dashed](3.9,2)(5.5,2)
\psline[linestyle=dashed](3.9,3.2)(5.5,3.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.5,2)(5.5,3.2)
\uput[l](5.5,2.6){$x$} \uput[u](2.45,0){$y$}
\end{pspicture}}

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice les résultats approchés seront à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$.\unboldmath
 \end{center}

\emph{A. Loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On suppose que la variable aléatoire $X$, qui à une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée associe sa cote $x$, suit la loi normale de moyenne $50$ et d'écart type $0,09$.

Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée soit acceptée par le contrôle pour la cote $x$.

\item   On suppose maintenant que la variable aléatoire $Y$, qui à une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée associe sa cote $y$, suit la loi normale de moyenne $60$ et d'écart type $\sigma$.

Déterminer la valeur de $\sigma$ pour qu'une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée soit acceptée par le contrôle, pour la cote $y$, avec une probabilité égale à $0,95$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B. Évènements indépendants}

\medskip

On prélève une pièce au hasard dans un lot de ce type de pièces.

On appelle $E_{1}$ l'évènement : \og la pièce est défectueuse pour la cote $x$ \fg et $E_{2}$ l'évènement : \og la pièce est défectueuse pour la cote $y$ \fg.

On suppose que les deux évènements $E_{1}$ et $E_{2}$ sont indépendants, que $P\left(E_{1}\right) = 0,03$  et que $P\left(E_{2}\right) = 0,05$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans le lot soit défectueuse pour les deux cotes $x$ et $y$.

\item  Une pièce est jugée défectueuse si elle l'est pour au moins une des deux cotes $x$ ou $y$. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans le lot soit défectueuse.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Somme de deux variables aléatoires}

\medskip

On prélève au hasard deux pièces dans un stock, pour les assembler comme l'indique la figure ci-dessous. Le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de deux pièces.\\

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.9,4.4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,1)(3.9,3.4)
\psline(0,2.2)(1,2.2)
\psline(3.9,2.2)(4.4,2.2)
\psline[linestyle=dashed](3.9,3.4)(6,3.4)
\psline[linestyle=dashed](3.9,1)(6,1)
\psline[linestyle=dashed](3.9,2.2)(6,2.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6,1)(6,2.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6,2.2)(6,3.4)
\uput[l](6,1.6){$x_{2}$}\uput[l](6,2.8){$x_{1}$}
\end{pspicture}
\end{center}

On désigne par $X_{1}$ la variable aléatoire qui associe à la première pièce tirée sa cote $x_{1}$, et par $X_{2}$, la variable aléatoire qui associe à la deuxième pièce tirée sa cote $x_{2}$.\\
On admet que les variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$ suivent la même loi normale de moyenne $50$ et d'écart type $0,09$ et que $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes.

On appelle $Z$ la variable aléatoire définie par $Z =  X_{1} + X_{2}$.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $Z$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d'écart type $0,13$.

\item  Un tel assemblage est jugé défectueux si la somme $x_{1} + x_{2}$ est inférieure à $99,8$~mm.

Calculer la probabilité qu'un tel assemblage soit défectueux,
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{F})~~ :\quad  y" + 2 y' + y = - 2\text{e}^{-x}\]
 où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y"$ sa fonction dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item  Determiner les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~~ y'' + 2y' + y =  0$.

\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) =  -x^2 \text{e}^{-x}$.

Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) =  4$ et $f(2) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B. Étude d'une fonction}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthogonal \Oij{} de la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \left(4 - x^2\right)\text{e}^{-x}. \]

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(7,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(7,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=1pt,griddots=10](0,0)(-3,-4)(7,10)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[l](0,10){$y$} \uput[ul](-1.5,8){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.1175}{7}{ 4 x dup mul sub 2.71828 x exp div}
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2,0)(2,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^2}	= +\infty$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item  Que peut-on déduire du a. pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,~ f'(x) =  \left(x^2 - 2x -4\right)\text{e}^{-x}$.
		\item   Étudier le signe de $f'(x)$. (On donnera les valeurs exactes des solutions de l'équation
$f (x) =  0$.)
		\item   En déduire le tableau de variations de $f$. On fera figurer dans ce tableau les valeurs approchées arrondies à $10^{- 2}$ des éventuels extremums de $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto  \text{e}^{-x}$.
		\item  Démontrer que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$
est $f(x) = 4 - 4x + x^2 + x^2\epsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$.
		\item  Déduire du b. une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie dans la partie B est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie A. Donc, pour tout $x$ de $\R,~ f(x) = -f''(x) -  2f'(x) - 2 \text{e}^{-x}$.

En déduire qu'une primitive $F$ de $f$ est définie sur $\R$ par :
\[F(x) = \left(x^2 + 2x - 2\right)\text{e}^{-x}.\]

\item 	On note $I = \displaystyle\int_{-2}^2 f(x)\:\text{d}x$.

Démontrer que $I = 2\text{e}^2 + 6\text{e}^{-2}$.

\item 	Donner une interprétation graphique de $I$.
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  2005  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Conception de produits industriels session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties A, B, C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip

\textbf{A.} On considère l'équation différentielle
 
 \[(E_{1})~~:\quad  y' + y = - \text{e}^{-x}.\]
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ , et $y'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E_{0})~~ :\quad  y' + y = 0$.

\item   Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - x\text{e}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E_{1})$.

\item   En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_{1})$.

\item   Déterminer la solution particulière $f_{1}$ de l'équation différentielle $(E_{1})$ qui vérifie la condition initiale $f'_{1}(0) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B.} Soit $g$ la fonction définie sur R par $g(x) =  - x\text{e}^{-x}$.

\begin{enumerate}
\item  On note $I = \displaystyle\int_{0}^{0,1} g(x)\:\text{d}x$.

Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $I = 1,1\text{e}^{-0,1} - 1$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la fonction exponentielle $t \longmapsto \text{e}^t $, donner le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$ de la fonction $x \longmapsto  \text{e}^{-x}$.
		\item  En déduire que le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de $0$ de la fonction
$g$ est :
		\[ g(x) = -x + x^2 - \dfrac{x^3}{2} + x^3\epsilon(x) ~\text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

	\end{enumerate}

\item On note $J = \displaystyle\int_{0}^{0,1} \left(-x + x^2 - \dfrac{x^3}{2}\right)\:\text{d}x$.

Démontrer que $J =  - \dfrac{\nombre{0,1123}}{24}$.

\item On considère l'affirmation suivante : le nombre  $I - J$ est inférieur à $10^{-6}$. Cette affirmation est-elle vraie ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C.} On considère l'équation différentielle 
 \[(E_{2})~~:\quad  y'' - y = 2\text{e}^{-x}\]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y'$ sa fonction dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)~~:\quad  y'' -  y = 0$.

\item  On admet que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - x\text{e}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E_{2})$. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_{2})$.

\item  Déterminer la solution particulière $f_{2}$ de l'équation différentielle $(E_{2})$ qui vérifie les conditions initiales $f_{2}(0) = 0$ et $f'_{2}(0) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

Dans le cadre d'accords sur la formation professionnelle, une grande entreprise a proposé à ses personnels un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel de conceptior industrielle.

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath  $10^{-2}$. \unboldmath
\end{center}

\medskip

\textbf{A.}

\medskip

On note $E$ l'évènement : \og une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a suivi le stage \fg.
 
On suppose que $P(E) =  0,3$.
  
On tire au hasard le nom de $n$ personnes de cette entreprise. On suppose l'effectif suffisamment important pour pouvoir assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

\begin{enumerate}
\item  Dans celle question on prend $n = 15$.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 15~noms, associe le nombre de personnes ayant suivi le stage.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres,
		\item   Déterminer la probabilité qu'une personne au plus parmi les 15 dont le nom a été tiré au hasard ait suivi le stage.
	\end{enumerate}
\item	Dans cette question on prend $n =  150$.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 150~noms, associe le nombre de personnes ayant suivi le stage.

On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres \\$n = 150$  et $p = 0,3$.

On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne $45$ et d'écart type $5,6$.

