\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsfonts,mathrsfs} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{mathtools} \usepackage{pstricks-add,pst-math,pst-eucl} \usepackage[hmargin=2cm, vmargin=2cm]{geometry} \usepackage{enumitem} %Pour bien gérer les espaces dans les tableaux \usepackage{cellspace} \usepackage{tabularx} \cellspacetoplimit=4pt \cellspacebottomlimit=4pt %pour centrer les colonnes avec tabularx \addparagraphcolumntypes{X} \usepackage{fancyhdr,lastpage} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Xavier TISSERAND}, % author } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Intervalle %%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\inter}[4] {\mathchoice {\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}% mode \displaystyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \textstyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \scriptstyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode %\scriptscriptstyle } \newcommand{\interff }[2]{\ensuremath{\inter{[}{#1}{#2}{]}}} %ferme ferme \newcommand{\interof }[2]{\ensuremath{\inter{]}{#1}{#2}{]}}} %ouvert ferme \newcommand{\interfo }[2]{\ensuremath{\inter{[}{#1}{#2}{[}}} %ferme ouvert \newcommand{\interoo }[2]{\ensuremath{\inter{]}{#1}{#2}{[}}} %ouvert ouvert %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% grands crochets %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\cro}[1]{\left[#1\right]} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% grandes parenthèses %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)} %e de l'exponentielle \newcommand{\e}{\mathrm{e}} %d droit de l'integrale \newcommand{\dd}{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}} %signe inferieur ou egal francais \renewcommand{\leq}{\leqslant} %signe superieur ou egal francais \renewcommand{\geq}{\geqslant} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Définit un environnement exercice avec un compteur%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{num} \newcommand{\exo}% {% \setcounter{Partie}{0}% raz compteur partie \addtocounter{num}{1}% {% \par % commence à une nouvelle ligne \noindent\textbf{Exercice~\arabic{num}~:~}% }% }% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Définit un environnement partie avec un compteur%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{Partie} \newcommand{\Partie}[1]% {% \goodbreak% Evite au tant que possible un titre en bas %de page tout seul \addtocounter{Partie}{1} \noindent\textbf{Partie \Alph{Partie} : #1}% \par% }% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% fonction de C^k %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\classe}[1]{\mathcal{C}^{#1}} \newcommand{\R}{\mathbf{R}} % lettres grecques à la française \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} %echelon unité \newcommand{\U}{\mathscr{U}} %transformée en Z (Z#1)(z) \newcommand{\ztrans}[1]{\pa{\mathcal{Z}#1}\pa{z}} %loi normale N \newcommand{\normale}[2]{\mathscr{N}\pa{#1\mathpunct{};#2}} %coefficient bonomial \newcommand{\coeff}[2]{\operatorname{C}_{#1}^{#2}} \newcommand{\cad}{c'est-à-dire } \everymath{\displaystyle} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % document tapé sous linux %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \title{\decofourleft~BTS Groupement A -- Mathématiques~\decofourright} \author{Éléments de correction} \date{Session 2011} \headheight 15.0 pt \fancyhead[L]{BTS} \fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement B} \fancyhead[R]{2011} \fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux, 2010-2011}}\\ \scriptsize\thepage/\pageref{LastPage} } \pagestyle{fancy} \title{~\decofourleft~BTS Groupement B -- Mathématiques~\decofourright} \author{Éléments de correction} \date{Session 2011} \begin{document} \maketitle \exo \Partie{Résolution d'une équation différentielle} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item