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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture et corrigé : François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Polynésie -- corrigé}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ mathématiques approfondies}}
\rfoot{\small{mai 2021}}
\pagestyle{fancy}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Polynésie -- Mathématiques approfondies~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations --  mai 2021}}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1\hfill 10 points}

\medskip

%\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}
%
%\emph{Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats sont à arrondir à}  $10^{-3}$.
%
%\medskip

Dans un groupe d'assurances, on s'intéresse aux sinistres susceptibles de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d'une importante entreprise de livraison de colis.

\bigskip

\textbf{Partie A - Étude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs}

\medskip

On choisit au hasard $15$ conducteurs de l'entreprise. Le nombre de conducteurs est suffisamment important pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.
On note $E$ l'évènement: \og un conducteur choisi au hasard dans l'ensemble des conducteurs de l'entreprise n'a pas de sinistre pendant l'année considérée \fg.
On suppose que la probabilité de l'événement $E$ est égale à $0,6$.
On considère la variable aléatoire $X$ qui, parmi les $15$ conducteurs choisis, comptabilise le
nombre de conducteurs n'ayant pas de sinistre pendant l'année considérée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
L'expérience consiste en la répétition de 15 épreuves identiques qui n'ont que deux issues; la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,6$.


\item La probabilité que, parmi les $15$ conducteurs choisis, $10$ conducteurs exactement n'aient pas de sinistre pendant l'année considérée est:

$P(X=10) = \ds \binom{15}{10} \times  0,6^{10} \times \left (1-0,6\right )^{15-10}\approx 0,186$.

\item La probabilité que, parmi les $15$ conducteurs choisis, $13$ conducteurs au moins n'aient pas de sinistre est:

$P(X\geqslant 13) = 1-P(X\leqslant 12) \approx 1-\np{0,9729} \approx  0,027$. 

\item L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np = 15 \times 0,6 = 9$.% et interpréter le résultat obtenu.

Dans un lot de 15 conducteurs, il y en a donc en moyenne 9 qui n'ont pas de sinistre sur l'année considérée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude du coût des sinistres}

\medskip

On considère la variable aléatoire $C$ qui, à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres survenus, associe son coût en euros.
On suppose que la variable aléatoire $C$ suit la loi normale d'espérance $\mu=\np{1200}$ et d'écart type $\sigma=200$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(800 \leqslant C \leqslant \np{1600})
= P(\mu -2\sigma \leqslant C \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$ d'après le cours.

Donc $95$\,\% des sinistres ont un coût compris entre 800~\euro{} et \np{1200}~\euro.

\item La probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres survenus coûte plus de \np{1500}~euros est:
$P(C>\np{1500}) \approx 0,067$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Nombre de sinistres pendant la première année de mise en service}

\medskip

Pour les véhicules de la flotte de cette entreprise, on a relevé le nombre de sinistres par véhicule pendant la première année de mise en service.

\smallskip

Pour les véhicules ayant eu au plus quatre sinistres, on a obtenu :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de sinistres : $x_i$& 0			&1	&2		&3	&4\\ \hline
Nombre de véhicules: $n_i$ &\np{1345}	&508& 228 	&78 &35\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage de points $\left(x_i~;~n_i\right)$ suggère de procéder à un ajustement exponentiel. \\
On pose donc $y = \ln n_i$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète le tableau suivant en arrondissant les valeurs à $10^{-3}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de sinistres : $x_i$	&0	&1	&2	&3	&4\\ \hline
$y = \ln n_i$				& $7,204$	& $6,230$ 	& $5,429$	& $4,357$	& $3,555$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On détermine, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$:
$y=-0,92 x + 7,19$.

\item %Justifier que le nombre $n$ de véhicules ayant subi $x$ sinistres peut être modélisé par une égalité de la forme $n = A \times B^x$  où $A = \np{1326}$ à 1 près et $B = 0,4$ à $0,1$ près.
$y=-0,92 x + 7,19
\iff \ln(n)=-0,92x + 7,19
\iff n = \e^{-0,92x + 7,19}\\
\phantom{y=-0,92 x + 7,19}
\iff n= \e^{-0,92x}\times \e^{7,19}
\iff n = \left (\e^{-0,92}\right )^{x}\times \e^{7,19}$

Or $\e^{-0,92}\approx 0,4$ à $0,1$ près, et $\e^{7,19}\approx\np{1326}$ à 1 près. 

Donc $n = A \times B^x$  où $A = \np{1326}$ et $B = 0,4$, c'est-à-dire $n = \np{1326} \times 0,4^x$.

\item À l'aide de l'équation précédente, on peut estimer le nombre de véhicules ayant eu six sinistres pendant leur première année de mise en circulation à $n = \np{1326} \times 0,4^6$ soit environ 5.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 10 points}


\medskip

Pour un promoteur immobilier, le coût de production, en millions d'euros, pour $n$ villas construites, $0 \leqslant n \leqslant 10$, est modélisé par:
$C(n) = 0,2n + 0,45\ln (8n+ 1).$

 Ce promoteur vend chaque villa \np{600000}~\euro.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $C(4)$ puis $C(8)$, on arrondira les résultats à $0,01$ près.
$C(4)\approx 2,37$ et $C(8)\approx 3,48$

\item $C(8)$ n'est pas le double de $C(4)$, donc le coût de production n'est pas proportionnel au nombre de villas construites.
%Pourquoi ?
\item %On appelle $R(n)$, la recette, en millions d'euros, générée par la vente de $n$ villas. %Expliquer pourquoi $R(n) = 0,6n$.
Chaque villa est vendue $\np{600000}$~\euro{} soit $0,6$ million d'euros.

