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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture et corrigé : François Hache
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pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion},
pdftitle = {Polynésie  -  mai  2021},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du BTS -- Polynésie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{mai 2021}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé BTS Polynésie~\decofourright\\[5pt] mai 2021 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}}}

\end{center}

\vspace{0.25cm}
%L'usage de calculatrice, avec mode examen actif est autorisé. 
%
%L'usage de calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg{} est autorisé.
%
%\medskip

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 11 points}

\bigskip

%\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes}
%
%\medskip

On s'intéresse à une entreprise spécialisée dans la fabrication de masques.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'entreprise fabrique des masques en tissu et d'autres en fibre. Pour des raisons de fiabilité, l'entreprise procède à des tests.

45\,\% des masques fabriqués sont en tissu.

Parmi les masques en tissu, 92\,\% ont réussi les tests. 

Parmi les masques en fibre, 96\,\% ont réussi les tests.


Un client commande un masque sur le site de l'entreprise. On note les évènements :

\quad -- $T$ \og Le masque commandé par le client est en tissu \fg,

\quad -- $F$ \og Le masque commandé par le client a réussi les tests de fiabilité \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner la valeur des probabilités $P(T)$ et $P_T(F)$.
45\,\% des masques fabriqués sont en tissu donc $P(T)=0,45$.

Parmi les masques en tissu, 92\,\% ont réussi les tests donc $P_T(F)=0,92$.


\item On réalise un arbre de probabilité représentant la situation.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{$0,45$}}
 	  { 
 		  \TR{$F$}\naput{$0,92$}
 		  \TR{$\overline{F}$}\nbput{\blue $1-0,92=0,08$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,45=0,55$}}
 	  {
 		  \TR{$F$}\naput{$0,96$}
          \TR{$\overline{F}$}\nbput{\blue $1-0,96=0,04$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item% Calculer la probabilité de l'évènement $T \cap F$. Interpréter ce résultat par une phrase.
$P(T\cap F)=P(T)\times P_T(F)=0,45\times 0,92 = \np{0,414}$

La probabilité que le masque soit en tissu et ayant réussi le test de fiabilité est $\np{0,414}$. Autrement dit, le pourcentage de masques en tissu ayant réussi le test de fiabilité est de $41,4\,\%$.

\item %Montrer que $P(F) = 0,942$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(F)=P(T\cap F) + P\left (\overline{T}\cap F\right ) = \np{0,414} + 0,55\times 0,96 = 0,942$

\item Sachant que le masque choisi a réussi les tests de fiabilité, la probabilité que ce masque soit en tissu est:
$P_F(T)= \dfrac{P(F\cap T)}{P(F)}=\dfrac{0,414}{0,942}\approx 0,439$.

%Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un magasin commande en début de mois $120$ masques en tissu. On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement de $120$ masques associe le nombre de masques en tissu ayant un défaut.

On considère que la probabilité d'avoir un défaut est de $0,08$.

Le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
La variable aléatoire $X$  associe, à tout prélèvement de $120$ masques, le nombre de masques en tissu ayant un défaut; il y a donc deux états pour un masque: il a un défaut, avec la probabilité $p=0,08$, ou il n'en a pas, avec la probabilité $1-p=0,92$.

Le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement de 120 masques à un tirage avec remise; il s'agit donc d'une répétition de 120 prélèvements se déroulant dans les mêmes conditions.

Donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,08$.

\item La probabilité pour que, dans le lot reçu par le magasin, il y ait exactement cinq masques en tissu ayant un défaut est:
$P(X=5)=\ds\binom{120}{5}\times 0,08^5 \times (1-0,08)^{120-5} \approx 0,043$.

% Arrondir le résultat à $0,001$ près.

\item La probabilité pour que le lot reçu par le magasin contienne au moins dix masques en tissu ayant un défaut est:
$P(X\geqslant 10) = 1-P(X \leqslant 9) \approx  1-\np{0,5056}\approx \np{0,494}$

%Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le nombre de masques en fibre vendus par mois par l'entreprise peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 260$ et d'écart type $\sigma = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(240 \leqslant Y \leqslant 280) = P(260 - 2\times 10 \leqslant Y \leqslant 260 + 2\times 10)
= P(\mu - 2\sigma \leqslant Y \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,954$ d'après le cours.

