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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 8 mai 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - 8 MAI 2017~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

DURÉE: 1~h~30~min
\end{center}

\textbf{Lire attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve.}

Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti.

La raison en est que votre enseignant n'a pas forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S.

\medskip

\textbf{Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale}.

Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte.

Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon.

\textbf{L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit.}

Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé.

\medskip

Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement.

Si vous trouvez ce sujet \og difficile \fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e). Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous !

\textbf{Barème :}

\textbf{Une seule réponse exacte par question}. Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’un point}.

\newpage

\begin{center}\textbf{Raisonnement}\end{center}

\smallskip

Pour les questions 1 à 5 on considère une opération notée $\oplus$ et définie par:

Pour tous réels $a$ et $b$ on a : $a \oplus b = a + 2\times a \times b + b$, où + et $\times$ désignent respectivement l'addition et la multiplication
dans $\R$.

\textbf{Question 1 :} $(-2) \oplus \left(5 \oplus \dfrac{1}{2}\right) =$
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{- 59}{2}$
\item $\dfrac{109}{2}$ 
\item $\dfrac{- 67}{2}$
\item $\dfrac{101}{2}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 2 :} Parmi les quatre  propositions suivantes, laquelle est vraie ?

\begin{enumerate}
\item Si $a > -1$ alors $a \oplus a \geqslant 0$
\item Si $a < -1$ alors $a \oplus a \geqslant 0$
\item Si $a < 0$ alors $a \oplus a \leqslant 0$
\item Si $a < 0$ alors $a \oplus a \geqslant 0$
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Question 3 :} On dit que l'opération $\oplus$ admet pour élément neutre le nombre réel noté $n_e$ si pour tout réel $a$ on a :
$a \oplus n_e = n_e \oplus a = a.$ Alors

\begin{enumerate}
\item $n_e = 0$
\item $n_e = 1$
\item $n_e = -1$
\item $n_e$ est égal à une autre valeur que les trois proposées aux réponses précédentes
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 4:} On dit qu'un nombre réel $a$ admet pour symétrique pour l'opération $\oplus$ le nombre noté $\tilde{a}$ si $a \oplus \tilde{a} = \tilde{a} \oplus a = n_e$, où $n_e$ est le nombre défini à la question 3. S'il existe, alors $\tilde{a} = $

\begin{enumerate}
\item $(- 1) \times a$
\item $\dfrac{2a - 1}{a}$
\item $\dfrac{-1}{a}$
\item $\dfrac{-a}{1 + 2a}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 5 :} Dans $\R$, l'équation $a \oplus 1 = a \times a$ admet

\begin{enumerate}
\item aucune solution
\item exactement une solution
\item exactement deux solutions
\item un nombre de solutions qui dépend de la valeur de $a$
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Algorithmique}\end{center}

Pour les questions 6 à 9, on considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{X}
Variables :\\
\hspace{0,5cm}$I$ , $N$ , $U$ : nombres\\
Traitement :\\
\hspace{0,5cm}Saisir un entier $N$\\
\hspace{0,5cm}Saisir un nombre $U$\\
\hspace{0,5cm}Affecter à 1 la valeur 0\\
\hspace{0,5cm}Tant que $I < N$ faire\\
\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $I$ la valeur $I + 1$\\
Affecter à $U$ la valeur $U + \dfrac{1}{2}(I \times U)$\\
\end{tabular}\\
\hspace{0,5cm}Fin du tant que\\
Afficher $U$
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 6 :} Si on fait fonctionner l'algorithme avec $N = 3$ et $U = 2$, on obtient comme affichage

\begin{enumerate}
\item 15
\item 4
\item 6
\item Aucune des réponses précédentes n'est exacte.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 7 :} Si on désire remplacer la boucle \og tant que \fg{} par une boucle \og répéter\fg on doit écrire

