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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe 25 mars 2025}}
\rfoot{\small{}}
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\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[7pt] mars 2025 épreuve 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Cette épreuve est constituée de trois problèmes indépendants.

\medskip

\textbf{Notations}

$\N$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels.

$\N^*$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls.

$\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.

$\R^*$ désigne l'ensemble des nombres réels non nuls.

\bigskip

\textbf{\Large Problème 1 : VRAI--FAUX}

\medskip

Pour chacun des items suivants, préciser si l'assertion finale est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte. 

\medskip

\textbf{\large Calculs dans }{\boldmath \large $\R$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un article taxé à $10\,\%$ a été payé $110$ euros TTC (toutes taxes comprises).

Le montant de la taxe est de 11 euros.
\item Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels.

Le nombre $\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2$ est positif.
\item Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

La négation de $(a > 1$ et $b > 1 \Rightarrow a + b > 2)$ est 
$(a \leqslant 1$ ou $b \leqslant 1 \Rightarrow a + b \leqslant 2)$.
\item On considère l'équation d'inconnue réelle $x : \cos(\np{2025}x) = 1$.

Cette équation admet \np{2025} solutions dans l'intervalle $]-\pi~;~+\pi]$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Arithmétique}

\medskip

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $f : \N \to \N$ l'application définie pour tout $n \in \N$ par $f(n) = 8n^2 - 10n + 3$.

L'application $f$ est injective.
\item Pour tout entier naturel $n,\: 2^{3n} - 1$ est divisible par 7.
\item Soient $a$, $b$ et $n$ trois entiers naturels avec $n$ non nul tels que $a$ est congru à $b$ modulo $n$.

Pour tout entier $x$, on a $x^a \equiv x^b\:\: [n]$.
\item Soit $n$ un entier strictement positif.

La somme des carrés des $n$ premiers entiers naturels non nuls est égale à $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Analyse réelle}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $u_0 = - 3$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = -4 u_n$.

La suite $(u_n)_{n \in \N}$ tend vers $+ \infty$.
\item Soit $(u_n)_{n \in \N^{*}}$ la suite définie sur $\N^{*}$ par $u_n = (- 1)^n + \dfrac 1n$.

La suite $(u_n)_{n \in \N^{*}}$ n'admet pas de limite.
\item Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de nombres réels admettant une limite finie strictement positive.

La suite $(u_n)_{n \in \N}$ est positive à partir d'un certain rang.
\item Soit $f$ une fonction définie et strictement décroissante sur $\R$, à valeurs dans $\R$.

Soit $u_0$ un réel et soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite de premier terme $u_0$ et telle que pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} =f(u_n)$.

La suite $(u_n)_{n \in \N}$ est strictement décroissante.
\item L'équation $e\e^x = x + 1$ admet 0 unique solution sur $\R$.
\item Soient $I$ un intervalle de $\R,\: a$ un réel de $I$ et $f$ une fonction, définie sur $I$, à valeurs dans $\R$.

Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$.
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \displaystyle\int_0^x \e^{-t}\:\text{d}t$.

La fonction $f$ est bornée sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Soit $(I_n)_{n \in \N^{*}}$ la suite définie sur $\N^{*}$ par 
$I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \e^{-x}\:\text{d}x$

La suite $(I_n)_{n \in \N^{*}}$ est croissante.
\item Soit $(I_n)_{n \in \N^{*}}$ la suite définie sur $\N^{*}$ par $I_n = \displaystyle\int_1^{\e} t(\ln t)^n\:\text{d}t$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_{n+1} = \dfrac12\left(\e^2 + (n+1)I_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item La figure codée ci-contre, réalisée à main levée, représente une configuration géométrique du plan affine euclidien.

