% Modèle de document en LaTeX %Version 1.5 du 26/11/2002 % Auteur : Michel Gosse %!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{lastpage} %Package pour numéroter les pages par % rapport à la dernière. La commande % \thepage % renvoie le numéro de la page courante % \pageref{LastPage} % renvoie le numéro de la dernière page du document. % Il faut compiler deux fois le document. \usepackage{geometry} \geometry{ hmargin=1.5cm, vmargin=1.5cm } \usepackage{multicol} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{ulem} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} % copyright Franck Herbert % compilation avec les options pdftex ou dvips % pour les packages graphicx et hyperref. %\newif \ifpdf % \ifx \pdfoutput \undefined % \pdffalse % \else % \pdftrue %\fi % %\ifpdf % \pdfinfo { /Author (your name and e-mail address) % /Title (official title -- i.e., title element) % /Subject (one line description of the document) % } % \pdfcatalog { /PageMode (/UseNone) % % /OpenAction (fitbh) % } % \usepackage{pslatex} % \usepackage[pdftex]{graphicx} % \usepackage[pdftex]{hyperref} %\else % \usepackage[dvips]{graphicx} % \usepackage[ps2pdf]{hyperref} % \fi \newcounter{num} \renewcommand{\thenum}{\Roman{num}} \newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\noindent \textbf{Exercice~\thenum~:}}} \newenvironment{exercice}{\exo}{\vskip 0.5cm} % Pour avoir de jolis vecteurs. \def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}} % Pour avoir un vecteur % usage \V{AB} \newcommand{\V}{\overrightarrow} % Ensembles R, C, N, Z et D \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} % Repère (O,i,j) %usage : \Rij \newcommand{\Rij}{(O~;~\V{i},~\V{j})} % Repère (O;u,v) \newcommand{\Ruv}{(O~;~\V{u},~\V{v})} %Repère (O, i, j, k) \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\V{i},~ \V{j},~ \V{k}\right)$} % un autre repère (O;i,j) \newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}} % un autre repère (O;u,v) \newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}} \newcommand{\tn}[1]{~~~~\textnormal{#1}~~~~} \newcommand{\e}{{\rm e}} \newcommand{\dd}{~{\rm d}} \newcommand{\ii}{\rm i} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Mathématiques - brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2006 - groupement A \\ Éléments de correction} \end{center} %=========================début des exercices==================== {\large{\textbf{Exercice 1 - Spécialités CIRA, IRIST, Systèmes électroniques (sur $11$ points)}}} \medskip \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide du formulaire, et en notant $w(n) = y(n-2)$, on a $\left(\mathcal{Z}w\right)(z)=z^{-2}\left(\mathcal{Z}y\right)(z)$.\\ De même, en notant $v(n)=x(n-1)$, $\left(\mathcal{Z}v\right)(z)=z^{-1}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)$. Par linéarité de la transformée en $z$ dans l'équation récurrente, on obtient : \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)-z^{-2}\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=0,04z^{-1}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\] \[\Leftrightarrow z^{-2}(z^2-1)\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=0,04z^{-1}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\] \[\Leftrightarrow (z^2-1)\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=0,04z\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\] Or $z^2-1=(z-1)(z+1)$, par conséquent si $z$ est différent de $-1$ et $1$, on a : \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,04z}{(z-1)(z+1)}\left(\mathcal{Z}x\right)(z).