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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 8 mai 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 8 MAI 2014~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

DURÉE: 1~h~30~min

Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti. La raison en est que votre enseignant n'a pas forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S.

\medskip

Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale. Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte.

Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon. L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit.

Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé.

Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement.

Si vous trouvez ce sujet \og difficile \fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e). Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous !

\textbf{Barème :}

Une seule réponse exacte par question. Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points, tandis que chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d'1 point.

\begin{center}\textbf{LES COMPLEXES}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le nombre complexe i est:
	\begin{enumerate}
		\item nul
		\item négatif
		\item positif
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
L 'équation $z^3 + z = 0$ admet

\item Dans $\R$ :
	\begin{enumerate}
		\item 0 solution
		\item 1 solution
		\item 2 solutions
		\item 3 solutions
	\end{enumerate}
\item Dans $\C$:
	\begin{enumerate}
		\item 0 solution
		\item 1 solution
		\item 2 solutions
		\item 3 solutions
	\end{enumerate}
	
Soient, dans un repère orthonormé direct \Ouv{} du plan complexe, les points A,\: B,\: C et D d'affixes respectives : $4 + \text{i}~;~- 2 - \text{i}~;~2 + 3\text{i}$ et $1$.

\item Le triangle ABC est :
	\begin{enumerate}
		\item rectangle en A
		\item rectangle en B
		\item rectangle en C
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\newpage

\item Un argument de $\left(\text{i}\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{D}}}\right)$ correspond à une mesure de l'angle orienté:
	\begin{enumerate}
		\item $\left(\vect{\text{CD}}~;~\vect{\text{AB}}\right)$
		\item $\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{CD}}\right)$
		\item $ \dfrac{\pi}{2} - \left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{CD}}\right)$
		\item $ \dfrac{\pi}{2} + \left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{CD}}\right)$
	\end{enumerate}
\item Le module de $\left(\text{i} \dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{D}}}\right)$ correspond à :
	\begin{enumerate}
		\item $\text{i} \dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}$
		\item $\text{i} \dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}$
		\item $\dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}$
		\item $\dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}$
	\end{enumerate}
\item L'écriture algébrique de $\left(\text{i} \dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{D}}}\right)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{9}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}$
		\item $\dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i}$
		\item $- 2 + 2\text{i}$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item Le point D appartient au segment:
	\begin{enumerate}
		\item $[\text{AB}]$
		\item $[\text{AC}]$
		\item $[\text{BC}]$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{INTERPRÉTATION GRAPHIQUE} \end{center}

Ci-dessous les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{S}$ représentant respectivement les fonctions $f$ définie sur $\R - \{3\}$ et $g'$ définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-15,-6.5)(18,6.5)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-15,-6.5)(18,6.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-9}{-2}{3 neg 4 x mul  sub x dup mul 0.5 mul sub}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-2}{2}{x dup mul 0.1875 mul  0.75 x mul add 3.7625 add}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{3.5}{18}{5 3 x sub div 2 add}
\uput[dl](0,0){$0$} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-15,-6.5)(18,6.5)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-15,-6.5)(18,6.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-5}{5}{x 2 add dup mul x 3 sub mul 3 mul 28 div neg}
\uput[dl](0,0){$0$} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item $\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x)$  est :
	\begin{enumerate}
		\item $- \infty$
		\item $+ \infty$
		\item un réel
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item 3
	\end{enumerate}
\item Le nombre de solutions de l'équation $f'(x) = 1$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item 3
	\end{enumerate}

\item Le nombre de solutions de l'équation $f'(x) \times g'(x) = 0$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item 3
	\end{enumerate}
\item Sur $[-2~;~3[ \cup ]3~;~+\infty[$ la fonction $f$ est :
	\begin{enumerate}
		\item constante
		\item strictement décroissante
		\item strictement croissante
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Sur $[- 2~;~3]$ la fonction $g$ est :
	\begin{enumerate}
		\item constante
		\item strictement décroissante
		\item strictement croissante
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate} 
\item $\displaystyle\int_5^7 f'(x)\:\text{d}x$ est :
	\begin{enumerate}
		\item nulle 
		\item strictement négative
		\item strictement positive
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\int_5^7 g'(x)\:\text{d}x$ est :
	\begin{enumerate}
		\item nulle
		\item strictement négative
		\item strictement positive
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\newpage
	
\begin{center}\textbf{FONCTIONS} \end{center}

Soient : $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = 2\text{e}^{-3x} - 4x + 6\cos (0,5x),\]

$f'$ sa fonction dérivée et $F$ sa primitive s'annulant en $0$.

