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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 8 mai 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 8 MAI 2015~\decofourright}}


\vspace{0,5cm}

DURÉE: 1~h~30~min
\end{center}

Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti. La raison en est que votre enseignant n'a pas forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S.

\medskip

\textbf{Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale}.

Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte.

Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon.

L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit.

Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé.

\medskip

Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement.

Si vous trouvez ce sujet \og difficile \fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e). Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous !

\textbf{Barème :}

\textbf{Une seule réponse exacte par question}. Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d'1 point}.

\newpage

\begin{center} \textbf{INTERPRÉTATION GRAPHIQUE}\end{center}

\medskip

Est représentée ci-dessous, dans un repère orthonormé, la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-4~;~4]$.

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-4,-2)(4,2)
\psset{linecolor=blue}
\psarc(-3,0){1}{0}{180}\psline(-2,0)(-1.5,1)(0,0)(0.5,-1)(2,0)\psarc(3,0){1}{0}{180}
\uput[u](3.9,0){$x$}\uput[r](0,1.9){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item est paire non impaire
		\item est impaire non paire
		\item est paire et impaire
		\item n'est ni paire ni impaire
	\end{enumerate}
\item L'équation $f(x) = 0$ admet
	\begin{enumerate}	
		\item 2 solutions
		\item 3 solutions
		\item 4 solutions
		\item 5 solutions
	\end{enumerate}
\item L'équation $f'(x) = 0$ admet
	\begin{enumerate}	
		\item 2 solutions
		\item 3 solutions
		\item 4 solutions
		\item 5 solutions
	\end{enumerate}		
\item L'équation $f(x) \times f'(x) = 0$ admet
	\begin{enumerate}	
		\item 2 ou 3 solutions
		\item 4 ou 5 solutions
		\item 6 ou 7 solutions
		\item 8 ou 9 solutions
	\end{enumerate}
\item L'équation $[f(x)]^2 = 1$ admet
	\begin{enumerate}	
		\item 2 solutions
		\item 3 solutions
		\item 4 solutions				
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}				
\item L'équation $f\left(x^2\right) = 1$ admet
	\begin{enumerate}	
		\item 2 solutions
		\item 3 solutions
		\item 4 solutions
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}					
\item $\displaystyle\int_{-4}^4 f(x)\:\text{d}x$ appartient à
	\begin{enumerate}	
		\item $[2~;~3]$
		\item $[3~;~4]$
		\item $[4~;~5]$
		\item $[5~;~6]$
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\int_{-4}^4 |f(x)|\:\text{d}x - \displaystyle\int_{-4}^4 f(x)\:\text{d}x$ est égal à
	\begin{enumerate}	
		\item un entier naturel
		\item un décimal non entier
		\item un rationnel non décimal
		\item un irrationnel
	\end{enumerate}
	
\begin{center} \textbf{PROBABILITÉS}\end{center}

$A$ et $B$ sont deux évènements, d'évènements contraires respectifs $\overline{A}$ et $\overline{B}$ tels que $P_{\overline{B}}\left(\overline{A}\right) = 0,2$ 
et $P(A) = p\left(\overline{B}\right) = 0,6$.
\item $P\left(\overline{A} \cap B\right) =$
	\begin{enumerate}
		\item 0,12
		\item 0,28
		\item 0,36
		\item 0,48
	\end{enumerate}
\item $P_{\overline{B}}(A) =$
	\begin{enumerate}
		\item 0,8
		\item 0,88
		\item 1
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $P(A \cup B) =$
	\begin{enumerate}
		\item 0,8
		\item 0,88
		\item 1
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Les évènements
		\begin{enumerate}
		\item $A$ et $B$ sont indépendants
		\item $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants
		\item $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME NÉPÉRIEN}\end{center}

Soient les fonctions $f$ et $g$ respectivement définies sur $\R$ et $\R^{+}$ par

\[f(x) = \text{e}^{-x}(x - 1) + 1\quad \text{et}\quad  g(x) = \dfrac{\text{e}^{-x} - 1}{x}.\]

