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%Pour bien gérer les espaces dans les tableaux
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% \cellspacetoplimit=4pt
% \cellspacebottomlimit=4pt
%pour centrer les colonnes avec tabularx
\addparagraphcolumntypes{X}
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\hypersetup{
	pdfauthor={Xavier TISSERAND},     % author
  	}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%            Intervalle             %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\inter}[4]
{\mathchoice
{\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}% mode \displaystyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \textstyle
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}
\newcommand{\interff }[2]{\ensuremath{\inter{[}{#1}{#2}{]}}} %ferme ferme
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grands crochets      %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grandes parenthèses  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)}

%e de l'exponentielle
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}

%signe inferieur ou egal francais
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

%signe superieur ou egal francais
\renewcommand{\geq}{\geqslant}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement exercice avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{num}
\newcommand{\exo}%
	{%
	\setcounter{Partie}{0}% raz compteur partie
	\addtocounter{num}{1}%
	{%
	\par % commence à une nouvelle ligne
	\noindent\textbf{Exercice~\arabic{num}~:~}%
	}%
	}%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement partie avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{Partie}
\newcommand{\Partie}[1]%
   {%
   \goodbreak% Evite au tant que possible un titre en bas
	%de page tout seul
   \addtocounter{Partie}{1}
   \noindent\textbf{Partie \Alph{Partie} : #1}%
   \par%
   }% 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%    fonction de   C^k  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\classe}[1]{\mathcal{C}^{#1}}



\newcommand{\R}{\mathbf{R}}

% lettres grecques à la française
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} 

%echelon unité
\newcommand{\U}{\mathscr{U}}

%transformée en Z (Z#1)(z)
\newcommand{\ztrans}[1]{\pa{\mathcal{Z}#1}\pa{z}}


%loi normale N
\newcommand{\normale}[2]{\mathscr{N}\pa{#1\mathpunct{};#2}}

%coefficient bonomial
\newcommand{\coeff}[2]{\operatorname{C}_{#1}^{#2}}

%E de Ensemble
\newcommand{\ens}{\mathscr{E}}

%d droit de dx
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%% notation differentielle

\newcommand{\derive}[3][\null]{\frac{\dd^{#1}{#2}}{\dd{#3}^{#1}}}

%j complexe
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%transformée de Laplace L[#1](p)
\newcommand{\laplace}[1]{\mathscr{L}\cro{#1}\pa{p}}

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\providecommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}


\everymath{\displaystyle}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%    document tapé sous linux
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{\decofourleft~BTS Groupement A -- Mathématiques~\decofourright}
\author{Éléments de correction}
\date{Session 2012}

\headheight 15.0 pt
\fancyhead[L]{BTS groupement A 22}
\fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement A}
\fancyhead[R]{2012}
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux,
2011-2012}}\\
\scriptsize\thepage/\pageref{LastPage}
}
\pagestyle{fancy}


\begin{document}
\maketitle

\exo
\begin{center}
\textbf{ Spécialités Informatique et réseaux pour l'industrie
et les services techniques -- Systèmes \'Electroniques - \'Electrotechnique --
Génie optique }
\end{center}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item La variable aléatoire $X$ suit $\normale{15}{0,35}$ alors
$T=\frac{X-15}{0,35}$ suit $\normale{0}{1}$.

\begin{enumerate}
 \item La pièce est conforme si $X\in\interff{14,3}{15,5}$. On a donc 
\begin{align*}
 p(14,3\leq X\leq 15,5)&=p\pa{\frac{14,3-15}{0,35}\leq T \leq
\frac{15,5-15}{0,35}}\\
&=p(-2\leq T\leq 1,43)\\
&=\Pi(1,43)-\Pi(-2)\\
&=\Pi(1,43)-\cro{1-\Pi(2)}\\
&=\Pi(1,43)+\Pi(2)-1\\
&\approx 0,90
\end{align*}

\item %\label{ex1_Aq1b}
\begin{align*}
 p(15-h\leq X\leq 15+h)&=p\pa{\frac{-h}{0,35}\leq T\leq
\frac{h}{0,35}}\\
&=\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}-\Pi\pa{\frac{-h}{0,35}}\\
&=\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}-\cro{1-\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}}\\
&=2\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}-1
\end{align*}
On veut $2\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}-1=0,95$ \cad
$\Pi\pa{\frac{h}{0,35}}=0,975$.