\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $- \infty$
		\item $+ \infty$
		\item n'existe pas
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $- \infty$
		\item $+ \infty$
		\item n'existe pas
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ on a : $f'(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $2\text{e}^{-3x} - 4 + 6\sin (0,5x)$
		\item $2\text{e}^{-3x} - 4 - 6\sin (0,5x)$
		\item $-6\text{e}^{-3x} - 4 + 3\sin (0,5x)$
		\item $-6\text{e}^{-3x} - 4 - 3\sin (0,5x)$
	\end{enumerate}
\item  Le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 0$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La plus petite solution de l'équation $f(x) = 0$ est :
	\begin{enumerate}
		\item strictement négative
		\item strictement positive
		\item nulle
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ on a : $F(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $2\text{e}^{-3x} - 2x^2 + 6\sin (0,5x)$
		\item $2\text{e}^{-3x} - 2x^2 + 6 \sin (0,5x) - 2$
		\item $- \dfrac{2}{3}\text{e}^{-3x} - 2x^2 + 12\sin (0,5x)$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\int_{-1}^{-3}  f'(x)\:\text{d}x$ est :
	\begin{enumerate}
		\item nulle
		\item strictement négative
		\item strictement positive
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\newpage

\item $\displaystyle\int_{-1}^{-3}  f(x)\:\text{d}x$ est :
	\begin{enumerate}
		\item nulle
		\item strictement négative
		\item strictement positive
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $f$ est une fonction :
	\begin{enumerate}
		\item à la fois paire et impaire
		\item paire non impaire
		\item impaire non paire
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $f$ est une fonction:
	\begin{enumerate}
		\item périodique de période $2\pi$
		\item périodique de période $\pi$
		\item périodique de période $\frac{\pi}{2}$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{SUITES} \end{center}

\textbf{Soient les suites: \boldmath$\left(U_n\right)$ définie par $U_0 = 4$ et pour tout entier naturel $n :\: U_{n+1} = - \dfrac{3}{2} U_n + \dfrac{5}{2}n + 1$ et $\left(V_n\right)$ par $V_n = U_n - n$ }\unboldmath

\item $U_2 =$
	\begin{enumerate}
		\item 11
		\item $\dfrac{39}{4}$
		\item $- 5$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\left(U_n\right)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item arithmétique et géométrique
		\item arithmétique non géométrique
		\item géométrique non arithmétique
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\left(V_n\right)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item arithmétique et géométrique
		\item arithmétique non géométrique
		\item géométrique non arithmétique
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Quel que soit $n :\: U_n =$
	\begin{enumerate}
		\item $4 \times (-1,5)^n - n$
		\item $4 \times (-1,5)^n$
		\item $4 \times (-1,5)^n + n$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(U_n\right)$ :
	\begin{enumerate}
		\item converge 
		\item diverge vers $- \infty$
		\item diverge vers $+ \infty$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\sum_{k=0}^{\np{2014}}  U_k$ est :
	\begin{enumerate}
		\item nulle 
		\item strictement négative
		\item strictement positive
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{PROBABILITÉS}\end{center}

\textbf{On lance deux fois de suite et de manière indépendante un dé parfaitement équilibré à six faces dont: deux sont blanches marquées chacune du chiffre $2$ ; une est blanche marquée du chiffre 1 ; une est noire marquée du chiffre $1$ et les deux autres sont noires marquées du chiffre $3$. On considère les variables aléatoires $X$ correspondant à la somme des deux chiffres obtenus et $Y$ le nombre de couleurs différentes obtenues.}

\medskip

\item Le nombre de valeurs différentes pouvant être prises par X est :
	\begin{enumerate}
		\item 3
		\item 4
		\item 5
		\item 6
	\end{enumerate}
\item $P(X = 2) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{1}{6}$
		\item $\dfrac{2}{36}$
		\item $\dfrac{4}{36}$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
 \item $P(Y = 1) - P(Y = 2)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item nul
		\item strictement négatif
		\item strictement positif
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $P(X = Y) =$
	\begin{enumerate}
		\item $P(X = 1)$
		\item $P(X = 2) $
		\item $P(X = 1) + P(X = 2)$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item L'espérance mathématique E$(Y) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{2}$
		\item $\frac{2}{2}$
		\item $\frac{3}{2}$ 
		\item 2
	\end{enumerate}
\item $P_{Y=2}(X = 2) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{2}$
		\item $\frac{1}{9}$
		\item $\frac{1}{18}$
		\item  aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\newpage

\item $P_{X=2}(Y = 2) =$ 
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{2}$
		\item $\frac{1}{9}$
		\item $\frac{1}{18}$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE NON ANALYTIQUE DANS L'ESPACE}\end{center} 

Soient ETOURDIS un cube et les points A et B milieux respectifs des arêtes [OU] et [RS] : 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,10)
\pspolygon(0.5,1.5)(6,0.5)(6,6)(0.5,7)%ETDR
\psline(6,0.5)(8.1,3.1)(8.1,8.6)(6,6)%TOID
\psline(8.1,8.6)(2.6,9.6)(0.5,7)%ISR
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.6,4.1)(8.1,3.1)%EUO
\psline[linestyle=dashed](2.6,4.1)(2.6,9.6)%US
\uput[dl](0.5,1.5){E} \uput[dr](6,0.5){T} \uput[ul](6,6){D} 
\uput[ul](0.5,7){R} \uput[ul](2.6,4.1){U} \uput[r](8.1,3.1){O} 
\uput[ur](8.1,8.6){I} \uput[u](2.6,9.6){S} \uput[d](5.35,3.6){A} 
\uput[ul](1.55,8.3){B} 
\psdots(5.35,3.6)(1.55,8.3) 
\end{pspicture}
\end{center}