On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $45$ et d'écart type $5,6$.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier les paramètres de cette loi normale.
		\item Calculer la probabilité qu'au plus 40~personnes, parmi les $150$ dont le nom a été tiré au hasard, aient suivi le stage, c'est à dire calculer \\$P(Z \leqslant 40,5 )$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B.}

\medskip

Dans cette entreprise 45\:\% du personnel a un niveau de qualification supérieur ou égal à \og bac + 2 \fg.

\medskip

L'évènement $A$ : \og une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a un niveau supérieur ou égal à bac + 2 \fg a donc pour probabilité $P(A) = 0,45$.

On rappelle que l'évènement $E$ : \og une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a suivi le stage \fg a pour probabilité $P(E) = 0,3$.

Enfin, 35\:\% des personnes dont le niveau de qualification est supérieur ou égal à \og bac + 2 \fg ont suivi le stage. Ce qui permet d'en déduire la probabilité conditionnelle $P_{A}(E) = 0,35$,ou $P(E | A) = 0,35$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité de l'évènement: \og une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a suivi le stage et a un niveau de qualification supérieur ou égal à bac + 2 \fg.

\item  Calculer la probabilité de l'évènement : \og une personne dont le nom a été tiré au hasard parmi les noms des personnes ayant suivi le stage a un niveau supérieur ou égal à bac + 2 \fg.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm.

\medskip

À tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0 ; 2], on associe le point $M(t)$ de coordonnées : 
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x&=&f(t)&=&t^3 - 3t^2 + 3t\\
y(t)&=&g(t)&=&[\ln (1 + t)]^2.\\
\end{array}\right.
\]
On note $\mathcal{C}$ la courbe ensemble des points $M(t)$ obtenus lorsque $t$ varie dans [0~;~2].


\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ sur [0 ;  21 et regrouper les résultats dans un même tableau.

\item  Donner un vecteur directeur pour chacune des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points $M(0),~ M(1)$ et $M(2)$, obtenus pour $t = 0,~t = 1$ et $t = 2$.

\item  Tracer les tangentes définies à la question \textbf{2.} et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  2006  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2006}{}

\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Conception de produits industriels session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}\\
\begin{center}
\textbf{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip

\noindent \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}\\
On considère l'équation différentielle

\[(E) ~~: \quad y" + 2y' + 5y = -5x^3 + 4x^2 - 3x + 2\]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$ , $y'$ sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle 
\[\left(E_{0}\right)~~ :\quad  y'' + 2y' + 5y = 0.\]

\item  Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) =  - x^3 + 2x^2 - x$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 0$ et $f'(0) = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{B. Étude locale d'une fonction}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \text{e}^{-x} \sin 2x - x^3 + 2x^2 - x.\]

\begin{enumerate}
\item  À l'aide du développement limité de la fonction $t \longmapsto \text{e}^t$ , à l'ordre 3 au voisinage de $0$, écrire le développement limité, à l'ordre 3 au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{-x}$.

\item  Écrire le développement limité, à l'ordre 3 au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \sin 2x$.

\item En déduire le développement limité, à l'ordre 3 au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{-x} \sin 2x.$

\item  En déduire que le développement limité, à l'ordre $3$ au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est

\[f(x) = x - \dfrac{4}{3}x^3 +x^3 \epsilon(x)~ \text{avec}~		\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] 

\item  Déduire de la question précédente une équation de la tangente T à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ au point d'abscisse zéro.

\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et T au voisinage du point d'abscisse zéro.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}\\
\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}
Une usine fabrique, en grande quantité, un certain type de pièces métalliques pour l'industrie.

\medskip

\noindent \textbf{A. Probabilités conditionnelles}\\
Les pièces sont produites dans deux ateliers appelés « atelier 1 » et « atelier 2 ».\\
 L'atelier 1 produit chaque jour 250 pièces et l'atelier 2 produit chaque jour 750 pièces.\\
  On admet que 1\:\% des pièces produites par l'atelier I sont défectueuses et que 2\:\% des pièces produites par l'atelier 2 sont défectueuses.\\
   On prélève une pièce au hasard dans l'ensemble des \nombre{1000}~pièces produites par les deux ateliers pendant une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées.\\
    On considère les évènements suivants :
    \begin{itemize}
\item[]  $A$ : « la pièce prélevée provient de l'atelier 1 » ; 
\item[] $B$ : « la pièce prélevée provient de l'atelier 2 » ;
\item[] $D$ : « la pièce prélevée est défectueuse ».
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Déduire des informations figurant dans l'énoncé $P(A),~ P(B),~ P(D/A)$ et $P(D/B)$.  (On rappelle que $P(D/A) = P_{A}(D)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.)

\item  Calculer $P(D \cap A)$ et $P(D \cap B)$.

\item  En déduire la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de la journée soit défectueuse.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{B. Loi binomiale}\\
\textbf{Dans cette question, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$.\unboldmath

\medskip

\noindent On considère un stock important de pièces de ce modèle.\\
 On note $E$ l'évènement : «une pièce prélevée au hasard dans le stock est défectueuse ».\\
On suppose que $P(E) =  0,02$.\\
On prélève au hasard dix pièces dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de dix pièces. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de dix pièces, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

\item   Calculer la probabilité qu'aucune pièce de ce prélèvement ne soit défectueuse.

\item   Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, une pièce au moins soit défectueuse.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}\\
On envisage de créer une nouvelle police de caractère. On s'intéresse plus précisément à la lettre P et on utilise des courbes de Bézier pour définir les contours de cette lettre.

\medskip

\noindent Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~centimètres.

\begin{enumerate}
\item  On souhaite construire la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$  définie par les points dc définition suivants donnés par leurs coordonnées $A_{0}(0~;~ 3)~ ;~ A_{1}(4~;~ 3)~ ;~ A_{2}(4~;~ 6)$ et $A_{3}(0~;~6)$. \\
On rappelle que la courbe de Bézier définie par les points de définition $A_{i}(0 \leqslant  i \leqslant  n)$ est l'ensemble des points $M(t)$ tels que

\[\vect{\text{O}M(t)} = \sum_{0}^n B_{i,~n}(t) \vect{\text{O}A_{i}}~\text{o\`u} ~ B_{i,~n}(t) = \text{C}_{n}^i  t^i(1 - t)^{n-i}\]
	\begin{enumerate}
		\item  Développer, réduire et ordonner les polynômes $B_{i,~3}(t)$, avec $0 \leqslant i  \leqslant 3$.

		\item  On note $\left(f_{1}(t),~ g_{1}(t)\right)$ les coordonnées du point $M_{1}(t)$ de la courbe $\mathcal{C}_{1}$.\\ Vérifier que, pour tout $i$ de [0 ; 1], $f_{1}(t) = 12t - 12t^2$.\\
		 On admettra dans la suite de l'exercice que $g_{1}(t) =  3 +9t^2 -  6t^3.$\\

Un système d'équations paramétriques de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ est donc : 
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x&=& f_{1}(t)&=& 12t - 12t^2\\
y&=&g_{1}(t)&=&	3 + 9t^2  - 6t^3\\
\end{array}\right. ~\text{o\`u}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}\]
		\item  Étudier les variations de $f_{1}$ et $g_{1}$ sur [0 ;  1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
		\item  Préciser les coordonnées des points de $\mathcal{C}_{1}$ où les tangentes â $\mathcal{C}_{1}$ sont parallèles à l'axe des abscisses.
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et les tangentes parallèles aux axes sur une feuille de papier millimétré.
	\end{enumerate}
 
\item Soit $\mathcal{C}_{2}$ une courbe de Bézier définie par les trois points de définition suivants donnés par leurs coordonnées : $A_{0}(0 ~;~ 3)~;~ A_{4}\left(0~;~\dfrac{1}{4}\right )~  ;~ A_{5}(- 2,~;~0)$.\\
  La courbe $\mathcal{C}_{2}$ est définie paramétriquement par :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x&=& f_{2}(t)&=& 2t^2\\
y&=&g_{1}(t)&=&	3 - \dfrac{11}{2}t   +  \dfrac{5}{2}t^2\\
\end{array}\right. ~\text{o\`u}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}\]
Le tableau des variations conjointes de $f_{2}$ et $g_{2}$ est le suivant :\\

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,7)
\psframe(8,7)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,5)(8,5) \psline(0,6)(8,6)
 \psline(2,0)(2,7)
\uput[u](1,6){$t$} \uput[u](2.1,6){$0$} \uput[u](7.8,6){$1$} \uput[u](1,5){$f'_{2}(t)$}  
\uput[u](2.1,5){$0$} \uput[u](5,5){$-$} \uput[u](7.7,5){$-
4$} \uput[d](1,4){$f_{2}(t)$}  
\uput[d](2.1,5){$0$} \uput[u](7.7,3){$-2$} \uput[u](1,2){$g'_{2}(t)$} \uput[u](2.4,2){$- \frac{11}{2}$}  
 \uput[u](5,2){$-$} \uput[u](7.7,2){$- \frac{1}{2}$} \uput[u](1,0.5){$g_{2}(t)$} \uput[d](2.1,2){$3$} \uput[u](7.8,0){$0$} 
 \psline{->}(2.3,4.8)(7.5,3.3)
  \psline{->}(2.3,1.8)(7.5,0.3)    
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point $A_{5}$.\\
		 Quelle est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ en $A_{0}$ ?

