\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{subfig} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-circ,pst-eucl,pst-3d,pstricks-add} \usepackage{graphicx} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \thispagestyle{empty} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \begin{center} \begin{huge}\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR } \vspace{0,5cm} \textbf{SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES} \vspace{0,5cm} \textbf{Comptabilité et gestion des organisations\\ \medskip de 2001 à 2011} \vspace{0,5cm} \end{huge} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{NC2000}{Nouvelle-Calédonie 2000} \dotfill 4 \medskip \Large \hyperlink{2001}{Métropole 2001} \dotfill 8 \medskip \Large \hyperlink{NC2001}{Nouvelle-Calédonie 2001} \dotfill 12 \medskip \Large \hyperlink{2002}{Métropole 2002} \dotfill 16 \medskip \Large \hyperlink{NC2002}{Nouvelle-Calédonie 2002} \dotfill 20 \medskip \Large \hyperlink{2003}{Métropole 2003} \dotfill 24 \medskip \Large \hyperlink{NC2003}{Nouvelle-Calédonie 2003} \dotfill 27 \medskip \Large \hyperlink{2004}{Métropole 2004} \dotfill 30 \medskip \Large \hyperlink{NC2004}{Nouvelle-Calédonie 2004} \dotfill 33 \medskip \Large \hyperlink{2005}{Métropole 2005} \dotfill 36 \medskip \Large \hyperlink{PO2005}{Polynésie 2005} \dotfill 38 \medskip \Large \hyperlink{2006}{Métropole 2006} \dotfill 41 \medskip \Large \hyperlink{PO2006}{Polynésie 2006} \dotfill 44 \medskip \Large \hyperlink{NC2006}{Nouvelle-Calédonie 2006} \dotfill 47 \medskip \Large \hyperlink{2007}{Métropole 2007} \dotfill 50 \medskip \Large \hyperlink{NC2007}{Nouvelle-Calédonie 2007} \dotfill 52 \medskip \Large \hyperlink{2008}{Métropole 2008} \dotfill 55 \medskip \Large \hyperlink{PO2008}{Polynésie 2008} \dotfill 58 \medskip \Large \hyperlink{NC2008}{Nouvelle-Calédonie 2008} \dotfill 61 \medskip \Large \hyperlink{2009}{Métropole 2009} \dotfill 64 \medskip \Large \hyperlink{PO2009}{Polynésie 2009} \dotfill 68 \medskip \Large \hyperlink{NC2009}{Nouvelle-Calédonie 2009} \dotfill 71 \medskip \Large \hyperlink{2010}{Métropole 2010} \dotfill 74 \medskip \Large \hyperlink{NC2010}{Nouvelle-Calédonie 2010} \dotfill 78 \medskip \Large \hyperlink{2011}{Métropole 2011} \dotfill 81 \medskip \Large \hyperlink{PO2011}{Polynésie 2011} \dotfill 83 \medskip} \end{center} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Calédonie 2000 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NC2000}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{Session 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie\\ Comptabilité et gestion décembre 2000} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip On considère un produit dont le prix unitaire, exprimé en euros, est noté $x$. La demande $f(x)$ est la quantité de ce produit, exprimée en centaines d'unités, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire de $x$ euros. L'offre $g(x)$ est la quantité de ce produit, exprimée en centaines d'unités, que les producteurs sont pr\^ets à vendre au prix unitaire de $x$ euros. On appelle prix d'équilibre de ce produit le prix pour lequel l'offre et la demande sont égales. L'objectif de cet exercice est de déterminer un prix d'équilibre. \begin{center} \textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center} \textbf{Partie 1 : étude statistique} \medskip \textbf{Pour cette partie, on utilisera les fonctions de la calculatrice. Le détail des calculs n'est pas demandé.} Une étude statistique a permis de relever les résultats suivants, où $x_{i}$ représente le prix de vente unitaire en euro et $y_{i}$ la quantité demandée, en centaines d'unités, de ce produit. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{| l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Prix unitaire en euros $x_{i}$& 1,1&1,25&1,4&2&2,45&3\\ \hline Quantité en centaines $y_{i}$& 9,75& 5,50& 4,50& 3,00& 2,60&2,50\\ \hline \end{tabularx} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 5~cm pour 1~euro en abscisse et 1~cm pour 1~centaine d'unités en ordonnée. Le nuage de points $M_{i}$, de coordonnées $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ est représenté sur la feuille annexe. Vu la disposition des points, on ne cherche pas à remplacer ce nuage par une droite, c'est-à-dire à réaliser un ajustement affine. On effectue le changement de variable $Y_{i} = \ln y_{i}$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de valeurs donné sur la feuille annexe, sous le nuage de points : les valeurs de $Y_{i}$ seront arrondies à $10^{-2}$ près. \item Donner le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x,~;~Y_{i}\right)$. On en donnera la valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut. Le résultat trouvé permet d'envisager un ajustement affine. \item Donner, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de $Y$ en $x$ sous la forme $Y = ax + b$ ; on donnera la valeur décimale approchée de $a$ à $10^{-2}$ près par défaut, $b$ sera arrondi à l'entier le plus proche. \item En déduire une estimation de la quantité demandée $y_{i}$ en centaines d'unités, en fonction du prix unitaire $x$, sous la forme $y = k\text{e}^{- \lambda x}$ où $k$ et $\lambda$ sont des constantes ; $k$ sera arrondi à l'entier le plus proche. \item En déduire la quantité demandée que l'on peut estimer pour un prix unitaire de 2,90~euros. On donnera la valeur arrondie à une unité près. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2 : recherche du prix d'équilibre} \medskip Dans cette partie, on considère que la demande, exprimée en centaines d'unités, pour un prix unitaire de $x$ euros est $f(x)$, où $f$ est la fonction définie sur l'intervalle [1~;~3] par \[f(x) = 20\text{e}^{-0,7x}\] De même, l'offre, exprimée en centaines d'unités, pour un prix unitaire de $x$ euros est $g(x)$, où $g$ est la fonction définie sur l'intervalle [1~;~3] par : \[g (x) = 0,15x + 2,35.\] \begin{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~3]. \item Sur le graphique donné en annexe, tracer les représentations graphiques $\mathcal{C}$ et $\Delta$ des fonctions $f$et $g$. \item Déterminer graphiquement, en faisant figurer les tracés utiles, une valeur approchée, arrondie à $10^{-1}$ près, de l'abscisse du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Delta$. \end{enumerate} \item Soit la fonction $h$ définie sur l'intervalle [1~;~3] par \[h(x) = f(x) - g(x).\] \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variations de la fonction $h$, sur l'intervalle [1~;~3]. \item En déduire, en justifiant, que l'équation $h(x) = 0$ admet dans l'intervalle [1~;~3] une solution unique, notée $\alpha$, dont on donnera la valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut. Vérifier que cette valeur est compatible avec la valeur lue sur le graphique au 1. c. \item Donner, à $10^{-2}$ près, le prix d'équilibre en euros, c'est-à-dire le prix pour lequel l'offre et la demande sont égales. Calculer l'offre correspondant au prix d'équilibre. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \end{center} Une centrale d'achat fournit trois types de poulets à une chaîne d'hypermarchés : \medskip \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item des poulets \og biologiques \fg, dits poulets $P_{1}$ ; \item des poulets de Bresse, dits poulets $P_{2}$ ; \item des poulets élevés en plein air, dits poulets $P_{3}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Une étude de marché a montré qu'un poulet se vend mal lorsque son poids est inférieur ou égal à 1~kilogramme. Avant leur conditionnement et leur mise en vente en grande surface, les poulets sont stockés dans un entrepôt frigorifique. Dans la suite, on s'intéresse aux stocks de ces trois types de poulets, une journée donnée. \medskip \textbf{Partie 1 : étude des poulets} \boldmath $P_{1}$ \unboldmath \medskip On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque poulet prélevé au hasard dans le stock de poulets $P_{1}$, associe son poids en kg.\\ On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $1,46$ et d'écart-type $0,30$. Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité de l'évènement A \og un poulet prélevé au hasard dans le stock de poulets $P_{1}$ a un poids inférieur ou égal à 1 kg \fg. \medskip \textbf{Partie II : étude des poulets} \boldmath $P_{2}$ \unboldmath \medskip On note B l'évènement \og un poulet prélevé au hasard dans le stock de poulets $P_{2}$ a un poids inférieur ou égal à 1 kg \fg. On suppose que la probabilité de l'évènement B est $0,03$. On prélève au hasard 100~poulets dans le stock de poulets. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~poulets. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 100~poulets ainsi défini, associe le nombre de poulets ayant un poids inférieur ou égal à 1~kg. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binomiale. En déterminer les paramètres. \item On approche la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi de Poisson de même espérance mathématique.\\ Donner le paramètre de cette loi. \item Utiliser cette approximation pour calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité de l'évènement \og parmi 100~poulets prélevés au hasard dans le stock de poulets $P_{2}$, il y a au plus 4 poulets ayant un poids inférieur ou égal à 1~kg \fg. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 3 : étude des poulets} \boldmath $P_{3}$ \unboldmath \medskip \emph{Dans cette partie, on cherche à estimer le pourcentage $p$ inconnu de poulets du stock de poulets $P_{3}$ dont le poids esi inférieur ou égal à $1$~kg.} On considère un échantillon de 100~poulets prélevés au hasard et avec remise dans le stock de poulets $P_{3}$. On constate qu'il contient 4 poulets dont le poids est inférieur ou égal à 1~ kg. \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle du pourcentage $p$ de poulets du stock de poulets $P_{3}$ dont le poids est inférieur ou égal à 1~kg. \item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~poulets prélevés au hasard et avec remise dans le stock de poulets $P_{3}$, associe le pourcentage de poulets de cet échantillon dont le poids est inférieur ou égal à 1~kg. On suppose que $F$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(p~;~\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}\right)$ où $p$ est le pourcentage inconnu de poulets du stock de poulets $P_{3}$ dont le poids est inférieur ou égal à 1~kg. \begin{enumerate} \item Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage $p$ avec le coefficient de confiance $95$\:\% ; les bornes seront données à $10^{-1}$ près. \item On considère l'affirmation suivante : \og le pourcentage $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question a. \fg. Cette affirmation est-elle vraie ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{0,5cm} \textbf{Représentation graphique du nuage de points de l'exercice 1}\\ \bigskip \psset{xunit=3.42cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(3.4,11) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(3.4,11) \multido{\n=0+0.2}{18}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,11)} \multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](3,\n)(3.4,\n)} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(3.4,10.5) \psdots*[dotstyle=*](1.1,9.75)(1.25,8.5)(1.4,4.5)(2,3)(2.45,2.6)(3,2.5) \uput[l](0,1){1} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Partie 1 -- 1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : les valeurs de $Y_{i}$ seront arrondies à $10^{-2}$ près : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ &1,1 &1,25 &1,4 &2 &2,45 &3\\ \hline $Y_{i} = \ln x_{i}$&2,28 &2,14 & & & & \\ \hline \end{tabularx} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie 2000 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole 2001 %%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2001}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{Session 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Comptabilité et gestion session 2001} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill} \medskip \begin{center}Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.\end{center} Une entreprise de loisirs qui possède 60~bateaux les loue à la semaine. Cet exercice propose une étude de la rentabilité de cette activité pour une semaine fixée. Les données financières sont exprimées en milliers de francs (kF) et les résultats demandés seront arrondis à $10^{-2}$ près. \medskip \textbf{Partie A : Étude du coût de fonctionnement hebdomadaire} \medskip Le coût de fonctionnement hebdomadaire $C(q)$, exprimé en milliers de francs, correspondant à la location d'un nombre $q$ de bateaux est donné par : \[C(q) = 15 + 2q - 20 \ln (0,1 q + 1).\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $C(10)$ et $C(20)$. Le coût de fonctionnement hebdomadaire est-il proportionnel au nombre de bateaux loués ? \item Déterminer le pourcentage d'augmentation du coût de fonctionnement hebdomadaire lorsque le nombre de bateaux loués passe de $10$ à $20$. \end{enumerate} \item Afin d'étudier le coût de fonctionnement hebdomadaire, on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~60]$ par : \[f(x) = 15 + 2x - 20 \ln(0,1x + 1).\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = \dfrac{0,2x}{0,1x + 1}$ pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~60]$. En déduire le sens de variation de $f$. \item Calculer le coût de fonctionnement hebdomadaire maximal (exprimé en milliers de francs). \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude du bénéfice} \medskip Chaque bateau est loué \nombre{3000}~F la semaine. Le bilan financier hebdomadaire $B(q)$, exprimé en milliers de francs, correspondant à la location d'un nombre $q$ de bateaux est donc donné par : \[B(q) = q + 20\ln (0,1 q + 1) - 15.\] \begin{enumerate} \item Afin d'étudier ce bilan, on considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~60]$ par: \[g(x) = x + 20\ln (0,1x + 1) - 15.\] Déterminer le sens de variations de la fonction $g$. \item Sur l'annexe jointe au sujet : \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$. \item Construire la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $g$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 3~cm pour 10~bateaux sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 5~kF sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \item Déterminer graphiquement, en faisant figurer les tracés utiles, le nombre minimum de bateaux que l'entreprise doit louer pendant cette semaine pour obtenir : \begin{enumerate} \item Un bénéfice (positif), \item Un bénéfice supérieur à 20~kF. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill} \medskip \emph{Dans ce problème, on s'intéresse à une production de pots de confiture dans une usine.} \begin{center} \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées séparément} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On s'intéresse, dans cette partie, à la masse des pots produits. On considère l'évènement : \og un pot a une masse inférieure à 490~grammes \fg. \textbf{Une étude a permis d'admettre que la probabilité de cet évènement est 0,2.} \begin{enumerate} \item On prélève au hasard 10 pots dans la production totale. On suppose que le nombre de pots est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pots. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10~pots, associe le nombre de pots dont la masse est inférieure à 490~grammes. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale. En préciser les paramètres. \item Calculer la probabilité de l'évènement A \og parmi les $10$~pots, il y a exactement 2~pots dont la masse est inférieure à 490~grammes \fg. \end{enumerate} \item On prélève au hasard 100~pots dans la production totale. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 100~pots, associe le nombre de pots dont la masse est inférieure à 490~grammes. On admet que la loi de la variable aléatoire $Y$ peut être approchée par une loi normale. Soit $Z$ une variable aléatoire suivant cette loi normale. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi les paramètres de la loi de $Z$ sont $20$ et 4. \item Calculer la probabilité de l'évènement B \og parmi les 100~pots, il y a au plus 18~pots dont la masse est inférieure à 490~grammes \fg, c'est-à-dire calculer $P(Z \leqslant 18,5)$. \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(Z \leqslant n) > 0,80$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Les masses, exprimées en grammes, observées pour un échantillon de 100~pots pris au hasard et avec remise dans la production totale, ont donné les résultats suivants : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Masse en grammes& [470~;~480[&[470~;~480[& [490~;~500[& [500~;~ 510[& [510~;~520[\\ \hline Nombre de pots& 7& 13&43 &27 & 10\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On considère que les éléments de chaque classe sont situés en son centre. Dans cette situation, calculer la moyenne et une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'écart type de cet échantillon. On utilisera les fonctions statistiques de la calculatrice. \item À partir des informations précédentes, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ et de l'écart type $s$ de la production totale (pour cette dernière, on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près). \end{enumerate} \item Le fabricant fait régler sa machine pour que la masse des pots produits soit 505~grammes. Soit $S$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~pots prélevés au hasard et avec remise dans production totale, associe la moyenne des masses des 100~pots de cet échantillon. On admet que $S$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\dfrac{s}{10}$. On se propose de construire un test bilatéral permettant de vérifier, au seuil de signification 5\:\%, l'hypothèse selon laquelle la machine est correctement réglée. On choisit comme hypothèse nulle H$_{0} : \mu = 505$ et comme hypothèse alternative H$_{1} : \mu = 505$. \begin{enumerate} \item Déterminer la région critique au seuil de signification 5\:\%. \item Énoncer la règle de décision. \item Utiliser le test avec l'échantillon de la question B. 1. Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.189cm,yunit=0.126cm} \begin{pspicture}(0,-15)(63.333,95) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=60,Dy=80]{->}(0,0)(0,-15)(63.333,95) \uput[d](10,0){10}\uput[l](0,-15){$-15$}\uput[l](0,5){5} \multido{\n=0+0.3333}{190}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-15)(\n,95)} \multido{\n=0+3.333}{19}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-15)(\n,95)} \multido{\n=-15+1}{110}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(63.33,\n)} \multido{\n=-15+10}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(63.33,\n)} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&0&5&10&20&30&40&60\\ \hline $g(x)$&$-15$&&&26,97&&& \\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 2001 %%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NC2001}{} \rfoot{\small{octobre 2002}} \lfoot{\small Nouvelle-Calédonie} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2003\\ Nouvelle Calédonie octobre 2002} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill} \medskip \textbf{Partie A : étude mathématique} Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle [1~;~6] respectivement par : \[f(t) = 6 - \dfrac{9}{t + 2}\quad \text{et} \quad g(t) = \dfrac{21}{ 5+ \text{e}^{-0,8t}}.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni du repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2 cm pour 1 unité en abscisse, et 10 cm pour 1 unité en ordonnée. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~6]. En déduire le sens de variation de $f$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~6], $g'(t) = \dfrac{16,8\text{e}^{-0,8t}}{\left( 5 + \text{e}^{-0,8t} \right)^2}$. \item En déduire le sens de variations de $g$. \end{enumerate} \item Sur la feuille donnée en annexe, compléter le tableau de valeurs de $f$ et $g$ (les valeurs de $f(t)$ et $g(t)$ seront arrondies à $10^{-2}$). Construire les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. \item Résoudre algébriquement l'inéquation $g(t) \geqslant 4,15$. On donnera la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de la borne inférieure de l'intervalle des solutions. \item \begin{enumerate} \item Donner une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~6] . \item Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~6], $g(t) = \dfrac{21\text{e}^{0,8t}}{5\text{e}^{0,8t}+ 1}$. En déduire une primitive de $g$ sur l'intervalle [1~;~6]. \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^6 f(t)\:\text{d}t$. ri, \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^6 g(t)\:\text{d}t$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B : utilisation de certains résultats pour une étude économique} Un groupe distribuant une marque d'un certain produit lance un plan de réorganisation de l'implantation des points de vente de cette marque sur une période de 6 ans. Ce plan entraîne pendant cene periode d'une part, des fermetures de points de vente et d'autre part, des ouvertures de nouveaux points de vente. \medskip Une étude a montré que $f$ modélise le nombre, exprimé en centaines, d'ouvertures et $g$ le nombre, exprimé en centaines, de fermetures de points de vente. Ainsi, $f(1)$ représente le nombre d'ouvertures au cours de la 1\up{re} année, $f(2)$ représente le nombre d'ouvertures au cours de la 2\up{e} année, $f(t)$ représente le nombre d'ouvertures au cours de la $t$\up{e} année ($1 \leqslant t \leqslant 6$). De même, $g(t)$ représente le nombre de fermetures au cours de la $t$\up{e} année ($1 \leqslant t \leqslant 6$). \begin{enumerate} \item L'année précédant le lancement du plan, \nombre{4150}~points de vente étaient implantés en France. Déterminer graphiquement, au cours de quelle année le nombre de points de vente fermés dans l'année dépasse 10\:\% de l'effectif initial. On fera figurer sur le graphique les traits de construction utiles. \item Déterminer graphiquement, l'année au cours de laquelle le nombre de points de vente ouverts devient supérieur au nombre de points de vente fermés. \item Expliquer comment on pourrait obtenir le nombre total de points de vente de la marque à la fin du plan de réorganisation. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2} Un éditeur scolaire produit en grande série un CD-Rom de sujets d'examens de mathématiques corrigés, à l'intention des étudiants des sections de techniciens supérieurs. Au cours de la fabrication de ce produit, deux défauts peuvent se produire : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item le défaut $a$ au cours de l'impression de la jaquette ; \item le défaut $b$ au cours de l'enregistrement des données. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center}\textbf{Les trois parties A. B et C peuvent être traitées de manière indépendante} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} On noté $A$ l'évènement \og le CD-Rom présente le défaut $a$ \fg. Une étude a montré que $p(A) = 0,08$. \begin{enumerate} \item On prélève au hasard successivement 50~CD-Roms dans le stock On admet que le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prêlèvement à un tirage avec remise de 50~CD-Roms. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50 CD-Roms, associe le nombre de CD-Roms présentant le défaut $a$. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale. En déterminer les paramètres. \item Calculer les probabilités, arrondies à $10^{- 2}$ près, des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item \og parmi les 50 CD-Roms, exactement cinq présentent le défaut $a$ \fg. \item \og parmi les 50 CD-Roms, deux au moins présentent le défaut $a$ \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item Le prix de vente unitaire prévu d'un CD-Rom est 18~euros. L'éditeur effectue une réduction de 15\:\% sur le prix de vente prévu pour les CD-Roms présentant le défaut $a$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$. Que représente $E(X)$ ? \item Déduire de la question a. la recette moyenne, arrondie à un euro, que l'éditeur peut espérer de la vente de 50~CD-Roms. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \emph{Dans cette partie, les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près} Les CD-Roms présentant le défaut $b$ sont considérés comme défectueux. Lorsqu'un client se trouve en possession d'un CD-Rom défectueux, il doit le renvoyer au service après-vente de l'éditeur qui en échange, lui fait parvenir un autre CD-Rom en remplacement. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque client concerné prélevé au hasard, associe le nombre de jours séparant la date de renvoi du CD-Rom défectueux au service après-vente et la date de réception du CD-Rom de remplacement. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne 8 et d'écart type 2,75. On admet qu'un client se déclare satisfait par le service après-vente si son délai d'attente ne dépasse pas 10 jours et mécontent si ce délai dépasse 14 jours. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un client concerné soit satisfait du service après-vente. \item Calculer la probabilité qu'un client concerné soit mécontent du service après-vente. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C} \emph{L'éditeur met en place des services après-vente décentralisés.} \emph{Dans cette partie, on s'intéresse à un service après-vente donné.} \emph{Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près} \medskip Pendant une période donnée, on a relevé le délai d'attente, en jours, de chaque client de ce service après-vente. Pour un échantillon de 100~clients prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble des clients de ce service pendant la période considérée, on constate que la moyenne des délais d'attente est $\overline{x} = 9$ et que l'écart-type $s$ des délais d'attente est $s = 2,80$. \begin{enumerate} \item À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ et de l'écart type $\sigma$ des délais d'attente de l'ensemble des clients de ce service pendant la période considérée. \item Soit $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~clients prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble des clients de ce service pendant la période considérée, associe la moyenne des délais d'attente, en jours, des clients de ce service. On suppose que $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$. On prendra pour $\sigma$ l'estimation ponctuelle fournie à partir de l'échantillon de la question 1. \begin{enumerate} \item Déterminer un intervalle de confiance centré en 9 de la moyenne $\mu$ des délais d'attente des clients de ce service avec le coefficient de confiance $95$\:\%. \item Ce service peut-il affirmer que la moyenne des délais d'attente ne dépasse pas 10 jours ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie} \end{center} \vspace{0,5cm} Tableau de valeurs à compléter : \vspace{0,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$&1&2&3&4&5&6\\ \hline $f(t)$&&&&&&\\ \hline $g(t)$&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1,5cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=9cm} \begin{pspicture}(0,3)(8,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=20,gridwidth=0.3pt](0,3)(8,5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Oy=3]{->}(0,3)(7.5,5.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=3]{->}(0,3)(1,4) \uput[d](1,3){$\vect{\imath}$} \uput[r](0,4){$\vect{\jmath}$} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie 2002 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole 2002 %%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2002}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{Session 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Comptabilité et gestion session 2002} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill}\\ \begin{center}\textbf{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante} \end{center} Afin d'augmenter son chiffre d'affaires, un magasin d'appareils électroménagers réalise un investissement pour rénover son rayon des ventes et effectuer une campagne publicitaire.\\ Cet exercice propose une étude du coût, des recettes et du bénéfice de cette opération financière, pendant l'année qui suit sa réalisation.\\ Les données financières sont exprimées en milliers d'euros (k\euro) et les résultats demandés seront arrondis à $10^{-1}$ près.\\ \medskip \textbf{Partie A étude du coût} \medskip \begin{enumerate} \item Le coût de l'opération financière s'élève la fin du 1\up{er} mois à 50~k\euro{} et à la fin du 2\up{e} mois à 46 k\euro. Calculer la diminution en pourcentage du coût entre le premier et le deuxième mois. \item On note $u_{n}$ le coût exprimé en kg de l'opération financière à la fin du n-ième mois ($1 \leqslant n \leqslant 12$), ainsi $u_{1} = 50$ et $u_{2} = 46$. On admet que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,92$. Calculer $u_{12}$. \item En fait le coût mensuel de l'opération financière suit une évolution légèrement différente et peut être modélisé par la fonction $f$ définie sur [1~;~12] par : \[f(t) = \dfrac{108} {1 + \text{e}^{0,15t}}.\] On admet que $f(t)$ représente le coût mensuel, exprimé en k\euro, comptabilisé à la fin du $t$-ième mois. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~12]. En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [1~;~12]. \item En annexe, deux courbes sont tracées. L'une représente la fonction $f$. La reconnaître; expliquer. \item Déterminer graphiquement, en faisant figurer les tracés utiles, durant quel mois le coût mensuel devient inférieur à 30~k\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B étude des recettes} \medskip On admet que le montant mensuel des recettes peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~12] par : \[g(t) = 2(18 - t)\text{e}^{0,1t}.\] Ainsi $g(t)$ représente le montant des recettes, exprimées en k\euro, comptabilisées la fin du $t$-ième mois. \begin{enumerate} \item Montrer que $g'(t) = 0,2 (8 - t)\text{e}^{0,1t}$, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~12]. En déduire le tableau de variations de $g$. \item On veut calculer l'intégrale $I= \displaystyle\int_{1}^{12} g(t)\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item On considère la fonction $G$ définie par $G(t) = 20(28 - t)\text{e}^{0,1t}$. Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle [1~;~12]. \item En déduire la valeur de $I$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : étude du bénéfice} \medskip \begin{enumerate} \item La courbe représentant la fonction $g$ est tracée en annexe, la reconnaître. \item Déterminer graphiquement, à partir de quel mois l'opération financière devient bénéficiaire. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill} \medskip Dans une station de sports d'hiver, une étude statistique est réalisée dans le but d'étudier la durée d'attente au pied des remontées mécaniques. \\Dans ce problème, on s'intéresse à l'étude de la durée d'attente, exprimée en minutes, au pied d'une remonté mécanique particulière. \medskip \textbf{Partie A : étude de la durée d'attente en début de journée} \medskip On désigne par A et B les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $A$ : \og la durée d'attente lors de la première montée est supérieure à 3~minutes \fg{} ; \item[] $B$ : \og la durée d'attente lors de la deuxième montée est supérieure à 3~minutes \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Des observations permettent d'admettre que $p(A) = 0,2$. De plus, on constate que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item si la durée d'attente lors de la première montée est supérieure à 3 minutes, la probabilité que la duré d'attente lors de la deuxième montée soit supérieure à 3~minutes est $0,3$ ; \item si la durée d'attente lors de la première montée est strictement inférieure à 3~minutes, la probabilité que la durée d'attente lors de la deuxième montée soit supérieure à 3~minutes est $0,5$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On désigne par $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$. Calculer les probabilités des évènements $\overline{A},~ A \cap B$ et $\overline{A} \cap B$. \item En déduire que $p(B) = 0,46$. \end{enumerate} \item Un skieur emprunte cinq fois consécutives cette remontée dans les conditions décrites précédemment. On appelle $X$ la variable aléatoire exprimant le nombre de remontées où la durée d'attente est supérieure 3~minutes. $X$ suit-elle une loi binomiale ? Justifiez votre réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B étude de l'effet du renouvellement de le remontée mécanique} \medskip On renouvelle cette remontée mécanique en vue d'améliorer son débit.\\ On étudie les nouvelles durées d'attente aux moments de forte affluence pour cette nouvelle remontée. À cet effet, on considère un échantillon de 100~skieurs pris au hasard et on constate que la moyenne des durées d'attente pour cet échantillon est 5,3~minutes et que l'écart type est 2,5~minutes. Le nombre de skieurs est suffisamment grand pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $Z$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~skieurs prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble des skieurs, associe la moyenne des durées d'attente pour cette nouvelle remontée. On suppose que $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $m$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}.$ \begin{enumerate} \item À partir des informations portant sur l'échantillon, calculer, à 0,01~près, une estimation ponctuelle de $\sigma$. \item À partir des informations portant sur l'échantillon, donner une estimation de la moyenne $m$ des durées d'attente au pied de la nouvelle remontée mécanique par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance de 95\:\%. On prendra pour $\sigma$ l'estimation obtenue à la question précédente. On donnera des valeurs arrondies à 0,1~près des bornes de l'intervalle. \item Cette étude permet-elle d'affirmer que la durée d'attente moyenne pour l'ensemble des skieurs au pied de cette nouvelle remontée mécanique est inférieure à 6~minutes ? Justifiez voire réponse. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE à rendre avec la copie} \bigskip \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.4cm} \begin{pspicture}(16,55) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(16,55) %\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(16,55) \multido{\n=0+0.1}{161}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,55)} \multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,55)} \multido{\n=0+0.25}{221}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(16,\n)} \multido{\n=0+2.5}{23}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(16,\n)} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{1}{12}{108 2.71828 0.15 x mul exp 1 add div} \psplot[linecolor=red,plotpoints=3000]{1}{12}{36 2 x mul sub 2.71828 0.1 x mul exp mul} \uput[r](12,40){$\mathcal{C}$} \uput[r](12,15.2){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 2002 %%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie octobre 2002 %%%%%%%%%% \hypertarget{NC2002}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{octobre 2002}} \lfoot{\small Nouvelle-Calédonie} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2003\\ Nouvelle Calédonie octobre 2002} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill} \medskip \textbf{Partie A : étude mathématique} Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle [1~;~6] respectivement par : \[f(t) = 6 - \dfrac{9}{t + 2}\quad \text{et} \quad g(t) = \dfrac{21}{ 5+ \text{e}^{-0,8t}}.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni du repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2 cm pour 1 unité en abscisse, et 10 cm pour 1 unité en ordonnée. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~6]. En déduire le sens de variation de $f$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~6], $g'(t) = \dfrac{16,8\text{e}^{-0,8t}}{\left( 5 + \text{e}^{-0,8t} \right)^2}$. \item En déduire le sens de variations de $g$. \end{enumerate} \item Sur la feuille donnée en annexe, compléter le tableau de valeurs de $f$ et $g$ (les valeurs de $f(t)$ et $g(t)$ seront arrondies à $10^{-2}$). Construire les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. \item Résoudre algébriquement l'inéquation $g(t) \geqslant 4,15$. On donnera la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de la borne inférieure de l'intervalle des solutions. \item \begin{enumerate} \item Donner une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~6] . \item Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~6], $g(t) = \dfrac{21\text{e}^{0,8t}}{5\text{e}^{0,8t}+ 1}$. En déduire une primitive de $g$ sur l'intervalle [1~;~6]. \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^6 f(t)\:\text{d}t$. \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^6 g(t)\:\text{d}t$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B : utilisation de certains résultats pour une étude économique} Un groupe distribuant une marque d'un certain produit lance un plan de réorganisation de l'implantation des points de vente de cette marque sur une période de 6 ans. Ce plan entraîne pendant cene periode d'une part, des fermetures de points de vente et d'autre part, des ouvertures de nouveaux points de vente. \medskip Une étude a montré que $f$ modélise le nombre, exprimé en centaines, d'ouvertures et $g$ le nombre, exprimé en eentaines, de fermetures de points de vente. Ainsi, $f(1)$ représente le nombre d'ouvertures au cours de la 1\up{re} année, $f(2)$ représente le nombre d'ouvertures au cours de la 2\up{e} année, $f(t)$ représente le nombre d'ouvertures au cours de la $t$\up{e} année ($1 \leqslant t \leqslant 6$). De même, $g(t)$ représente le nombre de fermetures au cours de la $t$\up{e} année ($1 \leqslant t \leqslant 6$). \begin{enumerate} \item L'année précédant le lancement du plan, \nombre{4150}~points de vente étaient implantés en France. Déterminer graphiquement, au cours de quelle année le nombre de points de vente fermés dans l'année dépasse 10\:\% de l'effectif initial. On fera figurer sur le graphique les traits de construction utiles. \item Déterminer graphiquement, l'année au cours de laquelle le nombre de points de vente ouverts devient supérieur au nombre de points de vente fermés. \item Expliquer comment on pourrait obtenir le nombre total de points de vente de la marque à la fin du plan de réorganisation. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2} Un éditeur scolaire produit en grande série un CD-Rom de sujets d'examens de mathèmatiques corrigés, à l'intention des étudiants des sections de techniciens supérieurs. Au cours de la fabrication de ce produit, deux défauts peuvent se produire : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item le défaut $a$ au cours de l'impression de la jaquette ; \item le défaut $b$ au cours de l'enregistrement des données. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center}\textbf{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} On noté $A$ l'évènement \og le CD-Rom présente le défaut $a$ \fg. Une étude a montré que $p(A) = 0,08$. \begin{enumerate} \item On prélève au hasard successivement 50~CD-Roms dans le stock On admet que le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~CD-Roms. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50~CD-Roms, associe le nombre de CD-Roms présentant le défaut $a$. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale. En déterminer les paramètres. \item Calculer les probabilités, arrondies à $10^{- 2}$ près, des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item \og parmi les 50 CD-Roms, exactement cinq présentent le défaut $a$ \fg. \item \og parmi les 50 CD-Roms, deux au moins présentent le défaut $a$ \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item Le prix de vente unitaire prévu d'un CD-Rom est 18~euros. L'éditeur effectue une réduction de 15\:\% sur le prix de vente prévu pour les CD-Roms présentant le défaut $a$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$. Que représente $E(X)$ ? \item Déduire de la question a. la recette moyenne, arrondie à un euro, que l'éditeur peut espérer de la vente de 50~CD-Roms. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \emph{Dans cette partie, les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près} Les CD-Roms présentant le défaut $b$ sont considérés comme défectueux. Lorsqu'un client se trouve en possession d'un CD-Rom défectueux, il doit le renvoyer au service après-vente de l'éditeur qui en échange, lui fait parvenir un autre CD-Rom en remplacement. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque client concerné prélevé au hasard, associe le nombre de jours séparant la date de renvoi du CD-Rom défectueux au service après-vente et la date de réception du CD-Rom de remplacement. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne 8 et d'écart type 2,75. On admet qu'un client se déclare satisfait par le service après-vente si son délai d'attente ne dépasse pas 10 jours et mécontent si ce délai dépasse 14 jours. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un client concerné soit satisfait du service après-vente. \item Calculer la probabilité qu'un client concerné soit mécontent du service après-vente. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C} \emph{L'éditeur met en place des services après-vente décentralisés.} \emph{Dans cette partie, on s'intérese à un service après-vente donné.} \emph{Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près} \medskip Pendant une période donnée, on a relevé le délai d'attente, en jours, de chaque client de ce service après-vente. Pour un échantillon de 100~clients prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble des clients de ce service pendant la période considérée, on constate que la moyenne des délais d'attente est $\overline{x} = 9$ et que l'écart-type $s$ des délais d'attente est $s = 2,80$. \begin{enumerate} \item À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ et de l'écart type $\sigma$ des délais d'attente de l'ensemble des clients de ce service pendant la période considérée. \item Soit $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~clients prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble des clients de ce service pendant la période considérée, associe la moyenne des délais d'attente, en jours, des clients de ce service. On suppose que $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$. On prendra pour $\sigma$ l'estimation ponctuelle fournie à partir de l'échantillon de la question 1. \begin{enumerate} \item Déterminer un intervalle de confiance centré en 9 de la moyenne $\mu$ des délais d'attente des clients de ce service avec le coefficient de confiance $95$\:\%. \item Ce service peut-il affirmer que la moyenne des délais d'attente ne dépasse pas 10 jours ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie} \end{center} \vspace{0,5cm} Tableau de valeurs à compléter : \vspace{0,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$&1&2&3&4&5&6\\ \hline $f(t)$&&&&&&\\ \hline $g(t)$&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1,5cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=9cm} \begin{pspicture}(0,3)(8,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=20,gridwidth=0.3pt](0,3)(8,5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Oy=3]{->}(0,3)(7.5,5.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=3]{->}(0,3)(1,4) \uput[d](1,3){$\vect{\imath}$} \uput[r](0,4){$\vect{\jmath}$} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie octobre 2002 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole 2003 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2003}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{Session 2003}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2003} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill} \medskip Pour un promoteur immobilier, le coût de production, en millions d'euros, pour $n$ villas construites, $0 \leqslant n \leqslant 40$, est donné par : \[ C(n) = 0,4 n + 5 - 2,8 \ln (n + 2). \] Chaque villa est vendue \nombre{300000}~\euro. \medskip \textbf{Partie A :} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur [0~;~ 40] par \[ f(x)= 0,4 x + 5 - 2,8 \ln (x + 2).\] On donne, en annexe, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ et la droite D d'équation \mbox{$y = 0,3x$}, dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités : 0,5~cm en abscisses, 1~cm en ordonnées. \begin{enumerate} \item Déterminer, par le calcul, les variations de $f$ et dresser son tableau de variations sur [0~;~40]. \item Calculer l'abscisse du point A de $\mathcal{C}$ où la tangente $\Delta$ est parallèle à la droite D. \item Tracer $\Delta$ sur le graphique de l'annexe. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : (à traiter à l'aide des résultats obtenus dans la partIe 4)} \medskip \begin{enumerate} \item Combien de villas faut-il construire pour que le coût de production soit minimal ? Préciser le montant dc ce coût minimum à \nombre{10000}~\euro{} près. \item Déterminer graphiquement le nombre minimal de villas qu'il faut construire pour réaliser un bénéfice. \item Utiliser le graphique pour déterminer en centaines de milliers d'euros le bénéfice maximal (On pourra utiliser la question A 2.) \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C :} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice réalisé pour la construction et la vente de $n$ villas est, en millions d'euros : \[ B(n) = 0,1n - 5 + 2,8 \ln (n + 2).\] \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $g$ définie sur [0~;~40] par \[g(x) = -0,1 x - 5 + 2,8 \ln (x + 2)\] et construire son tableau de variations. \item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g(x)$ est maximal. \item À l'aide des graphiques fournis en annexe, justifier que l'équation $g(x) = 0$ admet une et une seule solution $\alpha$ comprise entre 5 et 6. \item Donner alors le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \item En déduire : \begin{enumerate} \item le nombre minimal de villas à construire pour que le bénéfice soit positif, \item la valeur du bénéfice maximal à \nombre{10000}~euros près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 } \emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près} \medskip Une usine fabrique des cylindres en grande série. \medskip \begin{enumerate} \item Le premier usinage consiste en un tournage. Deux machines M$_{1}$ et M$_{2}$ sont utilisées pour effectuer toutes les deux ce même travail. La production journalière de la machine M$_{1}$ est $n_{1} = \nombre{1500}$ pièces, avec une proportion de pièces défectueuses de $p_{1} = 0,002$ ; pour la machine M$_{2}$, on a $n_{2} = \nombre{2100}$~pièces, avec $p_{2} = 0,003$. Dans la production totale, un jour donné, on choisit au hasard une de ces pièces tournées. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité que cette pièce présente un tournage défectueux est de \nombre{0,0026}. \item Sachant que le tournage de cette pièce est défectueux, calculer la probabilité qu'elle ait été tournée par la machine M$_{1}$. \end{enumerate} \item Le second usinage consiste en un fraisage. L'expérience montre que, en fabrication normale, 2\:\% de ces fraisages sont défectueux. On dispose d'un lot comprenant un très grand nombre de ces pièces fraisées dans lequel on prélève au hasard 20~pièces (le prélèvement est assimilé à un tirage successif avec remise.) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement au hasard de 20~pièces, associe le nombre de pièces dont le fraisage est défectueux. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité de X ? Donner ses paramètres. On justifiera soigneusement la réponse. \item Calculer la probabilité que, parmi les 20~pièces prélevées, trois aient un fraisage défectueux. \end{enumerate} \item On tire maintenant au hasard une pièce dans un lot de pièces où les deux usinages précédents ont été réalisés. Ces deux usinages sont indépendants. Calculer les probabilités pour que cette pièce : \begin{enumerate} \item présente les deux usinages défectueux, \item présente l'un au moins de ces usinages défectueux, \item ne présente aucun des usinages défectueux. \end{enumerate} \item Sur chacun des cylindres fabriqués, on contrôle le diamètre $y$ qui, en principe, doit être de 50,0~mm. En fait, les mesures effectuées révèlent que le diamètre de ces cylindres est une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de moyenne 50,2~mm et d'écart-type 0,5~mm. En raison d'un montage réalisé par la suite par un robot, les cylindres dont le diamètre n'est pas compris entre 49,6~mm et 50,8~mm doivent être mis au rebut. Calculer la probabilité pour qu'un cylindre soit mis au rebut. On fera apparaître les différentes étapes du calcul. \end{enumerate} \newpage \begin{landscape} \begin{center} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.6cm} \begin{pspicture}(45,20) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(45,20) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridwidth=0.25pt](0,0)(45,20) \psline(0,0)(40,12) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{40}{0.4 x mul 5 add x 2 add ln 2.8 mul sub} \uput[d](40,10.5){$\mathcal{C}$} \uput[u](40,12){D} \rput(22.5,21){\textbf{Annexe de l'exercice 1}} \psline{<->}(3.5,1.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 2003 %%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2003 %%%%%%% \hypertarget{NC2003}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{novembre 2003}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Nouvelle--Calédonie \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2003} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \medskip Une usine fabrique deux types de pièces, notées $a$ et $b$, pour du matériel électrique. Les pièces sont réalisées dans deux matériaux différents, métal et céramique. \emph{Dans ce qui suit, sauf indication contraire, tous les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-2}$.} \medskip \begin{center}\textbf{Partie A -- Organisation de données et calculs de probabilité} \end{center} \medskip On admet que dans un stock de \np{10000} pièces : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 40\,\% des pièces fabriquées sont en céramique ; \item[$\bullet~$] 30\,\% des pièces fabriquées sont de type $a$ ; \item[$\bullet~$] dans les pièces de type $b$, il y autant de pièces métalliques que de pièces en céramique. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau ci-dessous à l'aide des informations précédentes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & Nombre de pièces de type $a$&Nombre de pièces de type $b$&Total\\ \hline% Nombre de pièces métalliques &&&\\ \hline% Nombre de pièces en céramique&&&\\ \hline% Total&&&\np{10000}\\ \hline% \end{tabularx} \medskip \item On prélève une pièce au hasard dans le stock de \np{10000} pièces. Toutes les pièces ont la m\^eme probabilité d'\^etre choisies. On désigne par : \begin{description} \item[ ] $A$ l'évènement \og la pièce est du type $a$ \fg{} ; \item[ ] $B$ l'évènement \og la pièce est en métal \fg{} ; \item[ ] $M$ l'évènement \og la pièce est en métal \fg{} ; \item[ ] $M$ l'évènement \og la pièce est en céramique \fg. \end{description} \begin{enumerate} \item Calculer $p(A \cap C)$. \item Calculer la probabilité que la pièce soit de type $a$ ou en céramique. \item On note $p_{A}(C) = p(C/A)$ la probabilité de l'évènement $C$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé. Calculer $p_{A}(C)$. \item Calculer la probabilité qu'une, pièce soit en métal sachant qu'elle est de type $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie B -- Loi binomiale} \end{center} On prélève au hasard 10 pièces dans la production d'une journée. Cette production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10~pièces. On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 10~pièces, associe le nombre de pièces en céramique de ce prélèvement. On suppose que la probabilité de l'évènement \og la pièce est en céramique \fg{} est 0,4. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux pièces en céramique. \item Calculer la probabilité d'obtenir au plus deux pièces en céramique. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie C -- Loi normale} \end{center} Dans cette partie, on s'intéresse à la masse des pièces fabriquées. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à toute pièce prélevée au hasard dans un stock important de ces pièces associe sa masse, en grammes. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de moyenne 342 et d'écart-type 20. \begin{enumerate} \item Calculer $p(Y \leqslant 368)$. \item Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans ce stock ait une masse supérieure ou égale à 330~grammes. \item Calculer $M$ tel que $p(Y \leqslant M) = 0,85$. Arrondir à l'unité. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 poibts} \medskip \begin{center}\textbf{Partie A--Étude d'une fonction} \end{center} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par : \[f(x) = \dfrac{1}{1 - \ln 2}\left[x - \ln (x + 1)\right]\] On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unité graphique 10~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f'(x) = \dfrac{1}{1 - \ln 2}\dfrac{x}{x + 1}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~1]. \item Établir le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&0&0,1&0,2&0,5&0,8&0,9&1\\ \hline% $f(x)$&&0,02&&&0,70&& \\ \hline% \end{tabularx} \medskip \item Soit $g$ la fonction définie sur [0~;~1] par $g(x) = x - f(x)$. On admet que $g$ est croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{1}{\ln 2} - 1\right]$ et que $g$ est décroissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\ln 2} - 1~;~1\right]$. \begin{enumerate} \item Construire le tableau de variations de $g$. \item En déduire le signe de $g(x)$ sur [0~;~1]. \end{enumerate} \item Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. (On rappelle que l'unité graphique est 10~cm.) \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{Partie B--Application économique} \end{center} \medskip On appelle masse salariale la somme des salaires versés chaque mois par une entreprise. La répartition de la masse salariale entre les employés peut \^etre décrite par une fonction $f$, telle que $f(x)$ représente le pourcentage de salaires perçus par le pourcentage $x$ de salariés les moins bien remunérés. Par exemple $f(0,8) = 0,70$ signifie que 70\,\% de la masse salariale totale est constituée de la somme des salaires perçus par les 80\,\% des employés les moins bien rémunérés. Une telle fonction doit vérifier les conditions suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $x \in [0~ ;~1], \quad f(0) = 0, \quad f(1) = 1$ ; \item[$\bullet~$] $f$ est croissante sur [0~;~1] ; \item[$\bullet~$] pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \leqslant x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $f$ définie dans la partie A peut décrire la répartition de la masse salariale d'une entreprise. \item En utilisant la fonction $f$ de la partie A, donner : \begin{enumerate} \item le pourcentage de la masse salariale perçue par les 10\,\% des employés les moins bien rémunérés. \item le pourcentage de la masse salariale perçue par les 10\,\% des employés les mieux rémunérés. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2003 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2004}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{Session 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2004} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \emph{A. Étude d'une fonction logistique} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [0 ~;~40] par \[ f(t) = \dfrac{1}{1 + 99 \text{e}^{-0,26t}}.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. On prendra comme unités 1~cm pour 5 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour $0,1$ sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $t$ de [0~;~40], \[f'(t) = \dfrac{25,74\text{e}^{-0,26t}}{\left(1 + 99 \text{e}^{-0,26t} \right)^2}.\] \item Étudier le signe de $f'(t)$ sur [0~;~40] et en déduire le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-3}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$& 0&5&10&15&20&25&30&35&40\\ \hline $f(t)$&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'équation $f(t) = 0,8$.\\ On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout réel $t$ de [0~;~40], \[f(t) = \dfrac{\text{e}^{0,26t}}{99 + \text{e}^{0,26t}}.\] \item Soit $F$ la fonction définie sur [0~;~40] par : $F(t) = \dfrac{1}{2,6} \ln \left(99 +\text{e}^{0,26t}\right)$.\\ Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~40]. \item Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur [30~;~40] est : $V_{m} = \dfrac{1}{2,6} \ln \dfrac{99 +\text{e}^{10,4}}{99 +\text{e}^{7,8}}$. (On rappelle que $\ln a - \ln b = -\ln \dfrac{a}{b}$ où $a>0$ et $b>0$.) \item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $V_{m}$. \end{enumerate} \medskip \emph{C. Application des résultats des parties A et B}\\ On suppose que $f(t)$ donne te pourcentage de foyers français équipés d'un téléviseur, entre 1954 et 1994, $t$ étant le rang de l'année à partir de 1954. Par exemple $f(0) \approx 0,01$ se traduit par : en 1954, 1\:\% des foyers étaient équipés d'un téléviseur. $f(10) \approx 0,12$ se traduit par: en 1964, 12\:\% des foyers étaient équipés d'un téléviseur. \begin{enumerate} \item Déterminer le pourcentage de foyers équipés d'un téléviseur en 1968. Même question pour 1989. Dans cette question, les valeurs approchées de $f(t)$ sont à arrondir à $10^{-3}$. \item Déduire de la partie A. l'année à partir de laquelle 80\:\% des foyers ont été équipés d'un téléviseur. \item À l'aide d'une phrase, interpréter le résultat obtenu au 4. de la partie B. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \begin{center} Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. \end{center} Une entreprise fabrique un certain type d'article électroménager. On admet que chaque article de ce type peut présenter deux types de défauts : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item un défaut de soudure, noté défaut $a$, \item un défaut sur un composant électronique, noté défaut $b$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \emph{A. Évènements indépendants} On prélève un article au hasard dans la production d'une journée. On note $A$ l'évènement : \og l'article présente le défaut $a$ \fg. On note $B$ l'évènement : \og l'article présente le défaut $b$ \fg. On admet que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont $P(A) = 0,03$ et $P(B) = 0,02$ et on suppose que ces deux évènements sont indépendants. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$ : \og l'article présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{2}$ \og l'article présente au moins un des deux défauts \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{3}$ \og l'article ne présente aucun défaut \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{4}$ : \og l'article présente un seul des deux défauts \fg.\\ On admet que, si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants, alors les évènements $\overline{A}$ et B sont indépendants et les évènements A et $\overline{B}$ sont indépendants. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Loi binomiale} \begin{center} Dans cette partie, tous les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$. \end{center} Les articles sont mis en place dans des petites surfaces de distribution par lot de 25. On prélève au hasard un lot de 25~ articles dans la production d'une journée. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 25~articles. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 25~articles, associe le nombre d'articles défectueux parmi ces 25~articles. On suppose que la probabilité de l'évènement $D$ : \og l'article est défectueux \fg est $P(D) = 0,05$. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer $P(X = 0)$. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement deux articles défectueux. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au plus deux articles défectueux. \end{enumerate} \medskip \emph{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale} \medskip Les articles sont mis en place dans les hypermarchés par lots de 800. On prélève au hasard un lot de 800~articles dans un stock important. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise dc 800 articles. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 800~articles, associe le nombre d'articles défectueux parmi ces 800~ articles. On admet que $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(800 ~;~ 0,05)$. On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de paramètres : $m = 40$ et $\sigma = 6$. On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(40~;~ 6)$. \begin{enumerate} \item Justifier les valeurs de $m$ et de $\sigma$. \item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 41 articles défectueux dans le lot, c'est à dire calculer : $P(Z \leqslant 41,5)$. Arrondir \`a $10^{-2}$ \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 2004 %%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2004 %%%%%%%%%%% \hypertarget{NC2004}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{novembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2004} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes} \end{center} \emph{A. Statistique} \medskip On a relevé le chiffre d'affaires annuel d'une société depuis 8 ans. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant, où $x_{i}$ est le rang de l'année et $y_{i}$ le chiffre d'affaires correspondant, en millions d'euros. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années&1996&1997&1998&1999&2000&2001&2002&2003\\ \hline Rang de l'année : $x_{i}$& 1&2& 3&4& 5&6&7&8\\ \hline Chiffre d'affaires annuel : $y_{i}$&5&7,5&9,2&11&18,3&22,5&31&43\\ \hline \end{tabularx} \medskip On renonce à un ajustement affine pour ce nuage de points. On effectue le changement de variable $z_{i}= \ln y_{i}$ ($\ln$ désigne le logarithme népérien). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant dans lequel on fera figurer les valeurs approchée de $z_{i}$, arrondies à $10^{-3}$. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5&6&7&8\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$ &1,609& & & & &&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_{i}~;~ z_{i}\right)$. Arrondir $r$ à $10^{-3}$. Le résultat obtenu permet d'envisager un ajustement affine. \end{enumerate} \item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-3}$. \item En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ de la forme $y = \alpha \text{e}^{kx}$ où $\alpha$ et $k$ sont des constantes à arrondir à $10^{-3}$. \item En déduire une estimation, arrondie à $10^{-1}$ du chiffre d'affaires de l'entreprise, en millions d'euros, pour l'année 2004. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Probabilités} \begin{center} \textbf{Les trois questions suivantes sont indépendantes} \end{center} \medskip Dans une usine de la société dont on a étudié le chiffre d'affaires dans la partie A., on fabrique des pièces métalliques d'un certain type pour du matériel de bureau. \begin{enumerate} \item Dans cette usine, les pièces métalliques de ce type sont fabriquées par deux unités de production notées \og unité 1 \fg{} et \og unité 2 \fg. Un jour donné, la production de l'unité 1 est de 600~pièces et la production de l'unité 2 est de 900~pièces. On admet que 0,7\,\% des pièces produites par l'unité 1 et 1,2\,\% des pièces produites par l'unité 2 ont un \og défaut de surface \fg. On prélève une pièce au hasard dans l'ensemble des \nombre{1500}~pièces produites par cette usine pendant cette journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées. On définit les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $A$ : \og la pièce est produite par l'unité 1 \fg{} ; \item[] $B$ : \og la pièce est produite par l'unité 2 \fg{} ; \item[] $D$ : \og la pièce présente un défaut de surface \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $P_{A}(D) = P(D/A)$ la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé. \begin{enumerate} \item Déterminer $P(A),~P(B),~P_{A}(D)$ et $P_{B}(D)$ à l'aide des informations contenues dans l'énoncé. \item Calculer $P(A \cap D)$ et $P(B \cap D)$. \item En déduire la probabilité qu'une pièce, prélevée au hasard dans la production totale d'une journée, présente un défaut de surface \end{enumerate} \item On prélève au hasard un lot de 50~pièces dans la production totale d'une journée. Le nombre de pièces produites est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~pièces. On note $E$ l'évènement : \og une pièce, prélevée au hasard dans la production de la journée, a un défaut de surface \fg. On admet que $P(E) = 0,01$. On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 50~pièces, associe le nombre de pièces présentant un défaut de surface parmi ces 50~pièces. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi. \item Calculer $P(X\leqslant 1)$. Arrondir à $10^{-3}$. \end{enumerate} \item On prélève une pièce au hasard dans un stock important. On admet que la variable aléatoire $Y$ qui, à chaque pièce associe la mesure de sa \og dureté \fg, suit la loi normale de moyenne 55 et d'écart type $1,2$. Une pièce est jugée acceptable si la mesure de sa dureté appartient à l'intervalle $[52,66~;~57,34]$. Calculer la probabilité que la pièce soit acceptable. Arrondir à $10^{-3}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \emph{A. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = 42 - 40\text{e}^{-0,3t}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités : 1~cm pour 1 sur l'axe des abscisses, et 1~cm pour 5 sur l'axe des ordonnées). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. \item Interpréter graphiquement le résultat obtenu au \textbf{a.}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$. \item Étudier le signe de $f'(t)$ lorsque $t$ varie dans $[0~;~+\infty[$. \item Établir le tableau de variations de $f$ dans $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant, dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{- 1}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline $f(t)$ & & & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Résoudre graphiquement dans $[0~;~+\infty[$ l'inéquation $f(t) \geqslant 35$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. (On utilisera une valeur approchée à $10^{-1}$) \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~5] est $V_{m} = \dfrac{46}{3} + \dfrac{80}{3}\text{e}^{-1,5}$. \item Donner la valeur approchée, arrondie à l'unité, de $V_{m}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{B. Application économique} \medskip On suppose que $f(t)$ représente le coût total d'utilisation, en milliers d'euros, au bout de $t$ années, d'une des machines dont s'est équipée une entreprise. \begin{enumerate} \item L'entreprise décide de revendre une machine dès que le coût d'utilisation dépasse \nombre{35000}~euros. Déduire du A. au bout de combien d'années l'entreprise devra revendre cette machine. \item Donner, à l'aide d'une phrase, une interprétation économique du résultat obtenu au A. 5. b.. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2004 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole 2005 %%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2005}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2005} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \textbf{Les trois parties A, B et C de cet exercice sont indépendants.} \medskip Une entreprise fabrique en grande quantité des sacs poubelle. \medskip \textbf{A. Probabilités conditionnelles} \medskip On admet que 3\:\% des sacs de la production présentent un défaut. On contrôle les sacs d'un lot. Ce contrôle refuse 94\:\% des sacs avec défaut et accepte 92\:\% des sacs sans défaut. On prélève un sac au hasard dans le lot. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $D$ : \og le sac a un défaut \fg{} ; \item[] $A$ : \og le sac est accepté à l'issue du contrôle \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé :\\ $P(D),~ P_{D}\left(\overline{A}\right)$, et $P_{\overline{D}}(A)$.\\ (On rappelle que $P_{D}\left(\overline{A}\right) = P\left(\overline{A} / D\right)$ est la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement D est réalisé). \item \begin{enumerate} \item Déterminer $P_{D}(A)$. \item Calculer $P(A \cap D)$ et $P\left(A \cap \overline{D}\right)$. \end{enumerate} \item Déduire de ce qui précède $P(A)$. \item Calculer la probabilité qu'un sac soit défectueux sachant qu'il a été accepté par le contrôle. Arrondir à $10^{-3}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Dans les parties B et C, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$.\unboldmath \medskip \textbf{B. Loi binomiale} \medskip On note $E$ l'évènement : \og Un sac prélevé au hasard dans une grosse livraison pour une municipalité n'a pas de défaut \fg. On suppose que la probabilité de $E$ est $0,97$. On prélève au hasard 10~sacs de cette livraison pour vérification. La livraison est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10~sacs, associe le nombre de sacs sans défaut de ce prélèvement. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, tous les sacs soient sans défaut. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, exactement 9~sacs soient sans défaut \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins 9~sacs soient sans défaut. \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Loi normale} \medskip Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque sac prélevé au hasard dans la production, associe la masse maximale, en kilogrammes, qu'il peut supporter sans se déchirer. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $5$ et d'écart type $0,4$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(46 \leqslant Y \leqslant 5,4)$. \item Déterminer le nombre réel positif $h$ tel que : $P(v \leqslant 5 + h)= 0,95$. Interpréter le résultat obtenu à l'aide d'une phrase. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \textbf{A. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [1~;~7] par \[f(x) = 100 + 0,01(x - 7)\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~7], $f'(x) = 0,01(x - 6)\text{e}^x$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [1~;~7]. \item Établir le tableau de variations de $f$ sur [1~;~7]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-1}$.\\ \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 1 & 2 & 3 &4 &5 &6 &6,5&7\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthononnal d'unité graphique 2~cm. Faire la figure dans un repère orthonormal où la graduation commence à zéro sur l'axe des abscisses et commence à $95$ sur l'axe des ordonnées. \item Résoudre graphiquement dans [1~;~7] l'équation $f (x) =97$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item On note $I = \displaystyle\int_{1}^7 0,01(x - 7)\text{e}^x\:\text{d}x$. Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que : $I = 0,01\left(7\text{e} - \text{e}^7\right)$. \item On note $J = \displaystyle\int_{1}^7 f(x)\:\text{d}x$.\\ En utilisant le résultat du \textbf{1.}, démontrer que $J = 600 + 0,01\left(7\text{e} - \text{e}^7\right)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Application des résultats des parties A et B} \medskip Une entreprise fabrique, chaque jour, entre 1 et 7~tonnes de produit chimique. On admet que, lorsque $x$ tonnes de ce produit sont fabriquées, $1 \leqslant x \leqslant 7$, le coût moyen de fabrication d'une tonne de produit est, en euros : \[f(x) = 100 + 0,01(x - 7)\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la quantité de produit à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal. Determiner alors ce coût moyen. Arrondir à l'euro. \item Déduire de la partie B la valeur moyenne de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans [1~;~7]. Arrondir à l'euro. \item Quelle(s) quantité(s) de produit faut-il fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une tonne de produit soit de 97~euros? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 2005 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2005 %%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2005}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Polynésie \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2005} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} Une PME fabrique des boules de billard. \begin{center}\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath \end{center} \medskip \emph{A. Loi normale} \medskip Le diamètre des boules est exprimé en millimètres. Une boule est dite \og de premier choix \fg{} si son diamètre appartient à l'intervalle [61~;~61,5], sinon, elle est dite \og de deuxième choix \fg. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $61,25$ et d'écart type $0,2$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une boule prélevée au hasard dans la production soit de premier choix. \item En déduire la probabilité qu'une boule prélevée au hasard dans la production soit de second choix. \item Calculer $P(X \geqslant 61,5)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \emph{B. Loi binomiale} \medskip Dans un stock de boules, 67\:\% des boules sont blanches et le reste est rouge. On prélève au hasard 15 boules de ce stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 15 boules. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 15~boules, associe le nombre de boules blanches parmi les 15~boules. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement 10~boules blanches. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait, au plus, 13~boules blanches. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \emph{C. évènements indépendants} \medskip On prélève une boule au hasard dans un lot important. On note $A$ l'évènement \og la boule est de deuxième choix \fg. On note $B$ l'évènement \og la boule est blanche \fg. On admet que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont $P(A) = 0,21$ et $P(B) = 0,67$. On suppose de plus que ces deux évènements sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l' évènement $E_{1}$ : \og la boule est de deuxième choix et elle est blanche \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{2}$ : \og la boule est de deuxième choix ou elle est blanche \fg. \item On rappelle que si une boule n'est pas de deuxième choix, elle est de premier choix et que les boules sont, soit blanches, soit rouges. Calculer la probabilité de l'évènement $E_{3}$ : \og la boule est de premier choix et elle est rouge \fg. On admet que si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants, alors les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip \emph{A. Étude d'une fonction logistique} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \dfrac{12}{1+3\text{e}^{- \frac{t}{2}}}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- \frac{t}{2}} = 0$. En déduire $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. \item Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$, \[f'(t) = \dfrac{18\text{e}^{- \frac{t}{2}}}{\left(1+3\text{e}^{- \frac{t}{2}} \right)^2}.\] \item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+\infty[$. \item Établir le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient directeur de la tangente $\Delta$ à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ au point d'abscisse $0$. \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $1O^{-1}$. \medskip \renewcommand\arraystretch{1.75} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &0 &1 &2 &4 &5 &8 &10\\ \hline $f(t)$ & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'équation $f(t) = 10$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour toutt de $[0~;~+\infty[,~ f(t) = \dfrac{12\text{e}^{\frac{t}{2}}}{\text{e}^{\frac{t}{2}} + 3}$. \item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $F(t) = 24\ln \left(\text{e}^{\frac{t}{2}} + 3\right)$. Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~10] est : \[V_{m} = 2,4 \ln \left(\dfrac{\text{e}^5 + 3}{4} \right).\] \item Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{-2}$, de $V_{m}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{C. Application économique} \medskip On admet que dans une entreprise fabriquant des accessoires pour la téléphonie mobile, la production d'un certain matériel depuis 1993, est donnée, en milliers d'exemplaires, par $f(t)$. Par exemple $f(0) = 3$ se traduit par : \og en 1993, il a été fabriqué \np{3000} exemplaires du matériel considéré \fg. \begin{enumerate} \item Déduire de la partie A. une valeur approchée de la production de ce matériel en 2001. \item Déduire de la partie A., l'année au cours de laquelle la production a dépassé 10~milliers d'exemplaires. \item À l'aide d'une phrase, interpréter le résultat de la question 2. b. de la partie B. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2005 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2006}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{Métropole juin 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2006} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}\\ \begin{center} \textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \noindent \textbf{A. Ajustement affine}\\ Un institut de recherche démographique a étudié l'évolution de la population d'une grande ville. Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau suivant où $t_{i}$ désigne le rang de l'armée et où $p_{i}$ désigne l'effectif de la population, en millions d'habitants au cours de la même année.\\ \medskip \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $t_{i}$& 0& 5& 10& 15& 20& 25\\ \hline Effectif : $p_{i}$& 5& 5,6& 6,1& 6,8& 7,6& 8,4\\ \hline \end{tabularx} \medskip \noindent On renonce à un ajustement affine pour ce nuage de points. On effectue le changement de variable $y_{i} = \ln p_{i} (\ln$ désigne le logarithme népérien). \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-3}$.\\ \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $t_{i}$& 0& 5& 10& 15& 20 & 25\\ \hline $y_{i} = \ln p_{i}$&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(t_{i},~ y_{i}\right)$. Arrondir à $10^{-3}$. \item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $t$ sous la forme $y = at + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-3}$. \item En déduire une expression de $p$ en fonction de $t$ de la forme $p = \alpha \text{e}^{kt}$ où la constante $\alpha$ sera arrondie à $10^{-1}$ et la constante $k$ sera arrondie à $10^{-2}$. \item À l'aide du résultat du 4., donner une estimation de l'effectif de la population l'année de rang 35.\\ Arrondir à $10^{-1}$. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{B. Étude d'une fonction}\\ Soit $f$ la fonction définie pour tout $t$ de $[- 25~;~ 35]$ par \[ f(t) = 5\text{e}^{0,02t}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. On prendra comme unités 1~cm pour 5 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 1 sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ sur $[- 25~;~ 35]$. \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré, \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur [0 ; 25] est $V_{m} = 10\left(\text{e}^{0,5} - 1\right)$. \item Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{-1}$, de $V_{m}$. \end{enumerate} \item On admet que, lorsque $0 \leqslant t \leqslant 30$, l'effectif de la population de la ville étudiée dans la partie A est donné, en millions d'habitants, l'année de rang $t$, par : $f(t) = 5\text{e}^{0,02t}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'effectif, en millions d'habitants, de la population l'année de rang 28. Arrondir à $10^{-1}$. \item Interpréter, à l'aide d'une phrase, le résultat obtenu au 3. b.. \item Déterminer le rang de l'année au cours de laquelle l'effectif de la population dépassera 9 millions d'habitants. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}\\ \begin{center} \textbf{Les trois parties A, B et C de cet exercice sont indépendantes.} \end{center} \noindent Une entreprise fabrique en grande quantité un certain type de pièces pour de l'équipement informatique.\\ \noindent \textbf{A. Probabilités conditionnelles}\\ Les pièces sont fabriquées par deux machines notées : \og machine 1 \fg et \og machine 2 \fg.\\ 40\:\% des pièces proviennent de la machine 1 et 60\:\% de la machine 2. \\ On admet que 5\:\% des pièces provenant de la machine 1 sont défectueuses et que 2\:\% des pièces provenant de la machine 2 sont défectueuses.\\ On prélève au hasard une pièce dans la production d'une journée des deux machines.\\ Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées. \\ On appelle $A$ l'évènement: \og la pièce provient de la machine I \fg.\\ On appelle $B$ l'évènement: \og la pièce provient de la machine 2 \fg.\\ On appelle $D$ l'évènement: \og la pièce est défectueuse \fg. \begin{enumerate} \item À l'aide des informations contenues dans l'énoncé, donner les probabilités $P(A),~ P(B),~ P_{A}(D)$, et $P_{B}(D)$.\\ (On rappelle que $P_{A}(D) = P(D / A)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé). \item \begin{enumerate} \item Calculer $P(A \cap D)$ et $P(B \cap D)$. \item En déduire la probabilité qu'une pièce soit défectueuse. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une pièce provienne de la machine 1 sachant qu'elle est défectueuse. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{B. Loi binomiale} Dans un stock de ces pièces, on prélève au hasard 10~pièces pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10~pièces. \\ On note $E$ l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans ce stock est défectueuse \fg. On suppose que $P(E) = 0,03$.\\ On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10~pièces, associe le nombre de pièces défectueuses parmi ces 10~ pièces. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune pièce ne soit défectueuse.\\ Arrondir à $10^{-3}$. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux pièces soient défectueuses \\ Anondir à $10^{-3}$. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}\\ Dans un lot de ce type de pièces, on admet que 3,2\:\% des pièces sont défectueuses.\\ On prélève au hasard 500~pièces de ce lot. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisa assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 500~pièces.\\ On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 500~pièces, associe le nombre de pièces défectueuses parmi ces 500~pièces.\\ On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 500$ et $p = 0,032$. \begin{enumerate} \item On considère que la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type $3,9$. Justifier les paramètres de cette loi normale. \item On désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $16$ et d'écart typ $3,9$.