\item La section de ce cube par le plan (EAS) est:
	\begin{enumerate}
		\item un segment
		\item un triangle
		\item un quadrilatère
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La section de ce cube par le plan (EAB) est:
	\begin{enumerate}
		\item un segment
		\item un triangle
		\item un quadrilatère
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La section de ce cube par le plan (EAD) est:
	\begin{enumerate}
		\item un segment
		\item un triangle
		\item un quadrilatère
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
	
\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE} \end{center}

Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère les points A$(0~;~-5~;~0)$,B$(1~;~0~;~1)$,\: C$(- 1~;~- 7~;~0)$,  la droite $D$ d'équation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -6a + 6\\
y &=& 4a - 9\\
z &=&0
\end{array}\right.$ où $a \in  \R$ et le plan $P$ d'équation cartésienne : $3x - 2y - 10 = 0$. 

\medskip

\item Le point A :
	\begin{enumerate}
		\item appartient à D et à P
		\item appartient à D mais pas à P
		\item appartient à P mais pas à D
		\item n'appartient ni à D ni à P
	\end{enumerate}
\item Le triangle ABC est:
	\begin{enumerate}
		\item rectangle en A
		\item rectangle en B
		\item rectangle en C
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item D et P sont :
	\begin{enumerate}
		\item parallèles
		\item sécantes non perpendiculaires
		\item perpendiculaires
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Les droites (AB) et $D$ sont:
	\begin{enumerate}
		\item parallèles
		\item sécantes non perpendiculaires
		\item perpendiculaires
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
 \item C est sur la sphère de centre B et de rayon $r$ où $r$ appartient à l'intervalle :
	\begin{enumerate}
		\item $[5~;~6]$
		\item $[6~;~7]$
		\item $[7~;~8]$
		\item $[8~;~9]$
	\end{enumerate}
	
\begin{center} \textbf{ALGORITHMIQUE} \end{center}

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
Saisir un entier $N \geqslant 1$\\
Affecter à $S$ la valeur 1\\
Affecter à $T$ la valeur 1\\
Tant que $T \leqslant N$\\
\hspace{1cm}Affecter à $S$ la valeur $S+ \ln (T)$\\
\hspace{1cm}Affecter à $T$ la valeur $T+1$\\
Fin de tant que\\
Affecter à $L$ la valeur $S - 1$\\
Afficher $L$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item La valeur de $L$ affichée pour $N = 1$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\newpage

\item La valeur de $L$ affichée pour $N = 3$ est:
	\begin{enumerate}
		\item $\ln (5)$
		\item $\ln (6)$
		\item $\ln (7)$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La plus grande valeur de $N$ telle que $L \leqslant \ln (25)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 3
		\item 4
		\item 5
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La plus petite valeur de N telle que el "2:. 25 est: 
	\begin{enumerate}
		\item 3
		\item 4
		\item 5
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{LOIS DE DENSITÉ} \end{center}

$X$ suit la loi normale de moyenne $- 2$ et de variance $V$ telle que $P(X \leqslant 0) = a$ et $Y$ suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$.

\medskip

\item Ainsi:
	\begin{enumerate}
		\item $a = 0,5$
		\item $a < 0,5$
		\item $a > 0,5$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item $P(X = 0) =$
	\begin{enumerate}
		\item $0$
		\item $0,5$
		\item $1$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $P( -2 \leqslant X \leqslant 0) =$
	\begin{enumerate}
		\item $a - 0,5$
		\item $a + 0,5$
		\item $2$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $P(X < - 2) = b$ où :
	\begin{enumerate}
		\item $b = 0,5$
		\item $b < 0,5$
		\item $b > 0,5$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $E(Y) = $
	\begin{enumerate}
		\item 0,2
		\item 5
		\item $5 \ln (2)$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\newpage

\item $P(-1 \leqslant Y \leqslant 1) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\text{e}^{0,2} - \text{e}^{- 0,2}$
		\item $\text{e}^{- 0,2} - \text{e}^{0,2}$
		\item $1 - \text{e}^{0,2}$
		\item $1 - \text{e}^{- 0,2}$
	\end{enumerate}
\item La valeur de $\theta$ telle que $P(Y < \theta) = P(Y > \theta)$ est
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item $\dfrac{1}{2}$
		\item 1
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $P_{Y > 8}(Y < 5) =$
 
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{P(Y < 8) - P(Y < 5)}{P(Y < 8)}$
		\item $\dfrac{P(Y > 8) - P(Y < 5)}{P(Y > 8)}$
		\item $1 - P(Y < 3)$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item $P_{Y < 8}(Y > 5) =$
	\begin{enumerate}
		\item  $\dfrac{P(Y < 8) - P(Y < 5)}{P(Y < 8)}$
		\item $\dfrac{P(Y > 8) - P(Y < 5)}{P(Y > 8)}$
		\item $1 - P(Y < 3)$
		\item aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\floweroneright~~\textbf{FIN}~~\floweroneleft\end{center}
\end{document}