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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache avec l'aide d'Eric Sopéna
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}

\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Nouvelle-Calédonie - corrigé}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Nouvelle-Calédonie novembre 2020~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

%\vspace{0,25cm}

%\begin{list}{\textbullet}{}
%\item l'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.
%\item l'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
%\end{list}

\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

Pour constituer des groupes de travail en informatique dans une classe, un professeur définit trois variables booléennes $r$, $p$, $g$, de la façon suivante:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $r = 1$ si le groupe comprend au maximum un élève redoublant, $r = 0$ sinon;
\item $p = 1$ si le groupe comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python, $p = 0$ sinon; 
\item $g = 1$ si le groupe ne comprend que des garçons, $g = 0$ sinon.
\end{list}

\medskip

\emph{Les deux questions suivantes sont à choix multiple. Pour chacune d'elles, recopier la seule bonne réponse. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{list}{\textbullet}{Parmi les phrases suivantes:}
\item phrase A : \og le groupe comprend au minimum un élève redoublant\fg ; 
\item phrase B : \og le groupe ne comprend aucun élève redoublant\fg ;
\item phrase C : \og le groupe comprend au minimum deux élèves redoublants \fg;
\end{list}
celle qui traduit le fait que $r = 0$ est la \textbf{phrase C}.

\item
\begin{list}{\textbullet}{Parmi les phrases suivantes:}
\item phrase A : \og le groupe comprend au plus un élève ayant déjà travaillé sur Python\fg{} ; 
\item phrase B : \og le groupe ne comprend aucun élève ayant déjà travaillé sur Python\fg{} ; 
\item phrase C : \og le groupe comprend au plus deux élèves ayant déjà travaillé sur Python \fg;
\end{list}
celle qui traduit le fait que $p = 0$ est la \textbf{phrase B}.

\item Le professeur impose à chaque groupe de respecter au moins une des contraintes suivantes:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item le groupe comprend au maximum un élève redoublant, et comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python, et ne comprend que des garçons $\blue (r.p.g)$,
\item ou $\blue (+)$
\item le groupe comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python et comprend au moins une fille $\blue (p.\barre{g})$, 
\item ou $\blue (+)$
\item  le groupe comprend au maximum un élève redoublant, et ne comprend aucun élève ayant déjà travaillé sur Python $\blue (r.\barre{p})$.
\end{list}

	\begin{enumerate}
		\item Donc $E = r.p.g + p.\barre{g} + r.\barre{p}$.
		
		\item À l'aide d'un tableau de Karnaugh, on détermine une écriture simplifiée de $E$.
		
\begin{multicols}{3}

\begin{center}
$r.p.g$

{\footnotesize
%\begin{tabular}{|c|*4{p{4pt}}|}
$\begin{array}{|*5{c|}}
\hline
$\diagbox{$r$}{$p.g$}$ & 00 &  \; 01 \;  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & & & \\
 \hline
1 & &   & \blue 1  &   \\
 \hline
\end{array}$
}
\end{center}


\columnbreak

\begin{center}
$p.\barre{g}$

{\footnotesize
$\begin{array}{|*5{c|}}
\hline
$\diagbox{$r$}{$p.g$}$ & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & & & \blue 1   \\
 \hline
1 & & & & \blue 1 \\
 \hline
\end{array}$
}
\end{center}

\columnbreak

\begin{center}
$r.\barre{p}$

{\footnotesize
%\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{|*5{c|}}
\hline
$\diagbox{$r$}{$p.g$}$ & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &   & & \\
 \hline
1 & \blue 1 &  \blue 1 & & \\
 \hline
\end{array}$
}
\end{center}
\end{multicols}
		
\begin{pspicture}(-5,-1.6)(6,2)
%\psgrid[gridcolor=orange]
\psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](2,-1.25)(4.9,-0.45)%%% 
\psline[linecolor=blue](4.9,-0.8)(5.4,-0.8) \uput[r](5.4,-0.75){\blue $r$}
\psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](4.4,-1.3)(4.8,0.6)%%% 
\psline(4.8,0.2)(5.4,0.2) \uput[r](5.4,0.25){$p.\barre{g}$}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$r$}{$p.g$} & 00 & 01  & 11 & 10  \\
 \hline
0 &  &  & & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
1 &  \blue 1 & \blue 1 & \blue 1  & \blue 1   \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
\end{tabular}
\end{pspicture}

Donc l'expression simplifiée de $E$ est: $r+ p.\barre{g}$.
		
