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% Tapuscrit Denis Vergès
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 8 mai 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 8 MAI 2011~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

DURÉE: 1~h~30~min  

\bigskip

\begin{center}\textbf{CONSIGNES SPÉCIFIQUES} \end{center}

\bigskip
 
\end{center}

Lire attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve:

Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti. La raison en est que votre enseignant n'a pas forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S.

Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale. Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte.

\medskip

Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon. L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit.

Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé.

\medskip

Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement.

Si vous trouvez ce sujet \og difficile \fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e). Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous!

\medskip

\textbf{Barème :} 

Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d'un point}. 

\newpage

\begin{center} \textbf{ÉTUDE DE FONCTIONS}\end{center} 

Soient $f$ et $g$ les fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ respectivement définies par :

\[f(x) = -2 \ln (x) + 2 + x^2 \quad\text{et}\quad g(x) = \dfrac{- x^2 - 2 \ln (x)}{x}.\] 

 
\begin{enumerate}
\item La dérivée de $f$ est définie par : $f'(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{2x^2 - 2}{x}$
		\item $\dfrac{2x^2 + 2}{x}$
		\item $\dfrac{- 2x^2 - 2}{x}$
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 2 est :
	\begin{enumerate}
		\item $y = f'(x)(x - 2) + f(2)$
		\item $y = f'(x)(x - 2) - f(2)$
		\item $y = f'(2)(x - 2) + f(2)$
		\item $y = f(2)(x - 2) + f'(2)$
	\end{enumerate}
\item La dérivée de $g$ est définie par: $g '(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $- 2x - \dfrac{2}{x}$
		\item $\dfrac{f(x)}{x^2}$
		\item $- \dfrac{f(x)}{x^2}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Le minimum de $f$ est égal à :
	\begin{enumerate}
		\item 1
		\item 3
		\item 0
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item $f\left(\sqrt{\text{e}}\right) =$
	\begin{enumerate}
		\item e 
		\item $\text{e} + 1$
		\item $\text{e} - 1$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item   $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 2  
		\item $- \infty$
		\item $+ \infty$
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $- \infty$
		\item $+ \infty$
		\item n'existe pas
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item L'asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_g$ représentative de $g$ a pour équation réduite : 
	\begin{enumerate}
		\item $y = - x - 2$
		\item $y = - x $
		\item $y = x + 2$
		\item $y = x$
	\end{enumerate}
\item $\mathcal{C}_g$ est strictement en dessous de la droite d'équation $y + x = 0$ si et seulement si $x$ appartient à :
	\begin{enumerate}
		\item $]0~;~1[$
		\item $]1~;~+\infty[$
		\item $]0~;~+\infty[$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Le nombre de solutions à l'équation $g(x) = 0$ est égal à :
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item 3
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES}\end{center} 

Charly participe à un tournoi où il est opposé à Ali puis à Béatrice 

\begin{tabular}{ll}
On note &$A$ l'évènement : \og Charly bat Ali \fg \\
&$B$ l'évènement : \og Charly bat Béatrice \fg \\
&$\overline{A}$ et $\overline{B}$ leurs évènements contraires respectifs \\
&et X la variable aléatoire correspondant au nombre de victoires de Charly
\end{tabular}