		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_{1}$. Construire la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ en $A_{5}$ ainsi que le point $A_{4}$ et le segment $[A_{0}A_{3}]$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  2007  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2007}{}

\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Conception de produits industriels session 2007}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

 \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E})~~:\quad  y'' + 2 y' + \dfrac{5}{4}y =  0\]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle (E).

\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 0$ et $f' (0) = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = 2 \text{e}^{-x}  \sin  \dfrac{1}{2}x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{-x}.$

		\item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \sin  \dfrac{1}{2}x$.

		\item Déduire du 1 et du 2 que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est :
		\[ f(x) = x - x^2 + x^2 \epsilon (x) \quad  \text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon (x) = 0.\]
	\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente une équation de la tangente T à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ au point d'abscisse zéro.

\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et T au voisinage du point d'abscisse zéro.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice  2 \hfill 6 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~3] par 
\[f(x) =  2 \text{e}^{- \frac{1}{2}x} \sqrt{x}.\]
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 4~cm.

\medskip

 \textbf{A. Étude des variations et courbe représentative}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$ et $f(3)$. Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $f(3)$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de ]0~;~3], $f'(x) = \dfrac{\text{e}^{-\frac{1}{2}x}(1 - x)}{\sqrt{x}}$.
		\item  En déduire les variations de $f$ sur ]0~;~3].
	\end{enumerate}
\item On admet qu'à l'origine du repère la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est l'axe des ordonnées. Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré,
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Calcul intégral}
 
\medskip

On considère le solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses. On désigne par $V$ le volume en unités de volume de ce solide.

On admet que $V = \displaystyle\int_{0}^3 [f(x)]^2\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que $V= \displaystyle\int_{0}^3 4\pi x \text{e}^{-x} \:\text{d}x$.

\item   A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : 
\[V= 4\pi \left(1 -  \text{e}^{-3}\right).\]

\item   Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $V$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}
 
\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 2~centimètres.

On souhaite construire la courbe B-spline obtenue à partir de quatre points de définition $P_{1}, P_{2}, P_{3},  P_{4}$ et de trois polynômes de Riesenfeld du second degré. Les quatre points sont donnés par leurs coordonnées dans le repère \Oij :

\[ P_{1}(0~;~1)~ ;~ P_{2}(2~;~ 1)~;~ P_{3}(4~;~ 3)~~ \text{et}~ P_{4}(6~;~ 1).\]

\begin{enumerate}
\item  On rappelle que les polynômes de Riesenfeld $R_{i}$ de degré 2, pour $i$ prenant les valeurs $0,  1$ ou $2$, sont définis pour $t$ appartenant à [0~;~1]  par :

\[R_{i}(t) = 3 \sum_{j=0}^{j=2-i} (- 1)^j \dfrac{(t+2 - i- j)^2}{j!(3- j)!}.\]
	
Montrer que, pour tout $t$ de [0~;~1], ~$ R_{0}(t) = \dfrac{t^2}{2} - t +  \dfrac{1}{2}$. (\textbf{On pourra utiliser ce résultat dans la suite de l'exercice})

\medskip

\textbf{Dans la suite de cet exercice, on admet que, pour tout $t$ de [0~; ~1] :}

\[R_{1}(t) = - t^2 + t+ \dfrac{1}{2}\quad  \text{et} \quad  R_{2}(t)= \dfrac{1}{2} t^2.\]

\item La courbe B-spline $\Gamma$ cherchée est la réunion de deux arcs de courbe $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$. $\Gamma_{1}$ est l'ensemble des points $M_{1}(t)$ tels que
\[\vect{\text{O}M_{1}(t)} =  R_{0}(t) \vect{\text{O}P_{1}(t)} + R_{1}(t)\vect{\text{O}P_{2}(t)} + R_{2}(t) \vect{\text{O}P_{3}(t)}.\]
$\Gamma_{2}$ est l'ensemble des points $M_{2}(t)$ tels que :
\[\vect{\text{O}M_{2}(t)} =  R_{0}(t) \vect{\text{O}P_{2}(t)} + R_{1}(t)\vect{\text{O}P_{3}(t)} + R_{2}(t) \vect{\text{O}P_{4}(t)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'arc de courbe $\Gamma_{1}$ est défini par la représentation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x_{1}(t)&=&f_{1}(t)&=&2t + 1\\
y_{1}(t)&=&g_{1}(t)&=&t^2 + 1\\
\end{array}\right. 	~	\text{où}~ t ~\text{appartient à l'intervalle [0~;~1]}.\]

		\item  Étudier les variations de $f_{1}$ et $g_{1}$ sur [0~;~1]  et rassembler les résultats dans un tableau unique.

		\item  On admet que l'arc de courbe $\Gamma_{2}$ est défini par la représentation paramétrique:
		
\[\left\{\begin{array}{l c l c r}
x_{2}(t)&=&f_{2}(t)&=&2t + 3\\
y_{2}(t)&=&g_{2}(t)&=&-2t^2 + 2t + 2\\
\end{array}\right. 	~	\text{où}~ t ~\text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}.\]

Étudier les variations de $f_{2}$ et $g_{2}$ sur [0~;~1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.

		\item   Donner des vecteurs directeurs des tangentes à l'arc de courbe $\Gamma_{1}$ aux points $M_{1}(0)$ et $M_{1}(1)$.  

		\item   Donner des vecteurs directeurs des tangentes à l'arc de courbe $\Gamma_{2}$ aux points $M_{2}(0),~M_{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $M_{2}(1)$.

		\item   On rappelle que, dans le repère orthonormal \Oij, l'unité graphique est 2~centimètres.
		
Construire sur une feuille de papier millimétré, les tangentes à l'arc de courbe $\Gamma$ aux points $M_{1}(0)$ et $M_{1}(1)$ puis l'arc de courbe $\Gamma_{1}$. Construire, sur la même figure que $\Gamma_{1}$, les tangentes à l'are de courbe $\Gamma_{2}$ aux points $M_{2}(0), ~M_{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $M_{2}(1)$ puis l'arc de $\Gamma_{2}$.

Placer les points de définition $P_{1}~, P_{2},~ P_{3},~  P_{4}$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les coordonnées du point $I$ où se raccordent les arcs de courbes $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$.

		\item  Montrer que les arcs de courbes $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ ont même tangente en $I$.

		\item  Montrer que la tangente commune à l'arc $\Gamma_{1}$   et à l'are $\Gamma_{2}$ au point $I$ est la droite $\left(P_{2}P_{3}\right)$.

		\item  Montrer que le point $M_{1}(0)$ est le milieu du segment $\left[P_{1}P_{2}\right]$ et que le point $M_{2}(1)$ est le
milieu du segment $\left[P_{3}P_{4}\right]$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  2008  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2008}{}

\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Conception de produits industriels session 2008}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}\\

\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center}

\noindent \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}\\
On considère l'équation différentielle 
\[(E)~~:\quad  y" - y = (- 4x - 6)\text{e}^{-x}\]
 où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle \[\left(E_{0}\right)~~:\quad  y'' - y = 0.\]

\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{-x}$. Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.

