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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 8 mai 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 8 MAI 2013~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

DURÉE: 1~h~30~min  

\bigskip

CONSIGNES SPÉCIFIQUES

\bigskip
 
\end{center}

Lire attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve:

Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti. La raison en est que votre enseignant n'a pas forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S.

Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale. Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte.

Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon. L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit.

Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé. 

Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement.

Si vous trouvez ce sujet \og difficile \fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e). Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous!

Barème :

Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points, tandis que chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’1 point.

\medskip

\begin{center}
\textbf{SIMPLIFICATIONS D'ÉCRITURES} \end{center}

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{2}\ln (27) - 2 \ln (3) + \ln \left(\sqrt{3}\right)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item nul
		\item strictement négatif
		\item strictement positif
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte  
	\end{enumerate}
\item $\dfrac{- 2\text{e}^2 \times 3\text{e}^4 }{\left(2\text{e}^2 \right)^2 - 3\text{e}^4}$ est égal à :
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{1}{2\text{e}^2}$
		\item $- 6\text{e}^2 $
		\item $- 5 \text{e}^2$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $[\ln (3)]^2 - 2\ln (3)$ est:
	\begin{enumerate}
		\item nul
		\item strictement négatif
		\item strictement positif
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\dfrac{\cos ^2 \left(\frac{\pi}{6} \right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{6} \right)}{\cos ^2 \left(\frac{\pi}{3} \right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{3} \right)}$ est égal à :
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{1}{2}$
		\item $1$
		\item $2$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\newpage	
\begin{center}
\textbf{CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ} \end{center}

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$.

\item $f$ est continue en $- 1$ signifie que :
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x \to  - 1} f(x)$ est un réel
		\item $\displaystyle\lim_{x \to  0} f(x - 1)$ est un réel
		\item $\displaystyle\lim_{x \to  0}\dfrac{f(-1 + x) - f(- 1)}{x}$ est un réel
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $f$ est dérivable en $- 1$ signifie que : 
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x \to  - 1} f(x)$ est un réel
		\item $\displaystyle\lim_{x \to  0} f(x - 1)$ est un réel
		\item $\displaystyle\lim_{x \to  0}\dfrac{f(- 1 + x)- f(- 1)}{x}$ est un réel
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

Soit $g$ une fonction définie sur $[-1~;~2]$ telle que $g(- 1) = 2 \:;\: g(0) = 1 \:;\: g(1) = 0$ et $g(2) = - 1$.

\item On est certain que sur $[-1~;~2]$ :
	\begin{enumerate}
		\item $g$ est strictement décroissante
		\item $g$ est strictement croissante
		\item $g$ n'est pas strictement décroissante
		\item $g$ n'est pas strictement croissante
	\end{enumerate}
\item On est certain que sur $[-1~;~2]$, l'équation $g(x) = 0,5$ :
	\begin{enumerate}
		\item n'admet pas de solution
		\item admet une unique solution
		\item admet au moins une solution
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\textbf{ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS} 
\end{center} 

\item $\dfrac{1}{x} \leqslant 0,2$ a pour solution :
	\begin{enumerate}
		\item $]0~;~5]$
		\item $[5~;~+\infty[$
		\item $] - \infty~;~5]$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Le nombre de solutions de l'équation : $\ln \left(x^2\right) = [\ln (x)]^2$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Le nombre de solutions de l'équation: $[\ln (x)]^2 = -[\ln (x)]^2$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 0 
		\item 1 
		\item 2 
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Le nombre de solutions de l'inéquation : $\text{e}^{-x^2} \geqslant 1$ est :
	\begin{enumerate}
		\item infini
		\item 0
		\item 1
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item Le nombre de complexes distincts solutions de l'équation : $2z^2 - 5z + 3 = 0$ est égal à : 
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
 

\begin{center}
\textbf{IMPLICATIONS ET ÉQUIVALENCES}
\end{center} 

\emph{Dans les quatre items suivants, $P_1$ et $P_2$ sont deux propositions et $a$ et $b$ deux réels. De manière générale :}