		\item% Interpréter cette écriture simplifiée par une phrase.
Cette écriture simplifiée de $E$ se traduit en:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item  le groupe comprend au maximum un élève redoublant,

ou
\item le groupe comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python et comprend au moins une fille.
\end{list}		
		
		
	\end{enumerate}
\item Les redoublants de la classe s'estiment désavantagés; ils affirment : \og \emph{tous les groupes interdits contiennent au moins deux redoublants} \fg.

%Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.

On détermine, par complémentation, le tableau de Karnaugh de $\barre{E}$:

\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1}
$\begin{array}{|*5{c|}}
\hline
$\diagbox{$r$}{$p.g$}$ & 00 & 01  & 11 & 10  \\
 \hline
0 & \blue 1 &\blue 1  & \blue 1 &  \\
 \hline
1 &   &   & & \\
 \hline
\end{array}$
\end{center}
	
Donc $\barre E = \barre r.g + \barre r.\barre p.\barre g$; on a bien dans tous les cas $r=0$ donc il y a au moins deux redoublants dans les groupes interdits.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

Un groupe d'étudiants de BTS a planifié la réalisation d'un jeu dans le cadre du projet de fin d'année.

Le tableau suivant regroupe l'ensemble des informations.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Tâche à réaliser &Repère&Durée en heures&Tâches précédentes\\ \hline
Cahier des charges &A& 4&\\ \hline
Recherches sur les interfaces graphiques &B&8&\\ \hline
Jeu en mode console& C&2&A\\ \hline
Page d'accueil &D&4&A, B\\ \hline
Interface graphique &E&12&A, B\\ \hline
Rapport &F&4&C, D, E\\ \hline
Extension (Jeu en réseau) &G&8&C, D\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On considère le graphe orienté correspondant aux conditions d'antériorité données par le tableau précédent. Les repères A, B, \ldots , G sont les sept sommets de ce graphe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On détermine le niveau de chacun des sommets du graphe.

\begin{multicols}{2}
On part du tableau des prédécesseurs.\\
\\
On cherche les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de A et de B.\\
\\
Les sommets A et B sont donc de niveau 0.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Sommets & Prédécesseurs\\
\hline
A & \\
\hline
B & \\
\hline
C & A\\
\hline
D & A - B\\
\hline
E & A - B\\
\hline
F & C - D - E\\
\hline
G & C - D\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
On supprime dans le tableau les sommets de niveau 0, puis on cherche dans le nouveau  tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de C, D et E.\\
\\
Les sommets C, D et E sont donc de niveau 1.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Sommets & Prédécesseurs\\
\hline
\psCancel A & \\
\hline
\psCancel B & \\
\hline
C & \psCancel A\\
\hline
D & \psCancel A - \psCancel  B\\
\hline
E & \psCancel A - \psCancel B\\
\hline
F & C - D - E\\
\hline
G & C - D\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}

On supprime dans le tableau les sommets de niveau 1, puis on cherche dans le nouveau  tableau les sommets qui n'ont pas de prédécesseur; il s'agit de F et G.\\
\\
Les sommets F et G sont donc de niveau 2.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=blue}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Sommets & Prédécesseurs\\
\hline
\psCancel A & \\
\hline
\psCancel B & \\
\hline
 \psCancel C & \psCancel A\\
\hline
 \psCancel D & \psCancel A - \psCancel  B\\
\hline
 \psCancel E & \psCancel A - \psCancel B\\
\hline
F &  \psCancel C -  \psCancel D -  \psCancel E\\
\hline
G &  \psCancel C -  \psCancel D\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Niveaux & 0 & 1 & 2\\
\hline
Sommets & A - B & C - D - E & F - G\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On construit le tableau des successeurs du graphe.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Sommets & Prédécesseurs & Successeurs\\
\hline
A &  & C - D - E\\
\hline
B &  & D - E\\
\hline
C & A & F - G\\
\hline
D & A - B & F - G\\
\hline
E & A - B & F\\
\hline
F & C - D - E & \\
\hline
G & C - D &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On construit le graphe d'ordonnancement du projet (selon la méthode  M. P. M.). 