\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 3$ et $f'(0) = 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{B. Étude locale d'une fonction}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction définie par $x \longmapsto \text{e}^{-x}$.
		\item  En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est :
\[f(x) 3 + x - 3x^2 + x^2 \epsilon(x)~ \text{avec}~ \lim_{x \to 0}  \epsilon(x) = 0.\]
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire de la question précédente une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse O.
		\item  Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et T au voisinage du point d'abscisse $0$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}\\
\medskip

\noindent \textbf{A.  Étude des variations d'une fonction}\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\[ f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}\]
 où $a$ et $b$ sont deu nombres réels.\\
  La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal où l'unit\'e graphique est 2 cm est donnée ci-dessous.\\
  
\medskip
\psset{unit=1.714cm}
\noindent \begin{pspicture}(-2,-4)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-4)(5,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-2,-4)(5,2)
\uput[ul](0,-2){A} \uput[ul](2,0){B} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[u](3.5,0.1){$\mathcal{C}$} 
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{-0.46}{5}{x 2 sub 2.71828 x exp div}
\end{pspicture} 
\begin{enumerate}
\item  La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A et B de coordonnées respectives $(0~;~-2)$ et (2 ; 0).\\
 Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.\\

\begin{center}\textbf{Dans la suite de cet exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par 
	}\boldmath $f(x) = (x-2)\text{e}^{-x}$.\unboldmath \end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,~ f'(x) = (3 -x)\text{e}^{-x}$.
		\item   Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
		\item   Établir le tableau de variations de $f$.\\
Dans ce tableau, on ne demande pas de faire figurer les limites.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{B. Calcul int\'egral}\\
On note $I = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item  À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I= - 1 - \text{e}^{-2}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire la valeur exacte de l'aire $S$ en cm$^2$ de la partie du plan limitée par les axes de coordonnées et la courbe $\mathcal{C}$ entre les points A et B d'abscisses respectives $0$ et $2$.
		\item  Donner la valeur approchée de $S$ arrondie à $10^{-2}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}\\
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 2~centimètres.\\
 On appelle courbe de Bézier définie par les points de définition $A_{i}(0 \leqslant  i \leqslant n)$ l'ensemble
des points $M(t)$ tels que :
 \[ \vect{\text{O}M(t)} =	 \displaystyle\sum_{i = 0}^n B_{i,~n}(t) \vect{\text{O}A_{i}}~\text{où}~ B_{i,~n}(t) = \text{C}_{n}^i	 (1 - t)^{n-i}.\]

\medskip

\noindent \emph{A. Construction d'une courbe de Bézier} $\mathcal{C}_{1}$\\
Dans cette question, on s'intéresse à la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$ définie par les quatre points de définition A(0 ; 1) ; B(2 ; 1) ;  C(0~;~ 2) ; D(0~;~4), dans cet ordre.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout $t$ de [0 ;  1], $B_{1,~3}(t) = 3t - 6t^2 + 3t^3$.

\item   On admet que, pour tout $t$ de [0 ;  1]\\
 $B_{0,~3}(t) = 1 - 3t + 3t^2 - t^3~~; ~~B_{2,~3}(t) = 3t^2 -  3t^3$ et $B_{3,~3}(t) = t^3$.\\
  En déduire qu'un système d'équations paramétriques de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ est :
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
  x &=&f_{1}(t)&	= &6t - 12t^2 + 6t^3\\ 
y &=& g_{1}(t)& =& 1 + 3t^2\\
  \end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}.\] 
\item   Étudier les variations des fonctions $f_{1}$ et $g_{1}$ sur [0 ; 1]  et rassembler les résultats dans un tableau unique.

\item   Préciser les coordonnées des points de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ où les tangentes sont parallèles aux axes de coordonnées.

\item   Montrer que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point A.

\item   Tracer la tangente (AB) et la courbe $\mathcal{C}_{1}$ dans le repère donné au début de l'énoncé.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \emph{B. Étude géométrique et construction d'une courbe de Bézier} $\mathcal{C}_{2}$\\
On consid\`ere la courbe  de Bézier $\mathcal{C}_{2}$ définie par les trois points de définition E$(- 2~;~ 0)$ ; F(3 ; 1)
et A(0 ; 1) dans cet ordre.\\
\begin{center}
\textbf{Les deux résultats suivants n 'ont pas à être démontrés.}\end{center}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Un système d'équations paramétriques de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ est :
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
  x &=&f_{2}(t)&	= &-2 - 2t + 4t^2\\ 
y &=& g_{2}(t)& =& 2t - t^2\\
  \end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}.\] 
\item[$\bullet~$] Le tableau de variations conjointes des fonctions $f_{2}$ et $g_{2}$ est le suivant :
 \end{itemize}
 
 \begin{center}
 \psset{unit=1cm}
 \begin{pspicture}(8,7)
\psframe(8,7) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,5)(8,5) 
\psline(0,6)(8,6)  \psline(2,0)(2,7)
\rput(1,6.5){$t$} \rput(2.15,6.5){$0$}\rput(5,6.5){$\dfrac{1}{4}$}
\rput(7.8,6.5){1} \rput(1,5.5){$f'_{2}(t)$} \rput(2.2,5.5){$-2$}
\rput(3.5,5.5){$-$} \rput(5,5.5){$0$} \rput(6.5,5.5){$+$} \rput(7.8,5.5){$6$}
\rput(1,4){$f_{2}(t)$}\rput(2.3,4.7){$-2$} \rput(5,3.2){$-2,25$}\rput(7.8,4.8){$0$}
\rput(1,2.5){$g'_{2}(t)$}\rput(2.2,2.5){2} \rput(5,2.5){$+$} \rput(7.8,2.5){$0$}
\rput(1,1){$f_{2}(t)$}\rput(2.2,0.2){$0$}\rput(7.8,1.8){$1$}
\psline{->}(2.6,4.7)(4.5,3.3) \psline{->}(5.5,3.3)(7.6,4.7)
\psline{->}(2.4,0.2)(7.7,1.8)
 \end{pspicture}
\end{center}
 
 \medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire sur la figure de la partie A le point $M_{0}$ tel que $\vect{\text{E}M_{0}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{EF}}$, le point $M_{1}$ tel que $\vect{\text{F}M_{1}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{FA}}$ et le point $R$ tel que $\vect{M_{0}R} = \dfrac{1}{2}\vect{M_{0M_{1}}}$.

\item  Calculer les coordonnées des points $M_{0},~ M_{1}$  et $R$.

\item  Montrer que le point $R$ est le point de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de paramètre $\dfrac{1}{2}$.

\item  Montrer que la droite (AF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point A.

\item  Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont la même tangente au point A.

\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur la même figure que la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  2009  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2009}{}

\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Conception de produits industriels session 2009}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}
 
\emph{Pour chacune des questions, une seule réponse A, B, C est exacte.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.} 

\emph{On ne demande aucune justification.}

\textbf{Notation :}
  
\emph{Chaque réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} 

\begin{enumerate}
\item  Soient $M$ et $N$ les matrices définies par $M = \begin{pmatrix}
1&2&-1\\0&1&4\\
3&0&-1\\
\end{pmatrix}$ et $N = \begin{pmatrix}2&-1&0\\3&-3&1\\1&0&2\\
\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Réponse A &Réponse B& Réponse C\\ \hline 
La somme $M + N$ est : &$\left(\begin{array}{c}3\\6\\5\\\end{array}\right)$&$\begin{pmatrix}3&1&-1\\
3&-2&5\\
4&0&1\\
\end{pmatrix}$&$\begin{pmatrix}2&-2&0\\0&-3&4\\3&0&-2\\ \end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}

\item Avec les mêmes données qu'au \textbf{1.} :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{}&Réponse A& 	Réponse B& 	Réponse C\\ \hline 
Le produit $M \times N$ est :&$\begin{pmatrix}7&-7&0\\7&-3&9\\5&-3&-2\\ \end{pmatrix}$& $\begin{pmatrix}2&-2&0\\0&-3&4\\3&0&-2\\\end{pmatrix}$&$\begin{pmatrix}7&7&5\\-7&-3&-3\\0&9&-2\\\end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}


\item  \Oijk{} est un repère orthonormal de sens direct de L'espace. On considère les 
vecteurs $\vect{u}\left(\begin{array}{c}3\\1\\-2\\\end{array}\right)$  et $\vect{v}\left(\begin{array}{c}-2\\2\\-2\\\end{array}\right)$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{}&Réponse A& 	Réponse B& 	Réponse C\\ \hline 
Les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont :&orthogonaux &colinéaires &ni orthogonaux 
ni colinéaires\\ \hline 
\end{tabularx}

