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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 2009}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~CONCOURS AVENIR - ENTRAÎNEMENT 2009~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

DURÉE: 1~h~30~min

\bigskip

\begin{center}\textbf{CONSIGNES SPÉCIFIQUES} \end{center}

\bigskip

\end{center}

Lire attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite de cette épreuve:

Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti. La raison en est que votre enseignant n'a pas forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S.

Vous devez répondre à 45 questions au choix parmi les 60 proposées pour obtenir la note maximale. Si vous traitez plus de 45 questions, seules les 45 premières seront prises en compte. 

\medskip

Aucun brouillon n'est distribué. Les pages blanches de ce sujet peuvent être utilisées à l'usage de brouillon. L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit.

Aucun document autre que ce sujet et sa grille réponse n'est autorisé.

\medskip

Attention, il ne s'agit pas d'un examen mais bien d'un concours qui aboutit à un classement.

Si vous trouvez ce sujet \og difficile \fg, ne vous arrêtez pas en cours de composition, n'abandonnez pas, restez concentré(e). Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous!

\medskip

\textbf{Barème :}

Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, \textbf{chaque réponse exacte est gratifiée de 3 points}, tandis que \textbf{chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d'un point}.

\newpage

\begin{center}\textbf{Concours AVENIR - Exercice d'entraînement de Mathématiques} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{ÉQUATIONS POLYNÔMIALES} \end{center}

Le nombre de solutions distinctes de l'équation $x^4 + 3x^2 = 0$ :

\begin{enumerate}
\item dans $\R$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 1
	\item 2
		\item 3
		\item 0 ou 4.
	\end{enumerate}
\item  dans $\C$ est :
	\begin{enumerate}
		\item 1
		\item 2
		\item 3
		\item 0 ou 4.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}\textbf{LIMITES} \end{center}

\item  $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{- 3x^2 + 6x}{2x^2 - 8} =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{- 3}{2}$
		\item $\dfrac{3}{2}$
		\item $\dfrac{- 3}{4}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item  $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos (x) - 2}{x^2} =$
	\begin{enumerate}
			\item $+ \infty$
			\item $- \infty$
			\item n'existe pas
			\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{EXPONENTIELLE ET LOGARITHME} \end{center}

\item  $2\ln (2) + \ln (27) + \ln \left(\dfrac{1}{4}\right) - \ln \left(\sqrt{3}\right) =$
	\begin{enumerate}
			\item $3\ln \left(29 + \dfrac{1}{4} - \sqrt{3}\right)$
			\item $- 2,5 \ln (3)$
			\item $5\ln \left(\sqrt{3}\right)$
			\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item  $\text{e}^{\ln (1) - \ln (2) + \ln (3)- \ln (4) + \ln (5)} =$
	\begin{enumerate}
		\item 3
		\item $\dfrac{15}{8}$
		\item $5 !$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}

\newpage

\item  Pour tout réel $x \in  ]0~;~1[$ :
	\begin{enumerate}
		\item $[\ln (x)]^2 = 2\ln (x)$
		\item $[\ln (x)]^2 > 2\ln (x)$
		\item $[\ln (x)]^2 < 2\ln (x)$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item  Pour tout réel $x \in  ]1~;~+\infty[$ :
	\begin{enumerate}
		\item $[\ln (x)]^2 = 2\ln (x)$
		\item $[\ln (x)]^2 > 2\ln (x)$
		\item $[\ln (x)]^2 < 2\ln (x)$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
	
Dans $\R$

\item  L'équation $ \text{e}^{\ln \left(- x^2+7\right)}= - 7 + x^2$ a pour ensemble de solutions :
	\begin{enumerate}
		\item $S = \emptyset$ 
		\item $S = \{\sqrt{7}\}$
		\item $S = \{ - \sqrt{7}~;~\sqrt{7}\}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item L'équation $\ln \left(\text{e}^{-x^2+7}\right) = - 7 + x^2$ a pour solution : 
	\begin{enumerate}
		\item $S = \emptyset$
		\item $S = \{\sqrt{7}\}$
		\item $S = \{- \sqrt{7}~;~\sqrt{7}\}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left(e-X -1\right)(1 + x) \geqslant 0$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item $[-1~;~0]$
		\item $]- \infty~;~-1] \cup [0~;~+ \infty[$
		\item $[0~;~+ \infty[$
		\item $]- \infty~;~-1]$
	\end{enumerate}

\medskip
	
\begin{center}\textbf{ÉTUDE DE FONCTIONS} \end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R^{*}$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^{x^2}}{x}$.