%%%%% 1
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,-0.5)(24,8.5)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[gridcolor=orange]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){#1}
\rput(-0.5,0.5){#2}
\rput(0.5,0.5){#3}}
%%% niveaux
%\multido{\i=0+1}{6}{
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$}
%}
%\rput(-2,-2){\boxh{A}}
%\rput(0,2){\boxh{B}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{}{}} 
\cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{}{}}  
\cnodeput*(9,7){C}{\boxh{C}{}{}}  
\cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{}{}}
\cnodeput*(9,1){E}{\boxh{E}{}{}} 
\cnodeput*(16,6){F}{\boxh{F}{}{}}  
\cnodeput*(16,2){G}{\boxh{G}{}{}}  
\cnodeput*(23,4){H}{\boxh{fin}{}{}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{4}  
\ncline{->}{A}{D}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{A}{E} \ncput*{4}  
\ncline{->}{B}{D}  \ncput*{8}  
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{8}  
\ncline{->}{C}{F}  \ncput*{2}  
\ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.2]{2}  
\ncline{->}{D}{F}  \ncput*[npos=0.6]{4}  
\ncline{->}{D}{G} \ncput*[npos=0.2]{4}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*[npos=0.8]{12}  
\ncline{->}{F}{H}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{G}{H}    \ncput*{8}   
\end{pspicture} 
\end{center}

%Déterminer pour chaque tâche les dates au plus tôt et au plus tard.

Pour déterminer pour chaque tâche les \og dates au plus tôt \fg{}, on traite les sommets par niveaux en partant du début. Puis pour chaque sommet, on note la date qui est la longueur du plus \textbf{long} chemin depuis le début.

%%%%% 2
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,-0.5)(24,8.5)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[gridcolor=orange]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){#1}
\rput(-0.5,0.5){\blue{}#2}
\rput(0.5,0.5){\red{}#3}}
%%% niveaux
%\multido{\i=0+1}{6}{
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$}
%}
%\rput(-2,-2){\boxh{A}}
%\rput(0,2){\boxh{B}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{0}{}} 
\cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{}}  
\cnodeput*(9,7){C}{\boxh{C}{4}{}}  
\cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{8}{}}
\cnodeput*(9,1){E}{\boxh{E}{8}{}} 
\cnodeput*(16,6){F}{\boxh{F}{20}{}}  
\cnodeput*(16,2){G}{\boxh{G}{12}{}}  
\cnodeput*(23,4){H}{\boxh{fin}{24}{}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{4}  
\ncline{->}{A}{D} \ncput*{4}  
\ncline{->}{A}{E} \ncput*{4}  
\ncline{->}{B}{D} \ncput*{8}  
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{8}  
\ncline{->}{C}{F} \ncput*{2}  
\ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.2]{2}  
\ncline{->}{D}{F}  \ncput*[npos=0.6]{4}  
\ncline{->}{D}{G} \ncput*[npos=0.2]{4}  
\ncline{->}{E}{F} \ncput*[npos=0.8]{12}  
\ncline{->}{F}{H} \ncput*{4}  
\ncline{->}{G}{H} \ncput*{8}   
\end{pspicture} 
\end{center}

Pour déterminer pour chaque tâche les \og dates au plus tard \fg{}, on traite les sommets par niveaux en partant de la fin et en marquant 24 pour le sommet \og fin \fg{}.
La date \og au plus tard \fg{} d'une tâche s'obtient en retirant de la date au plus tard de la tâche qui lui succède sa propre durée.
S'il y a plusieurs successeurs, on garde la date la plus \textbf{petite}.

