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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\thispagestyle{empty}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}


\begin{center} 
  
\begin{huge}\textbf{BREVET  DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR }
\vspace{0,5cm}

\textbf{SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Le GROUPEMENT Agencement de l'environnement architectural\\ \medskip
 de 2001 à 2011}
\vspace{0,5cm}
\end{huge}

\vspace{1cm}

{\Large  \hyperlink{2001}{Métropole  2001} \dotfill 3  \medskip

\Large  \hyperlink{2002}{Métropole  2002} \dotfill 5  \medskip

\Large  \hyperlink{2003}{Métropole  2003} \dotfill 7  \medskip

\Large  \hyperlink{2004}{Métropole  2004} \dotfill 10  \medskip

\Large  \hyperlink{2005}{Métropole  2005} \dotfill 12  \medskip

\Large  \hyperlink{2006}{Métropole  2006} \dotfill 15  \medskip

\Large  \hyperlink{2007}{Métropole  2007}  \dotfill 18  \medskip

\Large  \hyperlink{2008}{Métropole 2008} \dotfill 21  \medskip

\Large  \hyperlink{2009}{Métropole 2009} \dotfill 23  \medskip

\Large  \hyperlink{2010}{Métropole 2010} \dotfill 25  \medskip

\Large  \hyperlink{2011}{Métropole 2011} \dotfill 27  \medskip
}
\end{center}
\newpage ~

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2001  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2001}{}

\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur - session 2001 \\Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm)

\medskip
 
\textbf{A-} Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par 
\[g(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}\]
 
passe par le point A de coordonnées (0~;~4) el admette en ce point une tangente de coefficient directeur nul.

\medskip
 
\textbf{B-}  On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par 
\[f(x) = (4 - 4x)\text{e}^{-x}\] 

et on note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.
 
\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $f$. 
\item Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de $f(0,25),{} f(0,5),$  et $f(0,75)$. 
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. 
\item On note $H$ la fonction définie sur [0~;~1] par 
\[H(x) = (2 ~ x)\text{e}^{-x}\] 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la dérivée de $H$ et en déduire une primitive de $f$ sur [0~;~1]. 
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la portion de plan limitée par la courbe et les deux axes. (On donnera la réponse exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près).
	\end{enumerate} 
\item En traçant les courbes symétriques de $(\mathcal{C})$ par rapport aux deux axes de coordonnées et par rapport à l'origine, on obtient une courbe fermée qui sera prise comme contour du fond d'une boîte cylindrique de hauteur 10~cm. Calculer, en cm$^3$, au cm$^3$ près, le volume de la boîte. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
Dans la production d'une entreprise on prélève 100~rouleaux de papier de tapisserie dont on mesure les longueurs. On obtient les résultats suivants :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1,5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Longueur en m&\footnotesize [9,93 ; 9,95[ &\footnotesize[9,95 ; 9.97[ &\footnotesize[9,97 ; 9,99[ &\footnotesize[9,99 ; 10,01[&\footnotesize [10,01 ; 10,03[&\footnotesize [10,03 ; 10,05[ &\footnotesize[10,05 ; 10,07[\\ \hline 
Effectifs &5 &11 &23  &25 &19 &13 &4 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{A-}

\begin{enumerate}
\item  Construire l'histogramme de cette série. 
\item En remplaçant chaque classe par son centre affecté de l'effectif correspondant, calculer la moyenne et l'écart-type de cette série à 10-3 près. (Le détail des calculs n'est pas demandé).
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{B-} On note $X$ la variable aléatoire qui, à un rouleau pris au hasard, associe sa longueur exprimée en mètres. On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 10$ et d'écart-type $\sigma = 0,03$.
 
\begin{enumerate}
\item  Considérant que les rouleaux trop longs peuvent être recoupés, on décide qu'un rouleau est accepté si sa longueur est supérieure ou égale à 9,95~m.
 
Calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, qu'un rouleau pris au hasard dans la production :
 
	\begin{enumerate}
		\item soit accepté. 
		\item soit refusé.
	\end{enumerate} 
\item Parmi les rouleaux acceptés, ceux dont la longueur est supérieure à 10,05~m sont recoupés avant expédition.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(9,95 \leqslant X \leqslant 10,05)$ (on donnera l'arrondi à $10^{-2}$ près).
		 
		\item Quelle est la probabilité qu'un rouleau pris au hasard dans la production soit accepté et expédié sans être recoupé ?
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

 
\textbf{C- 	On admet dans cette partie que la probabilité qu'un rouleau pris au hasard dans la production soit refusé est } \boldmath $0,05$.\unboldmath

\medskip
 
On prélève au hasard 5~rouleaux dans la production. (Ce prélèvement est assimilé à un tirage de 5~rouleaux successivement avec remise). On appelle $Y$ la variable aléatoire qui associe à chacun de ces prélèvements le nombre de rouleaux refusés parmi les 5.
 
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ? (On précisera ses paramètres). 
\item Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité de chacun des év\`enements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item  Parmi les 5 rouleaux, aucun n'est refusé. 
		\item  Parmi les 5 rouleaux, au moins 1 est refusé.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2002  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2002}{}

\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur - session 2002 \\Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~ cm)

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

 Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par
\[g(x) = (ax + b)\text{e}^{x}\]
passe par le point A de coordonnées (0~;~4) et admette en ce point une tangente de coefficient directeur nul. 
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

 On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par
\[f(x) =  (4 - 4x)\text{e}^{x}\]
  et on note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le repère \Oij. 
\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $f$. 
\item  Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de $f(0,25), ~f(0,5)$, et $f(0,75)$. 
\item  Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. 
\item  On note $H$ la fonction définie sur [0~;~1] par 
\[H(x) = (2 - x)\text{e}^{x}\]
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la dérivée de $H$ et en déduire une primitive de $f$ sur [0~;~1].
		\item   Calculer, en cm$^2$, l'aire de la portion de plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et les deux axes. (On donnera la réponse exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près).
	\end{enumerate}
\item En traçant les courbes symétriques de $(\mathcal{C})$ par rapport aux deux axes de coordonnées et par rapport à l'origine, on obtient une courbe fermée qui sera prise comme contour du fond d'une boîte cylindrique de hauteur 10~cm. Calculer, en cm$^3$, au cm$^3$ près, le volume de la boîte.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Dans la production d'une entreprise on prélève 100~rouleaux de papier de tapisserie dont on mesure les longueurs. On obtient les résultats suivants :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.5cm}|*{7}{>{ \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Longueur en m& 	[9,93 ; 9,95[& [9,95 ; 9,97[&[9,97 ; 9,99[&[9,99; 10,01[& 	[10,01 ; 10,03[& 	[10,03 ; 10,05[& [10,05 ; 10,07[\\ \hline 
Effectifs&	5&	11&	23&	25&	19&	13& 	4\\ \hline
\end{tabularx}
								
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire l'histogramme de cette série.
\item  En remplaçant chaque classe par son centre affecté de l'effectif correspondant, calculer la moyenne et l'écart-type de cette série à $10^{-3}$ près. (Le détail des calculs n'est pas demandé).
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note X la variable aléatoire qui, à un rouleau pris an hasard, associe sa longueur exprimée en mètres. On admet que X suit une loi normale de moyenne $m = 10$ et d'écart-type $\sigma =  0,03$.

\begin{enumerate}
\item  Considérant que les rouleaux trop longs peuvent être recoupés, on décide qu'un rouleau est accepté si sa longueur est supérieure ou égale à $9,95$~m.

Calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, qu'un rouleau pris au hasard dans la production
	\begin{enumerate}
		\item  soit accepté.
		\item  soit refusé.
	\end{enumerate}
\item  Parmi les rouleaux acceptés, ceux dont la longueur est supérieure à 10,05~m sont recoupés avant expédition.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(9,95 \leqslant  \text{X} \leqslant 10,05)$ (on donnera l'arrondi à $10^{-2}$ près). 
		\item  Quelle est la probabilité qu'un rouleau pris au hasard dans la production soit accepté et expédié sans être recoupé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\textbf{ On admet dans cette partie que la probabilité qu'un rouleau pris au hasard dans la production soit refusé est} \boldmath  $0,05$. \unboldmath

On prélève au hasard 5~rouleaux dans la production. (Ce prélèvement est assimilé à un tirage de 5~rouleaux successivement avec remise). On appelle Y la variable aléatoire qui associe à chacun de ces prélèvements le nombre de rouleaux refusés parmi les 5.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la loi de probabilité de Y ? (\emph{On précisera ses paramètres}).

\item   Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité de chacun des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item  Parmi les 5~rouleaux, aucun n'est refusé. 
		\item  Parmi les 5~rouleaux, au moins un  est refusé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2003  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2003}{}

\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur - session 2003 \\Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

 Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 2~cm).

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(4.2,4)
\psaxes{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(4,4)
\uput[45](4,0){$C$}
\uput[90](3,0){$D$}
\uput[90](3,1){$B$}
\uput[45](0,3){$A$}
\psarc[linewidth=0.03](3,0){1}{0}{90}
\psplot[algebraic=true,linestyle=dotted,linewidth=0.05]{0}{3}{4/27*x^3 - 2/3*x^2+3}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère les points A(0~;~3), B(3~;~1), C(4~;~ 0) et D(3~;~0).

La courbe ci-dessus est constituée de deux parties :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
 \item La partie en trait continu est un quart de cercle de centre D et de rayon 1.
 \item La partie en trait pointillé est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~3].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{\textbf{Partie A : détermination de $\boldsymbol{f}$.}}\\
 La partie en trait pointillé doit satisfaire les conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
 \item elle passe par A et par B ;
 \item la tangente en A est parallèle à  l'axe des abscisses ;
 \item le raccordement avec la partie en trait continu doit être le plus régulier possible, c'est-à-dire que la tangente au cercle en B est aussi tangente à  la courbe en pointillé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Traduire ces quatre contraintes par quatre conditions sur la fonction $f$ et sa fonction dérivée~$f'$.

\item  Vérifier que la fonction $f_0$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par \\ $f_0 (x) = \dfrac{4}{27}\,x^3 - \dfrac{2}{3}\,x^2+3$ satisfait ces quatre conditions.

On admet alors que l'arc $\wideparen{\text{AB}}$ est la courbe représentative de $f_0$.

\item Calculer l'aire, en cm$^{2}$, de la surface délimitée par la courbe et les deux axes (\emph{arrondir à  l'unité}).

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\emph{Partie B : le plateau de table.}}

\medskip

En faisant subir à  la courbe une symétrie orthogonale par rapport à  l'axe des abscisses, puis à  l'ensemble une symétrie orthogonale par rapport à  l'axe des ordonnées, on obtient une courbe fermée T.

Cette courbe T constitue, à  l'échelle 1/5, le contour extérieur d'un plateau de table, réalisé dans un matériau de 6~cm d'épaisseur et dont la masse volumique est de 1,7~g/cm$^{3}$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer le volume en cm$^{3}$ du plateau, à  1 cm$^{3}$ près.

\item  Calculer sa masse en kg (\emph{arrondir à  $3$~décimales}).

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

Une entreprise d'agencement fabrique des tables. Une des machines débite les pieds des tables.

\medskip

\emph{\textbf{Partie A : étude d'un échantillon.}}

\medskip

Dans la production d'une journée, on étudie un échantillon de 200 pieds, dont on mesure le longueurs. On obtient la série suivante :

\medskip

\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Longueur en cm & [70,6 ; 70,7[ & [70,7 ; 70,8[ & [70,8 ; 70,9[ & [70,9 ; 71,0[ & [71,0 ; 71,1[ & [71,1 ; 71,2[ & [71,2 ; 71,3[ & [71,3 ; 71,4[ \\ \hline
Effectif & 2 & 6 & 20 & 40 & 48 & 48 & 32 & 4 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{small}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer, à  0,1~mm près, la longueur moyenne et l'écart-type de cette série.
\item Un pied de table n'est pas utilisable si sa longueur est inférieure à  70,8~cm. Quel est dans cet échantillon le pourcentage de pieds défectueux ?
\end{enumerate}

\medskip

\emph{\textbf{Partie B : réglage de la machine.}}

\medskip

La longueur moyenne des pieds peut varier d'un jour à  l'autre. La fabrication est jugée acceptable tant que la longueur moyenne des pieds est supérieure ou égale à  70,8~cm. Le tableau suivant contient les longueurs moyennes en cm des pieds au cours des 7~premiers jours de fabrication.

\medskip

\begin{center}
%\begin{scriptsize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Jour $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
Longueur moyenne $y_i$ & 71 & 70,99 & 70,98 & 70,97 & 70,95 & 70,92 & 70,90 \\ \hline
\end{tabularx}
%\end{scriptsize}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage des points $M_i\,(x_i ; y_i)$ dans un repère orthogonal, avec pour unités :
\begin{itemize}
\item[] En abscisse : 2~cm pour 1~jour.
\item[] En ordonnée : 1~cm pour 0,1~cm (commencer la graduation à  70,0~ cm).
\end{itemize}

\item  Un ajustement affine de ce nuage de points semble-t-il approprié ? Justifier.

