%!-*-coding:latin-1-*- \documentclass[10pt,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{geometry} \geometry{paper=a4paper,margin=1cm,includeheadfoot,headsep=0.25ex} \usepackage{kpfonts} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %%%%%%%%% Mise en forme des nombres \usepackage[autolanguage]{numprint} \usepackage{siunitx} \usepackage{fancyhdr} \sisetup {% output-decimal-marker={,},% load-configurations=abbreviations,% input-symbols=\pi,% input-complex-roots=i,% inter-unit-separator={}\ensuremath{\cdot{}},% %per-mode=symbol,% %per-symbol={\text{/}},% } \usepackage{multicol} %%%%%%%%%% Couleur \usepackage[svgnames]{xcolor} \colorlet{BleuOli}{black!25!blue} \usepackage{pstricks-add,pst-eucl} %%%%%%%%% Mise en forme des environnements \usepackage[pstricks]{mdframed} \mdfsetup {% userdefinedwidth=0.6\linewidth,% xcolor,% }% \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S - Corrigé}, pdftitle = {Baccalauréat S - 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{graphicx} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % style des en-têtes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[pagestyles]{titlesec} \newpagestyle{StyleOli}[\small\sffamily]% {% \setheadrule{0.4pt}\setfootrule{0.4pt}%ligne d'entête et de pied de pages \sethead[][][\sectiontitle]% pages impaires {\chaptertitle}{}{}% pages paires \setfoot[][][\thepage] {\thepage}{}{} } \usepackage{keyval} \usepackage{answers} \usepackage{amsthm} \usepackage{babel} \usepackage{hyperref} %%%%%%%%%%%%% Francisation \frenchbsetup% {% %StandardItemLabels=true,% ItemLabels=\textbullet,% }% \renewcommand{\labelenumi}{\FrenchEnumerate{\theenumi}}%{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}} %%%%%%%%%% Partie \newcounter{Partie}% \newcommand*{\Partie}[1]% {% \goodbreak% \textsf{\textcolor{BleuOli}{\large Partie \Alph{Partie}. #1}}% \addtocounter{Partie}{1}% }% %%%%%%%%%%% Enonce et Corrige \Newassociation{Corrige}{CORRIGE}{Cor} % \newcounter{mdExercice} \setcounter{mdExercice}{1} \newcommand{\carreEntoure}[1] {% \resizebox{!}{1em}{% \begin{pspicture}(0,0)(1,1) \psframe[linecolor=#1,linewidth=1.2pt](0,0)(1,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=#1,linewidth=0.8pt](0.2,0.2)(0.8,0.8) \end{pspicture}}% }% \newcommand{\enonceTitre}[1] {% \begin{minipage}{1.0\linewidth} \carreEntoure{#1} \textcolor{#1}{\large \bfseries \sffamily Exercice \themdExercice.}\refstepcounter{mdExercice}% \end{minipage} \raisebox{2pt}{\textcolor{#1}{\rule{\linewidth}{1.5pt}}} }% \newenvironment{Enonce} {% \setcounter{cptCalcForm}{1} \goodbreak \vspace*{0.25em}% \setcounter{Partie}{1} \enonceTitre{BleuOli}% \vspace*{0.5em}% }% {% %\vspace*{1em}% }% \renewcommand{\CORRIGElabel}[1] {% \begin{minipage}{1.0\linewidth} \carreEntoure{BleuOli!50} \textcolor{BleuOli!50}{\large \bfseries \sffamily Corrige de l'exercice #1.}\par \raisebox{2pt}{\textcolor{BleuOli!50}{\rule{\linewidth}{1.5pt}}} \end{minipage} }% \renewenvironment{CORRIGE}[1]% {% \begin{minipage}{1.0\linewidth} \carreEntoure{BleuOli!50} \textcolor{BleuOli!50}{\large \bfseries \sffamily Corrige de l'exercice #1.}\par \raisebox{2pt}{\textcolor{BleuOli!50}{\rule{\linewidth}{1.5pt}}} \end{minipage} % \corrigeTitre{BleuOli} }% {} %%%%%%%%%%% environnement Document \newcounter{cptOliDocu} \setcounter{cptOliDocu}{1} \newmdenv[% backgroundcolor=Wheat!50,% linecolor=Wheat,%black,% frametitleaboveskip=0.4ex,% frametitlebelowskip=0.5ex,% frametitlerule=true,% frametitlerulewidth=2pt,% frametitlefont={\large\bfseries\sffamily},% %innertopmargin=0.5ex,% % leftmargin=ex,% % rightmargin=0.2ex,% roundcorner=2pt,% linewidth=2pt,% font={\itshape}, ]{doc@oli} \newenvironment{Document}[1]% {\begin{doc@oli}% [frametitle={\hspace{-1ex}\textcolor{BleuOli!50}{Document \thecptOliDocu. --- #1}\refstepcounter{cptOliDocu}}] } {\end{doc@oli}} %%%%%%%%%%%%% Calcul Formel %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Calcul Formel dans le corps du texte BTS GrpB %% en typewriter, y compris la fraction. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand*{\CF}[1]{\texttt{#1}} \newcounter{cptCalcForm} \setcounter{cptCalcForm}{1} \newcommand{\inputCF}[1]{(\%i\thecptCalcForm) #1 ;\par} \newcommand{\outputCF}[1]{(\%o\thecptCalcForm) #1 \refstepcounter{cptCalcForm} ;} \newmdenv[% rightmargin=0.1\linewidth,% leftmargin=0.1\linewidth,% linecolor=black,% font={\ttfamily\small}, ]{calculFormel} \newcommand{\fracCF}[2]{\frac{\mathtt{#1}}{\mathtt{#2}}} \newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\ortho}% {% \left(O\,;\,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right) }% % Symbol de l'exponentielle \DeclareMathOperator{\e}{e} % symbole de dérivation \DeclareMathOperator{\dd}{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}\,} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% redfinition de la commande \bar %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Intervalle %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \def\@leftdelim{\left[}% \def\@rightdelim{\right]}% \def\@binf{0}% \def\@bsup{1}% \def\@sep{;}% \def\@esp{\,}%rajouté par mes soins \define@key[Intervalle]{fam}{esp}[\,]{% \def\@esp{#1}% }% \define@key[Intervalle]{fam}{inf}[0]{% \def\@binf{#1}% }% \define@key[Intervalle]{fam}{sup}[1]{% \def\@bsup{#1}% }% \define@key[Intervalle]{fam}{sep}[;]{% \def\@sep{\mathop{#1}}% }% \define@key[Intervalle]{fam}{openA}[none]{% \def\@leftdelim{\left]}% }% \define@key[Intervalle]{fam}{closeA}[none]{% \def\@leftdelim{\left[}% }% \define@key[Intervalle]{fam}{openB}[none]{% \def\@rightdelim{\right[}% }% \define@key[Intervalle]{fam}{closeB}[none]{% \def\@rightdelim{\right]}% }% \define@key[Intervalle]{fam}{open}[none]{% \def\@leftdelim{\left]}% \def\@rightdelim{\right[}% }% \define@key[Intervalle]{fam}{close}[none]{% \def\@leftdelim{\left[}% \def\@rightdelim{\right]}% }% \newcommand{\setintervalle}[2]{% \expandafter\def\csname intervalle#1\endcsname{% \setkeys[Intervalle]{fam}{#2}% \@leftdelim{\@binf\@esp\@sep\@esp\@bsup}\@rightdelim} } \makeatother % Symbol i \DeclareMathOperator{\iComplexe}{i} \makeatletter %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% DEFINITION DES CLES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \define@key{apmepQCM}{nbcol}{\def\apmepQCM@nbcol{#1}} \define@key{apmepQCM}{style}{\def\apmepQCM@style{#1}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% VALEURS PAR DEFAUT DES CLES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setkeys{apmepQCM}{nbcol=2,style=rep} \def\apmepQCM@default{default} \def\apmepQCM@rep{rep} \def\apmepQCM@square{square} \def\apmepQCM@boxed{box} %% Numérotation des item dans le QCM \newcounter{cptapmepQCM} \newenvironment{apmepQCM}[2][] {% \begingroup% % Affectation des nouvelles clés dans l'environnement \setkeys{apmepQCM}{#1} % Le nombre de colonnes est optionnel, et vaut deux par défaut. % #1 argumet key=val % #2 la question du QCM % Issue d'une discussion avec pg sur mathematex % On sauvegarde le contenu de #1 dans une macro % On écrit #2 \begin{trivlist}\item #2% \ifnum \apmepQCM@nbcol=1 \else\begin{multicols}{\apmepQCM@nbcol}\fi% \usecounter{cptapmepQCM}% \ifx \apmepQCM@style\apmepQCM@default% \renewcommand{\makelabel}[1]{\alph{cptapmepQCM}. ##1} \fi \ifx \apmepQCM@style\apmepQCM@rep% \renewcommand{\makelabel}[1]{\bsc{Rép.}~\Alph{cptapmepQCM}. ##1} \fi \ifx \apmepQCM@style\apmepQCM@square% \renewcommand{\makelabel}[1]{\ding{113} ##1} \fi \ifx \apmepQCM@style\apmepQCM@box% \renewcommand{\makelabel}[1]{\fbox{\bsc{Rep.}~\Alph{cptapmepQCM}. ##1}} \fi }% {% \ifnum \apmepQCM@nbcol = 1 \else \end{multicols} \fi% \end{trivlist}% \endgroup }% \makeatother \begin{document} \lhead{\small{BTS groupe B1}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{9 novembre 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BTS groupe B1 Nouvelle Calédonie~\decofourright\\ 9 novembre 2015}} \end{center} \setlength{\parindent}{0pt} \begin{Enonce} \setintervalle{A}{close,inf=0,sup=2} \begin{center} \bfseries Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendantes. Dans cet exercice, les résultats approchés seront arrondis à $\num{e-3}$. \end{center} \Partie{Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle (\ref{eq_GrpA_15Ca}) : \begin{equation} y'' + 2y' + y = 0 \tag{E}\label{eq_GrpA_15Ca}, \end{equation} où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $\R$, $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa dérivée seconde. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $r^2 +2r+1 = 0$. \item En déduire les solutions de l'équation différentielle (\ref{eq_GrpA_15Ca}). On fournit les formules suivantes. \begin{Document} \centering \begin{tabular}{|*{2}{m{0.45\linewidth}|}} \hline Équation & Solutions sur un intervalle $I$ \\ \hline Équation différentielle : $ay'' + by' + c = 0.$ Équation caractéristique : $ar^2 + br +c = 0 $ de discriminant $ \Delta$. & \begin{itemize} \item Si $\Delta > 0$, $y(t) = \lambda \e^{r_1 t} + \mu \e^{r_2 t}$, où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de l'équation caractéristique. \item Si $\Delta + 0$, $y(t) = (\lambda t + \mu) \e^{r t}$, où $r$ est la racine de l'équation caractéristique. \item Si $\Delta < 0$, $y(t) = \left[\lambda \cos{\beta t} + \mu \sin(\beta t)\right]\e^{\alpha t}$, où $r_1 = \alpha + \iComplexe \beta$ et $r_1 = \alpha - \iComplexe \beta$ sont les racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique. \end{itemize} \\ \hline \end{tabular} % \caption{ } % \label{tab_GrpB_15A} \end{Document} \end{enumerate} \item On a représenté dans la figure \ref{fig_GrpB_15Ca}, à l'aide d'un logiciel, trois solutions $f_a$, $f_b$ et $f_c$ de l'équation différentielle (\ref{eq_GrpA_15Ca}) avec : \begin{itemize} \item $f_a(x) = (2x+3)\e^{-x}$ ; \item $f_b(x) = \e^{-x} $ ; \item $f_c(x) = (4x+5)\e^{-x} $. \end{itemize} Associer à chacune des fonctions $f_a$, $f_b$ et $f_c$ sa courbe représentative parmi les courbes $\mathcal{C}_1$ , $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$. \begin{figure}[!h] \centering \begin{pspicture}(-3,-4)(7,6) \psset {% xunit=1,% yunit=1,% PointName=none,% PointSymbol=none,% algebraic,% }% \psclip% {\psframe[linestyle=solid](-3,-4)(7,6)}% {% \psplot[plotpoints=500]{-3}{7}{(2*x+3)*EXP(-x)}% \rput[b](-2,-3){$\mathcal{C}_2$} \psplot[plotpoints=500,linestyle=dashed]{-3}{7}{EXP(-x)}% \rput[t](-1.75,4){$\mathcal{C}_1$} \psplot[plotpoints=500,linestyle=dotted,linewidth=2pt]{-3}{7}{(4*x+5)*EXP(-x)}% \rput[b](-1,-3){$\mathcal{C}_3$} }% \endpsclip% \uput[d](6.8,0){$x$} \uput[l](0,5.8){$y$} \psaxes% [% Dx=1,% Dy=1,% ysubticks=2,% xsubticks=2,% xlabelPos=axis,% ylabelPos=axis,% labelsep=-0.5cm,% subticksize=1,% xticksize=-4 6,% ymin, ymax yticksize=-3 7,%xmin xmax tickcolor=lightgray,% ticklinestyle=solid,% subticklinestyle=solid,% comma=true,% \linewidth=1.25pt]% {->}(0,0)(-3,-4)(7,6)%[$x$,-90][$y$,180] \end{pspicture} \caption{ } \label{fig_GrpB_15Ca} \end{figure} \end{enumerate} \bigskip \Partie{Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = (2x+3)\e^{-x}$. On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\ortho$. \medskip \begin{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel donne ci-dessous une limite de la fonction $f$. La ligne d'entrée \CF{(\%i1)} est la ligne de commande du calcul de la limite. La ligne notée \CF{(\%o1)} est la ligne de sortie. \begin{calculFormel} \inputCF{limit((2*x+3)*exp(-x),x,+inf)} \outputCF{0} \end{calculFormel} \begin{enumerate} \item En utilisant ce résultat qu'on ne demande pas de démontrer donner $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$. \item Interpréter graphiquement cette limite en terme d'asymptote. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel donne ci-dessous une expression de la dérivée de $f$. La ligne d'entrée \CF{(\%i2)} est la ligne de commande d'une écriture factorisée de la dérivée de $f$. La ligne notée \CF{(\%o2)} est la ligne de sortie. Ce logiciel note \CF{\%e\up{-x}} la quantité $\e^{-x}$. \begin{calculFormel} \inputCF{factor(diff((2*x+3)*exp(-x),x))} \outputCF{-(2x+1)\%e\up{-x}} \end{calculFormel} Le résultat fourni par le logiciel est admis et n'a pas à être justifié. \begin{enumerate} \item En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$. \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Le logiciel de calcul formel permet d'obtenir le développement limité de la fonction $f$, à l'ordre $2$, au voisinage de $0$. La ligne d'entrée \CF{(\%i3)} est la ligne de commande de ce développement limité. La ligne notée \CF{(\%o2)/T/} est la ligne de sortie. \begin{calculFormel} \inputCF{taylor((2*x+3)*exp(-x),x,0,2)} \outputCF{/T/ 3 - x - $\fracCF{x^2}{2}$ + \ldots } \end{calculFormel} Le résultat fourni par le logiciel est admis et n'a pas à être justifié. \begin{enumerate} \item Donner l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.} \emph{La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. } \begin{apmepQCM}[nbcol=1]{Au voisinage du point d'abscisse $0$, la courbe $\mathcal{C}$ est :} \item au dessus de $\mathcal{T}$ ; \item en dessous de $\mathcal{T}$ ; \item en dessous de $\mathcal{T}$ quand $x < 0$ et au dessus de $\mathcal{T}$ quand $x > 0$. \end{apmepQCM} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \Partie{Calcul intégral} \medskip On considère l'intégrale $I$ définie par $I = \displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \dd x$ où $f$ est la fonction définie à la partie B, de courbe représentative $\mathcal{C}$. \begin{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel donne ci-dessous une expression d'une primitive sur $\R$ de $f$. La ligne d'entrée \CF{\%i4} est la ligne de commande d'une écriture factorisée d'une primitive de $f$. La ligne notée \CF{\%o4} est la ligne de sortie. Ce logiciel note \CF{\%e\up{-x}} la quantité $\e^{-x}$. \begin{calculFormel} \inputCF{factor(integrate((2*x+3)*exp(-x),x))} \outputCF{-(2x+5)\%e\up{-x}} \end{calculFormel} Justifier ce résultat par un calcul. On fournit les formules de dérivation suivantes : \begin{Document} \centering $f(t) = \e^{at} \quad ; \quad f'(t) = a\e^{at} $ $(u+v)' = u'+v' $ $(ku)' = k u' $ $(uv)' = u'v + v'u$ \end{Document} \item En déduire que $I = 5-9\e^{-2}$. \item On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $\intervalleA$. Interpréter graphiquement l'intégrale $I$. \end{enumerate} \end{Enonce} \vspace{0,5cm} \begin{Enonce} \begin{center} {\bfseries Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendantes. Dans cet exercice, les résultats approchés seront arrondis à } \boldmath$\num{e-3}$\unboldmath. \end{center} Une entreprise fabrique des modèles originaux de soupapes, mais il existe sur le marché des contrefaçons qui ne remplissent pas les normes de sécurité. \bigskip \Partie{Statistique à deux Variables} \medskip Depuis des années, l'entreprise recueille le nombre de contrefaçons, exprimé en milliers, présentes sur le marché et a obtenu les résultats de la table \ref{tab_GrpB_15D}. \begin{table}[!h] \newcounter{cptAnnee} \setcounter{cptAnnee}{2007} \newcommand{\annee}{\thecptAnnee\addtocounter{cptAnnee}{1}} \newcounter{cptRang} \setcounter{cptRang}{1} \newcommand{\rang}{\thecptRang\addtocounter{cptRang}{1}} \centering \setlength{\tabcolsep}{0.5ex} \begin{tabular}{|>{\centering}m{2.5cm}|*{8}{>{$}c<{$}|}} \hline Année & \annee & \annee & \annee & \annee & \annee & \annee & \annee & \annee \\ \hline Rang de \par l'année $x_i$ & \rang & \rang & \rang & \rang & \rang & \rang & \rang & \rang \\ \hline Nombre de contrefaçons $y_i$ (en milliers) & 12,85 & 20,51 & 25,02 & 29,45 & 33,48 & 39,36 & 43,21 & 47,54 \\ \hline \end{tabular} \caption{ } \label{tab_GrpB_15D} \end{table} \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, les coordonnées du point moyen $G$ du nuage des huit points de coordonnées $\left(x_i\,;\,y_i\right)$. \item Déterminer à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ suivant la méthode des moindres carrés. \item