\`A l'aide de la table, on a $\Pi(1,96)=0,975$ d'où 
\begin{align*}
 \frac{h}{0,35}&=1,96\\
h&=1,96\times 0,35\\
&\boxed{h\approx 0,69}
\end{align*}

\item D'après la question précédente, on a 
\[
 p(14,31\leq X\leq 15,69)=0,95
\]
\cad que la probabilité qu'une pièce possède une épaisseur comprise entre
$14,31$ et $15,69$ mm est égale à $0,95$.
\end{enumerate}

\item On a maintenant $m=14,9$.

$X$ suit la loi normale $\normale{14,9}{\sigma}$ alors
$T=\frac{X-14,9}{\sigma}$ suit $\normale{0}{1}$.

Comme précédemment, on a
\begin{align*}
 p(14,3\leq X\leq 15,5)&=p\pa{\frac{14,3-14.9}{\sigma}\leq T \leq
\frac{15,5-14,9}{\sigma}}\\
&=p\pa{\frac{-0,6}{\sigma}\leq T\leq \frac{0,6}{\sigma}}\\
&=\Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}-\Pi\pa{\frac{-0,6}{\sigma}}\\
&=\Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}-\cro{1-\Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}}\\
&=2\Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}-1
\end{align*}

Il faut alors résoudre
\[
 2\Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}-1=0,9
\]
\cad
\[
 \Pi\pa{\frac{0,6}{\sigma}}=0,95
\]
d'où
\[
 \frac{0,6}{\sigma}=1,645
\]
alors
\[
 \boxed{\sigma\approx 0,36}
\]

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item Les paramètres de la loi binomiale sont $\boxed{n=50\quad\text{et }
p=0,1}$

\item On demande la probabilité que deux pièces soient non conformes.
On demande alors de calculer $p(Y=2)$ sachant que, pour 
\[
0\leq k \leq 50,\quad p(Y=k)=\coeff{50}{k}0,1^k\cdot 0,9^{50-k}, 
\]
 \cad
ici $p(Y=2)=\coeff{50}{2}0,1^{2} \cdot 0,9^{48}$.

On obtient
\[
 \boxed{p(Y=2)=0,08}
\]

\item 

\begin{enumerate}
 \item Par approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, l'espérance
est conservée. Or l'espérance d'une loi binomiale est $E(Y)=np=50\times 0,1=5$.

L'espérance d'une loi de Poisson est le paramètre $\lambda$ d'où
\[
 \boxed{\lambda=5}
\]

\item En appelant $Z$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de
pièces non conformes suivant la loi de Poisson, on demande de calculer $p(Z\leq
2)$.

\begin{align*}
 p(Z\leq 2)&=p(Z=0)+p(Z=1)+p(Z=2)\\
&\approx 0,007+0,034+0,084\\
&\boxed{p(Z\leq 2)\approx 0,13}
\end{align*}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, nous avons :
\begin{align*}
 p(A)&=0,4\\
p_A(C)&=0,9\\
p(\bar{C})&=0,06
\end{align*}

Par conséquent, nous avons
\begin{align*}
 p(\bar{A})&=0,6\\
p_A(\bar{C})&=0,1
\end{align*}

On demande 
\begin{align*}
 p(A\cap \bar{C})&=p(A)\times p_A(\bar{C})\\
&=0,4\times 0,1\\
&\boxed{p(A\cap \bar{C})=0,04}
\end{align*}

\item Le tableau est le suivant :  
\begin{center}
% \begin{table}[!ht]
% 
% \label{tab1}


\newcolumntype{M}{>{\centering\arraybackslash} X}
\renewcommand{\arraystretch}{1} %%%%%%%%%%%%%%% réglage de hauteur n°1
\setlength{\cellspacetoplimit}{3pt} %%%%%%%%%%% réglage de hauteur n°2
\setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt} %%%%%%%% réglage de hauteur n°3




\begin{tabularx}{8cm}{|*{4}{>{$} S{M}<{$}|}}
\hline
&C&\bar{C}&\\
\hline
A&0,36&0,04&0,4\\
\hline
\bar{A}&0,58&0,02&0,6\\
\hline
&0,94&0,06&1\\
\hline
%\end{tabular}
\end{tabularx}
% \caption{Tableau de valeur de la suite $y$ (à compléter)}
% \label{iris_a11}
% \end{table}
\end{center}

\item On demande de calculer
\begin{align*}
 p_C(A)&=\frac{p(A\cap C)}{p(C)}\\
&=\frac{0,36}{0,94}\\
&\boxed{ p_C(A)=0,38}
\end{align*}

