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\title{\decofourleft~BTS Groupement A -- Mathématiques~\decofourright}
\author{Éléments de correction}
\date{Session 2011}
\headheight 15.0 pt
\fancyhead[L]{BTS}
\fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement B}
\fancyhead[R]{2011}
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux,
2010-2011}}\\
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}
\pagestyle{fancy}

\title{~\decofourleft~BTS Groupement B -- Mathématiques~\decofourright}
\author{Éléments de correction}
\date{Session 2011}


\begin{document}
\maketitle

\exo

\Partie{Résolution d'une équation différentielle}

\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item L'équation $r^2-3r+2=0$ admet deux racines réelles $r=1$ et $r=2$.

\[
 S=\{1,\:2\}
\]

\item L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ est l'équation
\[
 r^2-3r+2=0
\]
dont on a déterminé précédemment les solutions.

La solution générale de $(E_0)$ est alors 
\[
 y(x)=\lambda \e^x + \mu \e^{2x}\quad \text{ avec } (\lambda,\mu)\in\R^2
\]

\end{enumerate}
\item 

\begin{enumerate}
 \item La fonction dérivée de $g$ est 
\[
 g'(x)=(2x+2)\e^x
\]

\item à l'aide de la dérivée d'un produit, et après simplification, on a
\[
 g''(x)=(2x+4)\e^x
\]

Nous obtenons alors
\begin{align*}
 g''(x)-3g'(x)+2g(x)&=(2x+4)\e^x - 3\times (2x+2)\e^x +2\pa{2x\e^x +2}\\
&=(2x+4-6x-6+4x)\e^x +6\\
&=-2\e^x +6
\end{align*}
Par conséquent, la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation
$(E)$.
\end{enumerate}

\item La solution générale de l'équation $(E)$ s'obtient en ajoutant la solution
générale de l'équation homogène associée $(E_0)$ et une solution particulière de
$(E)$.

\[
 y(x)=\lambda \e^x + \mu \e^{2x}+2x\e^x + 3 \quad \text{ avec }
(\lambda,\mu)\in\R^2
\]

\item On a déjà $f$ de la forme $f(x)=\lambda \e^x + \mu \e^{2x}+2x\e^x + 3$.

Or $f(0)=2$ d'où $\lambda+\mu+3=2$, \cad $\lambda+\mu=-1$.

On a aussi 
\begin{align*}
 f'(x)&=\lambda \e^x +2\mu\e^{2x}+g'(x)\\
&=\lambda \e^x +2\mu\e^{2x}+(2x+2)\e^x
\end{align*}

Or $f'(0)=1$ d'où $\lambda+2\mu+2=1$, \cad $\lambda+2\mu=-1$.

Il faut alors résoudre le système
\[
 \begin{cases}
  \lambda+\mu=-1\\
\lambda+2\mu=-1
 \end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
 \lambda=-1\\
\mu=0
\end{cases}
\]

La fonction $f$ cherchée est alors
\[
 f(x)=(2x-1)\e^x + 3
\]

\end{enumerate}

\Partie{}
\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item On écrit $f(x)=2x\e^x -\e^x +3$.

Comme on a $\lim_{x\to -\infty}\e^x=0$ et $\lim_{x\to -\infty}x\e^x=0$, alors,
par somme : 
\[
 \lim_{x\to -\infty} f(x)=3
\]

\item D'après le résultat précédent, la courbe $C$ admet la droite
d'équation $y=3$ comme asymptote horizontale au voisinage de $-\infty$.
\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
 \item D'après le formulaire, on a le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de zéro de $\e^x$ : 
\[
 \e^x = 1 + x + \frac12 x^2 + x^2 \epsilon (x)\quad \text{avec } \lim_{x\to
0}\epsilon(x)=0
\]
alors, par produit avec $(2x-1)$ en ne gardant que les termes de degré
inférieur ou égal à $2$ :
\begin{align*}
 f(x)=&=(2x-1)\pa{1 + x + \frac12 x^2}+3+x^2 \epsilon (x)\\
&=-1 - x - \frac12 x^2 +2x+2x^2+3+x^2 \epsilon (x)\\\\
&=2+x+\frac32 x^2 +x^2 \epsilon (x)
\end{align*}