\item  À l'aide de la calculatrice, donner :
	\begin{enumerate}
		\item le coefficient de corrélation entre $x$ et $y$ à  $10^{-2}$ près ;
		\item une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (\emph{arrondir les coefficients à  $4$~décimales}).
	\end{enumerate}
\item À l'aide de cette équation de droite, déterminer au bout de combien de jours il faudra à  nouveau régler la machine.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\emph{Partie C : les pièces défectueuses.}}
 
\medskip

Dans cette partie, on considère que la probabilité qu'un pied de table, pris au hasard dans la production, ne soit pas utilisable est $0,04$.

 On prélève dans la production, au hasard, et avec remise, un échantillon de 100~pieds.

 Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à  chaque prélèvement de 100 pieds le nombre de pieds défectueux.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.

\item  Calculer à  $10^{-3}$ près la probabilité de chacun des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item  Parmi les 100~pieds, aucun n'est défectueux.
		\item  Parmi les 100~pieds, au moins un est défectueux.
	\end{enumerate}
\item On décide d'approcher la loi de $X$ par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item  Préciser ses paramètres.
		\item  Calculer alors la probabilité qu'il y ait au plus un pied défectueux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2004  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2004}{}

\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2004\\ Agencement de l'environnement architectural }  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

Soit (E) l'équation différentielle

\[ 2y' + y = 4 \text{e}^{-0,5x},\]
 où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y'$ sa fonction dérivée première.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~: ~~ 2y' + y = 0$.

\item  Montrer que la fonction $h$ définie sur $\R$ par 
\[h(x) =  2x\text{e}^{-0,5x}\]
 est une solution particulière de (E).

\item  En déduire la solution générale de (E).

\item  Déterminer la fonction solution de (E) qui prend la valeur $1$ en $0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~ 4] par
\[ f(x) = (2x + 1)\text{e}^{-0,5x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 3~cm.

\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $f$ sur [0~;~ 4].

\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

\item Construire la droite T et la courbe $\mathcal{C}$.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ obtenue à l'exercice 1 représente à l'échelle 1/10 le contour du plateau d'un bureau de longueur 120~cm et dont la largeur maximale est d'environ 56,7~cm.

\begin{enumerate}
\item  Dans la production d'une journée, on prélève un échantillon de 50~plateaux dont on mesure les largeurs. On obtient les résultais suivants :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
longueur en cm&56&56,2&56,4&	56,6&56,8&57&57,2&57,4\\ \hline
effectifs&1&2&8&20&10&5&3&1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Calculer à $10^{-2}$ près la largeur moyenne et l'écart type de cette série.

\item  On note $X$ la variable aléatoire qui, à un plateau choisi au hasard dans la production, associe sa largeur exprimée en cm. On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $m =  56,7$ et d'écart type $\sigma = 0.3$.

Un plateau est déclaré conforme si sa largeur est comprise entre 56,2 ~cm et 57,2~cm. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité qu'un plateau pris au hasard dans la production soit conforme. 
		\item   En déduire la probabilité qu'il ne soit pas conforme.
	\end{enumerate}
\item Les plateaux sont conditionnés en paquets de 5~plateaux. On assimile la constitution d'un paquet à un tirage de 5~plateaux successivement avec remise. On admet que la probabilité qu'un plateau ne soit pas conforme est $0,1$. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui à chaque paquet de 5~plateaux associe le nombre de plateaux non conformes. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier le fait que $Y$ suit une loi binomiale ; donner ses paramètres.
		\item  Calculer à $10^{-2}$ près les probabilités $P(Y =  0)$ et $P(Y \leqslant  1)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2005  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2005}{}

\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2005\\ Agencement de l'environnement architectural }  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal  \Oij{} (unité graphique 1~cm). On considère la courbe $(\mathcal{C})$ (représentée ci-dessous) d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3~;~+ \infty[$ par
\[ f(x) = (ax + b)\text{e}^{0,25x}.\]
Les nombres réels $a$ et $b$ sont à déterminer.

\medskip

\psset{unit=0.7058cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(14,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-4)(14,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-3,-4)(14,4)
\psplot{-3}{1.2}{1.5 x mul 2 add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.1}{14}{2 x mul 2 add 2.71828 0.25 x mul exp div}
\end{pspicture}

\medskip

\textbf{Partie A : détermination, puis étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de la droite ($T$) passant par les points A de coordonnées (0~;~2) et B de coordonnées $(-2~;~- 1)$.

		\item Calculer la dérivée $f'$ de fa fonction $f$ en fonction des réels $a$ et $b$.

		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ sachant que la courbe $(\mathcal{C})$ passe par le point A et admet en ce point la droite ($T$) pour tangente.
	\end{enumerate}
\item Dans la suite du problème. on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3 ~;~ + \infty[$ par

\[f(x) = (2x +  2)\text{e}^{-0,25x}.\]

Calculer la dérivée de la fonction $f$, étudier son signe,  puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie  B : calcul du volume d'un solide de révolution puis fabrication.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 0$ et $x =  13$. On rappelle que le volume $V$ du solide de révolution engendré par la rotation du domaine $\mathcal{D}$ autour de l'axe des abscisses est en unités de volume :

\[V = \pi \int_{0}^{13}[f(x)]^2\:\text{d}x.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-3 ~;~ + \infty[$,  par $g(x) = [f(x)]^2 $	est telle que :

\[g(x) =  4\left(x^2 +2x+1\right)\text{e}^{-0,5x}.\]

		\item  Démontrer que la fonction $G$ définie sur l'Intervalle $[-3 ~;~ + \infty[$ par

\[G(x) =  -4\left(- 2x^2 - 12x  - 26\right)\text{e}^{-0,5x}\]
 est une primitive de la fonction $g$.

		\item  Calculer la valeur exacte du volume $V$ en unités dc volume, puis donner une valeur arrondie
à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}

\item	Une entreprise réalise un pied de lampe de salon, de la forme du solide étudié précédemment, par tournage sur une ébauche en bois plein composée d'éléments collés.

Ce pied de lampe est à l'échelle 3 par rapport au solide étudié dans la partie \textbf{B. 1.}.

Quelle est la valeur maximale en dm arrondie à $10^{-2}$ près du diamètre de cet objet ?
 
Quel est le volume en dm$^3$  d'un pied de lampe ?
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On prélève au hasard dans la production des pieds de lampe, un échantillon de taille $80$ ;  on mesure la masse de chacun. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant.