\item On a $p(A\cap C)=0,36$ et $p(A)\times p(C)=0,4\times 0,94=0,38$, alors
$p(A\cap C)\neq p(A)\times p(C)$ donc

\begin{center}
\fbox{les événements $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
 \setcounter{num}{0}

\exo
\begin{center}
 \textbf{Spécialité Contrôle industriel et régulation automatique}
\end{center}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item L'équation différentielle s'écrit $y'(t)+0,5 y(t)=0$. La solution
générale est alors donnée par
\[
\boxed{
 y_0(t)=k\e^{-0,5t},\quad\text{avec } k \in \R
}
\]

\item On recherche une solution $h$ constante, alors $h(t)=a$ d'où $h'(t)=0$.

En remplaçant dans l'équation $(E)$, on obtient immédiatement
\[
 \boxed{
  h(t)=3
 }
\]

\item La solution générale de l’équation $(E)$ s’obtient en ajoutant la solution
générale de l’équation homogène associée  et une solution particulière
de $(E)$

\[
 \boxed{
  y(t)=k\e^{-0,5t}+3\quad\text{avec } k \in \R
 }
\]

Or on veut $s(0)=0$ d'où $k=-3$. On a alors
\[
 \boxed{
\text{Pour }t\in\interfo{0}{+\infty},\quad  s(t)=3-3\e^{-0,5t}
 }
\]

\item 

\begin{enumerate}
 \item La fonction $s$ est dérivable sur $\interfo{0}{+\infty}$ et
$s'(t)=1,5\e^{-0,5 t}\geq 0$.

\begin{center}
 \fbox{
  La fonction $s$ est strictement croissante sur $\interfo{0}{+\infty}$.
 }
\end{center}

\item Comme $\lim_{t\to +\infty}\e^{-0,5 t}=0$, alors on a 
\[
 \boxed{
  \lim_{t\to +\infty} s(t)=3=\ell
 }
\]

\end{enumerate}

\item La bonne courbe est la courbe 2. Elle décrit bien une fonction vérifiant
les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}[\textbullet]
 \item $s(0)=0$ : ceci élimine la courbe 1 pour laquelle $s(0)=1$.
\item la fonction $s$ est strictement croissante sur $\interfo{0}{+\infty}$ :
ceci élimine la courbe 3 : la fonction n'est pas strictement croissante.
\item $\lim_{t\to +\infty} s(t)=3$ : ceci élimine la courbe 4 : la limite en
$+\infty$ semble être $5$.
\end{enumerate}

\item Pour déterminer ce temps de réponse, on va résoudre l'inéquation
$s(t)\geq 0,95\times 3$, \cad
\begin{align*}
 3-3\e^{-0,5 t}&\geq 3\times 0,95\\
0,05&\geq \e^{-0,5 t}\\
\ln (0,05)&\geq -0,5 t\\
t&\geq -2\ln (0,05)\\
t&\geq 6
\end{align*}
\begin{center}
 \fbox{
  Le temps de réponse du système est de $6$.
 }
\end{center}
\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item \label{q1b_cirac} Avec $T_e=0,1$, la relation $(E')$ s'écrit 
\begin{align*}
 20\pa{x(n+1)-x(n)}+x(n+1)&=3\\
21 x(n+1)&=20 x(n)+3\\
x(n+1)&=\frac{20}{21}x(n)+\frac{3}{21}
\end{align*}
\cad
\[
 \boxed{
  x(n+1)=\frac{20}{21}x(n)+\frac17
 }
\]

\item On a $x(4)=\frac{20}{21}x(3)+\frac17$ d'où
\[
 \boxed{
  x(4)\approx 0,531
 }
\]
De même, $x(5)=\frac{20}{21}x(4)+\frac17$, d'où
\[
 \boxed{
  x(5)\approx 0,649
 }
\]

