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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 8 mai 2010}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 8 MAI 2010~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

DURÉE: 1~h~30~min

\bigskip

\begin{center}\textbf{CONSIGNES SPÉCIFIQUES} \end{center}

\bigskip

\end{center}

Lire attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve:

Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti. La raison en est que votre enseignant n'a pas forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S.

Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale. Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte. 

\medskip

Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon. L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit. 

Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé. 

\medskip

Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement. 

Si vous trouvez ce sujet \og difficile \fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e). Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous! 

\medskip

\textbf{Barème :} 

Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retraitd'un point}.

\newpage

\begin{center}\textbf{LES LIMITES}\end{center} 

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}- 2x^2 + x + 4 \cos(x) =$ 
	\begin{enumerate}
		\item $- \infty$
		\item $0$
		\item n'existe pas
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} - 2x^2 + x + 4 \cos(x) =$  
	\begin{enumerate}
		\item $- \infty$
		\item $0$
		\item n'existe pas
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{x}{\sin (- x)} =$    
	\begin{enumerate}
		\item $- 1$
		\item $1$
		\item n'existe pas
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to 0}  \dfrac{x}{\sin (- x)} =$
	\begin{enumerate}
		\item $- 1$
		\item $1$
		\item n'existe pas
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{LES COMPLEXES}\end{center}


Soit $z_1 = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z_2$ où $z_2$ est un réel strictement négatif 

\item $\left|z_1\right| =$
	\begin{enumerate}
		\item $3z_2$
		\item $- 3z_2$
		\item $3\text{i}z_2$
		\item $- 3\text{i}z_2$
	\end{enumerate}
\item arg $\left(z_1\right) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{\pi}{4}$
		\item $-\frac{\pi}{4}$
		\item $\frac{3\pi}{4}$
  		\item $\frac{- 3\pi}{4}$
	\end{enumerate}
\item $\overline{z_1} =$
	\begin{enumerate}
		\item $3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z_2$
		\item $- 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z_2$
		\item $3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}z_2$
		\item $- 3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}z_2$
	\end{enumerate}
\item $z_1^{10}$ est un
	\begin{enumerate}
		\item réel strictement positif
		\item réel strictement négatif
		\item imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive
		\item imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative
	\end{enumerate}
	
\begin{center}\textbf{TRANSFORMATIONS PLANES ET COMPLEXES}\end{center}

Soient $f$ et $g$ les transformations complexes qui à tout point $M$ d'affixe $z$ du plan associent respectivement les points d'affixes $f(z) = - \text{i}z + 1 - \text{i}$ et $g(z) = - \overline{z}$.

\item $f$ est
	\begin{enumerate}
		\item une translation
		\item une rotation
		\item une homothétie
		\item une réflexion
	\end{enumerate}
\item g est
	\begin{enumerate}
		\item une translation
		\item une rotation
		\item une homothétie
		\item une réflexion
	\end{enumerate}
\item l'affixe du point fixe de $f$ est 
	\begin{enumerate}
		\item $-1$
		\item 1
		\item $- \text{i}$
		\item $\text{i}$
	\end{enumerate}
\item l'écriture complexe associée à $g \circ f$ est 
	\begin{enumerate}
		\item $- \text{i}\overline{z} - 1 - \text{i}$
		\item $- \text{i}\overline{z} - 1 + \text{i}$
		\item $\text{i}\overline{z} - 1- \text{i}$
		\item $\text{i}\overline{z} - 1+\text{i}$
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{LOGIQUE}\end{center}

\item Pour prouver que $I$ est le milieu de $[AB]$, il suffit de prouver que 
	\begin{enumerate}
		\item pour tout point $M$ :\: $\vect{MA} + \vect{MB} = 2\vect{MI}$ 
		\item AI = BI
		\item $\vect{AI} + \vect{IB} = \vect{AB}$
		\item $\vect{AI}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires
	\end{enumerate}
\item Pour que quatre points distincts $A, B, C$ et $D$ soient coplanaires, il est nécessaire
	\begin{enumerate}
		\item que trois de ces points soient alignés
		\item que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles ou sécantes
		\item de trouver un réel $\alpha$ tel que $\vect{AD} = \alpha \left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item Si $a$ et $b$ sont irrationnels, alors forcément
	\begin{enumerate}
		\item $a + b$ est irrationnel
		\item $ab$ est irrationnel
		\item $a^2$ est rationnel
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
	