\\ Déterminer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait entre $13$ et $19$ pièces défectueuses, c'est-à-dire calculer $P(12,5 \leqslant Z \leqslant 19,5)$. Arrondir à $10^{-2}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 2006 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie 2006 %%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2006}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{juin 2006}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2006\\ Comptabilité et gestion des organisations Polynésie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip On considère un produit dont le prix de la tonne est, en euros, noté $x$. La demande, $d(x)$, est la quantité de ce produit, exprimée en tonnes, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix de $x$ euros la tonne. L'offre, $o(x)$ est la quantité de ce produit, exprimée en tonnes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix de $x$ euros la tonne. On appelle prix d'équilibre de ce produit le prix pour lequel l'offre et la demande sont égales. \medskip \begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center} \emph{A. Ajustement affine} \medskip On a relevé les valeurs, en tonnes, de l'offre et de la demande de ce produit pour différents prix de la tonne. Les résultats figurent dans le tableau suivant : \bigskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Prix de la tonne, en euros : $x_{i}$& 10& 10,5& 11& 11,7& 13& 15& 17\\ \hline Demande, en tonne : $y_{i}$& 11,5& 10,5& 9,9& 9,1& 7,9& 6,5& 5,1\\ \hline Offre, en tonne : $z_{i}$& 3,5& 4,5& 4,9& 5,3& 5,8& 6,2& 6,5\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On pose $Y_{i} = \ln y_{i}$ et $Z_{i} = \text{e}^{z_{i}}$.\\ Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-3}$. \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$& & && && & 17\\ \hline $Y_{i} = \ln y_{i}$& & & & & & & \\ \hline $Z_{i} = \text{e}^{z_{i}}$ & & & & & &&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $Y$ en $x$ sous la forme $Y =ax + b$ où $a$ est à arrondir à $10^{-2}$ et $b$ à $10^{-1}$. \item En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $Z$ en $x$ sous la forme $Z = a'x + b'$ où $a'$ et $b'$ sont à arrondir à l'unité. \item En déduire une expression de $z$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{B. Recherche d 'un prix d'équilibre} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur [10~;~17] par : \[f(x) = \text{e}^{-0,11x+3,5}.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ sur [10~;~17]. \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique deux centimètres. Faire la figure dans un repère orthonormal où la graduation commence à $10$ sur l'axe des abscisses et à $0$ sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \item Soit g la fonction définie sur [10~;~17] par : \[g(x) = \ln (90x - 852).\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $g$ sur [10~;~17]. \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ de $g$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_{f}$. \end{enumerate} \item Résoudre graphiquement dans [10~;~17] l'équation $f(x) = g(x)$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. \item On admet que, pour un prix du produit de $x$ euros la tonne, la demande $d(x) = f(x)$ et l'offre $o(x) = g(x)$ où $f$ et $g$ sont les fonctions définies au début de la partie B. \begin{enumerate} \item Déduire de ce qui précède une valeur approchée du prix d'équilibre. \item En déduire une valeur approchée arrondie à $0,1$~tonne de l'offre correspondant an prix d'équilibre. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.} \end{center} Une entreprise fabrique, en grande quantité, un certain type de pièces pour l'industrie automobile. \bigskip \emph{A. Évènements indépendants} Dans cette partie, on s'intéresse à deux défauts possibles, notés $a$ et $b$. On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $E_{1}$ : \og la pièce prélevée présente le défaut $a$ \fg{} ; \item[] $E_{2}$ : \og la pièce prélevée présente le défaut $b$ \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On admet que $P\left(E_{1}\right) = 0,005$ et que $P\left(E_{2}\right) = 0,02$. \bigskip \textbf{Dans cette partie, on demande les valeurs exactes des probabilités.} \medskip On suppose de plus que les deux évènements $E_{1}$ et $E_{2}$ sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de la journée présente les deux défauts. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de la journée présente au moins un des deux défauts. \item Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de la journée ne présente aucun des deux défauts. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{B. Loi binomiale} \medskip \textbf{Dans cette partie les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath $10^{-3}$. \unboldmath On note $E$ l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans un stock important présente un défaut pouvant affecter la sécurité \fg. On suppose que $P(E) = 0,01$. On prélève au hasard 50~pièces dans un stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise de 50~pièces. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50~pièces, associe le nombre de pièces de ce prélèvement présentant un défaut pouvant affecter la sécurité. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer $P(X = 0)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au plus deux pièces présentant un défaut pouvant affecter la sécurité. \item En déduire la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins trois pièces présentant un défaut pouvant affecter la sécurité. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2006 %%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2006 %%%%%%%%%% \hypertarget{NC2006}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{novembre 2006 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2006\\ Comptabilité et gestion des organisations\\ Nouvelle--Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}\\ \medskip \textbf{A. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~14] par \[ f(x) = \dfrac{x + 1 - \ln x}{x}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que. pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~14], $f^{\prime}(x) = \dfrac{\ln x - 2}{x^2}$. \item Résoudre dans [1 ; 14] l'inéquation $\ln x - 2 \geqslant 0$. En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ lorsque $x$ varie dans [1~;~14]. \item Établir le tableau de variation de $f$ sur [1~;~14]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{- 2}$. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &14\\ \hline $f(x)$ & & &0,97 & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la courbe representative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthogonal. Sur l'axe des abscisses, on prend un centimètre pour une unité et, sur l'axe des ordonnées, on prend dix centimètres pour une unité. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans [1~;~14] l'équation $f(x) = 1$. \item On note $\alpha$ la solution obtenue au \textbf{a.} Placer sur la figure le point I d'abscisse $\alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~14] par : \[F(x) = x + \ln x - \dfrac{1}{2} (\ln x)^2.\] Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [1~;~14]. \item On note $J = \displaystyle\int_{1}^{14} f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $J = \ln 14 - \dfrac{1}{2}(\ln 14)^2 +13$. \item Donner la valeur approchée de $J$ arrondie à $10 ^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Application des résultats des parties A et B} \medskip Une entreprise fabrique, chaque jour, entre $100$ et \nombre{1400}~exemplaires d'un certain type de pièce pour téléphone mobile. On admet que, lorsque $x$ centaines d'exemplaires de cette pièce sont fabriquées, \\$1 \leqslant x \leqslant 14$, le coût moyen de fabrication d'une pièce est $f(x)$ euros, où $f$ est la fonction qui a été définie dans la partie A. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la quantité de pièces à fabriquer, en centaine, pour que le coût moyen soit minimal. Arrondir à $10^{-2}$. Déterminer alors ce coût moyen. Arrondir an centime d'euro. \item Déterminer la quantité de pièces à fabriquer, en centaines, pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit un euro. Arrondir à $10^{-2}$. \item Déduire de la partie B la valeur moyenne de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans [1 ; 14]. Donner le résultat arrondi au centime d'euro. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent \^etre traitées de façon indépendante.} \end{center} Une usine fabrique en grande quantité un certain modèle de stylo.\\ \medskip \begin{center}\textbf{Dans les parties A et B, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath \end{center} \medskip \textbf{A. Loi binomiale} \medskip On prélève un stylo, au hasard, dans une importante livraison destinée à une chaîne d'hypermarchés. On note $E$ l 'évènement \og un stylo prélevé au hasard est défectueux \fg. On suppose que $P(E) = 0,016$. On prélève au hasard vingt stylos dans la livraison pour vérification. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement de vingt stylos à un tirage avec remise de vingt stylos. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de vingt stylos, associe le nombre de stylos défectueux de ce prélèvement \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il n'y ait aucun stylo défectueux. \item En déduire la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins un stylo défectueux. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale} \medskip Les stylos sont livrés aux grandes surfaces par lots de \nombre{1000}. On prélève au hasard un lot de \nombre{1000} stylos dans un depôt de l'usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 1000 stylos. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de \nombre{1000} stylos, associe le nombre de stylos défectueux parmi les \nombre{1000} stylos. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \nombre{1000}$ et $p = 0,016$. On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type 4. \begin{enumerate} \item Justifier les paramètres de cette loi normale. On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type $4$. \item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus $17$~stylos défectueux, c'est-à-dire calculer $P(Z \leqslant 17,5)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Probabilités conditionnelles} \medskip L'usine possède deux ateliers de fabrication, notés \og atelier 1 \fg{} et \og atelier 2 \fg. L'atelier 1 produit 60\:\% de la production et l'atelier 2 produit le reste. 1\:\% des stylos provenant de l'atelier 1 sont défectueux et 2,5\:\% des stylos provenant de l'atelier 2 sont défectueux. On prélève au hasard un stylo parmi la production totale des deux ateliers d'une journée. On définit les évènements suivants : \begin{itemize} \item[] $A$ : \og le stylo prélevé provient de l'atelier 1 \fg{} ; \item[] $B$ : \og le stylo prélevé provient de l'atelier 2 \fg{} ; \item[] $D$ : \og Le stylo prélevé est défectueux \fg. \end{itemize} \textbf{Dans cette partie, on demande les valeurs exactes des probabilités.} \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé : $P(A),\:P(B),\:P(D / A),\:P(D / B)$. (On rappelle que $P(D / A) = P_{A}(D)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.) \item Calculer $P(D \cap A)$ et $P(D \cap B)$. \item Déduire de ce qui précède $P(D)$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2006 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole 2007 %%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2007}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2007} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}\\ \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \end{center} \noindent Un atelier d'assemblage de matériel informatique s'approvisionne en pièces d'un certain modèle. \medskip \noindent \textbf{A. Évènements indépendants et probabilités conditionnelles}\\ L'atelier reçoit ce modèle de pièces en grande quantité. Chaque pièce peut présenter deux défauts que l'on appelle défaut $a$ et défaut $b$.\\ On prélève une pièce au hasard dans une importante livraison.\\ On note $A$ l'évènement : \og l'appareil présente le défaut $a$ \fg et on note $B$ l'évènement : \og l'appareil présente le défaut $b$ \fg.\\ On admet que les probabilités des évènements A et B sont $P(A) = 0,02$ et \\$P(B) = 0,01$.\\ On suppose que les deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$ : \og la pièce présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{2}$ \og la pièce est défectueuse, c'est-à-dire qu'elle présente au moins un des deux défauts \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{3}$ : \og la pièce ne présente aucun défaut \fg. \item Calculer la probabilité que la pièce présente les deux défauts sachant qu'elle est défectueuse. Arrondir à $10^{-4}$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Dans ce qui suit, tous les résultats approchés sont à arrondir à}~\boldmath $10^{-3}$ \unboldmath \end{center} \medskip \noindent \textbf{B. Loi binomiale}\\ On note $D$ l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans un stock important esi défectueuse \fg.\\ On suppose que $P(D) = 0,03$.\\ On prélève au hasard $200$~pièces dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $200$~pièces.\\ On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $200$~pièces, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement ii y ait exactement une pièce défectueuse. \item Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement il y ait au moins deux pièces défectueuses. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{C. Loi normale}\\ On s'intéresse maintenant à la masse de ces pièces.\\ On note $Y$ la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard dans un lot important associe sa masse en grammes.\\ On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $500$ et d'écart type $4$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(Y \leqslant 510)$. \item Une pièce de ce modèle est acceptable pour la masse lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [490 ; 510]. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard soit acceptable pour la masse. \end{enumerate} \vspace{1cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}\\ \medskip \noindent \textbf{A. Étude d'une fonction}\\ Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~ + \infty[$ par \[ f(x) = 4 - \text{e}^{-x}(x + 2)^2.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. On prend comme unités : 1~cm pour 1 sur l'axe des abscisses et 2~cm pour 1 sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x}(x + 2)^2 = 0$ ; en déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[,~ f'(x) = x(x + 2)\text{e}^{-x}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$. Établir le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$.\\ \medskip \renewcommand{\arraystretch}{2} \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7 & 8\\ \hline $f(x)$&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{B. Calcul intégral} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soient $g$ et $h$ les fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ respectivement par : \[g(x) = - \text{e}^{-x}(x + 2)^2~~ \text{et}~~ h(x) = \text{e}^{-x}\left(x^2 + 6x + 10\right).\] Démontrer que $h$ est une primitive de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Déduire du \textbf{1. a.} une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur [0 : 8] est $V_{m} = \dfrac{11 + 61\text{e}^{-8}}{4}$. \item Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{-2}$, de $V_{m}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{C, Application économique}\\ Depuis le premier janvier 1999 une entreprise fabrique un produit noté $P$. Ce produit a été commercialisé dans une ville comportant \nombre{40000}~foyers acheteurs potentiels.\\ On admet que le nombre de foyers équipés du produit $P$ le premier janvier de l'année $(1999 + n)$ est égal à $\nombre{10000} \times f(n)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A. \begin{enumerate} \item Déterminer le pourcentage de foyers équipés du produit $P$ le premier janvier 2007 parmi les foyers acheteurs potentiels. Arrondir à 1\:\%. \item Déterminer le nombre de foyers qui se sont équipés entre le premier janvier 2001 et le premier janvier 2002. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 2007 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2007 %%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NC2007}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{novembre 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2007\\ Comptabilité et gestion des organisations\\ Nouvelle--Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip \emph{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip \textbf{A Ajustement affine} \medskip Une étude a été réalisée sur le solde moyen des comptes courants d'entreprises clientes d'un important groupe bancaire. Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau suivant : $x$ désigne un montant en centaines de milliers d'euros, $n$ désigne le nombre de milliers d'entreprises qui ont un compte courant dont le solde est supérieur ou égal à $x$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0,3& 0,6& 0,9& 1,2& 1,5&2 \\ \hline $n$& 1,81& 0,79& 0,32& 0,15& 0,078& 0,031\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter après l'avoir reproduit le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées sont àarrondir à $10^{-3}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&0,3& 0,6& 0,9& 1,2& 1,5&2\\ \hline $n$& 1,81& 0,79& 0,32& 0,15& 0,078&0,031\\ \hline $z = \ln n$&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$. \item En déduire une expression de $n$ en fonction de $x$ de la forme $n = \alpha\text{e}^{kx}$ où la constante $k$ sera arrondie à $10^{-2}$. \item À l'aide du résultat du \textbf{3}, donner une estimation du nombre d'entreprises dont le compte courant a un solde moyen supérieur ou égal à \nombre{250000}~euros. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ de $[0~;~ + \infty[$ par \[f(x) = 3,2 \text{e}^{-2,4x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. L'unité est 5~centimètres. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item Que peut-on déduire du résultat du \textbf{a} pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$. \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à 10 \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0,2 & 0,5& 1& 1,5& 2\\ \hline $f(x)$&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre par le calcul, dans $[0~;~ + \infty[$, l'équation $f(x) = 0,60$.\\ Donner la valeur exacte de la solution $x_{0}$ puis la valeur approchée de $x_{0}$ arrondie a $10^{-2}$. \item Retrouver graphiquement le résultat du \textbf{4. a.}. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Application} \medskip On admet maintenant que, lorsque $0,1 \leqslant x \leqslant 2,5$, il y a \nombre{1000}$f(x)$ entreprises possédant un compte courant dont le solde moyen est supérieur ou égal à $x$ centaines de milliers d'euros dans le groupe bancaire évoqué dans la partie A. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre d'entreprises dont le compte courant a un solde moyen supérieur ou égal à \nombre{50000}~euros. \item Déterminer le nombre d'entreprises dont le compte courant a un solde moyen compris au sens large entre \nombre{50000} et \nombre{100000} euros. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip Un atelier produit en grande série des pièces destinées à l'équipement informatique. \medskip \textbf{A. Probabilités conditionnelles} \medskip L'atelier utilise deux machines M$_{1}$ et M$_{2}$. La fabrication est répartie entre les deux machines. La machine M$_{1}$ fabrique 80\:\% des pièces dont 1\:\% sont défectueuses et la machine M$_{2}$ fabrique 20\:\% des pièces dont 2\:\% sont défectueuses. On prélève au hasard une pièce dans la production d'une journée. On désigne par D l'évènement: \og la pièce est défectueuse \fg{} ; par A l'évènement : \og la pièce a été fabriquée par la machine M$_{1}$ \fg{} et par B l'évènement : \og la pièce a été fabriquée par la machine M$_{2}$ \fg. \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé $P$(A), $P$(B), $P_{\text{A}}(\text{D})$ et $P_{\text{B}}(\text{D})$. (On rappelle que $P_{\text{A}}(\text{D}) = P(\text{D}/\text{A})$ est la probabilité de l'évènement D sachant que l'évènement A est réalisé.) \item \begin{enumerate} \item Calculer $P(\text{A} \cap \text{D})$ et $P(\text{B} \cap \text{D})$. \item En déduire $P$(D). \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une pièce ait été fabriquée par la machine M$_{1}$ sachant qu'elle est défectueuse. Arrondir à $10^{-2}.