%%%%% 3
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,-0.5)(24,8.5)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[gridcolor=orange]
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){#1}
\rput(-0.5,0.5){\blue{}#2}
\rput(0.5,0.5){\red{}#3}}
%%% niveaux
%\multido{\i=0+1}{6}{
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$}
%}
%\rput(-2,-2){\boxh{A}}
%\rput(0,2){\boxh{B}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{0}{4}} 
\cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{0}}  
\cnodeput*(9,7){C}{\boxh{C}{4}{14}}  
\cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{8}{12}}
\cnodeput*(9,1){E}{\boxh{E}{8}{8}} 
\cnodeput*(16,6){F}{\boxh{F}{20}{20}}  
\cnodeput*(16,2){G}{\boxh{G}{12}{16}}  
\cnodeput*(23,4){H}{\boxh{fin}{24}{24}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{4}  
\ncline{->}{A}{D}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{A}{E} \ncput*{4}  
\ncline{->}{B}{D}  \ncput*{8}  
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{8}  
\ncline{->}{C}{F}  \ncput*{2}  
\ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.2]{2}  
\ncline{->}{D}{F}  \ncput*[npos=0.6]{4}  
\ncline{->}{D}{G} \ncput*[npos=0.2]{4}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*[npos=0.8]{12}  
\ncline{->}{F}{H}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{G}{H}    \ncput*{8}   
\end{pspicture} 
\end{center}

\item Le chemin critique  est donc: B $\longrightarrow$ E $\longrightarrow$ F $\longrightarrow$ \og fin \fg{}.

La durée minimale de réalisation du projet est de 24 heures.

\item La marge totale du sommet A est en heure de $4-0=4$.

La marge totale du sommet C est en heure de $14-4=10$.

\item Si la tâche A prend un retard de 4 h, on peut considérer qu'elle a une durée de $4+4=8$ heures, et si la tâche C prend un retard de 8 h, on peut considérer qu'elle a une durée de $8+2=10$ heures.

On refait le diagramme des dates \og au plus tôt \fg{}.

%%%%% 4
\begin{center}
\psset{unit=0.56cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(1,-0.5)(24,8.5)
\psset{linewidth=.75pt,nodesep=0.7cm}
%\psgrid[gridcolor=orange]
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
%%% boîte
\newcommand{\boxh}[3]{%%%
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0,0)(0,1)
\rput(0,-0.5){#1}
\rput(-0.5,0.5){\blue{}#2}
\rput(0.5,0.5){\red{}#3}}
%%% niveaux
%\multido{\i=0+1}{6}{
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$}
%}
%\rput(-2,-2){\boxh{A}}
%\rput(0,2){\boxh{B}}
%%% sommets
\def\ray{5}
\cnodeput*(2,7){A}{\boxh{A}{0}{}} 
\cnodeput*(2,1){B}{\boxh{B}{0}{}}  
\cnodeput*(9,7){C}{\boxh{C}{\rb 8}{}}  
\cnodeput*(9,4){D}{\boxh{D}{8}{}}
\cnodeput*(9,1){E}{\boxh{E}{8}{}} 
\cnodeput*(16,6){F}{\boxh{F}{20}{}}  
\cnodeput*(16,2){G}{\boxh{G}{\rb 18}{}}
\cnodeput*(23,4){H}{\boxh{fin}{\rb 26}{}}  
%%% arcs
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{\rb 8}  
\ncline{->}{A}{D}  \ncput*{\rb 8}  
\ncline{->}{A}{E} \ncput*{\rb 8}  
\ncline{->}{B}{D}  \ncput*{8}  
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{8}  
\ncline{->}{C}{F}  \ncput*{\rb 10}  
\ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.2]{\rb 10}  
\ncline{->}{D}{F}  \ncput*[npos=0.6]{4}  
\ncline{->}{D}{G} \ncput*[npos=0.2]{4}  
\ncline{->}{E}{F}  \ncput*[npos=0.8]{12}  
\ncline{->}{F}{H}  \ncput*{4}  
\ncline{->}{G}{H}    \ncput*{8}   
\end{pspicture} 
\end{center}

La durée minimale de réalisation du projet est alors de 26 heures, en retard de 2 heures.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Une petite entreprise de la zone euro, créée le 1\up{er} janvier 2018, vend des ordinateurs destinés à des professionnels.
Les ordinateurs sont de trois types K, L et M. Le tableau suivant détaille les différents coûts, en euro, relatifs aux ordinateurs de chaque type, durant l'année 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Type d'ordinateur}}&\textbf{Type K}& \textbf{Type L}&\textbf{Type M}\\ \hline
Coût des éléments matériels	&100	&150	&250\\ \hline
Coût de la main d' œuvre	&100 	&150 	&200\\ \hline
Coût de la livraison		&50		&50		&50\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On note $A = \begin{pmatrix}100& 150 &250\\100& 150 &
200\\50&50& 50\end{pmatrix}$
la matrice correspondant au tableau précédent et $X = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ la matrice colonne correspondant à $x$ ordinateurs de type K, $y$ ordinateurs de type L et $z$ ordinateurs de type M vendus durant un mois de l'année 2018. 