\item Si $P_1 : \og a^3 = b^3 \fg{}$ et $P_2 : \og a = b \fg{}$ alors:
	\begin{enumerate}
		\item seule $P_1$ implique $P_2$
		\item seule $P_2$ implique $P_1$
		\item $P_1$ et $P_2$ sont équivalentes
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Si $P_1:\og \ln (a) = \ln (b)\fg{}$ et $P_2 : \og \text{e}^a = \text{e}^b \fg{}$ alors:
	\begin{enumerate}
		\item seule $P_1$ implique $P_2$
		\item seule $P_2$ implique $P_1$
		\item $P_1$ et $P_2$ sont équivalentes
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Si $P_1 :\og a^2 = b\fg{}$ et $P_2 : \og a = \sqrt{b}\fg{}$ alors :
	\begin{enumerate}
		\item seule $P_1$ implique $P_2$
		\item seule $P_2$ implique $P_1$
		\item $P_1$ et $P_2$ sont équivalentes
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Si $P_1 : \og AB^2 = AC^2 + BC^2 \fg{}$ et $P_2 : \og ABC$ est un triangle rectangle \fg{} alors :
	\begin{enumerate}
		\item seule $P_1$ implique $P_2$
		\item seule $P_2$ implique $P_1$
		\item $P_1$ et $P_2$ sont équivalentes
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{INTERPRÉTATION GRAPHIQUE}
\end{center}

Ci-dessous la parabole représentant la fonction $f$ définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(9,7)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5,gridwidth=0.3pt](-8,-5)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-8,-5)(9,7)
\uput[d](8.8,0){$x$} \uput[l](0,6.8){$y$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{9}{4 x mul 3 div 4 add x dup mul 2 mul 9 div sub }
\uput[l](-4,-4.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

Soient les suites $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$ définies, pour tout entier naturel $n$, respectivement par:

\[U_n = f(n)\quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l}
V_0 &=&a\\
V_{n+1}&=&f\left(V_n\right)
\end{array}\right. \quad \text{où} \:a\:\:\text{est un réel}\]

\item La tangente à la parabole au point d'abscisse $3$ a pour équation :
	\begin{enumerate}
		\item $x = 6 $
		\item $y = 6$
		\item $y = 6x - 18$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Sur $\R$, la dérivée de $f$ est définie par $f'(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{-4}{9}x-\dfrac{4}{3}$
		\item $\dfrac{-4}{9}x+\dfrac{4}{3}$
		\item $\dfrac{4}{9}x-\dfrac{4}{3}$
		\item $\dfrac{4}{9}x+\dfrac{4}{3}$
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}[f(x) - x] =$
	\begin{enumerate}
		\item $- \infty$
		\item $+ \infty$
		\item $0$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\int_{-1}^{-4} f(x)\:\text{d}x$ :
	\begin{enumerate}
		\item est nulle
		\item strictement négative
		\item strictement positive
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(U_n\right)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item minorée non majorée
		\item majorée non minorée
		\item bornée
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Pour $a = 1,\: V_2$ appartient à :
	\begin{enumerate}
		\item $[0~;~2]$
		\item $[2~;~4]$
		\item $[4~;~6]$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item Pour $a = - 1$, la suite $\left(V_n\right)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item constante
		\item strictement décroissante
		\item strictement croissante
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Pour $a = - 4, \:\left(V_n\right)$ :
	\begin{enumerate}
		\item est convergente 
		\item diverge vers $-\infty$
		\item diverge vers $+\infty$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\textbf{LA TRIGONOMÉTRIE}
\end{center} 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x \cdot \cos \left(\dfrac{x}{3}\right)$

