\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
%\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
%\usepackage{pifont}
%\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape} 
%\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%\usepackage{graphicx}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%%%%%%%%%%%%   ATTENTION : COMPILER DEUX FOIS POUR LES RÉFÉRENCES  %%%%%%%%%%%%%
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
	pdfauthor={Xavier TISSERAND},     % author
  	}
\usepackage{pstricks-add}

\usepackage[hmargin=2cm, vmargin=2cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
%\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
%\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%            Intervalle             %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\inter}[4]
{\mathchoice
{\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}% mode \displaystyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \textstyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \scriptstyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode
%\scriptscriptstyle
}

\newcommand{\interff }[2]{\inter{[}{#1}{#2}{]}} %ferme ferme
\newcommand{\interof }[2]{\inter{]}{#1}{#2}{]}} %ouvert ferme
\newcommand{\interfo }[2]{\inter{[}{#1}{#2}{[}} %ferme ouvert
\newcommand{\interoo }[2]{\inter{]}{#1}{#2}{[}} %ouvert ouvert

%signe inferieur ou egal francais
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

%signe superieur ou egal francais
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

%echelon unité
\newcommand{\U}{\mathscr{U}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grandes parenthèses  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grands crochets      %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}[1]{\left[#1\right]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%	   derivee           %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%d droit de dx
\newcommand{\dx}[1][x]{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}#1}

%e de l'exponentielle
\newcommand{\e}{\mathrm{e}} 

\newcommand{\cad}{c'est-à-dire }

\everymath{\displaystyle}

%\documentclass[a4paper,11pt]{article}
%\usepackage{XTpreambule}
%
%%\usepackage{cancel}
%
%\geometry{hmargin=2cm, vmargin=2cm}
%
%%\usepackage{graphicx}
%%\usepackage{yhmath} 
%%\usepackage[xcas]{tablor}
%
%\usepackage{pstricks-add}
%\setlength\parindent{0mm}

%\begin{document}
%
%\input a14_ex1c.tex
%
%\newpage
%\input a14_a1_ex2c.tex
%\end{document}

\usepackage{fancyhdr,lastpage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%    document tapé sous linux Debian Wheezy
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{BTS Groupement A1 -- Mathématiques}
\author{Éléments de correction}
\date{Session 2014}

\headheight 15.0 pt
\fancyhead[L]{BTS}
\fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement A1}
\fancyhead[R]{2014}
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux,
2013-2014}}\\
\scriptsize\thepage/\pageref{LastPage}
}
\pagestyle{fancy}


\begin{document}

\maketitle

\textbf{Exercice 1}

\textbf{Toutes spécialités}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Les bonnes réponses sont :
\begin{enumerate}
\item $\boxed{T=2}$
\item $\boxed{b_1=0}$
\item $\boxed{a_0=0,5}$
\item $\boxed{a_1=\frac{4}{\pi^ 2}}$
\end{enumerate}
\item On a
\begin{align*}
P_f&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[f(t)]^2\dx[t]\\
&=\frac12\int_{-1}^1 [f(t)]^2 \dx[t]\\
&=\int_0^1 [f(t)]^2\dx[t]\quad \text{  la fonction } f^2 \text{ est paire}\\
&=\int_0^1(1-t)^2 \dx[t]\\
&=\cro{\frac{-1}{3}(1-t)^3}_0^1
\end{align*}
d'où $\boxed{P_f=\frac13}$

\item Voir tableau \ref{a14_ex1_tab1c} du document réponse 1.

On veut que $Sn \geqslant 0,999P_f$ \cad $S_n \geqslant 0,333$, d'où $\boxed{n\geqslant 3}$

\end{enumerate}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, on a $\boxed{h_{\text{max}}\approx 0,975}$

\item Voir courbe \ref{a14_ex1_fig1c} en rouge du document réponse 1.

\item \`A l'aide de la valeur approchée précédente, on obtient 
$\boxed{F_c\approx 4,55}$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item On lit graphiquement $\boxed{\omega\in\interff{0}{184}}$

\item Il faut résoudre l'équation $G(\omega)=-0,1$ \cad
\begin{align*}
\frac{- 10}{\ln (10)}\ln \left[1 + \left(\frac{\omega}{80 \pi} 
\right)^{12}\right]&=-0,1\\
\ln \left[1 + \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}\right]&=0,01 \ln (10)\\
1 + \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}&=\exp(0,01\ln 10)\\
\left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}&=\exp(0,01\ln 10)-1\\
12\ln \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)&=\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}\\
\ln \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)&=\frac{1}{12}\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}\\
\frac{\omega}{80 \pi}&=\exp\cro{\frac{1}{12}\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}}\\
\omega&=80\pi\exp\cro{\frac{1}{12}\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}}
\end{align*}
d'où $\boxed{\omega_0\approx 183,7}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\textbf{Groupement A1 : Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On a immédiatement
\begin{align*}
\frac{2}{p}-\frac{2}{p+2}&=\frac{4}{p(p+2)}\\
&=\frac{2}{p(1+0,5p)}
\end{align*}
d'où $\boxed{S(p)=\frac{2}{p}-\frac{2}{p+2}}$

\item Par lecture inverse du formulaire, on a 
$s(t)=2\U(t)-2\e^ {-2t}\U(t)$ \cad
\[
\boxed{
\text{Pour }t\geqslant 0,\quad
s(t)=2(1-\e^{-2t})
}
\]

\item On complète le tableau \ref{a14_a1_ex2_tab2c} du document réponse 2.