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
{\scriptsize\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Masse en kg & [5,1 ; 5,3]& [5,3 ; 5,5]& [5,5 ; 5,7]&  [5,7 ; 5,9]& [5,9 : 6,1]&[6,1 ; 6,3]&[6,3 ; 6,5]\\ \hline
Effectifs&	1 &	6 &	16 &	33 &	18 & 4&	2\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire l'histogramme de cette série

		\item  En remplaçant chaque classe par sa valeur centrale, calculer la moyenne puis l'écart type de cette série statistique arrondis à $10^{-2}$ près (le détail des calculs n'est pas demandé).
	\end{enumerate}
\item	On note $X$ la variable aléatoire qui, à un pied de lampe pris au hasard dans la production, associe sa masse en kg. On suppose que $X$ suit une loi normale de moyenne $5,8$ et d'écart type $0,22$.

(\emph{Les probabilités demandés seront arrondies à $10^{-2}$ près}).

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité qu'un pied de lampe choisi au hasard ait sa masse comprise entre 5,5~kg et 6,2~kg.
		\item   On décide de rejeter les pieds de lampe dont la masse est supérieure à 6,1~kg. Quelle est la probabilité pour qu'un pied de lampe pris au hasard soit rejeté ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une chaîne de magasins commercialise ces lampes de salon ;  elle souhaite étudier l'évolution du nombre de lampes vendues en fonction du nombre de magasins dans lesquels la lampe est proposée.

Le tableau suivant présente cette évolution.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de magasins $x_{i}$&15	&40&	70&	90&	100 &	150\\ \hline
Nombre de lampes vendues $y_{i}$&	60&	254&	362&	504&	615	&810\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
On décide d'ajuster cette série statistique à deux variables par la méthode des moindres carrés.

\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice le coefficient de corrélation de cette série. Est-on dans des conditions satisfaisantes pour réaliser un ajustement affine ?

\item 	Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y = mx + p$ avec $m$ et $p$ arrondis à $10^{-2}$ près.

\item 	En déduire une estimation du nombre de lampes vendues, si la chaîne présente celles-ci dans $400$~magasins.
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2006  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2006}{}

\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Agencement de l'environnement architectural juin 2006}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Un technicien doit réaliser un plan de travail destiné à  supporter du matériel informatique.

Ce plan de travail sera découpé dans un panneau MDF (panneau de fibres de bois de moyenne densité), puis recouvert de stratifié.

\medskip

\textbf{Partie A : Modélisation.}

\medskip

Le technicien dispose du schéma ci-dessous, représentant dans un repère orthonormal \Oij, la surface du plan de travail. L'unité représente \textbf{1 mètre} en vraie grandeur. Les dimensions réelles sont respectées au millimètre près.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psline[linewidth=0.03](0,0)(-1,0)(-1,1)(1.718,1)
\psplot[algebraic=true,linewidth=0.03]{0}{1.718}{(x+1)*ln(x+1)-x}
\uput[-90](2.5,0){$x$}
\uput[180](0,1.5){$y$}
\uput[-135](0,0){$O$}
\uput[-90](0.5,0){$\vec{\imath}$}
\uput[180](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\uput[-90](-1,0){$A$}
\uput[90](-1,1){$B$}
\uput[0](1.718,1){$C$}
\uput[-90](1,0){1}
\uput[135](0,1){1}
\psline[linewidth=0.03]{<->}(1,0)(0,0)(0,1)
\rput(1.5,-0.5){$\begin{array}{l}
O(0~;~0)\\
A(-1~;~0)\\
B(-1~;~1)\\
C(\text{e} -1~;~1)\\
\end{array}$}
\end{pspicture}
\end{center}

L'arc de courbe $\wideparen{OC}$ doit, de plus, vérifier les contraintes suivantes : 

\qquad a) Il doit être tangent en $O$ à  l'axe des abscisses. 

\qquad b) Il doit admettre en $C$ une tangente ayant pour coefficient directeur 1.

\medskip
Le technicien cherche à  modéliser l'arc $\wideparen{OC}$ à  l'aide d'une fonction dont la courbe représentative correspond à  cet arc.

Après plusieurs essais, il pense pouvoir utiliser la fonction $f$ définie sur $[0~;~\text{e}- 1]$ par:

\[ f(x) = (x+1) \ln(x+1) - x.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et $f(\text{e}- 1)$.

\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ sur $[0~;~\text{e} - 1$] est définie par $f'(x) = \ln (x+1)$.

\item À partir des résultats précédents, vérifier que la courbe $\cal C$, représentative de $f$ dans le repère \Oij, passe bien par les points $O$ et $C$ et satisfait aux contraintes a) et b) énoncées ci-dessus.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'(x)$. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.

\item Écrire l'équation de la tangente T à  la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ an point d'abscisse $\text{e} - 1$.

\item Recopier sur la copie puis compléter le tableau de valeurs suivant (les résultats seront donnés à  $10^{-3}$ près) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & $\text{e}-1$ \\\hline
$f(x)$ &  &  &  &  & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que la tangente T à  $\mathcal{C}$ au point C dans le repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 10~cm).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Calcul de la masse du plateau en MDF.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $G$ définie par $G(x) = \dfrac{(x + 1)^2}{2}\left(\ln( x + 1)-\dfrac{1}{2}\right)$ est une primitive sur l'intervalle $[0~;~\text{e}-1$] de la fonction $g$ définie par $g(x) = (x + 1)\ln(x + 1)$. En déduire   une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $[0~;~\text{e} - 1$].

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'aire (en unités d'aire) du domaine plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \text{e}- 1$.
		\item  En déduire l'aire, en m$^{2}$, du plateau découpé par le technicien (en donner une valeur approchée à  $10^{-3}$ près).
	\end{enumerate}
\item Calculer sa masse, à  dix grammes près, sachant que le panneau de MDF utilisé a une épaisseur de 40 mm et que sa masse volumique est de 750 kg/m$^{3}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Tous les résultats de cet exercice seront donnés à  $10^{-2}$ près}

\medskip

Les panneaux MDF de 40~mm d'épaisseur sont fabriqués en série par l'usine PANCOL.
\begin{enumerate}
\item Afin de vérifier le bon réglage de la chaîne de production, on a mesuré l'épaisseur, en mm, de 100~panneaux. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline
$x_i$ : épaisseur en mm & [39,7 ; 39,8[ & [39,8 ; 39,9[ & [39,9 ; 40,0[ & [40,0 ; 40,1[ & [40,1 ; 40,2[ & [40,2 ; 40,3] \\ \hline
$n_i$ : effectifs & 1 & 12 & 36 & 41 & 8 & 2 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
\end{center}

\medskip
Calculer la moyenne et l'écart-type de cette série statistique.\newline
(On remplacera chaque classe par son centre affecté de J'effectif correspondant).