\] \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la table des transformées en $\mathcal{Z}$, $\left(\mathcal{Z}x\right)(z)=\left(\mathcal{Z}e\right)(z)=\dfrac{z}{z-1}$.\\ En remplaçant dans l'expression du \textbf{1.}, on obtient : \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,04z^2}{(z-1)^2(z+1)}.\] \item Par réduction au même dénominateur, on obtient : \[\begin{array}{rl} \dfrac{A}{(z-1)^2}+\dfrac{B}{z-1}+\dfrac{C}{z+1}&=\dfrac{A(z+1)+B(z-1)(z+1)+C(z-1)^2}{(z-1)^2(z+1)}\\ &=\dfrac{(b+c)z^2+(a-2c)z+a-b+c}{(z-1)^2(z+1)} \end{array}\] d'où le système suivant : \[\left\{\begin{array}{ll} b+c&=0\\ a-2c&=0,04\\ a-b+c&=0 \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=0,02\\ b=0,01\\ c=-0,01 \end{array} \right. . \] Conclusion : \[\dfrac{0,04z}{(z-1)^2(z+1)}=\dfrac{0,02}{(z-1)^2}+\dfrac{0,01}{z-1}-\dfrac{0,01}{z+1}.\] \item À l'aide du \textbf{a.} et \textbf{b.}, on a : \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,02z}{(z-1)^2}+\dfrac{0,01z}{z-1}-\dfrac{0,01z}{z+1}.\] L'original de $\dfrac{z}{(z-1)^2}$ est $r(n)=n$ pour $n\geq 0$. L'original de $\dfrac{z}{z-1}$ est $e(n)=1$ pour $n \geq 0$. L'original de $\dfrac{z}{z+1}$ est $(-1)^n$ : lecture de la table avec $\dfrac{z}{z+1}=\dfrac{z}{z-(-1)}$ et $a=-1$. On obtient finalement, pour $n$ entier positif ou nul : \[y(n)=0,02n+0,01-0,01(-1)^n.\] \item $(-1)^{2k}=1$ d'où $y(2k)=0,04k$. $(-1)^{2k+1}=-1$ d'où $y(2k+1)=0,02\times (2k+1)-0,01\times 2 \Leftrightarrow y(2k+1)=0,04k+0,04.$ \item On a donc, pour tout entier naturel $k$, $y(2k+2)=y(2(k+1))=0,04(k+1)$, et $y(2k+1)=0,04(k+1)$ d'après \textbf{d.}.\\ Conclusion : Pour tout nombre entier naturel $k$, on a : $y(2k+1)=y(2k+2)$. \item $y(-2)=0$ $y(-1)=0$ $y(0)=0$ $y(1)=y(2)=0,04$ $y(3)=y(4)=0,08$ $y(5)=0,12.$ Représentation graphique du signal causal : \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=20} \begin{pspicture}(-2.3,-0.1)(5.3,0.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{-}(0,0)(-2.3,-0.1)(5.3,0.2) \psline[linestyle=dashed](-0.1,0.04)(2,0.04) \psline[linestyle=dashed](-0.1,0.08)(4,0.08) \psline[linestyle=dashed](-0.1,0.12)(5,0.12) \psdots(-2,0) \psdots(-1,0) \psdots(1,0.04) \psdots(2,0.04) \psdots(3,0.08) \psdots(4,0.08) \psdots(5,0.12) \rput(-.5,0.12){$0.12$} \rput(-.5,0.08){$0.08$} \rput(-0.5,0.04){$0.04$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip \begin{enumerate} \item L'original de $\dfrac{F(p)}{p}$ est $\displaystyle \int_0^t f(u)U(t)\text{d}u$. Or $f$ est causale alors $f(u)U(u)=f(u)$ pour $t$ positif ou nul d'où : $s(t)=\displaystyle \int_0^t f(u) \text{d}u.$ \item \[\begin{array}{rl} s(t)&=\displaystyle \int_0^t \sin(20u) \text{d}u\\ &=\left[-\dfrac{\cos(20 u)}{20}\right]_0^t\\ &=\dfrac{1}{20}\left(1-\cos(20 t)\right).\end{array}\] \item La valeur minimale de $s$ est $0$ pour $t=\dfrac{k\pi}{10}$ avec $k$ entier naturel. La valeur maximale de $s$ est $\dfrac{1}{10}$ pour $t=\dfrac{(2k+1)\pi}{20}$ avec $k$ entier naturel. \end{enumerate} %\newpage %\begin{center} %\textbf{Document réponse} % %\vspace{8 cm} %\includegraphics[scale=0.8]{fig2.eps} %\end{center} \newpage %==================fin d'exercice================================ %=========================début des exercices==================== {\large{\textbf{Exercice 1 - Spécialités électrotechnique, Génie optique, TPIL - (sur $11$ points)}}} \vspace{0.5cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item L'évènement $E_1$ se note $(A\cap B)$ alors : \[\begin{array}{rl} p(E_1)&=p(A \cap B)\\ &=p(A) \times p(B) \quad \text{les évènements } A ~\text{et} ~B ~\text{sont indépendants}\\ &=0,03 \times 0,02\\ &=0,0006 \end{array}\] \item L'évènement $E_2$ se note $(A\cup B)$ alors : \[\begin{array}{rl} p(E_2)&=p(A \cup