$ \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Loi binomiale} \medskip On admet dans cette partie que $P(\text{D}) = 0,012$. On prélève au hasard pour vérification 50~pièces dans un stock important. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~pièces. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque prélèvement de ce type associe le nombre de pièces défectueuses de ce prélèvement. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux pièces exactement soient défectueuses. Arrondir à $10^{-2}.$ \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux pièces soient défectueuses. Arrondir à $10^{-2}.$ \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Loi normale} \medskip Dans cette question on s'intéresse à la masse des pièces. On prélève une pièce au hasard dans un lot important. On admet que la variable aléatoire $Y$ qui à chaque pièce de ce lot associe sa masse en kilogrammes suit la loi normale de moyenne $2$ et d'écart type $0,1$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(2 \leqslant Y \leqslant 2,1)$. Arrondir à $10^{-2}.$ \item Calculer $P(Y \geqslant 2)$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvellle-Calédonie novembre 2007 %%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole 2008 %%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2008}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{juin 2008}} \lfoot{\small{Métropole}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2008\\ Comptabilité et gestion des organisations}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \textbf{A. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~ + \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{3}{1 + \nombre{125504}\text{e}^{-1,9x}}.\] On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} où l'unité est 2~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left (\nombre{125504}\text{e}^{-1,9x}\right) = 0$ ; en déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de $[0~;~ + \infty[$,~ $f'(x) = \dfrac{\nombre{715372,8}\text{e}^{-1,9x}}{\left(1 + \nombre{125504}\text{e}^{-1,9x}\right)^2}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans $[0~;~ + \infty[$. \item Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$.\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline $f(x)$ &0 &0,01 & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini au début. Sur l'axe des abscisses, commencer la graduation à 3. \end{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 2,5$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de $[0~;~ + \infty[$,~$f(x) = \dfrac{3\text{e}^{1,9x}}{\text{e}^{1,9x} + \nombre{125504}}$. \item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{3}{1,9}\ln \left(\text{e}^{1,9x} + \nombre{125504}\right)$.\\ Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur moyenne $V_{m}$ de $f$ sur [0~;~9]. \item Donner la valeur approchée de $V_{m}$ arrondie à $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Application de la partie A} \begin{center} \textbf{Dans cette partie, utiliser des résultats obtenus à la partie A.} \end{center} \medskip On admet que le nombre de systèmes GPS vendus en France au cours de l'année $(2000 + n)$ est égal à $f(n)$ millions où $f$ est la fonction définie dans la partie A. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de systèmes GPS vendus en France en 2005. \item Donner le nombre total de systèmes GPS vendus pendant les quatre années 2004, 2005, 2006 et 2007. \item Indiquer au cours de quelle année les ventes de systèmes GPS dépassent \nombre{2500000}~unités. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \end{center} Dans cet exercice on s'intéresse aux factures comptabilisées chaque mois dans un grand garage. \medskip \textbf{A. Loi binomiale} \medskip \begin{center} \textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$. \unboldmath \end{center} À la fin d'un mois donné, on considère une liasse importante de factures.\\ On note $E$ l'évènement : \og une facture prélevée au hasard dans la liasse de factures est erronée. \fg On suppose que $P(E) = 0,03$. On prélève au hasard 20~factures dans la liasse pour vérification. La liasse contient assez de factures pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20~factures. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de factures de ce prélèvement qui sont erronées. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité qu'aucune facture de ce prélèvement ne soit erronée. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux factures soient erronées. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Loi normale} \medskip \begin{center} \textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$. \unboldmath \end{center} À la fin d'un autre mois, on s'intéresse au montant de l'ensemble des factures éditées pendant ce mois. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque facture prélevée au hasard dans l'ensemble des factures éditées pendant le mois, associe son montant en euros. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $840$ et d'écart type $400$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(Y \leqslant 1500)$. \item Pour les factures dont le montant est supérieur ou égal à $600$ euros et inférieur ou égal à \nombre{1500}~euros, le garage propose le paiement en trois fois sans frais. Calculer la probabilité qu'une facture prélevée au hasard dans l'ensemble des factures éditées pendant le mois puisse être réglée en trois fois sans frais, c'est-à-dire : $P(600 \leqslant Y \leqslant \nombre{1500})$. \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Probabilités conditionnelles} \medskip Les factures du garage sont de deux types : les factures provenant de l'atelier de mécanique et les factures provenant de l'atelier de carrosserie. On admet, qu'un autre mois, 65\:\% des factures proviennent de l'atelier de mécanique et le reste de l'atelier de carrosserie. Dans l'ensemble des factures de ce mois, 2\:\% des factures provenant de l'atelier de mécanique sont erronées et 1\:\% des factures provenant de l'atelier de carrosserie sont erronées. On prélève au hasard une facture dans l'ensemble des factures de ce mois. Toutes les factures ont la même probabilité d'être prélevées. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $M$ : \og la facture prélevée provient de l'atelier de mécanique \fg{} ; \item[] $C$ : \og la facture prélevée provient de l'atelier de carrosserie \fg{} ; \item[] $D$ : \og la facture est erronée \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(M),~ P(C),~ P_{M}(D)$ et $P_{C}(D)$. (\emph{On rappelle que $P_{M}(D) = P(D / M)$ est la probabilité de l'évènement D sachant que l'évènement est réalisé}). \item \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes des probabilités $P(D \cap M)$ et $P(D \cap C)$. \item Déduire de ce qui précède $P(D)$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité que la facture prélevée provienne de l'atelier de carrosserie sachant qu'elle est erronée. Arrondir à $10^{-4}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 2008 %%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2008 %%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2008}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2008\\ Comptabilité et gestion des organisations Polynésie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. \medskip \textbf{A. Utilisation d'un ajustement affine} \medskip La Fédération Française de Franchise a publié le nombre de franchisés établis en France entre 2000 et 2005. Le tableau suivant, où $t_{i}$ désigne le rang de l'année, donne, en milliers, le nombre $y_{i}$ de ces franchisés, au premier janvier de chaque année. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année &2000&2001&2002 &2003& 2004& 2005\\ \hline Rang de l'année : $t_{i}$& 1& 2& 3& 4& 5&6 \\ \hline Nombre de franchisés : $y_{i}$& 30,63& 31,781& 33,26 &34,745& 36,773&39,51\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On effectue le changement de variable : $x_{i} = t_{i}^2$. \\Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $x_{i} = t_{i}^2$&&&&&&\\ \hline $y_{i}$ &30,63& 31,781& 33,26& 34,745&36,773& 39,51\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique de variables $x$ et $y$. Arrondir à $10^{-2}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, sous la forme $y= ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-3}$. \item En déduire une expression de $y$ en fonction de $t$. \end{enumerate} \item À l'aide de la question précédente : \begin{enumerate} \item Donner une estimation du nombre de franchisés installés en France au premier janvier 2008 ; \item Estimer l'année au cours de laquelle, le nombre de franchisés installés en France dépassera, pour la première fois, les \nombre{60000}. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Utilisation d'une suite géométrique} \medskip On peut constater qu'entre 2004 et 2005 le nombre de franchisés considéré dans la partie A a augmenté d'environ 8\:\%. \begin{center} \textbf{Dans les questions qui suivent, on admet qu'à partir du premier janvier 2005, le nombre de franchisés augmente de 5\:\% par an.} \end{center} \begin{enumerate} \item Le premier janvier 2005, il y avait \nombre{39510}~franchisés. Calculer le nombre de franchisés au premier janvier 2006. \item On note $u_{n}$ le nombre de franchisés au premier janvier de l'année $(2005 + n)$, où $n$ est un entier naturel. On a donc $u_{0} = \nombre{39510}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le plus petit entier $p$ tel que $u_{p} > \nombre{60000}$. \item L'affirmation suivante : \og le nombre de franchisés dépassera \nombre{60000} pour la première fois au cours de l'année 2010 \fg est-elle vraie ou fausse ?\\ Donner la réponse sans justification. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [1 ; 10] par \[f(x) = 8 \ln (16x - 10) + 7.\] \begin{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur [1~;~10]. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de [1~;~10]. \item Étudier le signe de $f'(x)$ quand $x$ varie dans [1~;~10]. \end{enumerate} \item Établir le tableau de variations de $f$ sur [1~;~10]. \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-1}$. \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthogonal. On prendra pour unité 1~cm pour 1 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 2 sur l'axe des ordonnées, la graduation commençant à $0$ sur l'axe des abscisses et à $20$ sur l'axe des ordonnées. \item Résoudre graphiquement dans [1~;~10] l'équation $f(x) =35$. On fera apparaître sur le graphique les constructions utiles. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{D. Application des résultats de la partie C} \medskip On admet que le chiffre d'affaires, en millions d'euros, d'un ensemble d'entrepreneurs est donné, pour l'année $(2000 + n)$, par $f(n)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie C. \begin{enumerate} \item Déterminer le chiffre d'affaires en millions d'euros, arrondi à $10^{-1}$, pour l'année 2008. \item En quelle année le chiffre d'affaires a-t-il dépassé $35$~millions d'euros ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} Dans une grande chaîne dc magasins, on s'intéresse au fonctionnement d'un certain modèle de téléviseur. \medskip \textbf{A. Loi binomiale} \begin{center}\textbf{Dans cette partie les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-1}$ \unboldmath \end{center} On considère un stock important de téléviseurs de ce modèle. On note E l'évènement : \og un téléviseur prélevé au hasard dans le stock est défectueux. \fg On suppose que $P(\text{E}) = 0,02$. On prélève au hasard $100$~ téléviseurs dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $100$~téléviseurs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de téléviseurs de ce prélèvement qui sont défectueux. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre téléviseurs défectueux. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux téléviseurs défectueux. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Loi normale} \begin{center} \textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir \`a}\boldmath $10^{-2}$ \unboldmath \end{center} Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur de ce modèle prélevé au hasard dans le stock de la chaîne associe sa durée de fonctionnement sans panne, en années. On admet que $Y$ suit la loi normale de moyenne $6$ et d'écart type $1$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(4 \leqslant Y \leqslant 8)$. \item Un téléviseur est dit \og amorti \fg si sa durée de fonctionnement sans panne est supérieure ou égale à 5 ans.\\ Calculer la probabilité qu'un téléviseur prélevé au hasard dans le stock soit amorti. \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Probabilités conditionnelles} \medskip Les téléviseurs de ce modèle proviennent de deux fournisseurs notés \og fournisseur 1~\fg et \og fournisseur 2 \fg. Le fournisseur 1 a fourni 60\:\% des téléviseurs d'un lot important et le fournisseur 2 a fourni le reste de ce lot. Dans ce lot, 1\:\% des téléviseurs provenant du fournisseur 1 sont défectueux et 1,5\:\% des téléviseurs provenant du fournisseur 2 sont défectueux. On prélève au hasard un téléviseur dans ce lot. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] A : \og le téléviseur prélevé provient du fournisseur 1 \fg ; \item[] B : \og le téléviseur prélevé provient du fournisseur 2 \fg ; \item[] D : \og le téléviseur prélevé est défectueux \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \textbf{Dans cette partie, on demande les valeurs exactes des probabilités.} \end{center} \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(\text{A}),~ P(\text{B}), P_{\text{A}}(\text{D})$ et $P_{\text{B}}(\text{D})$. (On rappelle que $P_{\text{A}}(\text{D}) = P(\text{D} /\text{A})$ est la probabilité de l'évènement D sachant que l'évènement A est réalisé.) \item \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes des probabilités $P(\text{D} \cap \text{A})$ et $P(\text{D} \cap \text{B}).$ \item Déduire de ce qui précède la probabilité que le téléviseur prélevé soit défectueux. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2008 %%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2008 %%%%%%%%%% \hypertarget{NC2008}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{octobre 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2008\\ Comptabilité et gestion des organisations\\ Nouvelle--Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}\\ \medskip \noindent \emph{A. Étude d'une fonction}\\ Soit $f$ la fonction définie sur [4~;~20] par \[f(x) = 20 - 3x + 6 \text{e}^{0,12x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe representative de $f$ dans un repère orthonormal où l'unité est 1~cm pour 2. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de [4~;~20],\\$ f'(x) = 3\left(-1 + 0,24\text{e}^{0,12x}\right)$. \item Résoudre dans [4~;~20] l'équation : $-1 + 0,24\text{e}^{0,12x} = 0 $. Donner la valeur exacte de la solution $x_{0}$, puis sa valeur approchée arrondie à $10^{-2}$. \item Résoudre dans [4~;~20] l'inéquation : $-1 + 0,24\text{e}^{0,12x} \geqslant 0$. \item Déduire du c. le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans [4~;~20]. \end{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$.\\ \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &4 &8 &11,89&16 &18 &20\\ \hline $f(x)$ & & &9,32 & & &\\ \hline \end{tabularx} \item Établir le tableau de variations de $f$. Dans ce tableau, on fera figurer les valeurs approchées de $x_{0}$ et $f\left(x_{0}\right)$ obtenues dans le tableau ci-dessus. \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini au début de cette partie. \item Résoudre graphiquement dans [4~;~20] l'équation $f(x) = 20$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. \end{enumerate} \medskip \noindent \emph{B. Calcul intégral}\\ On note $I = \displaystyle\int_{4}^{20} f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $I = 50\left(\text{e}^{2,4} - \text{e}^{0,48} \right) - 256$. \item \begin{enumerate} \item En déduire la valeur moyenne $V_{m}$ de la fonction $f$ sur [4~;~20]. \item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $V_{m}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \noindent \emph{C. Application de la partie A}\\ Une entreprise produit, chaque jour, entre 4 et 20~tonnes de sel pour l'industrie. On admet que lorsque $x$ tonnes de sel sont produites, avec $4 \leqslant x \leqslant 20$, le coût moyen de la production d'une tonne de sel est $f(x)$ dizaines d'euros, où $f$ est la fonction définie au début de la partie A. \begin{enumerate} \item Déterminer la quantité de sel à produire pour que le coût moyen de production d'une tonne de sel soit minimal. Déterminer alors ce coût moyen en euros. \item Déterminer la quantité de sel qu'il faut produire pour que le coût moyen de production d'une tonne de sel soit de 200~euros. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \end{center} \noindent Dans une société, on assemble et on installe un certain type d'équipement informatique pour les sièges sociaux de grandes entreprises. \medskip \noindent \emph{A Probabilités conditionnelles}\\ L'un des éléments de l'équipement, noté élément $a$, provient de deux fournisseurs, le fournisseur 1 et le fournisseur 2.\\ 75\:\% des éléments $a$ d'un stock important proviennent du fournisseur 1, le teste, provient du fournisseur 2.\\ 1\:\% des éléments $a$ provenant du fournisseur 1 sont défectueux.\\ 2\:\% des éléments $a$ provenant du fournisseur 2 sont défectueux.\\ On prélève au hasard un élément $a$ dans le stock.\\ Tous les éléments $a$ ont la même probabilité d'être prélevés.\\ On considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item[] $F_{1}$ : \og l'élément prélevé provient du fournisseur 1 \fg ; \item[] $F_{2}$ \og l'élément prélevé provient du fournisseur 2 \fg ; \item[] $D$ : \og l'élément prélevé est défectueux \fg. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P\left(F_{1}\right),~ P\left(F_{2}\right),\\P_{F_{1}}(D)$ et $P_{F_{2}}(D)$.\\ (On rappelle que $P_{F_{1}}(D) = P\left(D / F_{1}\right)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $F_{1}$ est réalisé). \item \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes des probabilités $P\left(D \cap F_{1}\right)$ et $P\left(D \cap F_{2}\right)$. \item En déduire la probabilité que l'élément prélevé soit défectueux. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité que l'élément provienne du fournisseur I sachant qu'il est défectueux. \end{enumerate} \medskip \noindent \emph{B Loi binomiale} \begin{center} \textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath $10^{-2}$ \unboldmath \end{center} \noindent Dans cette question on s'intéresse à un autre élément de l'équipement, noté $b$.\\ On considère un lot important d'éléments $b$.\\ On note $E$ l' évènement \og un élément $b$ prélevé au hasard dans le lot est défectueux \fg.\\ On suppose que $P(E) = 0,025$.\\ On prélève au hasard 20~éléments $b$ dans le lot pour vérification. Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20~éléments $b$.\\ On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre d'éléments $b$ de ce prélèvement qui sont défectueux. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement deux éléments $b$ défectueux. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux éléments $b$ défectueux. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{C. Lois normales}\\ Dans cette partie on s'intéresse au temps nécessaire pour la mise en service du système constitué par un élément $a$ et un élément $b$.\\ On note $Y_{a}$ la variable aléatoire qui, à chaque élément $a$ prélevé au hasard dans un stock important d'éléments $a$, associe le temps, en heures, nécessaire à sa mise en service.\\ On admet que la variable aléatoire $Y_{a}$ suit la loi normale de moyenne 22 et d'écart type 3.\\ On note $Y_{b}$ la variable aléatoire qui, à chaque élément $b$ prélevé au hasard dans un stock important d'éléments $b$, associe le temps, en heures, nécessaire à sa mise en service.\\ On admet que la variable aléatoire $Y_{b}$ suit la loi normale de moyenne 25 et d'écart type 4.\\ On admet que les deux variables aléatoires $Y_{a}$ et $Y_{b}$ sont indépendantes.\\ On note $Z$ la variable aléatoire qui à tout système constitué par un élément $a$ et un élément $b$ prélevés au hasard dans les stocks, associe le temps nécessaire, en heures, à sa mise en service.\\ On admet que $Z = Y_{a} + Y_{b}$. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne~47 et d'écart type~5. \item Déterminer la probabilité qu'un système constitué par un élément $a$ et un élément $b$ prélevés au hasard dans les stocks, soit mis en service en moins de 50~heures.