Les points C, D et E de cette configuration sont alignés.
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
%\psgrid
\pslineByHand[varsteptol=0.4](0.2,0.2)(1.9,0.2)(4,0.22)%CDE
\pslineByHand[varsteptol=0.4](4,0.22)(3.7,3.3)%EB
\pslineByHand[varsteptol=0.4](3.7,3.3)(0.2,3.5)%BA
\pslineByHand[varsteptol=0.4](0.2,3.5)(0.2,0.2)%AC
\pslineByHand[varsteptol=0.4](0.2,3.5)(1.9,0.15)(3.7,3.3)%ADB
\pslineByHand[varsteptol=0.4](0.2,0.4)(0.45,0.4)(0.45,0.18)%droit
\pslineByHand[varsteptol=0.4](4,0.42)(3.7,0.42)(3.7,0.2)%droit
\pslineByHand[varsteptol=0.4](2.1,3.5)(2.3,3.3)
\pslineByHand[varsteptol=0.4](2.25,3.5)(2.45,3.3)
\pslineByHand[varsteptol=0.4](2.85,1.95)(2.95,1.7)
\pslineByHand[varsteptol=0.4](2.9,2.05)(3,1.8)
\uput[ul](0.2,3.5){A} \uput[ur](3.7,3.3){B} \uput[dl](0.2,0.2){C} \uput[d](1.9,0.25){D} \uput[dr](4,0.22){E}
\psarc(0.2,3.5){0.9}{-90}{-64}\rput(0.4,2.25){\small $25\degres$}
\psarc(3.7,3.3){0.6}{-121}{-85}\rput(3.45,2.4){\small $15\degres$}
\psarc(0.2,3.5){0.6}{-65}{-5}\rput(1.1,3.1){\small $50\degres$}
\psarc(0.2,3.5){0.65}{-65}{-5}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}[start=19]
\item On considère un triangle ABC du plan affine euclidien tel que AB $= 4$, BC $= 8$ et CA $= 4\sqrt 3$3. 

L'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ radians.
\item Dans un repère orthonormé direct \Ouv du plan, on considère les points A(1~;~2), B(3~;~1) et $M(5x~;~x^2 - 1)$ où $x$ est un nombre réel.

Les points A, B et $M$ sont alignés si et seulement si $x = 1$.
\item On considère un plan $(P)$ de l'espace et trois points A, B et C non alignés n'appartenant pas à $(P)$, tels que la droite (AB) coupe $(P)$ en C$'$, la droite (BC) coupe $(P)$ en A$'$ et la droite (AC) coupe $(P)$ en B$'$.

Les points A$'$, B$'$ et C$'$ sont alignés.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}[start=22]
\item On considère un pavé droit ABCDEFGH d'un espace affine euclidien de dimension 3, avec AB $= 5$, AD $= 4$ et AE $= 3$ et I le milieu de [AB], conformément à la figure ci-contre. 

La mesure de l'angle $\widehat{\text{FHI}}$ arrondie au degré près est $45\degres$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3.3)
\pspolygon(0.2,0.5)(3.4,0.2)(3.4,2.2)(0.2,2.5)%ABFE
\psline(3.4,0.2)(4.3,0.9)(4.3,2.9)(3.4,2.2)%BCGF
\psline(4.3,2.9)(1.1,3.3)(0.2,2.5)%GHE
\psline[linestyle=dotted](0.2,0.5)(1.1,1.2)(4.3,0.9)%ADC
\psline[linestyle=dotted](1.1,1.2)(1.1,3.3)%DH
\psline[linecolor=red](1.8,0.35)(1.1,3.3)(3.4,2.2)%IHF
\psarc[linecolor=red](1.1,3.3){0.5}{-78}{-22}
\uput[dl](0.2,0.5){A}\uput[dr](3.4,0.2){B}\uput[r](4.3,0.9){C}
\uput[ur](1.1,1.2){D}\uput[ul](0.2,2.5){E}\uput[r](3.4,2.2){F}
\uput[ur](4.3,2.9){G}\uput[u](1.1,3.3){H}\uput[d](1.8,0.35){I}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}[start=23]
\item Le nombre complexe $\e^{2\text{i}\frac{\pi}{3}} +\e^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}$ admet $\dfrac{\pi}{12}$ pour argument.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre linéaire}

\medskip

\begin{enumerate}[start=24]
\item Soit E un $\R$ espace vectoriel muni d'un produit scalaire et de la norme associée notée $\|.\|$.

Deux vecteurs $u$ et $v$ de E sont orthogonaux si et seulement si 
$\|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2$.
\item On considère la matrice $A$ de $M^2(\C)$, définie par $A = \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$. 

Le produit des valeurs propres de $A$ est égal à 2.
\item  On considère une matrice carrée $A$ de taille $n$ diagonalisable ($n \in \N^{*}$).

La matrice $A^2$ est diagonalisable.
\end{enumerate}

\textbf{\large Dénombrement et probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}[start=27]
\item 20 personnes, dont 13 femmes, sont convoquées à un entretien.

Les candidats sont reçus individuellement. La liste fixant l'ordre de passage a été établie par un tirage au sort équiprobable parmi l'ensemble des listes possibles. 