B)\\ &=p(A) + p(B) -p(A \cap B)\\ &=0,03+0,02-0,0006\\ &=0,0494. \end{array}\] \item L'évènement $E_3$ est l'évènement contraire de $E_2$ alors : \[\begin{array}{rl} p(E_3)&=p(\overline{E_2})\\ &=1-p(E_2)\\ &=1-0,0494\\ &=0,9506. \end{array}\] \item On cherche à calculer $p(E_1/E_2)$ alors : \[\begin{array}{rl} p(E_1/E_2)&=\dfrac{p(E_1\cap E_2)}{p(E_2)}\\ &=\dfrac{p(E_1)}{p(E_2)}\\ &=\dfrac{0,0006}{0,0494}\\ &\approx0,012. \end{array}\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Extraire un lot de 100 appareils revient à répéter 100 fois le prélèvement d'un appareil. Cet appareil est défectueux avec une probabilité $p=0,05$ ou non défectueux avec une probabilité $q=1-p=0,95$. L'assimilation du tirage à un tirage avec remise assure l'indépendance de ces épreuves. En conclusion, la variable $X_1$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0, 05$. \item L'espérance est $E(X_1)=np\Leftrightarrow E(X_1)=100\times 0,05 \Leftrightarrow E(X_1)=5$. \end{enumerate} \item On suppose que l'on peut approcher la loi de $X_1$ par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. \begin{enumerate} \item On conserve l'espérance mathématique. Par conséquent, le paramètre de la loi de Poisson est $\lambda=np=5.$ \item On note $X_p$ la variable aléatoire qui, À tout prélèvement de $100$ appareils, associe le nombre d'appareils défectueux suivant la loi de Poisson de paramètre $5$. On cherche alors $p(X_p \leq 2).$ \[\begin{array}{rl} p(X_p\leq2)&=p(X_p=0)+p(X_p=1)+p(X_p=2)\\ &\approx0,007+0,034+0,084\\ &\approx 0,13. \end{array}\] \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item On cherche la probabilité qu'il y ait au plus 50 appareils défectueux dans le lot, c'est-à-dire $p(X_2\leq 50).$ $X_2$ suit la loi normale de moyenne $40$ et d'écart-type $6,2$, alors la variable aléatoire $T=\dfrac{X_2-40}{6,2}$ suit la loi normale centrée réduite. \[\begin{array}{rl} p(X_2\leq50)&=p\left(T\leq \dfrac{50-40}{6.2}\right)\\ &=p(T\leq 1,61) \\ &=\Pi (1,61)\\ &\approx 0,95. \end{array}\] \item On cherche le réel $x$ tel que $P(X_2>x)=0,01$. $p(X_2>x)=p\left(T>\dfrac{x-40}{6,2}\right)$ alors il faut résoudre $p\left(T>\dfrac{x-40}{6,2}\right)=0,01$. Or $p\left(T>\dfrac{x-40}{6,2}\right)=1-p\left(T\leq \dfrac{x-40}{6,2}\right)$ d'où $p\left(T\leq \dfrac{x-40}{6,2}\right) =0,99.$ Or $\Pi( 2,33)=0,99 \Leftrightarrow \dfrac{x-40}{6,2}=2,33 \Leftrightarrow x=40+2,33\times 6,2 \Leftrightarrow x=54,45.$ Le plus petit entier $k$ tel que la probabilité que le lot comporte plus de $k$ appareils défectueux soit inférieure À $0,01$ est $k=55.$ \end{enumerate} %==================fin d'exercice================================ \newpage {\large{\textbf{Exercice 2 - Toutes spécialités (sur $9$ points)}}} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \[\begin{array}{rl} a_0&=\dfrac{1}{T} \displaystyle \int_0^T \left(\alpha t + \beta\right) \text{d}t \quad \mbox{ avec } T=1\\ &=\left[\dfrac{\alpha t^2 }{2}+\beta t \right]_0^1\\ &=\left(\dfrac{\alpha}{2}+\beta\right)-(0)\\ &=\dfrac{\alpha}{2}+\beta \end{array}\] \item La pulsation est $\omega=2\pi$. \[\begin{array}{rl} b_n&=\dfrac{2}{T} \displaystyle \int_0^T \left(\alpha t + \beta\right)\sin(2\pi n t) \text{d}t \quad \mbox{ avec } T=1\\ &=2 \displaystyle \int_0^1 \left(\alpha t + \beta\right)\sin(2\pi n t) \text{d}t\\ \end{array}\] On intègre par parties en posant : \[\begin{array}{rll} u(t)&=\alpha t + \beta &\mbox{ alors } \quad u'(t)=\alpha\\ v'(t)&=\sin(2\pi n t) &\mbox{ alors } \quad v(t)=-\dfrac{\cos(2 \pi n t)}{2\pi n } \end{array}\] d'où : \[\begin{array}{rl} b_n &=2\left(-\left[\dfrac{\left(\alpha t + \beta\right)\cos(2\pi n t)}{2 \pi n}\right]_0^1-\dfrac{\alpha}{2 \pi n }\displaystyle \int_0^1 \left(-\cos(2\pi n t)\right)\text{d}t\right)\\ &=2 \left(-\dfrac{1}{2\pi n }\left[(\alpha+\beta)-\beta\right]+ \dfrac{\alpha}{2 \pi n } \left[\dfrac{\sin(2 \pi n t)}{2 \pi n }\right]_0^1\right)\\ &=2 \left(-\dfrac{\alpha}{2\pi n }+0\right)\\ &=-\dfrac{\alpha}{n \pi} \end{array}\] \item \begin{enumerate} \item On veut $a_0=0$ et $b_n=\dfrac{1}{n}$ et d'après \textbf{2.