\begin{enumerate}
\item Répéter

\hspace{0,5cm}Affecter à $I$ la valeur $I + 1$

\hspace{0,5cm}Affecter à $U$ la valeur $U + \dfrac{1}{2}(I \times U)$

Jusqu'à $I < N$
\item Répéter
\hspace{0,5cm}Affecter à $I$ la valeur $I + 1$

\hspace{0,5cm}Affecter à $U$ la valeur $U + \dfrac{1}{2}(I \times U)$

Jusqu'à $I = N - 1$
\item  Répéter

\hspace{0,5cm}Affecter à $I$ la valeur $I + 1$

\hspace{0,5cm}Affecter à $U$ la valeur $U + \dfrac{1}{2}(I \times U)$

Jusqu'à $I > N$
\item Aucune des réponses précédentes n'est exacte.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 8 :} Si on désire remplacer la boucle \og tant que\fg{} par une boucle \og pour \fg{} on doit écrire

\begin{enumerate}
\item Pour $I$ allant de $0$ à $N$ par pas de $1$

\hspace{0,5cm} Affecter à $I$ la valeur $I + 1$

\hspace{0,5cm} Affecter à $U$ la valeur $U + \dfrac{1}{2}(I \times U)$

Fin du pour
\item Pour $I$ allant de $0$ à $N - 1$ par pas de 1

\hspace{0,5cm} Affecter à $I$ la valeur $I + 1$

\hspace{0,5cm} Affecter à $U$ la valeur $U + \dfrac{1}{2}(I \times U)$

Fin du pour
\item Pour $I$ allant de $1$ à $N$ par pas de 1

\hspace{0,5cm} Affecter à $I$ la valeur $I + 1$

\hspace{0,5cm} Affecter à $U$ la valeur $U + \dfrac{1}{2}(I \times U)$

Fin du pour
 \item Aucune des réponses précédentes n'est exacte.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 9 :} La variable $U$ contient les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ définie par

\begin{enumerate}
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 &=& 2\\
u_{n+1}& =&\dfrac{n \times u_n}{2} \:\text{pour tout }\:n \in  \N
\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 &=& 2\\
u_{n+1}& =&u_n + \dfrac{n \times u_{n-1}}{2} \:\text{pour tout }\:n \in  \N
\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 &=& 2\\
u_{n+1}& =&u_n + \dfrac{(n - 1) \times u_{n-1}}{2} \:\text{pour tout }\:n \in  \N
\end{array}\right.$
\item Aucune des réponses précédentes n'est exacte.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 10 :} On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par  

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&5\\
u_{n+1}&=& u_n + 4,\: \text{pour tout }\: n \in \N
\end{array}\right.,\]

alors $u_{23} =$

\begin{enumerate}
\item 119
\item 85
\item 97
\item 111
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 11 :} On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n = \dfrac{(-1)^n\text{E}\left(\frac{n}{3}\right)}{n^2 + n +1}$ pour tout $n \in \N$, où E$(x)$  désigne la partie
entière de $x$, alors

\begin{enumerate}
\item $\left(u_n\right)$ n'est ni minorée, ni majorée.
\item $\left(u_n\right)$ est minorée mais pas majorée.
\item $\left(u_n\right)$ est majorée mais pas minorée.
\item $\left(u_n\right)$ est bornée.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 12:} On considère une suite $\left(u_n\right)$ arithmétique de raison 3 et une suite $\left(v_n\right)$ arithmétique de raison 2, alors la suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_n = u_n + v_n$ pour tout $n \in \N$ est

\begin{enumerate}
\item arithmétique de raison 6.
\item géométrique de raison 5.
\item arithmétique de raison $\dfrac{5}{2}$.
\item arithmétique de raison 5.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 13 :} On considère une suite $\left(u_n\right)$ géométrique de raison 3 et une suite $\left(u_n\right)$ géométrique de raison 2, alors la
suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_n = u_n \times v_n$ pour tout $n \in \N$ est

\begin{enumerate}
\item géométrique de raison 6.
\item géométrique de raison 5.
\item géométrique de raison 9.
\item géométrique de raison 8.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 14 :} On considère une suite $\left(u_n\right)$ géométrique de raison 3 et une suite $\left(v_n\right)$ géométrique de raison 2, alors la
suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_n = \dfrac{u_n+v_n}{2}$ pour tout $n \in \N$  est

\begin{enumerate}
\item géométrique de raison $\dfrac{5}{2}$.
\item arithmétique de raison $\dfrac{5}{2}$.
\item arithmétique de raison $\dfrac{9}{2}$.
\item ni arithmétique, ni géométrique.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Nombres complexes}\end{center}

