%!-*-coding:latin-1-*-
\documentclass[10pt,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
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\geometry{paper=a4paper,margin=1cm,includeheadfoot,headsep=0.25ex}
\usepackage{kpfonts}
\usepackage{fourier}
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\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%%%%%%%%% Mise en forme des nombres
\usepackage[autolanguage]{numprint}
\usepackage{siunitx}
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\sisetup
{%
  output-decimal-marker={,},%
  load-configurations=abbreviations,%
  input-symbols=\pi,%
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  inter-unit-separator={}\ensuremath{\cdot{}},%
  %per-mode=symbol,%
  %per-symbol={\text{/}},%
}
\usepackage{multicol}
%%%%%%%%%% Couleur 
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\colorlet{BleuOli}{black!25!blue}

\usepackage{pstricks-add,pst-eucl}
%%%%%%%%% Mise en forme des environnements
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\mdfsetup
{%
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  xcolor,%
}%
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S - Corrigé},
pdftitle = {Baccalauréat S -  2015},
allbordercolors = white,
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\usepackage{graphicx}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% style des en-têtes
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[pagestyles]{titlesec}
\newpagestyle{StyleOli}[\small\sffamily]%
{%
  \setheadrule{0.4pt}\setfootrule{0.4pt}%ligne d'entête et de pied de pages
  \sethead[][][\sectiontitle]% pages impaires
  {\chaptertitle}{}{}% pages paires
  \setfoot[][][\thepage]
  {\thepage}{}{}
}

\usepackage{keyval}
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%%%%%%%%%%%%% Francisation
\frenchbsetup%
{%
%StandardItemLabels=true,%
ItemLabels=\textbullet,%
}%
\renewcommand{\labelenumi}{\FrenchEnumerate{\theenumi}}%{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}

%%%%%%%%%% Partie
\newcounter{Partie}%
\newcommand*{\Partie}[1]%
{%
\goodbreak%
\textsf{\textcolor{BleuOli}{\large Partie \Alph{Partie}. #1}}%
\addtocounter{Partie}{1}%
}%

%%%%%%%%%%% Enonce et Corrige
\Newassociation{Corrige}{CORRIGE}{Cor} % 
\newcounter{mdExercice}
\setcounter{mdExercice}{1}

\newcommand{\carreEntoure}[1]
{%
\resizebox{!}{1em}{%
\begin{pspicture}(0,0)(1,1)
  \psframe[linecolor=#1,linewidth=1.2pt](0,0)(1,1)
  \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=#1,linewidth=0.8pt](0.2,0.2)(0.8,0.8)
\end{pspicture}}%
}%
\newcommand{\enonceTitre}[1]
{%
  \begin{minipage}{1.0\linewidth}
    \carreEntoure{#1} \textcolor{#1}{\large \bfseries \sffamily Exercice
      \themdExercice.}\refstepcounter{mdExercice}%
  \end{minipage}
  \raisebox{2pt}{\textcolor{#1}{\rule{\linewidth}{1.5pt}}}
}%
\newenvironment{Enonce}
{%
  \setcounter{cptCalcForm}{1}
  \goodbreak
  \vspace*{0.25em}%
  \setcounter{Partie}{1}
  \enonceTitre{BleuOli}%
  \vspace*{0.5em}%
}%
{%
%\vspace*{1em}%
}%

\renewcommand{\CORRIGElabel}[1]
{%
  \begin{minipage}{1.0\linewidth}
    \carreEntoure{BleuOli!50} \textcolor{BleuOli!50}{\large \bfseries \sffamily
      Corrige de l'exercice #1.}\par
    \raisebox{2pt}{\textcolor{BleuOli!50}{\rule{\linewidth}{1.5pt}}}
  \end{minipage}
}%
 \renewenvironment{CORRIGE}[1]%
 {%
  \begin{minipage}{1.0\linewidth}
    \carreEntoure{BleuOli!50} \textcolor{BleuOli!50}{\large \bfseries \sffamily
      Corrige de l'exercice #1.}\par
    \raisebox{2pt}{\textcolor{BleuOli!50}{\rule{\linewidth}{1.5pt}}}
  \end{minipage}
%   \corrigeTitre{BleuOli}
 }%
{}