\\ Arrondir à $10^{-3}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2008 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2009 %%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2009}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{mai 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2009\\Métropole Comptabilité et gestion des organisations}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Les trois parties de cet exercice sont indépendants. \medskip Une entreprise réalise et commercialise des compositions florales ainsi que des produits pour le jardin. \medskip \emph{A. Évènements indépendants} \begin{center} \textbf{Dans cette partie, on demande les valeurs exactes des probabilités} \end{center} L'entreprise confectionne ses compositions florales avec des bulbes de fleurs qu'elle reçoit en grande quantité. Chaque bulbe peut présenter deux défauts que l'on désigne par défaut $a$ et défaut $b$. On prélève un bulbe au hasard dans un stock important. On note $A$ l'évènement : \og le bulbe présente le défaut $a$ \fg{} et on note $B$ l'évènement : \og le bulbe présente le défaut $b$ \fg. On admet que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont $P(A) = 0,015$ et $P(B) = 0,02$. On suppose que les deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$ : \og le bulbe présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{2}$ ; \og le bulbe présente au moins un des deux défauts \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{3}$ : \og le bulbe ne présente aucun des deux défauts \fg. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Dans ce qui suit, tous les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath $10^{-2}.$ \unboldmath \end{center} \medskip \emph{B. Loi binomiale} \medskip On s'intéresse à une livraison importante de compositions florales d'un certain type, destinée à une chaine d'hypermarchés. On note $D$ l'évènement : \og une composition florale prélevée au hasard dans la livraison est défectueuse \fg. On suppose que $P(D) = 0,025$. On prélève au hasard 12 compositions dans la livraison pour vérification. La livraison contient assez de compositions pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 12~compositions. On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de compositions de ce prélèvement qui sont défectueuses. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement il y ait exactement deux compositions défectueuses. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au plus une composition défectueuse. \end{enumerate} \medskip \emph{C. Loi normale et somme de variables indépendantes} \medskip L'entreprise commercialise deux types d'engrais : le type $C_{1}$ en poudre, et le type $C_{2}$ en granulés. \begin{enumerate} \item On note $X_{1}$, la variable aléatoire qui, à toute semaine prise au hasard pendant une année associe la demande en kilogrammes d'engrais de type $C_{1}$, pour cette semaine. On suppose que la variable aléatoire $X_{1}$, suit la loi normale de moyenne 160 et d'écart type 32. Calculer $P\left(X_{1} \leqslant 200\right)$. \item On note $X_{2}$, la variable aléatoire qui, à toute semaine prise au hasard pendant une année associe la demande en kilogrammes d'engrais de type $C_{2}$, pour cette semaine. On suppose que la variable aléatoire $X_{2}$, suit la loi normale de moyenne 77 et d'écart type 28. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à toute semaine prise au hasard pendant une année associe la demande totale en kilogrammes d'engrais de type $C_{1}$, et de type $C_{2}$, pour cette semaine. On a $Y = X_{1} + X_{2}$. On suppose que les variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes. On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $a$. \begin{enumerate} \item Justifier que $m = 237$ et qu'une valeur approchée de $a$ arrondie à $10^{-2}$, est 42,52. \item Calculer la probabilité $P(Y \geqslant 340)$. \item Le coût de stockage de cet engrais est élevé. L'entreprise a-t-elle raison de limiter Ia production totale hebdomadaire de cet engrais à 340~kilogrammes ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \emph{A. Résolution graphique d'une inéquation} Soit $f$ la fonction définie sur $[1~;~10]$ par \[f(x) = \dfrac{10}{\ln (2x + 3)}\] La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal est tracée sur l'annexe à rendre avec la copie. Résoudre graphiquement dans $[1~;~10]$ I'inéquation $f(x) \leqslant 3,5$. Faire apparaître sur la figure les constructions utiles. \medskip \emph{B. Étude d'une fonction} Soit $g$ la fonction définie sur [0~;~10J par \[g(x) = 5 - \text{e}^{-0,2x + 1}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de $[1~;~10]$. \item Étudier le signe de $g'(x)$ sur $[1~;~10]$, \end{enumerate} \item Donner la tableau de variation de $g$ sur $[1~;~10]$, \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &8 &10\\ \hline $g(x)$& & & &3,78 &4 & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de $g$ sur l'annexe à rendre avec la copie, dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A. Faire apparaître sur la figure les constructions utiles. \end{enumerate} \medskip \emph{C. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $G$ la fonction définie sur $[1~;~10]$ par \[G(x) = 5x + 5\text{e}^{-0,2x + 1}.\] Démontrer que la fonction $G$ est une primitive sur $[1~;~10]$ de la fonction $g$ définie au début de la partie B. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la valeur moyenne de la fonction $g$ sur $[1~;~10]$ est : \[V_{m} = \dfrac{45 + 5\text{e}^{-1} - 5\text{e}^{0,8}}{9}.\] \item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $V_{m}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{D. Application des parties A et B} \medskip On considère un produit dont le prix de la tonne, exprimé en dizaines d'euros, est noté $x$. La \textbf{demande}, $d(x)$ est la quantité de ce produit, exprimée en milliers de tonnes que les consommateurs sont prêts à acheter au prix de $x$ dizaines d'euros la tonne. \textbf{L'offre}, $o(x)$ est la quantité de ce produit, exprimée en milliers de tonnes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix de $x$ dizaines d'euros la tonne. On appelle \textbf{prix d'équilibre} de ce produit le prix pour lequel l'offre et la demande sont égales. On admet que, pour un prix du produit de $x$ dizaines d'euros la tonne, avec $1 \leqslant x \leqslant 10$, la demande est $d(x) = f(x)$ et l'offre est $o(x) = g(x)$, où $f$ et $g$ sont les fonctions définies dans les parties A et B. \begin{enumerate} \item En utilisant un résultat de la partie A ou de la partie B, indiquer à partir de quel prix de la tonne en euros, la demande est inférieure ou égale à \nombre{3500}~tonnes. \item \begin{enumerate} \item Déduire d'un résultat de la partie B une valeur approchée du prix d'équilibre en euros. \item Donner une valeur approchée de la demande correspondant au prix d'équilibre. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,0)(10.5,10) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,0)(10.5,10) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](0,0)(10,10) \psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{0}{10}{10 2 x mul 3 add ln div} \uput[d](10.5,0){$x$} \uput[l](0,10){$f(x)$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 2009 %%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie 2009 %%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2009}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{mai 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2009\\ Comptabilité et gestion des organisations Polynésie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center} \bigskip \emph{A. Loi binomiale et loi normale} \begin{center} \textbf{Dans cette partie, sauf mention particulière, les résultats approchés sont à arrondir \`a} \boldmath $10^{-3}$\unboldmath \end{center} \medskip Dans le cadre de la lutte contre l'obésité et le diabète, on a testé un nouveau régime. Les patients sont suivis durant quatre ans. Si au terme de ces quatre ans, le poids est stabilisé à une valeur satisfaisante, le régime est considéré comme un succès. \medskip Quatre ans après le début de l'étude, on considère le fichier constitué par les dossiers d'un grand nombre de patients ayant suivi le régime. On note $E$ l'év\`enement : \og un dossier prélevé au hasard dans le fichier est celui d'un patient ayant suivi Ie régime avec succès \fg. On suppose que $p(E) = 0,375$. On prélève au hasard 100~dossiers médicaux dans le fichier. Le nombre de dossiersdans le fichier est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvemem \`a un tirage avec remise de 100~dossiers. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de dossiers correspondant à des patients ayant suivi le régime avec succès. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \item Calculer la probabilité que 25~dossiers de ce prélèvement correspondent à des patients ayant suivj le régime avec succès. Pour ce calcul on peut prendre C$_{100}^{25} \approx 2,425 \times 10^{23}$. \end{enumerate} \item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi normale de moyenne 37,5 et d'écart type 4,8. On note $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 37,5 et d'écart type 4,8. \begin{enumerate} \item Justifier les valeurs des paramètres de cette loi normale (4,8 est une valeur approchée à $10^{-1}$). \item Calculer la probabilité qu'au moins la moitié des dossiers prélevés correspondent à des patients ayant suivi le régime avec succès, c'est-\`a-dire calculer $P(Y \geqslant 49,5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Probabilités conditionnelles} \medskip Dans un département, on dispose des informations suivantes sur l'effet de deux types de régime. 70\:\% des patients de ce département ont suivi le régime de type 1 et 30\:\% ont suivi un régime de type 2. Parmi les patients ayant suivi le régime de type 1,30\:\% seulement l'ont suivi avec succès, alors qu'il y a 55\:\% de réussite pour les patients ayant suivi le régime de type 2. On prélève un dossier au hasard dans l'ensemble des dossiers des patients de ce département. On considère les év\`enements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $A$ : \og Le dossier prélevé est celui d'un patient qui a suivi le régime de type 1 \fg{} ; \item $B$ : \og Le dossier prélevé est celui d'un patient qui a suivi le régime de type 2 \fg{} ; \item $R$ : \og Le dossier prélevé est celui d'un patient qui a suivi un des deux régimes avec succès \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(A),~ P(B),$ $P_{A}(R)$ et $P_{B}(R)$. (On rappelle que $P_{A}(R) = P(R / A)$ est la probabilité de l'év\`enement $R$ sachant que l'év\`enement $A$ est réalisé.) \item \begin{enumerate} \item Calculer $P(R \cap A)$ et $ P(R \cap B)$. \item En déduire $P(R)$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un patient qui a suivi un des deux régimes avec succès, ait suivi le régime de type 2. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \bigskip \emph{A. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~ + \infty[$ par \[f(x) = 3,87\text{e}^{-0,26x} + 0,76.\] On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij. On prendra comme unités : 1~cm sur l'axe des: abscisses et 4~cm sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-0,26x} = 0$ ; en déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item Déduire du a. que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de $[0~;~ + \infty[$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de $[0~;~ + \infty[$. \item Établir le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$[. \end{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit sur votre copie le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&1&2 &3 &5 &7 &9 &12&15\\ \hline $f(x)$&3,74&&&&&&0,93&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré. \item \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'équation $f (x) = 1$. Faire apparaître sur la figure les constructions utiles. \item Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 1$. Donner la valeur exacte de la solution. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $I = \displaystyle\int_{0}^{10} f(x)\:\text{d}x$. Démontrer que $I = \dfrac{387}{26}\left(1- \text{e}^{-2,6}\right) + 7,6$. \item Donner la valeur approchée de $I$ arrondie à $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Application} \medskip Dans le cadre d'études sur la gestion des ressources naturelles dans un pays en voie de développement, on s'intéresse à la quantité de bois de chauffe, en kilogrammes, consommée quotidiennement par personne, pendant la saison sèche. On admet que la quantité de bois de chauffe consommée quotidiennement par une personne vivant dans une exploitation abritant $x$ personnes est $f(x)$ kilogrammes, où $f$ est la fonction définie dans la partie A. \begin{enumerate} \item Déduire de la partie A le nombre de personnes vivant dans une exploitation où la consommation de bois de chauffe quotidienne pour une personne est de 1 kilogramme. \item Calculer la consommation quotidienne totale en kilogrammes d'une exploitation où vivent 12~personnes. Arrondir à l'unité. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie 2009 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2009 %%%%%%%% \hypertarget{NC2009}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{novembre 2009}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2009\\ Comptabilité et gestion des organisations\\ Nouvelle--Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center} \medskip Dans cet exercice, on s'intéresse à la fabrication, dans une usine d'un grand groupe de l'industrie automobile, d'un certain modèle de véhicules à \og moteur hybride \fg. Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{- 2}$. \medskip \emph{A. Loi binomiale} \medskip Dans cette question on s'intéresse à un stock important de véhicules sortis des chaînes de montage de l'usine. On appelle \og véhicule défectueux \fg{} un véhicule possédant au moins un défaut. Il y a \og beaucoup \fg{} de défauts possibles à la sortie d'une chaîne de montage. On note $E$ l 'év\`enement : \og un véhicule prélevé au hasard dans le stock est défectueux \fg. On suppose que $P(E) = 0,2$. On prélève au hasard 20~véhicules dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 véhicules. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de véhicules défectueux de ce prélèvement. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité qu'un seul véhicule de ce prélèvement soit défectueux. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un véhicule soit défectueux. \end{enumerate} \medskip \emph{B. Loi normale} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse au coût de remise en état des véhicules présentant un ceriain type de défaut. On considère la variable aléatoire $C$ qui à chaque véhicule prélevé au hasard dans une grande série de véhicules présentant ce type de défaut associe le coût, en euros, de sa remise en état. On suppose que la variable aléatoire $C$ suit la loi nonnale de moyenne 500 et d'écart type 200. \begin{enumerate} \item Calculer $P(C \leqslant 700)$. \item Calculer la probabilité que la remise en état d'un véhicule prélevé au hasard dans la série des véhicules présentant ce type de défaut coûte entre 200 et 800~euros. \end{enumerate} \medskip \emph{C. Probabilités conditionnelles} \medskip Les véhicules proviennent de deux ateliers notés $a$ et $b$. On admet que pendant un mois donné, l'atelier a produit 40\:\% des véhicules et que le reste est produit par l'atelier $b$. On admet que 10\:\% des véhicules provenant de l'atelier $a$ sont défectueux et que 15\:\% des véhicules provenant de l'atelier $b$ sont défectueux. On prélève au hasard un véhicule dans l'ensemble de la production du mois des deux ateliers. Tous les véhicules ont la même probabilité d'être prélevés. On considère les év\`enements suivants : $A$ : \og le véhicule prélevé provient de l'atelier $a$ \fg{} ; $B$ : \og le véhicule prélevé provient de l'atelier $b$ \fg{} ; $D$ : \og le véhicule prélevé est défectueux \fg. \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(A),~ P(B),~P_{A}(D)$ et $P_{B}(D)$. (On rappelle que $P_{A}(D) = P(D / A)$ est la probabilité de l'év\`enement $D$ sachant que l'év\`enement $A$ est réalisé). \item \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes des probabilités $P(D \cap A)$ et $P(D \cap B)$. \item En déduire $P(D)$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un véhicule provienne de l'atelier $a$ sachant qu'il est défectueux. Arrondir à $10^{-2}$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \emph{A. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [6~;~30] par \[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 36\ln x + 150.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. On prendra comme unités graphiques : 1~cm pour 5 sur l' axe des abscisses et 1 cm pour 100 sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de [6~;~30], $f'(x) = \dfrac{(x - 6)(x + 6)}{x}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans [6~;~30]. \item Donner la tableau de variation de $f$ sur [6~;~30]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit sur la copie, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à l'unité. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &6 &10 &15 &20 &25 &30 \\ \hline% $f(x)$&&&&&& \\ \hline% \end{tabularx} \medskip \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini au début. \item Tracer sur la figure du b. la droite $\Delta$ d'équation $y = 22,5 x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{B. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $H$ la fonction définie sur [6~;~30] par $H(x) = x \ln x - x$. Démontrer que $H$ est une primitive sur [6~;~30] de la fonction $h$ définie par $h(x) = \ln x$. \item Déduire du a. une primitive $F$ sur [6~;~30] de la fonction $f$ définie dans la partie A. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $I = \displaystyle\int_{6}^{30} f(x)\:\text{d}x$. Démontrer que $I = \nombre{8928} - \nombre{1080} \ln 30 + 216 \ln 6$. \item En déduire la valeur moyenne $V_{m}$ de $f$ sur [6~;~30]. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \emph{C. Application économique} \medskip On s'intéresse à une entreprise qui fabrique et commercialise un certain type d'articles. On admet que le coût total de production pour $x$ articles produits, avec $6 \leqslant x \leqslant 30$, est $f(x)$~euros, où $f$ est la fonction définie dans la partie A. \begin{enumerate} \item Chaque article fabriqué est vendu $22,50$~euros. Déterminer en fonction de $x$ la recette $r(x)$, en euros, pour $x$ articles vendus. \item Déterminer le bénéfice en euros pour 20~articles fabriqués et vendus. \item À l'aide du graphique réalisé dans la partie A, déterminer pour quelle valeur de $x$ le bénéfice est maximal. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2009 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{2010}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2010\\Métropole Comptabilité et gestion des organisations}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \end{center} \emph{A. Loi binomiale} \medskip \begin{center}\textbf{Dans cette partie, les probabilités sont à arrondir à} \boldmath $10^{-3}$ \end{center} On a observé que 87\:\% des entreprises créées en France en 2008 n'emploient aucun salarié. On prélève au hasard huit entreprises parmi l'ensemble des entreprises créées en France en 2008. Le nombre d'entreprises créées est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de huit entreprises. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de ce type, associe le nombre d'entreprises qui n'emploient aucun salarié. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement les huit entreprises n'emploient aucun salarié. \item Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement au moins sept des entreprises n'emploient aucun salarié. \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Loi normale} \medskip \begin{center}\textbf{Cette partie est un questionnaire à choix multiples.