\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}

\usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pstricks-add,pst-math}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	pdfauthor={Xavier TISSERAND},     % author
  	}
\usepackage[hmargin=2cm, vmargin=2cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%            Intervalle             %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\inter}[4]
{\mathchoice
{\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}% mode \displaystyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \textstyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \scriptstyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode
%\scriptscriptstyle
}

\newcommand{\interff }[2]{\inter{[}{#1}{#2}{]}} %ferme ferme
\newcommand{\interof }[2]{\inter{]}{#1}{#2}{]}} %ouvert ferme
\newcommand{\interfo }[2]{\inter{[}{#1}{#2}{[}} %ferme ouvert
\newcommand{\interoo }[2]{\inter{]}{#1}{#2}{[}} %ouvert ouvert

%signe inferieur ou egal francais
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

%signe superieur ou egal francais
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

%echelon unité
\newcommand{\U}{\mathscr{U}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grandes parenthèses  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grands crochets      %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}[1]{\left[#1\right]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%	   derivee           %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%d droit de dx
\newcommand{\dx}[1][x]{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}#1}

%e de l'exponentielle
\newcommand{\e}{\mathrm{e}} 

% lettres grecques à la française
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} 

\newcommand{\cad}{c'est-à-dire }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement exercice avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{num}
\newcommand{\exo}%
	{%
	\setcounter{Partie}{0}% raz compteur partie
	%\setcounter{Question}{0}% raz compteur question
	\addtocounter{num}{1}%
	{%
	\par % commence à une nouvelle ligne
	\noindent\textbf{Exercice~\arabic{num}~:~}%
	}%
	}%
	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement partie avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{Partie}
\newcommand{\Partie}[1]%
   {%
   \goodbreak% Evite au tant que possible un titre en bas
	%de page tout seul
   \addtocounter{Partie}{1}
   \noindent\textbf{Partie \Alph{Partie} : #1}%
   \par%
   }% 
  
  
%transformée de Laplace L[#1](p)
\newcommand{\laplace}[1]{\mathscr{L}\pa{#1}} 	

\everymath{\displaystyle}


\usepackage{fancyhdr,lastpage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%    document tapé sous linux Debian Wheezy
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{BTS Groupement B2 -- Mathématiques}
\author{Éléments de correction}
\date{Session 2014}

\headheight 15.0 pt
\fancyhead[L]{BTS}
\fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement B2}
\fancyhead[R]{2014}
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux,
2013-2014}}\\
\scriptsize\thepage/\pageref{LastPage}
}
\pagestyle{fancy}


\begin{document}

\maketitle

%\input b14_ex1c.tex
\exo

\textbf{A.}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a $r^ 2+2r+1 = (r+1)^ 2$, donc \fbox{l'équation $r^ 2+2r+1=0$ admet une
 seule solution $r=-1$}
 \item \fbox{Les solutions de $(E_0)$ sont données par $y(x)=(ax+b)\e^{-x}$, $a$ 
 et $b$ deux réels}
\end{enumerate}
\item La bonne réponse est $\boxed{h(x)=x^2\e^{-x}}$

\item La solution générale de $(E)$ s'obtient en ajoutant une solution 
particulière de l'équation $(E)$ à la solution générale de l'équation 
homogène $(E_0)$, \cad \fbox{$y(x)=(x^2+ax+b)\e^{-x}$ avec $a$ et $b$ deux réels}

\item D'après la question précédente, on a déjà $f(x)=(x^2+ax+b)\e^{-x}$. Or on
veut $f(0)=-1$ d'où $b=-1$. 

Avec $f(x)=(x^2+ax-1)\e^{-x}$, on obtient $f'(x)=(-x^2+(2-a)x+a+1)\e^{-x}$.

Or $f'(0)=1$ d'où $a+1=1$ \cad $a=0$.