%%%%%%%%%%% environnement Document
\newcounter{cptOliDocu}
\setcounter{cptOliDocu}{1}
\newmdenv[%
backgroundcolor=Wheat!50,%
linecolor=Wheat,%black,%
frametitleaboveskip=0.4ex,%
frametitlebelowskip=0.5ex,%
frametitlerule=true,%
frametitlerulewidth=2pt,%
frametitlefont={\large\bfseries\sffamily},%
%innertopmargin=0.5ex,%
% leftmargin=ex,%
% rightmargin=0.2ex,%
roundcorner=2pt,%
linewidth=2pt,% 
font={\itshape},
]{doc@oli}



\newenvironment{Document}[1]%
{\begin{doc@oli}%
[frametitle={\hspace{-1ex}\textcolor{BleuOli!50}{Document
    \thecptOliDocu. --- #1}\refstepcounter{cptOliDocu}}]
}
{\end{doc@oli}}

%%%%%%%%%%%%% Calcul Formel
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Calcul Formel dans le corps du texte BTS GrpB
%% en typewriter, y compris la fraction.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand*{\CF}[1]{\texttt{#1}}

\newcounter{cptCalcForm}
\setcounter{cptCalcForm}{1}
\newcommand{\inputCF}[1]{(\%i\thecptCalcForm) #1 ;\par}
\newcommand{\outputCF}[1]{(\%o\thecptCalcForm) #1
 \refstepcounter{cptCalcForm} ;}
\newmdenv[%
rightmargin=0.1\linewidth,%
leftmargin=0.1\linewidth,%
linecolor=black,%
font={\ttfamily\small},
]{calculFormel}

\newcommand{\fracCF}[2]{\frac{\mathtt{#1}}{\mathtt{#2}}}
 


\newcommand{\R}{\mathbb  R}\newcommand{\ortho}%
 {%
 \left(O\,;\,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)
 }%

% Symbol de l'exponentielle
\DeclareMathOperator{\e}{e}
% symbole de dérivation
\DeclareMathOperator{\dd}{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}\,}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% redfinition de la commande \bar
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Intervalle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\makeatletter
\def\@leftdelim{\left[}%
\def\@rightdelim{\right]}%
\def\@binf{0}%
\def\@bsup{1}%
\def\@sep{;}%
\def\@esp{\,}%rajouté par mes soins

\define@key[Intervalle]{fam}{esp}[\,]{%
\def\@esp{#1}%
}%


\define@key[Intervalle]{fam}{inf}[0]{%
\def\@binf{#1}%
}%

\define@key[Intervalle]{fam}{sup}[1]{%
\def\@bsup{#1}%
}%

\define@key[Intervalle]{fam}{sep}[;]{%
\def\@sep{\mathop{#1}}%
}%

\define@key[Intervalle]{fam}{openA}[none]{%
\def\@leftdelim{\left]}%
}%

\define@key[Intervalle]{fam}{closeA}[none]{%
\def\@leftdelim{\left[}%
}%

\define@key[Intervalle]{fam}{openB}[none]{%
\def\@rightdelim{\right[}%
}%

\define@key[Intervalle]{fam}{closeB}[none]{%
\def\@rightdelim{\right]}%
}%

\define@key[Intervalle]{fam}{open}[none]{%
\def\@leftdelim{\left]}%
\def\@rightdelim{\right[}%
}%

\define@key[Intervalle]{fam}{close}[none]{%
\def\@leftdelim{\left[}%
\def\@rightdelim{\right]}%
}%

\newcommand{\setintervalle}[2]{%
\expandafter\def\csname intervalle#1\endcsname{%
\setkeys[Intervalle]{fam}{#2}%
\@leftdelim{\@binf\@esp\@sep\@esp\@bsup}\@rightdelim}
}
\makeatother

