\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{multicol,diagbox} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache avec l'aide d'Eric Sopéna \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\vphantom{b}#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Nouvelle-Calédonie novembre 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BTS Nouvelle-Calédonie - corrigé} \lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}} \rfoot{\small{septembre 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Nouvelle-Calédonie novembre 2020~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}} %\vspace{0,25cm} %\begin{list}{\textbullet}{} %\item l'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé. %\item l'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé. %\end{list} \end{center} \bigskip \textbf{\large Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip Pour constituer des groupes de travail en informatique dans une classe, un professeur définit trois variables booléennes $r$, $p$, $g$, de la façon suivante: \begin{list}{\textbullet}{} \item $r = 1$ si le groupe comprend au maximum un élève redoublant, $r = 0$ sinon; \item $p = 1$ si le groupe comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python, $p = 0$ sinon; \item $g = 1$ si le groupe ne comprend que des garçons, $g = 0$ sinon. \end{list} \medskip \emph{Les deux questions suivantes sont à choix multiple. Pour chacune d'elles, recopier la seule bonne réponse. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.} %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{list}{\textbullet}{Parmi les phrases suivantes:} \item phrase A : \og le groupe comprend au minimum un élève redoublant\fg ; \item phrase B : \og le groupe ne comprend aucun élève redoublant\fg ; \item phrase C : \og le groupe comprend au minimum deux élèves redoublants \fg; \end{list} celle qui traduit le fait que $r = 0$ est la \textbf{phrase C}. \item \begin{list}{\textbullet}{Parmi les phrases suivantes:} \item phrase A : \og le groupe comprend au plus un élève ayant déjà travaillé sur Python\fg{} ; \item phrase B : \og le groupe ne comprend aucun élève ayant déjà travaillé sur Python\fg{} ; \item phrase C : \og le groupe comprend au plus deux élèves ayant déjà travaillé sur Python \fg; \end{list} celle qui traduit le fait que $p = 0$ est la \textbf{phrase B}. \item Le professeur impose à chaque groupe de respecter au moins une des contraintes suivantes: \begin{list}{\textbullet}{} \item le groupe comprend au maximum un élève redoublant, et comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python, et ne comprend que des garçons $\blue (r.p.g)$, \item ou $\blue (+)$ \item le groupe comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python et comprend au moins une fille $\blue (p.\barre{g})$, \item ou $\blue (+)$ \item le groupe comprend au maximum un élève redoublant, et ne comprend aucun élève ayant déjà travaillé sur Python $\blue (r.\barre{p})$. \end{list} \begin{enumerate} \item Donc $E = r.p.g + p.\barre{g} + r.\barre{p}$. \item À l'aide d'un tableau de Karnaugh, on détermine une écriture simplifiée de $E$. \begin{multicols}{3} \begin{center} $r.p.g$ {\footnotesize %\begin{tabular}{|c|*4{p{4pt}}|} $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$r$}{$p.g$}$ & 00 & \; 01 \; & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & & \\ \hline 1 & & & \blue 1 & \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \columnbreak \begin{center} $p.\barre{g}$ {\footnotesize $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$r$}{$p.g$}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & & \blue 1 \\ \hline 1 & & & & \blue 1 \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \columnbreak \begin{center} $r.