\newpage

\item Si $f$ est définie en $a$, alors nécessairement 
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est continue en $a$ 
		\item $\ln (f)$ est définie en $a$
		\item $\dfrac{1}{f}$ est définie en $a$
		\item $\dfrac{1}{\text{e}^f}$ est définie en $a$
	\end{enumerate}
	
\begin{center}\textbf{ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DANS $\R$}\end{center} 

\item $x^4 - x^2 - 6 = 6$ admet dans $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item 0 solution
		\item 1 ou 3 solutions
		\item 2 solutions
		\item 4 solutions
	\end{enumerate}
\item $\left|x^2 - x - 6\right| = 6$ admet dans $\R$
	\begin{enumerate}
		\item 0 solution
		\item 1 ou 3 solutions
		\item 2 solutions
		\item 4 solutions
	\end{enumerate}
\item $[\ln (x)]^2 - \ln (x) - 6 = 6$ admet dans $\R$
	\begin{enumerate}
		\item 0 solution
		\item 1 ou 3 solutions
		\item 2 solutions
		\item 4 solutions
	\end{enumerate}
\item $\ln \left(x^2\right) - \ln (x) - 6 = 6$ admet dans $\R$
	\begin{enumerate}
		\item 0 solution
		\item 1 ou 3 solutions
		\item 2 solutions
		\item 4 solutions
	\end{enumerate}
\item $x^2\text{e}^{- x} = 2\text{e}^{- 2}$ admet dans $\R$ 
	\begin{enumerate}
		\item 0 solution
		\item 1 solution
		\item 2 solutions
		\item 3 ou 4 solutions
	\end{enumerate}
\item $\text{e}^{\frac{1}{x}} > - \text{e}^{- \frac{1}{3}}$ a pour solution dans $\R$ 
	\begin{enumerate}
		\item $]0~;~3[$
		\item $]- \infty~;~-3[ \cup ]0~;~+\infty[$
		\item $\R$  
		\item aucune des 3 réponses précédentes 
	\end{enumerate} 
\item $\text{e}^{\frac{1}{x}} > \text{e}^{- \frac{1}{3}}$ a pour solution dans
	\begin{enumerate}
		\item $]0~;~3[$
		\item $]- \infty~;~- 3[ \cup ]0~;~+ \infty[$
		\item $\R$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ÉQUATIONS DANS $\C$}\end{center}

\item La somme des solutions complexes de l'équation $z^4 - z^2 - 12 = 0$ est égale à 
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item $- 12$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item Le produit des solutions complexes de l'équation $Z^4 - Z^2 - 12 = 0$ est égale à 
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item $- 12$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{DÉRIVÉES ET PRIMITIVES}\end{center}

\item Sur J$\R*$ la dérivée de $f : x \longmapsto \dfrac{\text{e}^{\frac{1}{x}}}{x}$ est définie par $f'(x) = $
	\begin{enumerate}
		\item $- \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}$
		\item $\dfrac{x + 1}{x^3}\text{e}^{\frac{1}{x}}$
		\item $- \dfrac{x + 1}{x^3}\text{e}^{\frac{1}{x}}$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item Sur $]- \infty~;~0[$ une primitive $F$ de $x \longmapsto \ln (- x)$ est définie par $F(x) =$ 
	\begin{enumerate}
		\item $x \ln(- x) - x$
		\item $x \ln(- x) + x$
		\item $- x \ln(- x) - x$
		\item $- x \ln(- x) + x$
	\end{enumerate}
\item Sur  $\left[- \pi~;~ - \frac{\pi}{2}\right[$ la primitive $F$ de $x \longmapsto \tan (x)$ telle que $F(- \pi) = 0$ est définie par $F(x) = $
	\begin{enumerate}
		\item $\ln [\cos (x)]$
		\item $\ln [- \cos (x)]$
		\item $- \ln [\cos (x)]$
		\item $- \ln [- \cos (x)]$
	\end{enumerate}
\item Sachant que sur $\R$ : $f''(x) = - f(x)$ alors $f(x)$ ne peut pas être égale à
	\begin{enumerate}
		\item $0$
		\item $\text{e}^{- x}$
		\item $\cos (x)$
		\item $\sin (x)$
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{INTÉGRALES}\end{center}