La probabilité que le deuxième candidat interrogé soit une femme sachant que le premier candidat interrogé est une femme est égale à $\dfrac{12}{19}$.
\item  On lance trois dés à six faces numérotées de 1 à 6 et on fait la somme des résultats obtenus.

Le programme ci-dessous est écrit en langage Python. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
1& from math import* \\
2& n=int(input("Entrez un entier compris entre 3 et 18 :")) \\
3& s=0 \\
4& for i in range(1,7): \\
5& for j in range(1,7): \\
6& for k in range(1,7): \\
7& if i+j+k==n: \\
8& print(i, j, k) \\
9& s=s+1 \\
10& print("Le nombre de façons d'obtenir",$n$,"avec trois dés est :",$s$)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

La ligne 10 de ce programme donne le nombre de façons d'obtenir pour somme l'entier $n$, saisi par l'utilisateur.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème 2 : meilleure approximation affine}

\medskip

Ce problème a pour objet de s'intéresser à la notion de meilleure approximation affine d'une fonction en un point.

\medskip

\textbf{Définitions}

\medskip

Soit $f$ une fonction d'une variable réelle, définie sur un intervalle ouvert non vide $I$.

Pour tout réel $a \in I$, on appelle approximation affine de $f$ en $a$ toute fonction affine $g$ définie sur $I$ telle que
\[g(a) = f(a).\]

Soient $g_1$ et $g_2$ deux approximations affines de $f$ en $a$. Dire que $g_1$est une meilleure approximation affine de $f$ en $a$ que $g_2$ signifie qu'il existe un intervalle ouvert $D$ contenant $a$ tel que
\[\forall x \in I \cap D, \quad |f(x) - g_1(x)| \leqslant |f(x) - g_2(x)|.\]

Si de plus $f$ est dérivable sur $I$ de dérivée $f'$, pour tout $a \in I$, on appelle fonction affine tangente de $f$ au point $a$ la fonction $t$ définie sur $I$ par
\[\forall x \in I, \quad t(x) = f(a) + f'(a)(x - a).\]

\bigskip

\textbf{\large Étude d'un exemple}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
\[f(x) = x^2 - x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ sur $\R$.
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
\item Déterminer la fonction  affine tangente à $f$ en 0. Tracer la tangente en 0 sur la figure précédente.
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par

\[h(x) = - \dfrac 12 x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $h$ est une approximation affine de $f$ en 0. Tracer la courbe représentative de $h$ sur la même figure.
		\item Démontrer que
		\[\forall x \in \R, |f(x) - t(x)| \leqslant  |f(x) - h(x)| \iff |x| \leqslant \left|x - \dfrac 12\right|.\]

		\item En déduire que $t$ est une meilleure approximation affine de $f$ en 0 que $h$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $k \ne - 1$, on note $g_k$ la fonction affine définie sur $\R$ par

\[g_k(x) = kx.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $g_k$ est une approximation affine de $f$ en 0.
		\item Démontrer que

\[\forall x \in \R,\: |f(x) - t(x)|\leqslant |f(x) - g_k(x)| \iff |x|\leqslant |x - (1 + k)|.\]

		\item Démontrer que

\[\forall x \in \left]- \left|\dfrac{1+k}{2}\right|~;~\left|\dfrac{1+k}{2}\right|\right[, \: |f(x) - t(x)|\leqslant|f(x) - g_k(x)|.\]
	\end{enumerate}
\item Que peut-on en conclure pour la fonction $t$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Cas général}

\medskip

On suppose ici que $I = \R$ et que la fonction $f$ est dérivable sur $I$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que $g$ est une approximation affine de $f$ en $a$ si et seulement si 
\[\exists k \in \R, \: \forall x \in \R,\quad g(x) = f(a)  + k(x - a).\]

Soit $g$ une approximation affine de $f$ en $a$ telle que $k \ne f'(a)$. On pose pour tout $x \in \R\ \{a\}$

\[T(x) = \dfrac{f(x) - t(x)}{x - a}, \qquad G(x) = \dfrac{f(x) - g(x)}{x - a}\]

\item Déterminer les limites des fonctions $T$ et $G$ en $a$.
\item Que peut-on en conclure pour la fonction $t$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Relation d'ordre}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Rappeler la définition d'une relation d'ordre.
\item Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un élément de $I$.