Sachant que $P(A) = \dfrac{2}{5}$, que $P_A(B) = \dfrac{7}{10}$ et que $P(B) = \dfrac{12}{25}$, on peut alors affirmer que :
\item $P\left(A \cap \overline{B}\right) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{3}{25}$
		\item $\dfrac{5}{25}$
		\item $\dfrac{7}{25}$
		\item $\dfrac{9}{25}$
	\end{enumerate}
\item $P_{\overline{A}}(B) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{1}{5}$
		\item $\dfrac{1}{4}$
		\item $\dfrac{1}{3}$
		\item $\dfrac{1}{2}$
  	\end{enumerate}
\item $P\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{1}{5}$
		\item $\dfrac{2}{5}$
		\item $\dfrac{3}{5}$
		\item $\dfrac{4}{5}$
	\end{enumerate}
\item $P_{\overline{B}}(A ) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{5}{12}$
		\item $\dfrac{7}{12}$
		\item  $\dfrac{3}{13}$
		\item $\dfrac{10}{13}$
	\end{enumerate}
\item $P(A \cup B) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{7}{25}$
		\item $\dfrac{15}{25}$
		\item $\dfrac{22}{25}$
		\item $\dfrac{29}{25}$
  	\end{enumerate}
\item $P(X = 2) =$
	\begin{enumerate}
		\item $P(A \cap B)$
		\item $P\left(\overline{A} \cap B\right)$
		\item $P(A \cap \overline{B})$
		\item $P\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)$
	\end{enumerate}
\item $P(X = 1) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{3}{25}$
		\item $\dfrac{5}{25}$
		\item $\dfrac{8}{25}$
		\item $\dfrac{10}{25}$
	\end{enumerate}
\item E$(X) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{19}{25}$
		\item $\dfrac{22}{25}$
		\item $\dfrac{25}{25}$
		\item $\dfrac{28}{25}$
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{COMPLEXES ET ÉCRITURE EXPONENTIELLE}\end{center}

Soient les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que : $z_1 = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{8}}$ 
et $z_2  = - 3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{8}}$.

\item Alors :
	\begin{enumerate}
		\item $z_1 = z_2$
		\item $z_1 = - z_2$
		\item $z_1 = \overline{z_2}$
		\item $z_1 = - \overline{z_2}$
	\end{enumerate}
	
\item Alors : $z_1 + z_2$ est un
	\begin{enumerate}
		\item réel strictement positif
		\item réel strictement négatif
		\item imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive
		\item imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative
	\end{enumerate}
\item Alors : $z_1^{24}$ est un
	\begin{enumerate}
		\item réel strictement positif
		\item réel strictement négatif
		\item imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive
		\item imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative
	\end{enumerate}
\item Alors : $z_2^{36}$ est un
	\begin{enumerate}
		\item réel strictement positif
		\item réel strictement négatif
		\item imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive
		\item imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative
	\end{enumerate}
	
\begin{center}\textbf{COMPLEXES ET TRANSFORMATIONS DU PLAN}\end{center}

Dans un repère orthonormal direct \Ouv{} on considère les points A, B et C d'affixes respectives :

$z_{\text{A}} =2-\text{i} ~;~ z_{\text{B}} = - 3 - 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = \text{i}$.

\item L'affixe du point D tel que DBAC soit un parallélogramme, est égale à :
	\begin{enumerate}
		\item $- 1 - 4\text{i}$
		\item $- 5$
		\item $5 + 2\text{i}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\item L'affixe de l'image du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$ est égale à : 
	\begin{enumerate}
		\item $- 1 + 2\text{i}$ 
		\item $- 5$ 
		\item $5 + 2\text{i}$ 
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item L'affixe de l'image du point A par la rotation de centre C et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ est égale à :
	\begin{enumerate}
		\item $- 2 - \text{i}$
		\item $2 + 3\text{i}$
		\item $- 2 + 3\text{i}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item L'affixe de l'image du point C par l'homothétie de centre A et de rapport $- \dfrac{3}{2}$ est égale à :
	\begin{enumerate}
		\item $4 - 3\text{i}$
		\item $3 - 2\text{i}$
		\item $- 1 + 2\text{i}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\medskip
	
\begin{center}\textbf{DIVERS}\end{center} 


Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $f(x) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}  - 1$.