%Arrondir le résultat à $0,001$ près. 

%Interpréter le résultat par une phrase.

On peut donc dire que chaque mois, il y a $95,4\,\%$ de chance de vendre entre 240 et 280 masques en fibre.

\item Pour des raisons de symétrie:  \\
$P(Y \leqslant 240) = P(Y\leqslant \mu-2\sigma)
= P(Y\geqslant \mu+ 2\sigma) = P(Y\geqslant 280)$.

De plus  $P(Y \leqslant 240)  + P(240 \leqslant Y \leqslant 280) + P(Y\geqslant 280)=1$.

On en déduit que
$P(Y \leqslant 240) = \dfrac{1- P(240 \leqslant Y \leqslant 280)}{2} 
\approx \dfrac{1-0,954}{2} = 0,023$.


%Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}
%
%\medskip

Le tableau suivant donne le nombre d'adhérents d'un club d'escrime pour les années 2011 à 2017.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017\\ \hline
Rang				&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
Nombre d'adhérents	&76 	&95 	&120 	&146 	&167 	&192 	&218\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux global d'évolution en pourcentage du nombre d'adhérents entre les années 2011 et 2017 est:
$\dfrac{218-76}{76}\times 100 \approx 186,8$.

%Arrondir le résultat à $0,1$\,\% près.

\item %Calculer le taux annuel moyen d'évolution en pourcentage entre 2011 et 2017. Arrondir le résultat à $0,1$\,\% près.
Le coefficient multiplicateur entre 2011 et 2017 est de $1+\dfrac{186,8}{100}= 2,868$.

Entre 2011 et 2017 il y a 6 années, donc le coefficient multiplicateur moyen annuel est égal à:

$2,868^{\frac{1}{6}} \approx 1,192$, ce qui correspond à une augmentation annuelle de $19,2\,\%$.

\item On suppose que le nombre d'adhérents, après 2017, augmente de $19$\,\% par an jusqu'en 2023.

Soit la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_n$ représente le nombre d'adhérents de ce club en $(2017 + n)$, on a $u_0 = 218$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir à l'unité.
		
$218\times \left ( 1+\dfrac{19}{100}\right ) \approx 259,4$ donc $u_1=259$.

$259\times \left ( 1+\dfrac{19}{100}\right ) \approx 308,2$ donc $u_2=308$.		
		
		\item %Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
Ajouter $19\,\%$ c'est multiplier par $1+\dfrac{19}{100}=1,19$; donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $1,19$ et de premier terme $u_0=218$.		
		
		\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,19$ et de premier terme $u_0=218$ donc, pour tout $n$, on a: $u_n=u_0\times q^n = 218\times 1,19^n$.			
		
		\item% Calculer le nombre d'adhérents en 2023.
L'année 2023 correspond à $n=6$.

$ 218\times 1,19^6 \approx 619,1$ donc $u_6=619$

Selon ce modèle, on peut estimer à 619 le nombre d'adhérents en 2023.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On cherche à étudier l'évolution du nombre $y$ d'adhérents en fonction du rang $x$ de l'année.

%On rappelle le nombre d'adhérents dans le tableau ci-dessous.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année 				&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017\\ \hline
%Rang				&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
%Nombre d'adhérents	&76 	&95 	&120 	&146 	&167 	&192 	&218\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série  $\left(x_i~;~y_i\right)$, arrondi à 0,001 près, est $0,999$.

Le coefficient $r$ est très proche de 1 donc ce résultat permet d'envisager un ajustement affine.

\item Une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés  à la calculatrice est: $y=23,8x +49,6$.

Les coefficients ont été arrondis à $0,1$ près.

\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite d'équation: $y = 24x + 50$.

Selon ce modèle :
	\begin{enumerate}
		\item Une estimation du nombre d'adhérents en 2023 est la valeur de $y$ correspondant à $x=13$  soit: $24\times 13 +50 = 362$.
		\item Le club aura plus de $600$ adhérents pour $x$ entier tel que $y>600$.
		
$y>600 \iff 24x+50>600 \iff 24x > 550 \iff x > \dfrac{550}{24}$ donc $x=23$

Selon ce modèle, c'est donc en 2033 que le club aura plus de 600 adhérents.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}