\item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ est donnée par la
{2}partie affine de ce d\'eveloppement limité à l'ordre 2 au voisinage de zéro de $f$
\[
 (T) : \quad y=2+x
\]

\item La courbe $C$ est au-dessus de la tangente $T$ au voisinage de $0$
car $\frac32 x^2$ est positif au voisinage de $0$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
 \item Comme $f'(x)=(2x+1)\e^x$ et que pour tout réel $x, \quad \e^x>0$, alors
$f'(x)$ est du signe de $(2x+1)$.

$2x+1<0 \Longleftrightarrow x<-\frac12$ et $2x + 1>0 \Longleftrightarrow
x>-\frac12$, alors la fonction $f$ est
\begin{itemize}
 \item strictement décroissante sur $\interof{-\infty}{-\frac12}$,
\item strictement croissante sur $\interfo{\frac12}{+\infty}$.
\end{itemize}

\item  Le minimum de $f$ est alors pour $x=-\frac12$ et 
\begin{align*}
 f\pa{-\frac12}&=-2\e^{-\frac12}+3\\
&\approx 1,79
\end{align*}

\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
 \item On a
\begin{align*}
 I&=\int_0^{0,5}\pa{2+x+\frac32 x^2}\dd x\\
&=\cro{2x+\frac12 x^2 + \frac12 x^3}_0^{0,5}\\
&=1+\frac18+\frac{1}{16}\\
&=\frac{19}{16}\\
&=1,1875
\end{align*}

\item Pour intégrer par parties, on pose
\[
 \begin{cases}
  u(x)=2x-1\\
v'(x)=\e^x
 \end{cases}
\qquad
\begin{cases}
 u'(x)=2\\
v(x)=\e^x
\end{cases}
\]
d'où
\begin{align*}
 K&=\int_0^{0,5}(2x-1)\e^x \dd x\\
&=\cro{(2x-1)\e^x}_0^{0,5}-\int_0^{0,5}2\e^x \dd x \\
&=\cro{(2x-1)\e^x}_0^{0,5}-2\cro{\e^x}_0^{0,5}\\
&=\cro{(2x-3)\e^x}_0^{0,5}\\
&=-2\e^{0,5}+3
\end{align*}

\item On a :
\begin{align*}
J&=\int_0^{0,5} f(x)\dd x\\
&=\int_0^{0,5}\pa{ (2x-1)\e^x +3}\dd x\\
&=\int_0^{0,5} (2x-1)\e^x\dd x+ \int_0^{0,5} 3 \e^x \dd x\\
&=K + 3\cro{x}_0^{0,5}\\
&=K+3\times 0,5\\
&=\frac92-2\e^{0,5}
\end{align*}

\item On a 
\begin{align*}
 J-I&=\frac92-2\e^{0,5}-1,1875\\
&\approx 0,015\\
&<2\times 10^{-2}
\end{align*}


\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\exo

\Partie{}

$X$ suit la loi normale $\normale{8,33}{0,09}$ alors $T=\frac{X-8,33}{0,09}$
suit la loi normale centrée réduite $\normale{0}{1}$.

\begin{enumerate}
 \item On demande $p(8,18\leqslant X \leqslant 8,48)$.

\begin{align*}
 p(8,18\leqslant X \leqslant 8,48)&=p\pa{\frac{8,18-8,33}{0,09}\leqslant T \leqslant
\frac{8,48-8,33}{0,09}}\\
&=p\pa{-\frac{0,15}{0,09}\leqslant T \leqslant \frac{0,15}{0,09}}\\
&=p\pa{-\frac{15}{9}\leqslant T \leqslant \frac{15}{9}}\\
&=\Pi\pa{\frac{15}{9}}-\Pi\pa{-\frac{15}{9}}\\
&=\Pi\pa{\frac{15}{9}}-\cro{1-\Pi\pa{\frac{15}{9}}}\\
&=2\Pi\pa{\frac{15}{9}}-1\\
&\approx 2\Pi(1,67)-1\\
&\approx 2 \times 0,9525-1\\
&\approx 0,905
\end{align*}

\item En procédant de la même façon, on a 
\begin{align*}
 p(8,33-h\leqslant X \leqslant 8,33+h)&=p\pa{\frac{8,33-h-8,33}{0,09}\leqslant T \leqslant
\frac{8,33+h-8,33}{0,09}}\\
&=p\pa{-\frac{h}{0,09}\leqslant T \leqslant \frac{h}{0,09}}\\
&=p\pa{-\frac{100h}{9}\leqslant T \leqslant \frac{100h}{9}}\\
&=\Pi\pa{\frac{100h}{9}}-\Pi\pa{-\frac{100h}{9}}\\
&=\Pi\pa{\frac{100h}{9}}-\cro{1-\Pi\pa{\frac{100h}{9}}}\\
&=2\Pi\pa{\frac{100h}{9}}-1
\end{align*}

Il faut alors résoudre 
\[
 2\Pi\pa{\frac{100h}{9}}-1=0,95
\]
\cad
\[
 \Pi\pa{\frac{100h}{9}}=0,975
\]

d'où

\[
 \frac{100 h}{9}=1,96
\]

alors
\[
 h\approx 0,176
\]

On a donc
\[
 p(8,154\leqslant X\leqslant 8,506)=0,95
\]
\cad que la probabilité qu'une pièce possède un diamètre compris entre $8,154$
et $8,506$ est égale à $0,95$.
\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item 
\begin{itemize}
 \item Chaque prélèvement est constitué de 50 épreuves élémentaires
indépendantes puisque le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise ;

\item Chaque épreuve élémentaire n'a que deux issues possibles :

\begin{itemize}
 \item soit le succès : l'événement $E$, \og une gaine prélevée dans un
stock important est non conforme pour le diamètre intérieur \fg, de probabilité
$p = p(E) = 0, 096$,
\item soit l'échec : l'événement $\bar{E}$, « une gaine prélevée dans un stock
important est conforme pour le diamètre intérieur \fg, de probabilité $q = 1 − p
= 0,904$ ;
\end{itemize}
\item  La variable aléatoire $X$ mesure le nombre de succès,
\end{itemize}

alors la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et
$p=0,096$.

\item On demande $p(X=5)$.

\begin{align*}
 p(X=5)&=\coeff{50}{5}0,096^5 \times 0,904^{45}\\
&\approx 0,184
\end{align*}

\item On demande ici $p(X\leqslant 2)$.

On a
\begin{align*}
 p(X\leqslant 2)&=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)\\
&=0,904^{50}+50\times 0,096\times 0,904^{49}+\coeff{50}{2}0,096^2 \times
0,904^{48}\\
&\approx 0,129
\end{align*}

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item La règle de décision permettant d'utiliser ce test est la suivante : on
prélève un échantillon aléatoire de 300 pastilles, on mesure le diamètre des
pastilles et on calcule la moyenne $\bar{d}$ de ces diamètres :
\begin{itemize}
 \item Si $\bar{d}\in\interff{8,106}{8,154}$, on accepte l'hypothèse $H_0$ et on
rejette $H_1$ : la livraison est conforme pour le diamètre, au seuil de $5\%$.
\item Si $\bar{d} \notin\interff{8,106}{8,154}$, on rejette $H_0$ et on accepte
$H_1$ : la livraison est non conforme pour le diamètre.
\end{itemize}

\item Ici, $\bar{d}\notin\interff{8,106}{8,154}$, par conséquent la livraison
n'est pas conforme pour le diamètre, au seuil de $5\,\%$.

\end{enumerate}


\vspace{5cm}
Suggestions ou remarques :
\href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}
\end{document}