\item $\displaystyle\int_1^{- 1}  x\text{e}^{- x^2} \:\text{d}x = $
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{- 2}{\text{e}}$
		\item $\dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}}$
		\item $- \left(\dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}} \right)$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\int_1^{- 1} 1 x^2\text{e}^{- x} \:\text{d}x = $
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item $\text{e}^{- 1} - \text{e}$
		\item $\dfrac{\text{e} - \text{e}^{- 1}}{3}$
		\item $\text{e} - 5\text{e}^{- 1}$
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES}\end{center}

Soient (E) : $y' - 2y = 2x + 5$ et (F) : $y'' - 2y' = 2$

\item Une solution de (E) est définie par $f(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\text{e}^{2x} - \dfrac{2x+5}{2}$
		\item $\text{e}^{2x} + \dfrac{2x+5}{2}$
		\item $- x - 3$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item Une solution de (F) est définie par $g(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $- \text{e}^{2x} - 1$
		\item $- \text{e}^{2x} - x$
		\item 1
		\item $x$
	\end{enumerate}
\item $y\: \:: x \longmapsto  y(x) = - 5\text{e}^{2x} - x - 3$
	\begin{enumerate}
		\item est solution de (E) et de (F)
		\item est solution de (E) mais pas de (F)
		\item est solution de (F) mais pas de (E)
		\item n'est solution ni de (E) ni de (F)
	\end{enumerate}
\item $y\: \:: x \longmapsto  y(x) = +\text{e}^{2x} - x + 3$
	\begin{enumerate}
		\item est solution de (E) et de (F)
		\item est solution de (E) mais pas de (F)
		\item est solution de (F) mais pas de (E)
		\item n'est solution ni de (E) ni de (F)
	\end{enumerate}

\medskip
	
\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE}\end{center}

Dans un repère orthonormal, on considère le plan $P$ d'équation $2x - 3y + z = - 4$ et le point A de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$

\item Une équation cartésienne du plan passant par A et parallèle à $P$ est
	\begin{enumerate}
		\item $2x - 3y + z = 4$
		\item $- 2x + 3y - z = 10$
		\item $x - y- z= 0$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item Une équation cartésienne d'un plan passant par A et perpendiculaire à $P$ est
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3}y + z = - \dfrac{13}{3}$
		\item $y + 3z = 8$
		\item $- x + 2z = - 4$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
	
\newpage

\item La distance du point A au plan $P$ est égale à
	\begin{enumerate}
		\item 14
		\item $\sqrt{7}$
		\item $\sqrt{14}$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item L'intersection du plan P avec la sphère de centre A et de rayon 3 est 

	\begin{enumerate}
		\item vide
		\item un point
		\item un cercle
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{ESPACE ET VECTEURS}\end{center}

Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace. L'ensemble des points $M$ tels que 

\item $\left\|3\vect{MA} - 5\vect{MB}\right\| = \left\| 5\vect{MA} - 3\vect{MB}\right\|$
	\begin{enumerate}
		\item est une droite ou un cercle
		\item est une sphère
		\item est un plan
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item $\left\|3\vect{MA} - 5\vect{MB}\right\| = \left\| 5\vect{MB} - 3\vect{MA}\right\|$
	\begin{enumerate}
		\item est une droite ou un cercle
		\item est une sphère
		\item est un plan
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item $\left\|3\vect{MA} - 5\vect{MB}\right\| = \left\| 2\vect{MA} - 2\vect{MB}\right\|$
	\begin{enumerate}
		\item est une droite ou un cercle
		\item est une sphère
		\item est un plan
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item $\left(3\vect{MA} - 5\vect{MB}\right) \cdot \left(2\vect{MA} - 2\vect{MB}\right) = 0$	
	\begin{enumerate}
		\item est une droite ou un cercle
		\item est une sphère
		\item est un plan
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES}\end{center}

$\left(U_n\right)$ étant une suite telle que $U_3 = - 5$ et $U_6 = 40$.

