% Modèle de document en LaTeX
%Version 1.5 du 26/11/2002
% Auteur : Michel Gosse
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
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\usepackage{lastpage}
%Package pour numéroter les pages par
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% \thepage
% renvoie le numéro de la page courante
%  \pageref{LastPage}
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% Il faut compiler deux fois le document.
\usepackage{geometry}
\geometry{ hmargin=1.5cm, vmargin=1.5cm }
\usepackage{multicol}


\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{ulem}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}


% copyright Franck Herbert
% compilation avec les options pdftex ou dvips
% pour les packages graphicx et hyperref.

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%\fi
%
%\ifpdf
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%               /Title  (official title -- i.e., title element)
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\newcounter{num}
\renewcommand{\thenum}{\Roman{num}}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\noindent \textbf{Exercice~\thenum~:}}}
\newenvironment{exercice}{\exo}{\vskip 0.5cm}
% Pour avoir de jolis vecteurs.
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}
% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
% Ensembles R, C, N, Z et D
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
% Repère (O,i,j)
%usage : \Rij
\newcommand{\Rij}{(O~;~\V{i},~\V{j})}
% Repère (O;u,v)
\newcommand{\Ruv}{(O~;~\V{u},~\V{v})}
%Repère (O, i, j, k)
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\V{i},~ \V{j},~ \V{k}\right)$}
% un autre repère (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre repère (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\newcommand{\tn}[1]{~~~~\textnormal{#1}~~~~}
\newcommand{\e}{{\rm e}}
\newcommand{\dd}{~{\rm d}}
\newcommand{\ii}{\rm i}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Mathématiques -
 brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2006 - groupement A
 \\
 Éléments  de correction}  \end{center}

 %=========================début des exercices====================
{\large{\textbf{Exercice 1 - Spécialités CIRA, IRIST,
 Systèmes électroniques  (sur $11$ points)}}}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du formulaire, et en notant $w(n) = y(n-2)$, on a $\left(\mathcal{Z}w\right)(z)=z^{-2}\left(\mathcal{Z}y\right)(z)$.\\ De même, en notant $v(n)=x(n-1)$, $\left(\mathcal{Z}v\right)(z)=z^{-1}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)$.
    
Par linéarité de la transformée en $z$ dans l'équation récurrente, on obtient :

    \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)-z^{-2}\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=0,04z^{-1}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\]

    \[\Leftrightarrow z^{-2}(z^2-1)\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=0,04z^{-1}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\]

    \[\Leftrightarrow (z^2-1)\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=0,04z\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\]
    
    Or $z^2-1=(z-1)(z+1)$, par conséquent si $z$ est différent de $-1$ et $1$, on a :
    \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,04z}{(z-1)(z+1)}\left(\mathcal{Z}x\right)(z).\]
\item
    \begin{enumerate}
		\item À l'aide de la table des transformées en $\mathcal{Z}$, $\left(\mathcal{Z}x\right)(z)=\left(\mathcal{Z}e\right)(z)=\dfrac{z}{z-1}$.\\
    En remplaçant dans l'expression du \textbf{1.}, on obtient :

    \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,04z^2}{(z-1)^2(z+1)}.\]
    
		\item Par réduction au même dénominateur, on obtient : 
		
\[\begin{array}{rl}
    \dfrac{A}{(z-1)^2}+\dfrac{B}{z-1}+\dfrac{C}{z+1}&=\dfrac{A(z+1)+B(z-1)(z+1)+C(z-1)^2}{(z-1)^2(z+1)}\\
    &=\dfrac{(b+c)z^2+(a-2c)z+a-b+c}{(z-1)^2(z+1)}
    \end{array}\]
    
    d'où le système suivant :
    
\[\left\{\begin{array}{ll}
b+c&=0\\
a-2c&=0,04\\
a-b+c&=0
\end{array}
\right. \quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=0,02\\
b=0,01\\
c=-0,01 \end{array} \right. . \]

Conclusion :

\[\dfrac{0,04z}{(z-1)^2(z+1)}=\dfrac{0,02}{(z-1)^2}+\dfrac{0,01}{z-1}-\dfrac{0,01}{z+1}.\]

		\item À l'aide du \textbf{a.} et \textbf{b.}, on a :

\[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,02z}{(z-1)^2}+\dfrac{0,01z}{z-1}-\dfrac{0,01z}{z+1}.\]

L'original de $\dfrac{z}{(z-1)^2}$ est $r(n)=n$ pour $n\geq 0$.

