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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Corrigé du brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{12 mai 2021}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien--lunetier  12 mai 2021}  
\end{center}
%Corrigé Ronan Charpentier
\vspace{0,25cm}


\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip


\textbf{\textit{A. Ajustement d'un nuage de points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~

\vspace{-4mm}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 
$x$ & 60 & 80 & 120 & 160 \\ 
\hline 
$z=\ln\left(N(x)\right)$ & \phantom{xx} 8,006 \phantom{xx} & \phantom{xx}7,601 \phantom{xx} & \phantom{xx} 6,802\phantom{xx} &\phantom{xx} 5,991  \phantom{xx} \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\item L'équation est $z=-0,02 x+9,21$.

\item  $z=\ln(N(x))=-0,02x+9,21$ se réécrit $N(x)=\text{e}^{-0,02x+9,21}=\text{e}^{-0,02 x} \times \text{e}^{9,21}$ or $\text{e}^{9,21} \approx \np{9996,6} \approx \np{10000}$
donc le nombre d'acheteurs potentiels peut être modélisé par la fonction $N_1$ définie pour tout $x$ de l'intervalle $\left[0; +\infty \right[$ par :
$N_1(x)=\np{10000}\text{e}^{-0,02x}.$
\item $N_1(100)=\np{10000}\text{e}^{-0,02\times 100}=\np{10000}\text{e}^{-2}\approx \np{1353}$ acheteurs potentiels si les lunettes sont vendues au prix de 100 euros la paire.


\end{enumerate}


\textbf{\textit{B. Modèle discret}}


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 
Une diminution de 33 \,\% correspond à un coefficient multiplicateur $0,67$ donc deux diminutions successives de 33 \,\% correspondent à un coefficient multiplicateur $0,67^2=0,4489 \approx 0,45$ soit une diminution globale d'environ 55 \,\%.
\item Lorsque le prix passe de 60 à 80 euros, le nombre d'acheteurs passe de \np{3000} à \np{2000}, ce qui correspond à une baisse de 33 \,\% environ puisque $\dfrac{2000-3000}{3000} \approx -0,3333$.

Quand le prix passe de 80 euros à 120 euros, le nombre d'acheteurs potentiels baisse de 55 \,\% puisque $\dfrac{900-2000}{2000}=-0,55$, et cela correspond bien à deux baisses de 33 \,\% pour deux augmentations de 20 euros.

Enfin de 120 à 160 euros on a encore deux hausses de 20 euros et $\dfrac{400-900}{900}\approx -0,5556$ soit une baisse d'environ 55 \,\% qui correspond bien à deux baisses de 33 \,\%, ce qui est là encore cohérent avec les deux augmentations de 20 euros de 120 à 160. 


\item $q^{20} = 0,67 \iff q=\sqrt[20]{0,67} \approx 0,98$ pour $q>0$.

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item La relation $\rule[-5pt]{0pt}{15pt} u_{n+1}=u_n-\dfrac{2}{100}u_n$ s'écrit aussi $u_{n+1}=0,98 u_n$,

 ce qui prouve que  $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,98.
\item $u_n=\np{10000} \times 0,98^n$.
\item $u_{100}=\np{10000} \times 0,98^{100}\approx \np{1326}$. 
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textit{C. Modèle continu}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les solutions de $(E)$ sont les fonction $y=k \text{e}^{-0,02 x}$ où $k \in \mathbb{R}$.
 
\item La condition initiale $f(0)=\np{10000}$ s'écrit $\np{10000}=k \text{e}^{-0,02 \times 0}$ or $\text{e}^0=1$ donc $k=\np{10000}$ et $f(x)=\np{10000}\text{e}^{-0,02 x}$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{\textit{D. Étude d'une fonction}}

