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%Pour ecrire de jolis systemes
% de Christain Tellecha
%un bon petit
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	pdfauthor={Xavier TISSERAND},     % author
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%%     grandes parenthèses  %%
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%signe inferieur ou egal francais
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%Définit un environnement partie avec un compteur%%
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%%	   derivee           %%
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%d droit de dx
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\title{BTS Groupement A -- Mathématiques}
\author{Éléments de correction}
\date{Session 2013}

\headheight 15.0 pt
\fancyhead[L]{BTS}
\fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement A}
\fancyhead[R]{2013}
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux,
2012-2013}}\\
\scriptsize\thepage/\pageref{LastPage}
}
\pagestyle{fancy}

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\begin{document}
\maketitle
\exo
\Partie{}
\begin{enumerate}
\item Voir annexe Table \ref{tab_ex1} et Figure \ref{fig_ex1}
\item 
	\begin{enumerate}
\item On a $S(0)=f(0)+f\pa{\frac{2\pi}{3}}+f\pa{\frac{4\pi}{3}}$ d'où

\[\boxed{S(0)=-1}\]

\item À $t=0$, $S(0)\neq 0$ par conséquent, \fbox{le système triphasé n'est pas équilibré.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
\item $a_0$ correspond à la valeur moyenne de la fonction, \cad aussi à un 
facteur $2\pi$ près, à l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des abscisses. 

Graphiquement, cette aire est nulle.

\[\boxed{a_0=0}\]
\item La fonction étant paire, \fbox{pour tout entier $n$ non nul, $b_n=0$.}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
			\begin{enumerate}[\textbullet]
				\item Sur $\interoo{0}{\frac{\pi}{3}},\quad g(t)=1$
				\item Sur $\interoo{\frac{\pi}{3}}{\frac{2\pi}{3}},\quad g(t)=0$
				\item Sur $\interoo{\frac{2\pi}{3}}{\pi},\quad g(t)=-1$
			\end{enumerate}
		\item On a 
\begin{align*}
a_n&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi g(t)\cos(nt) \dx[t]\\
&=\frac{4}{2\pi}\int_0^\pi g(t)\cos(nt) \dx[t]\\
&=\frac{2}{\pi}\pa{\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos(nt)\dx[t]+\int_{\frac{\pi}{3}}
^{\frac{2\pi}{3}} 0 \dx[t]+\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} (-\cos(nt))\dx[t]}\\
&=\frac{2}{\pi}\pa{\cro{\frac{\sin(nt)}{n}}_0^{\frac{\pi}{3}}+
\cro{-\frac{\sin(nt)}{n}}_{\frac{2\pi}{3}}^\pi}
\end{align*}
\cad 
\[
\boxed{
a_n=\frac{2}{n\pi}\pa{\sin\pa{\frac{n\pi}{3}}+\sin\pa{\frac{2n\pi}{3}}}
}
\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour $n=3k$, on a $a_{3k}=\frac{2}{3k\pi}\pa{\sin(k\pi)+\sin(2k\pi)}$ d'où
		
\[\boxed{a_{3k}=0}\]

\item Au vu de la question précédente, l'amplitude des harmoniques de rang 
multiple de $3$ est nulle. Par conséquent \fbox{le système triphasé est équilibré.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\exo
\Partie{}

\begin{enumerate}
\item On recherche une solution $y$ constante, alors $y(t) = a$ d'où 
$y′ (t) = 0 = y''(t)=0$.

En remplaçant dans l'équation $(E)$, on obtient immédiatement

\[\boxed{y(t)=10}\]

\item L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ s'écrit $r^2+r+0,25=0$, 
\cad $(r + 0,5)^2=0$. Elle admet donc une racine double $r=-0,5$. 

Les solutions de $(E_0)$ s'écrivent alors

\[\boxed{y(t)=(\lambda t + \mu) \e^{-0,5 t}\quad \text{ avec } \lambda \text{ et } \mu\text{ réels}}\]

\item La solution générale de l'équation $(E)$ s'obtient en ajoutant la solution générale de l'équation homogène associée $(E_0 )$ et une solution particulière de $(E)$.

\[\boxed{y(t)=10+(\lambda t + \mu) \e^{-0,5 t}\quad \text{ avec } \lambda \text{ et } \mu\text{ réels}}\]

\item La bonne réponse est

\[\boxed{10-(5t+10)\e^{-0,5 t}}\]

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la table des transformées de Laplace,

\begin{align*}
\laplace{s''(t)}&=p^2 S(p)-ps(0)-s'(0)\\
&=p^2 S(p) \text{ car } s(0)=0\text{ et } s'(0)=0
\end{align*}
et

\[\laplace{sin(2t)U(t)}=\frac{2}{p^2+4}\]

d'où, en prenant la transformée de Laplace de l'équation différentielle,

\begin{align*}
 p^2S(p)+9S(p)&=9\times \frac{2}{p^2+4}\\
(p^2+9)S(p)&=\frac{18}{p^2+4}
\end{align*}

\cad

\[\boxed{G(p)=\frac{18}{(p^2+4)(p^2+9)}}\]

\item On a, en réduisant au même dénominateur :
\begin{align*}
\frac{a}{p^2+4}+\frac{b}{p^2+9}&=\frac{a(p^2+9)+b(p^2+4)}{(p^2+4)(p^2+9)}\\
&=\frac{(a+b)p^2+9a+4b}{(p^2+4)(p^2+9)}
\end{align*}
Par identification avec la relation demandée, on obtient le système

\[\systeme{a+b=0,9a+4b=18}\]

d'où $a=-b=\frac{18}{5}$.

\[\boxed{S(p)=\frac{18}{5}\pa{\frac{1}{p^2+4}-\frac{1}{p^2+9}}}\]

\item On a par lecture de la table des transformées de Laplace

\[\invlaplace{\frac{1}{p^2+4}}=\frac12\sin(2t)U(t)\]
 
 et

\[\invlaplace{\frac{1}{p^2+9}}=\frac13\sin(3t)U(t)\]

alors, 
\begin{align*}
s(t)&=\frac{18}{5}\pa{\frac12\sin(2t)-\frac13\sin(3t)}U(t)\\
&=\pa{\frac95\sin(2t)-\frac65\sin(3t)}U(t)
\end{align*}
\cad

\[\boxed{s(t)=\pa{1,8\sin(2t)-1,2\sin(3t)}U(t)}\]

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
\item On lit graphiquement

\[\boxed{A\approx 2,8}\]

\item On a immédiatement

\[\boxed{f'(t)=3,6\pa{\cos(2t)-\cos(3t)}}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On utilise le formulaire
\begin{align*}
\cos(2t)-\cos(3t)&=-2\sin\pa{\frac{2t+3t}{2}}\sin\pa{\frac{2t-3t}{2}}\\
&=-2\sin\pa{\frac{5t}{2}}\sin\pa{\frac{-t}{2}}\\
&=2\sin\pa{\frac{5t}{2}}\sin\pa{\frac{t}{2}}
\end{align*}
d'où

\[\boxed{f'(t)=7,2\sin\pa{\frac{5t}{2}}\sin\pa{\frac{t}{2}}}\]

On en déduit immédiatement 

\[\boxed{f'\pa{\frac{2k\pi}{5}}=0}\]

\item Les points $M_1$,$M_2$, $M_3$ et $M_4$ correspondent aux extremums locaux 
de la fonction $f$, \cad qu'en l'abscisse de ces points, la dérivée de $f$ est 
nulle.
	\begin{enumerate}[\textbullet]
		\item L'abscisse de $M_1$ est $\frac{2\pi}{5}$
		\item L'abscisse de $M_2$ est $\frac{4\pi}{5}$
		\item L'abscisse de $M_3$ est $\frac{6\pi}{5}$
		\item L'abscisse de $M_4$ est $\frac{8\pi}{5}$
	\end{enumerate}
\item C'est le point $M_3$ qui correspond à l'amplitude maximale, donc 

\[A=f\pa{\frac{6\pi}{5}}=1,8\sin(2,4\pi)-1,2\sin(3,6\pi)\]
\cad

\[\boxed{A\approx 2,853}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
 \textbf{Document réponse 1 de l'exercice,\\
spécialités CIRA, Électrotechnique, IRIS,
Génie optique, Systèmes électroniques, TPIL}
\end{center}

\begin{table}[!ht]
\caption{Tableau des valeurs prises par $f\pa{t+\frac{4\pi}{3}}$ pour certaines
valeurs de $t$}
\label{tab_ex1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash$}SX<{$}|}}
\hline 
t&- \frac{4\pi}{3}&- \pi &- \frac{\pi}{2}&0&\frac{\pi}{3}&\pi& \frac{4\pi}{3}& \frac{5\pi}{3}\\ 
\hline
f\pa{t + \frac{4\pi}{3}}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{table}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\caption{Courbe représentative de la tension $f\pa{t+\frac{4\pi}{3}}$ }
\label{fig_ex1}

\psset{trigLabels=true,labelFontSize=\scriptstyle,algebraic}
\psset{xunit=\pstRadUnit,yunit=2cm}%
\begin{pspicture}(-6.5,-1.5)(6.5,1.5)
\psaxes[%
trigLabelBase=3,
dx=1,
%ticks=x,
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Dy=.5,
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(-2.5,-1)(0.5,-1)(0.5,1)(3.5,1)(3.5,-1)(6.5,-1)(6.5,-.3)
\end{pspicture}
\end{figure}

\vspace{12cm}

Suggestions ou remarques :
\href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}

%Xavier TISSERAND est professeur de mathématiques en cpge ATS au lycée Vieljeux
%de La Rochelle
% Cette classe ATS est exclusivement réservée aux étudiant(e)s titulaires
% d'un BTS ou DUT industriel qui veulent intégrer une école d'ingénieur, sur
%concours  ou sur dossier. La durée de formation est de un an, sans possibilité
%de  redoublement. Il existe en France 31 classes de ce type. Pour de plus
%amples  renseignements, vous pouvez consulter le site internet du lycée
% 
% http://www.lycee-vieljeux.fr/cpge/ats.html
% 
% et/ou me contacter par mail à l'adresse ci-dessus.
\end{document}