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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\textbf{\Large GROUPEMENT D'ÉCOLES D'INGÉNIEURS PUBLIQUES À PARCOURS INTÉGRÉ}\\
ISAT  ESIREM  POLYTECH Nice-Sophia  POLYTECH Orléans
EEIGM  ENSGSI  ESSTIN  TELECOM Lille 1  ISEL
ISTIA  ISTASE  ISTV  Sup GALILÉE
\medskip

Mardi 30 avril 2021

\medskip

\textbf{\Large SUJET DE MATHÉMATIQUES}
\end{center}

\emph{Les questions à choix multiples sont signalées par la mention QCM. Pour chaque QCM, plusieurs réponses sont proposées et il peut y avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Vous entourerez la (ou les) réponse(s)
choisies) sur la feuille de réponses.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse ne sera pas pénalisée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse.}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 \hfill 31 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'un triangle ABC}

\medskip
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère le triangle dont les sommets A, B et C sont définis par leurs coordonnées respectives:

\[\text{A}(6~;~0) \quad  \text{B}(4~;~8)\quad  \text{C}(-4~;~0).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}}$. Détailler le calcul.
\item Calculer la valeur exacte de la norme des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et 
$\vect{\text{BC}}$. 

Détailler le calcul. Donner la réponse sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers avec $b$ le plus petit possible.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos \left(\widehat{\text{ABC}}\right)$. Justifier la réponse.
\item Calculer la valeur exacte de $\sin \left(\widehat{\text{ABC}}\right)$. Justifier la réponse.
\item Montrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est $40$ unités d'aire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude d'un tétraèdre ABCD}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère le tétraèdre dont les sommets A, B, C et D sont définis par leurs coordonnées respectives:

\[\text{A}(6~;~0~;~0)\quad  \text{B}(4~;~8~;~0)\quad \text{C}(-4~;~0~;~0)\quad \text{D}(-4~;~0~;~20)\]

Le triangle ABC est celui étudié dans la partie A, placé dans le plan d'équation $z = 0$. 

La droite (DC) est parallèle à l'axe (O$z$).

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Que représente la droite (DC) pour le tétraèdre ABCD ?
\item On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3}\times   A_{\text{base}} \times  h$, où $A_{\text{base}}$ représente l'aire de la base de la pyramide et où $h$ en représente la hauteur.

Calculer la valeur exacte, en unités de volume, du volume $V$ du tétraèdre ABCD.

Détailler le calcul.
\item On donne le vecteur $\vect{n}(4~;~1~;~2)$. Calculer $\vect{n} \cdot  \vect{\text{BA}}$. Détailler le calcul.
\item Justifier que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ABD).
\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABD). Détailler le calcul.
\item On note A$'$ le point d'intersection du plan (ABD) avec l'axe (O$z$). Donner les coordonnées de A$'$.
\item Déterminer le réel $k$ tel que $\vect{\text{DA}'} = k \vect{\text{DA}}$. Justifier la réponse.
\item \textbf{QCM} - Soit (P) le plan passant par A$'$ et parallèle au plan (ABC). Soit (A$'$ B$'$C$'$) la section de (P) avec le tétraèdre ABCD. 

Quelle est la valeur approchée en unités de volume, arrondie à l'unité, du volume du tétraèdre A$'$B$'$C$'$D ?

\begin{tabular}{l l}
\textbf{A.~} 17 unités de volume &\textbf{B.~} 107 unités de volume\\
\textbf{C.~} 160 unités de volume &\textbf{D.~} 250 unités de volume
\end{tabular}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C- Dans une sphère}

\medskip

On appelle plan médiateur d'un segment non réduit à un point, l'ensemble des points de l'espace équidistants des extrémités de ce segment. C'est le plan perpendiculaire au segment en son milieu.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AC]. ~
\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$.
\item En déduire qu'une équation du plan médiateur $P_1$ du segment [AC] est $x = 1$. Justifier la réponse.
\item Justifier qu'une équation du plan médiateur $P_2$ du segment [AB] est $x - 4y + 11 = 0$.

On admet qu'une équation du plan médiateur $P_3$ du segment [CD] est $z = 10$.
\item En utilisant les équations des plans médiateurs, déterminer les coordonnées du centre $\Omega$ de la sphère $(S)$ circonscrite au tétraèdre ABCD. Détailler le calcul.
\item Calculer le rayon $R$ de la sphère $(S)$. Détailler le calcul.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE II \hfill 22 points}

\medskip

\emph{Tous les résultats de cet exercice seront donnés sous la forme d'une fraction irréductible}. 