\smallskip

\textbf{Question 15 :} On considère le nombre complexe $z = 3\text{i}$, alors $z^4 =$

\begin{enumerate}
\item $81\text{i}$
\item $- 81$
\item $-81\text{i}$
\item $81$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 16 :} Les nombres réels $a$ et $b$ tels que pour tout $z \in  \C$,

$z^3 + (2 - \text{i})z^2 + (1 - 2\text{i})z - \text{i} = (z - \text{i})\left(z^2 + az + b\right)$ sont

\begin{enumerate}
\item $a = - 2$ et $b = 1$
\item $a = - 2$ et $b = - 1$
\item $a = 2$ et $b = 1$
\item $a = 2$ et $b = -1$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 17 :} $\dfrac{\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{2}}\left(6\text{e}^{\text{i}\pi}+2\right)}{2\text{i}} = $

\begin{enumerate}
\item $-2$ 
\item $2 + \text{i}$
\item $0$
\item $2$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 18 :} On considère le nombre complexe $z = \dfrac{2 + 2\text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}}$, alors un argument, à $2\pi$ près, de $z$ est

\begin{enumerate}
\item $- \dfrac{\pi}{12}$
\item $\dfrac{\pi}{12}$
\item $\dfrac{5\pi}{12}$
\item $ \dfrac{- 5\pi}{12}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 19:} On considère le nombre complexe $z = \sqrt{5}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$, alors un argument, à $2\pi$ près, de la moyenne arithmétique de $z$ et de son conjugué est :

\begin{enumerate}
\item $0$
\item $\dfrac{\pi}{2}$
\item $\pi$
\item $\dfrac{3\pi}{2}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 20:} On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv, l'affixe du vecteur $\vect{w} = 5\vect{u} - 5\sqrt{3}\vect{v}$ est

\begin{enumerate}
\item  $10\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{3}}$
\item $5\text{e}^{\frac{-\text{i}\pi}{3}}$
\item $5\text{e}^{\frac{-\text{i}\pi}{3}}$
\item $10\text{e}^{\frac{-\text{i}\pi}{3}}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 21 :} On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv, les images des solutions de l'équation $z^4 = 6$ sont

\begin{enumerate}
\item les sommets d'un triangle équilatéral.
\item les sommets d'un carré.
\item les sommets d'un pentagone régulier.
\item les sommets d'un hexagone régulier.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Probabilités conditionnelles}\end{center}

Pour les questions 22 à 24, on considère l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_1$~}\taput{0,3}}
	{\TR{$B$} \taput{}
	\TR{$\overline{B}$} \tbput{0,6}
	}
\pstree{\TR{$A_2$~}\taput{0,2}}
	{\TR{$B$} \taput{0,9}
	\TR{$\overline{B}$} \tbput{}
	}	
\pstree{\TR{$A_3$~}\taput{}}
	{\TR{$B$} \taput{0,2}
	\TR{$\overline{B}$} \tbput{}
	}		
}
\end{center}

\textbf{Question 22 :} $P\left(A_3\right) =$

\begin{enumerate}
\item 0,1
\item 0,2
\item 0,5
\item 0,4
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 23 :} $P\left(A_1 \cap B\right) =$

\begin{enumerate}
\item 0,1
\item 0,12
\item 0,18
\item 0,4
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 24:} Les évènements $A_1$ et $B$ sont

\begin{enumerate}
\item incompatibles.
\item certains.
\item dépendants.
\item indépendants.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Lecture graphique}\end{center}