\item $f(x) \leqslant 0$ sur :
	\begin{enumerate}
		\item $[0~;~+\infty[$
		\item $]- \infty~;~0]$
		\item $\R$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La primitive $F$ de $f$ telle que $F(0) = 1$ est définie par $F(x) = $
	\begin{enumerate}
		\item $-0,5\text{e}^{- 0,5x} - x + 1,5$
		\item $- 2\text{e}^{- 0,5x} - x$
		\item $- 2\text{e}^{-0,5x} - x + 3$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $f$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = $
	\begin{enumerate}
		\item  $-0,5\text{e}^{-0,5x}- x$
		\item $ -0,5\text{e}^{0,5x}- 1$
		\item $- 2\text{e}^{- 0,5x}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ appartenant à $[-3~;~- 1], \: \ln [f(x)] =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{- 1}{2}$
		\item $\dfrac{- 3}{2}$
		\item $0$ 
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La fonction $x \longmapsto f(x) - f(- x)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item paire non impaire
		\item impaire non paire
		\item paire et impaire
		\item ni paire ni impaire
	\end{enumerate}
\item La fonction $x \longmapsto f(x) - f\left(\sqrt{x^2}\right)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item paire non impaire
		\item impaire non paire
		\item paire et impaire
		\item ni paire ni impaire
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\int_0^{- 2} f(x)\:\text{d}x = $
	\begin{enumerate}
		\item $- \displaystyle\int_0^{2} f(x)\:\text{d}x$ 
		\item $\displaystyle\int_{-2}^{0} f(x)\:\text{d}x$ 
		\item $- \displaystyle\int_{-2}^{0} f(x)\:\text{d}x$ 
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\medskip

\item $\displaystyle\int_{-2}^{2} |f(x)|\:\text{d}x = $
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\int_{-2}^{2} |f(- x)|\:\text{d}x$
		\item $2 \displaystyle\int_{0}^{2} |f(x)|\:\text{d}x$
		\item $2 \displaystyle\int_{-2}^{0} |f(x)|\:\text{d}x$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE}\end{center}

Dans un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A, B et C de coordonnées respectives: A$(-2~;~0~;~-4)$, B$(0~;~-2~;~-4)$ et C$(0~;~a~;~0)$ où $a$ est un réel

\item Une équation paramétrique de la droite (AB) est:
	\begin{enumerate}
		\item $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&=3t+1\\y&=&  -3t-3\\ z&=&0 \end{array}\right.$ où $t \in \R$
		\item $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&=2t-1\\y&=&  -2t-1\\ z&=&-4 \end{array}\right.$ où $t \in \R$
		\item $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&=t+2\\y&=&  t+4\\ z&=&- 4 \end{array}\right.$ où $t \in \R$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Une équation cartésienne du plan $P$, médiateur du segment $[AB]$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $2x - 2 y + z = 3$
		\item $x + y = 0$
		\item $x = y$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La longueur $AB$ est égale à :
	\begin{enumerate}
		\item $2\sqrt{2}$
		\item $4\sqrt{2}$
		\item $6\sqrt{2}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Le triangle ABC est rectangle en A lorsque $a = $
	\begin{enumerate}
		\item 4
		\item 6
		\item 8
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item L'intersection de la sphère de centre A et de rayon $\sqrt{3}$ avec le plan $P$ est :
	\begin{enumerate}
		\item vide
		\item un point
		\item un cercle de rayon $\sqrt{5}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\medskip

\item $x^2 + y^2 +  z^2 + 4y + 8z =  - 16$ est une équation cartésienne
	\begin{enumerate}
		\item de la sphère de centre (0~;~2~;~4) et de rayon 4
		\item de la sphère de centre $(0~;~-2~;~-4)$ et de rayon 4
		\item de la sphère de centre $(0~;~-2~;~-4)$ et de rayon 2
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\medskip
	
\begin{center}\textbf{ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES}\end{center}