\item Avec les mêmes données qu'au \text{3.} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{}&Réponse A& 	Réponse B& 	Réponse C\\ \hline 
Le produit vec\-toriel  $\vect{u} \wedge \vect{v}$ est : &$\vect{w}\left(\begin{array}{c}-6\\2\\4\\\end{array}\right)$&$\vect{0}$&$\vect{w}\left(\begin{array}{c}2\\10\\8\\\end{array}\right)$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip 

On considère l'équation différentielle 
\[(E) : \quad  y' + xy = x. \]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et $y'$ sa fonction dérivée.
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle 
\[\left(E_{0}\right)  :\quad  y' + xy = 0.\] 
\item  Démontrer que la fonction constante $g$, définie sur $\R$ par $g(x) = 1$, est une solution particulière de l'équation $(E)$. 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 2$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude d'une fonction et réalisation d'une figure}

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = 1 + \text{e}^{- \frac{x^2}{2}}.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique 4~centimètres. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. 
		\item Que peut~on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = - x\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$. 
		\item Donner le tableau de variations de $f$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij{} défini au début de la partie B. 
		\item Tracer dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$ la courbe $\mathcal{P}$ d'équation $y = 2 - \dfrac{x^2}{2}$.
	\end{enumerate} 
\begin{center} \textbf{On ne demande pas d'étudier les variations de la fonction définie par} \boldmath  $x \longmapsto  2  - \dfrac{x^2}{2}$ \unboldmath \end{center}

\medskip
 
\emph{On constate que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ sont proches l'une de l'autre sur l'intervalle $[- 0,5~;~0,5]$.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Détermination d'une valeur approchée d'une intégrale}

\medskip
 
Dans cette partie, on se propose de déterminer une valeur approchée de l'intégrale 

\[l = \int_{-0,5}^{0,5} 	f(x)\:\text{d}x\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle, déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction définie  	par $x \longmapsto  \text{e}^{-\frac{x^2}{2}}$. 
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la  
fonction $f$ est : $f(x) = 2 - \dfrac{x^2}{2} + x^2\epsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon (x) = 0$. 
	\end{enumerate}		 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $J = \displaystyle\int_{-0,5}^{0,5} \left(2 -  \dfrac{x^2}{2}\right)\:\text{d}x$. 

Démontrer que $J = \dfrac{47}{24}$. Donner la valeur approchée de $J$ arrondie à $10^{-3}$. 
	\item Un logiciel donne $I \approx  1,960$. Vérifier que cette valeur approchée de $I$ et la valeur approchée de $J$ obtenue à la question a. diffèrent de $2 \times  10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 
2~centimètres. On se propose de construire la courbe B-spline obtenue à partir de quatre points de définition $P_{1},~ P_{2},~ P_{3}$ et $P_{4}$ et de trois polynômes de Riesenfeld du second degré.

\medskip 

Les quatre points sont donnés par leurs coordonnées dans le repère \Oij{}: 
\[P_{1}(0~;~3),~ P_{2}(1~;~ - 2),~ P_{3}(4~;~3)~~ \text{et}~~ P_{4}(2~;~ 5).\] 

La courbe B-spline cherchée est la réunion de deux arcs de courbe $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$.

\medskip 
 
\textbf{A. Détermination d'une représentation paramétrique de l'arc de courbe} \boldmath$\mathcal{C}_{1}$\unboldmath 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item  On rappelle que les polynômes de Riesenfeld $R_{i}$ de degré 2, pour $i$ prenant les valeurs 0, 1 ou 2, sont définis pour tout $t$ appartenant à $[0~;~ 1]$ par : 

\[R_{i}(t) =  3 \sum_{j=0}^{j=2-i} (-1)^j \dfrac{(t +2 - i - j)^2}{j! (3 - j)!}.\]

Démontrer que, pour tout $t$ de $[0~;~ 1],~ R_{0}(t) = \dfrac{t^2}{2} - t + \dfrac{1}{2}.$ 

\item  L'arc de courbe $\mathcal{C}_{1}$ est l'ensemble des points $M_{1}(t)$ tels que : 

\[\vect{\text{O}M_{1}(t)} = R_{0}(t)\vect{\text{O}P_{1}(t)}  + R_{1}(t)\vect{\text{O}P_{2}(t)}  + R_{2}(t)\vect{\text{O}P_{3}(t)} .\]
 
\textbf{On admet que} pour tout $t$ de $[0~;~ 1] : R_{1}(t) = - t^2 + t +\dfrac{1}{2} ~\text{et}~ R_{2}(t) = \dfrac{1}{2} t^2$.

Démontrer que l'arc de courbe $\mathcal{C}_{1}$ est défini par la représentation paramétrique : 
 
\[\left\{ \begin{array}{l c l c l}
x& =& f_{1}(t) &=& t^2 + t + \dfrac{1}{2}\\
y&=&g_{1}(t)&=&5t^2 -5t + \dfrac{1}{2}\\
\end{array}\right.  \quad \text{où}~ t ~ \text{appartient à l'intervalle}~ [0~;~ 1].\] 
 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude de variations et construction de la courbe B-spline}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations des fonctions $f_{1}$ et $g_{1}$ sur $[0~;~1]$, où $f_{1}$ et $g_{1}$ sont les fonctions définies à la question 2. de la partie \emph{A}. Rassembler les résultats dans un tableau unique. 
		\item Donner un vecteur directeur de chacune des tangentes à l'arc de courbe $\mathcal{C}_{1}$ aux points $M_{1}(0),~ M_{1}\left(\frac{1}{2}\right),~ M_{1}(1)$. 
	\end{enumerate}
\item L'arc de courbe $\mathcal{C}_{2}$ est l'ensemble des points $M_{2}(t)$ tels que: 

\[\vect{\text{O}M_{2}(t)} = R_{0}(t)\vect{\text{O}P_{2}(t)} + R_{1}(t)\vect{\text{O}P_{3}(t)} + R_{2}(t)\vect{\text{O}P_{4}(t)}.\]
 
On admet que l'arc de courbe $\mathcal{C}_{2}$ est défini par la représentation paramétrique : 
 
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.75}\left\{ \begin{array}{l c l c l}
x&=&f_{2}(t) &=&-\dfrac{9}{2}t^2 +3t + \dfrac{5}{2}\\
y&=&g_{2}(t)&=&-\dfrac{3}{2}t^2 +5t + \dfrac{1}{2}\\
\end{array}\right.~  \text{où}~ t~\text{appartient à l'intervalle}~ [0~;~ 1].\] 

Le tableau des variations conjointes des fonctions $f_{2}$ et $g_{2}$ est le suivant : 

\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,7)
%\psgrid
\psframe(10,7) \psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(0,3)(10,3) 
 \psline(0,5.5)(10,5.5)  \psline(0,6)(10,6) \psline(2,0)(2,7) \psline(0,6.5)(10,6.5)
 \uput[u](1,6.5){$t$} \uput[u](2.15,6.5){$0$} \uput[u](6,6.35){$\frac{1}{3}$} \uput[u](9.8,6.5){$1$}
\uput[u](1,5.9){$f'_{2}(t)$} \uput[u](2.15,6){3} \uput[u](4,6){+} \uput[u](6,6){0}\uput[u](8,6){$-$} \uput[u](9.8,6){$-6$}
\rput(1,4.25){$f_{2}(t)$}  \rput(2.15,3.25){$\frac{5}{2}$} \uput[d](6,5.5){3} \uput[u](9.8,3){1}
\uput[u](1,2.4){$g'_{2}(t)$} \uput[u](2.15,2.4){5} \uput[u](6,2.5){+} \uput[u](9.8,2.5){2}
\rput(1,1.25){$g_{2}(t)$} \uput[u](2.15,0){$\frac{1}{2}$} \rput(6,1.25){2} \uput[d](9.8,2.5){4}
\psline{->}(2.4,3.2)(5.7,5)\psline{->}(6.3,5)(9.6,3.2)
\psline{->}(2.4,0.4)(9.6,2.1)
\end{pspicture}
\end{center}

Donner un vecteur directeur de chacune des tangentes à l'arc de courbe $\mathcal{C}_{2}$ aux points $\mathcal{C}_{1}$ aux points $M_{2}(0),~ M_{2}\left(\frac{1}{3}\right),~ M_{2}(1)$. 