L'original de $\dfrac{z}{z-1}$ est $e(n)=1$ pour $n \geq 0$.

L'original de $\dfrac{z}{z+1}$ est $(-1)^n$ : lecture de la table avec $\dfrac{z}{z+1}=\dfrac{z}{z-(-1)}$ et $a=-1$.

On obtient finalement, pour $n$ entier positif ou nul :

\[y(n)=0,02n+0,01-0,01(-1)^n.\]

		\item $(-1)^{2k}=1$ d'où $y(2k)=0,04k$.

$(-1)^{2k+1}=-1$ d'où $y(2k+1)=0,02\times (2k+1)-0,01\times 2 \Leftrightarrow y(2k+1)=0,04k+0,04.$
		\item On a donc, pour tout entier naturel $k$, $y(2k+2)=y(2(k+1))=0,04(k+1)$, et $y(2k+1)=0,04(k+1)$ d'après \textbf{d.}.\\
Conclusion : Pour tout nombre entier naturel $k$, on a : $y(2k+1)=y(2k+2)$.
\item $y(-2)=0$

$y(-1)=0$

$y(0)=0$

$y(1)=y(2)=0,04$

$y(3)=y(4)=0,08$

$y(5)=0,12.$

Représentation graphique du signal causal :
    \begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=20}
\begin{pspicture}(-2.3,-0.1)(5.3,0.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{-}(0,0)(-2.3,-0.1)(5.3,0.2)
\psline[linestyle=dashed](-0.1,0.04)(2,0.04)
\psline[linestyle=dashed](-0.1,0.08)(4,0.08)
\psline[linestyle=dashed](-0.1,0.12)(5,0.12)
\psdots(-2,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(1,0.04)
\psdots(2,0.04)
\psdots(3,0.08)
\psdots(4,0.08)
\psdots(5,0.12)
\rput(-.5,0.12){$0.12$}
\rput(-.5,0.08){$0.08$}
\rput(-0.5,0.04){$0.04$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'original de $\dfrac{F(p)}{p}$ est $\displaystyle \int_0^t f(u)U(t)\text{d}u$.
    
    Or $f$ est causale alors $f(u)U(u)=f(u)$ pour $t$ positif ou nul d'où : $s(t)=\displaystyle \int_0^t f(u) \text{d}u.$
\item

    \[\begin{array}{rl}
    s(t)&=\displaystyle \int_0^t \sin(20u) \text{d}u\\
        &=\left[-\dfrac{\cos(20 u)}{20}\right]_0^t\\
        &=\dfrac{1}{20}\left(1-\cos(20 t)\right).\end{array}\]
        
\item La valeur minimale de $s$ est $0$ pour $t=\dfrac{k\pi}{10}$ avec $k$ entier naturel.

La valeur maximale de $s$ est $\dfrac{1}{10}$ pour $t=\dfrac{(2k+1)\pi}{20}$ avec $k$ entier naturel.
\end{enumerate}

%\newpage
%\begin{center}
%\textbf{Document réponse}
%
%\vspace{8 cm}
%\includegraphics[scale=0.8]{fig2.eps}
%\end{center}
\newpage
 %==================fin d'exercice================================
 %=========================début des exercices====================
 
{\large{\textbf{Exercice 1    - Spécialités électrotechnique,
 Génie optique, TPIL - (sur $11$ points)}}}

\vspace{0.5cm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'évènement $E_1$ se note $(A\cap B)$ alors :

\[\begin{array}{rl}
    p(E_1)&=p(A \cap B)\\
          &=p(A) \times p(B) \quad \text{les évènements } A ~\text{et} ~B ~\text{sont indépendants}\\
          &=0,03 \times 0,02\\
          &=0,0006
         \end{array}\]
         
\item L'évènement $E_2$ se note $(A\cup B)$ alors :

\[\begin{array}{rl}
    p(E_2)&=p(A \cup B)\\
          &=p(A) + p(B) -p(A \cap B)\\
          &=0,03+0,02-0,0006\\
          &=0,0494.
         \end{array}\]
         
\item L'évènement $E_3$ est l'évènement contraire de $E_2$ alors :

\[\begin{array}{rl}
    p(E_3)&=p(\overline{E_2})\\
          &=1-p(E_2)\\
          &=1-0,0494\\
          &=0,9506.
         \end{array}\]
         
\item On cherche à calculer $p(E_1/E_2)$ alors :

\[\begin{array}{rl}
    p(E_1/E_2)&=\dfrac{p(E_1\cap E_2)}{p(E_2)}\\
          &=\dfrac{p(E_1)}{p(E_2)}\\
          &=\dfrac{0,0006}{0,0494}\\
          &\approx0,012.
         \end{array}\]
         
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Extraire un lot de 100 appareils revient à répéter 100 fois le prélèvement d'un appareil. Cet appareil est défectueux avec une probabilité $p=0,05$ ou non défectueux avec une probabilité $q=1-p=0,95$.
		