Soit l'équation différentielle : (E) : $3y'+ 2y - 5 = 0$

\medskip

\item La solution de (E) telle que $y(0) = \dfrac{1}{2}$ est définie par $y(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $3\text{e}^{- \frac{2}{3}x} - \dfrac{5}{2}$
		\item $- 2\text{e}^{- \frac{2}{3}x} + \dfrac{5}{2}$
		\item $- 2\text{e}^{\frac{2}{3}x} + \dfrac{5}{2}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La solution de (E) telle que $y'(0) = \dfrac{1}{2}$ est définie par $y(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{1}{2}\text{e}^{- \frac{2}{3}x}$
		\item $\dfrac{4}{3}\text{e}^{- \frac{2}{3}x}$
		\item $- \dfrac{3}{4}\text{e}^{- \frac{2}{3}x} + \dfrac{5}{2}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Si $f$ est solution de (E) alors $f'$ est solution de l'équation différentielle:
	\begin{enumerate}
		\item $3y' + 2y = 0$
		\item $3y' - 2y = 0$
		\item $3y'' + 2y'-5 = 0$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Si une fonction $f$ ne s'annulant pas, est solution de (E), alors $\dfrac{1}{f}$ est solution de l'équation différentielle :
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{3}{y'} + \dfrac{2}{y} - 5 = 0$
		\item $\dfrac{1}{3y'} + \dfrac{1}{2y} - \dfrac{1}{5} = 0$
		\item $\dfrac{3}{y'} + \dfrac{2}{y} -  \dfrac{1}{5} = 0$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\newpage
	
\begin{center}\textbf{ANALYSE DE COURBES}\end{center} 

Ci-dessous la courbe représentative de la fonction $h$ dans un repère orthonormal et $\mathcal{A}$ l'aire exprimée en unités d'aire du domaine grisé :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(8,6)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=5]

\uput[d](7.8,0){$x$}
\uput[l](0,5.8){$y$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.}{x dup mul 0.327 mul 2 sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{0}{x 3 exp 0.31 mul 2 add neg}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{0}{x 3 exp 0.31 mul 2 add neg}
\psline(0,0)(-1,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.47}{x dup mul 0.327 mul 2 sub}
\psline(2.3,0)(0,0)
}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.47}{4}{x dup mul 0.327 mul 2 sub}
\psline(4,0)(2.3,0)
}
\psline(-1,0)(-1,-1.72)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3.99,-2.99)(8,6)
\uput[l](-2.8,4.7){$\mathcal{C}_h$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item $a$ étant l'abscisse du point d'intersection de $\mathcal{C}_h$ avec l'axe des abscisses, A est égale à :
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\int_{-1}^a h(x)\:\text{d}x +  \displaystyle\int_{a}^4 h(x)\:\text{d}x$
		\item $\displaystyle\int_{-1}^a h(x)\:\text{d}x -  \displaystyle\int_{a}^4 h(x)\:\text{d}x$
		\item $- \displaystyle\int_{-1}^a h(x)\:\text{d}x +  \displaystyle\int_{a}^4 h(x)\:\text{d}x$
		\item $- \displaystyle\int_{-1}^a h(x)\:\text{d}x -  \displaystyle\int_{a}^4 h(x)\:\text{d}x$
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\int_{-1}^4 h(x)\:\text{d}x$ est comprise entre : 
\begin{enumerate}
\item $- 5$ et $- 3$
\item $- 3$ et $- 1$
\item $- 1$ et $1$
\item $1$ et $3$
	\end{enumerate} 
\item $\displaystyle\int_{-1}^4 |h(x)|\:\text{d}x$ est comprise entre :
\begin{enumerate}
\item 0 et 1
\item 1 et 3
\item 3 et 5
\item 5 et 7
	\end{enumerate}

\newpage

\item Sur [0~;~4], la fonction $x \longmapsto \displaystyle\int_{0}^x  h(t)\:\text{d}t$ est :
	\begin{enumerate}
		\item constante
		\item croissante
		\item décroissante
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
	
Ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormal

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=5](-3,-3)(5,3)
\uput[d](4.8,0){$x$}
\uput[l](0,2.8){$y$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{5.}{x 2.71828  x   neg exp mul 2 mul}

\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(5,3)
\end{pspicture*}
\end{center}

\item La courbe représentative de la fonction dérivée $g'$ est :