\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $- \infty$
		\item $+ \infty$
		\item $0$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $-\infty$
		\item $+\infty$
		\item $0$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
		\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $-\infty$
		\item $+\infty$
		\item $0$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $0$
		\item $1$
		\item $-\infty$ ou $+\infty$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Sur $\R*$, la fonction $g'$ est définie par $g'(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{\text{e}^{-x}(x - 1) + 1}{x^2}$
		\item $\dfrac{\text{e}^{-x}(x + 1) + 1}{x^2}$
		\item $\dfrac{\text{e}^{-x}(- x - 1) + 1}{x^2}$
		\item $\dfrac{\text{e}^{-x}(- x + 1) + 1}{x^2}$
	\end{enumerate}

\item La primitive $F$ de $f$ sur $\R$ telle que $F(0) = 0$ est définie par $F(x) =$
	\begin{enumerate}	
		\item $- \text{e}^{-x}\left(\frac{x^2}{2} - x\right) + x$
		\item $\text{e}^{-x}\left(\frac{x^2}{2} - x\right) + x$
		\item $x\left(1 - \text{e}^{-x}\right)$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate} 
\item $\displaystyle\int_2^4 g(x)\:\text{d}x$ est
	\begin{enumerate}
		\item nulle
		\item strictement négative
		\item strictement positive
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Sur $\R^{+}$,\: $f$ est
	\begin{enumerate}	
		\item constante
		\item strictement décroissante
		\item strictement croissante
		\item non monotone
	\end{enumerate}
\newpage
\item L'équation $\ln [f(x)] = 0$ a même(s) solution(s) que l'équation
	\begin{enumerate}	
		\item $\sqrt{x} = 1$
		\item $x^2 = 1$
		\item $\text{e}^x = 1$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $f[\ln(1)]$ appartient à
	\begin{enumerate}	
		\item $]- \infty~;~0[$
		\item $[0~;~2[$
		\item $[2~;~4[$
		\item $[4~;~+ \infty[$
	\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{FONCTIONS}\end{center}

Soient $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que $f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^4}$ et $f(0) = 0$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(-x)$.

\item Sur $\R$,\: $f$ est
	\begin{enumerate}
		\item constante
		\item strictement décroissante
		\item strictement croissante
		\item aucune réponse n'est exacte
	\end{enumerate}
\item $g'(x) =$
	\begin{enumerate}	
		\item $-f'(- x)$
		\item $f'(- x)$
		\item $f'(x)$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Le plus grand ensemble sur lequel $g(x) \geqslant 0$ est
	\begin{enumerate}
		\item $\R$
		\item $\R^{-}$
		\item $\R^+$
		\item $\R^*$
			\end{enumerate}
\item Sur $\R$,\: $g$ est
	\begin{enumerate}
		\item constante
		\item strictement décroissante
		\item strictement croissante
		\item non monotone
	\end{enumerate}

\item $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\:\text{d}x$
	\begin{enumerate}	
		\item est nulle
		\item est strictement négative
		\item est strictement positive
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS}\end{center}

\item Sur $[- \pi~;~\pi]$, le nombre de solutions de l'équation $\cos (2x) + 1 = 0$ est égal à
	\begin{enumerate}
		\item 1
		\item 2
		\item 3
		\item 4
	\end{enumerate}

\item Sur $[- \pi~;~\pi]$, l'inéquation $2 \cos (x) + \sqrt{3} < 0$ a pour solution(s)
	\begin{enumerate}	
		\item $\left]\frac{5\pi}{6}~;~-\frac{5\pi}{6}\right[$
		\item $\left]-\frac{5\pi}{6}~;~\frac{5\pi}{6}\right[$ 
		\item $\left[- \pi~;~-\frac{5\pi}{6}\right[ \cup \left]\frac{5\pi}{6}~;~\pi \right]$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Sur $\R$, le nombre de solutions de l'équation $\text{e}^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{\text{e}^x}$ est égal à
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Sur $\R$, une équation équivalente à l'équation $\ln (3x + 10) = 2\ln(- x)$ est
	\begin{enumerate}	
		\item $\ln \left(\frac{3x + 10}{- x}\right) = 2$
		\item $\ln (3x + 10) = \ln \left(x^2\right)$
		\item $\ln\left[(- x)^2 - 3x - 10\right] = 0$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE PLANE ET NOMBRES COMPLEXES}\end{center}