L'assimilation du tirage à un tirage avec remise assure l'indépendance de ces épreuves.
    
En conclusion, la variable $X_1$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0, 05$.
		\item L'espérance est $E(X_1)=np\Leftrightarrow E(X_1)=100\times 0,05 \Leftrightarrow E(X_1)=5$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que l'on peut approcher la loi de $X_1$ par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
	\begin{enumerate}
		\item On conserve l'espérance mathématique. Par conséquent, le paramètre de la loi de Poisson est $\lambda=np=5.$
		\item On note $X_p$ la variable aléatoire qui, À tout prélèvement de $100$ appareils, associe le nombre d'appareils défectueux suivant la loi de Poisson de paramètre $5$. On cherche alors $p(X_p \leq 2).$
		
\[\begin{array}{rl}
    p(X_p\leq2)&=p(X_p=0)+p(X_p=1)+p(X_p=2)\\
          &\approx0,007+0,034+0,084\\
          &\approx 0,13.
         \end{array}\]
         
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On cherche la probabilité qu'il y ait au plus 50 appareils défectueux dans le lot, c'est-à-dire $p(X_2\leq 50).$

$X_2$ suit la loi normale de moyenne $40$ et d'écart-type $6,2$, alors la variable aléatoire $T=\dfrac{X_2-40}{6,2}$ suit la loi normale centrée réduite.

\[\begin{array}{rl}
p(X_2\leq50)&=p\left(T\leq \dfrac{50-40}{6.2}\right)\\
          	&=p(T\leq 1,61) \\
          	&=\Pi (1,61)\\
          	&\approx 0,95.
         \end{array}\]
         
\item On cherche le réel $x$ tel que $P(X_2>x)=0,01$.

$p(X_2>x)=p\left(T>\dfrac{x-40}{6,2}\right)$ alors il faut résoudre $p\left(T>\dfrac{x-40}{6,2}\right)=0,01$.
    
Or $p\left(T>\dfrac{x-40}{6,2}\right)=1-p\left(T\leq \dfrac{x-40}{6,2}\right)$ d'où $p\left(T\leq \dfrac{x-40}{6,2}\right) =0,99.$
    
Or $\Pi( 2,33)=0,99 \Leftrightarrow \dfrac{x-40}{6,2}=2,33 \Leftrightarrow x=40+2,33\times 6,2 \Leftrightarrow x=54,45.$
     
Le plus petit entier $k$ tel que la probabilité que le lot comporte plus de $k$ appareils défectueux soit inférieure À $0,01$ est $k=55.$
\end{enumerate}
 %==================fin d'exercice================================
\newpage

{\large{\textbf{Exercice 2 - Toutes spécialités (sur $9$ points)}}}


\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item

\[\begin{array}{rl}
    a_0&=\dfrac{1}{T} \displaystyle \int_0^T \left(\alpha t + \beta\right) \text{d}t \quad \mbox{ avec } T=1\\
       &=\left[\dfrac{\alpha t^2 }{2}+\beta t \right]_0^1\\
       &=\left(\dfrac{\alpha}{2}+\beta\right)-(0)\\
       &=\dfrac{\alpha}{2}+\beta
    \end{array}\]
    
\item La pulsation est $\omega=2\pi$.

\[\begin{array}{rl}
    b_n&=\dfrac{2}{T} \displaystyle \int_0^T \left(\alpha t + \beta\right)\sin(2\pi n t) \text{d}t \quad \mbox{ avec } T=1\\
       &=2 \displaystyle \int_0^1 \left(\alpha t + \beta\right)\sin(2\pi n t) \text{d}t\\
     \end{array}\]
     