Sachant que la tolérance relative à  l'épaisseur est de $\pm 0,20$ mm, calculer le pourcentage de panneaux acceptables du point de vue de leur épaisseur.
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à  chaque panneau pris au hasard dans la production, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $m = 40$ et d'écart-type $\sigma = 0,1$.\newline
Calculer la probabilité qu'un panneau pris au hasard :
	\begin{enumerate}
		\item  ait une épaisseur inférieure à  39,8~mm ;
		\item  soit acceptable, c'est-à -dire ait une épaisseur appartenant à  l'intervalle [39,80~;~40,20[ ;
		\item  ne soit pas acceptable.
	\end{enumerate}
\item On suppose désormais que la probabilité qu'un panneau ne soit pas acceptable est $p = 0,05$.

Un grossiste achète à  l'entreprise PANCOL les panneaux de MDF d'épaisseur 40 mm par lots de 200~panneaux. La constitution d'un lot est assimilée à  un tirage de 200~panneaux avec remise. Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à  chaque lot de 200~panneaux, associe le nombre de panneaux qui ne sont pas acceptables dans ce lot.

 Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ?\\
 Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $Y$.

\item On décide d'approcher la loi de probabilité de $Y$ par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est son paramètre ?
		\item  Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200 panneaux, tous les panneaux soient acceptables ?
		\item  Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200 panneaux, il y ait plus de 5~panneaux non acceptables ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2007  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2007}{}

\lfoot{\small{ Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
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\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2007\\ Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill $10$ points}

\medskip

Une entreprise fabrique des fermes industrielles. Elle désire étudier le phénomène de fluage (déformation en fonction du temps sous charge constante) du bois utilisé pour les poutres. Pour cela, elle utilise le modèle de Kelvin-Voigt :

Si l'on note $\epsilon$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ représentant la déformation sous charge constante en fonction du temps $t$, alors :

$\epsilon$ est la solution de l'équation différentielle :

\[\dfrac{\eta}{\text{E}}y'+y = \dfrac{\sigma}{\text{E}}\]
 
vérifiant la condition initiale $\epsilon(0) = 0$,
où $\sigma$ représente la contrainte ; $\eta$ et E sont des constantes dépendant du matériau utilisé.

On suppose que le bois utilisé a pour caractéristiques :	$\eta = 4 \times 10^9$~Mpa.s et E = \nombre{5000}~Mpa, et que la contrainte imposée dans le test est : $\sigma = 20$ ~Mpa, (Mpa : megapascal). Le temps $t$ est exprimé en secondes.

L'équation différentielle permettant de déterminer $\epsilon$ est donc :

\[8 \cdot 10^5 y' + y = 0,004 \quad  	(1).\]
 
\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle : $8 \cdot 10^5 y' + y = 0$ où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

\item Déterminer une fonction constante $g$, solution particulière de l'équation (1).
\item En déduire la solution générale de l'équation différentielle (1).
\item Déterminer $\epsilon$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On admet que pour tout $t$ dans $[0~;~+\infty[$ :

 \[\epsilon(t) = 	0,004\left(1 - \text{e}^{-1,25 \times 10^{-6}t}\right).\]
  
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction dérivée $\epsilon'$ de $\epsilon$ sur $[0~;~+\infty[$ est définie par $\epsilon'(t) = 5 \times  10^{-9}\text{e}^{-1,25 \times 10^{-6}t}$, puis en déduire le sens de variation de $\sigma$ sur son ensemble de définition.

\item  Tracer la courbe représentative de $\sigma$ dans le repère orthogonal \Oij{} (Unités graphiques : 1~cm représente $5 \times  10^5$~s sur l'axe des abscisses et 1~cm représente \nombre{0,0005} sur l'axe des ordonnées.)

\item  On admet que la déformation maximale est de 0,004. À partir de quelle valeur de $t$ la déformation atteint-elle 95\:\% de sa déformation maximale ?

Arrondir le résultat à 1~près.

Exprimer ce temps en jours (arrondir â 1 jour près).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 (10 points)}

\medskip

Certaines poutres nécessaires à la réalisation des fermes ont une section rectangulaire de largeur $180$~mm et de longueur $200$~mm. La tolérance est de $\pm~1$~mm, c'est-à-dire que l'on considère comme largeur acceptable toute valeur de l'intervalle [179~;~181J et comme longueur acceptable toute valeur de l'intervalle [199~;~201].


 \medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On réalise une étude de la largeur et de la longueur de la section des poutres d'un échantillon de $100$~poutres prises au hasard dans la production. Le tableau suivant indique dans chaque case le nombre de poutres correspondant aux intervalles indiqués.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{8}{>{\scriptsize\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\multicolumn{9}{c|}{	Largeurs mesurées (en mm)}\\ \hline
\multirow{9}{2ex}{\rotatebox{90}{Longueurs mesurées (en mm)}}&& [178 ; 178,5[& [178,5 ; 179[& [179 ; 179,5[ &[179,5 ; 180[& 	[180 ; 180,5[&[180,5 ; 181[& [181 ; 181,5[& [1815 ; 182[\\ \cline{2-10}
&[198 ; 198,5[&	&	&	&	&	&1	&&\\  \cline{2-10}
&[198,5 ; 199[&	&	&1	&1	&2	&1	&&\\  \cline{2-10}
&[199 ; 199,5[&1	&1	&4	&4	&6	&2	&&1\\  \cline{2-10}
&[199,5 ; 200[&	&	&7	&11	&9	&7	&&\\  \cline{2-10}
&[200 ; 200,5[&	&1	&5	&9	&6	&7	&&1\\  \cline{2-10}
&[200,5 ; 201[&	&	&1	&2	&2	&1	&&\\  \cline{2-10}
&[201 ; 201,5[&	&1	&	&1	&1	&1	&&\\  \cline{2-10}
&[201,5 ; 202[&	&	&1	&	&1	&	&&\\  \hline
\end{tabularx}

\medskip
On considère une poutre prise au hasard dans l'échantillon.

\begin{enumerate}
\item  On note I l'évènement: \og la poutre a une section de largeur acceptable \fg.

Calculer $P$(I). 
\item  On note E l'évènement : \og la poutre a une section de largeur et de longueur acceptables \fg.

Montrer que $\dfrac{83}{100} \leqslant  P(\text{E}) \leqslant  \dfrac{86}{100}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On admet que la probabilité qu'une poutre, prise au hasard dans la production, soit conforme, est $0,9$.

La construction d'une ferme nécessite 15~poutres de ce type.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 15~poutres, associe le nombre de poutres conformes. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile cette expérience à une succession de 15~tirages avec remise. 
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la loi suivie par $X$ ? Préciser les paramètres de cette loi. 