% Symbol i
\DeclareMathOperator{\iComplexe}{i}


\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% DEFINITION DES CLES
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\define@key{apmepQCM}{nbcol}{\def\apmepQCM@nbcol{#1}}
\define@key{apmepQCM}{style}{\def\apmepQCM@style{#1}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% VALEURS PAR DEFAUT DES CLES
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setkeys{apmepQCM}{nbcol=2,style=rep}
\def\apmepQCM@default{default}
\def\apmepQCM@rep{rep}
\def\apmepQCM@square{square}
\def\apmepQCM@boxed{box}
%% Numérotation des item dans le QCM 
\newcounter{cptapmepQCM}
\newenvironment{apmepQCM}[2][]
{%
\begingroup%
% Affectation des nouvelles clés dans l'environnement
\setkeys{apmepQCM}{#1}
% Le nombre  de colonnes est optionnel, et vaut deux par défaut.
% #1 argumet key=val
% #2 la question du QCM
% Issue d'une discussion avec pg sur mathematex
% On sauvegarde le contenu de #1 dans une macro
  % On écrit #2
   \begin{trivlist}\item  #2%
     \ifnum \apmepQCM@nbcol=1 \else\begin{multicols}{\apmepQCM@nbcol}\fi%
       \usecounter{cptapmepQCM}%
       \ifx \apmepQCM@style\apmepQCM@default%
       \renewcommand{\makelabel}[1]{\alph{cptapmepQCM}. ##1}
       \fi
       \ifx \apmepQCM@style\apmepQCM@rep%
       \renewcommand{\makelabel}[1]{\bsc{Rép.}~\Alph{cptapmepQCM}. ##1}
       \fi
       \ifx \apmepQCM@style\apmepQCM@square%
       \renewcommand{\makelabel}[1]{\ding{113} ##1}
       \fi
       \ifx \apmepQCM@style\apmepQCM@box%
       \renewcommand{\makelabel}[1]{\fbox{\bsc{Rep.}~\Alph{cptapmepQCM}. ##1}}
       \fi
     }%
     {%
     \ifnum \apmepQCM@nbcol = 1 \else \end{multicols} \fi%
   \end{trivlist}%
   \endgroup
}%
\makeatother


\begin{document}
\lhead{\small{BTS groupe B1}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{9 novembre 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BTS groupe B1 Nouvelle Calédonie~\decofourright\\
9 novembre 2015}}
\end{center}
\setlength{\parindent}{0pt}

\begin{Enonce}
  \setintervalle{A}{close,inf=0,sup=2}

  \begin{center}
    \bfseries Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées
    de façon indépendantes.

    Dans cet exercice, les résultats approchés seront arrondis à
    $\num{e-3}$.
  \end{center}

\Partie{Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle (\ref{eq_GrpA_15Ca}) :
  \begin{equation}
    y'' + 2y' + y = 0 \tag{E}\label{eq_GrpA_15Ca},
\end{equation}
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$,
définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $\R$, $y'$ la
fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
    	\item Résoudre dans $\R$ l'équation $r^2 +2r+1 = 0$.
    	\item En déduire les solutions de l'équation différentielle
      (\ref{eq_GrpA_15Ca}).  On fournit les formules suivantes.
      \begin{Document}
        \centering
        \begin{tabular}{|*{2}{m{0.45\linewidth}|}}
          \hline
          Équation & Solutions sur un intervalle $I$ \\
          \hline
          Équation différentielle :

          $ay'' + by' + c = 0.$

          Équation caractéristique :
        
          $ar^2 + br +c = 0 $ de discriminant $ \Delta$.
                   &
          \begin{itemize}
          \item Si $\Delta > 0$,
            $y(t) = \lambda \e^{r_1 t} + \mu \e^{r_2 t}$,
            où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de
            l'équation caractéristique.
          \item Si $\Delta + 0$,
            $y(t) = (\lambda t + \mu) \e^{r t}$, où $r$ est
            la racine de l'équation caractéristique.
          \item Si $\Delta < 0$,
            $y(t) = \left[\lambda \cos{\beta t} + \mu
              \sin(\beta t)\right]\e^{\alpha t}$,
            où $r_1 = \alpha + \iComplexe \beta$ et
            $r_1 = \alpha - \iComplexe \beta$ sont les
            racines complexes conjuguées de l'équation
            caractéristique.
          \end{itemize}
          \\
          \hline
        \end{tabular}
        % \caption{ }
        % \label{tab_GrpB_15A}
      \end{Document}
    \end{enumerate}
\item On a représenté dans la figure \ref{fig_GrpB_15Ca}, à l'aide
    d'un logiciel, trois solutions $f_a$, $f_b$ et $f_c$ de l'équation
    différentielle (\ref{eq_GrpA_15Ca}) avec :
    \begin{itemize}
    \item $f_a(x) = (2x+3)\e^{-x}$ ;
    \item $f_b(x) = \e^{-x} $ ;
    \item $f_c(x) = (4x+5)\e^{-x} $.
    \end{itemize}
    
