\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage[francais]{babel} %\usepackage{lmodern} \usepackage{amsfonts,mathrsfs} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{mathtools} \usepackage{pstricks-add,pst-eucl,pst-circ} \usepackage[hmargin=2cm, vmargin=2cm]{geometry} \usepackage{enumerate} %Pour bien gérer les espaces dans les tableaux \usepackage{cellspace} \usepackage{tabularx} % \cellspacetoplimit=4pt % \cellspacebottomlimit=4pt %pour centrer les colonnes avec tabularx \addparagraphcolumntypes{X} \usepackage{fancyhdr,lastpage} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Xavier TISSERAND}, % author } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Intervalle %%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\inter}[4] {\mathchoice {\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}% mode \displaystyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \textstyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \scriptstyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode %\scriptscriptstyle } \newcommand{\interff }[2]{\ensuremath{\inter{[}{#1}{#2}{]}}} %ferme ferme \newcommand{\interof }[2]{\ensuremath{\inter{]}{#1}{#2}{]}}} %ouvert ferme \newcommand{\interfo }[2]{\ensuremath{\inter{[}{#1}{#2}{[}}} %ferme ouvert \newcommand{\interoo }[2]{\ensuremath{\inter{]}{#1}{#2}{[}}} %ouvert ouvert %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% grands crochets %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\cro}[1]{\left[#1\right]} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% grandes parenthèses %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)} %e de l'exponentielle \newcommand{\e}{\mathrm{e}} %signe inferieur ou egal francais \renewcommand{\leq}{\leqslant} %signe superieur ou egal francais \renewcommand{\geq}{\geqslant} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Définit un environnement exercice avec un compteur%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{num} \newcommand{\exo}% {% \setcounter{Partie}{0}% raz compteur partie \addtocounter{num}{1}% {% \par % commence à une nouvelle ligne \noindent\textbf{Exercice~\arabic{num}~:~}% }% }% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Définit un environnement partie avec un compteur%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{Partie} \newcommand{\Partie}[1]% {% \goodbreak% Evite au tant que possible un titre en bas %de page tout seul \addtocounter{Partie}{1} \noindent\textbf{Partie \Alph{Partie} : #1}% \par% }% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% fonction de C^k %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\classe}[1]{\mathcal{C}^{#1}} \newcommand{\R}{\mathbf{R}} % lettres grecques à la française \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} %echelon unité \newcommand{\U}{\mathscr{U}} %transformée en Z (Z#1)(z) \newcommand{\ztrans}[1]{\pa{\mathcal{Z}#1}\pa{z}} %loi normale N \newcommand{\normale}[2]{\mathscr{N}\pa{#1\mathpunct{};#2}} %coefficient bonomial \newcommand{\coeff}[2]{\operatorname{C}_{#1}^{#2}} %E de Ensemble \newcommand{\ens}{\mathscr{E}} %d droit de dx \newcommand{\dd}{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}} %% notation differentielle \newcommand{\derive}[3][\null]{\frac{\dd^{#1}{#2}}{\dd{#3}^{#1}}} %j complexe \newcommand{\jj}{\mathrm{j}} %transformée de Laplace L[#1](p) \newcommand{\laplace}[1]{\mathscr{L}\cro{#1}\pa{p}} \newcommand{\cad}{c'est-à-dire } \providecommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} \everymath{\displaystyle} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % document tapé sous linux %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \title{\decofourleft~BTS Groupement A -- Mathématiques~\decofourright} \author{Éléments de correction} \date{Session 2012} \headheight 15.0 pt \fancyhead[L]{BTS groupement A 22} \fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement A} \fancyhead[R]{2012} \fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux, 2011-2012}}\\ \scriptsize\thepage/\pageref{LastPage} } \pagestyle{fancy} \begin{document} \maketitle \exo \begin{center} \textbf{ Spécialités Informatique et réseaux pour l'industrie et les services techniques -- Systèmes \'Electroniques - \'Electrotechnique -- Génie optique } \end{center} \Partie{} \begin{enumerate} \item La variable aléatoire $X$ suit $\normale{15}{0,35}$ alors $T=\frac{X-15}{0,35}$ suit $\normale{0}{1}$. \begin{enumerate} \item La pièce est conforme si $X\in\interff{14,3}{15,5}$. On a donc \begin{align*} p(14,3\leq X\leq 15,5)&=p\pa{\frac{14,3-15}{0,35}\leq T \leq \frac{15,5-15}{0,35}}\\ &=p(-2\leq T\leq 1,43)\\ &=\Pi(1,43)-\Pi(-2)\\ &=\Pi(1,43)-\cro{1-\Pi(2)}\\ &=\Pi(1,43)+\Pi(2)-1\\ &\approx 0,90 \end{align*} \item %\label{ex1_Aq1b} \begin{align*} p(15-h\leq X\leq 15+h)&=p\pa{\frac{-h}{0,35}\leq T\leq \frac{h}{0,35}}\\ &=\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}-\Pi\pa{\frac{-h}{0,35}}\\ &=\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}-\cro{1-\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}}\\ &=2\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}-1 \end{align*} On veut $2\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}-1=0,95$ \cad $\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}=0,975$. \`A l'aide de la table, on a $\Pi(1,96)=0,975$ d'où \begin{align*} \frac{h}{0,35}&=1,96\\ h&=1,96\times 0,35\\ &\boxed{h\approx 0,69} \end{align*} \item D'après la question précédente, on a \[ p(14,31\leq X\leq 15,69)=0,95 \] \cad que la probabilité qu'une pièce possède une épaisseur comprise entre $14,31$ et $15,69$ mm est égale à $0,95$. \end{enumerate} \item On a maintenant $m=14,9$. $X$ suit la loi normale $\normale{14,9}{\sigma}$ alors $T=\frac{X-14,9}{\sigma}$ suit $\normale{0}{1}$. Comme précédemment, on a \begin{align*} p(14,3\leq X\leq 15,5)&=p\pa{\frac{14,3-14.9}{\sigma}\leq T \leq \frac{15,5-14,9}{\sigma}}\\ &=p\pa{\frac{-0,6}{\sigma}\leq T\leq \frac{0,6}{\sigma}}\\ &=\Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}-\Pi\pa{\frac{-0,6}{\sigma}}\\ &=\Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}-\cro{1-\Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}}\\ &=2\Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}-1 \end{align*} Il faut alors résoudre \[ 2\Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}-1=0,9 \] \cad \[ \Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}=0,95 \] d'où \[ \frac{0,6}{\sigma}=1,645 \] alors \[ \boxed{\sigma\approx 0,36} \] \end{enumerate} \Partie{} \begin{enumerate} \item Les paramètres de la loi binomiale sont $\boxed{n=50\quad\text{et } p=0,1}$ \item On demande la probabilité que deux pièces soient non conformes. On demande alors de calculer $p(Y=2)$ sachant que, pour \[ 0\leq k \leq 50,\quad p(Y=k)=\coeff{50}{k}0,1^k\cdot 0,9^{50-k}, \] \cad ici $p(Y=2)=\coeff{50}{2}0,1^{2} \cdot 0,9^{48}$. On obtient \[ \boxed{p(Y=2)=0,08} \] \item \begin{enumerate} \item Par approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, l'espérance est conservée. Or l'espérance d'une loi binomiale est $E(Y)=np=50\times 0,1=5$. L'espérance d'une loi de Poisson est le paramètre $\lambda$ d'où \[ \boxed{\lambda=5} \] \item En appelant $Z$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de pièces non conformes suivant la loi de Poisson, on demande de calculer $p(Z\leq 2)$. \begin{align*} p(Z\leq 2)&=p(Z=0)+p(Z=1)+p(Z=2)\\ &\approx 0,007+0,034+0,084\\ &\boxed{p(Z\leq 2)\approx 0,13} \end{align*} \end{enumerate} \end{enumerate} \Partie{} \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé, nous avons : \begin{align*} p(A)&=0,4\\ p_A(C)&=0,9\\ p(\bar{C})&=0,06 \end{align*} Par conséquent, nous avons \begin{align*} p(\bar{A})&=0,6\\ p_A(\bar{C})&=0,1 \end{align*} On demande \begin{align*} p(A\cap \bar{C})&=p(A)\times p_A(\bar{C})\\ &=0,4\times 0,1\\ &\boxed{p(A\cap \bar{C})=0,04} \end{align*} \item Le tableau est le suivant : \begin{center} % \begin{table}[!ht] % % \label{tab1} \newcolumntype{M}{>{\centering\arraybackslash} X} \renewcommand{\arraystretch}{1} %%%%%%%%%%%%%%% réglage de hauteur n°1 \setlength{\cellspacetoplimit}{3pt} %%%%%%%%%%% réglage de hauteur n°2 \setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt} %%%%%%%% réglage de hauteur n°3 \begin{tabularx}{8cm}{|*{4}{>{$} S{M}<{$}|}} \hline &C&\bar{C}&\\ \hline A&0,36&0,04&0,4\\ \hline \bar{A}&0,58&0,02&0,6\\ \hline &0,94&0,06&1\\ \hline %\end{tabular} \end{tabularx} % \caption{Tableau de valeur de la suite $y$ (à compléter)} % \label{iris_a11} % \end{table} \end{center} \item On demande de calculer \begin{align*} p_C(A)&=\frac{p(A\cap C)}{p(C)}\\ &=\frac{0,36}{0,94}\\ &\boxed{ p_C(A)=0,38} \end{align*} \item On a $p(A\cap C)=0,36$ et $p(A)\times p(C)=0,4\times 0,94=0,38$, alors $p(A\cap C)\neq p(A)\times p(C)$ donc \begin{center} \fbox{les événements $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.} \end{center} \end{enumerate} \newpage \setcounter{num}{0} \exo \begin{center} \textbf{Spécialité Contrôle industriel et régulation automatique} \end{center} \Partie{} \begin{enumerate} \item L'équation différentielle s'écrit $y'(t)+0,5 y(t)=0$. La solution générale est alors donnée par \[ \boxed{ y_0(t)=k\e^{-0,5t},\quad\text{avec } k \in \R } \] \item On recherche une solution $h$ constante, alors $h(t)=a$ d'où $h'(t)=0$. En remplaçant dans l'équation $(E)$, on obtient immédiatement \[ \boxed{ h(t)=3 } \] \item La solution générale de l’équation $(E)$ s’obtient en ajoutant la solution générale de l’équation homogène associée et une solution particulière de $(E)$ \[ \boxed{ y(t)=k\e^{-0,5t}+3\quad\text{avec } k \in \R } \] Or on veut $s(0)=0$ d'où $k=-3$. On a alors \[ \boxed{ \text{Pour }t\in\interfo{0}{+\infty},\quad s(t)=3-3\e^{-0,5t} } \] \item \begin{enumerate} \item La fonction $s$ est dérivable sur $\interfo{0}{+\infty}$ et $s'(t)=1,5\e^{-0,5 t}\geq 0$. \begin{center} \fbox{ La fonction $s$ est strictement croissante sur $\interfo{0}{+\infty}$. } \end{center} \item Comme $\lim_{t\to +\infty}\e^{-0,5 t}=0$, alors on a \[ \boxed{ \lim_{t\to +\infty} s(t)=3=\ell } \] \end{enumerate} \item La bonne courbe est la courbe 2. Elle décrit bien une fonction vérifiant les propriétés suivantes : \begin{enumerate}[\textbullet] \item $s(0)=0$ : ceci élimine la courbe 1 pour laquelle $s(0)=1$. \item la fonction $s$ est strictement croissante sur $\interfo{0}{+\infty}$ : ceci élimine la courbe 3 : la fonction n'est pas strictement croissante. \item $\lim_{t\to +\infty} s(t)=3$ : ceci élimine la