Soient les points A, B, C du plan complexe, d'affixes respectives $a = -5 - 2\text{i},\: b = - \text{i}$ et $c = -3 - 4\text{i}$
\item $\left|\dfrac{a - c}{b - c}  \right| = $
	\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{\frac{20}{17}}$
		\item $\sqrt{\frac{8}{9}}$
		\item $\frac{2}{3}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\sin \left[\text{arg} \left(\frac{b - c}{a - c}\right)\right] =$
	\begin{enumerate}
		\item $0$
		\item $- 1$
		\item $1$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item En unités d'aire, l'aire du triangle ABC est égale à
	\begin{enumerate}
		\item 2
		\item 3
		\item 6
		\item 12
	\end{enumerate}	
\item L'équation réduite de la droite passant par C et parallèle à (AB) est
	\begin{enumerate}
		\item $y = \frac{1}{5}x - \frac{17}{5}$
		\item $y = \frac{1}{5}x + \frac{17}{5}$
		\item $y = 5x + 11$
		\item $y = 5x - 11$
	\end{enumerate}
\item L'équation réduite de la médiatrice du segment [CB] est
	\begin{enumerate}
		\item $y = x - 1$
		\item $y = - x + 1$
		\item $y = x + 4$
		\item $y = - x - 4$
	\end{enumerate}
\item La parabole d'équation $y = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ passant par les points A, B et C est telle que
	\begin{enumerate}		
		\item $\beta > 0$ et $\gamma > 0$
		\item $\beta > 0$ et $\gamma < 0$
		\item $\beta < 0$ et $\gamma > 0$
		\item $\beta < 0$ et $\gamma < 0$
	\end{enumerate}
	
\begin{center} \textbf{ALGORITHMIQUE}\end{center}

On considère l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{tabular}{||l}
Saisir un entier $N \leqslant 4$\\
Saisir un entier $P \geqslant 6$\\
Tant que $N + 1 \leqslant P$\\
\qquad Affecter à $N$ la valeur $N + 1,5$\\
\qquad Affecter à $P$ la valeur $P - N$\\
Fin de Tant que\\
Si $N$ est un entier alors afficher $N$\\
Sinon afficher $P$\\
Fin de Si
\end{tabular}

\item Pour $N = 4$ et $P = 6$, le nombre affiché est
	\begin{enumerate}
		\item $0,5$
		\item $2$
		\item $5,5$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Pour $N = 1$ et $P = 9$, le nombre affiché est
	\begin{enumerate}
		\item $3$
		\item $3,5$
		\item $4$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE}\end{center}

Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère les points A(1~;~3~;~2), B$(-1~;~3~;~3)$,
C$(0~;~3~;~-2)$, D(2~;~-2~;~0) et E$(8~;~-2~;~-3)$.

\item Le plan (ABC) est parallèle
	\begin{enumerate}
		\item au plan \Oij
		\item au plan $\left(\text{O},\:\vect{\imath},~\vect{k}\right)$
		\item au plan $\left(\text{O},\:\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Une équation paramétrique de la droite (BD) est
	\begin{enumerate}
		\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& - 6t + 5\\y &=& 10t - 7\\z &=& 6t - 3\end{array}\right.  \text{où}\: t \in \R$.
		\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -t + 2\\y &=& 3t - 2\\z &=& 3t \end{array}\right.  \text{où}\: t \in \R$.
		\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 3t + 1\\y &=& -5t - 3\\ z& =& - 3t - 3\end{array}\right.  \text{où}\: t \in \R$.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Une équation cartésienne du plan passant par D et perpendiculaire à (AB) est
	\begin{enumerate}
		\item $- 2x + z= - 6$
		\item $6x - 3z = 18$
		\item $6y + 5z = 12$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Le nombre de plans parallèles à (AB) passant par les points D et E est
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item infini
	\end{enumerate}
\item Une équation cartésienne du plan passant par les points A et C et parallèle à (BD) est
	\begin{enumerate}
		\item $x - y + z = 0$
		\item $4x + 2y - z = 8$
		\item $2x + 3y - 3z = 5$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Le triangle BCD est
	\begin{enumerate}
		\item rectangle non isocèle
		\item rectangle isocèle
		\item isocèle non rectangle
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
	