\item $f$ est :
	\begin{enumerate}
		\item paire
		\item impaire
		\item paire et impaire
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $f$ est :
	\begin{enumerate}
		\item périodique de période $2\pi$
		\item périodique de période $6\pi$
		\item périodique de période $2\pi/3$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item Le nombre de solutions sur $[-2\pi~;~2\pi]$ de l'équation $f(x) = 0$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item 3
	\end{enumerate}
\item Sur $\R$, la fonction dérivée $f'$ est définie par $f'(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $- x\cdot \sin \left(\dfrac{x}{3}\right)$
		\item $\cos \left(\dfrac{x}{3}\right) + x\cdot \sin \left(\dfrac{x}{3}\right)$
		\item $\cos \left(\dfrac{x}{3}\right) - x\cdot \sin \left(\dfrac{x}{3}\right)$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item Sur $\R$, la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0) = 0$ est définie par $F(x) = $
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{x^2}{2} \cdot  \sin \left(\dfrac{x}{3}\right)$
		\item $\dfrac{3x^2}{2} \cdot  \sin \left(\dfrac{x}{3}\right)$
		\item $9 \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) + 3x \cdot \sin \left(\dfrac{x}{3}\right)$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item $- \infty$
		\item $+ \infty$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f\left(\dfrac{1}{x}\right) =$  
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item $- \infty $
		\item $+ \infty$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
\end{enumerate}
\item $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\:\text{d}x$ est :
	\begin{enumerate}
		\item nulle
		\item strictement négative
		\item strictement positive
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
	
\medskip

\begin{center}
\textbf{ALGORITHMIQUE}
\end{center}

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
Saisir un entier $N \geqslant 1$\\
Affecter à $S$ la valeur 0\\
Affecter à $I$ la valeur 0\\
Tant que $S < N$\\
\hspace{1cm}Affecter à $S$ la valeur $S+ I^2$\\
\hspace{1cm}Affecter à $I$ la valeur $I + 1$\\
Fin de tant que \\
Afficher $S$\\
Afficher $I$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item La valeur de $S$ affichée pour $N = 30$ est:
	\begin{enumerate}
		\item $14$
		\item $30$
		\item $55$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item La valeur de $I$ affichée pour $N = 30$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 4
		\item 5
		\item 6
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item La plus petite valeur de $N$ tel que $I = 3$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 1
		\item 2
		\item 3
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item La plus grande valeur de $N$ tel que $I = 3$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 1
		\item 3
		\item 5
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\textbf{LES COMPLEXES}
\end{center} 

\item L'écriture exponentielle de $\sqrt{3} - \text{i}$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$
		\item $\sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$
		\item $2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$
		\item $2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$
	\end{enumerate}
\item $\left(\sqrt{3} - \text{i}\right)^9$ est :
	\begin{enumerate}
		\item un réel strictement négatif
		\item un réel strictement positif
		\item un imaginaire pur 
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
	\medskip
	
\emph{Dans un repère orthonormé direct \Ouv{} du plan complexe, on considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ où $z \ne - 2$ associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{z - 1}{z + 2}$}

\item Si $z = - \text{i}$ alors $z' =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{-1}{5} - \dfrac{3}{5}\text{i}$
		\item $\dfrac{-1}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}$
		\item $\dfrac{-1}{2} + \text{i}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item Si $z' = - \text{i}$ alors $z = $.
	\begin{enumerate}
		\item $ \dfrac{-1}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$
		\item $ \dfrac{-1}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$
		\item $ \dfrac{-3}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ tels que O$M'= 1$ est :
	\begin{enumerate}
		\item une droite privée d'un point
		\item un cercle privé d'un point
		\item une droite
		\item un cercle
	\end{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ tels que $z' = - \overline{z'}$ est :
	\begin{enumerate}
		\item une droite privée d'un point
		\item un cercle privé d'un point
		\item une droite
		\item un cercle
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE }
\end{center}

\medskip

\emph{Dans le repère orthonormé \Oijk de l'espace, on considère les points \rm{A}(0~;~- 5~;~0), \rm{B}(1~;~0~;~1), \rm{C}(-1~;~-7~;~0) et \rm{D}$(a~;~0~;~-1)$ où $a$ est un réel}