\item Sa fonction dérivée $f'$ est alors définie sur $\R*$ par $f'(x) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\text{e}^{x^2}$
		\item $2x\text{e}^{x^2}$
		\item $\dfrac{(x - 1)\text{e}^{x^2}}{x^2}$
		\item $\dfrac{\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{x^2}}{x^2}$
	\end{enumerate}
\item $f$ est strictement décroissante sur
	\begin{enumerate}
		\item $\left[\dfrac{- \sqrt{2}}{2}~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$
		\item $\left[- 1~;~\dfrac{- 1}{2}\right]$
		\item $\left[\dfrac{- 1}{2}~;~\dfrac{- 1}{4}\right]$
		\item $\left[\dfrac{- 1}{4}~;~\dfrac{- 1}{2}\right]$
	\end{enumerate}
\item Sa courbe représentative dans un repère orthonormal est symétrique par rapport à 
	\begin{enumerate}
		\item l'axe des abscisses
		\item l'axe des ordonnées
		\item l'origine
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  f(x) = $
	\begin{enumerate}
		\item $+ \infty$
		\item $- \infty$
		\item n'existe pas
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x) = $
	\begin{enumerate}
		\item $+ \infty$
		\item $- \infty$
		\item n'existe pas
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte 
	\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{TRIGONOMÉTRIE} \end{center} 

\item Pour tout réel $x,\: \cos(x + \pi) - \cos(x - \pi) + \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) - \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) =$ 
	\begin{enumerate}
		\item $0$ 
		\item $2\cos (x)$
		\item $2\sin (x)$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
	
Dans l'intervalle $[- \pi~;~\pi]$,

\item l'équation $\sin ^2 (x) + \cos ^2 (x) = 0$ a pour solution:
	\begin{enumerate}
		\item $S = \left\{\dfrac{- \pi}{4}~;~\dfrac{3\pi}{4} \right\}$
		\item $S = \left\{0~;~\dfrac{\pi}{2} \right\}$
		\item $S = [- \pi~;~\pi]$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item  l'équation $\sin ^2 (x) + \cos ^2 (x) = 1$ a pour solution:
	\begin{enumerate}
		\item $S = \left\{\dfrac{- \pi}{4}~;~\dfrac{3\pi}{4} \right\}$
		\item $S = \left\{0~;~\dfrac{\pi}{2} \right\}$
		\item $S = [- \pi~;~\pi]$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item L'équation $\sin (x) + \cos (x) = 0$ a pour solution :
	\begin{enumerate}
		\item $S = \left\{\dfrac{- \pi}{4}~;~\dfrac{3\pi}{4} \right\}$
		\item $S = \left\{0~;~\dfrac{\pi}{2} \right\}$
		\item $S = [- \pi~;~\pi]$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}

\newpage

\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \cos^3 \left(\dfrac{x}{2}\right)$ est :
	\begin{enumerate}
			\item paire et $2\pi$ périodique
			\item impaire et $2\pi$ périodique
			\item paire et $4\pi$ périodique
			\item impaire et $4\pi$ périodique
	\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{ANALYSE DE COURBES} \end{center}

\item  $\mathcal{C}_1,\: \mathcal{C}_2,\: \mathcal{C}_3$ sont les courbes représentatives d'une fonction $f$, de sa dérivée $f'$ et d'une de ses primitives $F$.

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-2,-6.5)(2,6.5)
\multido{\n=-2+0.1}{40}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-6.5)(\n,6.5)}
\multido{\n=-6.5+0.5}{28}{\psline[linewidth=0.1pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.99,-6.5)(2,6.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 5 exp 0.5 mul x add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{2}{x 4 exp 2.5 mul 1 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-2}{2}{x 6 exp 12 div x 2 exp 2 div add  1 sub}
\uput[d](1.4,0){$x$} \uput[l](0,6.3){$y$}
\uput[l](-1.1,4.5){\red $\mathcal{C}_1$}\uput[r](-1.5,1){\color{orange} $\mathcal{C}_2$}
\uput[r](-1.5,-5){\blue $\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}

$\mathcal{C}_1,\: \mathcal{C}_2,\: \mathcal{C}_3$ sont respectivement les courbes représentatives de :

	\begin{enumerate}
		\item $f,\:f'$ et $F$
		\item $f',\:f$ et $F$
		\item $F,\: f'$ et $f$
		\item $f',\: F$ et $f$.
	\end{enumerate}

\newpage

Soit la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représentant une fonction $f$

\begin{center}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-4.25,-5)(2.5,6.25)
\multido{\n=-4.25+0.25}{28}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-5)(\n,6.25)}
\multido{\n=-5.0+0.5}{24}{\psline[linewidth=0.1pt](-4.25,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4.25,-4.99)(2.5,6.25)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{1.6}{2 x dup mul 5 mul 6 div sub 7 x mul 6 div sub}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-4,2)(-2,1)
\uput[d](2.3,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$}
\uput[u](-3.5,1.8){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item La fonction $f$ :
	\begin{enumerate}
			\item est dérivable en $- 2$ et en $- 1$
			\item est dérivable en $- 2$ mais pas en $- 1$
			\item est dérivable en $- 1$ mais pas en $- 2$
			\item n'est dérivable ni en $- 2$ ni en $- 1$
	\end{enumerate}
\item  $\displaystyle\lim_{{\scriptsize \begin{array}{l}x \to - 2\\x < - 2\end{array}}}\dfrac{f(x) - f(- 2)}{x + 2} = $
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{- 1}{2}$
		\item $- 2$
		\item n'existe pas
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}


\item  $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} = $
	\begin{enumerate}
			\item $- \infty$
			\item $+ \infty$
			\item $- 3$
			\item $- 6$
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{LOGIQUE - ARITHMETIQUE - \ldots} \end{center}

\item La somme de tous les diviseurs entiers positifs de 48 est égale à :
	\begin{enumerate}
		\item 123
		\item 124
		\item 76
		\item Aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item Dans une classe de Terminale S de 35 élèves qui sont chacun des filles ou des garçons, des internes ou des externes on considère les deux propositions suivantes :

$A$ : \og Tout garçon est interne \fg{} et

$B$ : \og Il existe une fille interne\fg

Laquelle de ces propositions est exacte :
	\begin{enumerate}
		\item Si $A$ est fausse alors $B$ est nécessairement vraie.
		\item Si $B$ est vraie alors $A$ est nécessairement fausse.
		\item Pour prouver que $B$ est fausse il est nécessaire de vérifier que toutes les filles sont externes.
		\item pour prouver que $A$ est fausse il suffit de trouver un garçon externe.
	\end{enumerate}

\item Dans un groupe de 8 sportifs,
	\begin{enumerate}
		\item on peut former autant d'équipes différentes de 3 que de 6 joueurs.
		\item on peut former plus d'équipes différentes de 6 que de 3 joueurs.
		\item on peut former plus d'équipes différentes de 3 que de 6 joueurs.
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item Sur $\R^{-},\: \sqrt{-x^3} = $
	\begin{enumerate}
		\item $x \sqrt{x}$
		\item $- x \sqrt{x}$
		\item $x\sqrt{- x}$
		\item $- x\sqrt{- x}$
	\end{enumerate}
\item Sachant que $-3 \leqslant x \leqslant - 1$, le maximum de $x + \dfrac{4}{x}$ est alors égal à
	\begin{enumerate}
		\item $- 5$ 
		\item $\dfrac{- 7}{3}$ 
		\item $- 4$ 
		\item $\dfrac{- 13}{3}$ 
	\end{enumerate} 

\begin{center}\textbf{TANGENTES} \end{center} 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (1 + x)^4$ et $T_0 $ et $T_1$ les tangentes respectives à sa courbe représentative aux points d'abscisses $0$ et $- 2$. 

\medskip

\item $T_1$ a pour équation réduite:
	\begin{enumerate}
		\item $y = 1$
		\item $y = x - 2$
		\item $y = 4x + 9$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte. 
	\end{enumerate}
\item $T_0 $ et $T_1$ se coupent alors au point de coordonnées : 
	\begin{enumerate}
		\item $(-1~;~-3)$
		\item (0~;~0)
		\item (-3~;~-1)
		\item $T_0 $ et $T_1$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}\textbf{SUITES} \end{center} 

\item La suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_n = \sin [(- 2)^n n\pi]$ 

	\begin{enumerate}
		\item est convergente 
		\item diverge vers $- \infty$ 
		\item diverge vers $+ \infty$
		\item diverge sans limite
	\end{enumerate}

\newpage

\item Soit la suite arithmétique $\left(U_n\right)$ telle que $U_{12} = 7$ et $U_{21} = - 6$ alors $U_3  = $ 
	\begin{enumerate}
			\item $\dfrac{-13}{9}$
			\item $- 20$
			\item $20$
			\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Soient $\left(U_n\right),\: \left(V_n\right)$ et $\left(W_n\right)$ trois suites telles que pour tout $n \geqslant \np{2009}\quad  U_n < V_n < W_n$ avec

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} U_n = - 1$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} W_n = 2$ alors:
	\begin{enumerate}
		\item $\left(V_n\right)$ est obligatoirement minorée par $\np{- 2010}$ et majorée par $\np{2010}$.
		\item $\left(V_n\right)$ peut être divergente.
		\item $\left(V_n\right)$ converge forcément vers un réel appartenant à $]- 1~;~2[$.
		\item $\left(V_n\right)$ converge forcément vers un réel appartenant à $[- 1~;~2]$.
	\end{enumerate} 

\begin{center}\textbf{NOMBRES COMPLEXES} \end{center}

 Soient $z_1$ et $z_2$ les solutions dans $\C$ de l'équation $- 2z^2 + 3z - \dfrac{25}{8} = 0$ 

\item $\left|z_1z_2 \right| = $
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{3}{2}$
		\item $\dfrac{25}{4}$
		\item $\dfrac{9}{16}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item arg $\left(z_1\right) = $
	\begin{enumerate}
		\item arg $\left(z_2\right)$
		\item $- \text{arg}\:\left(z_2\right)$
		\item $\pi  - \text{arg}\:\left(z_2\right)$
		 \item $\pi + \text{arg}\:\left(z_2\right)$
	\end{enumerate}
\item  Le nombre complexe $z = (1 - \text{i})^{10}$ est :
	\begin{enumerate}
		\item un réel strictement positif
		\item un réel strictement négatif
		\item un imaginaire pur
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item À tout complexe $z \in  \C^{*}$ tel que $z = x + \text{i}y$ où $(x~;~y) \in \R \times  \R$ on associe le nombre complexe $z' = \dfrac{1}{z}$.

L'écriture algébrique de $z'$ est :

	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{x}{x^2 + y^2}  + \text{i}\dfrac{y}{x^2 + y^2}$
		\item $\dfrac{x}{x^2 + y^2}  - \text{i}\dfrac{y}{x^2 + y^2}$
		\item $\dfrac{y}{x^2 + y^2}  + \text{i}\dfrac{x}{x^2 + y^2}$
		\item $\dfrac{y}{x^2 + y^2}  - \text{i}\dfrac{x}{x^2 + y^2}$
	\end{enumerate}

\newpage

\item Dans un repère orthonormal direct du plan complexe, la transformation qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $(1 - \text{i})z$ est une :

	\begin{enumerate}
		\item translation
		\item rotation
		\item homothétie
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item  La forme exponentielle de $-3\left[\cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right) + \sin \left(\dfrac{\pi}{7}\right)\right]$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $- 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{7}}$
		\item $3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{7}}$
		\item $3\text{e}^{\text{i}\frac{6\pi}{7}}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{PROBABILITÉS} \end{center}

\item $A$ et $B$ étant deux évènements indépendants tels que $P(A) = 0,3$ et $P(A \cup B) = 0,65$; on a ainsi $P(B) =$
	\begin{enumerate}
		\item $0,5$
		\item $1$
		\item $0,05$
		\item $0,7$
	\end{enumerate}
\item  $X$ étant une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{-1~;~1~;~2\}$ telle que 
$P(X = - 1) = 0,3$ et $P(X = 1) = 0,5$, son espérance mathématique est alors égale à :
	\begin{enumerate}
		\item 0,2
		\item 0,4
		\item 0,6
		\item 0,8
	\end{enumerate}
\medskip

\hrule

\medskip
	
$A$ et $B$ étant deux évènements tels que $P(A) = \dfrac{1}{4} ; P(B) = \dfrac{3}{5}$ et $P_{\overline{A}}(B) = \dfrac{2}{3}$
\item  on a ainsi $P_A(B) =$
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{1}{3}$
		\item $\dfrac{2}{5}$
		\item $\dfrac{3}{5}$
		\item $\dfrac{2}{3}$
	\end{enumerate}
\item  et $P_B\left(\overline{A}\right) = $
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{4}{6}$
		\item $\dfrac{5}{6}$
		\item $\dfrac{6}{6}$
		\item $\dfrac{7}{6}$
	\end{enumerate}

\newpage
	
\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE} \end{center}

\item  Sachant que dans un repère orthonormal, les points A, B et C ont pour coordonnées

A$(-1~;~1)$ ; B(1~;~0) ; C$(-2~;~-1)$, on peut alors affirmer que le triangle ABC est: 
	\begin{enumerate}
		\item rectangle non isocèle
		\item isocèle non rectangle
		\item rectangle isocèle
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\medskip
	
\hrule

\medskip
	
Dans un repère orthonormal de l'espace

\item $x^2 + (y - 1)^2 = 4$ est une équation
	\begin{enumerate}
		\item d'un cercle
		\item d'une sphère
		\item d'un plan
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item $3x - 7z = 4$ est une équation
	\begin{enumerate}
		\item d'une droite
		\item d'un plan
		\item d'un cercle
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\medskip
	
\hrule

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk{} on considère les points A$(0~;~1~;~4)$ ; B$(1~;~- 1~;~0)$ ; C$(3~;~0~;~-3)$, D$(-6~;~3~;~18)$.

\item Ainsi: 
	\begin{enumerate}
		\item A, B et D sont alignés
		\item A, C et D sont alignés
		\item B, C et D sont alignés
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item Les points A, B et C appartiennent tous trois:
	\begin{enumerate}
		\item à une même droite 
		\item au plan d'équation $8x + 6y - z = 2$
		\item au plan d'équation $- 3x + y - z = - 3$
		\item au plan d'équation $2x - y + z = 3$
	\end{enumerate}
\item Par ailleurs,
	\begin{enumerate}
		\item AD $>$ BC
		\item AD $<$ BC
		\item AD $=$ BC
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte. 
	\end{enumerate}
\item De plus, la distance du point O au plan (ABC)  est égale à : 
	\begin{enumerate}
		\item $0$ 
		\item $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
		\item $\dfrac{3\sqrt{11}}{11}$
		\item $\dfrac{2\sqrt{101}}{101}$
	\end{enumerate}

\newpage
	
\begin{center}\textbf{ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES} \end{center}

\item La solution de l'équation différentielle $y = 2y '- 4$ telle que $y(0) = - 1$ est 
	\begin{enumerate}
		\item $y(x) = - 3\text{e}^{2x} + 2$
		\item $y(x) = \text{e}^{2x} - 2$
		\item $y(x) = 3\text{e}^{0,5x} - 4$
		\item $y(x) = - 5\text{e}^{0,5x} + 4$
	\end{enumerate}
	
\item La solution de l'équation différentielle $y '+ 2y = 4x$ telle que $y(0) = - 1$ est 
	\begin{enumerate}
		\item $y(x) = -\text{e}^{- 2x} + 2x$
		\item $y(x) = 2x - 1$
		\item $y(x) = - 2\text{e}^{- 2x} + 2x + 1$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{INTÉGRATION} \end{center}

\item Une primitive sur $\left]\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right[$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{\cos (x)}{\sin (x)}$ est définie par $F(x) = $

	\begin{enumerate}
		\item $- \dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}$
		\item $\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}$
		\item $\ln [\sin (x)]$
		\item $- \ln [\sin (x)]$
	\end{enumerate}
\item $\displaystyle\int_{- 2}^2 x\text{e}^x \:\text{d}x =$
	\begin{enumerate}
		\item $0$
		\item $\text{e}^2 - 3\text{e}^{- 2}$
		\item $\text{e}^2 + 3\text{e}^{- 2}$
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte.
	\end{enumerate}
\item Sur $\R$, la fonction $f$ définie par $f(x) = \displaystyle\int_{- x}^x \dfrac{t^2}{1 + t^2}\:\text{d}t$ est :
	\begin{enumerate}
		\item croissante
		\item décroissante
		\item non monotone
		\item aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(I_n \right)$ la suite définie  par $I_n = \displaystyle\int_{- 0,5}^{0,5} x^n \:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item $\left(I_n \right)$ est convergente.
		\item $\left(I_n \right)$ est monotone.
		\item pour tout $n \in \N \quad  I_n > 0$.
		\item pour tout $n \in  \N\quad  I_n < 0$.
	\end{enumerate}
\item  Dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm, l'aire du domaine délimité par les droites d'équations $x = - 2$ et $x = 2$, l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto x^3$ est égale, en cm$^2$ à :
	\begin{enumerate}
		\item $0$
		\item $8$
		\item $16$
		\item $32$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\floweroneright~~\textbf{FIN DE L'ÉPREUVE}~~\floweroneleft \end{center}
\end{document}