    Associer à chacune des fonctions $f_a$, $f_b$ et $f_c$ sa courbe
    représentative parmi les courbes $\mathcal{C}_1$ , $\mathcal{C}_2$
    et $\mathcal{C}_3$.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{pspicture}(-3,-4)(7,6) \psset {%
        xunit=1,%
        yunit=1,%
        PointName=none,%
        PointSymbol=none,%
        algebraic,%
      }%
      \psclip%
      {\psframe[linestyle=solid](-3,-4)(7,6)}%
      {%
        \psplot[plotpoints=500]{-3}{7}{(2*x+3)*EXP(-x)}%
        \rput[b](-2,-3){$\mathcal{C}_2$}
        \psplot[plotpoints=500,linestyle=dashed]{-3}{7}{EXP(-x)}%
        \rput[t](-1.75,4){$\mathcal{C}_1$}
        \psplot[plotpoints=500,linestyle=dotted,linewidth=2pt]{-3}{7}{(4*x+5)*EXP(-x)}%
        \rput[b](-1,-3){$\mathcal{C}_3$} }%
      \endpsclip%
\uput[d](6.8,0){$x$}
\uput[l](0,5.8){$y$}
      \psaxes%
      [%
      Dx=1,%
      Dy=1,%
      ysubticks=2,%
      xsubticks=2,%
      xlabelPos=axis,%
      ylabelPos=axis,%
      labelsep=-0.5cm,%
      subticksize=1,%
      xticksize=-4 6,% ymin, ymax
      yticksize=-3 7,%xmin xmax
      tickcolor=lightgray,%
      ticklinestyle=solid,%
      subticklinestyle=solid,%
      comma=true,%
      \linewidth=1.25pt]%
      {->}(0,0)(-3,-4)(7,6)%[$x$,-90][$y$,180]

    \end{pspicture}
    \caption{ }
    \label{fig_GrpB_15Ca}
  \end{figure}
\end{enumerate}

\bigskip

\Partie{Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = (2x+3)\e^{-x}$.

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
$\ortho$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel donne ci-dessous une limite de la
  fonction $f$.

La ligne d'entrée \CF{(\%i1)} est la ligne de commande du calcul de
  la limite.

La ligne notée \CF{(\%o1)} est la ligne de sortie.
\begin{calculFormel}
\inputCF{limit((2*x+3)*exp(-x),x,+inf)} \outputCF{0}
\end{calculFormel}
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant ce résultat qu'on ne demande pas de démontrer
    donner $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
		\item Interpréter graphiquement cette limite en terme d'asymptote.
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel donne ci-dessous une expression de
  la dérivée de $f$.

 La ligne d'entrée \CF{(\%i2)} est la ligne de commande d'une
  écriture factorisée de la dérivée de $f$.
  
La ligne notée \CF{(\%o2)} est la ligne de sortie.

Ce logiciel note \CF{\%e\up{-x}} la quantité $\e^{-x}$.

\begin{calculFormel}
    \inputCF{factor(diff((2*x+3)*exp(-x),x))}
    \outputCF{-(2x+1)\%e\up{-x}}
\end{calculFormel}

Le résultat fourni par le logiciel est admis et n'a pas à être
  justifié.
	\begin{enumerate}
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. Dresser le
    tableau de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Le logiciel de calcul formel permet  d'obtenir le
  développement limité de la fonction $f$, à l'ordre $2$, au voisinage
  de $0$.
  
La ligne d'entrée \CF{(\%i3)} est la ligne de commande de ce
  développement limité.