Pour les questions 25 à 28, on se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. On a tracé la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable et strictement décroissante sur $\R$. Le point M est le point de la courbe d'abscisse $0$. La droite
(MC) avec C$\left(\frac{5}{2}~;~0\right)$ est la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$. Le point M et le point A(2~;~1) sont situés sur le  même cercle dont le centre est l'origine du repère.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2.5,-0.75)(6.5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.5,-0.75)(6.5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue]{-2}{6}{5 sqrt  5 sqrt  2 div x mul sub}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.5,1)(6.5,1)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=orange]{-2}{6}{ 2.71828 x neg  exp 5 sqrt  1 sub mul 1 add}
\uput[r](-1.5,4.25){$y = f(x)$}
\psdots(0,2.236)(2,1)(2.5,0)
\uput[ur](0,2.236){M}\uput[ur](2,1){A}\uput[ur](2.5,0){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Question 25 :} La courbe représentative de $f$ admet

\begin{enumerate}
\item la droite d'équation $x = 1$ comme asymptote horizontale en $+ \infty$.
\item la droite d'équation $y = 1$ comme asymptote horizontale en $+ \infty$.
\item la droite d'équation $x = 1$ comme asymptote verticale en $+ \infty$.
\item la droite d'équation $y = 1$ comme asymptote verticale en $+ \infty$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 26:} La valeur exacte de $f(0)$ est

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{21}{10}$
\item e
\item $\sqrt{5}$
\item $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
\end{enumerate}

\medskip


\textbf{Question 27:} Un vecteur directeur de la droite (MC) est

\begin{enumerate}
\item $\vect{u}\begin{pmatrix}- \sqrt{5}\\2 \end{pmatrix}$
\item $\vect{u}\begin{pmatrix}- \sqrt{5}\\2\sqrt{5}  \end{pmatrix}$
\item $\vect{u}\begin{pmatrix} - 5\\-2\sqrt{5} \end{pmatrix}$
\item $\vect{u}\begin{pmatrix} - 5\\2\sqrt{5} \end{pmatrix}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 28:} La fonction représentée est $f(x) = \sqrt{1 + \alpha \text{e}^{- x}}$ = avec $\alpha =$

\begin{enumerate}
\item $\sqrt{3}$
\item $\sqrt{5}$
\item $4$
\item $\dfrac{3}{2}$
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Trigonométrie}\end{center}

Pour les questions 29 à 31, on considère la fonction cotangente notée cotan$(x)$ et définie par cotan $(x) = \dfrac{\cos (x)}{\sin (x)}$.
\medskip

\textbf{Question 29 :} cotan$\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = $

\begin{enumerate}
\item $1$
\item $0$
\item $\sqrt{2}$
\item $\sqrt{3}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 30 :} La fonction cotangente n'est pas définie si

\begin{enumerate}
\item $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$, où $k$ est un nombre entier relatif 
\item $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, où $k$ est un nombre entier relatif
\item $x =  2k\pi$, où $k$ est un nombre entier relatif
\item $x =  k\pi$, où $k$ est un nombre entier relatif
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 31 :} Pour tout $x$ appartenant à son domaine de définition, la fonction cotangente est dérivable et admet pour fonction dérivée

\begin{enumerate}
\item $1 + (\text{cotan}(x))^2$
\item $\dfrac{1}{(\sin (x))^2}$
\item $\dfrac{-1}{(\sin (x))^2}$
\item $(\text{cotan}(x))^2 - 1$
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Fonction exponentielle}\end{center}

\smallskip

\textbf{Question 32 :} $\dfrac{\text{e}^{5} \times \text{e}^{- 3}}{\left(\text{e}^{3
}\right)^2} = $

\begin{enumerate}
\item $\text{e}^{- 3}$
\item $\text{e}^{- \frac{15}{6}}$
\item $\text{e}^{- 4}$
\item $\text{e}^{9}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 33 :} Les solutions dans $\R$ de l'équation $\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} - 2 = 0$ sont

\begin{enumerate}
\item $- 2$ et 1
\item $0$
\item $\text{e}^{-2}$ et $\text{e}^{1}$
\item Aucune des réponses précédentes n'est juste.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 34:} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \left(\text{e}^{x^3- 3x + 9}\right) =$

\begin{enumerate}
\item $+ \infty$
\item $0$
\item $\text{e}^{\sqrt{x^3}}$
\item $\text{e}^{3}$
\end{enumerate}

\medskip


\textbf{Question 35 :} Pour tout nombre réel non nul $x$,\: $\dfrac{\text{e}^x}{x^4} =$

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\text{e}^{4y}}{16y^4}$  avec $y = 4x$ 
\item $\dfrac{1}{256} \times  \left(\dfrac{\text{e}^y}{y}\right)^4$, avec $x = 4y$
\item $\dfrac{\text{e}^{4y}}{16y^4}$ avec $x = 4y$
\item $\dfrac{1}{64} \times  \left(\dfrac{\text{e}^y}{y}\right)^4$, avec $x = 4y$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 36:} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$. par : $f(x) = \cos (3x)\text{e}^{-2x}$.