\fbox{La fonction cherchée est $f(x)=(x^ 2-1)\e^ {-x}$}
\end{enumerate}

\textbf{B.}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On a $f(x)=(x^2-1)\e^{-x}$. En dérivant comme un produit, on a 
$f'(x)=2x\e^{-x}-(x^2-1)\e^{-x}$ d'où $\boxed{f'(x)=-(x^2-2x-1)\e^{-x}}$

\item On a immédiatement $f(0)=-1$ et $f'(0)=1$, d'où

\fbox{une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ est $y=x-1$.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On a $\e^t=1+t+\frac12t^2+t^2\epsilon(t)$ avec $\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$, 
alors en remplaçant $t$ par $-x$, on obtient :
\[
\boxed{
\e^{-x}=1-x+\frac12x^2+x^2\epsilon(x)\quad\text{ avec }\lim_{x\to 0}\epsilon(x)=0
}
\]

\item Pour obtenir le développement limité de $f$, on multiplie le développement 
limité de $\e^{-x}$ par $(x^2-1)$ en ne gardant que les termes de degré inférieur
 ou égal à $2$.
 On a alors
 \begin{align*}
 f(x)&=(x^2-1)\pa{1-x+\frac12x^2+x^2\epsilon(x)}\\
 &=-1+x-\frac12 x^2+x^2 + x^2\epsilon(x)
 \end{align*}
 \cad $\boxed{f(x)=-1+x+\frac12 x^2+x^2 + x^2\epsilon(x)\quad\text{ avec } 
 \lim_{x\to 0}\epsilon(x)=0}$
 \item La justification exacte est :
 \fbox{$\frac{x^ 2}{2}$ est positif au voisinage de $0$}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{C.}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item En dérivant comme un produit, on obtient 
\begin{align*}
\pa{(x+1)^ 2\e^ {-x}}'&=2(x+1)\e^ {-x}-(x+1)^ 2\e^ {-x}\\
&=(1-x^ 2)\e^ {-x}\\
&=-(x^ 2-1)\e^ {-x}
\end{align*}
\cad $\pa{-(x+1)^2\e^{-x}}'=f(x)$ : \fbox{une primitive de $f$ est la fonction 
$F(x)=-(x+1)^ 2\e^ {-x}$}
\item On a donc $\boxed{I=\cro{F(x)}_1^ 3=-16\e^{-3}+4\e^ {-1}}$
\end{enumerate}

\item La réponse exacte est 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$I$ est une mesure, en unités d'aire, de l'aire 
de la partie du plan comprise\\
entre l'axe des abscisses, la courbe $C$ et les
droites d'équation $x=1$ et $x=3$\\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\newpage 

%\input b14_b2_ex2c.tex

\exo \texbf{Spécialité CIM}
\textbf{A.}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item \label{b14_b2_ex2b1}Courbes représentatives des fonctions $e$ et $s$ : 
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=5cm,comma=true,algebraic}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.3)(4.2,1.5) 
\psaxes[
	linewidth=1.5pt,
	Dx=.5,
	Dy=.25
	]{-}(0,0)(-1.2,-0.5)(4.1,1.2)
	
%graphe de la fonction $e$	
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{-[}(-1.5,0)(0,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{[-[}(0,1)(1,1)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{[-}(1,0)(4.2,0)
\rput(.5,1.1){$y=e(t)$}

%graphe de la fonction $s$
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{1.01}{1-EXP(-x/2)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{1}{4.2}{EXP(-x/2)*(EXP(.5)-1)}
\rput(3.5,.2){$y=s(t)$}
\end{pspicture*} 
\end{center}

		\item Pour $t<0$, $\U(t) = 0$ et $\U(t - 1) = 0$, d'où $\U(t) - \U(t - 1) = 0 = e(t)$.

Pour $t\in\interfo{0}{1}$, $\U(t)=1$ et $\U(t-1) = 0$ d'où sur 
$\interfo{0}{1}$, $\U(t)-\U(t-1)=1= e(t)$.

Pour $t\geqslant 1$, $\U(t)=1$ et $\U(t-1)=1$, d'où pour $t \geqslant 1$, $\U(t)-\U(t-1)=0= e(t)$.

Par conséquent, $\boxed{\text{pour tout réel } t,\quad e(t)= \U(t) - \U(t - 1)}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a par lecture du formulaire $\boxed{\laplace{\U(u)}=\frac1p}$

De même, on obtient $\boxed{\laplace{\U(t-1)}=\frac1p\e^{-p}}$

		\item En utilisant la linéarité de la transformée de Laplace, on en déduit

\[\boxed{
E(p)=\laplace{e(t)}=\frac1p\pa{1-\e^ {-p}}
}
\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{B.}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la table, on obtient $\laplace{s'(t)}=pS(p)-s(0^+)$ sachant 
que, ici, $s(0^+)=0$. 

