\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}

\usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}


\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	pdfauthor={Xavier TISSERAND},     % author
  	}


\usepackage[hmargin=2cm, vmargin=2cm]{geometry}


\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%            Intervalle             %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\inter}[4]
{\mathchoice
{\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}% mode \displaystyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \textstyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \scriptstyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode
%\scriptscriptstyle
}

\newcommand{\interff }[2]{\inter{[}{#1}{#2}{]}} %ferme ferme
\newcommand{\interof }[2]{\inter{]}{#1}{#2}{]}} %ouvert ferme
\newcommand{\interfo }[2]{\inter{[}{#1}{#2}{[}} %ferme ouvert
\newcommand{\interoo }[2]{\inter{]}{#1}{#2}{[}} %ouvert ouvert

%signe inferieur ou egal francais
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

%signe superieur ou egal francais
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

%echelon unité
\newcommand{\U}{\mathscr{U}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grandes parenthèses  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grands crochets      %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}[1]{\left[#1\right]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%	   derivee           %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%d droit de dx
\newcommand{\dx}[1][x]{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}#1}

%e de l'exponentielle
\newcommand{\e}{\mathrm{e}} 

% lettres grecques à la française
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} 

\newcommand{\cad}{c'est-à-dire }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement exercice avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{num}
\newcommand{\exo}%
	{%
	\setcounter{Partie}{0}% raz compteur partie
	%\setcounter{Question}{0}% raz compteur question
	\addtocounter{num}{1}%
	{%
	\par % commence à une nouvelle ligne
	\noindent\textbf{Exercice~\arabic{num}~:~}%
	}%
	}%
	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement partie avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{Partie}
\newcommand{\Partie}[1]%
   {%
   \goodbreak% Evite au tant que possible un titre en bas
	%de page tout seul
   \addtocounter{Partie}{1}
   \noindent\textbf{Partie \Alph{Partie} : #1}%
   \par%
   }% 
  
%transformée de Laplace L[#1](p)
\newcommand{\laplace}[1]{\mathscr{L}\cro{#1}} 	

\everymath{\displaystyle}


\usepackage{fancyhdr,lastpage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%    document tapé sous linux Debian Wheezy
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{BTS Groupement B1 -- Mathématiques}
\author{Éléments de correction}
\date{Session 2014}

\headheight 15.0 pt
\fancyhead[L]{BTS}
\fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement B1}
\fancyhead[R]{2014}
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux,
2013-2014}}\\
\scriptsize\thepage/\pageref{LastPage}
}
\pagestyle{fancy}


\begin{document}

\maketitle

%\input b14_ex1c.tex

\exo

\textbf{A.}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a $r^ 2+2r+1=(r+1)^ 2$, donc \fbox{l'équation $r^ 2+2r+1=0$ admet une
 seule solution $r=-1$}
 \item \fbox{Les solutions de $(E_0)$ sont données par $y(x)=(ax+b)\e^{-x}$, $a$ 
 et $b$ deux réels}
\end{enumerate}
\item La bonne réponse est $\boxed{h(x)=x^2\e^{-x}}$

\item La solution générale de $(E)$ s'obtient en ajoutant une solution 
particulière de l'équation $(E)$ à la solution générale de l'équation 
homogène $(E_0)$, \cad \fbox{$y(x)=(x^2+ax+b)\e^{-x}$ avec $a$ et $b$ deux réels}

\item D'après la question précédente, on a déjà $f(x)=(x^2+ax+b)\e^{-x}$. Or on
veut $f(0)=-1$ d'où $b=-1$. 

Avec $f(x)=(x^2+ax-1)\e^{-x}$, on obtient $f'(x)=(-x^2+(2-a)x+a+1)\e^{-x}$.

Or $f'(0)=1$ d'où $a+1=1$ \cad $a=0$.

\fbox{La fonction cherchée est $f(x)=(x^ 2-1)\e^ {-x}$}
\end{enumerate}

\textbf{B.}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a $f(x)=(x^2-1)\e^{-x}$. En dérivant comme un produit, on a 
$f'(x)=2x\e^{-x}-(x^2-1)\e^{-x}$ d'où $\boxed{f'(x)=-(x^2-2x-1)\e^{-x}}$
		\item On a immédiatement $f(0)=-1$ et $f'(0)=1$, d'où

\fbox{une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ est $y=x-1$.}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a $\e^t=1+t+\frac12t^2+t^2\epsilon(t)$ avec $\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$, 
alors en remplaçant $t$ par $-x$, on obtient :
\[
\boxed{
\e^{-x}=1-x+\frac12x^2+x^2\epsilon(x)\quad\text{ avec }\lim_{x\to 0}\epsilon(x)=0
}
\]