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que, dans un lot de 15~poutres choisies au hasard, toutes les poutres soient conformes.
		
Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ près.
		\item  Calculer la probabilité que, dans un lot de 15~poutres choisies au hasard, il y ait au plus une poutre non conforme. Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

Une commande nécessite \nombre{1500} poutres. On veut évaluer la probabilité que le nombre de poutres non conformes soit d'au plus $160$.

On note $X'$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de \nombre{1500}~poutres, associe le nombre de poutres conformes.
  
On admet que $X'$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(\nombre{1500}~;~0,9)$. 
\begin{enumerate}
\item  En quoi le calcul de $P(X'> \nombre{1340})$ est-il \og difficile \fg{} ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour ce calcul, on décide d'approcher la loi de $X'$ par une loi normale. Préciser les paramètres de cette loi. On notera $Y$ la variable aléatoire qui suit cette loi.
		\item   Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(Y> \nombre{1340})$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2008  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2008\\ Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle :

\[(\mbox{E}) : y'+ 2 y = -x\text{e}^{-3x}\]
où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $(\mbox{E}_0)$ :
\[(\mbox{E}_0) : y'+ 2y = 0.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $h$, définie sur $\R$ par
\[h(x) = (x + 1)\text{e}^{-3x}\]
est une solution particulière de (E).
		\item En déduire la solution générale de (E).
		\item Déterminer la solution de (E) qui prend la valeur $0$ en $x = -1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1~;~1]$ par 
\[f (x) = (x + 1)\text{e}^{-3x}.\]
On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal (unité graphique : 3~cm).

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ sur $[-1~;~1]$.
\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}$.
\item  Montrer que la fonction $F(x) = -\dfrac{1}{9}\, (3x + 4)\text{e}^{-3x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle donné.
\item Calculer en cm$^{2}$ l'aire du domaine D limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe $x'$O$x$ et les droites d'équation $x = -1$ et $x = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une entreprise décide de réaliser un vase pour un jardin en utilisant la forme obtenue en  faisant tourner le domaine D autour de l'axe $x'$O$x$. Cette forme sera une représentation à  l'échelle 
1 : 10 du vase. On rappelle que le volume du solide de révolution engendré par la rotation du domaine est en unités de volumes : \\$\displaystyle V = \pi \int_{-1}^{0} [f(x)]^2 \,\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $f^2$ qui à  $x$ associe $[f(x)]^2$ .
Vérifier que la fonction $g$ définie sur $[-1~;~1]$
par $g (x) = \left (-\dfrac{1}{6}\,x^2 - \dfrac{7}{18}\, x - \dfrac{25}{108}\right )\text{e}^{-6x}$  est une primitive de $f^2$.
\item  Calculer le volume du vase en m$^3$ à  $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des pieds métalliques pour des tables. Dans la production d'une journée, on  étudie un échantillon de 120~pieds dont on mesure les longueurs. On obtient la série suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Longueur en mm & 699,4 & 699,6 & 699,8 & 700,0 & 700,2 & 700,4 & 700,6 \\ \hline 
 Effectif & 3 & 18 & 12 & 46 & 20 & 19 & 2 \\  \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer au 1/10 de millimètre près la moyenne puis l'écart type de cette série.

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à  un pied de table pris au hasard dans la production, associe sa  longueur et on admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 700$ et d'écart type $\sigma = 0,25$. 

Un pied est estimé conforme si sa longueur appartient à  l'intervalle [699,6~;~700,4].

\medskip

\item Calculer, à  $10^{-2}$ près, la probabilité $P(699,6 \leqslant X \leqslant 700,4)$.

\item En déduire la probabilité qu'un pied, pris au hasard dans la production, ne soit pas conforme.

\medskip

Ces pieds sont conditionnés par lot de 4. On considère que le nombre de pieds produits est  suffisamment important pour permettre d'assimiler un lot à  un tirage de 4 pieds choisis au hasard 
et avec remise.

\smallskip

\emph{On admet désormais que la probabilité qu'un pied, pris au hasard dans la production, ne  soit pas conforme est $0,10$.}

\smallskip

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à  chaque lot de 4 pieds, associe le nombre de pieds non  conformes.

\medskip

\item Justifier le fait que la variable $Y$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres. 
\item Calculer, à  $10^{-2}$ près, les probabilités $P(Y = 0)$ et $P(Y \le 1)$.
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2009  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2009}{}

\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2009\\ Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{Un artisan fabrique des boules en bois de diamètre 50 mm, destinées à un fabricant de jouets. Après tournage, les boules sont matées et polies dans des rouleaux. C'est ensuite que sont contrôlés les diamètres de celles-ci. Le cahier des charges du fabricant de jouets impose que le diamètre d'une boule soit compris entre 49,5 et 50,5~mm. Une telle boule sera déclarée \og conforme \fg. 
 \begin{enumerate}
\item On prélève au hasard dans la production hebdomadaire de l'artisan un échantillon de 100~boules que l'on passe au crible pour les calibrer. Les résultats sont résumés dans l'histogramme donné ci-contre. 
Calculer à $10^{-2}$ près la moyenne $m$ et l'écart type $\sigma$ de cette série. (On ne demande pas de justifier les calculs, mais on expliquera quelle valeur on choisit pour chacune des classes).\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(48.8,-2)(51,40)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(48.8,0)(51,0)
\psaxes[Ox=48.8,Dx=0.2](48.8,0)(48.8,0)(51,0)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](49,0)(49.2,1) \uput[u](49.1,1){1} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](49.2,0)(49.4,2) \uput[u](49.3,2){2} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](49.4,0)(49.6,5) \uput[u](49.5,5){5} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](49.6,0)(49.8,5) \uput[u](49.7,5){5}
 \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](49.8,0)(50,26) \uput[u](49.9,26){26} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](50,0)(50.2,36) \uput[u](50.1,36){36} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](50.2,0)(50.4,19) \uput[u](50.3,19){19} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](50.4,0)(50.6,6) \uput[u](50.5,6){6}
\uput[u](51,0){$x$}
\end{pspicture}} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{2.}]  On choisit au hasard une boule parmi toutes celles de la production hebdomadaire, et on note X la variable aléatoire qui associe à la boule en question son diamètre exprimé en mm.
 