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

Soit A et B deux pièces de monnaie. La pièce A donne \og Face \fg{} avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ et la pièce B donne \og Face \fg{} avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$. 

Lorsqu'on lance l'une de ces deux pièces, si on obtient \og Face \fg, on conserve cette pièce pour le lancer suivant, sinon on change de pièce.

\bigskip

\textbf{Partie A - Trois lancers successifs des pièces}

\medskip

On effectue une série de trois lancers, en commençant par lancer la pièce A. Pour tout entier naturel $i$ compris entre 1 et 3, on note $F_i$ l'évènement \og on obtient Face \fg{} au $i$-ème lancer\fg{} et $P_i = \overline{F_i}$ l'évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilités donné.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=15pt,nodesepA=0pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree{\TR{}\ncput*{\ldots}}
	{\pstree{\TR{}\ncput*{\ldots}}
		{\TR{}\ncput*{\ldots}		
		\TR{}\ncput*{\ldots}
		}
	\pstree{\TR{}\ncput*{\ldots}}
		{\TR{}\ncput*{\ldots}
		\TR{}\ncput*{\ldots}
		}
	}
\pstree{\TR{}\ncput*{\ldots}}
	{\pstree{\TR{}\ncput*{\ldots}\ncput*{\ldots}}
		{\TR{}\ncput*{\ldots}
		\TR{}\ncput*{\ldots}
		}
	\pstree{\TR{}\ncput*{\ldots}}
		{\TR{}\ncput*{\ldots}
		\TR{}\ncput*{\ldots}
		}
	}
}
\end{center}

\item $X$ désigne la variable aléatoire donnant le nombre de fois où \og Face \fg{} est obtenu.

Compléter le tableau donnant la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance de $X$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude d'une suite}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=& -1 \\
u_{n+1}&=&- \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{3}{4} \, \text{pour tout } n > 0,
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Donner les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
\item Soit $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ la suite définie par :

\[\text{pour tout } \, n \geqslant 0, \, \, v_n = u_n - \dfrac{3}{5}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $v_0$.
		\item Montrer que $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{4}$.
	\end{enumerate}
\item Déduire  de ce qui précède que, pour tout $n \geqslant 0$, \, $u_n = -\dfrac{8}{5}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^n + \dfrac{3}{5}$.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est convergente de limite $\dfrac{3}{5}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - \boldmath$n$\unboldmath{} lancers successifs des pièces}

\medskip

Dans cette partie, on ne se limite plus à trois lancers.

Pour tout entier naturel $n > 1$, on considère les évènements suivants:

$A_n$ : \og on utilise la pièce A pour le $n$-ième lancer \fg 

$\overline{A_n}$ : \og on utilise la pièce B pour le $n$-ième lancer \fg.

On note $p_n = P\left(A_n\right)$. 

On commence toujours par lancer la pièce A et on a donc $p_1 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Donner $P_{A_n} \left(A_{n+1}\right)$ et $P_{\overline{A_n}}\left(A_{n+1}\right)$.
\item Donner l'expression de $P\left(\overline{A_n}\right),\,  P\left(A_{n+1} \cap A_n\right)$ et $P\left(A_{n+1} \cap \overline{A_n}\right)$ en fonction de $p_n$.
\item En déduire que, pour tout entier $n > 1$,\,  $p_{n+1} = -\dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{3}{4}$.

D'après ce qui précède et la question \textbf{6.}, on a $p_n= -\dfrac{8}{5}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^n + \dfrac{3}{5}$ pour tout entier naturel $n >1$.
\item On note $F_n$ l'évènement \og obtenir Face au $n$-ième lancer \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression de $P\left(F_n \cap A_n\right)$ et $P\left(F_n \cap \overline{A_n}\right)$ en fonction de $p_n$.
		\item Déterminer la limite de la probabilité $P\left(F_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE III \hfill 27 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes. La partie C dépend des deux premières parties.

\smallskip

On souhaite étudier l'évolution au cours du temps de la concentration d'un analgésique dans le sang : par voie intraveineuse dans la partie A. puis par voie orale dans la partie B.