La fonction dérivée de $f$ en $x \in \R$ est

\begin{enumerate}
\item $f'(x) = - \text{e}^{-2x}(3 \sin(3x) + 2 \cos(3x))$
\item $f'(x) = -3\text{e}^{-2x}(\sin (3x) + \cos (3x))$
\item $f'(x) = -Z\text{e}^{-2x}(\sin (3x) + \cos (3x))$
\item $f' (x) = - \text{e}^{-2x} (3 \sin (3x) - 2 \cos (3x))$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 37 :} $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\text{e}^{3x+2} - \text{e}^2}{x} \right) =$

\begin{enumerate}
\item $+ \infty$
\item $0$
\item $\dfrac{\text{e}^2}{3}$
\item $\text{e}^2$
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Fonction logarithme népérien}\end{center}

\smallskip

\textbf{Question 38 :} Dans $\R$, l'équation $\ln (x + 3) + \ln (x + 2) = 0$ admet

\begin{enumerate}
\item aucune solution.
\item une solution.
\item deux solutions.
\item Aucune des réponses précédentes n'est juste.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 39 :} $\ln \left(8\text{e}^5\right) =$

\begin{enumerate}
\item $3\ln (2) + \text{e}^5$
\item $3\ln (2) + 5\text{e}$
\item $15\ln (2\text{e})$
\item $5 + 3\ln (2)$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 40 :} La fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = \ln \left(\sqrt{1 + 3\text{e}^x} + \text{e}\right)$ est

\begin{enumerate}
\item strictement croissante sur $\R$.
\item strictement décroissante sur $\R$.
\item croissante sur $]- \infty~;~0]$ puis décroissante sur $[0~;~+ \infty[$.
\item décroissante sur $]- \infty~;~0]$ puis croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 41:} $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} \left(\dfrac{\ln (x - 2)}{6 - x - x^2}\right) =$

\begin{enumerate}
\item $- \infty$
\item $0$
\item $+ \infty$
\item Aucune des réponses précédentes n'est juste.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 42 :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{1 + \ln(x)}{4x}\right) =$

\begin{enumerate}
\item $- \infty$
\item $0$
\item $+ \infty$
\item Aucune des réponses précédentes n'est juste.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 43 :} Pour  tout $x > 0$, l'équation $\dfrac{\ln (x + 2) + 3}{x} = 5$ est équivalente à

\begin{enumerate}
\item  $x = \dfrac{\text{e}^{5x+3}}{2}$
\item  $x = \text{e}^{5x-5}$
\item  $x = \text{e}^{5x-3} - 2$
\item  Aucune des réponses précédentes n'est juste.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 44:} Soit $n$ un nombre entier naturel, l'inéquation $5 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \geqslant 3$ est équivalente à
 
\begin{enumerate}
\item $n \leqslant \dfrac{\ln (3)- \ln (5)}{\ln (3) - \ln (4)}$
\item $ n \geqslant  \dfrac{\ln (2)}{\ln (3) - 2\ln (2)}$
\item $n \geqslant  \dfrac{\ln (2)}{\ln  (4) - \ln (3)}$
\item Aucune des réponses précédentes n'est juste.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Intégration}\end{center}

\smallskip

\textbf{Question 45 :} On se place dans le plan muni d'un repère et on considère la fonction $f$ positive de courbe représentative $\mathcal{C}$, alors pour $a$ et $b$ réels tels que $a \leqslant  b$,\: 
$\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x$ est


\begin{enumerate}
\item l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses, C, les droites d'équations $y = a$ et $y = b$.
\item l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses, C, les droites d'équations $x = a$ et $y = b$.
\item l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses, C, les droites d'équations $y = a$ et $x = b$.
\item l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses, C, les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 46:} $\displaystyle\int_0^2 \left(3\text{e}^x \right)\:\text{d}x =$

