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% Tapuscrit Denis Vergès
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Concours Avenir}}
\rfoot{\small 8 mai 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 8 MAI 2019~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

DURÉE: 1~h~30~min
\end{center}

\textbf{Lire attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve.}

Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti.

La raison en est que votre enseignant n'a pas forcément traité l'ensemble du programme de Terminale~S.

\medskip

\textbf{Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale}.

Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte. 

\medskip

\textbf{Barème :}

\textbf{Une seule réponse exacte par question}. Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’un point}.

\newpage

\begin{center}\textsc{\textbf{\large Suites numériques}}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que $u_{10} = 12$ et $u_{15} = 8$.

Que vaut la raison $r$ de $\left(u_n\right)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$r = 0,6$ ; &\textbf{b.~~} $r = - 0,6$ ; &\textbf{c.~~}$r = - 0,8$; &\textbf{d.~~} $r = - 1,2$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que :

\[u_{\np{2018}} = 12 \quad \text{e†} \quad  \dfrac{u_{\np{2018}} + u_{\np{2020}}}{2} = 12,5.\]

Que vaut la raison $r$ de $\left(u_n\right)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$r = 0,5$ ; &\textbf{b.~~} $r = 1$ ; &\textbf{c.~~}$r = - 1$; &\textbf{d.~~} $r = - 0,5$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = -10$ et de raison 2 ; soit $\left(v_n\right)$ la suite géométrique de premier terme $v_0 = 1$ et de raison 2 ; soit enfin $\left(w_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par:

\[w_n = \dfrac{u_n + v_n}{2}.\]

La somme $u_9 + v_9 + w_9$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}260 ; &\textbf{b.~~} 520 ; &\textbf{c.~~}780; &\textbf{d.~~} \np{1560}.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de raison 2 et $\left(v_n\right)$ la suite définie par
$v_n = 2 u_n$.

On peut alors affirmer que:

\textbf{a.~~} $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 2.

\textbf{b.~~} $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 4.

\textbf{c.~~} $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique de raison 2.

\textbf{d.~~} $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique de raison 4.

\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de raison $q \ne 0$ et $\left(v_n\right)$ la suite définie
par $v_n = u_{n+1}  - u_n$.

On peut alors affirmer que :

\textbf{a.~~} $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q$.

\textbf{b.~~} $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q-1$.

\textbf{c.~~} $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q(q-1)$.

\textbf{d.~~} $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $q$.

\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite à valeurs strictement positives définies sur $\N$ par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$ :

\[u_{n+1} = \dfrac{2u_n}{u_n + 1}.\]

On définit également la suite $\left(v_n\right)$ par pour tout $n \in \N$ :

\[v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n}.\]

La suite $\left(v_n\right)$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} géométrique de raison 2 ; &\textbf{b.~~} géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ ;\\
\textbf{c.~~} arithmétique de raison $-1$; &\textbf{d.~~} arithmétique de raison 2.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $\left(v_n\right)_{n \geqslant 0}$ la suite définie par $u_0 = - 1$ et pour tout $n \in \N$ :

\[u_{n+1} = 2u_n + n + 4.\]

On définit également sur $\N$ la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n + n  + a$. Pour quelle valeur de $a$ la suite $\left(v_n\right)$ est-elle géométrique ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2& \textbf{b.~~} $- 2$& \textbf{c.~~} $\dfrac{5}{2}$& \textbf{d.~~} 5\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ telle que, pour tout $n$ entier naturel non nul:

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{2n}u_n + 2n + 2.\]

On a alors:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $u_{n+2}= \dfrac{1}{4n (n+1)}u_n+2n+5$& \textbf{b.~~} $u_{n+2}= \dfrac{1}{4n (n+1)}u_n+2n+6$\\
\textbf{c.~~} $u_{n+2}= \dfrac{1}{4n^2}u_n+2n+7$& \textbf{d.~~} $u_{n+2}= \dfrac{1}{4n^2}u_n+2n+6$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{\large Géométrie plane et nombres complexes}\end{center}