\item On rappelle que le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 2~centimètres. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur une feuille de papier millimétré, les tangentes à l'arc de courbe $\mathcal{C}_{1}$ aux points $M_{1}(0),~ M_{1}\left(\frac{1}{2}\right)$ et $M_{1}(1)$, puis l'arc de courbe $\mathcal{C}_{1}$.  
		\item Construire, sur le même graphique, les tangentes à l'arc de courbe $\mathcal{C}_{2}$ aux points $M_{2}(0),~ M_{2}\left(\frac{1}{3}\right),~M_{2}(1)$, puis l'arc de courbe $\mathcal{C}_{2}$.  
		\item Placer les points de définition sur la figure.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées du point $I$ où se raccordent les arcs de courbe $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. 
		\item Montrer que la tangente commune à l'arc $\mathcal{C}_{1}$ et à l'arc $\mathcal{C}_{2}$ au point $I$ est la droite $\left(P_{2}P_{3}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  2010  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2010}{}

\begin{center}
\textbf{BTS Conception de produits industriels}\\
Session 2010
\end{center}

\textbf{EXERCICE 1 \hfill 10 points}


\begin{center}
\textbf{\textit{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\textit{A.	Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle

\[(E):\   2y'' + 2y'+y =(5x^2+22x+31)\text{e}^x\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E_0) :\ 2y''+ 2y'+y = 0$.
	\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)= \left(x^2+2x+3\right)\text{e}^x$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.
	\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
	\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 3$ et $f'(0) = 5$.
\end{enumerate}


\textit{B.	Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2+2x+3\right)\text{e}^x$.

On désigne par $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ de $\R$,
	
\[f'(x)=(x^2+4x+5)\text{e}^x.\]

\item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ lorsque $x$ varie dans $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $C$?
	\end{enumerate}
\item Établir le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est :
	
$f(x) = 3 + 5x+ \frac{9}{2}x^2 + x^2\varepsilon(x)$ avec $\lim_{x\to0} \varepsilon(x) = 0$.
		\item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0.
		\item Étudier ia position relative de $C$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse 0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{EXERCICE 2\hfill 3 points}

\medskip

La courbe $C$ ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthogonal de la fonction $f$ définie sur $[- 1, 1]$ par $f(x) = \frac{1}{5}\left(\text{e}^x+ \text{e}^{-x}\right)$.

%Courbe
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%		CCCCC		OOOOO		U   U		RRRR		BBBB		EEEEE
%		C				O		O		U   U		R   R		B   B		E
%		C				O		O		U   U		RRRR		BBBB		EEE
%		C				O		O		U   U		R R			B   B		E
%		CCCCC		OOOOO		UUUUU		R  R		BBBB		EEEEE

% GNUPLOT: LaTeX picture
\setlength{\unitlength}{0.240900pt}
\ifx\plotpoint\undefined\newsavebox{\plotpoint}\fi
\sbox{\plotpoint}{\rule[-0.200pt]{0.400pt}{0.400pt}}%
\begin{picture}(1500,900)(0,0)
\font\gnuplot=cmr10 at 10pt
\gnuplot
\sbox{\plotpoint}{\rule[-0.200pt]{0.400pt}{0.400pt}}%
\put(730,462){\makebox(0,0)[r]{0.5}}
\put(730.0,442.0){\rule[-0.200pt]{4.818pt}{0.400pt}}
\put(730,749){\makebox(0,0)[r]{1}}
\put(730.0,729.0){\rule[-0.200pt]{4.818pt}{0.400pt}}
\put(175,94){\makebox(0,0)[r]{-1}}
\put(175.0,135.0){\rule[-0.200pt]{0.400pt}{4.818pt}}
\put(462,94){\makebox(0,0)[r]{-0.5}}
\put(462.0,135.0){\rule[-0.200pt]{0.400pt}{4.818pt}}
%\put(750,94){\makebox(0,0){0}}
\put(750.0,135.0){\rule[-0.200pt]{0.400pt}{4.818pt}}
\put(1037,94){\makebox(0,0)[r]{0.5}}
\put(1037.0,135.0){\rule[-0.200pt]{0.400pt}{4.818pt}}
\put(1324,94){\makebox(0,0)[r]{1}}
\put(1324.0,135.0){\rule[-0.200pt]{0.400pt}{4.818pt}}
% Axe des ordonnées
\put(750,40){\usebox{\plotpoint}}
\put(750.0,40.0){\rule[-0.200pt]{1.00pt}{193.684pt}}
\linethickness{0.3mm}
\put(752.0,840.0){\vector(0,4){25}}
% Axe des abscisses
\put(60,155){\usebox{\plotpoint}}
\put(60.0,155.0){\rule[-0.200pt]{332.201pt}{1.00pt}}
\put(1437.0,156.0){\vector(4,0){25}}

% Grille
\multiput(60,442)(20,0){69}{\rule{2.5pt}{0.01pt}}
\multiput(60,729)(20,0){69}{\rule{2.5pt}{0.01pt}}
\multiput(175,40)(0,20){40}{\rule{0.01pt}{2.50pt}}
\multiput(462,40)(0,20){40}{\rule{0.01pt}{2.50pt}}
\multiput(1037,40)(0,20){40}{\rule{0.01pt}{2.50pt}}
\multiput(1324,40)(0,20){40}{\rule{0.01pt}{2.50pt}}

%Courbe
\put(350,500){\makebox(0,0)[r]{$C$}}
\put(175,509){\usebox{\plotpoint}}
\multiput(175.00,507.93)(1.267,-0.477){7}{\rule{1.060pt}{0.115pt}}
\multiput(175.00,508.17)(9.800,-5.000){2}{\rule{0.530pt}{0.400pt}}
\multiput(187.00,502.93)(1.155,-0.477){7}{\rule{0.980pt}{0.115pt}}
\multiput(187.00,503.17)(8.966,-5.000){2}{\rule{0.490pt}{0.400pt}}
\multiput(198.00,497.93)(1.267,-0.477){7}{\rule{1.060pt}{0.115pt}}
\multiput(198.00,498.17)(9.800,-5.000){2}{\rule{0.530pt}{0.400pt}}
\multiput(210.00,492.93)(1.155,-0.477){7}{\rule{0.980pt}{0.115pt}}
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%		FFFFF		IIIII		N   N			CCCCC		OOOOO		U   U		RRRR		BBBB		EEEEE
%		F    		  I  		NN	N			C				O		O		U   U		R   R		B   B		E
%		FFF  		  I  		N N N			C				O		O		U   U		RRRR		BBBB		EEE
%		F    		  I  		N  NN			C				O		O		U   U		R R			B   B		E
%		F    		IIIII		N   N			CCCCC		OOOOO		UUUUU		R  R		BBBB		EEEEE

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

On considère le solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $C$ autour de l'axe des abscisses.

On désigne par $V$ le volume, en unités de volume, de ce solide.

On admet que $V=\displaystyle\int_{-1}^1 \pi{\left[f(x)\right]}^2\text{d}x$.
\begin{enumerate}
	\item Vérifier que: $V=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{\pi}{25}\left(2+\text{e}^{2x} + \text{e}^{-2x}\right)\text{d}x$.
	\item Démontrer que :  $V=\dfrac{\pi}{25}\left(4 + \text{e}^2-\text{e}^{-2}\right)$.
	\item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $V$.
\end{enumerate}
\textit{Le solide obtenu ci-dessus est le modèle d'un élément de mobilier urbain.}

\newpage

\textbf{EXERCICE 3}\hfill (7 points)

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 4 ~centimètres.

On souhaite construire la courbe de Bézier $C$ définie par les points de définition suivants donnés par leurs coordonnées :
$A_0(0~;~0)$; $A_1(0~;~2)$; $A_2\left(3~;~\frac{3}{4}\right)$.