courbe 4 : la limite en $+\infty$ semble être $5$. \end{enumerate} \item Pour déterminer ce temps de réponse, on va résoudre l'inéquation $s(t)\geq 0,95\times 3$, \cad \begin{align*} 3-3\e^{-0,5 t}&\geq 3\times 0,95\\ 0,05&\geq \e^{-0,5 t}\\ \ln (0,05)&\geq -0,5 t\\ t&\geq -2\ln (0,05)\\ t&\geq 6 \end{align*} \begin{center} \fbox{ Le temps de réponse du système est de $6$. } \end{center} \end{enumerate} \Partie{} \begin{enumerate} \item \label{q1b_cirac} Avec $T_e=0,1$, la relation $(E')$ s'écrit \begin{align*} 20\pa{x(n+1)-x(n)}+x(n+1)&=3\\ 21 x(n+1)&=20 x(n)+3\\ x(n+1)&=\frac{20}{21}x(n)+\frac{3}{21} \end{align*} \cad \[ \boxed{ x(n+1)=\frac{20}{21}x(n)+\frac17 } \] \item On a $x(4)=\frac{20}{21}x(3)+\frac17$ d'où \[ \boxed{ x(4)\approx 0,531 } \] De même, $x(5)=\frac{20}{21}x(4)+\frac17$, d'où \[ \boxed{ x(5)\approx 0,649 } \] \item En prenant la transformée en $\mathcal{Z}$ de l'équation obtenue à la question \ref{q1b_cirac}, on obtient : \begin{align*} \ztrans{x(n+1)}&=\frac{20}{21}X(z)+\frac17 \ztrans{e(n)}\\ z\cro{X(z)-x(0)}&=\frac{20}{21}X(z)+\frac17\frac{z}{z-1}\quad \text{avec }x(0)=0\\ zX(z)&=\frac{20}{21}X(z)+\frac17\frac{z}{z-1}\\ \pa{z-\frac{20}{21}}X(z)&=\frac17\frac{z}{z-1} \end{align*} \cad \[ \boxed{ \frac{X(z)}{z}=\frac{1}{7(z-1)\pa{z-\frac{20}{21}}} } \] \item Par réduction au même dénominateur, on a \[ \frac{A}{z-1}-\frac{B}{z-\frac{20}{21}}=\frac{(A-B)z+\pa{-\frac{20}{21}+B}}{ (z-1)\pa{z-\frac{20}{21}}} \] D'où, on obtient, par identification, le système suivant \[ \begin{cases} A-B=0\\ -\frac{20}{21}A+B=\frac17 \end{cases} \] On obtient facilement $A=B=3$, \cad \[ \boxed{ \frac{X(z)}{z}= \frac{3}{z-1}-\frac{3}{z-\frac{20}{21}} } \] \item D'après la question précédente, on a donc $X(z)= 3\pa{\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-\frac{20}{21}}}$. En prenant la transformée inverse de ceci, on obtient \[ \boxed{ \text{Pour tout entier naturel }n,\quad x(n)=3\pa{1-\pa{\frac{20}{21}}^n} } \] \item \begin{enumerate} \item Comme $\pa{\frac{20}{21}}^n$ est une suite géométrique de raison $\frac{20}{21}\in\interoo{-1}{1}$, on a $\lim_{n\to +\infty} \pa{\frac{20}{21}}^n=0$, \cad \[ \boxed{ \lim_{n\to +\infty} x(n)=3 } \] \item On résout l'inéquation proposée : \begin{align*} 1-\pa{\frac{20}{21}}^n&\geq 0,95\\ 0,05&\geq \pa{\frac{20}{21}}^n\\ ln(0,05)&\geq n\ln\pa{\frac{20}{21}}\\ n&\geq \frac{\ln (0,05)}{\ln\pa{\frac{20}{21}}}\qquad \ln\pa{\frac{20}{21}}<0 \end{align*} \cad \[ \boxed{n\geq n_0=62} \] \item Le temps de réponse du système est alors $n_0 T_e$, \cad \begin{center} \fbox{ Le temps de réponse du système est de $6,2$ secondes, à $10^{-2}$ près. } \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \exo \begin{center} \textbf{ Spécialités Informatique et réseaux pour l'industrie et les services techniques -- Systèmes \'Electroniques - \'Electrotechnique -- Génie optique -- Contrôle industriel et régulation automatique} \end{center} \Partie{} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Voir figure \ref{a12_ex2_e} \begin{figure}[!ht] \centering \psset{xunit=1cm,yunit=.5cm} \begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(10.5,12) \psaxes[labels=all]{-}(0,0)(-2.5,-0.5)(10.5,10.5) \psline[linecolor=red,linewidth=0.5mm]{-[}(-2.3,0)(0,0) \psline[linecolor=red,linewidth=0.5mm]{[-}(0,10)(10.5,10) \end{pspicture} \caption{Représentation graphique de la fonction $e$} \label{a12_ex2_e} \end{figure} \item On a $\boxed{E(p)=\frac{10}{p}}$ \end{enumerate} \item D'après le formulaire, sachant que $v(0^+)=0$, on a \begin{align*} \laplace{\derive{v}{t}}&=pV(p)-v(0^+)\\ &=V(p) \end{align*} En prenant la transformée de Laplace de l'équation différentielle et en remplaçant, on obtient \begin{align*} RCpV(p)+V(p)&=E(p)\\ (1+RCp)V(p)&=E(p) \end{align*} \cad \[ \boxed{V(p)=\frac{10}{p(1+RCp)}} \] \item \begin{enumerate} \item Par réduction au même dénominateur, on a \begin{align*} \frac{10}{p}-\frac{10}{p+\frac{1}{RC}}&=\frac{10}{p\pa{p+\frac{1}{RC}}} \times\cro{p+\frac{1}{RC}-p}\\ &=\frac{10}{p\pa{p+\frac{1}{RC}}}\times \frac{1}{RC}\\ &=\frac{10}{p(1+RCp)} \end{align*} \cad \[ \boxed{ V(p)=\frac{10}{p}-\frac{10}{p+\frac{1}{RC}} } \] \item Par lecture inverse de la table de transformée de Laplace, on obtient \[ V(t)=10\U(t)-10\e^{-\frac{t}{RC}}\U(t) \] \cad \[ \boxed{ \text{pour }t\geq 0,\quad v(t)=10\pa{1-\e^{-\frac{t}{RC}}} } \] \end{enumerate} \end{enumerate} \Partie{} \begin{enumerate} \item On a \begin{align*} T(\omega)&=\frac{\frac{1}{\jj C \omega}}{R+\frac{1}{\jj C \omega}}\\ &=\frac{1}{\jj C \omega\pa{R+\frac{1}{\jj C \omega}}}\\ &=\frac{1}{1+\jj RC\omega}\\ &\boxed{T(\omega)=\frac{1}{1+\jj\frac{\omega}{\omega_0}}\quad \text{avec }\omega_0=\frac{1}{RC}} \end{align*} \item On a \[ \boxed{T(\omega_0)=\frac{1}{1+\jj}} \] d'où \[ \boxed{ \abs{T(\omega_0)}=\frac{1}{\sqrt{2}} } \] On a aussi \[ \arg(T(\omega_0))=-\arg(1+\jj)\\ \] \cad \[ \boxed{ \arg(T(\omega_0))=-\frac{\pi}{4} } \] \item Les bonnes réponses sont : \begin{enumerate} \item \[ \boxed{ \abs{T(\omega)}=\frac{1}{\sqrt{1+\pa{\frac{\omega}{\omega_0}}^2}} } \] \item \[ \boxed{ \arg(T(\omega))=-\arctan\pa{\frac{\omega}{\omega_0}} } \] \end{enumerate} \item En prenant $\omega=\omega_0$ dans les formules précédentes, on a bien \[ \boxed{ \abs{T(\omega_0)}=\frac{1}{\sqrt{2}} } \] et \[ \boxed{ \arg(T(\omega_0))=-\arctan(1)=-\frac{\pi}{4} } \] \item Pour $\omega=\omega_0$, le gain, en décibels, est \begin{align*} G_{\text{db}}(\omega_0)&=\frac{20}{\ln 10}\ln\pa{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ &=\frac{-10}{\ln 10}\ln 2 \end{align*} \cad \[ \boxed{ G_{\text{db}}(\omega_0)=-3 \text{ dB} } \] \item \begin{enumerate} \item On a \[ \boxed{ \phi(\omega_0)=-\frac{\pi}{4} } \] \item Voir figure \ref{a12_ex2_figc} \item d'où, par lecture graphique : \[ \boxed{ G_{\text{db}}(\omega_0)=-3 \text{ dB} } \] \end{enumerate} \item En appelant, $\omega_1$ la pulsation correspondant au point $M_1$, on $\phi(\omega_1)<\phi(\omega_0)$. Sachant que la fonction $\phi$ est strictement décroissante sur $\interoo{0}{+\infty}$, on peut en déduire que \[ \boxed{ \omega_1>\omega_0 } \] \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse} %Toutes spécialités} \end{center} \begin{figure}[!ht] \centering \psset{xunit=5 cm,yunit=1cm,algebraic} \begin{pspicture}(-2.2,-17.5)(1,2.5) \psaxes[ labelFontSize=\scriptstyle,% xAxis=true,% yAxis=true,% Dx=0.2,% Dy=1% ]{-}(0,0)(-2,-17)(.8,2) \parametricplot[ linecolor=blue, plotpoints=1000 ]{0}{7}{-ATAN(t)|-10*log(1+t^2)} %courbe parametree \psline(-1.57,2)(-1.57,-17) \pstGeonode[ PosAngle={0,135}, %position des labels PointSymbol=x,%marquage des points PointName={M_1,M_0}]%nom des points (-1.3,-11.5){A}(-0.785,-3){B} \psline[linestyle=dashed](-.785,0.5)(-.785,-3.5) \psline[linestyle=dashed](-.9,-3)(.1,-3) \end{pspicture} \caption{Courbe décrite par le point $M(\omega)$ } \label{a12_ex2_figc} \end{figure} \vspace{2cm} Suggestions ou remarques : \href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr} \end{document}