On admet que $X$ suit la loi normale de paramètres $m = 50$ et $\sigma = 0,3$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer à $10^{-3}$ près la probabilité que la boule choisie soit conforme. 
\item En déduire la probabilité qu'elle ne le soit pas.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Pour la suite on considérera que la probabilité qu'une boule ne soit pas conforme est \boldmath $0,10$ \unboldmath.} 
\item[\textbf{3.}]  Le fabricant a besoin de 4~boules pour compléter chacun de ses jouets. La constitution d'un lot de 4~boules est assimilé au tirage successif de 4~boules au hasard dans la production hebdomadaire. Le nombre total de boules est suffisamment important pour que l'on considère que ce tirage se fait \og  avec remise \fg.
 
On choisit un lot de 4~boules au hasard et on note $Y$ la variable aléatoire qui lui associe le nombre de boules non conformes. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle loi suit $Y$ ? On précisera les paramètres de celle-ci.

\medskip
		 
\textbf{Chacun des calculs suivants sera présenté en utilisant les notations de l'énoncé, et on donnera une valeur approchée du résultat à \boldmath $10^{-2}$\unboldmath~ près :} 
		\item Calculer la probabilité que toutes les boules soient conformes dans le lot choisi.
 
Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une boule non conforme dans le lot choisi.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit (E) l'équation différentielle 
\[y' - 2xy = - 4x^2 + 2,\]
 où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ et $y'$ sa fonction dérivée.
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle sans second membre (E$'$) associée : 
\[y' - 2xy = 0\] 
\item  	Trouver les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur $\R$ par \mbox{$g(x) = ax + b$} soit une solution particulière de l'équation complète (E) puis en déduire l'ensemble des solutions de cette équation. 
\item  Déterminer la fonction $f$ solution de (E) qui prend la valeur $1$ en $0$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~2]$ par 
\[f(x) = \text{e}^{x^2} + 2x\]

 et on nomme $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2~cm.
  
On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[-2~;~2]$ par 
\[h(x) = x\text{e}^{x^2} + 1\] 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la dérivée de la fonction $h$. 
		\item  Étudier le signe de la fonction $h'$. En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$. 
		\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-2~;~2]$, notée $\alpha$ et en donner une valeur approchée au centième. 
		\item En déduire le signe de la fonction $h$ sur cet intervalle.
\end{enumerate}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $f$ et montrer que, pour tout $x$ de $[-2~;~2]$,  $f'(x ) = 2 h(x)$. 
		\item En déduire le tableau de variations de $f$. 
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$. Déterminer à $10^{-2}$ près la valeur de $x$ pour laquelle $f$ atteint son minimum.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe  $(\mathcal{C})$ au point d'intersection de celle-ci avec l'axe des ordonnées. 
		\item Représenter cette tangente sur le graphique. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2010  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2010}{}

\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2010\\ Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Dans une pièce, la température est de 22\:\degres C à 23~h quand on éteint le chauffage. Nous allons étudier l'évolution de la température dans cette pièce au cours de la nuit.
 
Nous supposerons que la température extérieure est constante, toujours égale à $T_{\text{ext}} = 10$\:\degres C. 

Soit $t$ le temps écoulé depuis 23~h, exprimé en heures. La température dans le bureau est une fonction $f$ de la variable $t$, définie sur l'intervalle [0~;~8]. Elle est solution de l'équation différentielle: 

\[Cy' + \lambda y = \lambda T_{\text{ext}},\]
 
où $C$ est la capacité thermique globale de la pièce et $\lambda$ la conductivité thermique globale du mur donnant sur l'extérieur.
 
On admettra que l'équation s'écrit alors: 

\[(E) \quad  y' + 0,15 y = 1,5.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle: 

\[y' + 0,15 y = 0.\]
 
		\item  Déterminer une fonction constante $g$, sous la forme $g(t) = b$ où $b$ est un nombre réel, qui soit solution particulière de l'équation $(E)$. 
		\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. 
		\item  Déterminer la fonction 1 solution de l'équation $(E)$, qui vérifie la condition initiale :
		 
\[f(0) = 22.\]

	\end{enumerate} 
\item 	On admettra dans la suite que $f$ est la fonction définie sur $[0~;~8]$ par :
 
\[f(t) = 10 + 12\text{e}^{-0,15t}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~8]$. 
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. On prendra comme unités graphiques 2~cm pour 1~h en abscisse et 1~cm pour 1\:\degres C en ordonnée. 
		\item Au bout de combien de temps la température devient-elle inférieure à 16\:\degres C ? En déterminer la valeur exacte à l'aide d'une inéquation. Quelle heure sera-t-il (arrondir à l'heure près) ?
	\end{enumerate} 
\item À chaque instant $t$, le flux de chaleur vers l'extérieur est donné, en MJh$^{-1}$ (mégajoule par heure), par la fonction $j$ définie sur $[0~;~8]$ par :
 
\[j(t) = \lambda\left[f(t) - T_{\text{ext}}\right] = 2,88\text{e}^{-0,15t}.\]
 
L'énergie dissipée à l'extérieur entre 23~h et 7~h, exprimée en MJ, s'obtient en calculant : 

\[E_{d} = \int_{0}^8 j(t)\:\text{d}t.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte $E_{d}$. 
		\item En donner une valeur approchée à 0,1 MJ près par défaut.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
Une entreprise effectue des travaux d'isolation chez des particuliers. Elle souhaite évaluer son potentiel d'activité dans une ville. Pour cela, elle demande à 100~personnes choisies au hasard de faire le test suivant : une pièce, préalablement portée à une température convenue, est laissée toute une nuit sans chauffage. Le matin, on relève sa température.
 
L'entreprise obtient comme résultats, arrondis au degré le plus proche :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Températures (\degres C)& 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20\\ \hline 
Effectifs &1 &4 &12 &21 &25 &22 &10 &5\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
On distingue alors trois catégories de maisons, selon la température $T$ relevée le matin :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Si $18 \leqslant T$, l'isolation est satisfaisante (catégorie 1). 
\item  Si $15 \leqslant T < 18$, des économies d'énergie pourraient être réalisées, mais elles ne compenseraient pas les coûts des travaux (catégorie 2). 
\item  Si $T < 15$, les propriétaires ont tout intérêt à faire rénover l'isolation de leur maison (catégorie 3).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  Sans justification, calculer la moyenne de la série statistique. Calculer ensuite une valeur arrondie de l'écart type de la série statistique à $0,1$~près. 
\item  	Soit $X$ la variable aléatoire qui, à une maison choisie au hasard dans la ville, associe la température que l'on aurait relevée le matin, si la maison avait subi le test thermique.
 
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 17$ et d'écart type $\sigma = 1,5$.
 
On choisit une maison au hasard. Déterminer la probabilité à \nombre{0,0001}~près, que : 
	\begin{enumerate}
		\item La maison soit dans la catégorie 3 ; 
		\item La maison soit dans la catégorie 2.
	\end{enumerate} 
\item On admet désormais que la probabilité qu'une maison soit dans la catégorie 3 est de $0,1$.
 