\medskip

$B(x)= (x - 55) f(x)=\np{10000}(x-55)\text{e}^{-0,02x}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $B'(x)=-200(x-105)\text{e}^{-0,02x}$ or $-200<0$ et $\text{e}^{-0,02x}>0$ sur $\left[0~;~300\right]$ donc $B'(x)$ a le signe opposé au signe de $x-105$, en particulier $B'(x)$ s'annule en $x=105$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw(0,0)--(10,0)--(10,1.2)--(0,1.2)--cycle;
\draw(1,0)--(1,1.2); \draw(0,0.6)--(10,0.6);
\draw(0.5,0.9)node{$x$};
\draw(1.2,0.9)node{$0$};
\draw(5.5,0.9)node{$105$};
\draw(9.6,0.9)node{$300$};
\draw(0.5,0.3)node{$B'(x)$};
\draw(3.25,0.3)node{$+$};
\draw(5.5,0.3)node{$0$};
\draw(5.5,0)--(5.5,0.6);
\draw(7.75,0.3)node{$-$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item Le tableau de variations de $B$ sur $\left[0~;~300\right]$ est :


\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw(0,-1.6)--(10,-1.6)--(10,1.2)--(0,1.2)--cycle;
\draw(1,-1.6)--(1,1.2); \draw(0,0.6)--(10,0.6);
\draw(0,0)--(10,0);
\draw(0.5,0.9)node{$x$};
\draw(1.2,0.9)node{$0$};
\draw(5.5,0.9)node{$105$};
\draw(9.6,0.9)node{$300$};
\draw(0.5,0.3)node{$B'(x)$};
\draw(3.25,0.3)node{$+$};
\draw(5.5,0.3)node{$0$};
\draw(5.5,0)--(5.5,0.6);
\draw(7.75,0.3)node{$-$};
\draw(0.5,-0.8)node{$B$};
\draw(1.7,-1.4)node{$-\np{550000}$};
\draw(5.5,-0.2)node{$\np{166435,54}$};
\draw(9.3,-1.4)node{$\np{6072,94}$};
\draw[->](2.4,-1.4)--(4.6,-0.2);
\draw[->](6.3,-0.2)--(8.6,-1.4);
\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item La recette est $x \times \np{10000}\text{e}^{-0,02x}=x f(x)$ et le coût de production de $x$ paires de lunettes est $55f(x)$ euros, le bénéfice en euros que peut réaliser la chaîne de magasin est alors la différence entre le chiffre d'affaires (dans cette situation simplifié, égal à la recette) et le prix de revient donc $B(x)=x f(x)-55 f(x)=(x-55)f(x)$. 
\item Selon cette étude, le prix de vente des lunettes qui permet de réaliser le bénéfice maximal est 105 euros.
\end{enumerate} 

\end{enumerate}  

\bigskip


\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{\textit{A. Loi normale}}

\medskip


\begin{enumerate}
\item $P(149 \leqslant X \leqslant 151)\approx 0,95$ (En reconnaissant l'intervalle à plus ou moins deux écarts type, on peut se passer de la calculatrice.)

\item Le plus grand nombre réel $a$ \textbf{du tableau} tel que $P(X>a) >0,96$ est $a=149,12$.


\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{\textit{B. Loi binomiale et loi de Poisson}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item L'épreuve aléatoire \og prélever une branche de lunettes dans le stock \fg{} possède deux issues, le succès \og la branche n'est pas acceptable \fg{} de probabilité $p=0,02$, et l'échec.

On répète $n=100$ fois cette épreuve de façon identique et indépendante, donc le nombre de succès  $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,02$.
		\item La probabilité qu'au plus deux branches ne soient pas acceptables dans le prélèvement est 

$P(X \leqslant 2) \approx 0,68$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On approche la loi $Y$ par une loi de Poisson de même espérance $\lambda=np=100 \times 0,02=2$.
		\item $P(Y_1 \leqslant 2) \approx 0,68$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{\textit{C. Test d'hypothèse}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $h=2 \times 0,05=0,1$.

\item On prélève un échantillon de 100 branches dans la production de la journée et on calcule la moyenne $\overline{z}$ de leurs longueurs.

Si $\overline{z} \in [\mu-h ; \mu+h]$ soit $[149,9 ; 150,1]$

alors on accepte $H_0$ 

sinon on rejette $H_0$ avec un risque d'erreur de 5 \,\%.

\item $150,2 \notin [149,9;150,1]$ donc le contrôleur rejette l'hypothèse nulle $H_0$.
\end{enumerate}
\end{document}