On rappelle que la courbe de Bézier définie par les points de définition $A_i (0 \leqslant i \leqslant n)$ est l'ensemble des points $M(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~ ;~1]$ :

\[\overrightarrow{OM(t)}= \sum_0^n B_{i,n}(t)~ \overrightarrow{OA_i}~~~~~ \text{où } B_{i,n}(t) = C_n^i~ t^i~ {(1 -t)}^{n-i}.\]

\begin{enumerate}
	\item Développer, réduire et ordonner les polynômes $B_{i,2}(t)$ avec $0 \leqslant i \leqslant 2$.
	\item On note $\left(f(t), g(t)\right)$ les coordonnées du point $M(t)$ de la courbe $C$.
	
Démontrer qu'un système d'équations paramétriques de la courbe $C$ est :
	
$\left\{	
\begin{minipage}{4cm}{
$x= f (t) =3t^2$\\
$y=g(t)=4t-\frac{13}{4}t^2$}
\end{minipage}\right.$
 où $t$ appartient à l'intervalle $[0~;~1]$.
 \item Étudier les variations de $f$ et $g$ sur $[0~;~1]$ et rassembler les résultats dans un tableau unique.
 \item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $C$ :
\begin{enumerate}
	\item au point $A_0$,
	\item au point $A_2$,
	\item au point $M\left(\frac{8}{13}\right)$.
\end{enumerate}\label{tangentes}
	\item La figure est à réaliser sur une feuille de papier millimétré.
	Construire les tangentes définies au \ref{tangentes} et la courbe $C$. Que constate-t-on ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin 2010  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2011   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\hypertarget{2011}{}

\chead{Brevet de technicien supérieur}
\rhead{Session 2011}
%\rfoot{Conception de Produits Industriels}
%\cfoot{Page \thepage / \pageref{lastpage}}

\begin{center} {\huge \textbf{\gray \decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright \\\vspace{1cm} BTS Conception de produits industriels mai 2011}}
  
\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent
\textbf{EXERCICE 1} (4 points)\\

%\emph{\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}}
%
%\emph{Pour chacune des questions, une seule réponse A, B, C est exacte.\\
%\indent Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse
%choisie.\\
%\indent On ne demande aucune justification.}
%
%\emph{\textbf{Notation :}}
%
%\emph{Chaque réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
%
%\begin{enumerate}
%\item \label{ex1:qu:pdt scal}\Oijk~est un repère orthonormal direct de l'espace. On considère les vecteurs : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}
%1\\ 1\\ 1
%\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}
%1\\ 3\\ 1
%\end{array}\right)$.
%
%\begin{tikzpicture}
%\pgfmathsetmacro{\larg}{4.15}
%\foreach \i/\rep in {1/A,2/B,3/C}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i+1) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm]()at(\x,0.92){Réponse \rep};
%}
%\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.5cm}{Le produit scalaire de $\vec{u}$ par $\vec{v}$ est:}\end{minipage},2/-1,3/5,4/$\vec{v}$}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm,minimum height=1.2cm]()at(\x,0){\texte};
%}
%\end{tikzpicture}
%
%\item Avec les mêmes données qu'au \ref{ex1:qu:pdt scal},
%
%\begin{tikzpicture}
%\pgfmathsetmacro{\larg}{4.15}
%\foreach \i/\rep in {1/A,2/B,3/C}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i+1) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm]()at(\x,1.17){Réponse \rep};}
%\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.5cm}{La norme du produit vectoriel $\vec{u}\wedge\vec{v}$ est:}\end{minipage},2/$\sqrt{2}$,3/$2\sqrt{2}$,4/4}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm,minimum height=1.7cm]()at(\x,0){\texte};
%}
%\end{tikzpicture}
%
%\item \label{ex1:qu:matrices}On donne les matrices $M$ et $N$ : $M=\left(\begin{matrix}
%13&-8&-12\\ 12 & -7 & -12\\ 6&-4&-5
%\end{matrix}\right)$ et $N=\left(\begin{matrix}
%6&-4&-6\\ 6 & -3 & -6\\ 3&-2&-2
%\end{matrix}\right)$.
%
%\begin{tikzpicture}
%\pgfmathsetmacro{\larg}{4.15}
%\foreach \i/\rep in {1/A,2/B,3/C}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i+1) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm]()at(\x,1.22){Réponse \rep};
%}
%\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.5cm}{$M-2N$ est égale à:}\end{minipage},2/$\left(\begin{matrix}
%1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0&0&-1
%\end{matrix}\right)$,3/$\left(\begin{matrix}
%1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1
%\end{matrix}\right)$,4/$\left(\begin{matrix}
%1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1
%\end{matrix}\right)$}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm,minimum height=1.8cm]()at(\x,0){\texte};
%}
%\end{tikzpicture}
%
%\item Avec les mêmes données qu'au \ref{ex1:qu:matrices},
%
%\begin{tikzpicture}
%\pgfmathsetmacro{\larg}{4.15}
%\foreach \i/\rep in {1/A,2/B,3/C}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i+1) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm]()at(\x,1.22){Réponse \rep};
%}
%\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.5cm}{Le produit\\ $M\times M=M^2$ est:}\end{minipage},2/$\left(\begin{matrix}
%377 & 356 & 170\\ 356 & 337 & 160\\ 170 & 160 & 77
%\end{matrix}\right)$,3/$\left(\begin{matrix}
%169 & 64 & 144\\ 144 & 49 & 144\\ 36 & 16 & 25
%\end{matrix}\right)$,4/$\left(\begin{matrix}
%1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1
%\end{matrix}\right)$}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm,minimum height=1.8cm]()at(\x,0){\texte};
%}
%\end{tikzpicture}
%\end{enumerate}
%\medskip
 
\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples}
 
\emph{Pour chacune des questions, une seule réponse A, B,  C est exacte.\\ 
Indiquer sur la copie le num\'ero de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. 
On ne demande aucune justification.}

\textbf{Notation :}
  
\emph{Chaque r\'eponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enl\`eve  de point.} 

\begin{enumerate}
\item \Oijk{} est  un repère orthonormal direct de l'espace. On considère les vecteurs $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1\\ \end{pmatrix}$ et $\vect{v}\begin{pmatrix}1\\3\\1\\ \end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& Réponse A&Réponse B&Réponse  C\\ \hline
Le produit scalaire de $\vect{u}$ par $\vect{v}$ est :&$-1$&5& $\vect{v}$\\ \hline
\end{tabularx}

\item Avec les m\^emes donn\'ees qu'au \textbf{1.},

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& Réponse A&Réponse B&Réponse  C\\ \hline
La norme du produit vectoriel $\vect{u} \wedge \vect{v}$ est :&$\sqrt{2}$&$2\sqrt{2}$& $4$\\ \hline
\end{tabularx}

\item  On donne les  matrices $M$ et $N$ : $M = \begin{pmatrix}
13&-8&-12\\
12&-7&-12\\
6&- 4&- 5\\
\end{pmatrix}$ et  $N = \begin{pmatrix}
6&-4&-6\\
6&-3&-6\\
3&- 2&- 2\\
\end{pmatrix}$

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& Réponse A&Réponse B&Réponse  C\\ \hline
$M - 2N$ est égale à : &$\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&-1&0\\
0&0&- 1\\
\end{pmatrix}$&$\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}$& $\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&-1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}

\item  Avec les mêmes données qu'au \textbf{3.},

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& Réponse A&Réponse B&Réponse  C\\ \hline
Le produit $M \times M = M^2$ est: &$\begin{pmatrix}
377&356&170\\
356&337&160\\
170&160&77\\
\end{pmatrix}$&$\begin{pmatrix}
169&64&144\\
144&49&144\\
36&16&25\\
\end{pmatrix}$& $\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\newpage
\noindent
\textbf{EXERCICE 2} (6 points)
\begin{center}
\emph{\textbf{Les deux parties A et B  peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\emph{A.	Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle $(E) :~~ y^{\prime\prime}-2y^{\prime} + y = 1 - \sin x$, où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,\: y^{\prime}$ sa fonction dérivée et $y^{\prime\prime}$ sa fonction dérivée seconde.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $(E_0) :~~y^{\prime\prime}-2y^{\prime} + y = 0$.
\item Déterminer la constante réelle $k$ telle que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = k \cos x + 1$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0)=\frac{3}{2}$ et $f^{\prime}(0) = 1$.
\end{enumerate}

\emph{B.	Étude locale d'une fonction}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 1 + \text{e}^x-\frac{1}{2}\cos x$.