\smallskip

Pour les questions 9, 10 et 11, on considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
Variables\\
\quad $x$, $y$, $z$ : nombres réels\\
Début algorithme\\
\quad Saisir $x$, $y$, $z$\\
\quad Si $(x - 2)^2 +(y+5)^2 =z^2$ alors:\\
\qquad Afficher \og Vrai \fg\\
\quad Sinon:\\
\qquad Afficher \og Faux \fg\\\
Fin algorithme\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Que permet de faire cet algorithme ?
\begin{enumerate}
\item Tester si un point appartient à une droite.
\item Tester si un point est sur un côté d'un triangle.
\item Tester si un triangle est rectangle.
\item Tester si un point appartient à un cercle.
\end{enumerate}

\item Si l'utilisateur de cet algorithme entre une valeur négative pour $z$, alors:
\begin{enumerate}
\item On obtient toujours \og Vrai \fg, quelles que soient les valeurs de $x$ et de $y$.
\item On obtient un message d'erreur car l'algorithme ne fonctionne pas.
\item On obtient toujours \og Faux \fg, quelles que soient les valeurs de $x$ et de $y$.
\item L'affichage dépend des valeurs de $x$ et de $y$.
\end{enumerate}

\item Dans quel cas obtient-on \og Vrai \fg ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $x = 3$, $y = 4$, $z = 5$ ;& \textbf{b.~~} $x = 1$, $y = 1$, $z = 2$ ;\\
\textbf{c.~~} $x = 2$, $y = - 5$, $z = - 3$;& \textbf{d.~~} $x = 5$, $y =-1$, $z = 5$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Un carré a une aire égale à 48 cm$^2$. La longueur de l'une de ses diagonales
est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $4\sqrt{6}$~cm ;& \textbf{b.~~} $8\sqrt{3}$~cm; &\textbf{c.~~} $8\sqrt{6}$~ cm ;& \textbf{d.~~} $4\sqrt{3}$~cm.
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On note j un nombre complexe, solution de l'équation $1 + z+ z^2 = 0$.

On peut affirmer que $\left(\text{j} + \text{j}^2 + \text{j}^3\right)^3$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0$ ;& \textbf{b.~~} $1$ ;& \textbf{c.~~} j ; & \textbf{d.~~} $\text{j}^2$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item La partie réelle du nombre complexe $2\text{i}\left(1 + \text{i} + \cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}\right)$ est égale
à:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $3$ ;&\textbf{b.~~} $- 2 - \sqrt{3}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{3}{2}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item On note $\mathscr{R}e(z)$ la partie réelle et $\mathscr{I}m(z)$ la partie imaginaire d'un nombre complexe $z$.

Si $z_1$ et $z_2$ désignent deux nombres complexes non nuls, alors $\mathscr{R}e\left(\left(z_1 +\text{i}z_2\right)(1+\text{i})\right)$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\mathscr{R}e\left(z_1 - z_2\right) - \mathscr{I}m\left(z_1 + z_2\right)$ ;&
\textbf{b.~~} $\mathscr{R}e\left(z_1\right) - \mathscr{I}m\left(z_2\right)$ ;\\
\textbf{c.~~} $\mathscr{R}e\left(z_1 - z_2\right)$ ;&
\textbf{d.~~} $\mathscr{I}m\left(z_1\right) - \mathscr{R}e\left(z_2\right)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Si $z = \cos \dfrac{\pi}{8} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{8}$, alors $z^8$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1$ ;&\textbf{b.~~} i&\textbf{c.~~} $- 1$&\textbf{d.~~} $- \text{i}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $p$ un nombre réel et (E) l'équation suivante :

\[2pz^2 + (1- p)z + 2p = 0.\]

À quel ensemble doit appartenir $p$ pour que (E) ait deux racines complexes
conjuguées distinctes ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\left[- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{5}\right]$.&\textbf{b.~~} $\left]- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{5}\right[$\\
\textbf{c.~~} $\left]- \infty~;~- \dfrac{1}{3}\right] \cup \left[\dfrac{1}{5}~;~+ \infty\right[$ ;&\textbf{d.~~}$\left]- \infty~;~- \dfrac{1}{3}\right] \cup \left[\dfrac{1}{5}~;~+ \infty\right[$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes d'arguments respectifs:


\[\text{arg } \left(z_1\right) = \dfrac{5\pi}{8}\quad \text{ et } \quad  \text{arg }\left(z_2\right) = \dfrac{5\pi}{6}\quad  \text{dans} \; ]- \pi~;~ \pi].\].