\barre{p}$ {\footnotesize %\setlength{\arraycolsep}{2pt} $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$r$}{$p.g$}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & & \\ \hline 1 & \blue 1 & \blue 1 & & \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \end{multicols} \begin{pspicture}(-5,-1.6)(6,2) %\psgrid[gridcolor=orange] \psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](2,-1.25)(4.9,-0.45)%%% \psline[linecolor=blue](4.9,-0.8)(5.4,-0.8) \uput[r](5.4,-0.75){\blue $r$} \psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](4.4,-1.3)(4.8,0.6)%%% \psline(4.8,0.2)(5.4,0.2) \uput[r](5.4,0.25){$p.\barre{g}$} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$r$}{$p.g$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & & \blue 1 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline 1 & \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline \end{tabular} \end{pspicture} Donc l'expression simplifiée de $E$ est: $r+ p.\barre{g}$. \item% Interpréter cette écriture simplifiée par une phrase. Cette écriture simplifiée de $E$ se traduit en: \begin{list}{\textbullet}{} \item le groupe comprend au maximum un élève redoublant, ou \item le groupe comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python et comprend au moins une fille. \end{list} \end{enumerate} \item Les redoublants de la classe s'estiment désavantagés; ils affirment : \og \emph{tous les groupes interdits contiennent au moins deux redoublants} \fg. %Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse. On détermine, par complémentation, le tableau de Karnaugh de $\barre{E}$: \begin{center} %\renewcommand{\arraystretch}{1} $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$r$}{$p.g$}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & \blue 1 &\blue 1 & \blue 1 & \\ \hline 1 & & & & \\ \hline \end{array}$ \end{center} Donc $\barre E = \barre r.g + \barre r.\barre p.\barre g$; on a bien dans tous les cas $r=0$ donc il y a au moins deux redoublants dans les groupes interdits. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip Un groupe d'étudiants de BTS a planifié la réalisation d'un jeu dans le cadre du projet de fin d'année. Le tableau suivant regroupe l'ensemble des informations. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Tâche à réaliser &Repère&Durée en heures&Tâches précédentes\\ \hline Cahier des charges &A& 4&\\ \hline Recherches sur les interfaces graphiques &B&8&\\ \hline Jeu en mode console& C&2&A\\ \hline Page d'accueil &D&4&A, B\\ \hline Interface graphique &E&12&A, B\\ \hline Rapport &F&4&C, D, E\\ \hline Extension (Jeu en réseau) &G&8&C, D\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On considère le graphe orienté correspondant aux conditions d'antériorité données par le tableau précédent. Les repères A, B, \ldots , G sont les sept sommets de ce graphe. \medskip \begin{enumerate} \item On détermine le niveau de chacun des sommets du graphe. \begin{multicols}{2} On part du tableau des prédécesseurs.\\ \\ On cherche les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de A et de B.\\ \\ Les sommets A et B sont donc de niveau 0. \columnbreak \begin{center} \psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Sommets & Prédécesseurs\\ \hline A & \\ \hline B & \\ \hline C & A\\ \hline D & A - B\\ \hline E & A - B\\ \hline F & C - D - E\\ \hline G & C - D\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \begin{multicols}{2} On supprime dans le tableau les sommets de niveau 0, puis on cherche dans le nouveau tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de C, D et E.\\ \\ Les sommets C, D et E sont donc de niveau 1. \columnbreak \begin{center} \psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Sommets & Prédécesseurs\\ \hline \psCancel A & \\ \hline \psCancel B & \\ \hline C & \psCancel A\\ \hline D & \psCancel A - \psCancel B\\ \hline E & \psCancel A - \psCancel B\\ \hline F & C - D - E\\ \hline G & C - D\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \begin{multicols}{2} On supprime dans le tableau les sommets de niveau 1, puis on cherche dans le nouveau tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de F et G.