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On a
\begin{align*}
F(z)&=H\pa{100\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\\
&=\frac{2}{1+0,5\times 100\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\\
&=\frac{2}{1+50\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}
\end{align*}
\cad $\boxed{F(z)=\frac{2(1+z^ {-1})}{51-49z^ {-1}}}$

\item On a alors $Y(z)=\frac{2(1+z^ {-1})}{51-49z^ {-1}} X(z)$ \cad
\[
\boxed{
51Y(z)-49z^{-1}Y(z)=2X(z)+2z^{-1}X(z)
}
\]

\item En prenant l'originale de la relation précédente, on obtient :
\[
51y(n)-49y(n-1)=2x(n)+2x(n-1)
\]
\cad
\[
\boxed{
y(n)=\frac{49}{51}y(n-1)+\frac{2}{51}x(n)+\frac{2}{51}x(n-1)
}
\]
\end{enumerate}
\item On complète le tableau \ref{a14_a1_ex2_tab1c} du document réponse 2 
à l'aide de la formule précédente.

\item 
\begin{enumerate}
\item On a
\begin{align*}
\frac{2z}{z-1}-\frac{100}{51}\times \frac{z}{z-\frac{49}{51}}&=\frac{2z}{z-1}-
100\frac{z}{51z-49}\\
&=\frac{2z}{(z-1)(51z-49)}\pa{51z-49-50(z-1)}\\
&=\frac{2z(z+1)}{(51z-49)(z-1)}
\end{align*}
\cad
\[
\boxed{
Y(z)=\frac{2z}{z-1}-\frac{100}{51}\times \frac{z}{z-\frac{49}{51}}
}
\]

\item On prend l'original de la formule précédente, et on a 
\[
\boxed{
\text{Pour }n \geqslant 0, \quad 
y(n)=2e(n)-\frac{100}{51}\pa{\frac{49}{51}}^n
}
\]

\item On complète le tableau \ref{a14_a1_ex2_tab2c} de l'annexe.
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\newpage
\begin{center}
  \textbf{Document réponse 1 à rendre avec la copie,\\
  Toutes spécialités }
\end{center}
\begin{table}[!ht]
\centering
 \begin{tabularx}{12cm}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash$}X<{$}|}}
\hline
  n&1&2&3&4&5&6\\
\hline
a_n^ 2&0,1643&0&0,0020&0&0,0003&0\\
\hline
S_n&0,3321&0,3321&0,3331&0,3331&0,3333&0,3333\\
\hline
 \end{tabularx}
 \caption{Puissances des harmoniques}
\label{a14_ex1_tab1c}
\end{table}

\vspace{5cm}
\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{xunit=12cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-.5,-.1)(.5,1.2) 
\psaxes[
	linewidth=1.5pt,%
	Dx=0.1,%	
	Dy=0.1,%
	xticksize=0 1,%
	yticksize=-.4 .4,%
	%ysubticks=2,%
	]
	{->}(0,0)(-.42,0)(.45,1.1)
\psline(-.4,0.85)(-.384,.975)(-.284,.025)(-.184,.975)(-.084,.025)
(0.016,.975)(.116,.025)(.216,.975)(.316,.025)(.4,.85)

\psline[linecolor=red](-.4,1)(-.3,0)(-.2,1)(-.1,0)(0,1)(.1,0)(.2,1)(.3,0)(.4,1)
\end{pspicture} 
\caption{La fonction $h$}
\label{a14_ex1_fig1c}
 \end{figure}
 
 \newpage

\begin{center}
  \textbf{Document réponse 2 à rendre avec la copie,\\
  spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL}
\end{center}

\begin{table}[!ht]
\centering
 \begin{tabularx}{10cm}{|*{6}{>{\centering\arraybackslash$}X<{$}|}}
\hline
  n&-1&0&1&2&3\\
\hline
d(n)&0&1&0&0&0\\
\hline
y(n)&0&0,039&0,077&0,074&0,071\\
\hline
 \end{tabularx}
\caption{ici $x(n)=d(n)$}
\label{a14_a1_ex2_tab1c}
\end{table}

\vspace{5cm}
\begin{table}[!ht]
\centering
 \begin{tabularx}{17cm}{|p{2cm}|*{8}{>{\centering\arraybackslash$}X<{$}|}}
\hline
  $n$&0&10&20&30&40&50&100&150\\
\hline
$y(n)$&0,039&0,686&1,119&1,410&1,604&1,735&1,964&1,995\\
\hline
$t=0,02n$&0&0,2&0,4&0,6&0,8&1&2&3\\
\hline
$s(t)$&0&0,659& 1,101&1,398&1,596&1,729&1,963&1,995\\
\hline
 \end{tabularx}
\caption{ici $x(n)=e(n)$}
\label{a14_a1_ex2_tab2c}
\end{table}


\vspace{10cm}

Suggestions ou remarques :
\href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}

%Xavier TISSERAND est professeur de mathématiques en cpge ATS au lycée Vieljeux
%de La Rochelle
% Cette classe ATS est exclusivement réservée aux étudiant(e)s titulaires
% d'un BTS ou DUT industriel qui veulent intégrer une école d'ingénieur, sur
%concours  ou sur dossier. La durée de formation est de un an, sans possibilité
%de  redoublement. Il existe en France 31 classes de ce type. Pour de plus
%amples  renseignements, vous pouvez consulter le site internet du lycée
% 
% http://www.lycee-vieljeux.fr/cpge/ats.html
% 
% et/ou me contacter par mail à l'adresse ci-dessus.

\end{document}
 
 