On en déduit $\boxed{\laplace{s'(t)}=pS(p)}$
		\item Toujours par linéarité de la transformée de Laplace, on en déduit que 

\[
\boxed{
\laplace{2s'(t)+s(t)}=(2p+1)S(p)
}
\]
	\end{enumerate}
\item \label{b14_b2_ex2b2} En appliquant la transformation de Laplace aux deux 
membres de l'équation différentielle, on obtient 

$(2p+1)S(p)=E(p)$, d'où

\[\boxed{
S(p)=\frac{1}{p(2p+1)}\pa{1-\e^{-p}}
}\]

\item \label{b14_b2_ex2b3} On a, par réduction au même dénominateur : 
\begin{align*}
\frac1p-\frac{1}{p+\frac12}&=\frac1p-\frac{2}{2p+1}\\
&=\frac{(2p+1)-2p}{p(2p+1)}
\end{align*}
\cad $\boxed{\frac{1}{p(2p+1)}=\frac1p-\frac{1}{p+\frac12}}$

\item En utilisant les questions \ref{b14_b2_ex2b2} et \ref{b14_b2_ex2b3} et en 
développant, on a immédiatement 
\[
\boxed{
S(p)=\frac{1}{p}- \frac{\e^{- p}}{p} - \frac{1}{p + \frac12}
 + \frac{\e^{- p}}{p + \frac12}
 }
 \]
\end{enumerate}

\textbf{C.}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
L'original de $\frac1p$ est $\U(t)$, \quad 
l'original de $\frac{\e^{-p}}{p}$ est $\U(t-1)$\\
L'original de $\frac{1}{p+\frac12}$ est $\e^{-\frac{t}{2}}\U(t)$, \quad 
l'original de $\frac{\e^{-p}}{p+\frac12}$ est $\e^{-\frac{t-1}{2}}\U(t-1)$\\
\hline
\end{tabular}

On en déduit alors :
\[
\boxed{
s(t)=\pa{1-\e^{-\frac{t}{2}}}\U(t)-\pa{1-\e^{\frac12}\e^{-\frac{t}{2}}}\U(t-1)
}
\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item $\boxed{\text{Pour }t\leq 0,\quad s(t)=0}$
		\item Pour $t\in\interfo{0}{1}$, $\U(t)=1$ et $\U(t-1)=0$ d'où $\boxed{\text{pour }
t\in \interfo{0}{1},\quad s(t)=1-\e^{-\frac{t}{2}}}$
\item Pour $\in\interfo{1}{+\infty}$, $\U(t)=1$ et $\U(t-1)=1$ d'où $s(t)=\pa{1-
\e^{-\frac{t}{2}}}-\pa{1-\e^{\frac12}\e^{-\frac{t}{2}}}$, \cad, après simplification
\[
\boxed{\text{pour }
t\in \interfo{1}{+\infty},\quad 
s(t)=\pa{\e^{\frac12}-1}\e^{-\frac{t}{2}}
}
\]

	\end{enumerate}
\item Tableau de valeurs de $s(t)$ complété, où $s(t)$ est arrondi au centième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$t$&$- 1$&\small $- 0,5$&0&0,5& 0,75& 1&1,5& 2&2,5& 3&3,5& 4\\ 
\hline
$s(t)$&0&$0$&$0$ &$0,21$ &$0,32$ & $0,39$ &$0,31$&$0,24$&$0,19$&$0,15$&$0,11$&$0,09$\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Voir question \ref{b14_b2_ex2b1}
\end{enumerate}


\vspace{10cm}

Suggestions ou remarques :
\href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}

%Xavier TISSERAND est professeur de mathématiques en cpge ATS au lycée Vieljeux
%de La Rochelle
% Cette classe ATS est exclusivement réservée aux étudiant(e)s titulaires
% d'un BTS ou DUT industriel qui veulent intégrer une école d'ingénieur, sur
%concours  ou sur dossier. La durée de formation est de un an, sans possibilité
%de  redoublement. Il existe en France 31 classes de ce type. Pour de plus
%amples  renseignements, vous pouvez consulter le site internet du lycée
% 
% http://www.lycee-vieljeux.fr/cpge/ats.html
% 
% et/ou me contacter par mail à l'adresse ci-dessus.
\end{document}
 
 