\begin{enumerate}
\item $3\left(\text{e}^2 - 1\right)$
\item $\dfrac{\text{e}^2 - 1}{3}$
\item $3\left(\text{e}^2 + 1\right)$
\item $\dfrac{\text{e}^2 + 1}{3}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 47:} Soit $f$ une fonction continue sur $\R$, alors $\displaystyle\int_3^7 (2f(x) + 5)\:\text{d}x = $

\begin{enumerate}
\item $2\displaystyle\int_3^7 f(x)\:\text{d}x + 5$
\item $2\displaystyle\int_3^7 f(x)\:\text{d}x + 10$
\item $2\displaystyle\int_3^7 f(x)\:\text{d}x + 40$
\item Aucune des réponses précédentes n'est juste.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 48:} $\displaystyle\int_0^2 \left(\text{e}^{3x} \right)\:\text{d}x =$

\begin{enumerate}
\item $3\left(\text{e}^6 - 1\right)$
e6-1 
\item $\dfrac{\text{e}^6 - 1}{3}$
\item $3\left(\text{e}^6 + 1\right)$
\item $\dfrac{\text{e}^6 + 1}{3}$
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Géométrie dans l'espace}
\end{center}

Pour les questions 49 à 52, on se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.

\medskip

\textbf{Question 49:} On considère la droite $(d)$ passant par A (2~;~3~;~-1) et de vecteur directeur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$, alors une
représentation paramétrique de $(d)$ est

\begin{enumerate}
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2 - t\\
y &=&3 + 2t\\ 
z &=& -1 + t 
\end{array}\right.$ où $t \in \R$. 
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2+2t\\
y &=& 3 - 1t\\ 
z &=& -1 + t 
\end{array}\right.$ où $t \in \R$.

\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x $=$2 + 2t\\
y $=$ - 1 + 3t\\
z $=$1 - t 
\end{array}\right.$ où $t \in \R$.

\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&4 + 2t\\
y&=&6 - 1t\\
z&=& -2 + t
\end{array}\right.$ où $t \in \R$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 50 :} On considère le plan $P$ d'équation cartésienne $x - 2y + z + 1 = 0$,
alors $\left(\text{A}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$ est un repère du plan $P$ où

\begin{enumerate}
\item A(1~;~0~;~-2) ; $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\ - 2\\1\end{pmatrix}$ ; $\vect{v}\begin{pmatrix}3\\ - 6\\3\end{pmatrix}$
\item A(1~;~0~;~-2) ; $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ ; $\vect{v}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$
\item A(1~;~1~;~-2) ; am ; $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ ; $\vect{v}\begin{pmatrix}3\\1\\- 1\end{pmatrix}$
\item Aucune des réponses précédentes n'est juste.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 51 :} On considère le plan $P$ d'équation cartésienne $x + 3y + z + 2  = 0$
et la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&4 - 2t\\y&=&1 + t\\z&=&2 - t\end{array}\right.$ où $t \in \R$, alors $(d)$ coupe $P$ au point M de coordonnées 

\begin{enumerate}
\item le plan $P$ contient la droite $(d)$.
\item le plan $P$ ne contient pas la droite $(d)$ et la droite $(d)$ est parallèle au plan $P$.
\item le plan $P$ et la droite $(d)$ sont sécants et non perpendiculaires.
\item le plan $P$ et la droite $(d)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 52 :} On considère le plan $P$ d'équation cartésienne $x + 2y - z + 4 = 0$ et la droite $(d)$ de représentation $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 - t\\y&=&t\\z&=&2\end{array}\right.$ où $t \in \R$, alors $(d)$ coupe $P$ au point M de coordonnées

\begin{enumerate}
\item $(4~;~- 3~;~1)$
\item $(4~;~- 2~;~-4)$
\item $(1~;~- 3~;~2)$
\item $(4~;~- 3~;~2)$
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Loi de probabilités}\end{center}

