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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Design d'espace}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Design d'espace session 2007}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

On considère le repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}}\right)$ sur la figure suivante :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
\psframe(4,4)
\psline(4,0)(5.2,1.2)(5.2,5.2)(4,4)
\psline(5.2,5.2)(1.2,5.2)(0,4)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.2,1.2)(1.2,5.2)
\psline[linestyle=dotted](1.2,1.2)(5.2,1.2)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](4,0){M} \uput[ur](5.2,1.2){B} \uput[ul](1.2,1.2){O} 
\uput[dl](0,4){N} \uput[dr](4,4){P} \uput[ur](5.2,5.2){Q} \uput[ul](1.2,5.2){C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les coordonnées des points O, A, B, M, C, N, P,  Q.
		\item  Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{AP}}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées du produit vectoriel $\vect{u}=  \vect{\text{AB}} \wedge  \vect{\text{AC}}$.
		\item  Calculer le produit scalaire $\vect{s} =  \vect{\text{AP}} \cdot \vect{u}$.
		\item  On admet que le volume $V$ du tétraèdre ABCP est $V = \dfrac{1}{6}s$.
		
Calculer le volume $V$.
	\end{enumerate}
\item Soit I$(x~;~y~;~z)$ le pied de la hauteur [IPI du tétraèdre ABCP.

	\begin{enumerate}
		\item  On admet que les vecteurs $\vect{\text{IP}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont orthogonaux. En déduire que $x = y$.
		\item  On admet que les vecteurs $\vect{\text{IP}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux. En déduire que $x =  z$.
		\item  On admet que, le point I étant dans le plan (ABC), ses coordonnées vérifient : 
		\[x + y + z =  1.\]
Déduire des questions précédentes les coordonnées du point I.
		\item  Montrer que $\vect{\text{IA}} + \vect{\text{IB}} + \vect{\text{IC}} = \vect{0}$.
		
Que représente le point I pour le triangle ABC ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est :

\[\left\{
\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{array}{l c l c l}
x&=&f(t)&=&\dfrac{5}{1 + t^2}\\
y&=&g(t)&=&t^2 - 3t\\
\end{array}\right. ~~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle} ~ [- 2~;~ 3]. \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ où $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$.
\item Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle $[-2~;~3]$.
\item Rassembler les résultats dans un tableau de variation unique.
\item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des quatre points E, F, G et H obtenus respectivement pour $t =  -2$, pour $t  = 0$, pour $t = 1,5$ et pour $t = 3$.
\item Placer les points E, F, G et H et tracer avec précision sur une feuille de papier millimétré la tangente en chacun de ces points, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}