On a tracé ci-dessous sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal \Oij.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-11,-1)(2,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-11,-1)(2,8)
\uput[u](1.8,0){$x$}\uput[l](0,8){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-11}{1.7}{2.71828 x exp 1 add x 180 mul 3.14159 div cos 0.5 mul sub}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\uput[u](-9.5,1.4){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
%\begin{tikzpicture}
%\draw[dashed,lightgray](-11,-1.9)grid(1.8,8.3);
%\draw[thick,-stealth](-11,0)--(1.8,0)node[above left]{$x$};
%\draw[thick,-stealth](0,-1.9)--(0,8.3)node[below right]{$y$};
%\foreach \i in {-11,-10,...,1}{
%\draw[thick](\i,0)--(\i,-0.1);
%\node()at(\i+0.1,-0.15){\begin{tiny}
%\i
%\end{tiny}};
%}
%\foreach \i in {-1,0,...,8}{
%\draw[thick](0,\i)--(0.1,\i);
%\node()at(-0.15,\i+0.1){\begin{tiny}
%\i
%\end{tiny}};
%}
%\draw plot[samples=300,domain=-11:1.8] (\x,{1+exp(\x)-(cos(\x r))/2});
%\node()at(-9.5,1.7){$\mathcal{C}$};
%\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction définie par $x \mapsto -\frac{1}{2}\cos x$.
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est $f(x)=\frac{3}{2}+x+\frac{3}{4}x^2+x^2 \varepsilon (x)$ avec $\lim_{x\to0} \varepsilon(x)=0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la question précédente une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse 0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 3} (10points)
\begin{center}
\emph{\textbf{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

On considère les nombres réels $t_{0} = 0,\:t_{1} = 1,\:t_{2} = 2,\:t_3 = 3$ et $t_4 = 4$. 

\emph{On se propose de construire une courbe B-spline de degré 2 de vecteur n\? ud $(t_0,\:t_1,\:t_2,\:t_3,\:t_4)$.}

\emph{A. Détermination des fonctions polynômes B-splines}

On rappelle que les fonctions polynômes B-splines de degré $m$ associées au vecteur n{\oe}ud $(t_0,\:t_1,\:t_2,\:t_3,\:t_4)$ sont définies sur $\R$ et pour $m\not=0$, par :
$$N_{i,m}(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+m}-t_i}N_{i,m-1}(t)+\frac{t_{i+m+1}-t}{t_{i+m+1}-t_{i+1}}N_{i+1,m-1}(t).$$
\begin{enumerate}
\item On a déterminé des fonctions polynômes B-splines de degré 0 et 1 associées au vecteur n\oeud (0, 1, 2, 3, 4) qui ont été rassemblées dans les tableaux ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.7]
\tikzset{t style/.style=thin}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0,espcl=2]{$t$/0.8,$N_{0,0}(t)$/0.8,$N_{1,0}(t)$/0.8,$N_{2,0}(t)$/0.8,$N_{3,0}(t)$/0.8}{,0,1,2,3,4,}
\tkzTabLine{,0,t,1,t,0,t,0,t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,1,t,0,t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,0,t,1,t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,0,t,0,t,1,t,0,}
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}[xscale=0.7]
\tikzset{t style/.style=thin}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0,espcl=2]{$t$/0.8,$N_{0,1}(t)$/0.8,$N_{1,1}(t)$/0.8,$N_{2,1}(t)$/0.8}{,0,1,2,3,4,}
\tkzTabLine{,0,t,t,t,2-t,t,0,t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,,t,3-t,t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,0,t,t-2,t,4-t,t,0,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Déterminer $N_{1,1}(t)$ pour tout $t$ de l'intervalle [1, 2].
\item Le tableau suivant donne les fonctions polynômes B-splines de degré 2 associées au vecteur n{\oe}ud (0, 1, 2, 3, 4) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5]
\tikzset{t style/.style=thin}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0,espcl=3.5]{$t$/0.8,$N_{0,2}(t)$/1,$N_{1,2}(t)$/1}{,0,1,2,3,4,}
\tkzTabLine{,0,t,\frac{1}{2}t^2,t,-t^2+3t-\frac{3}{2},t,\frac{1}{2}t^2-3t+\frac{9}{2},t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,\frac{1}{2}t^2-t+\frac{1}{2},t,,t,\frac{1}{2}t^2-4t+8,t,0,}
\end{tikzpicture}

\end{center}
Démontrer que, pour tout $t$ de l'intervalle [2, 3], $N_{1,2}(t)=-t^2+5t-\frac{11}{2}$.

\end{enumerate}

\emph{B. Détermination des équations paramétriques d'un des arcs de la courbe B-spline}

Dans le plan muni du repère orthonormal \Oij~ d'unité 8 centimètres, on considère les points $P_0 (0,1)$ et $P_1 (2,1)$.

La courbe B-spline associée aux points $P_0$ et $P_1$, au vecteur n{\oe}ud $(t_0, t_1, t_2, t_3, t_4)$ et aux polynômes B-splines de degré 2 est définie par $\vect{OM(t)} = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=1}  N_{i,2}(t)\overrightarrow{OP_i}$.

Démontrer que, pour tout $t$ de l'intervalle [1, 2], le point $M(t)$ a pour coordonnées:\\ $x(t) = t^2-2t+1$ et $y(t)=-\frac{1}{2}t^2 + 2t-1$.

Dans ce qui suit, \textbf{on admet} que, pour tout $t$ de l'intervalle [2, 3], le point $M(t)$ a pour coordonnées $x(t) = -2 t^2 + 10t-11$ et $y(t) =-\frac{1}{2}t^2+ 2t-1$.

\emph{C. Construction de la courbe B-spline}

On considère l'arc $C_1$, ensemble des points $M(t)$ de coordonnées:\\ $\left\{\begin{array}{l}
x(t)=f_1(t)=t^2-2t+1\\ y(t)=g_1(t)=-\frac{1}{2}t^2+2t-1
\end{array}\right.$ , où $t$ appartient à l'intervalle [1, 2].

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Étudier les variations des fonctions $f_1$ et $g_1$ sur [1, 2] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
\item Préciser des vecteurs directeurs des tangentes à $C_1$ aux points $M(t)$ de paramètres 1 et 2.
\end{enumerate}
\item On considère l'arc $C_2$, ensemble des points $M(t)$ de coordonnées:\\
  $\left\{\begin{array}{l}
x(t)=f_2(t)=-2t^2+10t-11\\ y(t)=g_2(t)=-\frac{1}{2}t^2+2t-1
\end{array}\right.$, où $t$ appartient à l'intervalle [2, 3].

\textbf{On admet} que le tableau des variations conjointes des fonctions $f_2$ et $g_2$ sur [2; 3] est le suivant :
 
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$t$/1,$f'_2(t)$/0.8,$f_2(t)$/2,$g'_2(t)$/0.8,$g_2(t)$/3}{2,$\frac{5}{2}$,3}
\tkzTabLine{2,+,0,-,-2}
\tkzTabVar{-/1,+/$\frac{3}{2}$,-/1}
\tkzTabLine{0,,-,,-1}
\tkzTabVar{+/1,R,-/$\frac{1}{2}$}
\tkzTabVal{1}{3}{0.5}{}{$\frac{7}{8}$}
\end{tikzpicture}
\end{center} 

Déterminer (par lecture du tableau ou par calcul) des vecteurs directeurs des tangentes à $C_2$ aux points $M(t)$ de paramètres 2, $\frac{5}{2}$ et 3.

\item On rappelle que le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 8 centimètres.
\begin{enumerate}
\item Construire les tangentes à la courbe $C_1$ aux points $M(1)$ et $M(2)$.
\item Construire les tangentes à la courbe $C_2$ aux points $M(2)$, $M\left(\frac{5}{2}\right)$ et $M(3)$.
\item On désigne par $A$ le point de coordonnées $A\left(0, \frac{1}{2} \right)$.

On admet que pour $t$ appartenant à l'intervalle [0, 1], l'arc $C_0$ de la courbe B-spline cherchée est le segment $[OA]$.

Construire sur le même graphique les arcs de courbe $C_0$, $C_1$, $C_2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{lastpage}
\end{document}