\item En prenant la transformée en $\mathcal{Z}$ de l'équation obtenue à la
question \ref{q1b_cirac}, on obtient :
\begin{align*}
 \ztrans{x(n+1)}&=\frac{20}{21}X(z)+\frac17 \ztrans{e(n)}\\
z\cro{X(z)-x(0)}&=\frac{20}{21}X(z)+\frac17\frac{z}{z-1}\quad \text{avec
}x(0)=0\\
zX(z)&=\frac{20}{21}X(z)+\frac17\frac{z}{z-1}\\
\pa{z-\frac{20}{21}}X(z)&=\frac17\frac{z}{z-1}
\end{align*}
\cad
\[
 \boxed{
  \frac{X(z)}{z}=\frac{1}{7(z-1)\pa{z-\frac{20}{21}}}
 }
\]
\item Par réduction au même dénominateur, on a
\[
 \frac{A}{z-1}-\frac{B}{z-\frac{20}{21}}=\frac{(A-B)z+\pa{-\frac{20}{21}+B}}{
(z-1)\pa{z-\frac{20}{21}}}
\]
D'où, on obtient, par identification, le système suivant
\[
 \begin{cases}
  A-B=0\\
-\frac{20}{21}A+B=\frac17
\end{cases}
\]

On obtient facilement $A=B=3$, \cad
\[
 \boxed{
  \frac{X(z)}{z}= \frac{3}{z-1}-\frac{3}{z-\frac{20}{21}}
 }
\]

\item D'après la question précédente, on a donc $X(z)=
3\pa{\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-\frac{20}{21}}}$. En prenant la transformée
inverse de ceci, on obtient 
\[
 \boxed{
  \text{Pour tout entier naturel }n,\quad x(n)=3\pa{1-\pa{\frac{20}{21}}^n}
 }
\]

\item 

\begin{enumerate}
 \item Comme $\pa{\frac{20}{21}}^n$ est une suite géométrique de raison
$\frac{20}{21}\in\interoo{-1}{1}$, on a $\lim_{n\to +\infty}
\pa{\frac{20}{21}}^n=0$, \cad
\[
 \boxed{
  \lim_{n\to +\infty} x(n)=3
 }
\]
\item On résout l'inéquation proposée :
\begin{align*}
 1-\pa{\frac{20}{21}}^n&\geq 0,95\\
0,05&\geq \pa{\frac{20}{21}}^n\\
ln(0,05)&\geq n\ln\pa{\frac{20}{21}}\\
n&\geq \frac{\ln (0,05)}{\ln\pa{\frac{20}{21}}}\qquad \ln\pa{\frac{20}{21}}<0
\end{align*}
\cad
\[
 \boxed{n\geq n_0=62}
\]

\item Le temps de réponse du système est alors $n_0 T_e$, \cad
\begin{center}
 \fbox{
  Le temps de réponse du système est de $6,2$ secondes, à $10^{-2}$ près.
 }
\end{center}

\end{enumerate}


\end{enumerate}

\newpage

\exo

\begin{center}
\textbf{ Spécialités Informatique et réseaux pour l'industrie
et les services techniques -- Systèmes \'Electroniques - \'Electrotechnique --
Génie optique -- Contrôle industriel et régulation automatique}
\end{center}

\Partie{}
\begin{enumerate}
 \item
\begin{enumerate}
 \item Voir figure \ref{a12_ex2_e}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(10.5,12)
\psaxes[labels=all]{-}(0,0)(-2.5,-0.5)(10.5,10.5)
\psline[linecolor=red,linewidth=0.5mm]{-[}(-2.3,0)(0,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=0.5mm]{[-}(0,10)(10.5,10)
 \end{pspicture}
\caption{Représentation graphique de la fonction $e$}
\label{a12_ex2_e}
\end{figure}

\item On a $\boxed{E(p)=\frac{10}{p}}$
\end{enumerate}
\item D'après le formulaire, sachant que $v(0^+)=0$, on a 
\begin{align*}
 \laplace{\derive{v}{t}}&=pV(p)-v(0^+)\\
&=V(p)
\end{align*}

En prenant la transformée de Laplace de l'équation différentielle et en
remplaçant, on obtient 
\begin{align*}
 RCpV(p)+V(p)&=E(p)\\
(1+RCp)V(p)&=E(p)
\end{align*}
\cad
\[
 \boxed{V(p)=\frac{10}{p(1+RCp)}}
\]

\item 
\begin{enumerate}
 \item Par réduction au même dénominateur, on a 
\begin{align*}
 \frac{10}{p}-\frac{10}{p+\frac{1}{RC}}&=\frac{10}{p\pa{p+\frac{1}{RC}}}
\times\cro{p+\frac{1}{RC}-p}\\
&=\frac{10}{p\pa{p+\frac{1}{RC}}}\times \frac{1}{RC}\\
&=\frac{10}{p(1+RCp)}
\end{align*}
\cad
\[
 \boxed{
V(p)=\frac{10}{p}-\frac{10}{p+\frac{1}{RC}}
}
\]

