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%Tapuscrit : David Rousseau
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{13 mai 2013}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2013\\Métropole  Comptabilité et gestion des organisations}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

L'objectif de cet exercice est d'utiliser une modélisation du pourcentage de bacheliers en France entre 1951 et 1985 puis d'en bâtir une deuxième sur la période allant de 1985 à 2010.
\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction logistique.}

\medskip
Considérons la fonction $f$ définie sur $[0\, ;\, + \infty[$ par la relation : $f(x)=\dfrac{33}{1+1417\text{e}^{-0,11x}}$

On désigne par $\C_f$ la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item Comme $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \text{e}^{-0,11x} = 0$ alors $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+1417\text{e}^{-0,11x} = 1$, donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=33$.

On en déduit que la droite d'équation $y=33$ est asymptote à $\C_f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x)=33\times \left(- \dfrac{1417\times (-0,11e^{-0,11x})}{\left(1 + \np{1417}\text{e}^{-0,11x}\right)^2}\right)=\dfrac{\np{5143,71} \text{e}^{-0,11x}}{\left(1 + \np{1417}\text{e}^{-0,11x}\right)^2}$
\item Une exponentielle et un carré étant toujours positifs, on en déduit le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,2.5)(6,2.5)
\psline(1.5,0)(1.5,3)
\uput[u](0.75,2.5){$x$} \uput[u](1.7,2.5){0} \uput[u](5.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.75,2.25){$f'(x)$} \rput(3.75,2.25){$+$} \rput(0.75,1){$f(x)$}
\uput[u](1.95,0){$\approx 0,02$}\uput[d](5.5,2){33}\psline{->}(2.5,0.5)(5,1.75) 
\end{pspicture}
\end{center}

%$$\tabvar{%
%\tx{x}&\tx{85}&&\tx{+\infty}\cr
%\tx{g'(x)}&&\tx{+}&\cr
%\tx{g(x)}&\txb{\simeq 29,4}&\fm&\txh{87,5}\cr
%}$$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B : une fonction rationnelle.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur $[85\,;\, +\infty[$, $x-70>0$, une primitive de $\dfrac{1}{x-70}$ est donc $\ln (x-70)$, une primitive de $g$ est donc $G(x)= - 871\ln(x - 70) + 87,5x$.
\item $\displaystyle\int_{85}^{110} g(x)\text{ d}x=G(110)-G(85)= - 871\ln(40) + 87,5\times 110 -(-871\ln(15) + 87,5\times 15) = 871\ln \left(\dfrac{15}{40}\right)+\np{2187,5}=871 \ln\left(\dfrac{3}{8}\right)+\np{2187,5}$.
\item $V_m=\dfrac{1}{110-85} \times \displaystyle\int_{85}^{110} g(x)\text{ d}x\approx 53,3$.
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie C : modélisation du pourcentage de bacheliers en France entre 1951 et 1985.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
\textbf{Tableau de valeurs}

\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline 
$x$&48&51&55&60&65&70&75&80&85 \\ \hline 
$f(x)$&4 &5,3 &7,6 &11,3 &15,6 &20,1&24,1 & 27,2&29,4 \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Nuage de points associé au tableau \no 1 et courbe $\C_f$ }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  figure Denis
\begin{center}
\psset{xunit=0.28cm,yunit=0.14cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(58,46.1)
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-3)(58,46)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray,subgriddiv=1](0,0)(57,45)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=2,Dy=4,Ox=48]{->}(0,0)(-1,-3)(58,45)
\psdots(3,5.3)(8,7,4)(20,19.6)(22,20.1)(26,23.7)(29,24.6)(32,25.9)(37,29.4)
\uput[d](57,0){\small $x$}
\uput[l](0,44.5){\small $y$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{56}{33 1 1417 2.71828 0.11 x 48 add mul exp div add div}
\uput[u](50,32){$\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
%\resizebox{16cm}{!}{
%\begin{pspicture*}(46.5,-3)(105.5,47)
%\def\xmin{48} \def\xmax{104} \def\ymin{0} \def\ymax{44}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](46.5,-3)(105.5,47)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray,subgriddiv=1](0,0)(48,0)(104,22)
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
%\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=2,Dy=4,Ox=\xmin,Oy=0]{-}(\xmin,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\psdots[linewidth=2pt](51,5,3)(56,7,4)(68,19.6)(70,20.1)(74,23.7)(77,24.6)(80,25.9)(85,29.4)
%
%\endpsclip
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(48,0)(105,0) \uput[d](105,0){\small $x$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(48,0)(48,45) \uput[l](48,45){\small $y$}
%
%\end{pspicture*}
%}
\item La fonction $f$ modélise convenablement l'évolution du pourcentage de bacheliers sur la période 1951--1985 car la courbe est \og proche \fg{} du nuage de points.
	\end{enumerate}
\item La proportion maximale de bacheliers en France dans les années suivantes est de 33\% (Limite de $f$).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie D : modélisation de la proportion de bacheliers en France de 1985 jusqu'en 2010.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le modèle utilisé dans la partie C n'est pas fiable sur cette période car la proportion de bacheliers dépasse 33\,\%.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $g(85)=\dfrac{a}{15}+b$ et $g(110)=\dfrac{a}{40}+b$ .
		\item  $g(85)=29,4$ donc $\dfrac{a}{15}+b=39,4$, $g(110)=67,5$ donc $\dfrac{a}{40}+b=67,5$, en multipliant la première équation par 15 et la seconde par 40, on obtient le système $(S)$ : $\left\{ \begin{array}{lcr}
 a+15b&=& 441 \\
a + 40b &=&\np{2628} \\
\end{array} \right.$
		\item Il suffit de soustraire les deux équations, on trouve alors $b = 87,48$, puis en remplaçant $b$ par sa valeur dans une des deux équations, on trouve $a = - 871,2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Une prévision du pourcentage maximal de bacheliers en France par classe d'âge les années suivantes est de 87,5\,\% (limite de $g$).
		\item Le pourcentage moyen de bacheliers en france par classe d'âge entre 1985 et 2010 est de 53,3\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5 cm}

\textbf{Exercice \no 2 \hfill (8 points)}

Les parties A et B sont indépendantes.
 
\medskip

\textbf{Partie A : Q.C.M.}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Réponse 1
		\item Réponse 1
	\end{enumerate}
\item Réponse 1
\item Réponse 3
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il y a répétition de la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante, donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10~;~0,38)$ 
\item Dix Allemands se retrouvent un soir dans une brasserie parisienne.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que neuf d'entre eux soient présents en France pour des raisons touristiques ou personnelles est\\ $P(X = 1) = 10 \times 0,38\times 0,62^9 \approx \np{0,0514}$.
		\item  $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,62^{10}\approx \np{0,9916}$. Il y a 99,16\,\% de chance d'avoir au moins un Allemand venu pour raison professionnelle dans un groupe de 10 Allemands.
	\end{enumerate}
\item On peut ici, soit utiliser le changement de variable $T= \dfrac{x - 2000}{550}$, $T$ suit alors la loi $\mathcal{N}(0~;~1)$ et utiliser la table, soit utiliser une calculatrice. 
	\begin{enumerate}
		\item   $P(Y \leqslant \np{3200})\approx P(T\leqslant 2,18)\approx 0,9854$ la probabilité qu'un Allemand parcourt en France une distance inférieure ou égale à \np{3200} km vaut \np{0,9854}.
		\item  $P(1300\leqslant Y \leqslant \np{2700})\approx P(-1,27\leqslant T\leqslant1,27)=2\pi (1,27)-1\approx 0,796$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}