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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : merci à Nicolas Puech
%Relecture : François Hache
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 10 mai 2021 - groupement A}}

\medskip

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'un signal - série de Fourier}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après le graphique, on mesure que $T = 10~\mu$s.
		\item La fréquence vaut $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{10 \times 10^{-6}} = 10^5$~Hz $=100$~kHz.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le signal étant pair, alors $b_n = 0$.
		\item $a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T  f(t)\:\text{d}t$.
		
Or $f(t) = 0$ si $t \in [0~;~1[ \cup [9~;~10]$ et $f(t) = 12$ si $t \in [1~;~9]$.

Soit $a_0 = \dfrac{1}{10}\displaystyle\int_1^9  12\:\text{d}t = \dfrac{1}{10}(12\times 9 - 12 \times 1) = 9,6$.

Le résultat est en accord avec la valeur demandée.

\emph{Remarque} : graphiquement, on peut aussi déterminer la valeur moyenne du signal en
calculant l'aire sous la courbe et en divisant par la période, soit $a_0 = \dfrac{A}{T} = \dfrac{12 \times 8}{10} = 9,6$.
	\end{enumerate}
\item $U_{\text{eff}}^2  = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T [f(t)]^2 \:\text{d}t = \dfrac{1}{10}\left[12^2t\right]_1^9 = \dfrac{1}{10}\left(12^2 \times 9 - 12^2 \times 1
\right) = 115,2$.

Soit $U_{\text{eff}} = \sqrt{115,2} \approx 10,7$~V. 

Le résultat est en accord avec la valeur demandée.
\item Le taux de distorsion harmonique vaut $T_F = \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff}}^2 - a_0^2}{M^2}}$ 
avec $M = \np{20000}~$V.

Soit $T_F = \sqrt{\dfrac{10,733^2 - 9,6^2}{\np{20000}^2}} \approx 2,3 \times 10^{-4}$. Il n'y a donc pas d'incidence sur le réseau.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Transmission numérique - Loi binomiale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit une répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes et aléatoires de paramètres $n = 80$ et $p = 0,015$. 

$X$ suit donc une loi binomiale $\mathcal{B}(80~;~ 0,015)$.
\item Si tous les bits sont correctement transmis alors $X= 0$.

D'après la calculatrice, $P(X = 0) \approx 0,298$.
\item $P(X > 4) = 1 - P(X \leqslant 4) \approx  0,007$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'espérance de la variable $X$ vaut $E(X) = n \times p = 80 \times 0,015 = 1,2$.
		\item L'espérance correspond à la moyenne de la variable associée à sa loi de probabilité.
		
Donc en moyenne, la ligne est de qualité, puisque moins de 2 bits sont mal transmis durant une période.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Durée de vie du coupleur CPL - Loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après la calculatrice, $P(10 \leqslant Y \leqslant 12) \approx  0,341$.
\item La probabilité que le coupleur ait une durée de vie supérieure à 10 ans est $P(Y \geqslant 10) \approx  0,841$.
\item $P_{Y \geqslant 10} (Y \leqslant  12) = \dfrac{P\left ((Y \geqslant 10) \cap (Y \leqslant 12)\strut\right )}{P(Y \geqslant 10)} = \dfrac{P(10 \leqslant Y \leqslant 12)}{P(Y \geqslant 10)} \approx \dfrac{0,341}{0,841} \approx 0,405$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2}

\medskip

\textbf{Partie A : Test du filtre - Équations différentielles du 1\up{er} ordre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $L = 0,001$~H.

Soit $(E) :\quad  y'(t) + R y(t) = 0 \iff y'(t) + \dfrac{R}{0,001}y(t) = 0 \iff y'(t) + \np{1000}R \cdot y(t) = 0$.

L'ensemble des solutions de $(E)$ est : $y(t) = K\text{e}^{-\frac{\np{1000}}{1}Rt} = K \text{e}^{- \np{1000}Rt}$, avec $K \in \R$. 

\item $y(0) = K\text{e}^{- \np{1000}R\times 0} = 12$ soit $K = 12$.

L'unique solution vérifiant la condition initiale est $v_s(t) = 12\text{e}^{- \np{1000}Rt}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item On a $v'_s(t) = - \np{1000}Rt\text{e}^{- \np{1000}Rt}$ ; comme $\text{e}^{- \np{1000}Rt} > 0$ quel que soit $t$,  $v'_s(t) < 0$ donc $v_s$ est une fonction strictement décroissante sur $[0~;~ +\infty[$.

\item 
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc
$\displaystyle\lim_{t\to +\infty} \e^{-\np{1000}Rt}=0$ car $-\np{1000}R<0$.

\end{enumerate}

\item $v_s(t = 0,001) = \dfrac{v_e}{100} \iff  12 \times  \text{e}^{- \np{1000}R \times 0,001} = \dfrac{12}{100} \iff \text{e}^{-R} = 0,01\iff \ln \left(\text{e}^{-R} \right) = \ln 0,01 \iff  - R = \ln 0,01 \iff  R = - \ln 0,01 \text{ donc } R \approx 4,6~(\Omega)$.

La valeur de la résistance $R$ doit être égale à $4,6~\Omega$ à $0,1~\Omega$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude du filtre - Transformée de Laplace}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Erreur de sujet sur cette question, on a reçu une modification  de l'E. N.   à 16 h 10 ! 

\emph{Remplacer } : $0 \leqslant 8.10^{-6}$ et $t > 8.10^{-6}$ par $0 \leqslant t < 8.10^{-6}$ et et $t \geqslant 8.10^{-6}$.

 Soit $v_{e}(t)= \left\{\begin{array}{l c l}
0	&\text{si}& t < 0\\
12	&\text{si}&0 \leqslant  t < 8.10^{-6}\\
0	&\text{si}&t \geqslant 8.10^{-6}
\end{array}\right.$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La transformée de Laplace de $v_e(t)$ vaut $V_E(p) = \dfrac{12}{p}- \dfrac{12}{p}\text{e}^{-8.10^{-6}p}$.
		\item $V_s(p) = H(p) \cdot V_E(p) = \dfrac{p}{p + \np{5000}}\left(\dfrac{12}{p}- \dfrac{12}{p}\text{e}^{-8 . 10^{-6}p}\right) = \dfrac{12}{p + \np{5000}} - \dfrac{12}{p + \np{5000}}\text{e}^{-8 . 10^{-6}p}$.
	\end{enumerate}
\item L'original de $V_s(p)$ vaut $v_s(t) = 12\text{e}^{-\np{5000}t} \cdot \mathcal{U}(t) - 12 \text{e}^{-\np{5000}\left(t - 8.10^{-6} \right)} \cdot \mathcal{U}\left(t - 8 \cdot 10^{-6}\right)$.
\item

ANNEXE  (à rendre avec la copie) Exercice 2, partie B, question 4.

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(14,14)
\multido{\n=-4+2}{10}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-2)(\n,14)}
\multido{\n=-2+2}{9}{\psline[linewidth=0.1pt](-4,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-2)(14,14)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{8}{12  2.71828  x 0.005 mul exp div }
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](8,-0.3)(14,-0.3)
\uput[u](13.5,0){$t(\mu s)$}\uput[r](0,13.5){$v_s$(V)}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-[}(0,12)(8,12)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-[}(-4,0)(0,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{[-}(8,0)(14,0)
\end{pspicture}
\end{center}

On constate que la tension de sortie est amortie par rapport à la tension d'entrée.

\end{enumerate}
\end{document}