\medskip 

\item Une équation du plan (ABC) est:
	\begin{enumerate}
		\item $3x + y + 2z + 5 = 0 $
		\item $x + y - 6z + 5 = 0 $
		\item $- 2x + y - 3z + 5 = 0$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item Le triangle ABD est rectangle en B lorsque $a = $
	\begin{enumerate}
		\item 1 
		\item 3 
		\item 4 
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Les droites (AD) et (BC) sont parallèles lorsque $a = $
	\begin{enumerate}
		\item $- \dfrac{10}{7}$
		\item $\dfrac{10}{7}$
		\item 4
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item Le nombre de valeurs de $a$ tel que AD = BC est :
	\begin{enumerate}
		\item 0
		\item 1
		\item 2
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $x^2 - 4x + y^2 + 3y = 4$ est une équation :
	\begin{enumerate}
		\item de cercle
		\item de sphère
		\item de plan
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item Une équation de la sphère de centre C et de rayon DA est : 
	\begin{enumerate}
		\item $x^2 + 2x + y^2 + 14y + z^2 = - 25$
		\item $x^2 + 2x + y^2 + 14y + z^2 = 25$
		\item $x^2 - 2x + y^2 - 14y + z^2 = - 25$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\textbf{LES PROBABILITÉS}
\end{center}

Soient $A$ et $B$ deux évènements non impossibles, non certains et indépendants l'un de l'autre. De manière générale : 

\item $P(A \cup B) = $
	\begin{enumerate}
		\item $P(A) + P(B)$
		\item $P(A) \times P(B)$
		\item $P(A) \times P\left(\overline{B}\right) + P(B)$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $P_B\left(\overline{A}\right) =$
	\begin{enumerate}
		\item $P_{\overline{B}}(A)$
		\item $1- P(A)$
		\item $P\left(\overline{A} \cap B\right)$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\medskip

\emph{Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres (8~;~0,3) ; $Y$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $[-2~;~1]$ et $Z$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.}

\medskip

\item $P(X = 1) - P(X = 7)$ est :
	\begin{enumerate}
		\item nul 
		\item strictement négatif
		\item strictement positif
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item E$(X) =$
	\begin{enumerate}
		\item $7,7$
		\item $8,3$
		\item $2,4$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $P( -1 \leqslant Y \leqslant 2) =$
	\begin{enumerate}
		\item 1
		\item $\dfrac{2}{3}$
		\item $- 1$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item E$(Y)$ =
	\begin{enumerate}
		\item $-\dfrac{1}{3}$
		\item 1 
		\item $\dfrac{1}{3}$ 
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item $P(Z < - 2) - P(Z \geqslant 2) $
	\begin{enumerate}
		\item est nul 
		\item est strictement négatif
		\item est strictement positif
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item E$(Z)$ : 
	\begin{enumerate}
		\item est nulle
		\item est strictement négative
		\item est strictement positive
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{LES STATISTIQUES}
\end{center}

\emph{Mesdames Ave et Nir se présentent à une élection nationale. Un sondage effectué sur un échantillon de $n$ personnes (où $n \geqslant 50$) donne 52\,\% des suffrages à Ave et 48\,\% à Nir. Soit $p$ la proportion des votants pour madame Ave}.

\medskip

\item Pour $n = 400$, un intervalle de confiance de $p$, au niveau 95\,\% est :
	\begin{enumerate}
		\item $[0,51~;~0,53]$
		\item $[0,49~;~0,55]$
		\item $[0,47~;~0,57]$
		\item $[0,45~;~0,59]$
	\end{enumerate}
\item Le nombre minimal de personnes interrogées permettant d'affirmer, au niveau 95\,\% que madame Ave va être élue est :
	\begin{enumerate}
		\item \np{1500} 
		\item \np{2000} 
		\item \np{2500}
		\item \np{3000} 
	\end{enumerate}
\item Pour obtenir une amplitude 2 fois plus petite de l'intervalle de confiance de $p$, il suffirait de multiplier le nombre initial de votants par : 
	\begin{enumerate} 
		\item  $\dfrac{1}{4}$
		\item $\dfrac{1}{2}$
		\item 2
		\item 4
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\floweroneright~~\textbf{FIN}~~\floweroneleft\end{center}
\end{document}