\\ \\ Les sommets F et G sont donc de niveau 2. \columnbreak \begin{center} \psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Sommets & Prédécesseurs\\ \hline \psCancel A & \\ \hline \psCancel B & \\ \hline \psCancel C & \psCancel A\\ \hline \psCancel D & \psCancel A - \psCancel B\\ \hline \psCancel E & \psCancel A - \psCancel B\\ \hline F & \psCancel C - \psCancel D - \psCancel E\\ \hline G & \psCancel C - \psCancel D\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Niveaux & 0 & 1 & 2\\ \hline Sommets & A - B & C - D - E & F - G\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On construit le tableau des successeurs du graphe. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Sommets & Prédécesseurs & Successeurs\\ \hline A & & C - D - E\\ \hline B & & D - E\\ \hline C & A & F - G\\ \hline D & A - B & F - G\\ \hline E & A - B & F\\ \hline F & C - D - E & \\ \hline G & C - D &\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item On construit le graphe d'ordonnancement du projet (selon la méthode M. P. M.). %%%%% 1 \begin{center} \psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(1,-0.5)(24,8.5) \psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm} %\psgrid[gridcolor=orange] %%% boîte \newcommand{\boxh}[3]{%%% \psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1) \rput(0,-0.5){#1} \rput(-0.5,0.5){#2} \rput(0.5,0.5){#3}} %%% niveaux %\multido{\i=0+1}{6}{ %\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$} %} %\rput(-2,-2){\boxh{A}} %\rput(0,2){\boxh{B}} %%% sommets \def\ray{5} \cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{}{}} \cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{}{}} \cnodeput*(9,7){C}{\boxh{C}{}{}} \cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{}{}} \cnodeput*(9,1){E}{\boxh{E}{}{}} \cnodeput*(16,6){F}{\boxh{F}{}{}} \cnodeput*(16,2){G}{\boxh{G}{}{}} \cnodeput*(23,4){H}{\boxh{fin}{}{}} %%% arcs \ncline{->}{A}{C} \ncput*{4} \ncline{->}{A}{D} \ncput*{4} \ncline{->}{A}{E} \ncput*{4} \ncline{->}{B}{D} \ncput*{8} \ncline{->}{B}{E} \ncput*{8} \ncline{->}{C}{F} \ncput*{2} \ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.2]{2} \ncline{->}{D}{F} \ncput*[npos=0.6]{4} \ncline{->}{D}{G} \ncput*[npos=0.2]{4} \ncline{->}{E}{F} \ncput*[npos=0.8]{12} \ncline{->}{F}{H} \ncput*{4} \ncline{->}{G}{H} \ncput*{8} \end{pspicture} \end{center} %Déterminer pour chaque tâche les dates au plus tôt et au plus tard. Pour déterminer pour chaque tâche les \og dates au plus tôt \fg{}, on traite les sommets par niveaux en partant du début. Puis pour chaque sommet, on note la date qui est la longueur du plus \textbf{long} chemin depuis le début. %%%%% 2 \begin{center} \psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(1,-0.5)(24,8.5) \psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm} %\psgrid[gridcolor=orange] %%% boîte \newcommand{\boxh}[3]{%%% \psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1) \rput(0,-0.5){#1} \rput(-0.5,0.5){\blue{}#2} \rput(0.5,0.5){\red{}#3}} %%% niveaux %\multido{\i=0+1}{6}{ %\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$} %} %\rput(-2,-2){\boxh{A}} %\rput(0,2){\boxh{B}} %%% sommets \def\ray{5} \cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{0}{}} \cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{}} \cnodeput*(9,7){C}{\boxh{C}{4}{}} \cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{8}{}} \cnodeput*(9,1){E}{\boxh{E}{8}{}} \cnodeput*(16,6){F}{\boxh{F}{20}{}} \cnodeput*(16,2){G}{\boxh{G}{12}{}} \cnodeput*(23,4){H}{\boxh{fin}{24}{}} %%% arcs \ncline{->}{A}{C} \ncput*{4} \ncline{->}{A}{D} \ncput*{4} \ncline{->}{A}{E} \ncput*{4} \ncline{->}{B}{D} \ncput*{8} \ncline{->}{B}{E} \ncput*{8} \ncline{->}{C}{F} \ncput*{2} \ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.2]{2} \ncline{->}{D}{F} \ncput*[npos=0.6]{4} \ncline{->}{D}{G} \ncput*[npos=0.2]{4} \ncline{->}{E}{F} \ncput*[npos=0.8]{12} \ncline{->}{F}{H} \ncput*{4} \ncline{->}{G}{H} \ncput*{8} \end{pspicture} \end{center} Pour