Estimer, à l'aide de la droite précédente, le nombre de contrefaçons présentes sur le marché en 2015. \end{enumerate} \bigskip \Partie{Probabilités conditionnelles} \medskip Pour éliminer les contrefaçons du marché, l'entreprise a mis au point un test optique permettant d'évaluer la conformité aux normes de sécurité. On suppose que $\SI{0.5}{ \percent}$ des soupapes proposées à la vente sur le marché en 2014 sont des contrefaçons. On prélève au hasard une soupape proposée à la vente sur le marché 2014 et on la soumet au test. On désigne par $C$ l'évènement \og la soupape prélevée est une contrefaçon\fg{} et par $ \bar{C}$ l'évènement contraire \og la soupape prélevée est un original\fg. On désigne par $T$ l'évènement \og le test indique que la soupape est une contrefaçon \fg{} et par $\bar{T}$ \og l'évènement contraire \og le test indique que la soupape est un original\fg. On suppose que la probabilité que le test indique une contrefaçon sachant qu'il s'agit d'une contrefaçon est égal à $0,85$ et que la probabilité que le test indique un original sachant qu'il s'agit d'un original est de égale à $0,95$. \begin{enumerate} \item Construire l'arbre de probabilités correspondant aux données. \item En déduire $P(T)$. \end{enumerate} \bigskip \Partie{Test d'hypothèse} \medskip On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la proportion $p$ inconnue de contrefaçons mises en vente sur le marché en 2015. Pour cela, on prélève parmi les soupapes mises en vente sur le marché en 2015 un échantillon aléatoire de $n = \num{1000}$ soupapes. On note $F$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $\num{1000}$ soupapes ainsi prélevées, associe la fréquence des contrefaçons dans l'échantillon (le nombre de soupapes sur le marché est assez important pour que l'on puisse assimilé ces prélèvements à des tirages avec remise). L'hypothèse nulle est $H_0$ : $p = 0,005$. L'hypothèse alternative est $H_1$ : $p \not= 0,005$. Le seuil de signification est fixé à $\SI{5}{ \percent}$. On admet que, sous L'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $F$ suit la loi normale de moyenne $0,005$ et d'écart-type $ \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\approx 0,002$ \begin{enumerate} \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.} \emph{ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. } \begin{apmepQCM}[nbcol=4]{Sous l'hypothèse $H_0$, préciser parmi les nombres suivants, celui qui réalise la meilleur approximation du réel $h$ tel que $P(0,005 - h \leqslant F \leqslant 0,005 + h) = 0,95$ :} \item $0,001$ ; \item $0,002$ ; \item $0,004$ ; \item $0,006$. \end{apmepQCM} \item En utilisant le résultat de la question précédente, énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item Sur un échantillon aléatoire de $\num{1000}$ soupapes mises en vente en 2015, on a relevé $4$ contrefaçons. Peut-on au seuil de $\SI{5}{ \percent}$, conclure que la proportion de contrefaçons en 2015 est $p = 0,005$ ? \end{enumerate} \Partie{Loi exponentielle} \medskip L'entreprise décide d'étudier la fiabilité des contrefaçons de son modèle de soupape. On désigne par $T$ la variable aléatoire qui, à toute soupape de contrefaçon choisie au hasard sur le marché, associe sa durée de bon fonctionnement exprimée en mois. On suppose que $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,01$. On rapelle que, pour tout nombre réel positif $t$, on a : \[ P(T \leqslant t) = 1 - \e^{-\lambda t}. \] \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une soupape de contrefaçon prise au hasard fonctionne bien sur une durée d'au plus $120$ mois. \item Calculer la probabilité qu'une soupape de contrefaçon prise au hasard fonctionne bien sur une durée d'au moins $100$ mois. \item On rappelle que l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à $E(T) = \frac{1}{\lambda}$. Calculer $E(T)$. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{Enonce} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: