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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%            Intervalle             %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grands crochets      %%
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%%     grandes parenthèses  %%
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%e de l'exponentielle
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%signe inferieur ou egal francais
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement exercice avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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	\setcounter{Partie}{0}% raz compteur partie
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	\par % commence à une nouvelle ligne
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement partie avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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   \goodbreak% Evite au tant que possible un titre en bas
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   \noindent\textbf{Partie \Alph{Partie} : #1}%
   \par%
   }% 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%    fonction de   C^k  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%    document tapé sous linux
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\title{\decofourleft~BTS Métropole Groupement A~\decofourright}
\author{Mathématiques}
\date{Session 2012}

\headheight 15.0 pt
\fancyhead[L]{BTS }
\fancyhead[C]{Groupement A}
\fancyhead[R]{2012}
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux,
2011-2012}}\\
\scriptsize\thepage/\pageref{LastPage}
}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\maketitle
\exo \emph{10 points}

\begin{center}
\textbf{ Spécialités Informatique et réseaux pour l'industrie
et les services techniques -- \\Systèmes \'Electroniques - \'Electrotechnique --
Génie optique }
\end{center}

Une machine fabrique un très grand nombre de pièces d'un même modèle.

Les résultats approchés seront donnés à $10^{-2}$ près.

\Partie{}

Une pièce fabriquée est conforme si son épaisseur est comprise en $14,3$ et
$15,5$ mm.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque pièce prélevée au hasard
dans la production d'une journée, associe son épaisseur en millimètres. La
variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart type
$\sigma$. La moyenne $m$ dépend du réglage de la machine.

\begin{enumerate}
 \item Dans cette question, on suppose que $\sigma=0,35$. De plus, la machine
a été réglée de sorte  que $m=15$.

\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée soit conforme.

\item \label{q1_ex1A} Calculer le nombre réel positif $h$ tel que $p(15-h\leq
X\leq 15+h)=0,95$.

\item Interpréter le résultat de la question \ref{q1_ex1A} {}à l'aide d'une phrase.
\end{enumerate}

\item La machine est désormais réglée de sorte que $m=14,9$.

Quel devrait être alors l'écart type pour que le pourcentage de pièces
conformes soit égal à $90\%$ ?
\end{enumerate}

\Partie{}

On admet que la proportion de pièces conformes dans la production d'une journée
est de $90\,\%$. On prélève au hasard un lot de 50 pièces dans la production pour
vérification de l'épaisseur. La production est suffisamment importante pour que
l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On désigne par
$Y$ la variable aléatoire prenant le nombre de pièces non conformes dans ce lot.

\begin{enumerate}
 \item La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale.

Préciser les paramètres de cette loi.

\item Calculer la probabilité qu'il y ait exactement deux pièces non conformes
dans ce lot.

\item On admet que la loi de probabilité de $Y$ peut être approchée par une loi
de Poisson.

\begin{enumerate}
 \item Justifier que le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson est égal à
$5$.

\item En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité que le lot
contienne au plus deux pièces non conformes.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\Partie{}

Pour améliorer sa production, l'usine achète une deuxième machine.

On sait que $40\%$ des pièces sont fabriquées  par la première machine $M_1$,
les autres pièces étant fabriquées par la nouvelle machine $M_2$.

Par ailleurs, $90\%$ des pièces fabriquées par la machine $M_1$ sont conformes.
De plus, une étude faite sur la production journalière globale de l'usine a
montré que $6\%$ des pièces produites sont non conformes.

On prélève au hasard une pièce dans la production journalière globale de
l'usine.

On définit les événements suivants :

\begin{enumerate}[\textbullet]
 \item $A$ : \og La pièce prélevée provient de la machine $M_1$.\fg

\item $\bar{A}$ : \og La pièce prélevée provient de la machine $M_2$.\fg

\item $C$ : \og La pièce est conforme.\fg
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
 \item Montrer que la probabilité que la pièce prélevée provienne de la machine
$M_1$ et soit non conforme est $0,04$.

\item Recopier et compléter avec des probabilités, le tableau suivant :

\begin{center}
\newcolumntype{M}{>{\centering\arraybackslash} X}
\renewcommand{\arraystretch}{1} %%%%%%%%%%%%%%% réglage de hauteur n°1
\setlength{\cellspacetoplimit}{3pt} %%%%%%%%%%% réglage de hauteur n°2
\setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt} %%%%%%%% réglage de hauteur n°3

\begin{tabularx}{8cm}{|*{4}{>{$} S{M}<{$}|}}
\hline
&C&\overline{C}&\\
\hline
A&&&\\
\hline
\overline{A}&&&\\
\hline
&&0,06&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que la pièce prélevée provienne de la machine
$M_1$ sachant que cette pièce est conforme.

\item Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}


\newpage

 \setcounter{num}{0}

\exo
\begin{center}
 \textbf{Spécialité Contrôle industriel et régulation automatique}
\end{center}

On notera $\U$ la fonction échelon unité définie sur l'ensemble des nombres
réels telle que :
\[
 \begin{cases}
  \U(t)=0\quad&\text{si } t<0\\
 \U(t)=1\quad&\text{si } t\geq 0\\
 \end{cases}
\]

Une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels est dite causale lorsque
cette fonction est nulle sur l'intervalle $\interoo{-\infty}{0}$.

On note $e$ l'échelon causal discret, défini sur l'ensemble des nombres entiers
relatifs par :
\[
 \begin{cases}
  e(n)=0\quad&\text{si } n<0\\
 e(n)=1\quad&\text{si } n\geq 0\\
 \end{cases}
\]

On considère un système entrée-sortie du premier ordre. Le signal de sortie est
modélisée par une fonction causale $s$ telle que $s(0)=0$ et vérifiant
l'équation différentielle suivante :
\[
 2s'(t)+s(t)=3\U(t)
\]

Le signal d'entrée prend, à tout instant $t$, la valeur $3\U(t)$.

\begin{center}
 \psset{unit=1cm, arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,0)(9,2)
\psline{-}(1,1)(3,1)
\psline(3,1)(4,1)
\rput(2.5,1.5){$3\U(t)$}%droite 
\pspolygon(4,0.7)(4,1.3)(6,1.3)(6,0.7)
\psline{->}(6,1)(8,1)
\psline(8,1)(9,1)
\rput(7.5,1.5){$s(t)$}%gauche
\end{pspicture}
\end{center}
\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item Résoudre l'équation différentielle
\[
 2y'(t)+y(t)=0
\]

\item On considère l'équation différentielle $(E)$ :
\[
 2y'(t)+y(t)=3
\]
Déterminer la fonction constante $h$ solution de cette équation différentielle.

\item En déduire que, pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, on a :
\[
 s(t)=3-3\e^{-0,5t}
\]

\item \label{q4A_cira}

\begin{enumerate}
 \item Étudier le sens de variation de la fonction $s$ sur l'intervalle
$\interfo{0}{+\infty}$.

\item Déterminer la valeur du nombre réel $\ell$, limite de $s(t)$ quand $t$
tend vers $+\infty$.

\end{enumerate}

\item L'annexe 1\ref{cira_annexe} jointe au sujet comporte quatre courbes
représentatives de fonction causales. 

Parmi ces quatre courbes, laquelle représente la fonction $s$ ? Justifier ce
choix.

\item \label{q6A_cira} On appelle temps de réponse du système la valeur du
nombre réel $t$ à partir de laquelle $s(t)$ atteint $95\%$ de la valeur de la
limite $\ell$ calculée à la question \ref{q4A_cira}

Déterminer une valeur approchée du temps de réponse du système.

Plusieurs méthodes sont possibles, préciser la démarche choisie.
\end{enumerate}

\Partie{}

On s'intéresse maintenant à un système d'entrée-sortie numérique destiné à
approcher le système analogique étudié dans la partie A. Une discrétisation de
l'équation différentielle $(E)$ avec un pas de discrétisation $T_e$ permet
d'obtenir, pour tout entier naturel $n$, la relation $(E')$ suivante :
\[
 2\frac{x(n+1)-x(n)}{T_e}+x(n+1)=3
\]
Pour tout nombre entier $n$, le nombre réel $x(n)$ fournit une approximation de
$x(nT_e)$.

En particulier, on a :
\[
 x(0)=s(0)=0
\]

Pour toute la suite de l'exercice, on prend $T_e=0,1$ seconde.

\begin{enumerate}
 \item \label{q1B_cira} Montrer que la relation $(E')$ peut s'écrire, pour tout
nombre entier positif ou nul, sous la forme :
\[
 x(n+1)=\frac{20}{21}x(n)+\frac17
\]

\item On a rempli le tableau de valeurs ci-dessous.

\begin{center}
 \begin{tabularx}{8cm}{|*{5}{>{\centering\arraybackslash$}X<{$}|}}
\hline
  n&0&1&2&3\\
\hline
x(n)&0&0,143&0,279&0,408\\
\hline
 \end{tabularx}
\end{center}

Calculer des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des nombres réels $x(4)$ et
$x(5)$.

\item On note $X(z)$ la transformée en $\mathcal{Z}$ de la suite $x(n)$.

Déduire de la question \ref{q1B_cira} que :
\[
 \frac{X(z)}{z}=\frac{1}{7(z-1)\pa{z-\frac{20}{21}}}
\]

\item Déterminer les réels $A$ et $B$ tels que :
\[
 \frac{X(z)}{z}=\frac{A}{z-1}-\frac{B}{z-\frac{20}{21}}
\]

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[
 x(n)=3\pa{1-\pa{\frac{20}{21}}^n}
\]

\item 
\begin{enumerate}
 \item Préciser la limite de $x(n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $
1-\pa{\frac{20}{21}}^n\geq 0,95$.

\item En déduire, à $10^{-1}$ près, le temps de réponse en secondes du système
numérique. (La notion de temps de réponse a été définie à la question
\ref{q6A_cira} de la partie A.)
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\exo \emph{10 points}

\begin{center}
\textbf{ Spécialités Informatique et réseaux pour l'industrie
et les services techniques -- Systèmes \'Electroniques - \'Electrotechnique --
Génie optique -- Contrôle industriel et régulation automatique}
\end{center}

Un circuit électrique comporte, en série, une résistance $R$ et un condensateur
de capacité $C$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4)
\psline{-}(0,3)(1,3)\pnode(1,3){A}\pnode(3.5,3){B}
\resistor(A)(B){$R$}\psline(3.5,3)(6,3)
\pnode(4.5,3){C}\pnode(4.5,0){D}\capacitor(C)(D){$C$}
\psline(0,0)(6,0)
\psline{->}(0,0.1)(0,2.9)
\uput[l](0,1.5){$e(t)$}
\uput[r](6,1.5){$v(t)$}
\psline{->}(6,0.1)(6,2.9)
\end{pspicture}
\end{center}


Le circuit est alimenté par une tension \og source\fg{} représentée par une
fonction $e$. La tension aux bornes du condensateur est représentée par une
fonction $v$. Si on considère cette tension comme signal de \og sortie \fg{},
le circuit joue le rôle de filtre passe-bas.

On notera $\U$ la fonction échelon unité définie sur l'ensemble des nombres
réels telle que :
\[
 \begin{cases}
  \U(t)&=0\quad\text{si } t<0\\
 \U(t)&=1\quad\text{si } t\geq 0\\
 \end{cases}
\]

\Partie{}

Les fonctions $e$ et $v$ vérifient l'équation différentielle $(\ens)$ suivante :
\[
 RC\derive{v(t)}{t}+v(t)=e(t)
\]

De plus, on suppose que $v(t)=0$ pour tout nombre réel $t$ négatif ou nul. En
particulier, on a $v(0)=0$.


On admet que les fonctions $e$ et $v$ possèdent des transformées de Laplace,
notées respectivement $E$ et $V$.

\begin{enumerate}
 \item La tension $e$ appliquée en entrée du circuit est telle que, pour tout
nombre réel $t$ :
\[
 e(t)=10\U(t)
\]
\begin{enumerate}
 \item Tracer sur la copie une représentation graphique de la fonction $e$.

\item Exprimer $E(p)$.
\end{enumerate}
\item En appliquant la transformation de Laplace à l'équation différentielle
$(\ens)$, montrer que :
\[
 V(p)=\frac{10}{p(RCp+1)}
\]

\item

\begin{enumerate}
 \item Vérifier que
\[
 V(p)=\frac{10}{p}-\frac{10}{p+\frac{1}{RC}}
\]
\item En déduire l'expression de $v(t)$ pour tout nombre réel $t$ positif ou
nul en fonction de $t,\ R$ et $C$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\Partie{}

Dans toute la suite $\jj$ désigne le nombre complexe de module $1$ et
d'argument $\frac{\pi}{2}$.

La transmittance isochrone $T$ du circuit est définie, pour toute pulsation
$\omega$, par :
\[
 T(\omega)=\frac{\frac{1}{\jj C \omega}}{R+\frac{1}{\jj C \omega}}
\]

\begin{enumerate}
 \item On pose $\omega_0=\frac{1}{RC}$.

Montrer que :
\[
T(\omega)=\frac{1}{1+\jj\frac{\omega}{\omega_0}}
\]

\item \label{q2_ex2} Calculer $T(\omega_0)$. Déterminer alors le module et un
argument du nombre complexe $T(\omega_0)$.

\item Cette question est posée sous la forme d'un QCM. Aucune justification
n'est demandée. Pour chacune des questions, on écrira sur la copie la formule
choisie. L'absence de réponse ou une mauvaise réponse n'est pas pénalisante.

\begin{enumerate}
 \item \label{q3a_ex2} Parmi les quatre expressions ci-dessous, laquelle donne
le module du nombre complexe $T(\omega)$ ?
\[
\frac{1}{1+\pa{\frac{\omega}{\omega_0}}^2}\qquad
\frac{1}{\sqrt{1+\pa{\frac{\omega}{\omega_0}}^2}}\qquad
1+\frac{\omega}{\omega_0}\qquad
\frac{-1}{\sqrt{1+\pa{\frac{\omega}{\omega_0}}^2}}
\]

\item \label{q3b_ex2}Parmi les quatre expressions ci-dessous, laquelle donne un
argument du
nombre complexe $T(\omega)$ ?
\[
 -\arctan\pa{\frac{\omega_0}{\omega}}\qquad \frac{\omega}{\omega_0}\qquad
-\arctan\pa{\frac{\omega}{\omega_0}}\qquad \arctan\pa{\frac{\omega}{\omega_0}}
\]

\end{enumerate}

\item Vérifier la concordance entre les résultats trouvés aux questions
\ref{q2_ex2} et \ref{q3a_ex2} puis \ref{q2_ex2} et \ref{q3b_ex2}.

\item Pour une pulsation $\omega$ de la tension d’entrée $e$, le gain
$G_{\text{db}}(\omega)$ du circuit, exprimé en décibels, est donné par la
formule 
\[
 G_{\text{db}}(\omega)=\frac{20}{\ln 10}\ln\pa{\abs{T(\omega)}}
\]
Calculer, à une unité près, le gain correspondant à la pulsation $\omega_0$.

\item \textbf{Pour toute la suite de l’exercice, on se place dans le cas où
}$\mathbf{\omega_0=500}$.

Pour tout nombre réel $\omega$ appartenant à l'intervalle
$\interoo{0}{+\infty}$, on pose
\[
 \phi(\omega)=-\arctan\pa{\frac{\omega}{500}}
\]
et on note $M(\omega)$ le point de coordonnées
$\pa{\phi(\omega);G_{\text{db}}(\omega)}$.

Le point $M(\omega)$ décrit la courbe tracée sur la figure \ref{a12_ex2_fig} du
document réponse lorsque $\omega$ varie.

\begin{enumerate}
 \item Calculer $\phi(\omega_0)$.
\item Placer alors le point $M_0=M(500)$.

\item En déduire graphiquement l'ordonnée du point $M_0$.
\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $\phi$ est strictement décroissante sur
l'intervalle $\interoo{0}{+\infty}$.

La valeur de $\omega$ correspondant au point $M_1$ du document réponse est-elle
:
\begin{itemize}
 \item strictement inférieure à $500$ ?
\item égale à $500$ ?
\item strictement supérieure à $500$ ?
\end{itemize}
On justifiera la réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
  \textbf{Document réponse}
%Toutes spécialités}
\end{center}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{xunit=4.5 cm,yunit=0.9cm,algebraic,comma=true}
\begin{pspicture}(-2.2,-18)(1,3)
 \psaxes[
labelFontSize=\scriptstyle,%
xAxis=true,%
yAxis=true,%
Dx=0.2,%
Dy=1%
]{-}(0,0)(-2,-17)(.8,2)

\parametricplot[
linecolor=blue,linewidth=1.25pt,
plotpoints=1000
]{0}{7}{-ATAN(t)|-10*log(1+t^2)} %courbe parametree

\psline(-1.57,2)(-1.57,-17)

\pstGeonode[
PointSymbol=x,%marquage des points
PointName=M_1]%nom des points
(-1.3,-11.5){A}


\end{pspicture}
\caption{Courbe décrite par le point  $M(\omega)$ }
\label{a12_ex2_fig}
\end{figure}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1\label{cira_annexe} -- Spécialité CIRA }
\end{center}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{unit=1.5 cm,algebraic,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9.2,5.3)
\psaxes[
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xAxis=true,%
yAxis=true,%
Dx=1,%
Dy=1,%
ysubticks=10,%
xsubticks=10,%
labelsep=-0.3cm,%
xlabelPos=axis,%
ylabelPos=axis,%
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xticksize=-.9 5.2,%
yticksize=-.9 9%
]{-}(0,0)(-.9,-.9)(9,5.2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{9}{3-2*EXP(-.5*x)}

\end{pspicture}
\caption{Courbe $1$ }
\label{a12_ex1_cira_fig1}
\end{figure}

\vspace{2cm}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{unit=1.5 cm,algebraic}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9.2,5.3)
\psaxes[
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yAxis=true,%
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yticksize=-.9 9,%
]
{-}(0,0)(-.9,-.9)(9,5.2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{3*(1-EXP(-.5*x))}
\end{pspicture}
\caption{Courbe $2$ }
\label{a12_ex1_cira_fig2}
\end{figure}

\begin{figure}[!ht]
 \centering
\psset{unit=1.5 cm,algebraic}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9.2,5.3)
\psaxes[
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yAxis=true,%
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Dy=1,%
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ylabelPos=axis,%
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]
{-}(0,0)(-.9,-.9)(9,5.2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{9}{3+3*(x-1)*EXP(-.5*x)}
\end{pspicture}
\caption{Courbe $3$ }
\label{a12_ex1_cira_fig3}
\end{figure}

\vspace{2cm}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{unit=1.5 cm,algebraic}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9.2,5.3)
\psaxes[
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]
{-}(0,0)(-.9,-.9)(9,5.2)

\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{9}{5*(1-EXP(-.5*x))}

\end{pspicture}
\caption{Courbe $4$ }
\label{a12_ex1_cira_fig4}
\end{figure}

\vspace{2cm}
Suggestions ou remarques :
\href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}
\end{document}