Si $\left(U_n\right)$ est arithmétique alors

\item $U_3 + U_4 + \cdots + U_7 =$
	\begin{enumerate}
		\item 100
		\item 200
		\item 70
		\item aucune des 3 réponses précédentes.
	\end{enumerate}

\newpage

\item $\text{e}^{U_3} + \text{e}^{U_4} + .. + \text{e}^{U_7} =$
	\begin{enumerate}
		\item $\text{e}^{100}$
		\item $\text{e}^{200}$
		\item $\text{e}^{70}$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
	
Si $\left(U_n\right)$ est géométrique alors

\item $U_3 + U_4 + \cdots + U_7 =$
 	\begin{enumerate}
		\item $- 165$
		\item 165
		\item 155
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item $\ln \left|U_3\right| + \ln \left|U_4\right| + \cdots + \ln \left|U_7\right| =$
	\begin{enumerate}
		\item $ln \left(\dfrac{165}{3}\right)$
		\item $ln (165)$
		\item $ln (155)$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}

\medskip
	
\begin{center}\textbf{DÉNOMBREMENT}\end{center}

Dans une trousse se trouvent un stylo bleu, deux blancs, quatre rouges indiscernables au toucher les uns des autres, on tire au hasard et simultanément trois de ces stylos.

\item Le nombre de tirages unicolores est égal à
	\begin{enumerate}
		\item 1
		\item 2
		\item 4
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item Le nombre de tirages tricolores est égal à 
	\begin{enumerate}
		\item 7
		\item 8
		\item 9
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item Le nombre de tirages bicolores est égal à
	\begin{enumerate}
		\item 23
		\item 24
		\item 25
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item Le nombre de tirages comportant plus de rouges que de blancs est égal à 
	\begin{enumerate}
		\item 35
		\item 22
		\item 19
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
	
\begin{center}\textbf{VARIABLES ALEATOIRES}\end{center}

On tire 2 lettres successivement et avec remise d'un sac contenant les lettres M,\: A,\: T et H et on considère $X$ la variable aléatoire associée au nombre de voyelles tirées.

Par ailleurs Y est une variable aléatoire indépendante de X prenant pour valeurs $-2 ; 1$ et $3$ avec des probabilités proportionnelles aux carrés de leurs valeurs 

\item $P(X = 0) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{7}{16}$
		\item $\dfrac{8}{16}$
		\item $\dfrac{9}{16}$
		\item $\dfrac{10}{16}$
	\end{enumerate}   
\item $P(Y = 3) =$   
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{1}{14}$
		\item $\dfrac{4}{14}$
		\item $\dfrac{9}{14}$
		\item $\dfrac{15}{14}$
	\end{enumerate}
\item E$(X) =$ 
	\begin{enumerate}
		\item $0$
		\item $0,5$
		\item 1
		\item $1,5$
	\end{enumerate}
\item $P(X = Y) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{3}{112}$
		\item $\dfrac{25}{56}$
		\item $\dfrac{1}{112}$
		\item aucune des 3 réponses précédentes.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}\textbf{ANALYSE DE COURBES}\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-3.25)(4.5,3)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=4,griddots=10,subgriddots=5](-5,-4)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4.5,-3.25)(4.5,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{1}{x 1 add dup mul 2 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{-2}{1 2 x add neg sqrt sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2 x add sqrt sub}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](2,-1)(4,-3)
\uput[d](4.3,0){$x$} \uput[l](0,2.8){$y$}
\uput[r](0.85,1.5){\red $\mathcal{C}_f$}\uput[dr](-3.8,-0.4){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item $f \circ g (2) = $
	\begin{enumerate}
		\item n'existe pas
		\item $2$
		\item $- 2$
		\item $0$
	\end{enumerate}
\item sur $[-4~;~- 2],\: g(x)=$
	\begin{enumerate}
		\item $- \sqrt{2 - x} + 1$
		\item $- \sqrt{- 2 - x} + 1$
		\item $\sqrt{2 - x} + 1$
		\item $\sqrt{- 2 - x} + 1$
	\end{enumerate}
\item l'ensemble de définition de la fonction $f \circ g$ est
	\begin{enumerate}
		\item $[- 4~;~4]$
		\item $[- 2~;~1]$
		\item $[- 4~;~3]$
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to - 2} \dfrac{g(x) - g(- 2)}{x + 2} = $
	\begin{enumerate}
		\item $- \infty$
		\item $+ \infty$
		\item n'existe pas
		\item aucune des 3 réponses précédentes
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\floweroneright~~\textbf{FIN DE L'ÉPREUVE}~~\floweroneleft \end{center}
\end{document}