La recette, en million d'euros, générée par la vente de $n$ villas est donc $R(n)=0,6n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On modélise le coût de production des villas et la recette générée par leur vente (en millions d'euros) par les fonctions $f$ et $g$ de la variable réelle $x$ définies sur l'intervalle [0~;~10] par :

\hfill $f(x) = 0,2x + 0,45\ln (8x + 1)$ et $g(x) = 0,6x.$\hfill{}

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$,
ainsi que la droite $(D)$) représentative de la fonction $g$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray](0,0)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(10,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{0.2 x mul x 8 mul 1 add ln 0.45 mul add}\uput[dr](9,3.7){\red $\Gamma$}
\psline[linewidth=1.25pt](10,6)\uput[ul](9,5.4){$D$}
\psset{linecolor=blue,linestyle=dashed}
{\blue
\psline(2,0)(2,1.675)(0,1.675) \uput[l](0,1.675){\footnotesize $1,7$}
\psline(2,1.2)(0,1.2) \uput[l](0,1.2){\footnotesize $1.2$}
\psline[linestyle=solid](3.91,0)(3.91,2.346)
\psline[linestyle=solid](0,2.346)(9,2.346)
}
\end{pspicture}
\end{center}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Par lecture graphique, déterminer le coût de production pour la construction de 2 villas ainsi que la recette générée par la vente de 2 villas.
\begin{list}{\textbullet}{Par lecture graphique:}
\item le coût de production pour la construction de 2 villas est d'environ $1,7$ million d'euros;
\item la recette générée par la vente de 2 villas est de $1,2$ million d'euros.
\end{list}		
		
		\item %Déterminer si le bénéfice obtenu pour la construction et la vente de 2 villas est positif. Expliquer.
Pour la construction de 2 villas, le coût est supérieur à la recette obtenue donc le bénéfice est négatif		
	\end{enumerate}
	
\item Pour avoir un bénéfice positif, il faut que la droite $(D)$ soit au dessus de la courbe $\Gamma$, donc il faut construire au moins 4 villas.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie on suppose que le promoteur a construit et vendu au moins une villa.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le bénéfice réalisé pour la construction et la vente de $n$ villas est, en millions
d'euros:

$B(n) = R(n)-C(n) = 0,6n - 0,2n-0,45_ln(8n+1) = 0,4n - 0,45\ln (8n + 1).$

\item Soit la fonction $h$, définie sur l'intervalle [1~;~10] par:
$h(x) = 0,4x - 0,45\ln (8x + 1).$

	\begin{enumerate}
		\item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$. 
		Pour tout $x$ appartenant à
l'intervalle [1; 10]:

$h'(x)= 0,4 - 0,45\times \dfrac{8}{8x+1} = \dfrac{0,4\left (8x+1\right ) - 0,45\times 8}{8x+1}
= \dfrac{3,2x +0,4 - 3,6}{8x+1} = \dfrac{3,2x-3,2}{8x+1}\\
\phantom{h'(x)}
=\dfrac{3,2\left (x -1\right )}{8x+1}.$
 
		\item On étudie le signe de $h'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~10].
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{\hspace*{3cm}}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l*2{c}|}
\hline
 x & 1   & \esp & 10 \\
 \hline
x-1 &0   & \pmb{+} & \\ 
\hline
8x+1 &   & \pmb{+} & \\ 
\hline
h'(x) =\dfrac{3,2\left (x-1\right )}{8x+1}&0   & \pmb{+} &\rule[-12pt]{0pt}{32pt} \\  
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		
		\item 
$h(1)\approx -0,59$ et $h(10)\approx 2$
		
On établit le tableau de variation de $h$ sur l'intervalle [1~;~10].
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{\hspace*{3cm}}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l*2{c}|}
\hline
 x & 1   & \esp & 10 \\
 \hline
h'(x) &0   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{\approx 2}   \\
h(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{\approx -0,59} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]1~;~10[.
On complète le tableau de variations de la fonction $h$.
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| l*2{c}|}
\hline
 x & 1   & \esp & 10 \\
 \hline
%f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
%\hline
  &   &    & \Rnode{max}{\approx 2}   \\
h(x) & &  &  \\
 &     \Rnode{min}{\approx -0,59} & & 
\ncline{->}{min}{max}
\rput*(-2,0.8){\Rnode{zero}{\blue 0}}
\rput(-2,1.9){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		
		
On en déduit que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]1~;~10[.		
		
		\item% Donner une valeur approchée à 1 près de $\alpha$.
À la calculatrice on trouve que $h(3,9)\approx -0,002<0$ et $h(4)\approx 0,027>0$; on en déduit que $3,9 <\alpha< 4$ et donc que 4 est une valeur approchée à 1 près de $\alpha$.		
		
		
		\item Le promoteur sera bénéficiaire pour un nombre de villas supérieur à $\alpha$, donc à partir de 4 villas.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}