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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à Brigitte Bourgoin pour le sujet 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
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pdftitle = {septembre 2020 Concepteur en art et industrie céramique,Design de communication espace et volume, Design d'espace, Design de produits},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\footnotesize{Groupement E : Concepteur en art et industrie céramique,\\Design de communication espace et volume,\\ Design d'espace, design de produits}}
\rfoot{\small{mai 2021}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur mai 2021 Groupement E~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Un créateur conçoit un flacon contenu dans un écrin en forme de pyramide.

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk d'unité graphique 1~cm. 

On considère les points A(6~;~0~;~0), B(6~;~6~;~0) et C(0~;~6~;~0).

On complètera, au fur à mesure, la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la pyramide régulière SOABC d'arête de longueur 6 cm représentée sur la
figure de l'annexe.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point S$'$au centre du carré OABC.
		\item On admet que la droite (SS$'$) est orthogonale au plan (OABC). Calculer la valeur exacte de la distance SS$'$.
		\item Déterminer les coordonnées du point S$'$ puis montrer que celles du point S sont S$\left(3~;~3~;~3\sqrt{2}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On considère les points M, N, P, Q définis par:

\[\vect{\text{SM}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SO}} ~;~ \vect{\text{SN}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SA}} ~;~ \vect{\text{SP}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SB}}~;~\vect{\text{SQ}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SC}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points M, N, P et Q sur la figure.
		
On admet que SMNPQ est une pyramide à base carrée de hauteur $h = \dfrac{1}{3} \text{SS}'$.
		\item Calculer la longueur du côté du carré MNPQ.
		\item Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide SMNPQ.
		
(On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times B \times h$ , où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.)
	\end{enumerate}
\item On considère les points U(2~;~0~;~0), V(0~;~2~;~0) ainsi que le point W tel que $\vect{\text{OW}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{OS}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point W, puis celles des vecteurs $\vect{\text{WU}}$ et $\vect{\text{WV}}$.
		\item En déduire que le triangle UVW est rectangle isocèle.
		\item Déterminer les coordonnées du point R milieu du segment [UV].
		\item On admet que (OR) est une hauteur du tétraèdre OUVW.
		
Calculer l'aire du triangle UVW puis le volume du tétraèdre OUVW.
	\end{enumerate}
\item Par tronçonnage en chaque sommet O, A, B, C, on enlève à la pyramide initiale un tétraèdre analogue au tétraèdre OUVW. Par tronçonnage en S, on enlève la pyramide SMNPQ. On obtient ainsi un solide inscrit dans la pyramide initiale. Ce solide représente un flacon.
	\begin{enumerate}
		\item Sur la même figure, dessiner ce flacon en traits pleins en couleur. 
		\item Calculer la valeur exacte de son volume.
		\item Donner la nature géométrique de chacune des faces de ce flacon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points :

\[\text{A}(6~;~2)~;~\text{B}(3~;~5)~;~\text{C}(0~;~4)~ \text{et D}(9~;~- 1).\]

L'objectif est de tracer la courbe de Bézier associée aux points de contrôles A, B, C et D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $\Gamma$ la courbe de Bézier associée aux points de contrôles A, B, C et D.
	\begin{enumerate}
		\item Sans effectuer de calcul, peut-on affirmer que la courbe $\Gamma$ passe par A ? par B ? par C ? par D ?
		\item Quelle(s) tangente(s) à la courbe $\Gamma$ peut-on connaître sans effectuer aucun calcul ? 
	\end{enumerate}
\item La courbe $\Gamma$ est l'ensemble des points $M(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] :

\[\vect{\text{O}M(t)} = (1 - t)^3 \vect{\text{OA}} +3t(1 - t)^2\vect{\text{OB}} + 3t^2(1 - t)\vect{\text{OC}} + t^3 \vect{\text{OD}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées $x$ et $y$ des points $M(t)$ de cette courbe ont pour expression: 

\[x = f(t)=12t^3- 9t + 6 \quad \text{et}\quad  y = g(t) = -12t^2 + 9t + 2.\]

		\item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies pour $t$ dans l'intervalle [0~;~1] par : $f(t) = 12t^3 - 9t + 6 $ et $g(t) = -12t^2 + 9t + 2$.
		
Rassembler les résultats dans un tableau unique.
\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples.\\
Une seule réponse est correcte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous parait correcte.\\
On ne demande aucune justification.}

\emph{La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

La courbe $\Gamma$ admet au point S, obtenu pour $t = \dfrac{1}{2}$, une tangente de vecteur directeur : 

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$3\vect{\imath} + 3,5\vect{\jmath}$&$\dfrac{1}{2}\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$&$\vect{\imath}$&$\vect{\jmath}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\renewcommand\arraystretch{1}

	\end{enumerate}
\item Tracer avec précision, sur la copie, les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$, les tangentes au point S
et au point de paramètre $t = \dfrac{3}{8}$, puis la courbe $\Gamma$.
\item Un étudiant a voulu tracer la courbe $\Gamma$ à l'aide d'un logiciel, en y entrant les points de contrôle. 

\textbf{Ce tracé, donné ci-dessous, est faux}. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-1.5)(10,6)
\psdots[dotscale=1](6,2)(3,5)(0,4)(9,-1)%ABCD
\uput[ur](6,2){A} \uput[u](3,5){B} \uput[ur](0,4){C} \uput[d](9,-1){D} \uput[dl](0,0){O} 
%\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{t dup mul 27 mul 18 t mul sub 6 add t 3 exp 6 mul sub 
% 6 t mul 2 add t dup mul 3 mul sub t 3 exp 4 mul sub}
%\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{t 3 exp 12 mul 9 t mul sub 6 add 9 t mul 2 add t dup mul 12 mul sub}
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=green](6,2)(0,4)(3,5)(9,-1)
\end{pspicture}
\end{center}

En s'aidant de considérations graphiques, expliquer l'erreur que cet étudiant a pu commettre en entrant les informations dans le logiciel.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT-REPONSE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2.5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(8.5,6.5)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{->}(-5,0.7)(8.3,-0.9)
\multido{\n=-4.4+1.1,\na=0.60+-0.13}{12}{\rput(\n,\na){\pscircle*(0,0){0.05}}}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(-3.8,-2)(4,2.23)
\multido{\n=-3.02+0.50,\na=-1.57+0.27}{14}{\rput(\n,\na){\pscircle*[linecolor=red](0,0){0.05}}}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=blue]{->}(0,-2.6)(0,6.2)
\multido{\n=-2.3+1.2}{7}{\rput(0,\n){\pscircle*[linecolor=blue](0,0){0.05}}}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](-3.02,-1.57)(3.55,-2.3)(6.62,-0.72)(1.9,3.8)%ABCS
\psline(3.55,-2.3)(1.9,3.8)%BS
\uput[d](-3.02,-1.57){A} \uput[d](3.55,-2.3){B} \uput[d](6.62,-0.72){C} \uput[ul](0,0){O} \uput[u](1.9,3.8){S} 
\end{pspicture}



\end{center}
\end{document}