déterminer pour chaque tâche les \og dates au plus tard \fg{}, on traite les sommets par niveaux en partant de la fin et en marquant 24 pour le sommet \og fin \fg{}. La date \og au plus tard \fg{} d'une tâche s'obtient en retirant de la date au plus tard de la tâche qui lui succède sa propre durée. S'il y a plusieurs successeurs, on garde la date la plus \textbf{petite}. %%%%% 3 \begin{center} \psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(1,-0.5)(24,8.5) \psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm} %\psgrid[gridcolor=orange] %%% boîte \newcommand{\boxh}[3]{%%% \psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1) \rput(0,-0.5){#1} \rput(-0.5,0.5){\blue{}#2} \rput(0.5,0.5){\red{}#3}} %%% niveaux %\multido{\i=0+1}{6}{ %\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$} %} %\rput(-2,-2){\boxh{A}} %\rput(0,2){\boxh{B}} %%% sommets \def\ray{5} \cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{0}{4}} \cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{0}} \cnodeput*(9,7){C}{\boxh{C}{4}{14}} \cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{8}{12}} \cnodeput*(9,1){E}{\boxh{E}{8}{8}} \cnodeput*(16,6){F}{\boxh{F}{20}{20}} \cnodeput*(16,2){G}{\boxh{G}{12}{16}} \cnodeput*(23,4){H}{\boxh{fin}{24}{24}} %%% arcs \ncline{->}{A}{C} \ncput*{4} \ncline{->}{A}{D} \ncput*{4} \ncline{->}{A}{E} \ncput*{4} \ncline{->}{B}{D} \ncput*{8} \ncline{->}{B}{E} \ncput*{8} \ncline{->}{C}{F} \ncput*{2} \ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.2]{2} \ncline{->}{D}{F} \ncput*[npos=0.6]{4} \ncline{->}{D}{G} \ncput*[npos=0.2]{4} \ncline{->}{E}{F} \ncput*[npos=0.8]{12} \ncline{->}{F}{H} \ncput*{4} \ncline{->}{G}{H} \ncput*{8} \end{pspicture} \end{center} \item Le chemin critique est donc: B $\longrightarrow$ E $\longrightarrow$ F $\longrightarrow$ \og fin \fg{}. La durée minimale de réalisation du projet est de 24 heures. \item La marge totale du sommet A est en heure de $4-0=4$. La marge totale du sommet C est en heure de $14-4=10$. \item Si la tâche A prend un retard de 4 h, on peut considérer qu'elle a une durée de $4+4=8$ heures, et si la tâche C prend un retard de 8 h, on peut considérer qu'elle a une durée de $8+2=10$ heures. On refait le diagramme des dates \og au plus tôt \fg{}. %%%%% 4 \begin{center} \psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(1,-0.5)(24,8.5) \psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm} %\psgrid[gridcolor=orange] \newrgbcolor{rb}{0.804 0 0} %%% boîte \newcommand{\boxh}[3]{%%% \psframe(-1,-1)(1,1) \psline(-1,0)(1,0) \psline(0,0)(0,1) \rput(0,-0.5){#1} \rput(-0.5,0.5){\blue{}#2} \rput(0.5,0.5){\red{}#3}} %%% niveaux %\multido{\i=0+1}{6}{ %\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$} %} %\rput(-2,-2){\boxh{A}} %\rput(0,2){\boxh{B}} %%% sommets \def\ray{5} \cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{0}{}} \cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{}} \cnodeput*(9,7){C}{\boxh{C}{\rb 8}{}} \cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{8}{}} \cnodeput*(9,1){E}{\boxh{E}{8}{}} \cnodeput*(16,6){F}{\boxh{F}{20}{}} \cnodeput*(16,2){G}{\boxh{G}{\rb 18}{}} \cnodeput*(23,4){H}{\boxh{fin}{\rb 26}{}} %%% arcs \ncline{->}{A}{C} \ncput*{\rb 8} \ncline{->}{A}{D} \ncput*{\rb 8} \ncline{->}{A}{E} \ncput*{\rb 8} \ncline{->}{B}{D} \ncput*{8} \ncline{->}{B}{E} \ncput*{8} \ncline{->}{C}{F} \ncput*{\rb 10} \ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.2]{\rb 10} \ncline{->}{D}{F} \ncput*[npos=0.6]{4} \ncline{->}{D}{G} \ncput*[npos=0.2]{4} \ncline{->}{E}{F} \ncput*[npos=0.8]{12} \ncline{->}{F}{H} \ncput*{4} \ncline{->}{G}{H} \ncput*{8} \end{pspicture} \end{center} La durée minimale de réalisation du projet est alors de 26 heures, en retard de 2 heures. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 3 \hfill 6 points} \medskip Une petite entreprise de la zone euro, créée le 1\up{er} janvier 2018, vend des ordinateurs destinés à des professionnels. Les ordinateurs sont de trois types K, L et M. Le tableau suivant détaille les différents coûts, en euro, relatifs aux ordinateurs de chaque type, durant l'année 2018. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Type d'ordinateur}}&\textbf{Type K}& \textbf{Type L}&\textbf{Type M}\\ \hline Coût des éléments matériels &100 &150 &250\\ \hline Coût de la main d' œuvre &100 &150 &200\\ \hline Coût de la livraison &50 &50 &50\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On note $A = \begin{pmatrix}100& 150 &250\\100& 150 & 200\\50&50& 50\end{pmatrix}$ la matrice correspondant au tableau précédent et $X = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ la matrice colonne correspondant à $x$ ordinateurs de type K, $y$ ordinateurs de type L et $z$ ordinateurs de type M vendus durant un mois de l'année 2018. Enfin, $Y = \begin{pmatrix}e\\m\\l\end{pmatrix}$ est la matrice colonne dont les trois nombres $e$, $m$ et $l$ sont les coûts totaux respectifs, en euro, des éléments matériels, de la main d'œuvre et de la livraison de tous ces ordinateurs, durant ce même mois. %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Écrire une égalité matricielle reliant les matrices $A$, $X$ et $Y$. D'après les données, on a: $\left \lbrace \begin{array}{r !{+} r !{+} r !{=} l} 100 x & 150 y & 250 z & e\\ 100 x & 150 y & 200 z & m\\ 50 x & 50 y & 50 z& l \end{array} \right .$ Ce qui s'écrit sous forme matricielle: $\begin{pmatrix} 100& 150 &250\\ 100& 150 &200\\ 50&50& 50 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e\\m\\l\end{pmatrix}$ soit $A\times X = Y$. \item Durant le mois de janvier 2018, l'entreprise a vendu $25$ ordinateurs de type K, $40$ ordinateurs de type L et $15$ ordinateurs de type M, donc $X=\begin{pmatrix}25\\40\\15\end{pmatrix}$ $Y=A\times X = \begin{pmatrix} 100& 150 &250\\ 100& 150 &200\\ 50&50& 50 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}25\\40\\15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \np{12250} \\ \np{11500} \\ \np{4000} \end{pmatrix}$ \begin{list}{\textbullet}{Donc durant ce mois:} \item le coût total des éléments matériels est de \np{12250}~\euro; \item le coût total de la main d'œuvre est de \np{11500}~\euro; \item le coût total de la livraison est de \np{4000}~\euro. \end{list} %À l'aide du calcul matriciel, calculer le coût total des éléments matériels, celui de la main d'œuvre et celui de la livraison durant ce mois. \end{enumerate} \item On considère la matrice $\renewcommand\arraystretch{1.8} B = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{50}&-\dfrac{1}{25}&\dfrac{3}{50}\\ -\dfrac{1}{25}&\dfrac{3}{50}&-\dfrac{1}{25}\\ \dfrac{1}{50}&-\dfrac{1}{50}&0 \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item À la calculatrice, on trouve: $B \times A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3$, matrice identité d'ordre 3. \item Si $A \times X =Y$, alors $B\times A \times X = B\times Y$, donc $I_3\times X = B \times Y$, et donc $X=B\times Y$. \item Durant le mois de février 2018, le coût total relatif à tous les ordinateurs vendus s'est élevé à \np{13500}~\euro{} pour les éléments matériels, \np{12350}~\euro{} pour la main d'œuvre et \np{4150}~\euro{} pour la livraison. %Déterminer le nombre d'ordinateurs de chaque type qui ont été vendus durant ce mois. On a donc: $Y = \begin{pmatrix} \np{13500}\\ \np{12350} \\ \np{4150} \end{pmatrix}$. $X=B\times Y = \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{pmatrix}\dfrac{1}{50}&-\dfrac{1}{25}&\dfrac{3}{50}\\ -\dfrac{1}{25}&\dfrac{3}{50}&-\dfrac{1}{25}\\ \dfrac{1}{50}&-\dfrac{1}{50}&0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \np{13500}\\ \np{12350} \\ \np{4150} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 \\ 35 \\ 23 \end{pmatrix}$ \medskip On a donc vendu 25 ordinateurs de type K, 35 de type L, et 23 de type M en février 2018. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}