La ligne notée \CF{(\%o2)/T/} est la ligne de sortie.
  
\begin{calculFormel}
    \inputCF{taylor((2*x+3)*exp(-x),x,0,2)} \outputCF{/T/ 3 - x -
      $\fracCF{x^2}{2}$ + \ldots }
\end{calculFormel}

Le résultat fourni par le logiciel est admis et n'a pas à être
  justifié.
\begin{enumerate}
\item Donner l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe
    $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une
      seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui
      vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.}

    \emph{La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou
      une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. }
\begin{apmepQCM}[nbcol=1]{Au voisinage du point d'abscisse $0$, la
        courbe $\mathcal{C}$ est :}
\item au dessus de $\mathcal{T}$ ;
\item en dessous de $\mathcal{T}$ ;
\item en dessous de $\mathcal{T}$ quand $x < 0$ et au dessus de
      $\mathcal{T}$ quand $x > 0$.
\end{apmepQCM}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\Partie{Calcul intégral}

\medskip

On considère l'intégrale $I$ définie par $I = \displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \dd x$
où $f$ est la fonction définie à la partie B, de courbe représentative
$\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel donne ci-dessous une expression
  d'une primitive sur $\R$ de $f$. La ligne d'entrée \CF{\%i4} est la
  ligne de commande d'une écriture factorisée d'une primitive de $f$.

  La ligne notée \CF{\%o4} est la ligne de sortie.

  Ce logiciel note \CF{\%e\up{-x}} la quantité $\e^{-x}$.

\begin{calculFormel}
    \inputCF{factor(integrate((2*x+3)*exp(-x),x))}
    \outputCF{-(2x+5)\%e\up{-x}}
\end{calculFormel}
Justifier ce résultat par un calcul.

On fournit les formules de dérivation suivantes :
\begin{Document}
\centering $f(t) = \e^{at} \quad ; \quad f'(t) = a\e^{at} $

    $(u+v)' = u'+v' $

    $(ku)' = k u' $

    $(uv)' = u'v + v'u$
\end{Document}
  
\item En déduire que $I = 5-9\e^{-2}$.
\item On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle
  $\intervalleA$. Interpréter graphiquement l'intégrale $I$.
\end{enumerate}
\end{Enonce}

\vspace{0,5cm}
\begin{Enonce}
  
\begin{center}
    {\bfseries Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées
    de façon indépendantes.

Dans cet exercice, les résultats approchés seront arrondis à }
\boldmath$\num{e-3}$\unboldmath.
\end{center}

Une entreprise fabrique des modèles originaux de soupapes, mais il
existe sur le marché des contrefaçons qui ne remplissent pas les
normes de sécurité.

\bigskip

\Partie{Statistique à deux Variables}

\medskip

Depuis des années, l'entreprise recueille le nombre de contrefaçons,
exprimé en milliers, présentes sur le marché et a obtenu les
résultats de la table \ref{tab_GrpB_15D}.

\begin{table}[!h]
  \newcounter{cptAnnee}
  \setcounter{cptAnnee}{2007}
  \newcommand{\annee}{\thecptAnnee\addtocounter{cptAnnee}{1}}
  \newcounter{cptRang}
  \setcounter{cptRang}{1}
  \newcommand{\rang}{\thecptRang\addtocounter{cptRang}{1}}
  \centering
  \setlength{\tabcolsep}{0.5ex}
  \begin{tabular}{|>{\centering}m{2.5cm}|*{8}{>{$}c<{$}|}}
    \hline
    Année & \annee & \annee & \annee & \annee & \annee & \annee 
    & \annee & \annee \\
    \hline
    Rang de \par l'année $x_i$ & \rang & \rang & \rang & \rang & \rang & \rang 
    & \rang & \rang \\
    \hline 
    Nombre de contrefaçons $y_i$ (en milliers) 
          & 12,85 & 20,51 & 25,02 & 29,45 & 33,48 & 39,36 & 43,21 &
                                                                    47,54
    \\
    \hline 
  \end{tabular}
  \caption{ }
  \label{tab_GrpB_15D}
\end{table}
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, les coordonnées du
  point moyen $G$ du nuage des huit points de coordonnées
  $\left(x_i\,;\,y_i\right)$.
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice, une équation de la
  droite d'ajustement de $y$ en $x$ suivant la méthode des moindres
  carrés.
\item Estimer, à l'aide de la droite précédente, le nombre de
  contrefaçons présentes sur le marché en 2015.
\end{enumerate}

\bigskip

\Partie{Probabilités conditionnelles}

\medskip

Pour éliminer les contrefaçons du marché, l'entreprise a mis au point
un test optique permettant d'évaluer la conformité aux normes de
sécurité.