\bigskip

\textbf{Partie A - Voie intraveineuse}

\medskip

Dans cette partie, $\lambda$ est une constante réelle strictement positive.

On considère l'équation différentielle $\left(E_1\right) :\quad  y'(t) = - \lambda y(t)$, où $y$ est une fonction définie pour tout réel $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution générale de $\left(E_1\right)$.
\item On appelle $Q$ la solution de $\left(E_1\right)$ qui vérifie $Q(0) = 0,6$.

 Donner l'expression de $Q$ en fonction de $\lambda$.
Justifier la réponse.
\item Donner la limite de $Q$ en $+\infty$. Donner le sens de variation de $Q$. Aucune justification n'est demandée.
\end{enumerate}

À l'instant $t = 0$, une dose d'un analgésique est injectée dans le sang par voie intraveineuse. La substance se répartit instantanément dans le sang, ce qui donne une concentration initiale de $0,6$ mg/L, et est ensuite progressivement éliminée.

Pour tout $t > 0$, la concentration de médicament, en mg/L, présente dans le sang à l'instant $t$ (exprimé en heures) est égale à $Q(t)$ trouvée à la question \textbf{2.}

Au bout d'une heure, la concentration de médicament présente dans le sang a diminué de 30\,\%.
\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer la valeur de $\lambda$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près. Justifier la réponse.

Le médicament est efficace tant que sa concentration dans le sang est supérieure à 0,1 mg/L,
\item Déterminer, en heures, le temps d'efficacité te du médicament. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Voie orale}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[\left(E_2\right):\quad  y'(t) + y(t) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{t}{2}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Vérifier que la fonction $g$ définie, pour tout réel $t$, par $g(t) = \text{e}^{-\frac{t}{2}} - \text{e}^{-t}$, est une solution de $\left(E_2\right)$.
\item En déduire la solution générale de $\left(E_2\right)$.
\item Donner la solution $f$ de $\left(E_2\right)$ vérifiant $f(0) = 0$. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

On considère la fonction $q$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $q(t) = \text{e}^{-\frac{t}{2}} - \text{e}^{-t}$. 

On note $\mathcal{C}_q$ la courbe représentative
de $q$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\begin{enumerate}[resume]
\item Donner la limite de $q$ en $+\infty$. En déduire une équation de l'asymptote é à $\mathcal{C}_q$ en $+\infty$.
\item $q'$ désigne la fonction dérivée de $q$. Pour tout réel positif $t$, $q'(t)$ s'écrit sous la forme 

$q'(t) = \text{e}^{-\frac{t}{2}}\left(a \text{e}^{-t} + b\right)$.

Donner la valeur de $a$ et de $b$. Justifier la réponse.
\item Donner l'ensemble des solutions réelles $t$ de l'inéquation $q'(t) > 0$. Justifier la réponse.
\item Soit A le point de $\mathcal{C}_q$ d'abscisse $x_{\text{A}} = \ln 4$ et d'ordonnée $y_{\text{A}}$.

Calculer la valeur exacte de $y_{\text{A}}$. Détailler le calcul.
\item Compléter le tableau de variations de $q$ sur $[0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

À l'instant $t = 0$, un analgésique est administré par voie orale en une prise. La substance est absorbée progressivement dans le sang puis éliminée.

Pour tout $t > 0$, la concentration de médicament, en mg/L, présente dans le sang à l'instant $t$ (exprimé en heures) est égale à $q(t)$.

Le médicament cause des effets indésirables quand sa concentration dans le sang est supérieure à $0,3$ mg/L.

\begin{enumerate}[resume]
\item Le médicament va-t-il causer des effets indésirables au patient ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Comparaison des deux méthodes}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item QCM - Quel mode d'administration choisirons-nous si nous voulons être tout de suite soulagé de la douleur ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.~} Voie orale &\textbf{B~} Voie intraveineuse &\textbf{C~} Peu importe lequel
\end{tabularx}
\end{center}

\item QCM - Sachant que l'analgésique est efficace quand sa concentration dans le sang est supérieure à 0,1 mg/L par les deux méthodes, quel mode d'administration choisirons-nous si nous voulons que ce médicament soit efficace le plus longtemps possible ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{A.~} Voie orale &\textbf{B~} Voie intraveineuse &\textbf{C~} Peu importe lequel
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}