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%Pour bien gérer les espaces dans les tableaux
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%pour centrer les colonnes avec tabularx
\addparagraphcolumntypes{X}
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	pdfauthor={Xavier TISSERAND},     % author
  	}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%            Intervalle             %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\inter}[4]
{\mathchoice
{\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}% mode \displaystyle
{\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \textstyle
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}

\newcommand{\interff }[2]{\ensuremath{\inter{[}{#1}{#2}{]}}} %ferme ferme
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grands crochets      %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}[1]{\left[#1\right]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     grandes parenthèses  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%e de l'exponentielle
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}

%d droit de l'integrale
\newcommand{\dd}{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}}


%signe inferieur ou egal francais
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

%signe superieur ou egal francais
\renewcommand{\geq}{\geqslant}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement exercice avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{num}
\newcommand{\exo}%
	{%
	\setcounter{Partie}{0}% raz compteur partie
	\addtocounter{num}{1}%
	{%
	\par % commence à une nouvelle ligne
	\noindent\textbf{Exercice~\arabic{num}~:~}%
	}%
	}%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Définit un environnement partie avec un compteur%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{Partie}
\newcommand{\Partie}[1]%
   {%
   \goodbreak% Evite au tant que possible un titre en bas
	%de page tout seul
   \addtocounter{Partie}{1}
   \noindent\textbf{Partie \Alph{Partie} : #1}%
   \par%
   }% 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%    fonction de   C^k  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\classe}[1]{\mathcal{C}^{#1}}



\newcommand{\R}{\mathbf{R}}

% lettres grecques à la française
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} 

%echelon unité
\newcommand{\U}{\mathscr{U}}

%transformée en Z (Z#1)(z)
\newcommand{\ztrans}[1]{\pa{\mathcal{Z}#1}\pa{z}}


%loi normale N
\newcommand{\normale}[2]{\mathscr{N}\pa{#1\mathpunct{};#2}}

%coefficient bonomial
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\newcommand{\cad}{c'est-à-dire }


\everymath{\displaystyle}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%    document tapé sous linux
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{\decofourleft~BTS Groupement A -- Mathématiques~\decofourright}
\author{Éléments de correction}
\date{Session 2011}



\headheight 15.0 pt
\fancyhead[L]{BTS}
\fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement A}
\fancyhead[R]{2011}
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux,
2010-2011}}\\
\scriptsize\thepage/\pageref{LastPage}
}
\pagestyle{fancy}


\begin{document}
\maketitle


\exo 

\begin{center}
 \textbf{Spécialités CIRA, IRIS,  Systèmes électroniques, TPIL}
\end{center}

\Partie{QCM}
Les bonnes réponses sont :
\begin{enumerate}
 \item $f(t)=10\pa{\U(t)-\U(t-1)}$

\item  $S(p)=\frac{1}{1+0,005p}V(p)$

\item $s(t)=k\e^{-200t}+2$
\end{enumerate}

\Partie{Simulation numérique}

\begin{enumerate}
 \item Comme $T_e=0,5.10^{-3}$ alors $\frac{0,005}{T_e}=10$, l'équation devient
alors :

\begin{align*}
 10\pa{y(n)-y(n-1)}+y(n)&=x(n)\\
\Longleftrightarrow 
11 y(n)-10y(n-1)&=x(n)
\end{align*}

\item 

\begin{enumerate}
 \item On a, sachant que $x(n)=2e(n)$, en prenant la transformée en $Z$ de
l'équation précédente :
\begin{align*}
 11Y(z)-10\ztrans{y(n-1)}&=2\ztrans{e(n)}\\
11 Y(z)-10z^{-1}Y(z)&=2\frac{z}{z-1}\\
\pa{11-\frac{10}{z}}Y(z)&=\frac{2z}{z-1}\\
11\pa{z-\frac{10}{11}}\frac{Y(z)}{z}&=\frac{2z}{z-1}
\end{align*}
\[
 \frac{Y(z)}{z}=\frac{2}{11}\times \frac{2z}{(z-1)\pa{z-\frac{10}{11}}}
\]

\item Une réduction au même dénominateur est nécessaire afin de montrer que

\[
 \frac{2}{11}\pa{\frac{11z}{z-1}-\frac{10z}{z-\frac{10}{11}}}=\frac{2}{11}
\times \frac{z^2}{(z-1)\pa{z-\frac{10}{11}}}=Y(z)
\]

\item Par développement et simplification de l'expression précédente, on
obtient :

\[
 Y(z)=2\times\frac{z}{z-1}-2\times\frac{10}{11}\times\frac{z}{z-\frac{10}{11}}
\]