On peut alors affirmer que la valeur dans $]-\pi~;~\pi]$ de arg$\left(z_1 \times z_2^3\right)$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{\pi}{2}$ ;& \textbf{b.~~} $- \dfrac{7\pi}{8}$ ; &\textbf{c.~~} $ \dfrac{7\pi}{8}$&\textbf{d.~~}$- \dfrac{\pi}{2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le plan complexe, on appelle A le point d'affixe $(- 2 + 3\text{i})$ et I le
point d'affixe $(5 + 6\text{i})$.

Le symétrique de A par rapport à I a pour affixe :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$- 9 - 2\text{i}$ ;&\textbf{b.~~} $-3 + \dfrac{11}{2}\text{i}$  ;& \textbf{c.~~} $- 9 + 13\text{i}$;&\textbf{d.~~} $12 + 9\text{i}$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le plan complexe, on considère trois points distincts A, B, C
d'affixes respectives $z_{\text{A}}$, $z_{\text{B}}$, $z_{\text{C}}$ avec :

\[\text{AB} = 8~\text{cm}\quad  \text{et}\quad  \dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}} = \dfrac{3}{4}\text{i}.\]

La longueur du segment [BC] est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$6$~cm ;& \textbf{b.~~} $8$~cm ;& \textbf{c.~~}$9$~cm;&  \textbf{b.~~} $10$ ~cm.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center} \textbf{\textsc{\large Fonctions}}\end{center}

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $\Delta$ la droite d'équation
$y = x$.

Par ailleurs, pour $n \in \N$, on note $\left(\mathcal{C}_n\right)$ la courbe représentative de la fonction définie par :

\[x \longmapsto x^2 + nx + 1.\]

Combien existe-t-il d'entier(s) naturel(s) $n$ pour le(s)quel(s) $\left(\mathcal{C}_n\right)$ et $\Delta$ n'ont aucun point en commun ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1$ ; &\textbf{b.~~}$2$ ;&\textbf{c.~~}$3$ ;&\textbf{d.~~}  une infinité.
\end{tabularx}
\end{center}

\item La limite, lorsque $x$ tend vers $2$ de $\dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 3x - 2}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$0$ ;&\textbf{b.~~}$+\infty$; &\textbf{c.~~} $2$ ; &\textbf{d.~~}$3$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le domaine de définition de la fonction $f$, définie par:

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{\ln \left(x - \sqrt{3}\right)+ \ln \left(x + \sqrt{3}\right)}\]

est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\left]\sqrt{3}~;~ 2\right[ \cup  ]2~;~+ \infty[$ ;&\textbf{b.~~}$]0~;~+ \infty[$;\\
\textbf{c.~~} $\left]- \infty~;~\sqrt{3}\right[$;&
\textbf{d.~~} $\left]-\sqrt{3}~;~2\right[ \cup ]2~;~ +\infty[$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $\Gamma$ la courbe représentative
de la fonction définie par $x \mapsto \ln (x)$. L'ordonnée du point de $\Gamma$ 
en lequel la tangente à $\Gamma$  passe par l'origine du repère est égale à:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$0$;& \textbf{b.~~}1;& \textbf{c.~~}e;& \textbf{d.~~} $- 1$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le domaine de définition de la fonction $f$, définie par:

\[f(x) = \ln \left(3x + 2x\text{e}^x - x\text{e}^{2x}\right)\]

est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}]$\ln 3~;~+ \infty[$;&\textbf{b.~~}$]- \infty~;~0[ \cup  ]\ln 3~;~ + \infty[$;\\
\textbf{c.~~} $]0~;~+ \infty[$ ;&\textbf{d.~~}$ ]0~;~\ln 3[$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x)= \ln \left(\ln \left(\sqrt{x}\right)\right)$. En notant $f'$ la fonction dérivée de $f$, on peut affirmer que l'expression de $f'(x)$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~}$\dfrac{1}{x \ln x}$;& \textbf{b.~~}$\dfrac{1}{\ln \sqrt{x}}$ ;\\ \textbf{c.~~}$\dfrac{1}{x \ln \sqrt{x}}$ ;& \textbf{d.~~} $\dfrac{1}{x \ln (\ln x)}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln \left(x^2 - 9x - 22\right)$. La limite de $f(x)$, lorsque $x$ tend vers $11$ par valeurs supérieures, est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}$0^{+}$ ;& \textbf{b.~~}$0^{-}$;& \textbf{c.~~}$- \infty$ ;& \textbf{d.~~}$+ \infty$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans l'ensemble des nombres réels, l'équation $\text{e}^{2x} - 1 = 6\text{e}^{-2x}$ admet:

\textbf{a.~~} aucune solution ;

\textbf{b.~~} une solution strictement supérieure à $\ln \left(\sqrt{2}\right)$ ;

\textbf{c.~~} une solution strictement inférieure à $\ln \left(\sqrt{2}\right)$;

\textbf{d.~~} deux solutions de signes contraires.

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) = \text{e}^{2x} + \text{e}^{x}$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $y = x$.

Combien $(\mathcal{C})$ possède-t-elle de tangente(s) parallèle(s) à $\Delta$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}$0$ ;&\textbf{a.~~} $1$ ; &\textbf{a.~~}$2$ ; &\textbf{a.~~}$4$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)= \dfrac{\text{e}^{2x} -3}{\text{e}^x + 1 }$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, combien la courbe représentative de $f$ possède-t-elle de tangente(s) parallèle(s) à l'axe des abscisses ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}$0$;& \textbf{b.~~}$1$;& \textbf{c.~~}$2$;& \textbf{d.~~}$3$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $(\mathcal{C})$ la courbe
représentative de $f$, définie sur $\R$, par $f(x) = \text{e}^{x^2+x+1}$.

Combien $(\mathcal{C})$ possède-t-elle de tangente(s) passant par l'origine ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}$0$;& \textbf{b.~~}$1$;& \textbf{c.~~}$2$;& \textbf{d.~~}$4$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ et à valeurs non nulles.

On définit $f$ la fonction inverse de $u$ par $f = \dfrac{1}{u}$. Sachant que l'équation de la tangente à la courbe représentative de $u$ au point d'abscisse $x = -2$ est
$y = 2x+3$, on peut affirmer que $f'(-2)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}$- 2$;& \textbf{b.~~}$- 1$; &\textbf{c.~~}$1$; &\textbf{d.~~}$2$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$, on note $f'$ sa fonction
dérivée. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe représentative
de $f$ est symétrique par rapport à l'origine. Sachant que
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = \np{2019}$, on peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f'(x) = \np{2019}$;&\textbf{b.~~} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f'(x) = -\np{2019}$;\\
\textbf{c.~~} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f'(x) = 0$;&\textbf{d.~~}$\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f'(x) = 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quelle est la valeur du nombre réel $a$ tel que $\displaystyle\int_0^a \left(\text{e}^{2x} + \text{e}^x \right)\:\text{d}x = 6$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $- \dfrac{1}{2}+\sqrt{6}$ ;&\textbf{b.~~} $\ln \left(- \dfrac{1}{2}+\sqrt{6} \right)$ ;\\
\textbf{c.~~}$3$ ;& \textbf{d.~~} $\ln 3$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans cette question, $a$ désigne un nombre réel et $u$ et $v$ désignent deux
fonctions à valeurs strictement positives.

Sachant que $\displaystyle\int_a^{\np{2019}} \dfrac{u(x)}{2u(x) + 3v(x)}\:\text{d}x = 1$ et que $\displaystyle\int_a^{\np{2019}} \dfrac{v(x)}{2u(x) + 3v(x)}\:\text{d}x = 2$
on peut affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $a = \np{2026}$ ;& \textbf{b.~~} $a = \np{2016}$ ;& \textbf{c.~~} $a = \np{2011}$ ;& \textbf{d.~~} $a = \np{2022}$.
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}
Pour les questions 36 à 50, on considère une fonction $u$ définie et dérivable
sur $\R$, dont la représentation graphique dans le plan muni d'un repère
orthonormé est donnée ci-après :

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-3)(14,3)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-14,-3)(14,3)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-14}{14}{x 5 mul 10 add  x dup mul 4 x mul add 5 add  div}
\end{pspicture}
\end{center}


On donne de plus le tableau de variation de $u$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3)\psline(0,2.5)(11,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$-3$} \uput[u](8,2.4){$- 1$} \uput[u](10.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[d](2.2,2.5){$0$}\uput[u](5,0){$u(- 3)$}\uput[d](8,2.5){$u(- 1)$}\uput[u](10.5,0){$0$}
\rput(1,1.25){$u(x)$}
\psline{->}(2.5,2)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,2)
\psline{->}(8.5,2)(10.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item On peut affirmer que l'image de 8 par la fonction $u$ est:

\textbf{a.~~} strictement supérieure à 5 ;

\textbf{b.~~} strictement inférieure à 5 ;

\textbf{c.~~} égale à 5 ;

\textbf{d.~~} aucune des trois affirmations précédentes n'est correcte.

\item La limite, lorsque $x$ tend vers $+ \infty$, de $u(x)$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}$+\infty$; &\textbf{b.~~}$-\infty$ ; &\textbf{c.~~}$0$; &\textbf{d.~~}$1$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Combien la valeur $0$ a-t-elle d'antécédent(s) par la fonction $u$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}$0$ ;& \textbf{b.~~} $1$ ; &\textbf{c.~~} $2$ ; &\textbf{d.~~} une infinité.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Parmi les tableaux de signes suivants, lequel correspond à la fonction $u$ ?

\textbf{a.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,1)
\psframe(12,1)\psline(0,0.5)(12,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$u(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(6.75,0.75){$- 2$}\rput(11.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(4.1,0.25){$-$}\rput(6.75,0.25){$0$} \rput(9.35,0.25){$+$}
\end{pspicture}

\textbf{b.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,1)
\psframe(12,1)\psline(0,0.5)(12,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$u(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(5,0.75){$- 3$}\rput(8.5,0.75){$- 1$}\rput(11.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(4.1,0.25){$-$}\rput(5,0.25){$0$}\rput(8.5,0.25){$0$} \rput(6.75,0.25){$+$}\rput(10,0.25){$-$}
\end{pspicture}

\textbf{c.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,1)
\psframe(12,1)\psline(0,0.5)(12,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$u(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(5,0.75){$ 1$}\rput(8.5,0.75){$3$}\rput(11.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(4.1,0.25){$-$}\rput(5,0.25){$0$} \rput(8.5,0.25){$0$}\rput(6.75,0.25){$+$}\rput(10,0.25){$-$}
\end{pspicture}

\textbf{d.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,1)
\psframe(12,1)\psline(0,0.5)(12,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$u(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(4.4,0.75){$- 3$}\rput(7,0.75){$- 2$}\rput(9.65,0.75){$- 1$}\rput(11.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(3.5,0.25){$-$}\rput(4.4,0.25){$0$} \rput(7,0.25){$0$}\rput(9.65,0.25){$0$}\rput(5.7,0.25){$+$}\rput(8.3,0.25){$-$}\rput(10.6,0.25){$+$}
\end{pspicture}

\item Parmi les tableaux de signe suivants, lequel correspond à la fonction $u'$ ?

\textbf{a.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,1)
\psframe(12,1)\psline(0,0.5)(12,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$u'(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(6.75,0.75){$- 2$}\rput(11.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(4.1,0.25){$-$}\rput(6.75,0.25){$0$} \rput(9.35,0.25){$+$}
\end{pspicture}

\textbf{b.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,1)
\psframe(12,1)\psline(0,0.5)(12,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$u'(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(5,0.75){$- 3$}\rput(8.5,0.75){$- 1$}\rput(11.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(4.1,0.25){$-$}\rput(5,0.25){$0$} \rput(8.5,0.25){$0$}\rput(6.75,0.25){$+$}\rput(9.8,0.25){$-$}
\end{pspicture}

\textbf{c.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,1)
\psframe(12,1)\psline(0,0.5)(12,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$u'(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(5,0.75){$ 1$}\rput(8.5,0.75){$3$}\rput(11.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(4.1,0.25){$-$}\rput(5,0.25){$0$} \rput(8.5,0.25){$0$}\rput(6.75,0.25){$+$}\rput(10,0.25){$-$}
\end{pspicture}

\textbf{d.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,1)
\psframe(12,1)\psline(0,0.5)(12,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$u'(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(4.4,0.75){$- 3$}\rput(7,0.75){$- 2$}\rput(9.65,0.75){$- 1$}\rput(11.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(3.5,0.25){$-$}\rput(4.4,0.25){$0$} \rput(7,0.25){$0$}\rput(9.65,0.25){$0$}\rput(5.7,0.25){$+$}\rput(8.3,0.25){$-$}\rput(10.6,0.25){$+$}
\end{pspicture}

\end{enumerate}

Pour les questions 41 à 45, on suppose que $u$ est la fonction dérivée d'une
fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

Par ailleurs, on suppose le plan muni d'un repère orthonormé et on note
$(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Sachant que $f(10) = 12$, on peut affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$f(11)=12$; 	&\textbf{b.~~}$f(11) >12$ ;\\
\textbf{c.~~}$f(11) < 12$ ; &\textbf{d.~}on ne peut rien affirmer concernant $f(11)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Combien $(\mathcal{C})$ possède-t-elle de tangente(s) horizontale(s) ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0$ ;&\textbf{b.~~} 1 ; &\textbf{c.~~} 2 ; &\textbf{d.~~} une infinité.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Sachant que $\displaystyle\int_{-1}^2 u(x)\:\text{d}x = \dfrac{15}{2} \ln 2$
 et que $f(- 1) = \dfrac{5}{2} \ln 2$ que vaut $f(2)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$- 5\ln 2$ ;&\textbf{b.~~} $10\ln 2$&\textbf{c.~~} $\dfrac{25}{2}\ln 2$&\textbf{d.~~} $- \dfrac{5}{2}\ln 2$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Parmi les tableaux de variation suivants, lequel correspond à la fonction $f$  ?

\textbf{a.~~}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3)\psline(0,2.5)(11,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$-3$} \uput[u](8,2.4){$- 1$} \uput[u](10.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[u](5,0){$f(- 3)$}\uput[d](8,2.5){$f(- 1)$}
\rput(1,1.25){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,2)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,2)
\psline{->}(8.5,2)(10.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{b.~~}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3)\psline(0,2.5)(11,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$-3$} \uput[u](8,2.4){$- 1$} \uput[u](10.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[d](5,2.5){$f(- 3)$}\uput[u](8,0){$f(- 1)$}
\rput(1,1.25){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,2)\psline{->}(5.5,2)(7.5,0.5)
\psline{->}(8.5,0.5)(10.5,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{c.~~}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3)\psline(0,2.5)(11,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.5,2.4){$- \infty$}  \uput[u](6.5,2.4){$- 2$} \uput[u](10.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[d](6.5,2.5){$f(- 2)$}
\rput(1,1.25){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(6,2)\psline{->}(7,2)(10.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{d.~~}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3)\psline(0,2.5)(11,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](6.5,2.4){$- 2$} \uput[u](10.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[u](6.5,0){$f(- 2)$}
\rput(1,1.25){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,2)(6,0.5)\psline{->}(7,0.5)(10.5,2)

\end{pspicture}
\end{center}

\item On dit qu'une fonction dérivable $h$ est convexe (respectivement concave)
sur un intervalle I si $h'$ est croissante (respectivement décroissante) sur I.

Si $h$ est convexe sur $[a~;~b]$ et concave sur $[b~;~c]$ (avec $a < b < c$) ou si $h$
est concave sur $[a~;~b]$ et convexe sur $[b~;~c]$, alors le point de la courbe
représentative de $h$ d'abscisse b est qualifié de point d'inflexion.

Combien la courbe représentative de $f$ possède-t-elle de points d'inflexion ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$0$;& \textbf{b.~~}$1$;& \textbf{c.~~}$2$ ;& \textbf{d.~~} $3$.
\end{tabularx}
\end{center}

Pour les questions \textbf{46} à \textbf{50}, on note $g$ la fonction dérivée de $u$.

\item Sachant que $g(0) = - 0,6$, on peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $g(14)= - 0,6$ ;	& \textbf{b.~~} $g(1) > -0,6$ ;\\
\textbf{c.~~} $g(1) < -0,6$;	& \textbf{d.~~} on ne peut rien affirmer concernant $g(1)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Parmi les tableaux de signe suivants, lequel correspond à la fonction $g$ ?

\textbf{a.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,1)
\psframe(10,1)\psline(0,0.5)(10,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$g(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(5,0.75){$- 2$}\rput(9.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(3.5,0.25){$-$}\rput(5,0.25){$0$} \rput(7,0.25){$+$}
\end{pspicture}

\textbf{b.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,1)
\psframe(10,1)\psline(0,0.5)(10,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$g(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(5,0.75){$- 2$}\rput(9.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(3.5,0.25){$-$}\rput(5,0.25){$0$} \rput(7,0.25){$+$}
\end{pspicture}

\textbf{c.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,1)
\psframe(10,1)\psline(0,0.5)(10,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$g(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(5,0.75){$- 2$}\rput(9.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(3.5,0.25){$-$}\rput(5,0.25){$0$} \rput(7,0.25){$+$}
\end{pspicture}

\textbf{d.~~}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,1)
\psframe(10,1)\psline(0,0.5)(10,0.5)\psline(1.5,0)(1.5,1)
\rput(0.5,0.25){$g(x)$}\rput(0.5,0.75){$x$}\rput(1.75,0.75){$- \infty$}\rput(5,0.75){$- 2$}\rput(9.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(3.5,0.25){$-$}\rput(5,0.25){$0$} \rput(7,0.25){$+$}
\end{pspicture}

\item On peut affirmer que:

\textbf{a.~~} $g(x)$ n'admet pas de limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ; 

\textbf{b.~~} $g(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ;

\textbf{c.~~} $g(x)$ tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ;

\textbf{d.~~} $g(x)$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers  $+\infty$.

\item $\displaystyle\int_0^3 g(x)\:\text{d}x$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$- 1$;& \textbf{b.~~}$1$; &\textbf{c.~~}$3$ ; &\textbf{d.~~} $-2$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $G$ la primitive de $g$ sur $\R$ définie sur $\R$ par :

\[G(x)= \dfrac{5x+10}{x^2 + 4x +5}  + \np{2019}. \]

On a alors :

\textbf{a.~~}$u(x) = \dfrac{5(x+2)}{x^2 + 4x +5} + \np{2019}$ ;

\textbf{b.~~}$u(x) = \dfrac{5(x+2)}{x^2 + 4x +5}$ ;

\textbf{c.~~}$u(x) = \dfrac{5(x^2 + 4x +5) - (5x + 10)(2x + 4)}{\left(x^2 + 4x + 5\right)^2}$ ;

\textbf{d.~~} aucune des affirmations précédentes n'est correcte.

\medskip

\begin{center}\textbf{\textsc{\large Trigonométrie}}\end{center}

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points du
cercle trigonométrique A et B de coordonnées respectives:

\[\left(\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)~;~\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right) \quad \text{et} \quad  \left(\cos \left(\dfrac{11\pi}{6}\right)~;~\sin \left(\dfrac{11\pi}{6}\right)\right)\]

Les coordonnées du milieu du segment [AB] sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} nulles;& \textbf{b.~~} opposées;\\
\textbf{c.~~} égales;& \textbf{d.~~} inverses l'une de l'autre.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Parmi les formules suivantes une seule est correcte. Laquelle?

\textbf{a.~~} $\cos(\cos(2a)) = \cos \left((\cos a)2\right)\sin \left((\sin a)^2\right)+ \sin \left((\cos a)^2\right )\cos \left((\sin a)^2\right)$ ;

\textbf{b.~~} $\cos(\cos (2a)) = \cos \left( (\cos a)^2\right)\sin \left((\sin a)^2\right) \sin \left((\cos a)^2\right)\cos \left( (\sin a)^2\right)$ ;

\textbf{c.~~} $\cos \left(\cos(2a)\right) = \cos \left( (\cos a)^2\right)\cos \left((\sin a)^2\right) + \sin \left((\cos a)^2\right)\sin \left( (\sin a)^2\right)$ ;

\textbf{d.~~} $\cos (\cos (2a)) = \cos \left((\cos a)^2\right)\cos \left((\sin a)^2\right) - \sin \left((\cos a)^2\right)\sin \left((\sin a)^2\right)$.