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=5](-3,-3)(5,3)
\uput[d](4.8,0){$x$}
\uput[l](0,2.8){$y$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{5.}{2 2 x mul sub  2.71828  x   neg exp mul}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{5.}{2 2 x mul sub  2.71828  x   neg exp mul neg}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-2}{5.}{2 2 x mul add  2.71828  x   neg exp mul}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-2}{5.}{2 2 x mul add  2.71828  x   neg exp mul neg}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(5,3)
\uput[l](-1.3,2.5){\color{orange} $\mathcal{C}_1$}
\uput[l](-0.1,2.5){\blue $\mathcal{C}_2$}
\uput[l](-1.3,-2.2){\green $\mathcal{C}_3$}
\uput[l](-0.1,-2.4){\red $\mathcal{C}_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{C}_1$
		\item $\mathcal{C}_2$
		\item $\mathcal{C}_3$
		\item $\mathcal{C}_4$
	\end{enumerate}
\item La fonction $x \longmapsto g(x)$ est définie sur $\R$ par $g(x) =$ 
\begin{enumerate}
\item $x\text{e}^x$
\item $- x\text{e}^x$
\item $x\text{e}^{- x}$
\item $- x\text{e}^{- x}$
	\end{enumerate}
\item La fonction $x \longmapsto g'(x)$ est définie sur $\R$ par $g'(x) = $
	\begin{enumerate}
		\item $(- x - 1)\text{e}^{- x}$
		\item $(- x + 1)\text{e}^{- x}$
		\item $(- x - 1)\text{e}^x$
		\item $(- x + 1)\text{e}^x$
	\end{enumerate}
\item La primitive de $g$ qui s'annule en $0$ est définie sur $\R$ par $G(x) =$ 
	\begin{enumerate}
		\item $(- x - 1)\text{e}^{- x} + 1 $
		\item $(- x + 1)\text{e}^{- x} - 1$
		\item $(- x - 1)\text{e}^x + 1 $
		\item $(- x - 1)\text{e}^{- x}- 1$
	\end{enumerate}

\medskip
	
\begin{center}\textbf{SUITES}\end{center}

$\left(U_n\right)$ est la suite définie sur $\N*$ par $U_n = 5 - \dfrac{10}{n}$,

$\left(V_n\right)$ est la suite définie sur $\N*$ par $V_n = 6 + \dfrac{3}{n}$,

et $\left(W_n\right)$ une suite telle que pour tout $n$ de $\N^{*}$ :\: $U_n < W_n < V_n$.

\item Ainsi
	\begin{enumerate}
		\item $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$ sont décroissantes
		\item $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$ sont croissantes
		\item $\left(U_n\right)$ est décroissante et $\left(V_n\right)$ est croissante
		\item $\left(U_n\right)$ est croissante et $\left(V_n\right)$ est décroissante
	\end{enumerate}
	
\item La suite $\left(W_n\right)$ est bornée par :
	\begin{enumerate}
		\item $- 7$ et 11
		\item $- 6$ et 8
		\item $- 4$ et 9
		\item 5 et 6
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(W_n\right)$ est forcément:
	\begin{enumerate}
		\item convergente
		\item divergente vers $- \infty$ ou $+ \infty$
		\item divergente sans limite
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Si $\left(W_n\right)$ converge vers le réel $\ell$ alors $\ell$ appartient forcément à :
	\begin{enumerate}
		\item $]5~;~6[$
		\item $]5~;~6]$
		\item $[5~;~6[$
		\item $[5~;~6]$
	\end{enumerate}

\newpage

\item $\left(W_n\right)$ peut alors être égale à:
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{11\cos (n)}{2}$
		\item $- \dfrac{11\cos (n)}{2}$
		\item $\dfrac{11 + \cos (n)}{2}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item Soit $\left(A_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $A_n = -3 \times  \left(\dfrac{-7}{5}\right)^n + 2 \times \left(\dfrac{-7}{5}\right)^{n-1}$

La suite $\left(A_n\right)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item arithmétique non géométrique
		\item géométrique non arithmétique
		\item arithmétique et géométrique
		\item ni arithmétique ni géométrique
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(A_n\right)$ :
	\begin{enumerate}
		\item converge vers $0$ 
		\item diverge vers $- \infty$
		\item diverge vers $+ \infty$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(A_n\right)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item bornée 
		\item minorée non majorée
		\item majorée non minorée
		\item ni minorée ni majorée
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\floweroneright~~\textbf{FIN}~~\floweroneleft\end{center}
\end{document}