}\end{center} \emph{Pour chacune des deux questions, une seule réponse A, B, C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ Notation :\\ Chaque réponse juste rapporte $1,5$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \medskip On appelle $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $874$ et d'écart type $10,5$. \begin{enumerate} \item La valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $P(859,5 \leqslant Y \leqslant 890,5)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse A&Réponse B&Réponse C \\ \hline 0,58& 0,03 & 0,86\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item La valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $P(Y \geqslant 880,5)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse A&Réponse B&Réponse C \\ \hline 0,27& 0,73 & 0,84\\ \hline \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Étude d'une suite} \medskip On se propose d'étudier l'évolution de la capacité mondiale de production d'énergie éolienne en mégawatts (MW). On dispose des données suivantes : en 2008, cette capacité est égale à \nombre{120791}~ MW. On prévoit que cette capacité augmente de 20\:\% chaque année à partir de 2008. \begin{enumerate} \item Déterminer les capacités mondiales prévues pour 2009 et 2010 sous cette hypothèse. \item On note $u_{n}$ la capacité mondiale de production d'énergie éolienne l'année $2008 + n$. On a donc $u_{0} = \nombre{120791}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison. \item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le plus petit entier $p$ tel que: $(1,2)^p \geqslant \dfrac{\nombre{250000}}{\nombre{120791}}$. \item En déduire, en le justifiant, à partir de quelle année on peut prévoir que la capacité mondiale de production d'énergie éolienne dépassera \nombre{250000}~MW. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip \emph{A. Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur [1~;~13] par : \[f(x) = 3 x + 14 - 12\ln (2x).\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}$, dans un repère orthonormal est donnée en annexe à rendre avec la copie. \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur [1~;~13]. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de [1~;~13]. \item Montrer que, pour tout $x$ de [1~;~13], $f'(x) = \dfrac{3x - 12}{x}$. \item En déduire le signe de $f'(x)$ sur [1~;~13]. \item Construire le tableau de variations de $f$ sur [1~;~13]. \end{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 4$. On fera apparaître sur la figure donnée en annexe les traits de constructions utiles et on donnera des valeurs approchées arrondies à $10^{- 1}$ des solutions. \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie sur [1~;~13] par \[F(x) = \dfrac{3}{2}x^2 + 26x - 12x \ln (2x).\] Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur [1~;~13]. \item On note $I = \displaystyle\int_{1}^{13} f(x)\:\text{d}x$. Démontrer que $I = 564 - 156 \ln (26) + 12 \ln (2)$. \item En déduire la valeur exacte de la valeur moyenne $V_{m}$ de la fonction $f$ sur [1~;~13]. Donner la valeur approchée arrondie à $10^{- 1}$ de $V_{m}$. \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Application de la partie A} \medskip Une entreprise fabrique, chaque jour, entre $100$ et \nombre{1300}~objets identiques. On admet que lorsque $x$ centaines d'objets sont fabriqués, $1 \leqslant x \leqslant 13$, le coût moyen de fabrication d'un objet est $f(x)$ euros où $f$ est la fonction qui a été définie dans la partie A. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la quantité de pièces à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal. \item Déterminer alors ce coût moyen. Arrondir au centime d'euro. \end{enumerate} \item Utiliser les résultats de la partie $A$ pour déterminer les quantités d'objets à fabriquer afin que le coût moyen de fabrication d'un objet soit inférieur ou égal à 4~euros. \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{unit=0.857cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(13,14) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(13,14) \psplot[plotpoints=10000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{13}{3 x mul 14 add x 2 mul ln 12 mul sub} \psgrid[gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridlabels=0pt,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,subgriddiv=5](-1,-1)(13,14) \uput[r](9,6.2){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](13,0){$x$}\uput[l](0,14){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole mai 2010 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2010 %%%%%%%%%% \hypertarget{NC2010}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie novembre 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2010\\ Comptabilité et gestion des organisations\\ Nouvelle--Calédonie}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \emph{A. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [1~;~100] par \[f(x) = \dfrac{\text{e}^{0,02x+0,28}}{x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. On prend comme unités graphiques 1~cm pour 10 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 0,1 sur l'axe des ordonnées. \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de [1~;~100] : $f'(x) = \dfrac{\text{e}^{0,02x+0,28}}{x^2}(0,02x - 1)$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~100]. \end{enumerate} \item Établir le tableau de variations de $f$ sur [1~;~100]. On complètera ce tableau avec des valeurs exactes. \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &1 &5 &10 &20 &50 &80 &100\\ \hline $f(x)$ &1,35 & & & &0,07 & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré. \item Résoudre graphiquement dans [1~;~100] l'inéquation $f(x) \leqslant 0,3$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Calcul intégral} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~100] par \[g(x) = 10\text{e}^{0,02x + 0,28}.\] On note $I = \displaystyle\int_{1}^{100} g(x)\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $I = 500 \left(\text{e}^{2,28} - \text{e}^{0,3}\right)$. \item En déduire la valeur approchée arrondie à $10^{- 2}$ de la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~100]. \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Application des parties A et B} \medskip Une entreprise fabrique et vend chaque jour un certain type d'articles. Le coût de production, en euros, d'un article en fonction du nombre $x$ de dizaines d'articles fabriqués est $f(x)$, où $f$ est la fonction définie au début de la partie \emph{A}. \medskip \begin{enumerate} \item Déduire de la partie \emph{A} le nombre d'articles que l'entreprise doit fabriquer pour que le coût unitaire de production soit inférieur ou égal à $30$ centimes d'euros. \item \begin{enumerate} \item Justifier que le nombre $g(x)$ défini dans la partie B représente le coût total de production de $x$ dizaines d'articles fabriqués par l'entreprise. \item Donner à l'aide d'une phrase, une interprétation économique du résultat obtenu à la question \textbf{2.} de la partie \emph{B}. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \end{center} Une chaîne de magasins de bricolage commercialise deux types de ponceuses : des ponceuses \og elliptiques \fg{} et des ponceuses \og à bande \fg. \begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à}~\boldmath $10^{-2}$ \unboldmath \end{center} \emph{A. Loi binomiale} \medskip On note $D$ l'évènement : \og Une ponceuse elliptique prélevée au hasard dans un stock important de la chaîne est défectueuse \fg. On suppose que $P(D) = 0,08$. On prélève au hasard 25 ponceuses elliptiques dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 25 ponceuses. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses défectueuses de ce prélèvement. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre ponceuses défectueuses. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins une ponceuse défectueuse. \item \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. \item La réparation d'une ponceuse défectueuse coûte 30~euros. Quelle est, pour un lot de 25~ponceuses elliptiques, le montant moyen des réparations des ponceuses elliptiques défectueuses ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale} \medskip On note $R$ l'évènement : \og Une ponceuse à bande prélevée au hasard dans un lot important provenant du fabricant nécessite un réglage avant sa commercialisation \fg. On suppose que $P(R) = 0,45$. On prélève au hasard un lot de 50~ponceuses à bande pour vérification. Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~ponceuses. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses à bandes de ce prélèvement nécessitant un réglage. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $50$ et $0,45$ (\textbf{ce résultat n'a pas à être justifié}). On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne $22,5$ et d'écart type $3,5$. On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $22,5$ et d'écart type $3,5$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier le choix des paramètres de cette loi normale $\left(3,5~ \text{est une valeur appro\-chée arrondie \`a}~ 10^{-1} \right)$. \item Calculer la probabilité qu'au moins 25 ponceuses nécessitent un réglage c'est à dire calculer $P(Z \geqslant 24,5)$. \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Probabilités conditionnelles} \medskip Les ponceuses à bande proviennent de deux fabricants, notés \og fabricant 1 \fg et \og fabricant 2 \fg. 50\,\% des ponceuses provenant du fabricant 1 nécessitent un réglage et 37\,\% des ponceuses provenant du fabricant 2 nécessitent un réglage. On prélève au hasard une ponceuse dans un stock important contenant 60\,\% de ponceuses provenant du fabricant 1 et le reste du fabricant 2. On définit les évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[] $A$ : \og La ponceuse provient du fabricant 1 \fg{} ; \item[] $B$ : \og La ponceuse provient du fabricant 2 \fg{} ; \item[] $E$ : \og La ponceuse nécessite un réglage \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(A)~;~P(B)~;~P_{A}(E)$ et $P_{B}(E)$. \item Calculer $P(A \cap E)$ et $P(B \cap E)$. En déduire $P(E)$. \item Calculer la probabilité que la ponceuse provienne du fabricant 1 sachant qu'elle nécessite un réglage. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2010 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole mai 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{2011}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{mai 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2011\\Métropole Comptabilité et gestion des organisations}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} Un grossiste spécialisé dans le jardinage reçoit des sachets de graines d'aubergines \og bio \fg{} (c'est-à-dire issues de l'agriculture biologique). \medskip \textbf{A. Év\`enements indépendants, probabilités conditionnelles} \medskip Le grossiste reçoit ces sachets en grande quantité. Chaque sachet peut présenter deux défauts notés respectivement \og a \fg{} et \og b \fg. Le défaut \og a \fg{} consiste en la présence de désherbants chimiques. Le défaut \og b \fg{} consiste en la présence de pesticides. On prélève un sachet au hasard dans une importante livraison. L'évènement \og le sachet présente le défaut \og a\fg{} est noté $A$ et l'évènement \og le sachet présente le défaut \og b \fg{} est noté $B$. Des études statistiques ont permis d'établir que $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,03$. On suppose que ces deux évènements sont indépendants. \begin{enumerate} \item On note $E_{1}$ l'évènement : \og le sachet présente les deux défauts \og a \fg{} et \og b \fg{\fg}. Calculer $P\left(E_{1}\right)$. \item On dit qu'un sachet est défectueux s'il présente au moins un des deux défauts. On note $E_{2}$ l'évènement: \og le sachet est défectueux \fg. Calculer $P\left(E_{2}\right)$. \item On note $E_{3}$ l'évènement : \og le sachet ne présente aucun défaut \fg. Calculer $P\left(E_{3}\right)$. \item Calculer la probabilité que le sachet présente les deux défauts sachant qu'il est défectueux. Le résultat sera arrondi à $10^{-4}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Dans tout ce qui suit, les probabilités sont à arrondir à}\, \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath \bigskip \textbf{B. Loi binomiale} \medskip On note $D$ l'évènement \og un sachet prélevé dans un stock important est défectueux \fg. On suppose que $P(D) = 0,05$. On prélève au hasard 40 sachets pour vérification, le stock étant assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement de 40~sachets associe le nombre de sachets défectueux. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \item Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement, il y ait exactement 2~sachets défectueux. \item Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement, il y ait au moins un sachet défectueux. \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Loi normale} \medskip On s'intéresse dorénavant à la masse d'un sachet. La variable aléatoire $Y$ qui à chaque sachet associe sa masse en grammes est notée $Y$. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $120$ et d'écart-type $8$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(Y \geqslant 104)$. \item Un sachet dont la masse en grammes n'est pas dans l'intervalle [104~;~136J est rejeté. Calculer la probabilité qu'un sachet soit rejeté. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \textbf{A. Étude d'une fonction} \medskip La fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \dfrac{1}{1 + 4,9\text{e}^{- 0,125t}}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées). \begin{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,125t} = 0$. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ dont on donnera une équation. \item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats \`a $10^{- 2}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &0 &5 &10 &15 &20 &25 &30\\ \hline% $f(t)$ & & & & & & &\\ \hline% \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de $f$ et vérifier que $f'(t) = \dfrac{\np{0,6125}\text{e}^{- 0,125t}}{\left(1 + 4,9\text{e}^{- 0,125t} \right)^2}$. \item Établir le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $D$. \item Résoudre graphiquement l'équation $f(t) = 0,5$. Faire apparaître les traits utiles sur le graphique. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Valeur moyenne} \medskip \begin{enumerate} \item On admet que $f(t) = \dfrac{\text{e}^{0,125t}}{4,9 + \text{e}^{0,125t}}$. Vérifier que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(t) = 8\ln\left(4,9 + \text{e}^{0,125t} \right)$ est une primitive de $f$. \item Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur $[10~;~20]$ est : $\text{V}_{m} = 0,8 \ln \left(\dfrac{4,9 + \text{e}^{2,5}}{4,9 + \text{e}^{1,25}}\right)$. \item Donner une valeur approchée de V$_{m}$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Applications des parties A et B} \medskip Une étude statistique a établi qu'à partir de l'année 1990, le pourcentage des ménages équipés d'un four à micro-ondes, dans un département, est donné approximativement par la formule : \[f(t) = \dfrac{1}{1 + 4,9\text{e}^{- 0,125t}}\,\text{où}\, t\, \text{désigne le nombre d'années écoulées depuis 1990}.\] Par exemple $f(0) \approx 0,17$ ; en 1990 il y avait 17\,\% des ménages équipés d'un four à micro-ondes. \begin{enumerate} \item Calculer le pourcentage des ménages ayant cet équipement en 2010. \textbf{Le résultat sera arrondi à}\,\boldmath $10^{-2}$ \unboldmath \item Déduire de la partie A., l'année à partir de laquelle 50\,\% des ménages sont équipés d'un four à micro-ondes. \item À l'aide d'une phrase, interpréter le résultat obtenu au 3. de la partie B. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole mai 2011 %%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie mai 2011 %%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PO2011}{} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{Polynésie mai 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2011\\Polynésie Comptabilité et gestion des organisations}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} Une usine fabrique en grande quantité deux types de pièces métalliques pour l'industrie: des pièces triangulaires et des pièces carrées. \bigskip \emph{A. Probabilités conditionnelles} \medskip On admet que 40\,\% des pièces de la production sont triangulaires, le reste est constitué par les pièces carrées. Parmi les pièces triangulaires, 70\,\% ont une masse égale à 30~grammes, les autres ont une masse égale à 10 grammes. Parmi les pièces carrées, 80\,\% ont une masse égale à 30~grammes, les autres ont une masse égale à 10 grammes. On prélève au hasard une pièce dans la production d'une journée de ces deux types de pièces. On considère les évènements suivants : T : \og la pièce prélevée est triangulaire \fg{} ; M : \og la pièce prélevée a une masse égale à 30 grammes \fg. \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé : $P(T),\, P_{T}(M)$ et $P_{\overline{T}}(M)$. (On rappelle que $P_{T}(M) = P(M / T)$ est la probabilité de l'évènement $M$ sachant que l'évènement $T$ est réalisé.) \item Calculer $P(M \cap T)$ et $P\left(M \cap \overline{T}\right)$. \item Déduire de ce qui précède que $P(M) = 0,76$. \item Calculer la probabilité qu'une pièce soit carrée sachant que sa masse est égale à 30 grammes. Arrondir à $10^{-2}$. \end{enumerate} \emph{B. Év\`enements indépendants} \medskip Les pièces sont susceptibles de présenter deux défauts appelés \og défaut 1 \fg{} et \og défaut 2 \fg. On prélève une pièce au hasard dans un lot important. On note $D_{1}$ l'évènement : \og la pièce présente le défaut 1 \fg{} ; On note $D_{2}$ l'évènement : \og la pièce présente le défaut 2 \fg. On admet que les probabilités des évènements $D_{1}$ et $D_{2}$ sont : $P\left(D_{1}\right) = 0,01$ et $P\left(D_{2}\right) = 0,02$. On suppose de plus que les deux évènements $D_{1}$ et $D_{2}$ sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans le lot présente les deux défauts. \item Une pièce est jugée défectueuse si elle présente au moins l'un des deux défauts. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans le lot soit défectueuse. \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Loi binomiale et loi normale} \medskip On note $E$ l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans un stock important de pièces est triangulaire \fg. On suppose que la probabilité de $E$ est $0,40$. On prélève au hasard $60$ pièces dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 60 pièces. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 60~pièces, associe le nombre de pièces triangulaires de ce prélèvement. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi normale de moyenne 24 et d'écart type 3,8. \begin{enumerate} \item Justifier les paramètres choisis pour la loi normale. \item On note $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 24 et d'écart type 3,8. Calculer la probabilité que le nombre de pièces triangulaires d'un prélèvement soit compris entre 20 et 28, c'est-à-dire : $P(19,5 \leqslant Y \leqslant 28,5)$. Arrondir à $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip \emph{A. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~6] par \[f(x) = \left(2x^2 + 3x\right)\text{e}^{- x}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~6], $f'(x) = (-2x + 3)(x + 1)\text{e}^{- x}$. \item Etudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~6]. \item Établir le tableau de variation de $f$ sur [0~;~6]. On y fera figurer la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ du maximum de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $f(x)$ & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. On prendra pour unités graphiques : 2~cm pour 1 sur l'axe des abscisses et 4~cm pour 1 sur l'axe des ordonnées. \item Résoudre graphiquement dans [0~;~6] l'équation $f(x) = 1$. Faire apparaître sur la figure les constructions utiles. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{B Calcul intégral} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~6] par : \[F(x) = \left(- 2x^2 -7x -7\right)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~6]. \item On note $I = \displaystyle\int_{0}^6 f(x)\:\text{d}x$. Démontrer que $I = 7 - 121\text{e}^{- 6}$. \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Application des résultats des parties A et B.} \medskip Une société extrait du gravier pour la construction d'autoroutes. Elle envisage l'ouverture d'un nouveau site d'extraction. On admet, qu'au bout de $x$ centaines de jours d'exploitation, la production journalière sur ce site, exprimée en milliers de tonnes, est $f(x)$, où $f$ est la fonction qui a été définie au début de la partie A. \begin{enumerate} \item Déterminer au bout de combien de jours après l'ouverture du site, la production journalière sera maximale. Quelle est cette production maximale en milliers de tonnes ? \item Déterminer au bout de combien de jours après l'ouverture du site la production journalière après avoir atteint son maximum sera revenue à \np{1000}~tonnes. \item Déduire de la partie B. la valeur moyenne, $V_{m}$, de $f$ sur [0~;~ 6]. Arrondir $V_{m}$ à $10^{-3}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie mai 2011 %%%%%%%%%%%%%% \end{document}