L'entreprise s'intéresse principalement aux maisons de la catégorie 3.

Chaque jour, des études thermiques sont menées dans 30~maisons choisies au hasard. La taille de la ville permettra de considérer les études comme étant indépendantes.
 
On définit une variable aléatoire $Y$ qui, à un jour donné, associe le nombre de maisons de catégorie 3. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi de probabilité la variable aléatoire $Y$ suit-elle ? Justifier votre réponse, en précisant les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité qu'au plus deux études menées dans une journée diagnostiquent une maison de catégorie 3. Donner une valeur arrondie à $0,01$~près. 
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$. Que représente ce nombre ?
	\end{enumerate} 
\item Pour faciliter les calculs, on approche la loi de probabilité $Y$ par une loi de Poisson notée $Z$. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le paramètre $\lambda$ de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité qu'au moins $5$ des études concernent des maisons de catégorie 3.
		 
Donner une valeur arrondie à $0,01$~près. Quelle interprétation l'entreprise peut-elle faire de ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   2011   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hypertarget{2011}{}

\lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}}
\rfoot{\small{mai 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2011\\ Agencement de l'environnement architectural}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Nous allons étudier l'évolution de la concentration dans le sang d'un médicament ingéré par une personne pour la première fois. Soit $t$ le temps (en heures) écoulé depuis l'ingestion du produit. Cette concentration en grammes par litre de sang est une fonction $f$ de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et est solution de l'équation différentielle : 

\[(\text{E}) :\quad  y'(t) + y(t) = a\text{e}^{-t},\, \text{avec la condition initiale :}\, f(0) = 0.\]
 
($a$) est une constante positive dépendant de la personne elle-même et de la quantité de médicament absorbée.)
 
On suppose que : $a = 5$, l'équation (E) s'écrit : $y'(t) + y(t) = 5\text{e}^{-t}$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'(t) + y(t) = 0$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
\item Soit la fonction $g$, définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 5t\text{e}^{-t}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $g'(t) = 5(1 - t)\text{e}^{-t}$. 
		\item Vérifier que $g$ est une solution particulière de (E).
	\end{enumerate} 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E). 
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation (E), vérifiant la condition initiale f(0) = 0.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 
On admettra dans la suite que $f$ est la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : $f(t) = 5t\text{e}^{-t}$. 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~ +\infty[$. 
\item La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (2~cm pour 1~h en abscisse et 5~cm pour 1~gramme par litre en ordonnée) est fournie en annexe 1.
 
Représenter graphiquement le maximum de la fonction ainsi que la tangente à la courbe en ce sommet. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Comment interpréter médicalement ce résultat ? 
\item Pour une concentration supérieure à un gramme par litre de sang, il y a un risque de somnolence. Déterminer \textbf{graphiquement} la période correspondant à ce risque.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : 

\[F(t) = -5e-t - f(t).\]

Vérifier que c'est une primitive de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$. On rappelle que $f$ est solution de l'équation (E). 
\item La concentration moyenne du médicament (en grammes par litre de sang) durant la première heure est donnée par : $T_{m} = \displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t$.
 
Calculer cette concentration moyenne (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01~près.) 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
\begin{center} \emph{Les trois parties sont indépendantes. Les résultats seront donnés à $0,001$ près}\end{center}
 
Une entreprise dispose d'une machine pour produire des tiges métalliques.
 
Une tige métallique est déclarée conforme si sa longueur est comprise entre $19,5$ et $20,5$ cm.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $L$ la variable aléatoire qui, à chaque tige métallique produite, associe sa longueur. On suppose que $L$ suit une loi normale de moyenne 20 et d'écart-type $0,3$.
 
Calculer la probabilité qu'une tige métallique produite soit conforme.
 
\textbf{Partie B}

\medskip 
On suppose que la probabilité qu'une pièce produite soit non conforme est de $0,1$.
 
On prélève au hasard dans la production de tiges métalliques produites un échantillon de 50~tiges. La production est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille 50 associe le nombre de tiges non conformes.
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X, dont on précisera les paramètres? (Justifier.) 
\item Calculer la probabilité que l'échantillon comporte au plus une tige non confonne. 
\item On admet que la loi $X$ peut être approchée par une loi de Poisson nommée $Z$. Quel est le paramètre de cette loi ? 
\item En utilisant la variable aléatoire $Z$, calculer la probabilité que l'échantillon comporte au moins trois tiges non conformes.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
Pour vérifier le dérèglement éventuel de la machine, une tige témoin est prélevée toutes les demi-heures. On obtient ainsi les résultats suivants: ($t = 0$ correspondant à 9 h.)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t_{i}$ : temps en \emph{heure}& 0 &0,5 &1 &1,5 &2 &2,5 &3 &3,5 &4\\ \hline 
$L_{i}$ : Longueur de la tige témoin en \emph{cm}&20,01 &20,04 &20,07 &20,15 &20,18 &20,22 &20,25 &20,31 &20,35\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(t_{i}~;~L_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan. (On utilisera l'annexe fournie avec une unité pour une demi-heure en abscisse et une unité pour 0,05~cm et l'origine est (0~;~20). 
\item Un ajustement affine de ce nuage de points semble-t-il approprié ? (Justifier.) 
\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation, sous la forme : $L = at + b$, de la droite d'ajustement affine de $L$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira $a$ au millième et $b$ au millième).

Tracer cette droite. 
\item La machine doit être systématiquement réglée dès que la tige témoin devient non conforme.
 
En utilisant l'ajustement affine précédent, déterminer l'heure à laquelle il faudra régler la machine. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 : exercice 1 : courbe repr\'esentative de}\, \boldmath $f$ \unboldmath

\vspace{0.25cm}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8.5,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(8.5,2.1)
\uput[d](8.5,0){$h$}\uput[l](0,2.1){$g/l$}
\multido{\n=-0.50+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.5)(\n,2.1)}
\multido{\n=-0.5+0.1}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-0.5,\n)(8.5,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.09}{8.5}{5 x mul 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 : exercice 2}

\vspace{0.25cm}

\psset{xunit=1.6cm,yunit=15cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(8.5,0.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Oy=20,Dy=0.05,comma=true]{->}(0,0)(-0.5,-0.1)(8.5,0.6)
\uput[d](8.5,0){$t$ en $s$}
\uput[l](0,0.6){$L$ en $cm$}\uput[ul](0,0){20}
\multido{\n=-0.50+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.10)(\n,0.60)}
\multido{\n=-0.100+0.025}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-0.5,\n)(8.5,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}