\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture et corrigé : François Hache \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Polynésie - mai 2021}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du BTS -- Polynésie} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{mai 2021}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé BTS Polynésie~\decofourright\\[5pt] mai 2021 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}}} \end{center} \vspace{0.25cm} %L'usage de calculatrice, avec mode examen actif est autorisé. % %L'usage de calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg{} est autorisé. % %\medskip \textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 11 points} \bigskip %\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes} % %\medskip On s'intéresse à une entreprise spécialisée dans la fabrication de masques. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip L'entreprise fabrique des masques en tissu et d'autres en fibre. Pour des raisons de fiabilité, l'entreprise procède à des tests. 45\,\% des masques fabriqués sont en tissu. Parmi les masques en tissu, 92\,\% ont réussi les tests. Parmi les masques en fibre, 96\,\% ont réussi les tests. Un client commande un masque sur le site de l'entreprise. On note les évènements : \quad -- $T$ \og Le masque commandé par le client est en tissu \fg, \quad -- $F$ \og Le masque commandé par le client a réussi les tests de fiabilité \fg. \medskip \begin{enumerate} \item %Donner la valeur des probabilités $P(T)$ et $P_T(F)$. 45\,\% des masques fabriqués sont en tissu donc $P(T)=0,45$. Parmi les masques en tissu, 92\,\% ont réussi les tests donc $P_T(F)=0,92$. \item On réalise un arbre de probabilité représentant la situation. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{$0,45$}} { \TR{$F$}\naput{$0,92$} \TR{$\overline{F}$}\nbput{\blue $1-0,92=0,08$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,45=0,55$}} { \TR{$F$}\naput{$0,96$} \TR{$\overline{F}$}\nbput{\blue $1-0,96=0,04$} } } \bigskip \end{center} \item% Calculer la probabilité de l'évènement $T \cap F$. Interpréter ce résultat par une phrase. $P(T\cap F)=P(T)\times P_T(F)=0,45\times 0,92 = \np{0,414}$ La probabilité que le masque soit en tissu et ayant réussi le test de fiabilité est $\np{0,414}$. Autrement dit, le pourcentage de masques en tissu ayant réussi le test de fiabilité est de $41,4\,\%$. \item %Montrer que $P(F) = 0,942$. D'après la formule des probabilités totales: $P(F)=P(T\cap F) + P\left (\overline{T}\cap F\right ) = \np{0,414} + 0,55\times 0,96 = 0,942$ \item Sachant que le masque choisi a réussi les tests de fiabilité, la probabilité que ce masque soit en tissu est: $P_F(T)= \dfrac{P(F\cap T)}{P(F)}=\dfrac{0,414}{0,942}\approx 0,439$. %Arrondir le résultat à $0,001$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Un magasin commande en début de mois $120$ masques en tissu. On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement de $120$ masques associe le nombre de masques en tissu ayant un défaut. On considère que la probabilité d'avoir un défaut est de $0,08$. Le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. \medskip \begin{enumerate} \item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. La variable aléatoire $X$ associe, à tout prélèvement de $120$ masques, le nombre de masques en tissu ayant un défaut; il y a donc deux états pour un masque: il a un défaut, avec la probabilité $p=0,08$, ou il n'en a pas, avec la probabilité $1-p=0,92$. Le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement de 120 masques à un tirage avec remise; il s'agit donc d'une répétition de 120 prélèvements se déroulant dans les mêmes conditions. Donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,08$. \item La probabilité pour que, dans le lot reçu par le magasin, il y ait exactement cinq masques en tissu ayant un défaut est: $P(X=5)=\ds\binom{120}{5}\times 0,08^5 \times (1-0,08)^{120-5} \approx 0,043$. % Arrondir le résultat à $0,001$ près. \item La probabilité pour que le lot reçu par le magasin contienne au moins dix masques en tissu ayant un défaut est: $P(X\geqslant 10) = 1-P(X \leqslant 9) \approx 1-\np{0,5056}\approx \np{0,494}$ %Arrondir le résultat à $0,001$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le nombre de masques en fibre vendus par mois par l'entreprise peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 260$ et d'écart type $\sigma = 10$. \medskip \begin{enumerate} \item $P(240 \leqslant Y \leqslant 280) = P(260 - 2\times 10 \leqslant Y \leqslant 260 + 2\times 10) = P(\mu - 2\sigma \leqslant Y \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,954$ d'après le cours. %Arrondir le résultat à $0,001$ près. %Interpréter le résultat par une phrase. On peut donc dire que chaque mois, il y a $95,4\,\%$ de chance de vendre entre 240 et 280 masques en fibre. \item Pour des raisons de symétrie: \\ $P(Y \leqslant 240) = P(Y\leqslant \mu-2\sigma) = P(Y\geqslant \mu+ 2\sigma) = P(Y\geqslant 280)$. De plus $P(Y \leqslant 240) + P(240 \leqslant Y \leqslant 280) + P(Y\geqslant 280)=1$. On en déduit que $P(Y \leqslant 240) = \dfrac{1- P(240 \leqslant Y \leqslant 280)}{2} \approx \dfrac{1-0,954}{2} = 0,023$. %Arrondir le résultat à $0,001$ près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip %\textbf{Les parties A et B sont indépendantes} % %\medskip Le tableau suivant donne le nombre d'adhérents d'un club d'escrime pour les années 2011 à 2017. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline Rang &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline Nombre d'adhérents &76 &95 &120 &146 &167 &192 &218\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Le taux global d'évolution en pourcentage du nombre d'adhérents entre les années 2011 et 2017 est: $\dfrac{218-76}{76}\times 100 \approx 186,8$. %Arrondir le résultat à $0,1$\,\% près. \item %Calculer le taux annuel moyen d'évolution en pourcentage entre 2011 et 2017. Arrondir le résultat à $0,1$\,\% près. Le coefficient multiplicateur entre 2011 et 2017 est de $1+\dfrac{186,8}{100}= 2,868$. Entre 2011 et 2017 il y a 6 années, donc le coefficient multiplicateur moyen annuel est égal à: $2,868^{\frac{1}{6}} \approx 1,192$, ce qui correspond à une augmentation annuelle de $19,2\,\%$. \item On suppose que le nombre d'adhérents, après 2017, augmente de $19$\,\% par an jusqu'en 2023. Soit la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_n$ représente le nombre d'adhérents de ce club en $(2017 + n)$, on a $u_0 = 218$. \begin{enumerate} \item %Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir à l'unité. $218\times \left ( 1+\dfrac{19}{100}\right ) \approx 259,4$ donc $u_1=259$. $259\times \left ( 1+\dfrac{19}{100}\right ) \approx 308,2$ donc $u_2=308$. \item %Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$. Ajouter $19\,\%$ c'est multiplier par $1+\dfrac{19}{100}=1,19$; donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $1,19$ et de premier terme $u_0=218$. \item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,19$ et de premier terme $u_0=218$ donc, pour tout $n$, on a: $u_n=u_0\times q^n = 218\times 1,19^n$. \item% Calculer le nombre d'adhérents en 2023. L'année 2023 correspond à $n=6$. $ 218\times 1,19^6 \approx 619,1$ donc $u_6=619$ Selon ce modèle, on peut estimer à 619 le nombre d'adhérents en 2023. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On cherche à étudier l'évolution du nombre $y$ d'adhérents en fonction du rang $x$ de l'année. %On rappelle le nombre d'adhérents dans le tableau ci-dessous. % %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline %Rang &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline %Nombre d'adhérents &76 &95 &120 &146 &167 &192 &218\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} % %\medskip \begin{enumerate} \item Le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$, arrondi à 0,001 près, est $0,999$. Le coefficient $r$ est très proche de 1 donc ce résultat permet d'envisager un ajustement affine. \item Une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés à la calculatrice est: $y=23,8x +49,6$. Les coefficients ont été arrondis à $0,1$ près. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite d'équation: $y = 24x + 50$. Selon ce modèle : \begin{enumerate} \item Une estimation du nombre d'adhérents en 2023 est la valeur de $y$ correspondant à $x=13$ soit: $24\times 13 +50 = 362$. \item Le club aura plus de $600$ adhérents pour $x$ entier tel que $y>600$. $y>600 \iff 24x+50>600 \iff 24x > 550 \iff x > \dfrac{550}{24}$ donc $x=23$ Selon ce modèle, c'est donc en 2033 que le club aura plus de 600 adhérents. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}