}, on obtient le système suivant : \[\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\alpha}{2}+\beta&=0\\ -\dfrac{\alpha}{n \pi}&=\dfrac{1}{n} \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \alpha = - \pi\\ \beta = \dfrac{\pi }{2} \end{array} \right. . \] L'expression de $f$ est alors : \[f(t) = \dfrac{\pi}{2}-\pi t.\] \item Courbe représentative de $f$ sur $[-2~;~2]$ : \begin{center} \psset{xunit=2cm, yunit=1cm} \begin{pspicture}(-2.3,-2)(2.3,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{-}(0,0)(-2.3,-1.8)(2.3,1.8) \psplot{-2}{-1}{1 2 div x 2 add sub 3.1416 mul} \psplot{-1}{0}{1 2 div x 1 add sub 3.1416 mul} \psplot{0}{1}{1 2 div x sub 3.1416 mul} \psplot{1}{2}{1 2 div x 1 sub sub 3.1416 mul} \rput(-.2,1.7){$\dfrac{\pi}{2}$} \rput(.3,-1.6){$-\dfrac{\pi}{2}$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On a : \[s_1(t)=\dfrac{1}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) + \dfrac{1}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)\] d'où \[\begin{array}{rl} s_1'(t)&=\dfrac{2\pi }{1-4\pi ^2} \cos(2\pi t) + \dfrac{4\pi}{2(1-16\pi ^2)} \cos(4 \pi t)\\ s_1''(t)&=-\dfrac{4 \pi^2}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) - \dfrac{16 \pi^2}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t). \end{array}\] \[\begin{array}{rl} s_1"(t)+s(t)&=-\dfrac{4 \pi^2}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) - \dfrac{16 \pi^2}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)+\dfrac{1}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) + \dfrac{1}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)\\ &=\dfrac{1-4 \pi^2}{1-4\pi ^2}\sin(2\pi t) + \dfrac{1-16 \pi^2}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)\\ &=\sin (2\pi t)+\dfrac{1}{2} \sin (4 \pi t). \end{array}\] Conclusion : $s_1$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). \item Il faut chercher la solution générale de l'équation différentielle homogène assocée à (E) : \[s''(t) + s(t) = 0.\] L'équation caractéristique associée est : $r^2+1=0$ dont le discriminant est égal à $-1$. Cette équation possède deux racines complexes conjuguées qui sont $\text{j}$ et $\text{-j}$. La solution générale de l'équation homogène est alors : \[s_0(t)=\lambda \sin t + \mu \cos t \quad \mbox{ avec } \lambda \in \R \mbox{ et } \mu \in \R .\] La solution générale de (E) est donné par la somme entre une solution particulière de l'équation complète et la solution générale de l'équation homogène associée, d'où : \[ \begin{array}{rl} s(t)&=s_1(t)+s_0(t)\\ s(t)&=\dfrac{1}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) + \dfrac{1}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)+\lambda \sin t + \mu \cos t \quad \mbox{ avec } \lambda \in \R \mbox{ et } \mu \in \R . \end{array}\] \end{enumerate} \end{document} % fin du document % Avec Mathematica : %SetDirectory["C:/Documents and Settings/jlc/Mes documents/Docwin/2004-2005/exam2005"] % Display["nom_fic.eps", Plot[ ... ] , "EPS"]; %\begin{center} % \includegraphics[scale=1]{bezier.4} % adpater le facteur d'échelle %\end{center} %avec Maple : %#plotsetup(ps,plotoutput=`C:/Documen..../s4/fig.eps`,plotoptions=`color,noborder`); %#plotsetup(inline);