Pour les questions 53 à 55, on considère une variable aléatoire continue $X$, à valeurs dans $[-2~;~2]$ dont la densité de probabilité est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2.1,-0.08)(2.1,0.52)
\multido{\n=-2.1+0.1}{43}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,-0.08)(\n,0.52)}
\multido{\n=-0.08+0.02}{29}{\psline[linewidth=0.15pt](-2.1,\n)(2.1,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.1]{->}(0,0)(-2.1,-0.08)(2.1,0.52)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-2,0)(2,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Question 53 :} $P(X \leqslant 0) =$

\begin{enumerate}
\item $0$
\item $0,25$
\item $0,125$
\item $0,5$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 54 :} P( -l,Z :5 X :5 1,Z):::::

\begin{enumerate}
\item $0,5$
\item $0,6$
\item $0,3$
\item $0,9$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 55 :} On a :

\begin{enumerate}
\item $E(X) = 0$
\item $-2 \leqslant E(X) < 0$
\item $0 < E(X) \leqslant 1,4$
\item $1,4 \leqslant  E(X) \leqslant 2$
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Loi Normale}\end{center}

Pour les questions 56 et 57, on considère une variable aléatoire $Y = 2X$ où $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite.

\medskip

\textbf{Question 56 :} La variable $Y$

\begin{enumerate}
\item est plus dispersée que $X$.
\item est moins dispersée que $X$.
\item a la même dispersion que $X$.
\item on manque d'informations pour comparer les dispersions de $X$ et $Y$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 57 :} Le graphique ci-dessous représente la densité d'une loi normale centrée réduite.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6,-0.02)(6,0.5)
\psaxes[Dy=0.1,linewidth=1.25pt](0,0)(-6,-0.02)(6,0.5)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=0,sigma=1]{-6}{6}
\uput[d](5.8,0){$x$}
\uput[r](0,0.47){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

Alors, la densité de $Y$ est

\begin{enumerate}
\item~
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6,-0.02)(6,0.6)
\psaxes[Dy=0.1,linewidth=1.25pt](0,0)(-6,-0.02)(6,0.5)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=2,sigma=1]{-6}{6}
\end{pspicture}
\end{center}

\item~
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6,-0.02)(6,0.6)
\psaxes[Dy=0.1,linewidth=1.25pt](0,0)(-6,-0.02)(6,0.5)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=0,sigma=2]{-6}{6}
\end{pspicture}
\end{center}

\item~
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6,-0.15)(6,0.6)
\psaxes[Dy=0.1,linewidth=1.25pt](0,0)(-6,-0.02)(6,0.5)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=2,sigma=2]{-6}{6}
\end{pspicture}
\end{center}

\item~
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6,-0.02)(6,1)
\psaxes[Dy=0.2,linewidth=1.25pt](0,0)(-6,-0.02)(6,1)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=0,sigma=0.5]{-6}{6}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

Pour les questions 58 et 59, on considère une variable aléatoire $Z$ qui suit une loi normale d'espérance 3 et d'écart type 2, on peut utiliser le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
$k$ &$P(X \leqslant k)$ où $X$ suit une loi normale centrée réduite.\\ \hline
0,25	&0,60\\ \hline
0,5 	&0,69\\ \hline
0,75	&0,77\\ \hline
1		&0,84\\ \hline
1,25	&0,89\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 58 :} $P(Z \leqslant 4) =$

\begin{enumerate}
\item 0,84
\item 0,69
\item 0,77
\item Aucune des réponses précédentes n'est juste.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 59 :} $P(2 < Z \leqslant 5) =$

\begin{enumerate}
\item 0,14
\item 0,29
\item 0,77
\item 0,53
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Statistiques}\end{center}

\smallskip

\textbf{Question 60 :} On considère une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n~;~p)$ avec $n \in \N$,\: $n \ne 0$ et $p \in [0~;~1]$.

On note $f = \dfrac{X}{n}$ la fréquence associée à $X$. Alors si $n$ est assez grand, on a

\begin{enumerate}
\item $P\left(f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant  p  \leqslant  f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) < 0,68$
\item $P\left(f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant  p  \leqslant  f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) < 0,95$
\item $P\left(f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant  p  \leqslant  f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \geqslant 0,95$
\item Aucune des réponses précédentes n'est juste.
\end{enumerate}

\begin{center}\floweroneright~~\textbf{FIN}~~\floweroneleft\end{center}
\end{document}