\item Combien de solutions appartenant à l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ l'équation

$2(\sin x)^2 +3\cos x = 3$ possède-t-elle ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$0$;& \textbf{b.~~}$1$;& \textbf{c.~~}$2$;& \textbf{d.~~}$3$.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{\textsc{\large Probabilités}} \end{center}

\item On considère l'arbre de probabilité suivant:

\begin{center}

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~} \taput{0,2}}
	{
	\TR{$B$}
	\TR{$\overline{B}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}}
	{
	\TR{$B$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,3}
	}
}
\end{center}

Sachant que $P(B) = 0,64$, que vaut $p\left(A \cap \overline{B}\right)$ ?

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0,12$;&\textbf{b.~~}$0,08$;&\textbf{c.~~} $0,16$ ;&\textbf{d.~~}$0,42$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Une première urne $U_1$ contient $k$ boules rouges et $2k + 1$ boules bleues,
avec $k$ entier naturel non nul. 

Une deuxième urne $U_2$ contient 4 boules rouges et 5 boules bleues. Le jeu consiste à tirer aléatoirement une boule dans $U_1$ puis de la verser dans $U_2$ avant d'effectuer un deuxième tirage aléatoire d'une boule dans $U_2$.

On appelle $R$ l'évènement \og obtenir une boule rouge à l'issue du deuxième
tirage \fg.

Sachant que $p(R) = 0,43$, quelle est l'affirmation exacte parmi les quatre
suivantes ?

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$k$ divise $k^2 -2$ ;&\textbf{b.~~} $k$ divise 12&\textbf{c.~~} $k$ divise 10&\textbf{d.~~} $k$ divise $k^2 - 4$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que:

\[P(A \cap B) = 0,32 \quad \text{et} \quad P(B) = 2P(A).\]

La probabilité de l'évènement $B$ est égale à:

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,04 ;&\textbf{b.~~}0,08 ;&\textbf{c.~~} 0,16 ;&\textbf{d.~~}0,8
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $800$
et $p$. Sachant que 

$p < 0,5$ et que $V(X) = 128$ (où $V(X)$ désigne la variance
de $X$), on peut affirmer que :

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $p=0,05$ ;& \textbf{b.~~} $p = 0,1$;& \textbf{c.~~}$p = 0,2$ ;& \textbf{d.~~}$p = 0,25$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 2 et
$p$, où $p \in [0~;~1]$. Sachant que $p(X = 1) = \dfrac{1}{2}$, on peut affirmer que le réel $p$ est égal à :

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0$ ;&\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{4}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{2}$&\textbf{d.~~} $1$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}{\textsc{\textbf{\large Géométrie dans l'espace}}}\end{center}

\item On suppose l'espace muni d'un repère orthonormé. Soit (P) le plan dont
une équation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=&2+t+t'\\
y &=& -2t + 3t'\\ 
z &=& -2 + t -5t'
\end{array}\right.
\;\text{avec} t \in \R \;\text{et}\; t' \in \R\]

Parmi les points suivants, lequel n'appartient pas à (P) ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}A$(2~;~-5~;~0)$; &\textbf{b.~~} B$(4~;~1~;~- 6)$; &\textbf{c.~~}C$(2~;~0~;~-2)$; &\textbf{d.~~} D$(3~;~-7~;~5)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On suppose l'espace muni d'un repère orthonormé. Soient A(1~;~2~;~3)
et B(3~;~2~;~1).

L'ensemble des points de l'espace équidistants de A et de B est:

\textbf{a.~~} uniquement constitué du point 1 (2~;~2~;~2);

\textbf{b.~~} une droite passant par le point 1(2~;~2~;~2);

\textbf{c.~~} le cercle de centre (2~;~2~;~2) et de diamètre $\dfrac{\text{AB}}{2}$ ;

\textbf{d.~~} un plan passant par le point I(2~;~2~;~2).
\end{enumerate}

\begin{center}\floweroneright~~\textbf{FIN}~~\floweroneleft\end{center}
\end{document}