\item Par lecture inverse de la table de transformée de Laplace, on obtient
\[
V(t)=10\U(t)-10\e^{-\frac{t}{RC}}\U(t)
\]
\cad
\[
 \boxed{
  \text{pour }t\geq 0,\quad v(t)=10\pa{1-\e^{-\frac{t}{RC}}}
 }
\]

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item On a 
\begin{align*}
 T(\omega)&=\frac{\frac{1}{\jj C \omega}}{R+\frac{1}{\jj C \omega}}\\
&=\frac{1}{\jj C \omega\pa{R+\frac{1}{\jj C \omega}}}\\
&=\frac{1}{1+\jj RC\omega}\\
&\boxed{T(\omega)=\frac{1}{1+\jj\frac{\omega}{\omega_0}}\quad \text{avec
}\omega_0=\frac{1}{RC}}
\end{align*}
\item On a 
\[
 \boxed{T(\omega_0)=\frac{1}{1+\jj}}
\]
d'où
\[
 \boxed{
  \abs{T(\omega_0)}=\frac{1}{\sqrt{2}}
 }
\]
On a aussi
\[
 \arg(T(\omega_0))=-\arg(1+\jj)\\
\]
\cad 
\[
 \boxed{
  \arg(T(\omega_0))=-\frac{\pi}{4}
 }
\]

\item 
Les bonnes réponses sont :
\begin{enumerate}
 \item 
\[
\boxed{
 \abs{T(\omega)}=\frac{1}{\sqrt{1+\pa{\frac{\omega}{\omega_0}}^2}}
}
\]
\item 
\[
 \boxed{
    \arg(T(\omega))=-\arctan\pa{\frac{\omega}{\omega_0}}
 }
\]

\end{enumerate}
\item En prenant $\omega=\omega_0$ dans les formules précédentes, on a bien 
\[
 \boxed{
  \abs{T(\omega_0)}=\frac{1}{\sqrt{2}}
 }
\]
 et 
\[
 \boxed{
  \arg(T(\omega_0))=-\arctan(1)=-\frac{\pi}{4}
 }
\]
\item Pour $\omega=\omega_0$, le gain, en décibels, est
\begin{align*}
 G_{\text{db}}(\omega_0)&=\frac{20}{\ln 10}\ln\pa{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\
&=\frac{-10}{\ln 10}\ln 2
\end{align*}
\cad
\[
 \boxed{
   G_{\text{db}}(\omega_0)=-3 \text{ dB}
 }
\]
\item 

\begin{enumerate}
 \item On a 
\[
 \boxed{
  \phi(\omega_0)=-\frac{\pi}{4}
 }
\]
\item Voir figure \ref{a12_ex2_figc}


\item d'où, par lecture graphique :
\[
 \boxed{
   G_{\text{db}}(\omega_0)=-3 \text{ dB}
 }
\]
\end{enumerate}
\item En appelant, $\omega_1$ la pulsation correspondant au point $M_1$, on 
$\phi(\omega_1)<\phi(\omega_0)$.

Sachant que la fonction $\phi$ est strictement décroissante sur
$\interoo{0}{+\infty}$, on peut en déduire que
\[
 \boxed{
  \omega_1>\omega_0
 }
\]

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
  \textbf{Document réponse}
%Toutes spécialités}
\end{center}


\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{xunit=5 cm,yunit=1cm,algebraic}
\begin{pspicture}(-2.2,-17.5)(1,2.5)
 \psaxes[
labelFontSize=\scriptstyle,%
xAxis=true,%
yAxis=true,%
Dx=0.2,%
Dy=1%
]{-}(0,0)(-2,-17)(.8,2)

\parametricplot[
linecolor=blue,
plotpoints=1000
]{0}{7}{-ATAN(t)|-10*log(1+t^2)} %courbe parametree

\psline(-1.57,2)(-1.57,-17)

\pstGeonode[
PosAngle={0,135}, %position des labels
PointSymbol=x,%marquage des points
PointName={M_1,M_0}]%nom des points
(-1.3,-11.5){A}(-0.785,-3){B}

\psline[linestyle=dashed](-.785,0.5)(-.785,-3.5)
\psline[linestyle=dashed](-.9,-3)(.1,-3)


\end{pspicture}
\caption{Courbe décrite par le point  $M(\omega)$ }
\label{a12_ex2_figc}
\end{figure}

\vspace{2cm}
Suggestions ou remarques :
\href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}
\end{document}