L'équation $r^2-3r+2=0$ admet deux racines réelles $r=1$ et $r=2$. \[ S=\{1,\:2\} \] \item L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ est l'équation \[ r^2-3r+2=0 \] dont on a déterminé précédemment les solutions. La solution générale de $(E_0)$ est alors \[ y(x)=\lambda \e^x + \mu \e^{2x}\quad \text{ avec } (\lambda,\mu)\in\R^2 \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La fonction dérivée de $g$ est \[ g'(x)=(2x+2)\e^x \] \item à l'aide de la dérivée d'un produit, et après simplification, on a \[ g''(x)=(2x+4)\e^x \] Nous obtenons alors \begin{align*} g''(x)-3g'(x)+2g(x)&=(2x+4)\e^x - 3\times (2x+2)\e^x +2\pa{2x\e^x +2}\\ &=(2x+4-6x-6+4x)\e^x +6\\ &=-2\e^x +6 \end{align*} Par conséquent, la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation $(E)$. \end{enumerate} \item La solution générale de l'équation $(E)$ s'obtient en ajoutant la solution générale de l'équation homogène associée $(E_0)$ et une solution particulière de $(E)$. \[ y(x)=\lambda \e^x + \mu \e^{2x}+2x\e^x + 3 \quad \text{ avec } (\lambda,\mu)\in\R^2 \] \item On a déjà $f$ de la forme $f(x)=\lambda \e^x + \mu \e^{2x}+2x\e^x + 3$. Or $f(0)=2$ d'où $\lambda+\mu+3=2$, \cad $\lambda+\mu=-1$. On a aussi \begin{align*} f'(x)&=\lambda \e^x +2\mu\e^{2x}+g'(x)\\ &=\lambda \e^x +2\mu\e^{2x}+(2x+2)\e^x \end{align*} Or $f'(0)=1$ d'où $\lambda+2\mu+2=1$, \cad $\lambda+2\mu=-1$. Il faut alors résoudre le système \[ \begin{cases} \lambda+\mu=-1\\ \lambda+2\mu=-1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \lambda=-1\\ \mu=0 \end{cases} \] La fonction $f$ cherchée est alors \[ f(x)=(2x-1)\e^x + 3 \] \end{enumerate} \Partie{} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On écrit $f(x)=2x\e^x -\e^x +3$. Comme on a $\lim_{x\to -\infty}\e^x=0$ et $\lim_{x\to -\infty}x\e^x=0$, alors, par somme : \[ \lim_{x\to -\infty} f(x)=3 \] \item D'après le résultat précédent, la courbe $C$ admet la droite d'équation $y=3$ comme asymptote horizontale au voisinage de $-\infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D'après le formulaire, on a le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de zéro de $\e^x$ : \[ \e^x = 1 + x + \frac12 x^2 + x^2 \epsilon (x)\quad \text{avec } \lim_{x\to 0}\epsilon(x)=0 \] alors, par produit avec $(2x-1)$ en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à $2$ : \begin{align*} f(x)=&=(2x-1)\pa{1 + x + \frac12 x^2}+3+x^2 \epsilon (x)\\ &=-1 - x - \frac12 x^2 +2x+2x^2+3+x^2 \epsilon (x)\\\\ &=2+x+\frac32 x^2 +x^2 \epsilon (x) \end{align*} \item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ est donnée par la {2}partie affine de ce d\'eveloppement limité à l'ordre 2 au voisinage de zéro de $f$ \[ (T) : \quad y=2+x \] \item La courbe $C$ est au-dessus de la tangente $T$ au voisinage de $0$ car $\frac32 x^2$ est positif au voisinage de $0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Comme $f'(x)=(2x+1)\e^x$ et que pour tout réel $x, \quad \e^x>0$, alors $f'(x)$ est du signe de $(2x+1)$. $2x+1<0 \Longleftrightarrow x<-\frac12$ et $2x + 1>0 \Longleftrightarrow x>-\frac12$, alors la fonction $f$ est \begin{itemize} \item strictement décroissante sur $\interof{-\infty}{-\frac12}$, \item strictement croissante sur $\interfo{\frac12}{+\infty}$. \end{itemize} \item Le minimum de $f$ est alors pour $x=-\frac12$ et \begin{align*} f\pa{-\frac12}&=-2\e^{-\frac12}+3\\ &\approx 1,79 \end{align*} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On a \begin{align*} I&=\int_0^{0,5}\pa{2+x+\frac32 x^2}\dd x\\ &=\cro{2x+\frac12 x^2 + \frac12 x^3}_0^{0,5}\\ &=1+\frac18+\frac{1}{16}\\ &=\frac{19}{16}\\ &=1,1875 \end{align*} \item Pour intégrer par parties, on pose \[ \begin{cases} u(x)=2x-1\\ v'(x)=\e^x \end{cases} \qquad \begin{cases} u'(x)=2\\ v(x)=\e^x \end{cases} \] d'où \begin{align*} K&=\int_0^{0,5}(2x-1)\e^x \dd x\\ &=\cro{(2x-1)\e^x}_0^{0,5}-\int_0^{0,5}2\e^x \dd x \\ &=\cro{(2x-1)\e^x}_0^{0,5}-2\cro{\e^x}_0^{0,5}\\ &=\cro{(2x-3)\e^x}_0^{0,5}\\ &=-2\e^{0,5}+3 \end{align*} \item On a : \begin{align*} J&=\int_0^{0,5} f(x)\dd x\\ &=\int_0^{0,5}\pa{ (2x-1)\e^x +3}\dd x\\ &=\int_0^{0,5} (2x-1)\e^x\dd x+ \int_0^{0,5} 3 \e^x \dd x\\ &=K + 3\cro{x}_0^{0,5}\\ &=K+3\times 0,5\\ &=\frac92-2\e^{0,5} \end{align*} \item On a \begin{align*} J-I&=\frac92-2\e^{0,5}-1,1875\\ &\approx 0,015\\ &<2\times 10^{-2} \end{align*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \exo \Partie{} $X$ suit la loi normale $\normale{8,33}{0,09}$ alors $T=\frac{X-8,33}{0,09}$ suit la loi normale centrée réduite $\normale{0}{1}$. \begin{enumerate} \item On demande $p(8,18\leqslant X \leqslant 8,48)$. \begin{align*} p(8,18\leqslant X \leqslant 8,48)&=p\pa{\frac{8,18-8,33}{0,09}\leqslant T \leqslant \frac{8,48-8,33}{0,09}}\\ &=p\pa{-\frac{0,15}{0,09}\leqslant T \leqslant \frac{0,15}{0,09}}\\ &=p\pa{-\frac{15}{9}\leqslant T \leqslant \frac{15}{9}}\\ &=\Pi\pa{\frac{15}{9}}-\Pi\pa{-\frac{15}{9}}\\ &=\Pi\pa{\frac{15}{9}}-\cro{1-\Pi\pa{\frac{15}{9}}}\\ &=2\Pi\pa{\frac{15}{9}}-1\\ &\approx 2\Pi(1,67)-1\\ &\approx 2 \times 0,9525-1\\ &\approx 0,905 \end{align*} \item En procédant de la même façon, on a \begin{align*} p(8,33-h\leqslant X \leqslant 8,33+h)&=p\pa{\frac{8,33-h-8,33}{0,09}\leqslant T \leqslant \frac{8,33+h-8,33}{0,09}}\\ &=p\pa{-\frac{h}{0,09}\leqslant T \leqslant \frac{h}{0,09}}\\ &=p\pa{-\frac{100h}{9}\leqslant T \leqslant \frac{100h}{9}}\\ &=\Pi\pa{\frac{100h}{9}}-\Pi\pa{-\frac{100h}{9}}\\ &=\Pi\pa{\frac{100h}{9}}-\cro{1-\Pi\pa{\frac{100h}{9}}}\\ &=2\Pi\pa{\frac{100h}{9}}-1 \end{align*} Il faut alors résoudre \[ 2\Pi\pa{\frac{100h}{9}}-1=0,95 \] \cad \[ \Pi\pa{\frac{100h}{9}}=0,975 \] d'où \[ \frac{100 h}{9}=1,96 \] alors \[ h\approx 0,176 \] On a donc \[ p(8,154\leqslant X\leqslant 8,506)=0,95 \] \cad que la probabilité qu'une pièce possède un diamètre compris entre $8,154$ et $8,506$ est égale à $0,95$. \end{enumerate} \Partie{} \begin{enumerate} \item \begin{itemize} \item Chaque prélèvement est constitué de 50 épreuves élémentaires indépendantes puisque le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise ; \item Chaque épreuve élémentaire n'a que deux issues possibles : \begin{itemize} \item soit le succès : l'événement $E$, \og une gaine prélevée dans un stock important est non conforme pour le diamètre intérieur \fg, de probabilité $p = p(E) = 0, 096$, \item soit l'échec : l'événement $\bar{E}$, « une gaine prélevée dans un stock important est conforme pour le diamètre intérieur \fg, de probabilité $q = 1 − p = 0,904$ ; \end{itemize} \item La variable aléatoire $X$ mesure le nombre de succès, \end{itemize} alors la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p=0,096$. \item On demande $p(X=5)$. \begin{align*} p(X=5)&=\coeff{50}{5}0,096^5 \times 0,904^{45}\\ &\approx 0,184 \end{align*} \item On demande ici $p(X\leqslant 2)$. On a \begin{align*} p(X\leqslant 2)&=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)\\ &=0,904^{50}+50\times 0,096\times 0,904^{49}+\coeff{50}{2}0,096^2 \times 0,904^{48}\\ &\approx 0,129 \end{align*} \end{enumerate} \Partie{} \begin{enumerate} \item La règle de décision permettant d'utiliser ce test est la suivante : on prélève un échantillon aléatoire de 300 pastilles, on mesure le diamètre des pastilles et on calcule la moyenne $\bar{d}$ de ces diamètres : \begin{itemize} \item Si $\bar{d}\in\interff{8,106}{8,154}$, on accepte l'hypothèse $H_0$ et on rejette $H_1$ : la livraison est conforme pour le diamètre, au seuil de $5\%$. \item Si $\bar{d} \notin\interff{8,106}{8,154}$, on rejette $H_0$ et on accepte $H_1$ : la livraison est non conforme pour le diamètre. \end{itemize} \item Ici, $\bar{d}\notin\interff{8,106}{8,154}$, par conséquent la livraison n'est pas conforme pour le diamètre, au seuil de $5\,\%$. \end{enumerate} \vspace{5cm} Suggestions ou remarques : \href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr} \end{document}