\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
 \item Par lecture inverse de la table des transformées en $Z$, on obtient :
\begin{align*}
  y(n)&=2e(n)-2\times\frac{10}{11}\times\pa{\frac{10}{11}}^n e(n)\\
&=2e(n)-2\times\pa{\frac{10}{11}}^{n+1} e(n)
\end{align*}

\item Comme $\pa{\frac{10}{11}}^{n+1}$ est une suite géométrique de raison
$\frac{10}{11}\in\interoo{-1}{1}$ alors $\lim_{n\to +\infty}
\pa{\frac{10}{11}}^{n+1} =0$ d'où
\[
 \lim_{n\to +\infty} y(n)=2
\]

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item Voir table \ref{tab_a11} du document réponse numéro 1.
\item Voir figure \ref{a11_iris_ex1} du document réponse numéro 1.
\end{enumerate}


\newpage

\setcounter{num}{0}

\exo 

\begin{center}
\textbf{ Spécialités \'Electrotechnique -- Génie optique }
\end{center}

\Partie{}
Les bonnes réponses sont :
\begin{enumerate}
 \item  La probabilité de l'événement $E_1$ est égale $0,01$.

\item Si l'événement $E_2$ est réalisé, le signal reçu est $10$.

\item La probabilité de l'événement $E_2$ est égale à $0,09$.

\item La probabilité de l'événement $E_3$ est égale à $0,81$.

\item La probabilité de l'événement $E_4$ est égale à $0,19$.

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item 

\begin{enumerate}
 \item $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,1$.

\item On demande $p(X=1)$, \cad
\begin{align*}
 p(X=1)&=\coeff{10}{1} 0,1^1 \times 0,9^9\\
&=10  \times 0,1^1 \times  0,9^9\\
&=0,9^9\\
&\approx 0,387
\end{align*}

\item On demande $p(X\leq 1)$.

\begin{align*}
 p(X \leq 1)&= p(X=0)+p(X=1)\\
&=\coeff{10}{0} 0,1^0 \times 0,9^{10}+p(X=1)\\
&=0,9^{10}+p(X=1)\\
&\approx 0,736\\
&\approx 0,74\text{ à } 0,01 \text{ près}
\end{align*}

\end{enumerate}
\item 

\begin{enumerate}
 \item La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=1000$
et $p=0,002$. Par conséquent, par approximation de cette loi binomiale par
une loi de Poisson, l'espérance est conservée. 

Pour une loi binomiale, l'espérance est égale à $np$, qui est égale au paramètre
$\lambda$ de la loi de Poisson. 

On a alors ici :  $\lambda=0,002 \times 1000=2$.

\item On demande $p(Y\geq 1)$.

\begin{align*}
 p(Y\geq 1)&=1-p(Y=0)\\
&\approx 1-0,135\\
&\approx 0,865\text{ à } 0,001 \text{ près}
\end{align*}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item 

\begin{enumerate}
 \item Pour avoir un chiffre $1$, il faut que $4+U\geq 2$, \cad $U\geq -2$.

\item Comme $U$ suit la loi normale $\normale{0}{0,7}$ alors $T=\frac{U}{0,7}$
suit $\normale{0}{1}$.

\begin{align*}
 p(U\geq -2)&=p\pa{T\geq - \frac{2}{0,7}}\\
&=p(T\geq -2,857)\\
&=p(T\leq 2,857)\\
&\approx 0,998
\end{align*}

\end{enumerate}
\item Comme $U$ suit la loi normale $\normale{0}{\sigma}$ alors
$T=\frac{U}{\sigma}$ suit $\normale{0}{1}$.

On a 
\begin{align*}
 p(U<-2)&=p\pa{T< -\frac{2}{\sigma}}\\
&=p\pa{T>\frac{2}{\sigma}}\\
&=1-p\pa{T< \frac{2}{\sigma}}\\
\end{align*}

Il faut alors résoudre l'inéquation

\begin{align*}
  p(U<-2)&<0,001\\
1-p\pa{T< \frac{2}{\sigma}} &< 0,001\\
0,999&<p\pa{T< \frac{2}{\sigma}}
\end{align*}
\cad, d'après la table de la loi normale,

\begin{align*}
 \frac{2}{\sigma}&\geq 3,1\\
\sigma &\leq 0,645
\end{align*}


\end{enumerate}




\newpage

\exo 

\begin{center}
 \textbf{Toutes spécialités}
\end{center}

\Partie{}

\begin{enumerate}
 \item Voir figure \ref{fc_a11} du document réponse.

\item On a 
\begin{align*}
 a_0 &=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 f(t)\dd t  \\
&=\frac12 \int_{-1}^1 0,5 (t-1)\dd t \\
&=\frac14 \cro{\frac12 t^2 +t}_{-1}^1\\
&=\frac14 \times 2\\
&=\frac12
\end{align*}

\item 

\begin{enumerate}
 \item On a 
\begin{align*}
 \omega&=\frac{2 \pi}{T}\\
&=\frac{2 \pi}{2}\\
&=\pi
\end{align*}

\item On a, pour $n\geq 1$ :
\begin{align*}
 b_1&=\frac{2}{T}\int_{-1}^1 f(t)\sin (n \omega t) \dd t \\
&=\frac{2}{2}\int_{-1}^1 0,5 (t-1)\sin ( \pi t) \dd t \\
&=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 (t-1)\sin ( \pi t) \dd t  \\
\end{align*}

On procède à une intégration par parties en posant
\[
\begin{cases}
  u(t)=t+1\\
v'(t)=\sin \pi t 
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
 u(t)=1\\
v(t)=-\frac{1}{ \pi}\cos  \pi t
\end{cases}
\]
d'où

\begin{align*}
 \int_{-1}^1 (t-1)\sin ( \pi t) \dd t &=\cro{-\frac{1}{\pi} (t+1) \cos \pi t
}_ {-1}^1 +\frac{1}{\pi}\int_{-1}^1 \cos \pi t \dd t \\
&=-\frac{2}{\pi}\cos \pi +\frac{1}{\pi^2} \cro{\sin \pi t }_{-1}^1\\
&=\frac{2}{\pi}
\end{align*}

En remplaçant, on obtient alors
\[
 b_1=\frac{1}{\pi}
\]

\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
 \item On a, pour tout nombre réel $t\in\interoo{-1}{1},\quad g(t)=0,5 t$.

Pour la représentation graphique, voir figure \ref{gc_a11} du document réponse.

\item Comme la fonction $g$ est impaire, la courbe représentative de la fonction
$g$ est symétrique par rapport à l'origine du repère.  

\item La fonction $g$ étant impaire, pour tout entier naturel $n$, les
coefficients de Fourier $a_n(g)$ sont nuls.

Or, on a, pour $n\geq 1$ :
\begin{align*}
 a_n(g)&=\frac{2}{T}\int_{-1}^1 g(t)\cos n \pi t \dd t\\
&=\frac{2}{T}\int_{-1}^1 \pa{f(t)-0,5}\cos n \pi t \dd t\\
&=\frac{2}{T}\int_{-1}^1 f(t)\cos n \pi t \dd t -0,5
\times\frac{2}{T}\int_{-1}^1 \cos n \pi t \dd t\\
&=a_n(f)-\frac{1}{T}\cro{\frac{1}{n \pi} \sin (n \pi t )}_{-1}^1 \\
&=a_n(f)
\end{align*}

D'où, pour tout entier naturel $n\geq 1, \quad a_n=0$.

\end{enumerate}

\item On a $f^2 (t)=\frac14 (t+1)^2$, d'où

\begin{align*}
 f^2_{eff}&=\frac12\int_{-1}^1 \pa{f(t)}^2 \dd t \\
&=\frac18 \int_{-1}^1 (t+1)^2 \dd t \\
&=\frac18 \cro{\frac13 (t+1)^3}_{-1}^1\\
&=\frac18 \times \frac13\times 2^3\\
&=\frac13
\end{align*}

\item 

\begin{enumerate}
 \item On a
\begin{align*}
 P&=\frac14 + \frac{1}{2 \pi^2}\sum_{k=1}^5 \frac{1}{k^2}\\
&=\frac14 + \frac{1}{2 \pi^2} \frac{5269}{3600}\\
&\approx 0,324
\end{align*}

D'où

\[
 \frac{P}{f^2_{eff}}\approx 0,972
\]

\item L'erreur commise est
\begin{align*}
 \frac{f^2_{eff}-P}{f^2_{eff}}&=1- \frac{P}{f^2_{eff}}\\
&\approx 0,028\\
&\approx 2,8\%
\end{align*}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\Partie{}
\textbf{Remarque :} \emph{Cette question est mal posée, car il manque
l'essentiel, à savoir que la fonction $h$ vérifie les conditions de Dirichlet
afin de s'assurer de la convergence de la série de Fourier vers la fonction $h$
régularisée. Ici, nous allons donc supposer que c'est bien le cas...}

\begin{enumerate}
 \item La série de Fourier ne comportant que des $\cos$, par conséquent, la
fonction $h$ est paire.

\item Grâce à la parité de la fonction $h$, la courbe représentative admet
l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, par conséquent, nous pouvons déjà
éliminer les courbes 1  et 4.