\begin{center} \textbf{LOI BINOMIALE}\end{center}

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $(n~;~p)$ tels que $E(X) = 2,7$ et $Var(X) = 1,89$.
\item Le couple $(n~;~p)$ est
	\begin{enumerate}
		\item (27~;~0,1)
		\item (9~;~0,3)
		\item (3~;~0,9)
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $P(X = 10)$
	\begin{enumerate}
		\item est nulle
		\item strictement négative
		\item strictement positive
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
		
Sachant que $P(X \leqslant 2) = a$ et $P(X \geqslant 6) = b$
\item $P(3 \leqslant X \leqslant 5) =$
	\begin{enumerate}
		\item $b - a$
		\item $b + a$
		\item $1 - a - b$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}	
\item $P\left(X^2 \geqslant 6\right) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{b}$
		\item $1 - a$
		\item $1 + a$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
	
\begin{center} \textbf{SUITES D'INTÉGRALES}\end{center}

Soient $\left(A_n\right)$ et $\left(B_n\right)$ les suites définies pour $n \geqslant 1$ par

\[ A_n = \displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{(\ln (x))^n}{x}\:\text{d}x \quad  \text{et}\quad  B_n = \displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^{1} \ln (x)\:\text{d}x.\]

\item $\left(B_n\right)$ est
	\begin{enumerate}
		\item constante
		\item strictement décroissante
		\item strictement croissante
		\item non monotone
	\end{enumerate}
\item Pour tout $n \geqslant  2, \: B_n$ est
	\begin{enumerate}	
		\item strictement négatif
		\item strictement positif
		\item nul
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}	
\item $A_1 =$
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{4}$
		\item $\frac{1}{3}$
		\item $\frac{1}{2}$
		\item 1
	\end{enumerate}	
\item $A_2 =$
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{4}$
		\item $\frac{1}{3}$
		\item $\frac{1}{2}$
		\item 1
	\end{enumerate}
\item $\left(A_n\right)$ est
	\begin{enumerate}
		\item constante
		\item strictement décroissante
		\item strictement croissante
		\item non monotone
	\end{enumerate}	
\item $\left(A_n\right)$
	\begin{enumerate}	
		\item converge
		\item diverge vers $- \infty$
		\item diverge vers $+ \infty$
		\item diverge sans limite
	\end{enumerate}
		
\begin{center} \textbf{LOIS NORMALES}\end{center}

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu~; ~\sigma^2\right)$ où $\mu = - 7$ et $\sigma = 2$.
\item $P(X = - 7) =$
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 0,25
		\item 0,5
		\item 1
	\end{enumerate}
\item Le réel $a$ tel que $P(X\leqslant a) = 0,8$ vérifie
	\begin{enumerate}
		\item $a = - 7$
		\item $a < - 7$
		\item $a > - 7$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}	
\item $P\left(\dfrac{X + 2}{- 7} \geqslant 0\right)$
	\begin{enumerate}
		\item est égale à $0,5$
		\item est strictement inférieure à $0,5$
		\item est strictement supérieure à $0,5$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{INTERVALLES DE FLUCTUATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE}\end{center}

Soient $I,\:J$ et $K$ des intervalles de fluctuation au seuil de confiance respectivement de 90\,\%, 95\,\% et 99\,\%.
\item On a alors
	\begin{enumerate}
		\item $I \subset J \subset K$
		\item $J \subset K \subset I$
		\item $K \subset I \subset J$
		\item $K \subset J \subset I$
	\end{enumerate}
\item Sachant qu'un intervalle de confiance à 95\,\% a une amplitude pour $n = 100$ égale à $A$, son
amplitude pour $n = \np{10000}$ est alors égale à
	\begin{enumerate}
		\item $100 A$
		\item $10A$ 
		\item $\dfrac{A}{10}$
		\item $\dfrac{A}{100}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{FIN DE L'ÉPREUVE}\end{center}
\end{document}