On intègre par parties en posant :

\[\begin{array}{rll}
     u(t)&=\alpha t + \beta &\mbox{ alors } \quad u'(t)=\alpha\\
     v'(t)&=\sin(2\pi n t)  &\mbox{ alors }     \quad v(t)=-\dfrac{\cos(2 \pi n t)}{2\pi n }
     \end{array}\]
     
d'où :

\[\begin{array}{rl}
    b_n	&=2\left(-\left[\dfrac{\left(\alpha t + \beta\right)\cos(2\pi n t)}{2 \pi n}\right]_0^1-\dfrac{\alpha}{2 \pi n }\displaystyle \int_0^1 \left(-\cos(2\pi n t)\right)\text{d}t\right)\\
       	&=2 \left(-\dfrac{1}{2\pi n }\left[(\alpha+\beta)-\beta\right]+ \dfrac{\alpha}{2 \pi n } \left[\dfrac{\sin(2 \pi n t)}{2 \pi n }\right]_0^1\right)\\
       	&=2 \left(-\dfrac{\alpha}{2\pi n }+0\right)\\
     	&=-\dfrac{\alpha}{n \pi}
     \end{array}\]
     
\item
	\begin{enumerate}
		\item On veut $a_0=0$ et $b_n=\dfrac{1}{n}$ et d'après \textbf{2.}, on obtient le système suivant :
		
\[\left\{
     \begin{array}{ll}
     \dfrac{\alpha}{2}+\beta&=0\\
     -\dfrac{\alpha}{n \pi}&=\dfrac{1}{n}
    \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
    \alpha = - \pi\\
    \beta = \dfrac{\pi }{2}
    \end{array} \right. . \]
    
L'expression de $f$ est alors :

\[f(t) = \dfrac{\pi}{2}-\pi t.\]
    
		\item Courbe représentative de $f$ sur $[-2~;~2]$ :
\begin{center}
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.3,-2)(2.3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{-}(0,0)(-2.3,-1.8)(2.3,1.8)
\psplot{-2}{-1}{1 2 div x 2 add sub 3.1416 mul}
\psplot{-1}{0}{1 2 div x 1 add sub 3.1416 mul}
\psplot{0}{1}{1 2 div x sub 3.1416 mul}
\psplot{1}{2}{1 2 div x 1 sub sub 3.1416 mul}
\rput(-.2,1.7){$\dfrac{\pi}{2}$}
\rput(.3,-1.6){$-\dfrac{\pi}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a : 

\[s_1(t)=\dfrac{1}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) + \dfrac{1}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)\]

d'où
    
\[\begin{array}{rl}
    s_1'(t)&=\dfrac{2\pi }{1-4\pi ^2} \cos(2\pi t) + \dfrac{4\pi}{2(1-16\pi ^2)} \cos(4 \pi t)\\
    s_1''(t)&=-\dfrac{4 \pi^2}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) - \dfrac{16 \pi^2}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t).
    \end{array}\]

\[\begin{array}{rl}
    s_1"(t)+s(t)&=-\dfrac{4 \pi^2}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) - \dfrac{16 \pi^2}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)+\dfrac{1}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) + \dfrac{1}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)\\
    &=\dfrac{1-4 \pi^2}{1-4\pi ^2}\sin(2\pi t) + \dfrac{1-16 \pi^2}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)\\
    &=\sin (2\pi t)+\dfrac{1}{2} \sin (4 \pi t).
    \end{array}\]
    
    Conclusion : $s_1$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
\item Il faut chercher la  solution générale  de l'équation différentielle homogène assocée à (E) :

\[s''(t) + s(t) = 0.\]

L'équation caractéristique associée est : $r^2+1=0$ dont le discriminant est égal à $-1$. Cette équation possède deux racines complexes conjuguées qui sont $\text{j}$ et $\text{-j}$.

La solution générale de l'équation homogène est alors :

    \[s_0(t)=\lambda \sin t + \mu \cos t \quad \mbox{ avec } \lambda \in \R \mbox{ et } \mu \in \R .\]
    
La solution générale de (E) est donné par la somme entre une solution particulière de l'équation complète et la solution générale de l'équation homogène associée, d'où :

    \[ \begin{array}{rl}
    s(t)&=s_1(t)+s_0(t)\\
    s(t)&=\dfrac{1}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) + \dfrac{1}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)+\lambda \sin t + \mu \cos t \quad \mbox{ avec } \lambda \in \R \mbox{ et } \mu \in \R .
    \end{array}\]

\end{enumerate}
\end{document}    % fin du document

% Avec Mathematica :
%SetDirectory["C:/Documents and Settings/jlc/Mes documents/Docwin/2004-2005/exam2005"]
% Display["nom_fic.eps",   Plot[ ... ]       , "EPS"];
%\begin{center}
%    \includegraphics[scale=1]{bezier.4} % adpater le facteur d'échelle
%\end{center}
%avec Maple :
%#plotsetup(ps,plotoutput=`C:/Documen..../s4/fig.eps`,plotoptions=`color,noborder`);
%#plotsetup(inline);