Enfin, $Y = \begin{pmatrix}e\\m\\l\end{pmatrix}$ est la matrice colonne dont les trois
nombres $e$, $m$ et $l$ sont les coûts totaux respectifs, en euro, des éléments matériels, de la main d'œuvre et de la livraison de tous ces ordinateurs, durant ce même mois. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire une égalité matricielle reliant les matrices $A$, $X$ et $Y$.
D'après les données, on a:
$\left \lbrace
\begin{array}{r !{+} r !{+} r !{=} l}
 100 x & 150 y & 250 z & e\\
 100 x & 150 y & 200 z & m\\
 50 x & 50 y & 50 z& l
\end{array}
\right .$		

Ce qui s'écrit sous forme matricielle:		
$\begin{pmatrix}
100& 150 &250\\
100& 150 &200\\
50&50& 50
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}e\\m\\l\end{pmatrix}$
soit $A\times X = Y$.

		
		
		\item Durant le mois de janvier 2018, l'entreprise a vendu $25$ ordinateurs de type K, $40$ ordinateurs de type L et $15$ ordinateurs de type M, donc
$X=\begin{pmatrix}25\\40\\15\end{pmatrix}$

$Y=A\times X 
=
\begin{pmatrix}
100& 150 &250\\
100& 150 &200\\
50&50& 50
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}25\\40\\15\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \np{12250} \\  \np{11500} \\ \np{4000} \end{pmatrix}$

\begin{list}{\textbullet}{Donc durant ce mois:}
\item le coût total des éléments matériels est de \np{12250}~\euro;
\item le coût total de la main d'œuvre est de \np{11500}~\euro;
\item le coût total de la livraison est de \np{4000}~\euro.
\end{list}
		
%À l'aide du calcul matriciel, calculer le coût total des éléments matériels, celui de la main d'œuvre et celui de la livraison durant ce mois.	
	\end{enumerate}

\item On considère la matrice 
$\renewcommand\arraystretch{1.8}
B = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{50}&-\dfrac{1}{25}&\dfrac{3}{50}\\
-\dfrac{1}{25}&\dfrac{3}{50}&-\dfrac{1}{25}\\
\dfrac{1}{50}&-\dfrac{1}{50}&0
\end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}
		\item À la calculatrice, on trouve: 
$B \times A
= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
= I_3$,  matrice identité d'ordre 3.

		\item Si $A \times X =Y$, alors $B\times A \times X = B\times Y$, donc $I_3\times X = B \times Y$, et donc $X=B\times Y$.
		
		\item Durant le mois de février 2018, le coût total relatif à tous les ordinateurs vendus s'est élevé à \np{13500}~\euro{} pour les éléments matériels, \np{12350}~\euro{} pour la main d'œuvre et \np{4150}~\euro{} pour la livraison.
		
%Déterminer le nombre d'ordinateurs de chaque type qui ont été vendus durant ce mois.

On a donc:
$Y = 
\begin{pmatrix}
\np{13500}\\  \np{12350} \\ \np{4150}
\end{pmatrix}$.

$X=B\times Y
=
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{pmatrix}\dfrac{1}{50}&-\dfrac{1}{25}&\dfrac{3}{50}\\
-\dfrac{1}{25}&\dfrac{3}{50}&-\dfrac{1}{25}\\
\dfrac{1}{50}&-\dfrac{1}{50}&0
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
\np{13500}\\  \np{12350} \\ \np{4150}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
25 \\ 35 \\ 23
\end{pmatrix}$

\medskip

On a donc vendu 25 ordinateurs de type K, 35 de type L, et 23 de type M en février 2018.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}