		\item Pour obtenir le développement limité de $f$, on multiplie le développement 
limité de $\e^{-x}$ par $(x^2-1)$ en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à $2$. On a alors

\begin{align*}
f(x)&=(x^2-1)\pa{1-x+\frac12x^2+x^2\epsilon(x)}\\
 &=-1+x-\frac12 x^2+x^2 + x^2\epsilon(x)
\end{align*}
\cad $\boxed{f(x)=-1+x+\frac12 x^2+x^2 + x^2\epsilon(x)\quad\text{ avec } 
\lim_{x\to 0}\epsilon(x)=0}$
\item La justification exacte est :
\fbox{$\frac{x^ 2}{2}$ est positif au voisinage de $0$}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{C.}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En dérivant comme un produit, on obtient 
\begin{align*}
\pa{(x+1)^ 2\e^ {-x}}'&=2(x+1)\e^ {-x}-(x+1)^ 2\e^ {-x}\\
&=(1-x^ 2)\e^ {-x}\\
&=-(x^ 2-1)\e^ {-x}
\end{align*}
\cad $\pa{-(x+1)^2\e^{-x}}'=f(x)$ : \fbox{une primitive de $f$ est la fonction 
$F(x)=-(x+1)^ 2\e^ {-x}$}
		\item On a donc $\boxed{I=\cro{F(x)}_1^ 3=-16\e^{-3}+4\e^ {-1}}$
	\end{enumerate}
\item La réponse exacte est 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$I$ est une mesure, en unités d'aire, de l'aire 
de la partie du plan comprise\\
entre l'axe des abscisses, la courbe $C$ et les
droites d'équation $x=1$ et $x=3$\\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\newpage 

%\input b14_b1_ex2c.tex

\exo

\textbf{A.}
\begin{enumerate}
\item Les événements $A$ et $B$ étant indépendants, on a 
$p(E_1)=p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$, \cad
\[
\boxed{p(E_1)=0,0017}
\]
\item On a 
\begin{align*}
p(E_2)&=p(A\cup B)\\
&=p(A)+p(B)-p(A\cap B)
\end{align*}
\cad
\[
\boxed{p(E_2)=0,1033}
\]
\end{enumerate}

\textbf{B.}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Chaque prélèvement est constitué de 53 épreuves élémentaires indépendantes 
puisque le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise;
\item Chaque épreuve élémentaire n'a que deux issues possibles :
\begin{itemize}
\item soit le succès : un octet a une erreur de probabilité $p=0,03$
\item soit l'échec : un octet n'a pas d'erreur de probabilité $q=1-p=0,97$
\end{itemize}
\item La variable aléatoire $X$ mesure le nombre de succès,
\end{itemize}
alors \fbox{la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres
$n=53$ et $p=0,03$}

\item On demande $p(X=0)=0,97^{53}$ d'où $\boxed{p(X)=0\approx 0,199}$

\item On demande $p(X\leq 3)$ \cad
\begin{align*}
p(X\leq 3)&=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)\\
&=0,97^{53}+\binom{53}{1}0,03\times 0,97^{52}+\binom{53}{2}0,03^ 2\times 
0,97^{51}+\binom{53}{3}0,03^3\times 0,97^{50}
\end{align*}
\cad $\boxed{p(X\leq 3)\approx 0,926}$

\item Par approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, on conserve 
l'espérance, \cad $\lambda=np$ d'où $\boxed{\lambda=1,59}$

\item 
\begin{enumerate}
\item On a $p(Y=0)=\frac{\e^ {-1,59}}{0!}$ d'où $\boxed{p(Y=0)\approx 0,204}$

\item On demande $p(Y\leq 3)$ \cad
\begin{align*}
p(Y\leq 3)&=p(Y=0)+p(Y=1)+p(Y=2)+p(Y=3)\\
&=\e^{-1,59}\pa{1+1,59+\frac{1,59^ 2}{2}+\frac{1,59^3}{6}}
\end{align*}
\cad $\boxed{p(Y\leq 3)\approx 0,923}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{C.}
\begin{enumerate}
\item $\boxed{f=\frac{4}{100}=0,04}$

\item 
\begin{enumerate}
\item L'intervalle de confiance cherché est $I=\interff{f-1,96\sqrt{\frac{f(1-f)}{n-1}}}
{f+1,96\sqrt{\frac{f(1-f)}{n-1}}}$ avec $n=100$, $f=0,04$.

On obtient $\boxed{I\approx\interff{0,001}{0,079}}$

\item Non, l'affirmation proposée est fausse. On a une probabilité de $5\%$ que $p$
se situe en dehors de l'intervalle de confiance.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

Suggestions ou remarques :
\href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}

%Xavier TISSERAND est professeur de mathématiques en cpge ATS au lycée Vieljeux
%de La Rochelle
% Cette classe ATS est exclusivement réservée aux étudiant(e)s titulaires
% d'un BTS ou DUT industriel qui veulent intégrer une école d'ingénieur, sur
%concours  ou sur dossier. La durée de formation est de un an, sans possibilité
%de  redoublement. Il existe en France 31 classes de ce type. Pour de plus
%amples  renseignements, vous pouvez consulter le site internet du lycée
% 
% http://www.lycee-vieljeux.fr/cpge/ats.html
% 
% et/ou me contacter par mail à l'adresse ci-dessus.

\end{document}
 
 