La relation \og être une meilleure approximation affine de $f$ en $a$ que \fg{} constitue-t-elle une relation d'ordre dans l'ensemble des approximations affines de $f$ en $a$ ?


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème 3 : dérangements}

\medskip

Ce problème a pour objet de déterminer le nombre de dérangements d'un ensemble fini.

\medskip

\textbf{\large Notations, définitions et rappels}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $E_n$ le sous ensemble de $\N$ défini par $E_n = \{1,\:2,\:\ldots,\: n\}$.

On appelle permutation de $E_n$ toute bijection de $E_n$ dans lui-même. Soit $\sigma$ une permutation de $E_n$ et $i$ un élément de $E_n$. Dire que $i$ est un point fixe de $\sigma$ signifie que $\sigma(i) = i$.

On appelle dérangement de $E_n$ une permutation de $E_n$ n'ayant aucun point fixe.

On note $S_n$ l'ensemble des permutations de $E_n$.

On rappelle que le cardinal de $S_n$ est $n!$.

On note $D_n$ l'ensemble des dérangements de $E_n$.

Le cardinal de $D_n$ est noté $d_n$.

\textbf{\large Généralités}

\medskip

Dans cette partie, $E$ désigne un ensemble fini non vide.

$A_1,\: A_2$ et $A_3$ sont des parties de $E$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier l'égalité

\[\text{card}(A_1 \cup A_2) = \text{card}(A_1) + \text{card}(A_2) - \text{card}(A_1 \cap A_2)\]

où card désigne le cardinal des ensembles considérés.
\item En s'inspirant de la relation précédente et en illustrant la réponse par un schéma, donner sans démonstration une expression de card$(A_1 \cup A_2 \cup A_3)$, en fonction des cardinaux des intersections de ces parties.

Dans la suite, on admettra la \emph{formule du crible} ci-dessous qui constitue une généralisation des deux précédentes.

Étant données $n$ parties $A_1, A_2,\ldots A_n$ d'un ensemble $E$ fini non vide, on a
\[\text{card} \left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \displaystyle\sum_{i = 1}^n \left[(-1)^{k-1} \displaystyle\sum_{1 \leqslant i_1 <i_2<\ldots i_k \leqslant n} \text{card}\left(A_{1_1} \cap A_{i_2} \cap \ldots \cap A_{i_k} \right)\right]\]

\item Retrouver à l'aide de la formule du crible la réponse obtenue à la question 2.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Calcul du nombre de dérangements}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Donner les valeurs de $d_1$ et $d_2$.

Pour tout entier $i$ élément de $E_n$, on note $A_i$ l'ensemble des permutations admettant au moins $i$ pour point fixe. 

\[A_i = \{\sigma \in S_n, \: |\sigma(i) = i\}\]

\item Démontrer que

\[S_n \backslash D_n= \displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i.\]

\item Étant donnés un entier $k$ de $E_n$ et $k$ entiers deux à deux distincts $i_1,\:i_2,\ldots, \: i_k$, justifier l'égalité 

\[\text{card}\left(A_{i_1} \cap A_{i_2} \ldots \cap A_{i_k}\right) = (n - k)!\]

\item Déduire des deux questions précédentes et de la formule du crible que 

\[d_n = n! - \displaystyle\sum_{k=1}^n (- 1)^{k-1}\binom{n}{k} (n - k)!\]

\item Démontrer que 

\[d_n = n!\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{(- 1)^k}{k!}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Applications}

\medskip
\begin{enumerate}[resume] 
\item On note $p_n$ la probabilité qu'une permutation choisie au hasard de façon équiprobable dans $S_n$ soit un dérangement. La suite $(p_n)$ admet-elle une limite ? Si oui laquelle ?
\item On répartit au hasard $n$ boules numérotées de 1 à $n$ dans $n$ urnes numérotées de 1 à n, en plaçant une boule par urne. 

On note $X_n$ la variable aléatoire qui à une telle répartition associe le nombre de coïncidences entre le numéro de l'urne et celui de la boule qu'elle reçoit.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(X_n = 0)$ et en déduire une expression de $P(X_n \geqslant 1)$.
		\item Démontrer que pour tout entier $q$ de $E_n$, on a 

\[P(X_n = q) = \dfrac{1}{q!}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-q} \dfrac{(- 1)^k}{k!}.\]

		\item Démontrer que l'espérance de $x_n$ est indépendante de $n$.

\emph{On pourra écrire $X_n$ sous forme d'une somme de variables aléatoires.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}