La fonction $h$ est périodique de période $2$ donc nous pouvons maintenant
éliminer la courbe 3 qui représente une fonction périodique de période $1$.

\item Par lecture graphique, nous avons $h(t)=\pi t$ sur l'intervalle
$\interff{0}{1}$.

\emph{Grâce à cette expression, nous avons donc que la fonction $h$ est continue
sur $\R$, de classe $\classe{1}$ par morceaux, par conséquent, à l'aide du
théorème de Dirichlet, la série de Fourier de $h$ converge en tout point de $\R$
vers la fonction $h$. }
\end{enumerate}


\newpage

\begin{center}
 \textbf{Document réponse numéro 1 à joindre avec la copie}
\end{center}


\begin{table}[!ht]

\label{tab1}
\begin{tabularx}{16cm}{|*{12}{>{\centering\arraybackslash $}S X <{$}|}}
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
y(n)&0,18& 0,35& 0,50 &0,63& 0,76& 0,87&0,97 &1,07 &1,15& 1,23&1,30\\
\hline

\end{tabularx}

\caption{Tableau de valeur de la suite $y$}
\label{tab_a11}
\end{table}



\begin{figure}[!h]
       % fichier de données
    \def\data
    {0 0.18
      1 0.35
      2 0.50
      3 0.63
      4 0.76
      5 0.87
      6 0.97
      7 1.07
      8 1.15
      9 1.23
      10 1.30
      }%
    % Calcul sous forme postcript
   % \pstScalePoints(1,1){ }{ } 
    \centering 
    \psset{%
      xAxisLabel={},%
      yAxisLabel={},%
      llx=-1cm,%
      lly=-1cm,%
      urx=1cm,%
      ury=1cm,%
      labelsep=0.6cm,%
      comma%
    }
   \psset{xunit=1 cm, yunit=3,algebraic}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(11,3.5)
\psaxes[ticksize=-2pt 0,Dy=.5]{-}(0,0)(-1.5,-0.2)(10.5,2.8)
\psplot[linestyle=dashed]{0}{10.5}{2*(1-EXP(-.1*x))}
\rput(.5,.25){$s$}
\pstGeonode[PosAngle=-45,PointSymbol=none](0,0){0}
%\psline[linewidth=.08](2,0)(2,.5)
%\psline[linewidth=.08](6,0)(6,.97)
\listplot[
      plotstyle=bar,%
      barwidth=0.1cm,%
      fillcolor=black,%
      fillstyle=solid,%
      ]{\data}
\end{pspicture}
\caption{Signal numérique $y$}
  \label{a11_iris_ex1}   
  \end{figure}


\newpage
\begin{center}
 \textbf{Document réponse numéro 2 \label{doc_1c} à joindre à la copie}
\end{center}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{unit=1.5 cm}
\begin{pspicture}(-4.1,-1.5)(4.1,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-2pt
0,Dy=.5]{-}(0,0)(-4.1,-1.2)(4.1,1.2)
\psline[linecolor=red]{-[}(-4,.5)(-3,1)
\psline[linecolor=red]{]-[}(-3,0)(-1,1)
\psline[linecolor=red]{]-[}(-1,0)(1,1)
\psline[linecolor=red]{]-[}(1,0)(3,1)
\psline[linecolor=red]{]-}(3,0)(4,.5)
\multido{\i=-3+2}{4}
{
\pstGeonode[PointSymbol=*,PointName=none,linecolor=red](\i,0.5){A}
}
\pstGeonode[PosAngle=-45,PointSymbol=none](0,0){0}
\end{pspicture}
\caption{représentation graphique de la fonction $f$ }
\label{fc_a11}
\end{figure}


\begin{figure}[h]
\centering
\psset{unit=1.5 cm}
\begin{pspicture}(-4.1,-1.5)(4.1,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-2pt
0,Dy=.5]{-}(0,0)(-4.1,-1.2)(4.1,1.2)
\psline[linecolor=red]{-[}(-4,0)(-3,.5)
\psline[linecolor=red]{]-[}(-3,-.5)(-1,.5)
\psline[linecolor=red]{]-[}(-1,-.5)(1,.5)
\psline[linecolor=red]{]-[}(1,-.5)(3,.5)
\psline[linecolor=red]{]-}(3,-.5)(4,0)
\multido{\i=-3+2}{4}
{
\pstGeonode[PointSymbol=*,PointName=none,linecolor=red](\i,0){A}
}
\pstGeonode[PosAngle=-45,PointSymbol=none](0,0){0}
\end{pspicture}
\caption{représentation graphique de la fonction $g$}
\label{gc_a11}
\end{figure}



\vspace{5cm}
Suggestions ou remarques :
\href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}
\end{document}