On suppose que $\SI{0.5}{ \percent}$ des soupapes proposées à la vente
sur le marché en 2014 sont des contrefaçons.

On prélève au hasard une soupape proposée à la vente sur le marché
2014 et on la soumet au test.

On désigne par $C$ l'évènement \og la soupape prélevée est une
contrefaçon\fg{} et par $ \bar{C}$ l'évènement contraire \og la
soupape prélevée est un original\fg.

On désigne par $T$ l'évènement \og le test indique que la soupape est
une contrefaçon \fg{} et par $\bar{T}$ \og l'évènement contraire \og le
test indique que la soupape est un original\fg.

On suppose que la probabilité que le test indique une contrefaçon
sachant qu'il s'agit d'une contrefaçon est égal à $0,85$ et que la
probabilité que le test indique un original sachant qu'il s'agit d'un
original est de égale à $0,95$.

\begin{enumerate}
\item Construire l'arbre de probabilités correspondant aux données.
\item En déduire $P(T)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\Partie{Test d'hypothèse}

\medskip

On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la
proportion $p$ inconnue de contrefaçons mises en vente sur le marché
en 2015. Pour cela, on prélève parmi les soupapes mises en vente sur
le marché en 2015 un échantillon aléatoire de $n = \num{1000}$
soupapes.

On note $F$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire
de $\num{1000}$ soupapes ainsi prélevées, associe la fréquence des
contrefaçons dans l'échantillon (le nombre de soupapes sur le marché
est assez important pour que l'on puisse assimilé ces prélèvements à
des tirages avec remise).

L'hypothèse nulle est $H_0$ : $p = 0,005$.

L'hypothèse alternative est $H_1$ : $p \not= 0,005$.

Le seuil de signification est fixé à $\SI{5}{ \percent}$.

On admet que, sous L'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $F$ suit
la loi normale de moyenne $0,005$ et d'écart-type
$ \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\approx 0,002$

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une
    seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui
    vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.}

  \emph{ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une
    absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.  }
  \begin{apmepQCM}[nbcol=4]{Sous l'hypothèse $H_0$, préciser parmi les
      nombres suivants, celui qui réalise la meilleur approximation du
      réel $h$ tel que 
      
      $P(0,005 - h \leqslant F \leqslant 0,005 + h) = 0,95$ :}
  \item $0,001$ ;
  \item $0,002$ ;
  \item $0,004$ ;
  \item $0,006$.
  \end{apmepQCM}
\item En utilisant le résultat de la question précédente, énoncer la
  règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item Sur un échantillon aléatoire de $\num{1000}$ soupapes mises en
  vente en 2015, on a relevé $4$ contrefaçons.

Peut-on au seuil de $\SI{5}{ \percent}$, conclure que la proportion
  de contrefaçons en 2015 est $p = 0,005$ ?
\end{enumerate}

\Partie{Loi exponentielle}

\medskip

L'entreprise décide d'étudier la fiabilité des contrefaçons de son
modèle de soupape. On désigne par $T$ la variable aléatoire qui, à
toute soupape de contrefaçon choisie au hasard sur le marché, associe
sa durée de bon fonctionnement exprimée en mois.

On suppose que $T$ suit la loi exponentielle de paramètre
$\lambda=0,01$.

On rapelle que, pour tout nombre réel positif $t$, on a :
\[
P(T \leqslant t) = 1 - \e^{-\lambda t}.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une soupape de contrefaçon prise au
  hasard fonctionne bien sur une durée d'au plus $120$ mois.
\item Calculer la probabilité qu'une soupape de contrefaçon prise au
  hasard fonctionne bien sur une durée d'au moins $100$ mois.
\item On rappelle que l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$
  est égale à $E(T) = \frac{1}{\lambda}$.

Calculer $E(T)$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\end{Enonce}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
